Συνδυαστική Απαρίθμηση

Transcript

1 Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων αποτελεσμάτων (ενδεχομένων). Συνδυαστική 1 Π.χ. ρίψη ζαριών, μοίρασμα τράπουλας, ανάθεση γραφείων, επιλογή password, διανομή αντικειμένων, 6άδες Lotto, Δύο προσεγγίσεις: Στοιχειώδης Συνδυαστική. Γεννήτριες Συναρτήσεις. Βασικές αρχές και έννοιες στη στοιχειώδη συνδυαστική: Κανόνες γινομένου και αθροίσματος, αρχή εγκλεισμού αποκλεισμού. Διατάξεις και μεταθέσεις (με ή χωρίς) επανάληψη. Συνδυασμοί (με ή χωρίς) επανάληψη.

2 Κανόνας Γινομένου Γεγονός Α με n ενδεχόμενα. Γεγονός Β με m ενδεχόμενα. Αν ενδεχόμενα των Α και Β είναι ανεξάρτητα, τότε συνδυασμός Α και Β έχει n m ενδεχόμενα. Ανεξάρτητα: το αποτέλεσμα του Α δεν επηρεάζει (ως προς το πλήθος των ενδεχομένων) το αποτέλεσμα του Β, και αντίστροφα. Ενδεχόμενα όταν δύο άνθρωποι ρίχνουν από μία ζαριά; Επιλογή ενός ψηφίου 0-9 και ενός κεφαλαίου Ελληνικού γράμματος: Συνδυαστική = 240 διαφορετικά αποτελέσματα. #συμβ/ρών (με κεφαλαία Ελληνικά) μήκους 10: #παλινδρομικών συμβ/ρών μήκους 10: #πινακίδων αυτοκινήτων:

3 Κανόνας Αθροίσματος Γεγονός Α με n ενδεχόμενα. Γεγονός Β με m ενδεχόμενα. Αν ενδεχόμενα των Α και Β είναι αμοιβαία αποκλειόμενα, τότε συνδυασμός Α ή Β έχει n+m ενδεχόμενα. Αμοιβαία αποκλειόμενα: δεν υπάρχει ενδεχόμενο που εντάσσεται και στο Α και στο Β. Α Β = Α + Β, αν Α Β = Αρχή εγκλεισμού αποκλεισμού: Α Β = Α + Β - Α Β 5 Ελληνικά, 7 Αγγλικά, και 10 Γερμανικά βιβλία. Τρόποι να διαλέξουμε 2 βιβλία σε διαφορετική γλώσσα: Συνδυαστική 3 Ελλ. Αγγλ.: 5 7 = 35 Ελλ. Γερμ.: 5 10 = 50 Αγγλ. Γερμ.: 7 10 = 70 Αμοιβαία αποκλειόμενα. Σύνολο: 155 διαφορετικές επιλογές. Τρόποι να διαλέξουμε 2 βιβλία (ανεξ. γλώσσας):

4 Παραδείγματα Πόσα passwords με 8 χαρακτήρες αποτελούμενα από κεφαλαία (Αγγλικά) γράμματα και τουλάχιστον ένα δεκαδικό ψηφίο; Υπάρχουν τέτοια #passwords. #δυαδικών συμβ/ρών μήκους 8 που είτε αρχίζουν από 1 είτε τελειώνουν σε 00: Όχι αμοιβαία αποκλειόμενα: = 160. Συνδυαστική 4

5 Διατάξεις Μεταθέσεις Διατάξεις P(n, k): k από n διακεκριμένα αντικείμενα σε k διακεκριμένες θέσεις (1 αντικείμενο σε κάθε θέση). P(n, k) = #τρόπων να πληρωθούν k διακεκριμένες θέσεις από n διακεκριμένα αντικείμενα (διαθέσιμα σε ένα «αντίγραφο»). #τρόπων να πληρώσουμε 4 (διαφορετικές) θέσεις εργασίας αν έχουμε 30 υποψήφιους: #συμβ/ρών μήκους 10 μεόλατασύμβολαδιαφορετικά από κεφαλαίους Ελληνικούς χαρακτήρες: Μεταθέσεις n αντικειμένων: P(n, n) = n! #αναθέσεων 10 (διαφορετικών) γραφείων σε 10 καθηγητές: Συνδυαστική 5 #συμβ/ρών μήκους 24 μεόλατασύμβολαδιαφορετικά από κεφαλαίους Ελληνικούς χαρακτήρες:

6 Παραδείγματα #συμβ/ρών από 4 διαφορετικούς (κεφαλαίους Ελληνικούς) χαρακτήρες ακολουθούμενους από 3 διαφορετικά ψηφία: Ρ(24, 4) Ρ(10, 3) #τετραψήφιων δεκαδικών αριθμών που δεν αρχίζουν από 0 και δεν έχουν επαναλάμβανόμενα ψηφία: = #μεταθέσεων (κεφαλαίων Ελληνικών) όπου Ω εμφανίζεται μετά από τα Χ, Ψ: Ρ(24, 21) 2! #μεταθέσεων όπου Ψ εμφανίζεται πριν το Ω, και μετά από τα Φ, Χ: Ρ(24, 20) 2! Συνδυαστική 6

7 Ερώτημα 1.α, 1 η Εργ #τοποθέτησης 8 (ίδιων / διακεκριμένων) πύργων σε μια σκακιέρα 8x8, ώστε να μην απειλεί ο ένας τον άλλο. Ένας πύργος σε κάθε γραμμή. Οπύργοςτης1 ης γραμμής με 8 τρόπους, οπύργοςτης2 ης γραμμής με 7 τρόπους, κοκ. Αν πύργοι ίδιοι, συνολικά: 8! τρόποι. Αν πύργοι διακεκριμένοι: πολλαπλασιάζουμε με μεταθέσεις: 8!. Συνδυαστική 7 Συνολικά: (8!) 2 τρόποι a b c d e f g h 8 7 6

8 Μεταθέσεις με Ομάδες #συμβ/ρών (μήκους 8) με γράμματα λέξης ΕΦΗΒΙΚΟΣ: 8! #συμβ/ρών (μήκους 8) με γράμματα λέξης ΠΑΡΑΠΟΝΑ: Μεταθέσεις με ομάδες ίδιων αντικειμένων: 8!/(2!3!1!1!1!) Μεταθέσεις n αντικειμένων σε k ομάδες ίδιων αντικειμένων με πληθάριθμο n 1, n 2,, n k αντίστοιχα: #συμβ/ρών μήκους 24 από 7 Α, 8 Β, 5 Γ, και 4 Δ: 24!/(7!8!5!4!) Αν πρώτο και τελευταίο Α: Συνδυαστική 8 22!/(5!8!5!4!) Αν δεν πρέπει να εμφανίζεται ΔΔΔΔ: 24!/(7!8!5!4!) 21!/(7!8!5!1!)

9 Παραδείγματα Τρόποι τακτοποίησης 10 ατόμων σε 4 διακεκριμένες καμπίνες: 4κλινη, 3κλινη, 2κλινη, 1κλινη (ερ. 1.β, 1 η εργ ). Μεταθέσεις 4 Α, 3 Β, 2 Γ, 1 Δ (εισιτηρίων) σε 10 διακεκριμένες θέσεις (άτομα). Μεταθέσεις με ομάδες αντικειμένων: 10!/(4!3!2!1!). 30 διακεκριμένοι μαθητές, 15 αγόρια και 15 κορίτσια. Τρόποι να χωριστούν σε ομάδες και να πάρουν εργασία (επαν. εξετ. 2011): Ομάδες από ένα αγόρι και ένα κορίτσι, κοινό θέμα εργασίας. Κορίτσια: διακεκριμένες θέσεις. Μεταθέσεις αγοριών: 15! Ομάδες από 5 άτομα, ανεξαρτήτως φύλου, 6 διαφορετικά θέματα. Μεταθέσεις με ομάδες: 30!/(5!) 6 Συνδυαστική 9 Ομάδες από 5 άτομα, ανεξαρτήτως φύλου, κοινό θέμα εργασίας. Μεταθέσεις με ομάδες, διαιρούμε με 6! επειδή κοινό θέμα εργασίας:

10 Διατάξεις με Επανάληψη Διατάξεις με επανάληψη: n διακεκριμένα αντικείμενα (διαθέσιμα σε απεριόριστα «αντίγραφα») σε k διακεκριμένες θέσεις: Ισοδύναμο με διανομή k διακεκριμένων αντικειμένων σε n διακεκριμένες υποδοχές (χωρίς περιορισμό στη χωρητικότητα), όταν η σειρά στις υποδοχές δεν έχει σημασία. #πενταψήφιων δεκαδικών συμβ/ρών: 10 5 #τετραψήφιων δεκαδικών αριθμών (που δεν αρχίζουν από 0): = #πενταψήφιων δεκαδικών συμβ/ρών με τουλ. ένα 8: Πλήθος διαφορετικών υποσυνόλων ενός συνόλου Α: Συνδυαστική 10 2 A ( A στοιχεία σε 2 «υποδοχές»: ανήκει δεν ανήκει στο υποσύνολο).

11 Διατάξεις με Επανάληψη Διανομή k διακεκριμένων αντικειμένων σε n διακεκριμένες υποδοχές (χωρίς περιορισμό χωρητικότητας) με σειρά στις υποδοχές να έχει σημασία. Βιβλιοθήκη με n ράφια όπου τοποθετούνται k διαφορετικά βιβλία («όρθια» ράφια, βιβλία χωρίς κενά μεταξύ τους, έχει σημασία η σειρά στα ράφια). #διαφορετικών τοποθετήσεων; Κυκλικές μεταθέσεις n ατόμων: (n 1)! #τρόπων που n άνθρωποι κάθονται σε κυκλικό τραπέζι (διακρίνουμε μεταξύ «δεξιά» και «αριστερά»). Συνδυαστική 11

12 Συνδυασμοί Συνδυασμοί C(n, k): #επιλογών k από n διακεκριμένα αντικείμενα (διαθέσιμα σε ένα «αντίγραφο»). Διαφορετικές 6άδες Lotto: Συνδυαστική 12 C(49, 6) #υποσυνόλων με k στοιχεία από σύνολο n στοιχείων: C(n, k) #τρόπων στελέχωσης 5μελούς κοινοβουλευτικής επιτροπής, όπου μέλη ισότιμα: C(300, 5) #δυαδικών συμβ/ρών μήκους 32 με (ακριβώς) επτά 1: C(32, 7)

13 Ερώτημα 1.α, 1 η Εργ Τρόποι τοποθέτησης 2 ίδιων πιονιών σε μια σκακιέρα 8x8, ώστε να μην καταλαμβάνουν γειτονικά τετράγωνα. Διακρίνουμε 3 αμοιβαία αποκλειόμενα γεγονότα (κανόνας αθροίσματος). Συνδυαστική 13 1 ο πιόνι σε γωνία: 4x60 τρόποι. 1 ο πιόνι σε πλευρά (όχι γωνία): 24x58 τρόποι. 1 ο πιόνι σε «εσωτερικό» τετράγωνο: 36x55 τρόποι. Αθροίζουμε και λαμβάνουμε υπόψη ότι τα πιόνια είναι μη διακεκριμένα (συνδυασμοί): (4x60+24x58+36x55)/2 = a b c d e f g h

14 Παραδείγματα 40 βουλευτές του κόμματος Α, 35 βουλευτέςτουκόμματοςβ, και 25 βουλευτέςτουκόμματοςγ. #τρόπων να ορίσουμε 10 (μη διακεκριμένες) 3μελείς κοινοβουλευτικές ομάδες, με έναν βουλευτή από κάθε κόμμα, αν κάθεβουλευτήςμπορείνασυμμετέχεισε1 το πολύ ομάδα; #τρόποι επιλογής 10 βουλευτών κόμματος Α: C(40, 10). #τρόποι επιλογής και «τοποθέτησης» 10 βουλ. Β: P(35, 10). #τρόποι επιλογής και «τοποθέτησης» 10 βουλ. Γ: P(25, 10). #τρόπων συνολικά: 40!35!25!/(10!30!25!15!). Συνδυαστική 14

15 Παραδείγματα 40 βουλευτές του κόμματος Α, 35 βουλευτέςτουκόμματοςβ, και 25 βουλευτές του κόμματος Γ. #τρόπων να καθίσουν σε 3 πτέρυγες με 40 διακεκριμένες θέσεις ηκαθεμία, αν όλοι οι βουλευτές κάθε κόμματος πρέπει να καθίσουν στην ίδια πτέρυγα. #τρόπων «τοποθέτησης» κομμάτων στις πτέρυγες: 3! #τρόπων να καθίσει κόμμα Α: P(40, 40) = 40! #τρόπων να καθίσει κόμμα Β: P(40, 35) = 40!/5! #τρόπων να καθίσει κόμμα Γ: P(40, 25) = 40!/15! #τρόπων συνολικά: 3!40!40!40!/(5!15!). Τι αλλάζει αν θεωρήσουμε ότι οι βουλευτές κάθε κόμματος δεν είναι διακεκριμένοι; Συνδυαστική 15

16 Παραδείγματα #τρόπων να χωριστούν 24 ομάδες σε 4 ομίλους των 6 ομάδων αν: Όμιλοι είναι διακεκριμένοι: Όμιλοι δεν είναι διακεκριμένοι: 5 διαφορετικά γράμματα (π.χ. Α, Β, Γ, Δ, Ε) και 20 κενά _. #συμβ/ρών που αρχίζουν και τελειώνουν με γράμμα και έχουν ανάμεσα σε διαδοχικά γράμματα τουλάχιστον 3 κενά. Μεταθέσεις 5 γραμμάτων: 5! 12 κενά στις 4 διακεκριμένες «υποδοχές» ανάμεσα σε γράμματα. Συνδυαστική 16 Υπόλοιπα 8 κενά στις 4 «υποδοχές» με C( , 8) τρόπους. Τελικά: C(11, 8) 5! συμβ/ρές.

17 Παραδείγματα #συμβ/ρών μήκους 24 από 7 Α, 8 Β, 5 Γ, και 4 Δ όπου δεν εμφανίζεται το ΓΑ. #συμβ/ρών μήκους 19 από 7 Α, 8 Β, και 4 Δ: 19!/(7!8!4!) Δημιουργούνται 20 διακεκριμένες «υποδοχές» για τα 5 Γ. Εξαιρούνται οι 7 πριν από κάθε Α. Διανομή 5 Γ σε13 διακεκριμένες «υποδοχές»: C(17, 5). Τελικά: [19!/(7!8!4!)] [17!/(5!12!)]. Συνδυαστική 17

18 Εφαρμογή: Διακριτή Πιθανότητα Διακριτός δειγματοχώρος: αριθμήσιμο σύνολο Ω, όπου ω Ω, αντιστοιχούμε p(ω) [0, 1] και Γεγονός Ε: υποσύνολο Ω. p(e) = Πιθανότητα για 6άρες στο τάβλι: Συνδυαστική 18 1/36. Πιθανότητα για 6-5 στο τάβλι: 2/36. Πιθανότητα για ίδιο αποτέλεσμα στα 2 ζάρια: 6*1/36 = 1/6. Πιθανότητα τουλάχιστον 2 από k (τυχαία επιλεγμένους) ανθρώπους να έχουν γενέθλια την ίδια ημέρα;

19 Εφαρμογή: Διακριτή Πιθανότητα Ρίχνουμε 4 (ίδια / διακ.) ζάρια. Πιθανότητα κανένα να μην φέρει 6; (Ερώτ. 1.β, 1 η Εργ ) Αφού η πιθανότητα δεν σχετίζεται με «ταυτότητα» ζαριών, δεν παίζει ρόλο αν τα ζάρια είναι διακεκριμένα ήόχι. Τα θεωρούμε διακεκριμένα, ώστεόλαταενδεχόμεναισοπίθανα. Όλα τα ενδεχόμενα: 6 4 = Ενδεχόμενα χωρίς 6: 5 4 = 625. Ενδεχόμενα με τουλάχιστον ένα 6: = 671. Συνδυαστική 19

20 Εφαρμογή: Διακριτή Πιθανότητα Διαλέγουμε 6 φύλλα από μία (καλά ανακατεμένη) τράπουλα. Πιθανότητα να έχουμε 4 άσσους; Συνδυαστική 20 C(48, 2) / C(52, 6) Πιθανότητα να μην έχουμε κανένα ίδιο φύλλο; C(13, 6)*4 6 / C(52, 6) Πιθανότητα να έχουμε 4 ίδια φύλλα και δύο διαφορετικά; 13*C(12, 2)*4 2 / C(52, 6) Δείτε ακόμη ερ. 2.β, 1 η Εργασία