Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ

Transcript

1 Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (3η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 38

2 Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρτησία 6 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 2 / 38

3 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος αξιωματικός ορισμός πιθανότητας και απαρίθμηση πιθανότητα ένωσης γεγονότων τουλάχιστον 1 γεγονός ακριβώς k γεγονότα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 3 / 38

4 3ο Μάθημα Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής Ολοκληρώνουμε σήμερα τον υπολογισμό πιθανοτήτων με στοιχειώδη μέσα (επόμενο μάθημα: ισχυρές μαθηματικές αναπαραστάσεις π.χ. τυχαίες μεταβλητές) μελετώντας ορισμένες βασικές έννοιες: Δεσμευμένη Πιθανότητα Στοχαστική Ανεξαρτησία και ορισμένα χρήσιμα εργαλεία: τον πολλαπλασιαστικό νόμο το θεώρημα της ολικής πιθανότητας το θεώρημα του Bayes Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 4 / 38

5 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρτησία 6 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 5 / 38

6 Ορισμός Ορισμός Πείραμα τύχης: ΠΡΙΝ το πείραμα: δειγματοχώρος Ω για κάθε γεγονός Α, ξέρουμε την Ρ(Α) ΜΕΤΑ το πείραμα ΣΥΝΕΒΗ το γεγονός Β νέος δειγματοχώρος Ω είναι το Β η πιθανότητα του Α αλλάζει αφού πλέον A A B Συμβολισμός Ρ(Α Β) = πιθανότητα του Α δοθείσης της πραγματοποίησης του Β Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 6 / 38

7 Ενα απλό παράδειγμα Πείραμα: Ζάρι Α = { Αποτέλεσμα 1 } Β = { Περιττό αποτέλεσμα } P (A) = 1 6 P (A B) = { Ολες: {1,3,5} Ευνοϊκές: {1} P (A B) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 7 / 38

8 Ενα απλό παράδειγμα Πείραμα: Ζάρι Α = { Αποτέλεσμα 1 } Β = { Περιττό αποτέλεσμα } P (A) = 1 6 P (A B) = { Ολες: {1,3,5} Ευνοϊκές: {1} P (A B) = 1 3 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 7 / 38

9 Ενα πιο σύνθετο παράδειγμα 4 μπάλες τοποθετούνται διαδοχικά σε 4 κελιά Β: Οι πρώτες δύο σε διαφορετικά κελιά Α: Ενα κελί ακριβώς 3 μπάλες P (A B) =? Λύση: Ολες οι περιπτώσεις = N B = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 8 / 38

10 Ενα πιο σύνθετο παράδειγμα Λύση: 4 μπάλες τοποθετούνται διαδοχικά σε 4 κελιά Β: Οι πρώτες δύο σε διαφορετικά κελιά Α: Ενα κελί ακριβώς 3 μπάλες P (A B) =? Ολες οι περιπτώσεις = N B = Ευνοϊκές περιπτώσεις = N A B = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 8 / 38

11 Ενα πιο σύνθετο παράδειγμα Λύση: 4 μπάλες τοποθετούνται διαδοχικά σε 4 κελιά Β: Οι πρώτες δύο σε διαφορετικά κελιά Α: Ενα κελί ακριβώς 3 μπάλες P (A B) =? Ολες οι περιπτώσεις = N B = Ευνοϊκές περιπτώσεις = N A B = P (A B) = N A B N B = = 2 16 = 1 8 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 8 / 38

12 Ορισμός Ορισμός Εστω P (B) > 0 Η δεσμευμένη πιθανότητα είναι μια συνολοσυνάρτηση: P (A B) A P (A B) = P (B) N A B N N B Διαίσθηση: P (A B) = N A B P (A B) = = N B N P (B) του χώρου είναι ισοπίθανα και πεπερασμένα. αν τα σημεία Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 9 / 38

13 Βασική Παρατήρηση Λόγω της διαίρεσης με τον παράγοντα P (B), αντίστοιχα θεωρήματα για πιθανότητες εξακολουθούν να ισχύουν υποθέτοντας το ίδιο γεγονός Β π.χ. P (A 1 A 2 B) = P [(A 1 A 2 ) B] P (B) = P (A 1 B A 2 B) P (B) = = P (A 1 B) + P (A 2 B) P (A 1 A 2 B) P (B) = = P (A 1 B) + P (A 2 B) P (A 1 A 2 B) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 10 / 38

14 Ορισμένα χρήσιμα εργαλεία με βάση δεσμευμένες πιθανότητες β1) Ο πολλαπλασιαστικός νόμος P (A 2 A 1 ) = P (A 1 A 2 ) P (A 1 ) P (A 1 A 2 ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 ) Γενικεύοντας: P (A 1 A 2 A n ) = = P (A 1 ) P (A 2 A 1 ) P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A n 1 ) αρκεί P (A 1 A 2 A n ) > 0 Απόδειξη: 2ο μέλος = P (A 1 ) P (A 2 A 1 ) P (A 3 A 1 A 2 ) P (A 1 A n ) P (A 1 ) P (A 1 A 2 ) P (A 1 A n 1 ) = = 1ο μέλος Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 11 / 38

15 Ορισμένα χρήσιμα εργαλεία με βάση δεσμευμένες πιθανότητες β2) Το θεώρημα Ολικής Πιθανότητας Θεώρημα n A 1,, A n διαμέριση του Ω P (B) = P (A k )P (B A k ) k=1 Απόδειξη: n 2ο μέλος = P (B A k ) = k=1 P (B A 1 ) + + P (B A n ) = P [B (A 1 A n )] P [B Ω] = P (B) = 1ο μέλος Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 12 / 38

16 Εποπτική εξήγηση με διάγραμμα Venn Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 13 / 38

17 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρτησία 6 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 14 / 38

18 2. Θεώρημα Bayes Εστω ότι Α: αιτία Β: αποτέλεσμα Θεωρούμε γνωστή (ή μπορούμε να βρούμε) την Ρ(Β Α) Ζητάμε την Ρ(Α Β) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 15 / 38

19 Παράδειγμα Διαγνωστικά ιατρικά τεστ: Α: το άτομο έχει μια ασθένεια Β: το τεστ είναι θετικό Είναι λογικό να γνωρίζουμε (π.χ. με βάση στατιστικές μετρήσεις) την Ρ(Β Α) δηλαδή την πιθανότητα το τεστ να βγει θετικό δοθέντος του ότι το άτομο είναι ασθενές. Μας ενδιαφέρει η αντίστροφη δεσμευμένη πιθανότητα Ρ(Α Β) δηλαδή η πιθανότητα το άτομο να είναι ασθενές δοθέντος ότι το τεστ ήταν θετικό. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 16 / 38

20 Θεώρημα Bayes Θεώρημα A 1,, A n διαμέριση του Ω P (A k ) > 0, k P (A k B) = P (A k) P (B A k ) n P (B) > 0 i=1 P (A i) P (B A i ) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 17 / 38

21 Θεώρημα - Απόδειξη 2ο μέλος = P (A k) P (B A k ) n i=1 P (A i) P (B A i ) = P (B A k) = P (B) = P (A k B). Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 18 / 38

22 Παράδειγμα Τεστ θετικό 80% όταν υπάρχει ασθένεια 10% όταν δεν υπάρχει ασθένεια 1% του πληθυσμού έχει ασθένεια. Ρ(Ασθένεια τεστ θετικό) =? Λύση: Εστω Α έχει ασθένεια, A δεν έχει ασθένεια και Β τεστ θετικό. Τα Α, A είναι διαμέριση του Ω και θέλουμε την P (A B). Bayes P (A B) = P (A) P (B A) P (A) P (B A) + P (A) P (B A) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 19 / 38

23 Παράδειγμα Τεστ θετικό 80% όταν υπάρχει ασθένεια 10% όταν δεν υπάρχει ασθένεια 1% του πληθυσμού έχει ασθένεια. Ρ(Ασθένεια τεστ θετικό) =? Λύση: Εστω Α έχει ασθένεια, A δεν έχει ασθένεια και Β τεστ θετικό. Τα Α, A είναι διαμέριση του Ω και θέλουμε την P (A B). Bayes P (A B) = P (A) P (B A) P (A) P (B A) + P (A) P (B A) = = % Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 19 / 38

24 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρτησία 6 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 20 / 38

25 3. Στοχαστική Ανεξαρτησία Θα θέλαμε διαισθητικά P (A B) = P (A) (1) δηλαδή η πραγματοποίηση του Β να μην επηρεάζει το Α. (1) P (A B) P (B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B) Ορισμός: Α, Β στοχαστικά ανεξάρτητα P (A B) = P (A) P (B) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 21 / 38

26 Θεώρημα Θεώρημα: Α, Β ανεξάρτητα Α, B ανεξάρτητα Απόδειξη: Είναι A B A B = A (B B) = A Ω = A P (A B) + P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (A) P (B) = P (A) [1 P (B)] = P (A) P (B) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 22 / 38

27 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρτησία 6 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 23 / 38

28 4. Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρτησία Γενικεύοντας για 3 γεγονότα θα θέλαμε A 1, A 2, A 3 ανεξάρτητα P (A 1 A 2 A 3 ) = P (A 1 ) P (A 2 ) P (A 3 ) Ερώτημα: Η ανεξαρτησία ανά ζεύγη δηλαδή P (A 1 A 2 ) = P (A 1 ) P (A 2 ) P (A 2 A 3 ) = P (A 2 ) P (A 3 ) P (A 1 A 3 ) = P (A 1 ) P (A 3 ) συνεπάγεται τη σχέση P (A 1 A 2 A 3 ) = P (A 1 ) P (A 2 ) P (A 3 ) ; Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 24 / 38

29 4. Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρτησία Γενικεύοντας για 3 γεγονότα θα θέλαμε A 1, A 2, A 3 ανεξάρτητα P (A 1 A 2 A 3 ) = P (A 1 ) P (A 2 ) P (A 3 ) Ερώτημα: Η ανεξαρτησία ανά ζεύγη δηλαδή P (A 1 A 2 ) = P (A 1 ) P (A 2 ) P (A 2 A 3 ) = P (A 2 ) P (A 3 ) P (A 1 A 3 ) = P (A 1 ) P (A 3 ) συνεπάγεται τη σχέση P (A 1 A 2 A 3 ) = P (A 1 ) P (A 2 ) P (A 3 ) ; Απάντηση: Οχι γενικά (ωστόσο ισχύει σχεδόν πάντα). Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 24 / 38

30 Αντιπαράδειγμα Δημιουργώ χώρο με τις 6 διατάξεις των a,b, c και τα aaa, bbb, ccc (και θεωρώ τα 9 σημεία ισοπίθανα). A k = στη θέση k υπάρχει α για k = 1, 2, 3 P (A 1 ) = P (A 2 ) = P (A 3 ) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 25 / 38

31 Αντιπαράδειγμα Δημιουργώ χώρο με τις 6 διατάξεις των a,b, c και τα aaa, bbb, ccc (και θεωρώ τα 9 σημεία ισοπίθανα). A k = στη θέση k υπάρχει α για k = 1, 2, 3 P (A 1 ) = P (A 2 ) = P (A 3 ) = = 1 3 επίσης P (A 1 A 2 ) = P (A 1 A 3 ) = P (A 2 A 3 ) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 25 / 38

32 Αντιπαράδειγμα Δημιουργώ χώρο με τις 6 διατάξεις των a,b, c και τα aaa, bbb, ccc (και θεωρώ τα 9 σημεία ισοπίθανα). A k = στη θέση k υπάρχει α για k = 1, 2, 3 P (A 1 ) = P (A 2 ) = P (A 3 ) = = 1 3 επίσης P (A 1 A 2 ) = P (A 1 A 3 ) = P (A 2 A 3 ) = 1 9 = τα A 1, A 2, A 3 είναι ανεξάρτητα ανά ζεύγη Αλλά P (A 1 A 2 A 3 ) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 25 / 38

33 Αντιπαράδειγμα Δημιουργώ χώρο με τις 6 διατάξεις των a,b, c και τα aaa, bbb, ccc (και θεωρώ τα 9 σημεία ισοπίθανα). A k = στη θέση k υπάρχει α για k = 1, 2, 3 P (A 1 ) = P (A 2 ) = P (A 3 ) = = 1 3 επίσης P (A 1 A 2 ) = P (A 1 A 3 ) = P (A 2 A 3 ) = 1 9 = τα A 1, A 2, A 3 είναι ανεξάρτητα ανά ζεύγη Αλλά P (A 1 A 2 A 3 ) = 1 9 P (A 1) P (A 2 ) P (A 3 ) = 1 27 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 25 / 38

34 Ορισμός Πλήρους Στοχαστικής Ανεξαρτησίας Ορισμός A 1,, A n (n 2) πλήρως ανεξάρτητα } P (A i1 A i2...a ik ) = P (A i1 ) P (A ik ) για κάθε συνδυασμό {i 1, i k } των δεικτών {1, 2,, n} αν k = 2, 3,, n Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 26 / 38

35 Ορισμός Πλήρους Στοχαστικής Ανεξαρτησίας Παρατήρηση: Συνολικά πρέπει να ελεγχθούν ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n = 2 n = 2 n n n 0 1 δηλαδή εκθετικά πολλές συνθήκες Στην πράξη, στηριζόμαστε στη διαίσθηση και θεωρούμε γεγονότα που συμβαίνουν: σε διαφορετικούς χρόνους σε διαφορετικούς χώρους ως ανεξάρτητα, χωρίς να ελέγχουμε τις (εκθετικές στο πλήθος) σχέσεις. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 27 / 38

36 Παράδειγμα A 1,, A n ανεξάρτητα P (A k ) = P k } P r{κανένα γεγονός δε συμβαίνει } =? Λύση: { } P A k = k k P (A k ) = k (1 P k ) k e P k = e n k=1 P k Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 28 / 38

37 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρτησία 6 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 29 / 38

38 Άσκηση 1 (Δουλεύοντας με τον νέο, περιορισμένο δειγματοχώρο που δημιουργεί η δέσμευση ) Μοιράζουμε τυχαία τα 52 χαρτιά μιας τράπουλας σε 4 παίχτες (που καλούνται Β, Ν, Α, Δ). Αν οι Β και Ν έχουν συνολικά 8 σπαθιά, ποιά η πιθανότητα ο Α να έχει 3 σπαθιά; Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 38

39 Άσκηση 1 (Δουλεύοντας με τον νέο, περιορισμένο δειγματοχώρο που δημιουργεί η δέσμευση ) Μοιράζουμε τυχαία τα 52 χαρτιά μιας τράπουλας σε 4 παίχτες (που καλούνται Β, Ν, Α, Δ). Αν οι Β και Ν έχουν συνολικά 8 σπαθιά, ποιά η πιθανότητα ο Α να έχει 3 σπαθιά; Λύση: Αφού θεωρούμε δεδομένα τα χαρτιά των Β και Ν, απομένουν 26 χαρτιά που μοιράζονται στους Α και Δ με Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 38

40 Άσκηση 1 (Δουλεύοντας με τον νέο, περιορισμένο δειγματοχώρο που δημιουργεί η δέσμευση ) Μοιράζουμε τυχαία τα 52 χαρτιά μιας τράπουλας σε 4 παίχτες (που καλούνται Β, Ν, Α, Δ). Αν οι Β και Ν έχουν συνολικά 8 σπαθιά, ποιά η πιθανότητα ο Α να έχει 3 σπαθιά; Λύση: Αφού θεωρούμε δεδομένα τα χαρτιά των Β και Ν, απομένουν 26 χαρτιά που μοιράζονται στους Α και Δ με ( )( ) ( = 26 13) τρόπους συνολικά. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 38

41 Άσκηση 1 (Δουλεύοντας με τον νέο, περιορισμένο δειγματοχώρο που δημιουργεί η δέσμευση ) Μοιράζουμε τυχαία τα 52 χαρτιά μιας τράπουλας σε 4 παίχτες (που καλούνται Β, Ν, Α, Δ). Αν οι Β και Ν έχουν συνολικά 8 σπαθιά, ποιά η πιθανότητα ο Α να έχει 3 σπαθιά; Λύση: Αφού θεωρούμε δεδομένα τα χαρτιά των Β και Ν, απομένουν 26 χαρτιά που μοιράζονται στους Α και Δ με ( )( ) ( = 26 13) τρόπους συνολικά. Από αυτούς τους τρόπους ευνοϊκοί είναι Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 38

42 Άσκηση 1 (Δουλεύοντας με τον νέο, περιορισμένο δειγματοχώρο που δημιουργεί η δέσμευση ) Μοιράζουμε τυχαία τα 52 χαρτιά μιας τράπουλας σε 4 παίχτες (που καλούνται Β, Ν, Α, Δ). Αν οι Β και Ν έχουν συνολικά 8 σπαθιά, ποιά η πιθανότητα ο Α να έχει 3 σπαθιά; Λύση: Αφού θεωρούμε δεδομένα τα χαρτιά των Β και Ν, απομένουν 26 χαρτιά που μοιράζονται στους Α και Δ με ( )( ) ( = 26 13) τρόπους συνολικά. Από αυτούς τους τρόπους ευνοϊκοί είναι ( ) ( ) ( 10 13), δηλαδή ο Α διαλέγει 3 από τα εναπομένοντα 5 σπαθιά και τα υπόλοιπα 10 φύλλα του δεν είναι σπαθιά. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 38

43 Άσκηση 1 (Δουλεύοντας με τον νέο, περιορισμένο δειγματοχώρο που δημιουργεί η δέσμευση ) Μοιράζουμε τυχαία τα 52 χαρτιά μιας τράπουλας σε 4 παίχτες (που καλούνται Β, Ν, Α, Δ). Αν οι Β και Ν έχουν συνολικά 8 σπαθιά, ποιά η πιθανότητα ο Α να έχει 3 σπαθιά; Λύση: Αφού θεωρούμε δεδομένα τα χαρτιά των Β και Ν, απομένουν 26 χαρτιά που μοιράζονται στους Α και Δ με ( )( ) ( = 26 13) τρόπους συνολικά. Από αυτούς τους τρόπους ευνοϊκοί είναι ( ) ( ) ( 10 13), δηλαδή ο Α διαλέγει 3 από τα εναπομένοντα 5 σπαθιά και τα υπόλοιπα 10 φύλλα του δεν είναι σπαθιά. Άρα: P = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 38

44 Άσκηση 1 (Δουλεύοντας με τον νέο, περιορισμένο δειγματοχώρο που δημιουργεί η δέσμευση ) Μοιράζουμε τυχαία τα 52 χαρτιά μιας τράπουλας σε 4 παίχτες (που καλούνται Β, Ν, Α, Δ). Αν οι Β και Ν έχουν συνολικά 8 σπαθιά, ποιά η πιθανότητα ο Α να έχει 3 σπαθιά; Λύση: Αφού θεωρούμε δεδομένα τα χαρτιά των Β και Ν, απομένουν 26 χαρτιά που μοιράζονται στους Α και Δ με ( )( ) ( = 26 13) τρόπους συνολικά. Από αυτούς τους τρόπους ευνοϊκοί είναι ( ) ( ) ( 10 13), δηλαδή ο Α διαλέγει 3 από τα εναπομένοντα 5 σπαθιά και τα υπόλοιπα 10 φύλλα του δεν είναι σπαθιά. ( 5 21 ) Άρα: P = 3)( 10 ) ( Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 38

45 Άσκηση 2 (Χρήση της δεσμευμένης πιθανότητας για τον υπολογισμό πιθανοτήτων τομών από γεγονότα) Μοιράζουμε τυχαία τα 52 χαρτιά μιας τράπουλας σε 4 παίχτες. Ποιά η πιθανότητα κάθε παίχτης να πήρε ακριβώς 1 άσσο; Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 31 / 38

46 Άσκηση 2 (Χρήση της δεσμευμένης πιθανότητας για τον υπολογισμό πιθανοτήτων τομών από γεγονότα) Μοιράζουμε τυχαία τα 52 χαρτιά μιας τράπουλας σε 4 παίχτες. Ποιά η πιθανότητα κάθε παίχτης να πήρε ακριβώς 1 άσσο; Λύση: (Α τρόπος) Για i= 1,2,3,4 ορίζω τα E i ως εξής: E 1 : Ο άσσος σπαθί πάει σε κάποιον παίχτη. E 2 : Ο άσσος σπαθί καί ο άσσος κούπα πάνε σε διαφορετικούς παίχτες. E 3 : Ο άσσος σπαθί, ο άσσος κούπα, ο άσσος μπαστούνι πάνε σε διαφορετικούς παίχτες. E 4 : Ολοι οι 4 άσσοι πάνε σε διαφορετικούς παίχτες. Η ζητούμενη πιθανότητα P (E 1 E 2 E 3 E 4 ) είναι: P (E 1 E 2 E 3 E 4 ) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 31 / 38

47 Άσκηση 2 (Χρήση της δεσμευμένης πιθανότητας για τον υπολογισμό πιθανοτήτων τομών από γεγονότα) Μοιράζουμε τυχαία τα 52 χαρτιά μιας τράπουλας σε 4 παίχτες. Ποιά η πιθανότητα κάθε παίχτης να πήρε ακριβώς 1 άσσο; Λύση: (Α τρόπος) Για i= 1,2,3,4 ορίζω τα E i ως εξής: E 1 : Ο άσσος σπαθί πάει σε κάποιον παίχτη. E 2 : Ο άσσος σπαθί καί ο άσσος κούπα πάνε σε διαφορετικούς παίχτες. E 3 : Ο άσσος σπαθί, ο άσσος κούπα, ο άσσος μπαστούνι πάνε σε διαφορετικούς παίχτες. E 4 : Ολοι οι 4 άσσοι πάνε σε διαφορετικούς παίχτες. Η ζητούμενη πιθανότητα P (E 1 E 2 E 3 E 4 ) είναι: P (E 1 E 2 E 3 E 4 ) = P (E 1 )P (E 2 E 1 )P (E 3 E 1 E 2 )P (E 4 E 1 E 2 E 3 ) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 31 / 38

48 Άσκηση 2 - Α τρόπος (Συνέχεια) P (E 1 ) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 32 / 38

49 Άσκηση 2 - Α τρόπος (Συνέχεια) P (E 1 ) = 1 (Προφανής) P (E 2 E 1 ) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 32 / 38

50 Άσκηση 2 - Α τρόπος (Συνέχεια) P (E 1 ) = 1 (Προφανής) P (E 2 E 1 ) = 39 (Αφού ο άσσος κούπα μπορεί να πάρει 51 θέσεις 51 αλλά δεν πρέπει να πάρει κάποια από τις 13 θέσεις του παίχτη που πήρε τον άσσο σπαθί) Ομοίως P (E 3 E 1 E 2 ) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 32 / 38

51 Άσκηση 2 - Α τρόπος (Συνέχεια) P (E 1 ) = 1 (Προφανής) P (E 2 E 1 ) = 39 (Αφού ο άσσος κούπα μπορεί να πάρει 51 θέσεις 51 αλλά δεν πρέπει να πάρει κάποια από τις 13 θέσεις του παίχτη που πήρε τον άσσο σπαθί) Ομοίως P (E 3 E 1 E 2 ) = 26 και P (E 4 E 1 E 2 E 3 ) = 50 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 32 / 38

52 Άσκηση 2 - Α τρόπος (Συνέχεια) P (E 1 ) = 1 (Προφανής) P (E 2 E 1 ) = 39 (Αφού ο άσσος κούπα μπορεί να πάρει 51 θέσεις 51 αλλά δεν πρέπει να πάρει κάποια από τις 13 θέσεις του παίχτη που πήρε τον άσσο σπαθί) Ομοίως P (E 3 E 1 E 2 ) = Οπότε P (E 1 E 2 E 3 E 4 ) = και P (E 4 E 1 E 2 E 3 ) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 32 / 38

53 Άσκηση 2 - Α τρόπος (Συνέχεια) P (E 1 ) = 1 (Προφανής) P (E 2 E 1 ) = 39 (Αφού ο άσσος κούπα μπορεί να πάρει 51 θέσεις 51 αλλά δεν πρέπει να πάρει κάποια από τις 13 θέσεις του παίχτη που πήρε τον άσσο σπαθί) Ομοίως P (E 3 E 1 E 2 ) = 26 και P (E 4 E 1 E 2 E 3 ) = Οπότε P (E 1 E 2 E 3 E 4 ) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 32 / 38

54 Άσκηση 2 - Β τρόπος Λύση: (Β τρόπος) # όλων των τρόπων: Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 33 / 38

55 Άσκηση 2 - Β τρόπος Λύση: (Β τρόπος) # όλων των τρόπων: ( )( )( )( ) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 33 / 38

56 Άσκηση 2 - Β τρόπος Λύση: (Β τρόπος) # όλων των τρόπων: ( )( )( )( ) # ευνοικοί: Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 33 / 38

57 Άσκηση 2 - Β τρόπος Λύση: (Β τρόπος) ( )( )( )( ) # όλων των τρόπων: ( )( )( )( ) # ευνοικοί: 4! Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 33 / 38

58 Άσκηση 2 - Β τρόπος Λύση: (Β τρόπος) ( )( )( )( ) # όλων των τρόπων: ( )( )( )( ) # ευνοικοί: 4! Αφού πρώτα μοιράζουμε έναν άσσο σε κάθε παίχτη και στην συνέχεια τα υπόλοιπα 12 φύλλα κάθε παίχτη αλλά οι 4 άσσοι μπορούν να πάνε στους 4 παίχτες με 4! τρόπους. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 33 / 38

59 Άσκηση 2 - Β τρόπος Λύση: (Β τρόπος) ( )( )( )( ) # όλων των τρόπων: ( )( )( )( ) # ευνοικοί: 4! Αφού πρώτα μοιράζουμε έναν άσσο σε κάθε παίχτη και στην συνέχεια τα υπόλοιπα 12 φύλλα κάθε παίχτη αλλά οι 4 άσσοι μπορούν να πάνε στους 4 παίχτες με 4! τρόπους. Άρα: P = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 33 / 38

60 Άσκηση 2 - Β τρόπος Λύση: (Β τρόπος) ( )( )( )( ) # όλων των τρόπων: ( )( )( )( ) # ευνοικοί: 4! Αφού πρώτα μοιράζουμε έναν άσσο σε κάθε παίχτη και στην συνέχεια τα υπόλοιπα 12 φύλλα κάθε παίχτη αλλά οι 4 άσσοι μπορούν να πάνε στους 4 παίχτες με 4! τρόπους. Άρα: P = 4!( ( )( 36 )( )( 39 )( ) ) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 33 / 38

61 Άσκηση 3 Ποιά η πιθανότητα σε επαναλαμβανόμενες, ανεξάρτητες ρίψεις 2 ζαριών να έρθει άθροισμα 5 πριν από άθροισμα 7; Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 34 / 38

62 Άσκηση 3 Ποιά η πιθανότητα σε επαναλαμβανόμενες, ανεξάρτητες ρίψεις 2 ζαριών να έρθει άθροισμα 5 πριν από άθροισμα 7; Λύση: (Α τρόπος) (χρησιμοποιώντας στοχαστική ανεξαρτησία) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 34 / 38

63 Άσκηση 3 Ποιά η πιθανότητα σε επαναλαμβανόμενες, ανεξάρτητες ρίψεις 2 ζαριών να έρθει άθροισμα 5 πριν από άθροισμα 7; Λύση: (Α τρόπος) (χρησιμοποιώντας στοχαστική ανεξαρτησία) Εστω E i = {στις πρώτες i-1 ρίψεις ούτε 5 ούτε 7 5 στη ρίψη i} Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 34 / 38

64 Άσκηση 3 Ποιά η πιθανότητα σε επαναλαμβανόμενες, ανεξάρτητες ρίψεις 2 ζαριών να έρθει άθροισμα 5 πριν από άθροισμα 7; Λύση: (Α τρόπος) (χρησιμοποιώντας στοχαστική ανεξαρτησία) Εστω E i = {στις πρώτες i-1 ρίψεις ούτε 5 ούτε 7 5 στη ρίψη i} Θέλουμε το E = i=1 E i Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 34 / 38

65 Άσκηση 3 Ποιά η πιθανότητα σε επαναλαμβανόμενες, ανεξάρτητες ρίψεις 2 ζαριών να έρθει άθροισμα 5 πριν από άθροισμα 7; Λύση: (Α τρόπος) (χρησιμοποιώντας στοχαστική ανεξαρτησία) Εστω E i = {στις πρώτες i-1 ρίψεις ούτε 5 ούτε 7 5 στη ρίψη i} Θέλουμε το E = i=1 E i Είναι προφανώς P r{e} = P r{ E i } = i=1 P r{e i } i=1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 34 / 38

66 Άσκηση 3 Ποιά η πιθανότητα σε επαναλαμβανόμενες, ανεξάρτητες ρίψεις 2 ζαριών να έρθει άθροισμα 5 πριν από άθροισμα 7; Λύση: (Α τρόπος) (χρησιμοποιώντας στοχαστική ανεξαρτησία) Εστω E i = {στις πρώτες i-1 ρίψεις ούτε 5 ούτε 7 5 στη ρίψη i} Θέλουμε το E = i=1 E i Είναι προφανώς P r{e} = P r{ E i } = Αλλά P r{e i } = i=1 P r{e i } i=1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 34 / 38

67 Άσκηση 3 Ποιά η πιθανότητα σε επαναλαμβανόμενες, ανεξάρτητες ρίψεις 2 ζαριών να έρθει άθροισμα 5 πριν από άθροισμα 7; Λύση: (Α τρόπος) (χρησιμοποιώντας στοχαστική ανεξαρτησία) Εστω E i = {στις πρώτες i-1 ρίψεις ούτε 5 ούτε 7 5 στη ρίψη i} Θέλουμε το E = i=1 E i Είναι προφανώς P r{e} = P r{ E i } = i=1 P r{e i } ( ) 26 i 1 4 Αλλά P r{e i } = (Αφού άθροισμα 5 προκύπτει για 4 αποτελέσματα και άθροισμα 7 για 6 αποτελέσματα) i=1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 34 / 38

68 Άσκηση 3 Ποιά η πιθανότητα σε επαναλαμβανόμενες, ανεξάρτητες ρίψεις 2 ζαριών να έρθει άθροισμα 5 πριν από άθροισμα 7; Λύση: (Α τρόπος) (χρησιμοποιώντας στοχαστική ανεξαρτησία) Εστω E i = {στις πρώτες i-1 ρίψεις ούτε 5 ούτε 7 5 στη ρίψη i} Θέλουμε το E = i=1 E i Είναι προφανώς P r{e} = P r{ E i } = i=1 P r{e i } ( ) 26 i 1 4 Αλλά P r{e i } = (Αφού άθροισμα 5 προκύπτει για 4 αποτελέσματα και άθροισμα 7 για 6 αποτελέσματα) P r{e} = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 34 / 38 i=1

69 Άσκηση 3 Ποιά η πιθανότητα σε επαναλαμβανόμενες, ανεξάρτητες ρίψεις 2 ζαριών να έρθει άθροισμα 5 πριν από άθροισμα 7; Λύση: (Α τρόπος) (χρησιμοποιώντας στοχαστική ανεξαρτησία) Εστω E i = {στις πρώτες i-1 ρίψεις ούτε 5 ούτε 7 5 στη ρίψη i} Θέλουμε το E = i=1 E i Είναι προφανώς P r{e} = P r{ E i } = i=1 P r{e i } ( ) 26 i 1 4 Αλλά P r{e i } = (Αφού άθροισμα 5 προκύπτει για 4 αποτελέσματα και άθροισμα 7 για 6 αποτελέσματα) ( ) 1 13 i 1 P r{e} = = = 2 5 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής / 38 i=1

70 Άσκηση 3 - Β Τρόπος Λύση: (Β τρόπος) (με χρήση δεσμευμένης πιθανότητας) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 35 / 38

71 Άσκηση 3 - Β Τρόπος Λύση: (Β τρόπος) (με χρήση δεσμευμένης πιθανότητας) P r{e} = P r{πρώτο 5 στην ρίψη i όχι 7 μέχρι την ρίψη i} i=1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 35 / 38

72 Άσκηση 3 - Β Τρόπος Λύση: (Β τρόπος) (με χρήση δεσμευμένης πιθανότητας) P r{e} = P r{πρώτο 5 στην ρίψη i όχι 7 μέχρι την ρίψη i} i=1 Αλλά τα γεγονότα της τομής προφανώς δεν είναι ανεξάρτητα. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 35 / 38

73 Άσκηση 3 - Β Τρόπος Λύση: (Β τρόπος) (με χρήση δεσμευμένης πιθανότητας) P r{e} = P r{πρώτο 5 στην ρίψη i όχι 7 μέχρι την ρίψη i} i=1 Αλλά τα γεγονότα της τομής προφανώς δεν είναι ανεξάρτητα. Οπότε: P r{e} = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 35 / 38

74 Άσκηση 3 - Β Τρόπος Λύση: (Β τρόπος) (με χρήση δεσμευμένης πιθανότητας) P r{e} = P r{πρώτο 5 στην ρίψη i όχι 7 μέχρι την ρίψη i} i=1 Αλλά τα γεγονότα της τομής προφανώς δεν είναι ανεξάρτητα. Οπότε: P r{e} = P r{πρώτο 5 στην ρίψη i}p r{όχι 7 μέχρι i=1 την ρίψη i πρώτο 5 στην ρίψη i} = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 35 / 38

75 Άσκηση 3 - Β Τρόπος Λύση: (Β τρόπος) (με χρήση δεσμευμένης πιθανότητας) P r{e} = P r{πρώτο 5 στην ρίψη i όχι 7 μέχρι την ρίψη i} i=1 Αλλά τα γεγονότα της τομής προφανώς δεν είναι ανεξάρτητα. Οπότε: P r{e} = P r{πρώτο 5 στην ρίψη i}p r{όχι 7 μέχρι i=1 την ρίψη i πρώτο 5 στην ρίψη i} = i=1 ( ) 8 i (όπου τα 26 και 32 πολλαπλασιάζονται i 1 φορές) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 35 / 38

76 Άσκηση 3 - Β Τρόπος Λύση: (Β τρόπος) (με χρήση δεσμευμένης πιθανότητας) P r{e} = P r{πρώτο 5 στην ρίψη i όχι 7 μέχρι την ρίψη i} i=1 Αλλά τα γεγονότα της τομής προφανώς δεν είναι ανεξάρτητα. Οπότε: P r{e} = P r{πρώτο 5 στην ρίψη i}p r{όχι 7 μέχρι i=1 την ρίψη i πρώτο 5 στην ρίψη i} = i=1 ( ) 8 i (όπου τα 26 και 32 πολλαπλασιάζονται i 1 φορές) Αυτό ισχύει γιατί αφού υποθέτουμε ότι στις πρώτες i 1 φορές δεν έχουμε 5, ο νέος χώρος έχει 32 σημεία εκ των οποίων 26 οδηγούν σε άθροισμα που δεν είναι 7. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 35 / 38

77 Άσκηση 3 - Β Τρόπος Λύση: (Β τρόπος) (με χρήση δεσμευμένης πιθανότητας) P r{e} = P r{πρώτο 5 στην ρίψη i όχι 7 μέχρι την ρίψη i} i=1 Αλλά τα γεγονότα της τομής προφανώς δεν είναι ανεξάρτητα. Οπότε: P r{e} = P r{πρώτο 5 στην ρίψη i}p r{όχι 7 μέχρι i=1 την ρίψη i πρώτο 5 στην ρίψη i} = i=1 ( ) 8 i (όπου τα 26 και 32 πολλαπλασιάζονται i 1 φορές) Αυτό ισχύει γιατί αφού υποθέτουμε ότι στις πρώτες i 1 φορές δεν έχουμε 5, ο νέος χώρος έχει 32 σημεία εκ των οποίων 26 οδηγούν σε άθροισμα που δεν είναι 7. Άρα: Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 35 / 38

78 Άσκηση 3 - Β Τρόπος Λύση: (Β τρόπος) (με χρήση δεσμευμένης πιθανότητας) P r{e} = P r{πρώτο 5 στην ρίψη i όχι 7 μέχρι την ρίψη i} i=1 Αλλά τα γεγονότα της τομής προφανώς δεν είναι ανεξάρτητα. Οπότε: P r{e} = P r{πρώτο 5 στην ρίψη i}p r{όχι 7 μέχρι i=1 την ρίψη i πρώτο 5 στην ρίψη i} = i=1 ( ) 8 i (όπου τα 26 και 32 πολλαπλασιάζονται i 1 φορές) Αυτό ισχύει γιατί αφού υποθέτουμε ότι στις πρώτες i 1 φορές δεν έχουμε 5, ο νέος χώρος έχει 32 σημεία εκ των οποίων 26 οδηγούν σε άθροισμα που δεν είναι 7. Άρα: P r{e} = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 35 / 38

79 Άσκηση 3 - Β Τρόπος Λύση: (Β τρόπος) (με χρήση δεσμευμένης πιθανότητας) P r{e} = P r{πρώτο 5 στην ρίψη i όχι 7 μέχρι την ρίψη i} i=1 Αλλά τα γεγονότα της τομής προφανώς δεν είναι ανεξάρτητα. Οπότε: P r{e} = P r{πρώτο 5 στην ρίψη i}p r{όχι 7 μέχρι i=1 την ρίψη i πρώτο 5 στην ρίψη i} = i=1 ( ) 8 i (όπου τα 26 και 32 πολλαπλασιάζονται i 1 φορές) Αυτό ισχύει γιατί αφού υποθέτουμε ότι στις πρώτες i 1 φορές δεν έχουμε 5, ο νέος χώρος έχει 32 σημεία εκ των οποίων 26 οδηγούν σε άθροισμα που δεν είναι 7. Άρα: P r{e} = 1 ( ) i 1 32 i=1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 35 / 38

80 Άσκηση 3 - Β Τρόπος Λύση: (Β τρόπος) (με χρήση δεσμευμένης πιθανότητας) P r{e} = P r{πρώτο 5 στην ρίψη i όχι 7 μέχρι την ρίψη i} i=1 Αλλά τα γεγονότα της τομής προφανώς δεν είναι ανεξάρτητα. Οπότε: P r{e} = P r{πρώτο 5 στην ρίψη i}p r{όχι 7 μέχρι i=1 την ρίψη i πρώτο 5 στην ρίψη i} = i=1 ( ) 8 i (όπου τα 26 και 32 πολλαπλασιάζονται i 1 φορές) Αυτό ισχύει γιατί αφού υποθέτουμε ότι στις πρώτες i 1 φορές δεν έχουμε 5, ο νέος χώρος έχει 32 σημεία εκ των οποίων 26 οδηγούν σε άθροισμα που δεν είναι 7. Άρα: P r{e} = 1 9 ( ) i 1 = 1 9 i=1 i=1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 35 / 38 ( ) 13 i 1 =

81 Άσκηση 3 - Γ Τρόπος Λύση: (Γ τρόπος) (πάλι με δεσμευμένη πιθανότητα) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 36 / 38

82 Άσκηση 3 - Γ Τρόπος Λύση: (Γ τρόπος) (πάλι με δεσμευμένη πιθανότητα) Η υπόθεση γίνεται ως προς το αποτέλεσμα της 1ης ρίψης. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 36 / 38

83 Άσκηση 3 - Γ Τρόπος Λύση: (Γ τρόπος) (πάλι με δεσμευμένη πιθανότητα) Η υπόθεση γίνεται ως προς το αποτέλεσμα της 1ης ρίψης. Εστω: F: η 1η ρίψη είναι 5 G: η 1η ρίψη είναι 7 H: η 1η ρίψη δεν είναι ούτε 5 ούτε 7 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 36 / 38

84 Άσκηση 3 - Γ Τρόπος Λύση: (Γ τρόπος) (πάλι με δεσμευμένη πιθανότητα) Η υπόθεση γίνεται ως προς το αποτέλεσμα της 1ης ρίψης. Εστω: F: η 1η ρίψη είναι 5 G: η 1η ρίψη είναι 7 H: η 1η ρίψη δεν είναι ούτε 5 ούτε 7 Προφανώς F G H = Ω Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 36 / 38

85 Άσκηση 3 - Γ Τρόπος Λύση: (Γ τρόπος) (πάλι με δεσμευμένη πιθανότητα) Η υπόθεση γίνεται ως προς το αποτέλεσμα της 1ης ρίψης. Εστω: F: η 1η ρίψη είναι 5 G: η 1η ρίψη είναι 7 H: η 1η ρίψη δεν είναι ούτε 5 ούτε 7 Προφανώς F G H = Ω οπότε P r{e} = P r{ef EG EH} = = P r{f }P r{e F } + P r{g}p r{e G} + P r{h}p r{e H} Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 36 / 38

86 Άσκηση 3 - Γ Τρόπος Λύση: (Γ τρόπος) (πάλι με δεσμευμένη πιθανότητα) Η υπόθεση γίνεται ως προς το αποτέλεσμα της 1ης ρίψης. Εστω: F: η 1η ρίψη είναι 5 G: η 1η ρίψη είναι 7 H: η 1η ρίψη δεν είναι ούτε 5 ούτε 7 Προφανώς F G H = Ω οπότε P r{e} = P r{ef EG EH} = = P r{f }P r{e F } + P r{g}p r{e G} + P r{h}p r{e H} όπου P r{f } = 4 36, P r{g} = 6 36, P r{h} = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 36 / 38

87 Άσκηση 3 - Γ Τρόπος Λύση: (Γ τρόπος) (πάλι με δεσμευμένη πιθανότητα) Η υπόθεση γίνεται ως προς το αποτέλεσμα της 1ης ρίψης. Εστω: F: η 1η ρίψη είναι 5 G: η 1η ρίψη είναι 7 H: η 1η ρίψη δεν είναι ούτε 5 ούτε 7 Προφανώς F G H = Ω οπότε P r{e} = P r{ef EG EH} = = P r{f }P r{e F } + P r{g}p r{e G} + P r{h}p r{e H} όπου P r{f } = 4 36, P r{g} = 6 26, P r{h} = προφανώς P r{e F } = 1 και P r{e G} = 0 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 36 / 38

88 Άσκηση 3 - Γ Τρόπος (Συνέχεια) Αλλά P r{e H} = P r{e} Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 37 / 38

89 Άσκηση 3 - Γ Τρόπος (Συνέχεια) Αλλά P r{e H} = P r{e} Επειδή αν στην 1η ρίψη δεν έρθει ούτε 5 ούτε 7, τότε η κατάσταση είναι ακριβώς όπως στην αρχή. (δηλαδή και τώρα πρέπει το 5 να έρθει πριν από το 7 στις επόμενες ρίψεις, και λόγω της ανεξαρτησίας η 1η ρίψη δεν επηρεάζει τις υπόλοιπες). Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 37 / 38

90 Άσκηση 3 - Γ Τρόπος (Συνέχεια) Αλλά P r{e H} = P r{e} Επειδή αν στην 1η ρίψη δεν έρθει ούτε 5 ούτε 7, τότε η κατάσταση είναι ακριβώς όπως στην αρχή. (δηλαδή και τώρα πρέπει το 5 να έρθει πριν από το 7 στις επόμενες ρίψεις, και λόγω της ανεξαρτησίας η 1η ρίψη δεν επηρεάζει τις υπόλοιπες). Με απλές πράξεις προκύπτει ότι P r{e} = 2 5 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 37 / 38

91 Άσκηση 3 - Διαισθητική εξήγηση Λύση: (Διαισθητική εξήγηση) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 38 / 38

92 Άσκηση 3 - Διαισθητική εξήγηση Λύση: (Διαισθητική εξήγηση) Επειδή P r{άθροισμα 5} = 4 36 και P r{άθροισμα 7} = 6 36 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 38 / 38

93 Άσκηση 3 - Διαισθητική εξήγηση Λύση: (Διαισθητική εξήγηση) Επειδή P r{άθροισμα 5} = 4 36 και P r{άθροισμα 7} = 6 36 Οι πιθανότητες (odds) είναι ουσιαστικά 6 προς 4 εναντίον του αθροίσματος 5. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 38 / 38

94 Άσκηση 3 - Διαισθητική εξήγηση Λύση: (Διαισθητική εξήγηση) Επειδή P r{άθροισμα 5} = 4 36 και P r{άθροισμα 7} = 6 36 Οι πιθανότητες (odds) είναι ουσιαστικά 6 προς 4 εναντίον του αθροίσματος 5. Άρα P r{άθροισμα 5 πριν από 7} = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 38 / 38

95 Άσκηση 3 - Διαισθητική εξήγηση Λύση: (Διαισθητική εξήγηση) Επειδή P r{άθροισμα 5} = 4 36 και P r{άθροισμα 7} = 6 36 Οι πιθανότητες (odds) είναι ουσιαστικά 6 προς 4 εναντίον του αθροίσματος 5. Άρα P r{άθροισμα 5 πριν από 7} = 4 10 = 2 5 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 38 / 38