|
|
- Βίων Ζάχος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Σημειώσεις Διαφορικές Εξισώσεις ο εξάμηνο, 6
2 Περιεχόμενα I Σεβαστιάδης 3 Διαφορική εξίσωση ης τάξης 3. Χωριζόμενες διαφορικές εξισώσεις Ομοιογενείς Ακριβείς Overview Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (ΣΔΕ - Ordinary Differential Equations) ης τάξης ΔΕ ΔΕ ης τάξης Θεωρία των Λύσεων ΓΡ/ΔΕ/ ης Bernoulli ΟΜ/ΓΡ/ΔΕ/,n ης /ΣΣ ης τάξης n ης τάξης ΓΛ ΜΟ/ΔΕ ΓΡ/ΔΕ/ΜΣ: Μέθοδος μεταβολής των παραμέτρων Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων 4 6 Επίλυση ΓΡ ΔΕ με γενικευμένες/ασυνεχείς συναρτήσεις ως πηγές Συνάρτηση δέλτα - Dirac Συνάρτηση κρουστικής απόκρισης II Κεχαγιάς: Ολοκληρωτικοί μετασχηματισμοί 5 7 Κεφάλαιο 7: Εισαγωγή στην ανάλυση του Fourier V(t) = V V(t) = V sin(nt) V(t) = square(t) Σειρές Fourier Συνθήκες του Dirichlet Παράδειγμα Κεφάλαιο 9: Μετασχηματισμός Fourier 63 Κεφαλαιο : Μετασχηματισμος aplace Κεφάλαιο : Γενικευμένες Συναρτήσεις 8 ΔΕ κ aplace 83
3 3 Μη γραμμικές ΔΕ
4 Μέρος I Σεβαστιάδης Χρήστος Σεβαστιάδης Ορισμός: Διαφορική εξίσωση Μια εξίσωση που αποτελείται από μια συνάρτηση και τις παραγώγους της angrange s x, x, x, x (4),... Newton s ẋ, ẍ,... x eibniz, d x, d3 x 3 π.χ. Ορισμός.: Τάξη x(t) d x(t) + (t) = x(t) sin(t) Τάξη ονομάζεται ο μεγαλύτερος βαθμός παραγώγου που εμφανίζεται στην εξίσωση Ορισμός.: Βαθμός Βαθμός ονομάζεται η μεγαλύτερη δύναμη παραγώγου που εμφανίζεται στην εξίσωση Κεφάλαιο Διαφορική εξίσωση ης τάξης Ορισμός = f (t, x). Χωριζόμενες διαφορικές εξισώσεις Τυπική μορφή: f (t, x) = M(t, x) N(t, x) = N(t, x) + M(t, x) = } {{ }} {{ } N(x) M(t) Αν δηλαδή τα N(t, x), M(t, x) εξαρτώνται μόνο από τα x και t αντίστοιχα, η εξίσωση ονομάζεται χωριζόμενη, και το αποτέλεσμά της μπορεί να βρεθεί με ολοκληρώματα: N(x) + M(t) = c 3
5 Άσκηση:. x t = N(x) = x, M(t) = t x + ( t ) = c x 3 t3 = c x = ± 3 t3 + c x = ± 3 t3 + κ με κ = c Άσκηση:. x = x t 3 = x t 3 x t3 = x + ( t 3 ) = c x t4 4 = c x = c + t4 4 4 = 4c + t4 x x = 4 t 4 + κ, με κ = 4c Άσκηση:.3 x = t + x 4 + = t + x 4 + (x 4 + ) + ( t ) = (x 4 + ) + ( t ) = c x5 5 + x t t = c Παρατηρούμε ότι, χωρίς αρχική συνθήκη, βρίσκουμε γενικές λύσεις ως αποτέλεσμα. Με τη χρήση μιας αρχικής συνθήκης, μπορούμε να βρούμε και την ειδική λύση της εξίσωσης. 4
6 Άσκηση:.4 e t x = ; x() = αρχική συνθήκη x + ( e t ) = c x et = c x = e t + c x = e t + κ, με κ = c Ομως x() =, άρα: x = e t + κ x() = x() = e + κ κ = Επομένως τελικά: x = e t x = ± e t x = e t Η αρχική συνθήκη πράγματι επαληθεύει το αποτέλεσμα x. Πρέπει όμως και x R, e t. Από τη διαφορική εξίσωση έχουμε x = et x, άρα πρέπει et > t > ln. x t N(x) + M(t) =, x(t ) = x x t Άσκηση:.5 x cos x + ( 6t 5 ) = ; t(π) = x = π, t = x π t x cos x + ( 6t 5 ) = x sin x x π + cos x x π + (t t 6 ) t = x sin x + cos x + + t t 6 x sin x + cos x + = t t 6. Ομοιογενείς Ορισμός. f (t, x) = M(t, x) N(t, x) Αν a R : f (at, ax) = f (t, x), λέμε ότι η εξίσωση είναι ομοιογενής. 5
7 Θεώρημα Αν μια εξίσωση είναι ομοιογενής, μπορούμε να την λύσουμε μειώνοντάς/μετατρέποντάς την σε χωριζόμενη, εφαρμόζοντας το μαθηματικό κόλπο που ονομάζεται αντικατάσταση μεταβλητής, δηλαδή, όπου u συνάρτηση: x = ut = du t + u Άσκηση:.6 x = x + t t = x+t t, μη χωριζόμενη. f (t, x) =, ax + at f (at, ax) = = x + t at t ομοιογενής Θέτω x = ut, = du t + u, άρα η διαφορική εξίσωση γίνεται: du t + u = ut + t t du t + u = u + t du = du = χωριζόμενη t t + ( ) du = c ln t u = c u = ln t c με c = ln κ u = ln κt x t = ln κt x = t ln κt 6
8 Άσκηση:.7 x = x4 + t 4 tx 3 = x4 +t 4 tx 3 Θέτω x = ut,, μη χωριζόμενη. f (t, x) =, f (at, ax) = (ax)4 + (at) 4 = a4 x 4 + a 4 t 4 = x4 + t 4 (at)(ax) 3 a 4 tx 3 tx 3 = du t + u, άρα η διαφορική εξίσωση γίνεται: du t + u = (ut)4 + t 4 t(ut) 3 du t + u = u4 t 4 + t 4 u 3 t 4 du t + u = u4 + u 3 du t = u4 + u = u4 + u 3 u 3 u 4 + du = χωριζόμενη t u 3 u 4 + du + = c t u3 4 ln(u4 + ) ln t = c u 4 + = (κt) 4 με c = ln x x = ut u = x ( x ) 4 + = (κt) 4 t t x4 t 4 + = κ4 t 4 x 4 = c t 8 t 4 με c = κ 4 ομοιογενής 7
9 Άσκηση:.8 x = t + x ; x() = tx = t +x tx Θέτω x = ut,, μη χωριζόμενη. f (t, x) =, f (at, ax) = (at) + (ax) (at)(ax) = du = a t + a x a tx t + u, άρα η διαφορική εξίσωση γίνεται: du t + u = t + (ut) t(ut) du t + u = t + t u t u du t + u = + u u du t = + u u u = u u du = χωριζόμενη t u du + = c t u ln t = c u = ln t + c u = ln t + κ με κ = c = t + x tx ομοιογενής x = ut u = x t x = t ln t + κt x t = ln t + κ Επειδή x() =, έχουμε: ( ) = ln + κ 4 = + κ κ = 4 Επομένως τελικά: x = t ln t + 4t x = t ln t + 4t.3 Ακριβείς Ορισμός Οταν: M(t, x) x = N(t, x) t τότε η εξίσωση λέγεται ακριβής ή πλήρης. Υπάρχει df(t, x) = N(t, x) + M(t, x) με Γενική Λύση F(t, x) = c. 8
10 Άσκηση:.6 (t + sin x) + (t cos x x) = (t + sin x) + (t cos x x) = } {{ }} {{ } M(t,x) N(t,x) Δοκιμή: M(t, x) = t + sin x N(t, x) = t cos x x M(t, x) x = cos x = N(t, x) t = cos x Άρα η ΔΕ είναι ακριβής, επομένως υπάρχει F(t, x) τέτοια ώστε: df = N(t, x) + M(t, x) df = F F + x t ολικό διαφορικό της F F(t,x) ολοκλήρωση ως προς t = N(t, x), t = M(t, x) =============== F(t, x) F(t, x) = (t + sin x) t F(t,x) x F(t, x) = t + t sin x + ολοκληρωτική σταθερά {}}{ h(x) Εχουμε: F(t,x) x = t cos x + h (x) t cos x x = t cos x + h (x) h (x) = x h (x) = ( x) h(x) = x + c Επομένως: F(t, x) = t + t sin x x + c = c c =c c ==== t + t sin x x = c Γενική λύση 9
11 Άσκηση:.7 = + xetx x te tx Δοκιμή: = + xetx x te tx M(t, x) x διαφορική μορφή =========== ( + xe tx ) + (te tx x) = M(t,x)=+xe tx N(t,x)=te tx x = e tx + xte tx = N(t, x) t = xte tx + e tx συνεπώς είναι ακριβής, οπότε υπάρχει F(t, x), με df = M(t, x) + N(t, x), με λύση F(t, x) = c. Άρα: Ολικό διαφορικό df = F F + x t F(t,x) x = N(t, x), F(t,x) t ολοκλήρωση ως προς t tx = M(t, x) = + xe =============== F(t,x) t = ( + xe tx ) F(t, x) = t + e tx + h(x) Άρα τελικά: Παραγώγιση ως προς x F(t,x) x = te tx + h (x) te tx + h (x) = te tx x h (x) = x h(x) = ( x) h(x) = x + c F(t, x) = t + e tx x + c t + e tx x + c = c t + e tx x = c, c = c c
12 Άσκηση:.9 ( x t x 3) + ( 4x 3 6x t + xt ) = ( x t x 3) + } {{ } M(t,x)=x t x 3 ( 4x 3 6x t + xt ) = } {{ } N(t,x)=4x 3 6x t+xt M(t,x) x = 4xt 6x = N(t,x) t = 6x + 4xt, ΔΕ ακριβής, οπότε υπάρχει F(t, x) με df(t, x) = M(t, x) + N(t, x) με λύση F(t, x) = c. df(t, x) = F(t, x) t + F(t, x) x F(t,x) x = N(t, x), F(t,x) t = M(t, x) = x t x 3 F(t,x) t = (x t x 3 ) F(t, x) = x t x 3 t + h(x) F(t,x) x = xt 6x t + h (x) xt 6x t + h (x) = 4x 3 6x t + x + h (x) = 4x 3 ολοκλ. === h(x) = x 4 + c Άρα: x t 3 t + x 4 + c = c x t x 3 t + x 4 = c c (x xt) = c c = c c F(t, x) = x t x 3 t + x 4 + c c 3 =± c ===== x xt = c 3 x = t ± t + 4c 3, c 3 = ± c ax +bx+c= ======= b± b 4ac a
13 Άσκηση:. tx + ( + t ) = ; x() = 5 tx }{{} M(t,x) + ( + t ) = ; } {{ } N(t,x) x() = 5 F(t, x), με df(t, x) = F F x + t. df(t, x) = N(t, x) + M(t, x) M(t, x) = tx, N(t, x) = + t () F(t, x) x = N(t, x) () F(t,x) t = M(t, x) = tx F(t,x) t = (tx) F(t, x) = t x + h(x) (3) F(t,x) x = t + h (x) (), () t + h (x) = + t h (x) = h(x) = x + c F(t, x) = t x t (3) + x + c (4) t x + x = c (c = c c ) x = c t + (x() = 5)5 = c + x = 5 t + F(t, x) = t x + x + c (4).4 Overview.4. Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (ΣΔΕ - Ordinary Differential Equations) Ορισμός. Εμπλέκουν: μία ανεξάρτητη μεταβλητή (π.χ. t, x) μια εξαρτημένη και τις παραγώγους της (π.χ. i, y, u) F(t, x, x,..., x (n) ) = Μη συνήθεις είναι οι Μερικές Διαφορικές Εξισσώεις (Partial Differential Equations - PDE) που ε- μπλέκουν: πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές (π.χ. x, y, z) μία εξαρτημένη μεταβλητή και τις μερικές παραγώγους της
14 .4. ης τάξης ΔΕ Ορισμός.3 όταν x = = f (t, x) Ορισμός.4: Τυπικής μορφής f (t, x) = M(t, x) N(t, x) Διαφορική μορφή N(t, x) + M(t, x) = Ορισμός.5: Χωριζόμενη όταν N(t, x) M(t, x) = N(x) = M(t) τότε N(x) + M(t) = με λύση N(x) + M(t) = c ή x t N(x) + M(t) d= x t Ορισμός.6: Ομογενής - Ομοιογενής όταν a R τότε ϑέτω x = ut, άρα = du t + u F(at, ax) = f (t, x) Κεφάλαιο. ΔΕ ης τάξης ΤΜ (Τυπική μορφή): x = = f (t, x) ΔΜ (Διαφορική μορφή): N(t, x) + M(t, x) = Ακριβής: M(t,x) x = N(t,x) t df(t, x) df(t, x) = N(t, x) + M(t, x) F(t, x) = c G(t, x) (N(t, x) + M(t, x) ) = } {{ } Μπορεί να υπάρχει τέτοια συνάρτηση 3
15 Άσκηση:.3 Ολοκληρωτικός παράγοντας, επίλυση μέσω ελέγχου M(t,x) x =, x t = M(t, x) = x, N(t, x) = t dn(t,x) = δεν είναι ακριβής. υποφήφιος { }} { G(t, x) = t x (x t ) = t t + t t = M(t, x) = x t m N(t, x) = t ακριβής M(t,x) x = {}}{ t = N(t,x) t = t ( Αν M N x ) N t g(t) G = e g(t). Με διαφορά μερικών παραγώγων: Αν N ( M x ) N t = h(x) G = e g(t) Άσκηση:.5 x + tx =, M(t, x) = x, N(t, x) = tx M(t,x) x M = x N(t,x) t = x όχι ακριβής ) = x (x x) = x = h(x) ( M x N t G(t, x) = e h(x) = e x = e ln x = x x (x + tx ) = x + t = M x = = N t = ακριβής Μορφή των όρων N,M αν M = x f (tx) και N = tg(tx), τότε: G(t, x) = tm xn 4
16 Άσκηση:.6 x = tx x t = tx x t M(t, x) = x ( tx) M(t,x) x αλλά:m = x f (t) και N = tg(tx). Επομένως: Είναι: G(t, x) = και συνεχίζω με τη μέθοδο της ακριβούς. t (tx x) = x( tx) ) + t = = tx N(t,x) t = όχι ακριβής tm xn = tx( tx) xt = t x = (tx) (tx) ( x( tx) + t ) = tx t x tx = Κεφάλαιο 3 Θεωρία των Λύσεων Μορφή ΔΕ n ης τάξης: b n (t) x (n) + b n (t) x (n ) + + b (t)x + b (t)x + b (t)x = g(t) όπου: g(t), b j (t) ( j =,,..., n) εξαρτώνται αποκλειστικά από το t. Αν g(t), τότε η ΔΕ είναι ομογενής (ΟΜ - homogenous). Αν g(t), τότε η ΔΕ είναι μη ομογενής (ΜΟ - non-homogenous). Οταν όλοι οι συντελεστές b j (t) είναι σταθερές, τότε ΔΕΣΣ (σταθερών συντελεστών). Οταν ένας τουλάχιστον b j (t) δεν είναι σταθερά, ΔΕΜΣ (μεταβλητών συντελεστών). Θεώρημα 3. ΔΕ n τάξης με n ΑΣ (αρχικές συνθήκες): x(t ) = c, x (t ) = c, x (t ) = c,..., x (n ) (t ) = c n ΔΕ b n (t)x (n) + b n (t)x (n ) + + b (t)x + b (t)x + b o (t)x = g(t) Αν g(t) και b i συνεχείς σε διάστημα φ που περιλαμβάνει το t πρόβλημα εχει μία μοναδική λύση (ορισμένη στο φ). και b n (t) στο φ, τότε το Διαιρώ με b n (t) και έχω: x (n) + a n (t) x (n ) + + a (t)x + a (t)x + a (t)x = φ(t) a j (t) = b j(t) b n (t) φ(t) = g(t) b n (t) ( j =,,..., n ) 5
17 Διαφορικός τελεστής (x) (x) x (n) + a n (t)x (n ) + + a (t) x + a (t) x + a (t) x (x) = φ(t) ΜΟ ΓΡ ΔΕ n ης τάξης (x) = ΟΜ Ορισμός 3. Το σύνολο { x (t), x (t),..., x n (t) } είναι ΓΕ (γραμμικά εξαρτημένο) για ένα διάστημα ότανν υπάρχουν συντελεστές όχι όλοι μηδενικοί τέτοιοι ώστε: c x (t) + c x (t) + + c n x n (t) Θεώρημα 3. Εστω η ομογενής n-οστής τάξης γραμμική διαφορική εξίσωση (x) =. Αν x (t), x (t),..., x n (t) είναι λύσεις, τότε και ο γραμμικός τους συνδυασμός είναι γενική λύση της ομογενούς: x(t) = c x (t) + c x (t) + + c n x n (t) ΓΛ (Γενική Λύση) Θεώρημα 3.3: Βροσκιανή Ορίζουσα W(x, x,..., x n ) W έστω σε ένα σημείο ΓΑ (Γραμμικά Ανεξάρτητες) W και κάθε συνάρτηση είναι λύση της ίδιας ΔΕ ΓΕ (Γραμμικά Εξαρτημένες) Θεώρημα 3.4 Ομογενής ΔΕ {}}{ (x) = φ(t) x n (t) ΓΛ της ΟΜ (Ομογενούς) Εστω x p (t) ΕΛ της ΜΟ (Μη ομογενούς). Τότε είναι ΓΛ ΜΟ (Γενική Λύση Μη Ομογενούς) η: x(t) = x n (t) + x p (t) 6
18 Άσκηση: 3. { t, + t, 3t} t + t 3t W( t, + t, 3t) = d( t) d(+t) d( 3t) d ( t) d (+t) d ( 3t) t + t 3t = 3 = (β) c ( t) + c ( + t) + c 3 ( 3t) = (c + c 3c 3 ) t + (c } {{ } + c + c 3 ) } {{ } c = c 3 c c + c 3c 3 = c + c + c 3 = c = c 3 αυθαίρετη σταθερά c 3 c 3 = c = c = ΓΕ Άσκηση: 3.3 Βρείτε την Βροσκιανή: { t, t, t 3} t t t 3 W(t, t, t 3 ) = d(t) d(t ) d(t 3 ) d (t) d (t ) d (t 3 ) t t t 3 = t 3t = t 3 6t (, ), t = 3, W = 54 ΓΑ, ϑαυμάσια! 7
19 Άσκηση: 3.4 { t 3, } t 3 [, ] d t 3 = c t 3 + c t 3 t 3 = t 3, t / t 3 = t 3, t c t 3 + c t 3 t c t 3 c t 3 t < c = c = ΓΑ για t > : W ( t 3, t 3 ) = t 3 t 3 3t αν t > 3t 3t αν t = για t = : W ( t 3, t 3 ) = 3t αν t < για t < : W ( t 3, t 3 ) = t 3 t 3 3t 3t Άσκηση: 3.5 x x + x = e t, te t Λύσεις Ο γραμμικός συνδυασμός X = c e t + c te t είναι λύση της εξίσωσης; W(e t, te t ) = et e t te t e t + te t = et Άρα οι εξισώσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες, άρα, επειδή είναι λύσεις της διαφορικής, ο γραμμικός συνδυασμός τους είναι γενική λύση. Μη ομογενής: x x + x = e 3t Ειδική λύση: 4 e3t x p = 4 e3t Γενική λύση μη ομογενούς: x(t) = x }{{} h (t) + x }{{} p (t) }{{} ΜΟ ΟΜ ΜΟ Άρα: x(t) = c e t + c te t + 4 e3t Κεφάλαιο 4 4. ΓΡ/ΔΕ/ ης + p(t)x = q(t) ή f (t, x) = q(t) p(t)x }{{} f (t,x)= Τότε ΟΠ (Ολοκληρωτικός Παράγοντας) G(t) = e p(t). Πολλαπλασιάζοντας με τον ολοκληρωτικό 8
20 παράγωντα παίρνουμε: ή G(t) που είναι μια ακριβής διαφορική εξίσωση. Λύση: + G(t)p(t)x = G(t)q(t) d(gt) x(t) = e ( p(t) = Gq(t) ) p(t) e q(t) + c Αν τα p(t) = a και q(t) = b είναι σταθερά: 4.. Bernoulli + ax = b, x(t) = e at Αντικατάσταση μεταβλητών: u = x n x, x Άσκηση: 4. ( ) b a eat + c = b a + ce at + p(t)x = q(t)xn, με n, ΓΡ/ΔΕ/ ης x 3x = 6 + ax = b a = 3, b = 6 x(t) = b a + ce at = ce3t x(t) = ce 3t Άσκηση: 4. ΓΡ/ΔΕ/ ης tx = t d + p(t)x = q(t) p(t) q(t) = t = t ΟΠ G(t) = p(t) e = e ( t) ( t) = t άρα G(t) = e t ( e t te t x = te t d xe t) = te t ( d xe t) = te t xe t = e t + c x = ce t 9
21 Άσκηση: 4.3 x + ( ) 4 x = t 4 t x + p(t)x = t 4 p(t) = 4, q(t) = t4 t G(t) = p(t) 4t e = e = e 4 ln t = e ln t4 = t 4 ) x = t 4 t 4 t 4 ( 4 + t 4 t ( d t 4 x ) = ( t 4 x ) = t 8 t 8 t 4 x = 9 t9 + c x = 9 t5 + c t 4 Άσκηση: 4.4 x + x = sin t x(π) = + p(t)x = q(t) p(t) =, q(t) = sin t G(t) = p(t) e = e = e t e ( t x + x ) = e t sin t ( e t x ) = e t sin t d e t x = et ( ) sin t cos t + c x(t) = ce t + sin t cos t = ce π + sin π cos π c = eπ ΕΛ x(t) = eπ e t + sin t cos t x(t) = ( e π t + sin t cos t )
22 Άσκηση: 4.6 dz xz = x; z() = 4 p(x) = x, q(x) = x G(x) = e p(x) = e ( x) = e x ( dz e x xz) = e x ( x) ) d (e x z = e x z ) ) d (e x z = (e x x e x z = e x + c z = ce x + ΓΛ 4 = ce + c = 5 z(x) = 5e x + ΕΛ Άσκηση: 4.7 z x z = 3 x4 p(x) = x ( ) G(x) = e x = e ln x ln x = e G(x) = x x (z x z) = 3 x4 x z(x) = cx + g x 5
23 Άσκηση: 4. y + xy = xy Bernoulli u = y n = y = y u = y y = u και y = u du = u u u du + x u = x ( u) u xu = x G(x) = ( x) e = e x, e x u e x xu = e x x ( ) ue x = xe x d ( ) ( d ue x = xe x ) ue x + c u = ce x + ΓΛ y = ce x + y(x) = ce x +
24 Άσκηση: 4. y 3 x y = x4 y 3 Άρα η διαφορική εξίσωση γίνεται n = 3, u = y n = y 3 = y 3 y = u 3 y = 3 u u 3 u u 3 ( ) x u 3 = x 4 u u u 3 x u = x 4 u 3 u 3 x u = x4 u x u = 3 x4 x du + p(t)u = q(t) ( ) G(x) = e x = e ln x = ( ) ( ) ( x u + ) u = x x 3 x4 d (x u) = d x ολοκλ. === (x u) = 3 x 3 x x u = 9 x3 + c u(x) = cx + 9 x5 y 3 = cx + 9 x5 y = ± (cx + 9 ) 3 x5 4. ΟΜ/ΓΡ/ΔΕ/,n ης /ΣΣ Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις ης και n ης τάξης με Σταθερούς Συντελεστές 4.. ης τάξης Χαρακτηριστική εξίσωση ΧΕ d x + a + a x = λ + a λ + a = παραγοντοποιείται ============ (λ λ ) (λ λ ) = () λ λ ΓΛ x(t) = c e λ t + c e λ t 3
25 () λ = a + ib και λ = a ib ΓΛ x(t) = c e (a+ib)t + c e (a ib)t x(t) = κ e at cos bt + κ e at sin bt κ = c + c λύσεις στο R κ = i(c c ) k, k R c, c συζυγείς (3) λ = λ διπλή ΓΛ x(t) = c e λ t + c te λ t 4.. n ης τάξης d n x n + a d n x n + + a n + a x = Χαρακτηριστική εξίσωση λ n + a n λ n + + a λ + a = με λύσεις λ, λ,..., λ n () Λύσεις R διακριτές x(t) = c e λ t + c e λ t + + c n e λ nt () Μερικές R διακριτές, μερικές C συζυγείς Ομοίως. (3) λ κ πολλαπλότητας p Δηλαδή (λ λ κ ) p παράγοντας της ΧΕ αλλά όχι n(λ λ κ ) p+. p ΓΑ λύσεις e λ κt, te λ κt, t e λ κt,..., t p e λ κt Άσκηση: 5. y y y = Άρα: λ λ = (λ + )(λ ) = λ =, λ = y(t) = c e t + c e t Άσκηση: 5.4 ÿ + ẏ + y = ΧΕ λ + λ + = (λ + 3)(λ + 7) c e 3t + c e 7t Άσκηση: 5. y 8y + 6y = ΧΕ λ 8λ + 6 = (λ 4) = λ κ = 4 διπλή y(x) = c e 4x + c xe 4x 4
26 Άσκηση: 5.5 RC, σειρά, R = Ω, C = F, = H, v = V Αρχικά κανένα ρεύμα, κανένα φορτίο, τάση εφαρμόζεται για t =. Να βρεθεί i για t μετά το. R C v Ri + di + C q v = i = dq διαφ. R di == t + d i + C i = dv d i + R di + C i = du d i + di / + ( / )i = ( ) d / ΑΣ i() =, q() =. Ψάχνω di. t= d i + di + i = ΧΕ λ + λ + = λ, = ± 4() λ = + j, λ = j ΓΛ i(t) = c e ( + j)t ( j)t + c e c i(t) = e t ( κ cos t + κ sin t ), c C Ri + di + C q v = R() + di + () = t= C di = t= v q C R i = = = 4 di / = 4 t= di(t) = e t ( κ cos t + κ sin t ) + e t ( κ sin t + κ cos t ) i() = ( ) e () κ cos () + κ sin () κ = 4 di = e () ( () cos () + κ sin () ) + e () ( () cos () + κ cos () ) t= κ = 5 5
27 Άρα: ΕΛ i(t) = e t 5 t > sin t Άσκηση: 5.6 y 6y + y 6y = y(π), y (π) =, y (π) = ΧΕ λ 3 6λ + λ 6 = λ 3 6λ + λ 6 = (λ )(λ 5λ + 6) Άρα λ =, λ =, λ 3 = 3. ΕΛ: y p = e π e t e π e t + e 3π e 3t ΓΛ: c e t + c e t + c 3 e 3t ΕΛ: y n = c e t + c e t + 3c 3 e 3t, y h = c e t + 4c e t + 9c 3 e 3t y h (π) = c e π + c e π + c 3 e 3π c = y e π h (π) = c e π + c e π + 3c 3 e 3π c = e π y h (π) = c e π + 4c e π + 9c 3 e 3π c 3 = e 3π Άσκηση: 5.5 y 6y + y + 36y = ΧΕ: λ 3 6λ + λ + 36 = λ = (λ + )(λ 8λ + 8) = λ =, λ = 4 + i, λ 3 = 4 i ΓΛ: c e t + c e (4+i )t + c 3 e (4 i )t 6
28 Άσκηση: 5. y (4) + 8y + 4y + 3y + 6y = ΧΕ: λ 4 + 8λ 3 + 4λ + 3λ + 6 = λ = (λ + )(λ 3 + 6λ + λ + 8) = Άρα (λ + ) (λ + 4λ + 4) = (λ + ) (λ + ) = (λ + ) 4. Άρα ρίζες: λ = τετραπλή. y h = c e t + c te t + c 3 t e t + c 4 t 3 e t Άσκηση: 5. d 5 P 5 d4 P 4 d3 P 3 + d P + dp P = ΧΕ λ 5 λ 4 λ 3 + λ + λ = Τριπλή λ,,3 =, διπλή λ 4,5 = ΓΛ P h = c e t + c te t + c 3 t e t + c 4 e t + c 5 te t 7
29 Άσκηση: 5.4 Μάζα kg ανάρτηση ελατήριο στ. ελαστικότητας N/m ηρεμία. Μετά κίνηση αρχ. ταχύτητα 5 km/s.. Εκφραση της κίνησης της μάζας, χωρίς απώλειες. κυκλική συχνότητα, φυσική συχνότητα, περίοδος κ m a κ a m (α) mẍ = κx aẋ + F(t) ή ΑΣ ẍ + a m ẋ + κ m = F(t) m ẋ() = 5 cm / s x() = ẍ + 5x = ΓΡ/ΟΜ/ΔΕ/τ/ΣΣ λ + 5 = λ, = ±i 5 ΓΛ x(t) = c cos 5t + c sin 5t x (t) = c 5 sin 5t + c 5 cos 5t x() = = c cos 5 () + c sin 5() = c ẋ() =.5.5 = c 5 sin 5() + c 5 cos 5() c =.5 5 (β) ω = 5 rad/s f = ω π = 5 π Hz T = f 8
30 4.3 ΓΛ ΜΟ/ΔΕ x = x }{{} n ΓΛ ΟΜ??? x p {}}{ + (x) = φ(t) Μέθοδος απροσδιόριστων τελεστών φ(t) και όλες οι παράγωγοί της {x, x,..., x n } Αρχικοποίηση x p (t) = A x (t) + A x (t) + + A n x n (t) } {{ } αυθαίρετοι Περίπτωση φ(t) = p n (t) x p = A n t n + A n t n + + A t + A A j ( j =,..., n) Περίπτωση φ(t) = κe at x p = Ae at Περίπτωση 3 φ(t) = κ sin βt + κ cos βt x p = A sin βt + B cos βt Γενίκευση φ(t)συνδυασμός περιπτώσεων. x p αντίστοιχος συνδυασμός Τροποποίηση Οταν η x έχει κοινό όρο με τη x h, τότε πολλαπλασιάζουμε με t m την x p ώστε να μην υπάρχει κοινός όρος. 9
31 Άσκηση: 5.4 y y y = 4x βλ. 5. y h = c e x + c e x φ(x) = 4x y p = A x + A x + A y p = A x + y p = A Αντικαθιστώντας στη διαφορική μας εξίσωση έχουμε: A (A x + A ) (A x + A x + A ) = 4x ( A )x + ( A A )x + (A A A ) = 4x + ()x + A = 4 A = A A = A = A A A = = 3 A y p = x + x 3 ΓΛ ΜΟ y = y h + y p = c e x + c e x x + x 3 Άσκηση: ΟΜ y h = c e x + c e x φ(x) = e 3x, y p (x) = Ae 3x y p = 3Ae 3x, y p = 9Ae 3x y y y = e 3x 9Ae 3x 3Ae 3x Ae 3x = e 3x 4Ae 3x = e 3x 4A = A = 4 ΕΛ ΜΟ y p = 4 e3x ΓΛ ΜΟ y(x) = c e x + c e x + 4 e3x 3
32 Άσκηση: 5.5 y y y = sin x 5. ΟΜ y h = c e x + c e x φ(x) = sin x y p = A sin x + B cos x y p = A cos x B sin x y p = 4A sin x 4B cos x ( 4A sin x 4B cos x) (A cos x B sin x) (A sin x + B cos x) = sin x ( 6A + B) sin x + ( 6B A) cos x = () sin x + () cos x 6A B = A 6B = A = 3 B = ΕΛ ΜΟ y p = 3 sin x + cos x ΓΛ ΜΟ y = c e x + c e 3 sin x + cos x Άσκηση: 5.3 y 6y + y 6y = xe x 5.6 ΟΜ y h = c e x + c e x + c 3 e 3x φ(x) = xe x φ(x) = e ax p n (x), a =, p n (x) = x y p = e x (A x + A ) y p = A xe x + A e x y p = A xe x + A e x A e x y p = A xe x A e x + A e x = A xe x + 3A e x A e x y p 4A xe x + (6A 4A )e x = xe x + ()e x 4A = 6A 4A = A = A = 3 ΕΛ ΜΟ y p = xe x 3 44 e x 44 ΓΛ ΜΟ y = c e x + c e x + c 3 e 3x xe x 3 44 e x 3
33 Άσκηση: 5.3 ΟΜ ΔΕ y =, y n = c x + c φ(x) = 9x + x y p = A x + A x + A }{{} x m y = 9x + x Τροποποίηση y p = A x 4 + A x 3 + A x y p =..., y p =... A x + 6A x + A = 9x + x... A = 3 4 A = 3 A = 3 4 x4 + 3 x3 x ΓΛ ΜΟ y = c x + c x4 + 3 x3 x 3
34 Άσκηση: 5.36 RC κύκλωμα σε σειρά, R = 8 Ω, C = F, = H 8 Εφαρμόζεται τάση v(t) = sin t, καμία αρχική φόρτιση και αρχικό ρεύμα A για t =, οπότε εφαρμόζεται η τάση. Να βρεθεί το φορτίο στον πυκνωτή. R C v(t) Ri + C q + di v = i = dq = q di = d q = q R q + C q + q = v q + R q + C q = v ΜΟ/ΓΡ/ΔΕ/-τ/ΣΣ q() =, i() = q() = q + 8 q + ( )q = sin t / 8 q + 9 q + 4q = sin t ΔΕ ΓΛ ΟΜ q + 9 q + 4q = ΓΛ ΟΜ ΧΕ λ + 9λ + 4 = ΓΛ ΜΟ λ =, λ = 7 q h = c e t + c e 7t q = q h + q + p φ(t) = sin t q p = A sin t + B cos t q p = A cos t B sin t q p = A sin t B cos t A sin t B cos t + 9A cos t 9B sin t + 4A sin t + 4B cos t = sin t ( ) ( A 9B + 4A) sin t + ( B + 9A + 4B) cos t = sin t + ( ) cos t 3A 9B = 9A + 3B = A = 3 5 B = 9 5 ΕΛ ΜΟ q p = 3 5 sin t 9 5 cos t ΓΛ ΜΟ q = c e t + c e 7t sin t 9 5 cos t c = 5 c = 5 ΕΛΜΟ q = 5 (e t e 7t + 3 sin t 9 cos t) 33
35 4.4 ΓΡ/ΔΕ/ΜΣ: Μέθοδος μεταβολής των παραμέτρων ΜΟ ΔΕ P (x)y + P (x)y + P (x)y = F(X) ΟΜ ΔΕ P (x)y + P (x)y + P (x)y = Σύνολο λύσεων ΟΜ/ΔΕ { y, y } ΓΛ ΜΟ y =y p + c y + c y = y p + y h y p ΕΛ ΜΟ ΔΕ P, P, P, F συνεχείς (a, b) P χωρίς μηδενικά a) y p = u y + u y b) u y + u y = u y + u y = F P c) u, u d) υπολογίζουμε u, u, με ολοκλήρωση (ολ. σταθ ) e) αντικατάσταση u, u στην y p 34
36 Άσκηση: 6. x y xy y = x 9 y h = c x + c x = c y + c y ΓΛ ΟΜ ΕΛ a) y p = u y + u y = u x + u x b) u x + u x = u + u x = x(9 / ) = x u y + u y = u y + u y = F P c) u = u x u x = x5 / u = x3 /, u = x5 / d) ολοκλήρωση u = 7 x7 /, u = 5 x5 / e) y p = 7 x7 / x + 5 x5 / x = 4 35 x9 / y = y h + y p = c + c x x9 / ΓΛ ΜΟ 35
37 Άσκηση:.4 y 3y + 4y =, y() =, y () = 5 [ s Y(s) Y(s) 5 ] 3 [ sy(s) ] + 4Y(s) = Y(s) = s+ s 3s+4 Αριθμητής: s + = ( s ) = ( s 3 Άρα { y } 3 { y } + 4 { y } = {} [ Παρονομαστής s 3s + 4 = (s 3s) + 4 = s 3s + ( 3 ) Y(s) = (s 3 / ) + 7 (s 3 / ) + s 3 / = (s 3 / ) + y(x) = { Y(s) } = 7 ( 7 ) ( 7 ) ] [ + 7 ) + 7 (s 3 / ) + 4 ( 3 ( 7 = s 3 / ( 7 ) + 7 (s 3 / ) + (s 3 / ) + y(x) = e 3 x 7 cos x + 7e 3 x 7 sin x ) ) ] = ( ) s 3 ( ( 7 ) ) 36
38 Άσκηση:.5 y 4y = e 3t, y() =, y () = { y } 4 { y } = { e 3t} [ s Y(s) s + ] + [ 4Y(s) ] = s 3 (s 4)Y(s) = s 3 + s = +(s )(s 3) s 3 s 4=(s )(s+) =========== Y(s) = +(s )(s 3) (s )(s+)(s 3) (s a) m A (s a) + A (s a) + + A m (s a) m (s + bs + c) p B s + C s + bs + c + B s + C (s + bs + c) + + B ps + C p (s + bs + c) p Y(s) = A s + B s+ + c s 3 s 4s+5 (s )(s+)(s 3) = A(s+)(s+3)+B(s )(s 3)+C(s )(s+) (s )(s+)(s 3) s 4s + 5 = As 3As + As 6A + Bs 3Bs Bs + 6B + Cs + Cs Cs 4C A + B + C = s 4s + 5 = (A + B+C)s ( A 5B)s + ( 6A + 6B 4C) A 5B = 4 6A + 6B 4C = 5 Y(s) = 4 s + 7 s+ + 5 s 3 y(x) = 4 ex + 7 e x + 5 e3x... A = 4 B = 7 3 C = 3 5 Άσκηση:.6 y + 3y + y = 6e t, y() =, y () = [ s Y(s) s + ] + 3 [ sy(s) ] + Y(s) = 6 s (s + 3s + )Y(s) = 6 6+(s )(s+) + (s ) + 3 = s s Εφόσον s + 3s + = (s + )(s + ) Y(s) = 6+(s )(s+) (s )(s+)(s+) = s + s+ y(t) = e t + e t e t s+ Προσοχή Σημαντικός ο ύπνος για τις εξετάσεις 37
39 Άσκηση y y 3y = cos t, y() =, y () = 7 [ s Y(s) s ] 7 [ sy(s) ] 3Y(s) = s s + s + s (7 + s) 4 = s + (s } {{ s } 3)Y(s) = (s 3)(s ) Y(s) = s (s 3)(s + )(s + ) + s + 3 (s 3)(s + ) + (s + 3) s + s + 3 (s 3)(s + ) = 9 4 s 3 4 s + s (s 3)(s + )(s + ) = A s 3 + όπου ( A(s + ) B(s 3) ) (s + ) + (Cs + D)(s 3)(s + ) = s Θέτω 9 4 e3t 4 e t B s + + Cs + D s + s = 3 ( A(3 + ) + ) (3 + ) + ( )()( ) = 3 4A = 3 s = 8B = s = A 3B 3D = εξ. συντ A + B + C = s (s 3)(s + )(s + ) = 3 4 s s + s + s e3t e t cos t sin t y(t) = sin t cos t + 3e 3t + e t A = 3 4 B = 5 4 C = D = e ax cos bx e ax sin bx s a (s a) + b b (s a) + b 38
40 Άσκηση:.8 y + 4y = 8 sin t + 9 cos t, y() =, y () = [ s Y(s) s ] + 4Y(s) = 6 s s s + 6 Y(s) = (s + 4) + 9s (s + )(s + 4) + s s + 4 Γνωρίζουμε ότι t cos(at) s a (s +a ) t cos t s 4 (s +4) = s +4 (s +4) 8 (s +4) = s +4 8 (s +4). Άρα 8 = (s +4) s +4 Αντικαθιστώντας x = s 9s (s +4)(s +) = 3s s 3s + s s +4 cos t {t cos t} 6 (s +4) s +4 στον sin t t cos t 9 (x+4)(x+) = 3 x+ 3 x+4 3 cos t 3 cos t. y(t) = (t + ) cos t + sin t + 3 cos t και πολλαπλασιάζοντας με s, μάς δίνει Άσκηση:.9 y y + y = t, y() =, y () = 7 [ s Y(s) s + 7 ] + [ sy(s) ] + Y(s) = s (s + s + )Y(s) = s + (s 7) + 4 = s + s 3 Εφ όσον s + s + = (s + ) + Y(s) = s ((s+) +) + s 3 (s+) + s 3 (s + ) 5 = (s + ) + (s + ) + = s + (s + ) + 5 (s + ) + s ( (s + ) + ) = A s + B s + Cs + D (s + ) + e t cos t 5e t sin t όπου (As + B) ( (s + ) + ) + s ( C(s + ) + D ) = (A + C)s 3 + (A + B + C + D)s + (A + B)s + B = B = s = A + B + D = s = A + C = εξ. συντ. s 3 A + B + C + D = εξ. συντ. s A = B = Λύνοντας. Συνεπώς C = s ((s+) +) = s + + s+ s (s+) + + t + e t cos t D = 39
41 Άσκηση:. y 4y + 5y = e t ( cos t + 3 sin t ) y() =, y () = 4 [ s Y(s) s 4 ] + 4 [ sy(s) ] + 5Y(s) = s+ (s+) (s+) + { d n y n } = s n Y(s) s n y() s n y () sy (n ) y (n ) () (s + 4s + 5) } {{ } =(s+) + Y(s) = s+4 (s+) Y(s) = s+4 ((s+) +)((s+) +) + 4 (s + ) + } {{ } 4e t sin t s+4 ((s+) +)((s+) +) = A(s+)+B (s+) + C(s+)+D + (s+) + ( ) ( A(s + ) + B (s + ) + ) + ( C(s + ) + D ) ( (s + ) + ) = 4 + s 5A + 5B + 4C + D = 4, για s = A = B + C + D = 3, για s = B = A + B + D =, για s = C = A + C = εξ. συντ του s 3 D = Άρα = (s+)+ (s+) + + s+ (s+) + = e t ( cos t + sin t) + e t cos t Άρα y(t) = e t ( cos t + sin t) + e t (cos t + 4 sin t) 4
42 Άσκηση:. 4y + 4y + y = 3 sin t + cos t y() =, y () = 4 [ s Y(s) s + ] + 4 [ sy(s) ] + Y(s) = (4s + 4s + ) Y(s) = 3 + s } {{ } s ) 4 ( s+ Y(s) = 3 s + + s s + + 4( + s) + 8 = 3 + s s + + 8s s 4 ( s + / ) (s + ) + s + / ( 3 + s ) 4 s + / (s + ) = A B + s + ( ) / + Cs + D s + / s + ( A(s + / ) + B ) + ( s + ) ( + (Cs + D) s + ) = 3 + s 4 για s = B = 5 A = 3 / 5 για s = A + 4B + D = 3 B = / για s = A + 8B + 9C + 9D = 4 C = 3 / 5 εξ. αντ. συντ. s 3 A + C = D = / 5 ( 3 + s ) = s + / (s + ) 5 s + ( ) / 3s + s + / 5 s e t + te t (3 cos t + sin t) 5 e t + y(t) = e t/ / (5t + 6) (3 cos t + sin t) 5 4
43 Κεφάλαιο 5 Άσκηση:. Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων u + u v = v u + v = t u() = v() = { u(x) } = U(s) { v(x) } = V(s) [ ] su(s) + U(s) V(s) = [ ] sv(s) U(s) + V(s) = s (s + )U(s) V(s) = U(s) + (s + )V(s) = (s+) s U(s) = s+ s V(s) = s+ s { U(s) } = { } { s+ s = { V(s) } = { } { s+ s = s + s + s } u(x) s } v(x) = + x = + x 4
44 Άσκηση:.3 y + z = x, z + 4y =, y() =, z() = { y(x) } = Y(s), { z(x) } = Z(s) [ ] sy(s) + Z(s) = s [ ] sz(s) + + 4Y(s) = sy(s) + Z(s) = s + s 4Y(s) + sz(s) = Y(s) = s +s+ s(s 4) Z(s) = s3 +4s +4 s (s +4) s + s + s(s 4) = s + s + s(s + )(s ) = A s + B s + + C s s + s + = (A + B + C)s + (C B)s 4A A + B + C = (C B) = 4A = A = 4 B = 3 8 C = 7 8 Y(s) = / 4 s + 3 / 8 s / 8 s y(x) = ex ex Από την η σχέση, z = x e x 7 4 ex 43
45 Άσκηση:.4 w + y = sin x y z = e x z + w + y = w() = y() = z() = [ ] sw(s) + Y(s) = [ ] sy(s) Z(s) = s + s [ ] sz(s) + W(s) + Y(s) = s sw(s) + Y(s) = s + sy(s) Z(s) = s s+ W(s) + Y(s) + sz(s) = s+ s W(s) = s(s ) s Y(s) = +s (s )(s +) Z(s) = s s + w(x) = e x y(x) = e x sin x z(x) = cos x Άσκηση:.5 y + z + y = z + y = y() = y () = z() = [ s Y(s) ()s () ] + Z(s) + Y(s) = [ ] [ ] sz(s) + sy(s) = (s + )Y(s) + Z(s) = Y(s) + Z(s) = s Y(s) = s 3 Z(s) = s + s 3 y(x) = x z(x) = + x 44
46 Άσκηση:.6 z + y y z = cos x = sin x z() = z () = y() = y () = [ s Z(s) + s + ] + [ sy(s ) ] = [ s s Y(s) s ] Z(s) = s Z(s) + sy(s) = s3 s + Z(s) + s Y(s) = s3 +s+ s Z(s) = s+ s + Y(s) = s s + z(x) = cos x sin x y(x) = cos x s + s + Άσκηση:.7 w y + z = 3e x w + y + z = w y + z + z = w() = y() = w () = z() = z () = [ s W(s) s ] Y(s) + Z(s) = 3 s+ [ sw(s) ] + [ sy(s) ] + Z(s) = [ sw(s) ] Y(s) + [szs ] + [ s Z(s) s + ] = s W(s) Y(s) + Z(s) = s +s+4 s+ sw(s) + sy(s) + Z(s) = sw(s) Y(s) + (s + s)z(s) = 4s W(s) = s ex = w(x) s Y(s) = (s )(s+) = s + s+ ex + e x = y(x) Z(s) = s+ e x = z(x) 45
47 u(t) u u c b (αʹ) Βηματική συνάρτηση u t (βʹ) Μετατοπισμένη βηματική u c c t t a b (γʹ) Συνάρτηση πάγκου b Κεφάλαιο 6 Επίλυση ΓΡ ΔΕ με γενικευμένες/ασυνεχείς συναρτήσεις ως πηγές Βηματική συνάρτηση u t < u(t) = t Μετατοπισμένη βηματική συνάρτηση u(t c) = u c (t) t < c u c (t) = t c Συνάρτηση τινάγματος ή πάγκου (bench) b(t) = u(t a) u(t b) t < a b(t) = a t b b t u(t c) e cs s u(t c) f (t c) e cs F(s) e ct f (t) F(s c) 46
48 Άσκηση: 3. y + y = u(t 4) y() = 3 [sy(s) 3] + Y(s) = e 4s s Y(s) = e 4s s(s+) + 3 s+ s(s + ) = A s + 3 s + 3e t A(s + ) + Bs A(+b)s + (A) = = s(s + ) s(s + ) A + B = A = / A = B = / s(s + ) = [ s ] s + B s + e 4s s(s + ) = ( e 4s s e 4s s e 4s s + y(t) = u(t 4) ( e (t 4)) + 3e t ) ( ) u(t 4) u(t 4)e (t 4) 47
49 Άσκηση: 3. y + y y = b(t) y() =, t π y () = b(t) = t π u(t) u(t π) b(t) π t b(t) π t b(t) = u(t) u(t π) { b(t) } = { u(t) } { u(t π) } B(s) = s e πs s [ s Y(s) ()s () ] + [ sy(s) () ] Y(s) = s e πs s Y(s) = ( e πs) s(s + s + 5 / 4 ) H(s) = s(s + s + 5 / 4 ) = A s + Bs + C s + s + 5 / { 4 A = 4 5, B = 4 5, C = 4 5 ( ) H(s) = 4 5 s s + s + s + 5 / 4 ( ) s + s + 5 / 4 = s + s + 4 s + = s + + ( = s + ) = ( s + ) + H(s) = 4 5 s s + / ( ) ( ) s + / + s + / Y(s) = ( e πs) H(s) Y(s) = H(s) e πs H(s) { H(s) } = 4 ( e t / cos t ) / 5 e t sin t = h(t) { e πs H(s) } = u(t π)h(t π) = u π (t)h(t π) y(t) = h(t) u(t π)h(t π) 48
50 Άσκηση: 3.3 y + y y = g(t) y() =, y () = sin(t) t < π g(t) = t π u(t) u(t 3) 3 t 3 g(t) t g(t) = [ u(t) u(t π) ] sin t g(t) = u(t) sin t + u(t π) sin(t π) s + + e πs s + Y(s) 3. = ( + e πs) (s + s + 5 / 4 ) ( s + ) H(s) = (s + s + 5 / 4 ) ( s + ) = As + B + Cs + D s + s + 5 / 4 s + A = 6 7 B = 7 H(s) = 4 [ 4s s+ ] C = 6 7 s + s + 5 / 7 4 s + D = 4 7 ( s + s + 5 / 4 = s + ) + ( 4s + 3 = 4 s + ) ( + 3 = 4 s + ) + H(s) = s + / ( ) + s + / + s ( ) s s + + s + 4 ] [4e t cos t + e t sin t 4 cos t + sin t = h(t) 7 Y(s) = ( + e πs) H(s) = H(s) + e πs H(s) h(t) + u(t π)h(t π) 49
51 6. Συνάρτηση δέλτα - Dirac ( δ(t) = lim δ n (t), t R, δ n (t) = n u(t) u t n n) t {δ n } n= δ n (t) = n t < n t n για t δ(t) = για t = 6.. Συνάρτηση κρουστικής απόκρισης στο c (y) = y + a y + a y με (y δ ) = δ(t c) δ(t c) e cs c Άσκηση: 3.4 Να βρεθεί η συνάρτηση της κρουστικής απόκρισης του τελεστή t = y δ () =, y δ () = (y) = y + y + y [ s Y δ (s) ()s () ] + [ sy δ (s) () ] + Y δ (s) = Y δ (s) = s + s + = (s + ) + y δ(t) = e t sin t Άσκηση: 3.5 t = c (y) = y + y + y y δ Α.Τ.y δ + y δ + y δ = δ(t c) y δ () =, y δ () =, c s Y δ (s) + sy δ (s) + Y δ (s) = e cs Y δ (s) = e cs s + s + = e cs (s + ) + y δ (t) = u(t c)e (t c) sin(t c) 5
52 Άσκηση: 3.6 y y = δ(t 3), y() =, y () = [ s Y(s) s ] Y(s) = e 3s s Y(s) = s e 3s s cosh(t) u(t 3) sinh(t 3) Άσκηση: 3.7 y + 4y = δ(t π) δ(t π); y() =, y () = [ s Y(s) ] + 4Y(s) = e πs e πs Y(s) = e πs s + 4 e πs s + 4 = e πs s + 4 e πs s + 4 u(t π) sin [ (t π) ] u(t π) sin [ (t π) ] = y(t) y(t) = [ ] u(t π) u(t π) sin t 5
53 Μέρος II Κεχαγιάς: Ολοκληρωτικοί μετασχηματισμοί (Fourier, aplace) Τετάρτη 7:-8:3 Κεφάλαιο 7 Κεφάλαιο 7: Εισαγωγή στην ανάλυση του Fourier R V + C Η συμπεριφορά του κυκλώματος μπορεί να περιγραφεί με μια διαφορική εξίσωση. Q(t): Το φορτίο του πυκνωτή σε χρονική στιγμή t v = R i(t) = dq v = Q(t) C v + v = V(t) dq + Q(t) RC = V(t), με αρχική συνθήκη Q() = R Θα προσπαθήσω να λύσω την εξίσωση για τρεις περιπτώσεις: V(t) = V V(t) = V sin(nt) V(t) τετραγωνική συνάρτηση V(t) V(t) V(t) t t t 7.. V(t) = V + ax = b Θα εξετάσω τη γενική λύση x (t) της ομογενούς ΔΕ, και ϑα ψάξω μία ειδική λύση της μη ομογενούς ΔΕ. Ομογενής: b = = ax x(t) = ce at. x() = c = x (t) =. Μη ομογενής: + ax = b. x(t) = k + ak = b k = b a x(t) = k = b a 5
54 Θεώρημα Η γενική λύση της μη ομογενούς είναι: x(t) = x h (t) + x i (t) Άρα x(t) = ce at b a x() = = x() = c + b a x(t) = b a b a e at ή και x(t) = b a ( e at ) x(t) t 7.. V(t) = V sin(nt) a = RC, b = V R + ax = b sin(nt) Είναι x h (t) = ce at. Υποθέτω x(t) = c sin(nt) + c 3 cos(nt). Τότε = nc cos(nt) nc 3 sin(nt): + ax = (ac nc 3 ) sin(nt) + (ac 3 + nc ) cos(nt) = b sin(nt) ac nc 3 = b c = ab a +n nc + ac 3 = c 3 = bn a +n Θυμάμαι ότι x(t) = x h (t) + x i (t) = c e at + c = bn. a +n Άρα: bn x(t) = a + n + ab a +n sin(nt) ab a + n sin(nt) bn a +n cos(nt) και από το x() = βρίσκω bn a + n cos(nt) Για το RC κύκλωμα, a = RC χρονική σταθερά κυκλώματος, b = V R, άρα: Q(t) = V C Rn C R n + e RC t CV sin(nt) C RnV cos(nt) + C R n + 53
55 p + q p p + q p cos(ωt) + q sin(ωt) = q cos ωt + p + q sin ωt = p + q ( sin φ cos ω + cos φ sin ωt ) = p + q sin(ωt + φ), φ = arctan p q Παρατηρούμε ότι ο πυκνωτής φορτίζει περισσότερο αν είναι μικρότερη η συχνότητα του εναλλασσόμενου ρεύματος. Q(t) t 7..3 V(t) = square(t) V(t) = n=(,3,5,... ) 4 nπ sin(nt) = 4 π sin(nt) + 4 3π sin(3t) π sin(5t) 4 7π sin(7t) + Ετσι γίνεται η ανάλυση Fourier, και αυτό ϑα το δούμε την επόμενη Τετάρτη, που ϑα πάμε στο Κεφάλαιο 8, που λέει σειρές Fourier. Άρα: Οπότε αν: Άρα: dr + RC Q(t) = V sin(nt) R V(t) = V N (t) = n=(,3,5,... ) dr + RC Q(t) = 4 sin(nt) π R dr + RC Q(t) = 4 sin(3t) 3π R N n=(,3,5,... ) 4 nπ sin(nt) 4 sin(nt) = lim nπ V N(t) t Q n (t) = V C Rn C R n + e RC t CV sin(nt) C RnV cos(nt) + C R n + dr + RC Q(t) = 4 sin(5t) 5π R Q(t) = Q (t) = 4 C R π C R + e RC + Q 3 (t) = 4 3C R 3π 9C R + e RC + n {,3,5,... } Q 5 (t) = Γιατί όμως, αν V (t) Q (t), V (t) Q (t), τότε k V + k V = k Q + k Q σε αυτό το κύκλωμα (αρχή επαλληλίας/γραμμικότητα); Q n (t) 54
56 Κεφάλαιο 8 Σειρές Fourier Ορισμός Μία συνάρτηση f (t) λέγεται τμηματικά συνεχής στο [t, t ] ανν μπορώ να διαμερίσω: [t, t ] = [τ, τ ] [τ, τ ] [τ n, τ n ] όπου τ = t, τ n = t, τέτοια ώστε f (t) συνεχής στο κάθε (τ i, τ i ), και υπάρχουν lim t τ i f (t), lim t τ + f (t) i π.χ Η f (t) είναι τμηματικά συνεχής στο [ π, 3π], επειδή, για t = π, t = 3π: [ π, 3π] = [ π, ] [, π] [π, π] [π, 3π] Στα ( π, ), (, π), (π, π), (π, 3π) η f είναι συνεχής, και υπάρχουν τα αντίστοιχα πλευρικά όρια άρα η f είναι τμηματικά συνεχής. 8.. Συνθήκες του Dirichlet. Η f (t) είναι ορισμένη στο (, ). Η f (t) είναι τμηματικά συνεχής στο (, ) 3. Η f (t) είναι περιοδική με περίοδο. 55
57 Θεώρημα Εστω f (t) η οποία ικανοποιεί τις συνθήκες Dirichlet στο (, ). Τότε:. Για κάθε σημείο συνέχειας της f (t): όπου:. Σε κάθε σημείο ασυνέχειας τ: f (t) = a + a n cos nπt + b n sin nπt n= a n = b n = n= f (t) cos nπt f (t) sin nπt ( ) lim f (t) + lim f (t) = a t τ t τ + + a n cos nπt + b n sin nπt n= n= Παρ. f (t) = τετραγωνικός παλμός Λύση Η f (t) ικανοποιεί τις Σ.D με = π π a = f (t) = + π π π π( ) = + = π π b n = π f (t) sin nπt π π π = π sin(nt) π = ( ) π cos nt π = ( ) cos nπ n π = ( ) ( ) n = π π n nπ t= για άρτια n Άρα: a = a = a = = b = 4 π, b 3 = 4 3π b =, b 4 =,... Απόδειξη (Μερική) Θα δεχτούμε ότι η f (t) γράφεται στη μορφή f (t) = a + n= a n cos nπt δείξουμε τους τύπους a n = nπt f (t) cos, b n = nπt f (t) sin Εστω f (t) = a + n= a n cos nπt + n= b n sin nπt. Τότε: + n= b n sin nπt, και ϑα Άρα: f (t) = f (t) t = a + a cos πt + a cos πt + = a a = f (t) 56
58 Συνέχεια απόδειξης Υποθέτω ότι υπάρχει κάποια σειρά της μορφής *, ϑα δείξω ότι οι συντελεστές δίνονται από τους τύπους **. ίό Παρνω τυχόν m N και εξετάζω το 8.. f (t) cos mπt = Επομένως: = a + a n cos nπt + b n sin nπt mπt cos n= a n= mπt = cos + } {{ } n= = ολοκληρώνω πάνω σε m περιόδους = a n n= cos nπt cos a cos β= cos(a+β)+cos(a β) = =, n m a n, n = m n= = a m mπt cos a n n= a n cos nπt ( (n + m)πt cos + cos cos mπt + ) (n m)πt a m = f (t) cos nπt Αντιστοίχως αποδεικνύεται και η σχέση για το b m. Να σημειωθεί ότι οι συνθήκες του Dirichlet είναι ικανές, αλλά όχι αναγκαίες. Απόδειξη f (t) = c n = f (t) = a + a n cos nπt + b n sin nπt = a + Άρα όπου: n= n= n= c n e inπt e inπt = a + e inπt + f (t) = c n = n= c n e inπt a n ib n, n Z + a n +ib n, n Z a +ib, n = Αφήνεται ως άσκηση για τον αναγνώστη να αποδειχθεί ότι: c n = 57 f (t)e inπt n= = bn a n ib n e inπt + + b n sin nπt mπt cos n= } {{ } ( nπt+mπt sin + ) nπt mπt sin = n= a n + ib n e inπt
59 8. Παράδειγμα V(t) τετραγωνική συνάρτηση V(t) π π t Θα βρω την εκθετική σειρά της f (t). c n = π π c n = = π π f (t)e int π ( ) e int + e int π = π π e int + e int π = e int π π in + e int in π = π in e inπ in e inπ in + in = ( π in cos(nπ) ) in i nπ ( cos nπ ) Άρα: n c n i π π 3 i 3π Ερωτήματα για τον αναγνώστη: f (t) = + i 3π ei3t + i π e it i π eit i 3π ei3t + 58
60 . Πότε έχει η τριγωνομετρική σειρά μόνο ημίτονα/μόνο συνημίτονα;. Πότε έχει η εκθετική σειρά μόνο πραγματικούς/μόνο εκθετικούς όρους; 8. Ορισμός Συμβολίζω με F ημιπερίοδο ) το σύνολο των συναρτήσεων που ικανοποιούν τις συνθήκες Dirichlet (με Θεώρημα Το F είναι διανυσματικός χώρος. Απόδειξη Εστω f, g F και κ, λ C. Θα δείξω ότι κ f + λg F. Πράγματι. Αν οι f, g είναι ορισμένες στο [, ] τότε και η κ f + λg είναι ορισμένη στο [, ].. (κ f + λg)(t + ) = κ f (t + ) + λg(t + ) = κ f (t) + λg(t) = (κ f + λg)(t) Άρα η κ f + λg έχει περίοδο. 3. Αν η f και η g είναι τμ. συνεχείς στο [, ], τότε και η κ f + λg είναι τμ. συνεχείς. Από τα,,3, η κ f + λg F. Θεώρημα { Το σύνολο e inπt } είναι μια ορθογώνια βάση του F. Δηλαδή κάθε f (t) F μπορεί να γραφεί: f (t) = n= c n e inπt Επιπλέον n, m, m n e inπt Δηλαδή: e imπt e imπt e inπt = Δηλαδή: e imπt e inπt = Για να ορίσω το εσωτερικό γινόμενο, ϑέλω x = x x = n x n x n = (x n ) Άρα e imπt e inπt = f g = f (t)g(t) e imπt inπt e = e i(m n)πt =, m = n, m n 59
61 F το σύνολο των συναρτήσεων που ικανοποιούν Dirichlet Το F είναι ΔΧ { } Το e inπt είναι μια ορθογώνια βάση του F nz Το { cos inπt } n= { sin inπt } n= είναι μια ορθογώνια βάση του F f (t) = n= }{{} c ne inπt, με περιοδική, με ημιπερίοδο c n = f (t)e inπt x 3 e 3 x x e x e Άρα: ( όπου Proj ) f (t), e inπt = f (t) e inπt x = [x x x 3 ] = x e + x e + x 3 e 3 = Proj( x, e ) + Proj( x, e ) + Proj( x, e 3 ) 3 e n = x e n e n n= f (t) = c n e inπt n= e inπt e inπt f (t) e inπt = e inπt = = Proj n= f (t) e inπt e inπt e inπt ( ) f (t), e inπt = Θεώρημα 8.: Plancherel f (t) Η f (t) = n c n e inπt = n r n e inπt f (t)g(t) = c n r n n 6
62 Απόδειξη Γενικά: f (t)g(t) = = = n= n= m= = c n r n n c n e inπt c n r m m= c n e inπt n= m= c m e imπt rm e imπt e i(n m)πt } {{ } m n f (t) c = [... c c c c... ] m = n (με την επιφύλαξη ότι σε πεπερασμένο αριθμό σημείων μπορεί να αλλάζει η τιμή της συνάρτησης) Σύμφωνα με το ϑεώρημα: f (t) c g(t) r f g = c r Θεώρημα 8.: Πόρισμα (Parseval) f (t) = c n n ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΠΕΔΙΟ ΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ h(t) c f (t) g(t) ΣΕΙΡΑ FOURIER p r είναι μία ισομετρία Θεώρημα 8.3 Αν f (t) F και f (t) = n c n e inπt, τότε: d f = n f (t) = n inπ c n e inπt c n inπ e inπt Τα ίδια για ημίτονα και συνημίτονα 6
63 t t [ π, π] Παράδειγμα Δίνεται η f (t) = περιοδική επέκταση t [ π, π] Να βρεθεί η Σειρά (Fourier) της f (t). Λύση π π Παρατηρώ ότι f (t) = t (, π) g(t), όπου g(t) = t ( π, ] Αφού λοιπόν g(t) = 4 π (sin t + sin(3t) 3 + sin(5t) ), τότε: Άρα τελικά: f (t) = c 4 ( ) cos 3t cos 5t cos t + + π 3 5 ( π ) f = π = c f (t) = π 4 π ( cos 3t cos t ) cos 5t Παρατηρώ ότι η f έχει ασθενέστερες υψηλές συχνότητες από τη g. 5 Παράδειγμα Να υπολογιστεί το: S = Είναι ( π ) g = 4 π sin π + sin 3π + sin 5π 3 5 ( π ) = g = 4 ( 3 π + 5 ) = S Παράδειγμα Να υπολογιστεί το: S =
64 Λύση Κεφάλαιο 9 = f () = π 4 ( π ) 5 + π 8 = Κεφάλαιο 9: Μετασχηματισμός Fourier π π Θεώρημα Εστω ότι η f (t) ικανοποιεί τα εξής: Τότε:. Τις συνθήκες Dirichlet R. f (t) < (δηλ. η f (t) είναι απολύτως ολοκληρώσιμη) όπου: f (t) = F(ω)e iωt π F(ω) = f (t)e iωt Απόδειξη Δίνεται η f (t). Διαλέγω τυχόν t και ορίζω την f T (t) = f (t) t [ T, T Fourier: f T (t) = c(n)e inπt T όπου Θέτω δω = π nπ T, ω = n δω = T c(n) = T n= T T f (t)e inπt T ], που έχει σειρά 63
65 f T (t) = n= = π = π T T T π T n= n= = π T T f (t)e inπt T T T e inπt T f T (t)e iωt e inπt T f T (t)e iωt eiωt δω ( F(ω) ) f (t)e iωt e iωt dω } {{ } Την F(ω) την ονομάζουμε Fourier μετασχηματισμένη της f (t), και γράφουμε: ( ) F f (t) = F(ω) F(ω) = F ( f (t) ) f (t) = F ( F(ω) ) Παρ. t < f (t) = t F ( f (t) ) = F(ω) = = e iωt f (t)e iωt = iω e iωt t= = ( e iω e iω) = sin ω ω ω = F ( f ) Πεδίο του χρόνου Πεδίο της συχνότητας t Παρ. t < a f (t) = t a 64
66 a F(ω) = f (t)e iωt = e iωt = a iω e iωt = e iωa ω i = sin(ωa) ω Παρ. f (t) = e t Άρα: F(ω) = = e t e iωt e t e iωt + e t e iωt e t e iωt = + iω t= = ( e (+iω) e (+iω) ) + iω = + iω e t e iωt + = + iω e t e iωt = = iω + + iω + ω = F ( e t ) Ο Μ/Σ Fourier εφαρμόζεται μόνο σε απόλυτα ολοκληρώσιμες f (t). Δηλαδή υποθέτω ότι f (t) = M < Αυτό το κάνω, διότι f (t) < M < είναι ικανή συνθήκη για να υπάρχει το f (t)e iωt. Εχει μία σημαντική συνέπεια: lim f (t) = t ± Για παράδειγμα, οι F (e t ) και F (e t ) δεν υπάρχουν, ενώ ο F (e t ) υπάρχει διότι η e t είναι απόλυτα ολοκληρώσιμη. Επίσης F(ω) dω = M < Θεώρημα 9. F (κ f + λg) = κf ( f ) + λf (g) Παρ. F (3 square + 5 e t ) = 6 sin(ω) ω + + ω 65
67 Η απόδειξη είναι εύκολη και αφήνεται για τον αναγνώστη. π Το Wolfram επιστρέφει τους Μ/Σ Fourier με διαφορετικό παράγοντα, για λόγους συμμετρίας! ( έναντι ). Στις σημειώσεις τηρείται η ιστορική σύμβαση που ακολουθείται και από προ- π γράμματα όπως, π.χ. Matlab. Θεώρημα 9. Εστω F(ω) = F ( f (t) ), τότε: Δηλαδή: F ( F(t) ) = π f ( ω) F ( F ( f (t) ) ) = π f ( t) Απόδ. F ( f (t) ) = F(ω) = F ( F(ω)) ) = f (t) = π = π f ( t) = f (t)e iωt F(ω)e iωt dω F(ω)e iωt dω F(τ)e iτw dτ = π f ( w) = F ( F(τ) ) = π f ( w) Παρ. ( ) F + t ή Λύση = Παρατηρώ ότι F ( e t ) = = F(ω) = F( ω) +ω Άρα F(t) = +t ( ) F = F ( F(t) ) = π f ( ω) = πe ω + t... Θεώρημα 9.3 F ( f (at) ) = a F ( ω a ) Απόδ. F ( f (at) ) = = = a f (at)e iωt f (at)e i ω a at f (at)e i ω a at d(at) = a f (κ)e i ω a κ dκ = a F ( ω a ) 66
68 Παρ. Για f (t) = +t, F(ω) = πe ω, ( ) F = 4 + 9t 4 F + 9 = 4 t 4 F + ( 3 f ( 3 t = t a F ( ω a Άρα ο ζητούμενος μετασχηματισμός είναι π 4 Θεώρημα 3 e 3ω ) = π 3 e 3ω F ( f (t t ) ) = e iωt F(ω) t) Απόδ. Παρ. F ( ) t 4t+5 = πe ( ω +iω) F ( f (t t ) ) = = = e iωt f (t t )e iωt f (t t ) e iω(t t ) e iωt f (k)e iωk dk = e iωt F(ω) t 4t + 5 = + (t ) ( F 5 ) = πe ω + t ( ) F 5 = πe iω e ω + (t ) Θεώρημα F ( f (t)e iω t ) = F(ω ω ) Θεώρημα Εστω F(Ω) = F ( f (t)). Τότε ). F = iωf(ω) ( d f. F ( f (t) ) = iω F(ω) 3. F ( it f (t) ) = df dω 67
69 Απόδ. F ( ) d f = = d f e iωt e iωt = f (t)e iωt f (t) d(e iωt ) = f ( )e iω f ()e iω ( iω) f (t)e iωt = + iω = iωf(ω) = F ( d f f (t)e iωt ) Θέτω g(t) = f (t), οπότε dg = f (t). F ( f ) = F ( ) dg = iωg(ω) F ( ) g(t) = G(ω) = iω F(ω) Το (3) δείχνεται όπως το (). Αν πρέπει να λύσω: d f = f + k F iωf(ω) = F(ω) + F (k) F(ω) = F (k) + iω ) f (t) = F ( F (k) + iω Ορισμός: Βηματική συνάρτηση του Heaviside t > h(t) = t H(ω) = F ( h(t) ) = h(t)e iωt = e iωt = iω e iωt t= = iω = F ( h(t) ) Παρ. dy + y = e t h(t) Λύση Είναι F ( f (t)e iωt) = F(ω ω. iωy(ω) + Y(ω) = iω (???) Θέτω f (t) = h(t), e iωt = e t. Δηλαδή ω = i = i, οπότε F (e t h(t)) = +iω. 68
70 Άρα iωy(ω) + Y(ω) = iω + Y(ω) = (iω + )(iω + ) Y(ω) = + iω + iω F ( Y(ω) ) ( = F + iω y(t) = e t h(t) e t h(t) ) F ( ) + iω είναι η λύση της δοθείσας εξίσωσης. Πού πήγε η σταθερά; Ποιες είναι οι αρχικές συνθήκες; h(t) y(t) e t h(t) t Αν πήγαινα να την λύσω αλλιώς: Ομογενής dy + y =, γενική λύση y h (t) = ce t. Ειδική λύση της μη ομογενούς y p (t). dy + y = f (t) Γενική λύση της μη ομογενούς: y(t) = ce t + y p (t). Ποιά είναι η τιμή της c; Είναι c = διότι ζητώ λύση η οποία έχει μετασχηματισμό Fourier. Άρα πρέπει lim t y(t) = lim t ( ce t + y p (t) ) =, άρα c =. Δηλαδή κρυβόταν από την εκφώνηση του προβλήματος ότι lim t ± y(t) =. Παρ. ( Υπολογίστε F ) t (t +) Λύση f (t) = t +, τότε d f = t (t +). ( ) t F = ( ) (t + ) F t (t + ) = ( ) F d f = iωf ( f ) = iωπe ω Παρ. Να υπολογιστεί ο F ( t +t ). Λύση Θέτω f (t) = F(ω) = πe ω. +t Οπότε F ( ) t +t = i F ( it f (t) ) = i df dω. 69
71 Προσοχή G(ω) = i df dω = πi d dω (e ω ) = πie ω ω < ΚΕΦ. ω = πi e ω ω < Θεώρημα: Plancherel/Parseval Plancherel δηλαδή Parseval f g = π F G f (t)g(t) = F(ω)G(ω) dω π π f (t) = π F(ω) dω Η απόδειξη είναι εύκολη και υπάρχει στις σημειώσεις. Συνέλιξη Ορισμός: Σπουδαίος Ορισμός Η συνέλιξη των f (t), g(t) συμβολίζεται f g και ορίζεται: ( ) f g (t) = f (τ)g(t τ) dτ Παράδειγμα, t < g(t) =, t g(t τ) Περίπτωση t < Τότε (g g)(t) = = g(τ)g(t τ) g(τ)g(t τ) dτ + g(τ)g(t τ) + g(τ) g(t τ) dτ = 7
72 Μετά από πράξεις ϑα δούμε ότι t < t < t < (g g)(t) = + t t < < t g g (t) Θεώρημα F ( f g) = F ( f ) F (g) Απόδειξη Θεώρημα: Πόρισμα F ( f g) = = = = = = G(ω) ( f g)(t)e iωt ( ) f (τ)g(t τ) dτ e iωt ( ) f (t) g(t τ)e iωt dτ ( ) f (τ) g(t τ)e iω(t τ) d(t τ) e iωτ dτ f (t)g(ω)e iωτ dτ = G(ω)F(ω) f (t)e iωτ dτ f g = g f f (g + h) = f g + f h ( f g) h = f (g h) Απόδ. ομοίως και τα υπόλοιπα. F ( f g) = F(ω)G(ω) = G(ω)F(ω) = F (g f ) Παρ. Να βρεθεί ο F (π π). 7
73 Λύση F (π(t)) = sin(ω) ω F (λ(t)) = F (π(t) π(t)) = sin(ω) ω sin(ω) ω = 4 sin ω ω h(t) H(ω) = iω π(t) Π(ω) = sin(ω) ω λ(t) Λ(ω) = sin (ω) ω Τι να κάνω όταν η f (t) δεν είναι απολύτως ολοκληρώσιμη; Θα δουλέψω με την g(t) = e σt f (t) και ϑα περιοριστώ στο t. Τότε η g(t) ϑα είναι (για αρκετά μεγάλο σ) απολύτως ολοκληρώσιμη, και μπορώ να πάρω F ( g(t) ) = e σt f (t)e iωt = e i(σ+iω) = Θέτοντας s=σ+iω f (t)e st = ( f (t) ). Κεφάλαιο Κεφαλαιο : Μετασχηματισμος aplace Για να υπάρχει F ( x(t) ) πρέπει η x(t) να είναι απολύτως ολοκληρώσιμη. Αν η x(t) δεν είναι απολύτως ολοκληρώσιμη, ίσως είναι η y(t) = x(t)h(t)e σt. Οπότε δουλεύω με την F ( y(t) ) = F ( x(t)h(t)e σt) = x(t)e σt e iωt (όπου s = σ + iω) = x(t)e st = ( x(t) ). Κατ αυτόν τον τρόπο μπορώ να διαχειριστώ x(t) που είναι χρήσιμες αλλά όχι απολ. ολοκλ. (π.χ. x(t) = ή e t ). Ομως πετάω όλη την πληροφορία για t <. 7
74 Ορισμός Η f (t) λέγεται τμηματικά συνεχής στο [t, t ] ανν: μπορώ να διαμερίσω το [t, t ]: [t, t ] = [τ, τ ] [τ, τ ] [τ N, τ N ] και η f (t) συνεχής σε κάθε (τ n, τ n ) (n =,..., N) και n : lim t τ f (t) n ) υπάρχουν (εκτός ίσως των ακραίων ) lim t τ + n f (t) Ορισμός Η f (t) λέγεται εκθετικής τάξης γ στο [t, t ] ανν M, γ τ.ώ: t [t, t ] : f (t) < M e γt Ορισμός Εστω f (t) τ.ώ:. T < : η f (t) τμ. συν. στο [, T]. Η f (t) είναι εκθ. τάξης γ στο [. ). Τότε ορίζω τον Μ/Σ aplace της f (t) ως εξής: ( f (t) ) = F(s) = f (t)e st Παρ. Να βρεθεί ο (e t ) Λύση Παρ. (e at ) = s a e t e st = e ( s )t = e (s )t s t= e (s ) e (s ) = + s s = s = (et ) Παρ. Παρ. () = (e at ) = s ( h(t) ) = s 73
75 Παρ. (t) = te st = s (e st ) t = ( ts ) e st + e st s = + + ( s ) e st = s s = (t) Παρ. (t n ) = n! s n+ Θεώρημα ( ) = s X(s) X() Απόδειξη ( ) = e st = x(t)e st t= = x() + s x(t)( s)e st x(t)e st = x() + s x(s) Να λυθεί με Μ/Σ aplace Λύση ( ) x X x() + X = S + x =, x() = sx + + X = s (s + ) X = s X = s (s + )s = A s + + B s = (A + B) S + B (s + ) s A + B = B = A = 3 X(s) = 3 s + + ( x(t) = 3 ) ( ) + s + s = X(t) = 3e t Παρ. Να λυθεί... d x x = t +, x() =, x() = 74
76 Λύση ( d x ) = s X sx() x () Εστω ( ) = P(s), = p(t). Απόδ. ( d ( )) = ( ) d p =sp p() =s (sx x() ) x() =s X sx() x () s X s ( ) + 7 (sx ) + x = (s + 7s + ) X s + 7 = s + s (s + 7x + )X = s + s + s + 6 = + s + s3 + 6s s X = s3 + 6s + s + = / 5 / s (s + 7s + ) s s + / 3 } {{ } s + + / 75 s + 5 } {{ } ΧΑΡ. ΕΞ. Λύση Ομογενούς x(t) = 5 + t e t 75 e 5t (sin at) = eiat e iat i = ( ) i s ia s + ia a = = (sin at) s + a s = (cos at) s + a s = (cosh at) s a a = (sinh at) s a Θεώρημα ( k x (t) + k x (t) ) =k X (s) + k X (s) Απόδ. Θεώρημα blah blah... ( f (t)e at) = F(s a) 75
77 Απόδ. = =F(s a) f (t)e at e st f (t)e (s a)t Θεώρημα ( f (t t )h(t t ) ) = e st F(s) t Απόδ. ( f (t t )h(t t ) ) = = = t t =e st f (t t )e st f (t t )e st d(t) f (t t )e s(t t ) e st f (τ)e sτ dτ =e st F(s) = ( f (t) ) ( ) e s = h(t ) s ( ) = h(t) s ( h(t) ) = ( h(t ) ) = e s ( ) s ( ) s = = sin t e t s + 4s + 5 (s + ) + Θεώρημα Οταν η f (t) είναι συνεής στο t = ισχύουν: lim s F(s) = lim t f (t) = lim s sf(s) lim t f (t) = lim s sf(s) Θεώρημα ( t f (t) ) = df ds ( ) f (t) = F(u) du t s 76
78 Ορισμός Εστω f (t), g(t) με ΠΟ [, ). Η συνέλιξη των f, g ορίζεται: ( f g)(t) = t f (τ)g(t τ) dτ Παρ. f = e 3t, g = e t ( f g)(t) = t e 3τ e (t τ) dτ t = e t e τ dτ = e t e τ t τ= = e 3t e t Θεώρημα ( f g ) = ( f ) (g) Απόδ. Θέτω u + v = t v = t u ( ( f ) (g) = = = = = = t ) ( f (u)e su du t = ( f g) ) g(v)e sv dv f (u)g(v)e s(u+v) du dv f (u)g(v)e st du dv f (u)g(t u)e st du f (u)g(t u) du e st ( f g)(t)e st Παρ. h(t) }{{} f (t) h(t ) =? } {{ } g(t) ( f g) = ( f ) (g) = e st ( ) s s e ( f g)(t) = st s = (t ) h(t ) = e st s 77
79 h(t) h(t ) h(t ) h(t) Παρ / = 3 + ( + 5) + 6 = = 9 5 = 5 + = A() 36 = = B() A(x) B(x) A(x) = a + a x + a x +... B(x) = b + a x + a x 3 Εστω: a a a b a b a b a b b b a b a b b a K ( A(x) ) = (a, a, a,... ) = a K ( a ) = a + a x + a x +... ) = A(x) A(x) B(x) = (a + a x + a x )(b + b x + b x ) = a b x + (a b + a b )x + (a b + a b + a b )x = a k b n k xn = A(x)B(x) n= k= n a b = a k b n k k= K ( a b) = A(x)B(x) 78
80 .. Γραμμικά, Χρονικά αμετάβλητα συστήματα ΓΧΑ συστήματα (TI system) Περιγράφονται από ΔΕ Περιγράφονται από γραμμικές ΔΕ σταθερών συντελεστών d n x n + a n d n x n + + a + a x = u(t) περιγράφουν φυσικά συστήματα, κυκλώματα, συστήματα μαζών/ελατηρίων, όπου u(t) είναι η είσοδος και x(t) είναι η έξοδος του συστήματος, π.χ. τάση εισόδου, φορτίο πυνκωτή. Στην ανάλυση αυτών σημαντικό ρόλο παίζει η συνέλιξη ΓΧΑ σύστημα ης τάξης + a x = u(t) x() = u H(s) X ος τρόπος επίλυσης (ΣΕΒ) e a t + e at a x = e at u(t) ( e a t x(t) ) = e at u(t) d e a t x(t) + c = t x(t) = e a t x(t) = t x(t) = u(t) e a τ u(t) dτ t e a τ u(τ) dτ e a (t τ) u(τ) dτ }{{} e a t Τι σημαίνει η συνέλιξη; ος τρόπος επίλυσης (ΚΕΧ) aplace sx + a X = U (s + a )X = U X = U s + a X(s) = H(s) U(s) }{{} συνάρτηση μεταφοράς (Transfer Function) x(t) = h(t) u(t) = e at u(t) (s + a s + a )X(s) = U(s) X(s) = U(s) = H(s)U(s) s + a s + a x(t) = h(t) u(t) ( ) h(t) = =... s εξαρτάται από τις ρίζες του s + a s + a, δηλ. τους πόλους της H(s) + a s + a 79
81 Άποψη Ο aplace είναι Fourier. Άλλη άποψη Ο aplace είναι Taylor. Θέτω x = e s Άλλη άποψη Υπάρχει η μισή παράγωγος: F(x) = F(x) = F(x) = F(s) = f (n)x n n= f (n)x n dn f (t)x t f (t)e st d / x = ( ) sf(s) / Άσκηση Υπολογίστε d / x / (t). Απάντηση π π x Κεφάλαιο Κεφάλαιο : Γενικευμένες Συναρτήσεις Αν u(t) = h(t) Τότε ποια είναι η du ; d x + a + a ox = u + du Βλέπω ότι δύσκολα ορίζεται η dh Παρατηρώ ότι: h() h( ε) lim = lim = ε + ε ε + ε h() h( + ε) lim = lim = ε ε ε ε ( ) f (t) = s F(s) δ(t) = h(t) δ(t) = dh ( f (t) ) = s H(s) h(s) = s s = 8
Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος
ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος
Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ
15 Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε κάποιες ειδικές μορφές ΣΔΕ για τις οποίες υπάρχει μέθοδος επίλυσης. Περισσότερες μπορεί να δει κανείς στο Kloeden and Plaen (199), 4.-4.4. Θα
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί Laplace. Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
ιαφορικές Εξισώσεις Μετασχηματισμοί Laplace Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Βόλος, 11 Μαΐου 2015 Περιεχόμενα Μετασχηματισμοί Laplace Ορισμός μετασχηματισμού
Διαβάστε περισσότερα17 Μαρτίου 2013, Βόλος
Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία
1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν
Διαβάστε περισσότερα5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις
5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις Ορισμός 5.1. Εστω (Ω, F ), (E, E) μετρήσιμοι χώροι. Μια συνάρτηση f : Ω E λέγεται F /Eμετρήσιμη αν f 1 (A) F για κάθε A E. (5.1) Συμβολίζουμε το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές διαφορικές εξισώσεις
14 Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14.1 Γενικά Στοχαστική διαφορική εξίσωση λέμε μια εξίσωση της μορφής dx = µ(, X ) d + σ(, X ) db, X = x, (14.1) με µ, σ : [, ) R R μετρήσιμες συναρτήσεις, x R, και B
Διαβάστε περισσότερα602. Συναρτησιακή Ανάλυση. Υποδείξεις για τις Ασκήσεις
602. Συναρτησιακή Ανάλυση Υποδείξεις για τις Ασκήσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 2018 Περιεχόμενα 1 Χώροι με νόρμα 1 2 Χώροι πεπερασμένης διάστασης 23 3 Γραμμικοί τελεστές και γραμμικά
Διαβάστε περισσότεραΗ εξίσωση Black-Scholes
8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές στην κίνηση Brown
13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΟ τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2
12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει
Διαβάστε περισσότερα14 Φεβρουαρίου 2014, Βόλος
ιαφορικές Εξισώσεις Εισαγωγή Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 14 Φεβρουαρίου 2014, Βόλος ιαδικαστικά Θέματα Ο τελικός βαθμός προτείνω να υπολογισθεί
Διαβάστε περισσότεραΑποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.
Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις
Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΑναλυτικές ιδιότητες
8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι
Διαβάστε περισσότερα{ i f i == 0 and p > 0
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων
Διαβάστε περισσότεραΗ ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.
A A N A B P Y T A Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς 9 5 0 Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Δρ. Νίκος Σωτηρόπουλος, Μαθηματικός Εισαγωγή Το άρθρο αυτό γράφεται με
Διαβάστε περισσότεραΤαξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα
Διαβάστε περισσότεραΕκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
Διαβάστε περισσότεραΟ Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών
1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε
Διαβάστε περισσότεραΑς υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού
Διαβάστε περισσότεραΑνελίξεις σε συνεχή χρόνο
4 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Σε αυτό το κεφάλαιο είναι συγκεντρωμένοι ορισμοί και αποτελέσματα από τη θεωρία των στοχαστικών ανελιξεων συνεχούς χρόνου. Με εξαίρεση την Παράγραφο 4.1, η οποία είναι εντελώς
Διαβάστε περισσότεραΟι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)
Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα
Διαβάστε περισσότεραΕστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο.
2 Μέτρα 2.1 Μέτρα σε μετρήσιμο χώρο Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο. Ορισμός 2.1. Μέτρο στον (X, A) λέμε κάθε συνάρτηση µ : A [0, ] που ικανοποιεί τις
Διαβάστε περισσότεραHY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.
HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0.
Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση f(x) = λe λx αν x, αν x
Διαβάστε περισσότεραΑνεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Διαβάστε περισσότεραιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27
ιάσταση του Krull Χ. Χαραλάμπους Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Ιανουάριος, 2017 Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 1 / 27 Ορισμοί Εστω R (αντιμεταθετικός) δακτύλιος. Ορισμός Η διάσταση του Krull
Διαβάστε περισσότεραΔιανυσματικές Συναρτήσεις
Κεφάλαιο 5 Διανυσματικές Συναρτήσεις 51 Διανυσματατικές συναρτήσεις Μια συνάρτηση με τιμές στοr n, n>1 λέγεται διανυσματική συνάρτηση Τις διανυσματικές συναρτήσεις ϑα τις συμβολίζουμε με παχειά γράμματα,
Διαβάστε περισσότεραΠαραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.
Η παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ Σελίδα 1 από 10 Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α0 Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ = αχ 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΚατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες
5 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 51 Ορισμός, ύπαρξη, και μοναδικότητα Ορισμός 51 Μια στοχαστική ανέλιξη { : t } ορισμένη σε έναν χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και με τιμές στο R λέγεται (μονοδιάστατη)
Διαβάστε περισσότεραΤο κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:
Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 - Λύσεις 1. Εστω ο πίνακας Α = [12, 23, 1, 5, 7, 19, 2, 14]. i. Να δώσετε την κατάσταση
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο. Αλυσίδες
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις. Σημερινό μάθημα
Συναρτήσεις Σημερινό μάθημα C++ Συναρτήσεις Δήλωση συνάρτησης Σύνταξη συνάρτησης Πρότυπο συνάρτησης & συνάρτηση Αλληλο καλούμενες συναρτήσεις συναρτήσεις μαθηματικών Παράμετροι συναρτήσεων Τοπικές μεταβλητές
Διαβάστε περισσότερα1. Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί 2 2 πίνακες, δηλαδή, a 21 a, και ανάλογα για τους B, C. Υπολογίστε τους πίνακες (A B) C και A (B C) και
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Εαρινό Εξάμηνο 0 Ασκήσεις για προσωπική μελέτη Είναι απολύτως απαραίτητο να μπορείτε να τις λύνετε, τουλάχιστον τις υπολογιστικές! Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί πίνακες,
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance
Διαβάστε περισσότεραΠαντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα.
2 Δεσμευμένη μέση τιμή 2.1 Ορισμός Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. Ορισμός 2.1. Για X : Ω R τυχαία
Διαβάστε περισσότεραΧαρακτηριστικές συναρτήσεις
13 Χαρακτηριστικές συναρτήσεις 13.1 Μετασχηματισμός Fourier μέτρου πιθανότητας στο R Εστω (Ω, F, µ) χώρος μέτρου και f : Ω C Borel-μετρήσιμη συνάρτηση. Το πραγματικό και φανταστικό μέρος της f, που τα
Διαβάστε περισσότερα«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»
HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΜεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης
7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε (X = = (X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων αριθμών
Διαβάστε περισσότεραΑνεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Διαβάστε περισσότερα21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου
Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΕξέταση Ηλεκτρομαγνητισμού Ι 2 Φεβρουαρίου 2018
ΕΚΠΑ, Τμήμα Φυσικής Εξέταση Ηλεκτρομαγνητισμού Ι 2 Φεβρουαρίου 2018 ΘΕΜΑ 1 Γραμμική κατανομή φορτίου εκτείνεται από h έως +h κατά μήκος του άξονα z με ετερογενή πυκνότητα λ 0 < 0 για h z < 0 και λ 0 >
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Ερευνα Ι
Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Μ. Ζαζάνης Κεφάλαιο 1 Τετραγωνικές μορφές στον R n και το ϑεώρημα του Taylor Ορισμός 1. Εστω a 11 a 1n A =.. a n1 a nn συμμετρικός πίνακας n n με στοιχεία στους πραγματικούς αριθμούς.
Διαβάστε περισσότεραd 2 y dt 2 xdy dt + d2 x
y t t ysin y d y + d y y t z + y ty yz yz t z y + t + y + y + t y + t + y + + 4 y 4 + t t + 5 t Ae cos + Be sin 5t + 7 5 y + t / m_nadjafikhah@iustacir http://webpagesiustacir/m_nadjafikhah/courses/ode/fa5pdf
Διαβάστε περισσότεραΑνεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Διαβάστε περισσότεραΜεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης
7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων
Διαβάστε περισσότερατους στην Κρυπτογραφία και τα
Οι Ομάδες των Πλεξίδων και Εφαρμογές τους στην Κρυπτογραφία και τα Πολυμερή Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΕΜΠ Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: Λαμπροπούλου Σοφία Ιούλιος, 2013 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή)
Εισαωή στη Μιαδική Ανάλυση Σημειώσεις (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Ε. Στεφανόπουλος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιαίου Καρλόβασι Καλοκαίρι 26 Πρόλοος Οι σημειώσεις αυτές είναι αποτέλεσμα επεξερασίας
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση δικτύων διανομής
ΑστικάΥδραυλικάΈργα Υδρεύσεις Επίλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης & Ανδρέας Ευστρατιάδης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατύπωση του προβλήματος Δεδομένου ενός δικτύου αγωγών
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Μαθηματικών Μεθόδων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Σημειώσεις Μαθηματικών Μεθόδων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Φεβρουαρίου 08 Κεφάλαιο Το Μιγαδικό Εκθετικό Είναι γνωστό ότι η εκθετική συνάρτηση e x έχει το ανάπτυγμα
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ / ΕΤΥ : Μεταπτυχιακό Μάθημα 4η Ενότητα: Γραμμικά Συστήματα Εξισωσεων και Pivots Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr) Τμήμα Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραF (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2
F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =
Διαβάστε περισσότεραE n. (, ) Η χρονοεξαρτώµενη εξίσωση Schrödinger, έχει την µορφή ˆ
Πρόβλημα ΓενικέςΈννοιεςΚβαντομηχανικήςα(ΓΕΚα Σε ένα μονοδιάστατο κβαντικό σύστημα να δειχθεί ότι η γενική λύση της χρονοεξαρτώμενης εξίσωσης Schrödiger είναι της μορφής Ψ ( x,t c ( x e i E t, όπου τα E
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση
Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο Αλυσίδες Markov
Διαβάστε περισσότεραΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 07 08 ΛΕΥΚΑΔΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ
Διαβάστε περισσότεραΕκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Δ.Ε. με Laplace
Επίλυση Δ.Ε. με Laplace Ν. Παπαδάκης 24 Οκτωβρίου 2015 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 1 / 78 Περιεχόμενα 1 Παρουσίαση Προβλήματος Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Ορισμός Άλλες μορϕή
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.
Διαβάστε περισσότεραΜεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης
7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ) ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = ) = P(X = ) = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 1. Εστω η στοίβα S και ο παρακάτω αλγόριθμος επεξεργασίας της. Να καταγράψετε την κατάσταση
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα
Σελίδα 1 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΕυρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα
17 Ευρωπαϊκά παράγωγα 17.1 Ευρωπαϊκά δικαιώματα Ορισμός 17.1. 1) Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς σε μία μετοχή είναι ένα συμβόλαιο που δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει μία μετοχή από τον εκδότη
Διαβάστε περισσότερα"Η απεραντοσύνη του σύμπαντος εξάπτει τη φαντασία μου. Υπάρχει ένα τεράστιο σχέδιο, μέρος του οποίου ήμουν κι εγώ".
"Η απεραντοσύνη του σύμπαντος εξάπτει τη φαντασία μου. Υπάρχει ένα τεράστιο σχέδιο, μέρος του οποίου ήμουν κι εγώ". "Ότι ανόητο είπα μπορεί και να είναι ένα ρέψιμο κάποιου ξεχασμένου αστέρα..." "Δεν κάνει
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ31: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 017-018 Φροντιστήριο 5 1. Δικαιολογήστε όλες τις απαντήσεις σας. i. Δώστε τις 3 βασικές ιδιότητες ενός AVL δένδρου.
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ/ΕΤΥ: Μεταπτυχιακό Μάθημα 8η Ενότητα: Γραμμικός Προγραμματισμός ως Υπορουτίνα για Επίλυση Προβλημάτων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr)
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss
Κεφάλαιο 1 Πίνακες και απαλοιφή Gauss Γύρω απ το γινομένου πινάκων Κάτι σαν τυπολόγιο Αν AB = C, τότε: 1 (C) i j = (i-γραμμή A) ( j-στήλη B) Το συμβολίζει εσωτερικό γινόμενο 2 (i-γραμμή C) = k(a) ik (k-γραμμή
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Διαβάστε περισσότεραα 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0,
Άλγεβρα Β Λυκείου - Πολυώνυμα: Θεωρία, Μεθοδολογία και Λυμένες ασκήσεις Κώστας Ράπτης Μάιος 2011 Μέρος I Πολυώνυμα 1 Πολυώνυμα 1.1 Στοιχεία ϑεωρίας Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφήςαx ν,
Διαβάστε περισσότεραΣχέσεις και ιδιότητές τους
Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΈννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν
1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή
Διαβάστε περισσότεραMartingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα
3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n 0 σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7. Μετασχηματισμός Laplace. 7.1 Εισαγωγή στον μετασχηματισμό Laplace
Κεφάλαιο 7 Μετασχηματισμός Laplace Σε αυτο το κεφάλαιο θα μελετήσουμε τη μέθοδο του μετασχηματισμού Laplace, η οποία αποτελεί μία από τις βασικές τεχνικές μαθηματικών προβλημάτων: μετασχηματίζει δύσκολα
Διαβάστε περισσότεραΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983
20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά
Διαβάστε περισσότεραΔ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. 1η σειρά ασκήσεων
Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α 1η σειρά ασκήσεων Ονοματεπώνυμο: Αριθμός μητρώου: Ημερομηνία παράδοσης: Μέχρι την Τρίτη 2 Απριλίου 2019 Σημειώστε τις ασκήσεις για τις οποίες έχετε παραδώσει λύση: 1
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ : ΕΞΙ
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1
Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) ύο καράβια αναχωρούν από το ίδιο λιµάνι. Το ένα κινείται µε 5 Km/h προς τα νότια και το άλλο µε Km/h προς τα ανατολικά. Να εκϕράσετε
Διαβάστε περισσότερα( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»
( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ
Διαβάστε περισσότεραΦυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 3 ο Κεφάλαιο Ηλεκτρικό Πεδίο. Ηλεκτρικό πεδίο. Παρασύρης Κώστας Φυσικός Ηράκλειο Κρήτης
Φσική Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθνσης Β Λκείο 3 ο Κεφάλιο Ηλεκτρικό Πεδίο 3 Ηλεκτρικό πεδίο Πρσύρης Κώστς Φσικός Ηράκλειο Κρήτης Φσική Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθνσης Β Λκείο 3 ο Κεφάλιο Ηλεκτρικό Πεδίο
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier
Διαβάστε περισσότεραΠερίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2
Το Μέτρο και η Διάσταση Hausdorff Γεωργακόπουλος Νίκος Τερεζάκης Αλέξης Περίληψη Αναπτύσσουμε τη ϑεωρία του μέτρου και της διάστασης Hausdorff με εφαρμογές στον υπολογισμό διαστάσεων συνόλων fractal (Θεώρημα
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace 1. Επίλυση Γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραCSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα
Θέματα Αλγορίθμων Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα 10η Ενότητα: Χρονικά Εξελισσόμενες ικτυακές Ροές Σπύρος Κοντογιάννης kntg@cse.ui.gr Τμήμα Μηχανικών Η/Υ &
Διαβάστε περισσότερασε ευκλείδειους χώρους και σε πολλαπλότητες Riemann
Κ Ε Ο μετασχηματισμός Riesz σε ευκλείδειους χώρους και σε πολλαπλότητες Riemann Διπλωματική Εργασία στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα 213 Αφιερώνεται
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Το εκπαιδευτικό υλικό που παρουσιάζεται βασίζεται
Διαβάστε περισσότεραPointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2
Pointers 1 Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 1 Μνήμη μεταβλητών Κάθε μεταβλητή έχει διεύθυνση Δεν χρειάζεται
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ. ΘΕΜΑ 1ο
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1ο ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.
ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.
ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται
Διαβάστε περισσότεραL A TEX 2ε. mathematica 5.2
Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica
Διαβάστε περισσότερα