ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Αποκωδικοποιητής Μέγιστης Πιθανοφάνειας για Κώδικες LDPC και Υλοποίηση σε FPGA ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του ΠΑΝΑΓΙΩΤΗ Ι. ΜΕΡΜΙΓΚΑ Επιβλέπων: Βασίλης Παλιουράς Επίκουρος Καθηγητής Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Πάτρα, Φεβρουάριος 2013

2 ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Πιστοποιείται ότι η Διπλωματική Εργασία με θέμα «Αποκωδικοποιητής Μέγιστης Πιθανοφάνειας για Κώδικες LDPC και Υλοποίηση σε FPGA» του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Παναγιώτη Μέρμιγκα του Ιωάννη Αριθμός Μητρώου: 6316 Παρουσιάστηκε δημόσια και εξετάστηκε στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών στις 21 / 2 / 2013 Ο Επιβλέπων Ο Διευθυντής του Τομέα Βασίλης Παλιουράς Επίκουρος Καθηγητής Ευθύμιος Χούσος Καθηγητής

3 Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Θέμα: «Αποκωδικοποιητής Μέγιστης Πιθανοφάνειας για Κώδικες LDPC και Υλοποίηση σε FPGA» Φοιτητής: Παναγιώτης Μέρμιγκας Επιβλέπων: Βασίλης Παλιουράς Περίληψη Στο πρώτο μέρος της παρούσας Διπλωματικής Εργασίας εισάγονται οι βασικές έννοιες της Θεωρίας Κωδικοποίησης και των Τηλεπικοινωνιακών Συστημάτων. Για τη διόρθωση λαθών στην περίπτωση της μετάδοσης μέσω ενός θορυβώδους καναλιού εφαρμόζεται κωδικοποίηση καναλιού με Γραμμικούς Μπλοκ Κώδικες, και πιο συγκεκριμένα Κώδικες Χαμηλής Πυκνότητας Ελέγχου Ισοτιμίας (Low- Density Parity-Check Codes, LDPC). Ορίζεται η μαθηματική περιγραφή των κωδίκων αυτών και διατυπώνονται σχετικοί ορισμοί και θεωρήματα. Επίσης, διατυπώνεται το κριτήριο Μέγιστης Πιθανοφάνειας, στο οποίο βασίζεται η ανάπτυξη του αντίστοιχου αποκωδικοποιητή. Το δεύτερο μέρος περιλαμβάνει την εξομοίωση του αποκωδικοποιητή Μέγιστης Πιθανοφάνειας στο λογισμικό και την υλοποίησή του σε FPGA, στις περιπτώσεις όπου χρησιμοποιούνται Soft ή Hard είσοδοι στον αποκωδικοποιητή. Ακόμη, παρουσιάζεται η Αρχιτεκτονική του αποκωδικοποιητή και η Μεθοδολογία Σχεδίασής του. Παρουσιάζονται βελτιώσεις στη σχεδίαση του αποκωδικοποιητή που οδηγούν σε μείωση της απαιτούμενης επιφάνειας στο υλικό. Τα αποτελέσματα που προκύπτουν από τις μετρήσεις των δύο υλοποιήσεων συγκρίνονται με την περίπτωση αποκωδικοποιητή βασισμένο σε επαναλήψεις και εξάγονται τα διαγράμματα ρυθμού σφαλμάτων bit και τα αντίστοιχα συμπεράσματα.

4 Ευχαριστίες Η παρούσα διπλωματική εργασία αναπτύχθηκε στο Εργαστήριο Ολοκληρωμένων Κυκλωμάτων του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών του Πανεπιστημίου Πατρών. Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Βασίλη Παλιουρά, καθώς μέσω της επιλογής ενός ενδιαφέροντος θέματος και των απεριόριστων γνώσεων που διαθέτει, ενίσχυσε τη θέλησή μου να ασχοληθώ με το αντικείμενο στο μέγιστο. Ακόμη περισσότερο, θα ήθελα να τον ευχαριστήσω για την καθοδήγηση και τις συμβουλές που μου παρείχε, καθώς και για το γεγονός ότι ήταν πάντα διαθέσιμος για να λύσει τις απορίες που προέκυπταν. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους τους μεταπτυχιακούς φοιτητές του εργαστηρίου για την ηθική και έμπρακτη βοήθεια που μου παρείχαν, όπως επίσης και το Εργαστήριο για τη διάθεση των FPGAs και λογισμικού που ήταν απαραίτητα για την ολοκλήρωση της εργασίας. Τέλος, θα ήθελα ακόμη να ευχαριστήσω τους γονείς μου και την οικογένειά μου, οι οποίοι με βοήθησαν να προσπεράσω τις προσωπικές δυσκολίες που συνάντησα με τη συμπαράσταση και την αγάπη τους.

5 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή Θεωρία Κωδικοποίησης και Θεωρία Πληροφορίας Το Τηλεπικοινωνιακό Σύστημα Θεωρητικές Έννοιες Θόρυβος Λευκός θόρυβος Η έννοια του E b /N Το E b /N 0 ως δείκτης απόδοσης ψηφιακών συστημάτων Ρυθμός Σφαλμάτων Bit (Bit Error Rate - BER) και διαγράμματα BER P B vs E b /N Συμβιβασμοί συστημάτων μεταξύ ποιότητας και ταχύτητας Κέρδος Κωδικοποίησης (Coding Gain) Αριθμητική modulo Γραμμικοί Μπλοκ Κώδικες Βασικές Έννοιες Περιγραφή Γραμμικών Μπλοκ Κωδίκων με Γεννήτορες Πίνακες Ο Πίνακας Ελέγχου Ισοτιμίας (Parity Check Matrix) και Δυϊκοί Κώδικες (Dual Codes) Μερικά Απλά Όρια για Μπλοκ Κώδικες Κώδικες Χαμηλής Πυκνότητας Ελέγχου Ισοτιμίας (Low-Density Parity-Check Codes, LDPC Codes) Εισαγωγή Αναπαράσταση των κωδίκων LDPC Αναπαράσταση με πίνακα

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Γραφική αναπαράσταση - Γράφημα Tanner Κανονικοί και μη κανονικοί κώδικες LDPC Σχετικά με την κατασκευή κωδίκων LDPC Επιδόσεις & Πολυπλοκότητα Αποκωδικοποίηση κωδίκων LDPC Βέλτιστος Ανιχνευτής Ο Βέλτιστος Ανιχνευτής Ειδική περίπτωση: Ανίχνευση δυαδικών σημάτων Hard/Soft Decision Δεδομένα προβλήματος Τιμές που χρησιμοποιούνται στην προσομοίωση BER για διαμόρφωση BPSK χωρίς κωδικοποίηση Θεωρητικός υπολογισμός του BER Προσομοίωση στο MATLAB Μεθοδολογία Σχεδίασης Συστήματος Μεθοδολογία Σχεδίασης Συστήματος Περιγραφή στο Λογισμικό Διαδικασία προσομοίωσης στο MATLAB Σύγκριση αποκωδικοποιήσεων : Hard - Soft Εύρεση ελάχιστης απόστασης κώδικα και κατανομή του minimum distance Iterative vs ML Κατασκευή μεγαλύτερων σε διαστάσεις G, H Αρχιτεκτονική Συστήματος Επεξήγηση κυκλώματος σε υψηλό επίπεδο LFSR Κωδικοποιητής - Encoder Κανάλι - Channel Αποκωδικοποιητής - Decoder Κύκλωμα σύγκρισης και συγχρονισμού των επιμέρους υπομονάδων Η υλοποίηση του αποκωδικοποιητή ML ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 6

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Περιγραφή δομικών στοιχείων Βελτιώσεις στην υλοποίηση του αποκωδικοποιητή Εφαρμογή διασωλήνωσης (Pipelining) Περιγραφή στο Υλικό και μετρήσεις Περιγραφή στο Υλικό Προσομοίωση στο Modelsim Ορθότητα και επαναχρησιμοποίηση κώδικα Αποτελέσματα σύνθεσης και Translate, Map & Routing συστήματος FPGA Αποτελέσματα και διαγράμματα BER Συμπεράσματα 81 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7

8 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Θεωρία Κωδικοποίησης και Θεωρία Πληροφορίας Προκειμένου να εκτιμήσουμε τη συνεισφορά της κωδικοποίησης και να κατανοήσουμε τους περιορισμούς της, απαιτούνται κάποιες βασικές γνώσεις για τη θεωρία πληροφορίας και το πώς τα βασικά θεωρήματά της οριοθετούν τις επιδόσεις ενός ψηφιακού συστήματος επικοινωνίας. Στην πραγματικότητα, η θεωρία πληροφορίας σχετίζεται όλο και περισσότερο με την θεωρία κωδικοποίησης, επειδή με τις πρόσφατες εξελίξεις στη θεωρία κωδικοποίησης είναι δυνατό να επιτευχθούν τα όρια των επιδόσεων της θεωρίας πληροφορίας, ενώ στο παρελθόν τα όρια ήταν περισσότερο ένας αποπροσανατολιστικός παράγοντας που ουσιαστικά καθυστερούσε την έρευνα στο πεδίο της θεωρίας κωδικοποίησης. Μέρος αυτής της επιτυχίας οφείλεται στην τοποθέτηση του προβλήματος κωδικοποίησης πιο στενά στο τηλεπικοινωνιακό του πλαίσιο, συνδυάζοντας το πρόβλημα κωδικοποίησης με τη διαδικασία ανίχνευσης του σήματος, αντί της αντιμετώπισης του προβλήματος κωδικοποίησης ως ένα ξεχωριστό κομμάτι. Η θεωρία πληροφορίας αντιμετωπίζει την πληροφορία σχεδόν ως φυσική ποσότητα η οποία μπορεί να μετρηθεί, να μετατραπεί, να αποθηκευθεί, και να μεταφερθεί από τόπο σε τόπο. Μία βασική έννοια της θεωρίας πληροφορίας είναι ότι η πληροφορία μεταφέρεται μέσω της κατανομής της αβεβαιότητας (conveyed by the resolution of uncertainty). Η πληροφορία μπορεί να μετρηθεί μέσω του ποσού της αβεβαιότητας που υπεισέρχεται. Για παράδειγμα, εάν μία ψηφιακή πηγή εκπέμπει πάντα την ίδια τιμή, έστω 1, τότε δεν αποκτούμε καμία πληροφορία με την παρατήρηση ότι η πηγή έχει παράγει, για πολλοστή φορά την έξοδο 1. Πιθανότητες χρησιμοποιούνται για τη μαθηματική περιγραφή αυτής της αβεβαιότητας. Για μία διακριτή τυχαία μεταβλητή X (δηλαδή, για μία πηγή που παράγει διακριτές τιμές, όπως X = 0 ή X = l), η πληροφορία που μεταφέρεται από την παρατήρηση ενός αποτελέσματος x είναι log 2 P (X = x) bits. Για παράδειγμα, αν 8

9 1.1. Θεωρία Κωδικοποίησης και Θεωρία Πληροφορίας P (X = 1) = 1 (το αποτέλεσμα 1 είναι βέβαιο), παρατηρώντας το X = 1 αποδίδει log 2 1 = 0 bits πληροφορίας. Από την άλλη πλευρά, παρατηρώντας το X = 0 σε αυτήν την περίπτωση αποδίδει log 2 0 =, δηλαδή εντελώς απρόσμενο παρατηρώντας ένα αδύνατο αποτέλεσμα. Η εντροπία είναι η μέση πληροφορία. Για μία δυαδική πηγή X που έχει δύο πιθανά αποτελέσματα, τα οποία συμβαίνουν με πιθανότητες p και 1 p, η δυαδική συνάρτηση εντροπίας, που συμβολίζεται είτε ως H 2 (X) (που δηλώνει ότι είναι η εντροπία της πηγής) είτε ως H 2 (p) (που δηλώνει ότι πρόκειται για μία συνάρτηση των πιθανοτήτων των αποτελεσμάτων), είναι H 2 (X) = H 2 (p) = E[ log 2 P (X)] = p log 2 (p) (1 p) log 2 (1 p) bits. Το διάγραμμα της δυαδικής συνάρτησης εντροπίας ως συνάρτηση του p φαίνεται στο Σχήμα 1.1. Το μέγιστο, 1, της πληροφορίας, παρουσιάζεται όταν p = 1 2. Σχήμα 1.1: Η συνάρτηση της δυαδικής συνάρτησης εντροπίας H 2 (p). Για μία πηγή X που έχει M πιθανά αποτελέσματα x 1, x 2,..., x M, με πιθανότητες P (X = x i ) = p i, i = 1, 2,..., M, η εντροπία είναι M H(X) = E[ log 2 P (X)] = p i log 2 p i bits. Λόγω της σύγχυσης μεταξύ του bit ως μονάδα του πληροφοριακού περιεχομένου και του bit ως μονάδα αποθήκευσης, η μονάδα του πληροφοριακού περιεχομένου μερικές φορές ονομάζεται Shannon, ως φόρος τιμής στον ιδρυτή της θεωρίας πληροφοριών, Claude Shannon. i=1 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 9

10 1.2. Το Τηλεπικοινωνιακό Σύστημα 1.2 Το Τηλεπικοινωνιακό Σύστημα Σχήμα 1.2: Το γενικό πλαίσιο για τις ψηφιακές επικοινωνίες. Ένα ψηφιακό σύστημα επικοινωνίας ενσωματώνει λειτουργίες για την εκτέλεση πράξεων πάνω σε πληροφορίες. Το Σχήμα 1.2 απεικονίζει ένα αρκετά γενικό πλαίσιο για έναν ενιαίο ψηφιακό σύνδεσμο επικοινωνίας. Σε αυτόν τον σύνδεσμο, τα ψηφιακά δεδομένα από μία πηγή κωδικοποιούνται και διαμορφώνονται (και ενδεχομένως κρυπτογραφούνται) για την επικοινωνία μέσω ενός καναλιού. Στην άλλη άκρη του καναλιού, τα δεδομένα αποδιαμορφώνονται, αποκωδικοποιούνται (και ενδεχομένως να αποκρυπτογραφούνται), και καταλήγουν στον δέκτη. Όλα τα στοιχεία σε αυτόν τον σύνδεσμο έχουν μαθηματικές περιγραφές και θεωρήματα από τη θεωρία πληροφορίας που διέπουν την απόδοσή τους. Το διάγραμμα δείχνει την περιοχή της εφαρμογής των τριών μεγάλων θεωρημάτων της θεωρίας πληροφορίας. Υπάρχουν πολλά είδη κωδίκων που εφαρμόζονται σε ένα σύστημα επικοινωνίας. Οι κώδικες που θα μας απασχολήσουν στο εξής αφορούν το κανάλι. Η πηγή (source) είναι τα στοιχεία προς μετάδοση, όπως ένα αρχείο στον υπολογιστή, μία ακολουθία βίντεο, ή μία τηλεφωνική συνομιλία. Για τους σκοπούς μας, αναπαρίσταται σε ψηφιακή μορφή, ως αποτέλεσμα μίας αναλογικής προς ψηφιακής μετατροπής. Από τη σκοπιά της θεωρίας πληροφορίας, οι πηγές θεωρούνται ως ακολουθίες τυχαίων αριθμών που διέπονται από κάποια κατανομή πιθανοτήτων. Κάθε πηγή δεδομένων έχει ένα μέτρο των πληροφοριών που αναπαριστά, η οποία (εξ ορισμού) μπορεί να ποσοτικοποιηθεί ακριβώς με μονάδες εντροπίας. Ο κωδικοποιητής πηγής (source encoder) συμπιέζει τα δεδομένα αφαιρώντας την περιττή πληροφορία. Το ποσό που μία συγκεκριμένη πηγή δεδομένων μπορεί να συμπιέσει χωρίς καμία Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 10

11 1.2. Το Τηλεπικοινωνιακό Σύστημα απώλεια πληροφοριών (συμπίεση χωρίς απώλειες) διέπεται θεωρητικά από το θεώρημα κωδικοποίησης πηγής: Θεώρημα 1.1 (Θεώρημα Κωδικοποίησης Πηγής - Source Coding Theorem). Μία πηγή πληροφορίας μπορεί να αναπαρασταθεί χωρίς καμία απώλεια πληροφορίας με τέτοιο τρόπο ώστε το ποσό της αποθήκευσης που απαιτείται (σε bits) να είναι ίσο με το ποσό του περιεχομένου της πληροφορίας - την εντροπία - σε bits ή Shannons. Για να επιτευχθεί αυτό το κατώτατο όριο, μπορεί να είναι απαραίτητο πολύ μεγάλα μπλοκ δεδομένων να κωδικοποιηθούν από κοινού. Κατά τη συμπίεση μίας ροής δεδομένων, ο κωδικοποιητής πηγής αφαιρεί τα περιττά στοιχεία που βρίσκονται στα δεδομένα. Επομένως, τα 0 και 1 εμφανίζονται με ίση πιθανότητα στα συμπιεσμένα δεδομένα (διαφορετικά, θα υπήρχαν κάποια περιττά στοιχεία που θα μπορούσαν να αξιοποιηθούν για περαιτέρω συμπίεση των δεδομένων). Έτσι, συχνά θεωρούμε ότι στην έξοδο του κωδικοποιητή πηγής τα 0 και 1 εμφανίζονται με ίση πιθανότητα. Ο κωδικοποιητής πηγής χρησιμοποιεί ειδικούς τύπους κωδίκων για να κάνει τη συμπίεση δεδομένων (για παράδειγμα κωδικοποίηση Huffman, run-length κωδικοποίηση, arithmetic coding, Lempel-Ziv κωδικοποίηση, κ.ά.). Εάν τα δεδομένα πρέπει να συμπιεστούν κάτω από τον ρυθμό εντροπίας της πηγής, τότε κάποιο είδος παραμόρφωσης πρέπει να συμβεί. Έτσι, προκύπτει η συμπίεση δεδομένων με απώλειες. Στην περίπτωση αυτή, ένα άλλο θεώρημα διέπει την αναπαράσταση των δεδομένων. Τα θεωρητικά όρια της συμπίεσης με απώλειες καθορίζονται από το θεώρημα ρυθμού-παραμόρφωσης (rate-distortion theorem) της θεωρίας πληροφορίας. Ένα ενδιαφέρον αποτέλεσμα παρουσιάζεται στο επόμενο θεώρημα: Θεώρημα 1.2 (Θεώρημα Ρυθμού-Παραμόρφωσης - Rate-Distortion Theorem). Είναι δυνατό να γίνει συμπίεση με απώλειες, με τρόπο που να ελαχιστοποιεί τον βαθμό της παραμόρφωσης για έναν δεδομένο ρυθμό μετάδοσης. Για μία δυαδική πηγή με ισοπίθανα αποτελέσματατα, ο ελάχιστος ρυθμός με τον οποίο τα δεδομένα μπορούν να συμπιεστούν, με τη μέση παραμόρφωση ανά bit ίση με p, είναι r = 1 H 2 (p) p 1 2 H συμπίεση δεδομένων με απώλειες χρησιμοποιεί ειδικά είδη κωδίκων. Ο κρυπτογράφος (encrypter) κρύβει ή κρυπτογραφεί τις πληροφορίες, έτσι ώστε μη πιστοποιημένοι ακροατές να μην μπορούν να διακρίνουν το περιεχόμενο των πληροφοριών. Οι κώδικες Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 11

12 1.2. Το Τηλεπικοινωνιακό Σύστημα που χρησιμοποιούνται για την κρυπτογράφηση είναι γενικά διαφορετικοί από τους κώδικες που χρησιμοποιούνται για τη διόρθωση λαθών. Ο κωδικοποιητής καναλιού (channel coder) είναι το πρώτο βήμα στη διαδικασία της ανίχνευσης ή διόρθωσης λαθών. Ο κωδικοποιητής καναλιού προσθέτει περιττή πληροφορία στη ροή των συμβόλων εισόδου με τρόπο που επιτρέπει σε σφάλματα τα οποία εισάγονται στο κανάλι να διορθώνονται. Μπορεί να φαίνεται περίεργο να αφαιρείται πλεονασμός με τον κωδικοποιητή πηγής, και ακριβώς μετά να προστίθεται πλεονασμός με τον κωδικοποιητή καναλιού. Ωστόσο, ο πλεονασμός στην πηγή συνήθως εξαρτάται από την πηγή με ένα μη δομημένο τρόπο και μπορεί να μην παρέχει ομοιόμορφη προστασία σε όλες τις πληροφορίες της ροής δεδομένων, ούτε παρέχει καμία ένδειξη του πώς προέκυψαν τα σφάλματα ή πώς να διορθωθούν. Ο πλεονασμός που υπεισέρχεται από τον κωδικοποιητή καναλιού, από την άλλη πλευρά, εισάγεται με δομημένο τρόπο, ακριβώς για να παρέχει την δυνατότητα ελέγχου των σφαλμάτων. Θεώρημα 1.3 (Θεώρημα Διαχωρισμού Πηγής-Καναλιού - Source-Channel Separation Theorem). Η αντιμετώπιση των προβλημάτων της συμπίεσης των δεδομένων και της διόρθωσης λαθών χωριστά, αντί για την αναζήτηση μίας βέλτιστης λύσης για την από κοινού κωδικοποίηση πηγής και καναλιού, είναι ασυμπτωτικά βέλτιστη (καθώς τα μεγέθη μπλοκ αυξάνονται σε μέγεθος). Λόγω του πλεονασμού που εισήγαγε ο κωδικοποιητής καναλιού, θα πρέπει να υπάρχουν περισσότερα σύμβολα στην έξοδό του απ ότι στην είσοδο. Συχνά, ένας κωδικοποιητής καναλιού λειτουργεί αποδέχοντας ένα μπλοκ από k σύμβολα εισόδου και παράγοντας στην έξοδό του ένα μπλοκ από n σύμβολα, με n > k. Ο διαμορφωτής (modulator) μετατρέπει ακολουθίες συμβόλων από τους κωδικοποιητές καναλιού σε σήματα κατάλληλα για μετάδοση μέσω του καναλιού. Πολλά κανάλια απαιτούν τα σήματα να στέλνονται ως μία σταθερή τάση, ή ως μία ηλεκτρομαγνητική κυματομορφή σε μία καθορισμένη ζώνη συχνοτήτων. Ο διαμορφωτής παρέχει την κατάλληλη αναπαράσταση για το εκάστοτε κανάλι. Το κανάλι (channel) είναι το μέσο μέσω του οποίου μεταφέρονται οι πληροφορίες. Παραδείγματα καναλιών είναι οι τηλεφωνικές γραμμές, καλώδια internet, γραμμές οπτικών ινών, ραδιοφωνικά μικροκυματικά κανάλια, κανάλια υψηλών συχνοτήτων, κανάλια κινητής τηλεφωνίας, κλπ. Αυτά είναι τα κανάλια στα οποία οι πληροφορίες μεταφέρονται μεταξύ δύο διαφορετικών τόπων. Πληροφορίες μπορούν επίσης να μεταφέρονται μεταξύ δύο διαφορετικών χρονικών στιγμών, για παράδειγμα, γράφοντας πληροφορίες σε ένα δίσκο του υπολογιστή, και ανακτώντας τες Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 12

13 1.2. Το Τηλεπικοινωνιακό Σύστημα αργότερα. Σκληροί δίσκοι, δισκέτες, CD-ROM, DVD, και μνήμες στερεάς κατάστασης είναι άλλα παραδείγματα των καναλιών. Καθώς τα σήματα ταξιδεύουν μέσω ενός καναλιού παραμορφώνονται. Για παράδειγμα, σε ένα σήμα μπορεί να έχει προστεθεί θόρυβος, μπορεί να εμφανίζονται χρονικές καθυστερήσεις, να εξασθενεί λόγω απόστασης διάδοσης, ή μπορεί να αντανακλάται πολλαπλές φορές από αντικείμενα στην πορεία του. Επίσης, μπορεί να εμφανιστούν παρεμβολές από άλλα κανάλια. Ακόμη, η μη γραμμική απόκριση συχνότητας του καναλιού μπορεί να εισάγει διασυμβολική παρεμβολή. Υπό ορισμένες συνθήκες, όλα τα παραπάνω μπορεί να συμβαίνουν ταυτόχρονα. Για τους σκοπούς της ανάλυσης, τα κανάλια συχνά χαρακτηρίζονται από μαθηματικά μοντέλα, που (ελπίζεται) ότι είναι αρκετά ακριβή ώστε να είναι αντιπροσωπευτικά των ιδιοτήτων του πραγματικού καναλιού, αλλά είναι επίσης αρκετά αφηρημένα ώστε να αποφέρουν εύχρηστα μαθηματικά. Θα αναφερθούμε αναλυτικότερα σε επόμενο υποκεφάλαιο σε ένα εξιδανικευμένο μοντέλο καναλιού, που ονομάζεται Κανάλι Προσθετικού Λευκού Γκαουσιανού Θορύβου (Additive White Gaussian Noise - AWGN). Αν και τα εξιδανικευμένα μοντέλα δεν αντιπροσωπεύουν όλα τα πιθανά προβλήματα που ένα σήμα μπορεί να εμφανίσει, αποτελούν ένα πρώτο σημείο για πολλά, αν όχι για τα περισσότερα, από τα πιο ολοκληρωμένα μοντέλα καναλιού. Η εμπειρία που έχει αποκτηθεί από τη μελέτη αυτών των απλούστερων μοντέλων καναλιών αποτελεί θεμέλιο για τα πιο ακριβή και περίπλοκα μοντέλα καναλιού. Τα κανάλια έχουν διαφορετική ικανότητα στη μεταφορά των πληροφοριών. Αυτό σημαίνει ότι μία οπτική ίνα είναι σε θέση να μεταφέρει περισσότερη πληροφορία από μία απλή χάλκινη γραμμή τηλεφώνου. Με κάθε κανάλι σχετίζεται η χωρητικότητα του καναλιού C, που δείχνει πόση πληροφορία μπορεί να μεταφέρει αξιόπιστα. Η αξιόπιστη πληροφορία που μπορεί να μεταφέρει ένα κανάλι είναι στενά συνδεδεμένη με τη χρήση κωδίκων διόρθωσης λαθών. Το κυρίαρχο θεώρημα από τη θεωρία πληροφορίας του Shannon είναι το θεώρημα κωδικοποίησης καναλιού: Θεώρημα 1.4 (Θεώρημα Κωδικοποίησης Θορυβώδους Καναλιού Shannon - Noisy-Channel Coding Theorem). Το θεώρημα του Shannon δείχνει πως υπολογίζεται η χωρητικότητα του καναλιού χρησιμοποιώντας τη στατιστική περιγραφή του και αποδεικνύει ότι για ένα δεδομένο θορυβώδες κανάλι με χωρητικότητα C και ρυθμό μετάδοσης R, εάν ισχύει R < C, τότε υπάρχει ένας κώδικας, τέτοιoς ώστε η πιθανότητα σφάλματος στον δέκτη να γίνεται αυθαίρετα μικρή. Αυτό σημαίνει ότι, θεωρητικά, είναι δυνατή η μετάδοση πληροφορίας σχεδόν χωρίς σφάλματα μέχρι το όριο των C bits ανά δευτερόλεπτο. Όπως φαίνεται από το Σχήμα 1.2, η κωδικοποίηση καναλιού και η διαμόρφωση μπορούν να συνδυαστούν στην κωδικοποιημένη διαμόρφωση (coded modulation). Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 13

14 1.2. Το Τηλεπικοινωνιακό Σύστημα Ο αποδιαμορφωτής/ισοσταθμιστής (demodulator/equalizer) λαμβάνει το σήμα από το κανάλι και το μετατρέπει σε μία ακολουθία συμβόλων. Αυτό περιλαμβάνει συνήθως πολλές λειτουργίες, όπως φιλτράρισμα, αποδιαμόρφωση, συγχρονισμό φορέα, εκτίμηση χρονισμού συμβόλων, συγχρονισμό πλαισίων, και προσαρμογή φίλτρου, που ακολουθείται από ένα βήμα ανίχνευσης στο οποίο παίρνονται οι αποφάσεις σχετικά με τα μεταδιδόμενα σύμβολα. Ο αποκωδικοποιητής καναλιού (channel decoder) εκμεταλλεύεται τον πλεονασμό που εισήγαγε ο κωδικοποιητής καναλιού για να διορθώσει τυχόν λάθη που μπορεί να έχουν εισαχθεί. Όπως φαίνεται από το σχήμα, αποδιαμόρφωση, ισοστάθμιση, καθώς και αποκωδικοποίηση μπορούν να συνδυαστούν. Ο αποκρυπτογράφος (decrypter) αφαιρεί οποιαδήποτε κρυπτογράφηση. Ο αποκωδικοποιητής πηγής (source decoder) παρέχει μία ασυμπίεστη αναπαράσταση των δεδομένων. Ο δέκτης (sink) είναι ο τελικός προορισμός των δεδομένων. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 14

15 Κεφάλαιο 2 Θεωρητικές Έννοιες 2.1 Θόρυβος Ο όρος θόρυβος αναφέρεται σε ανεπιθύμητα ηλεκτρικά σήματα που είναι πάντα παρόντα σε ηλεκτρικά συστήματα. Η παρουσία του θορύβου πάνω σε ένα σήμα τείνει να το παραμορφώνει, με τέτοιο τρόπο ώστε να μην είναι δυνατόν να φανεί αν πρόκειται για το αρχικό σήμα ή για κάποιο διαφορετικό. Περιορίζει την ικανότητα του δέκτη να λαμβάνει σωστές αποφάσεις για τα σύμβολα, και ως εκ τούτου περιορίζει το ρυθμό μετάδοσης πληροφοριών. Ο θόρυβος προέρχεται από μία ποικιλία πηγών, τεχνητές και φυσικές. Οι τεχνητές πηγές θορύβου περιλαμβάνουν πηγές όπως ο θόρυβος ανάφλεξης με σπινθήρα (spark-plug ignition noise), μεταβατικά ρεύματα (switching transients), και άλλα ηλεκτρομαγνητικά σήματα. Οι φυσικές πηγές θορύβου περιλαμβάνουν στοιχεία όπως η ατμόσφαιρα, ο ήλιος, και άλλες γαλαξιακές πηγές. Ο καλός σχεδιασμός των μηχανικών μπορεί να εξαλείψει ένα μεγάλο μέρος του θορύβου ή τα ανεπιθύμητα αποτελέσματα που επιφέρει, μέσα από το φιλτράρισμα, τη θωράκιση, την επιλογή της διαμόρφωσης, και την επιλογή της βέλτιστης τοποθεσίας του δέκτη. Για παράδειγμα, ευαίσθητες μετρήσεις στη ραδιοαστρονομία συνήθως βρίσκονται σε απομακρυσμένες περιοχές της ερήμου, μακριά από τεχνητές πηγές. Ωστόσο, υπάρχει μία φυσική πηγή θορύβου, που ονομάζεται θερμικός ή Johnson θόρυβος, που δεν μπορεί να εξαλειφθεί. Ο θερμικός θόρυβος οφείλεται στη θερμική κίνηση των ηλεκτρονίων σε όλα τα υλικά με απώλειες - αντιστάσεις, καλώδια και ούτω καθεξής. Τα ίδια τα ηλεκτρόνια που είναι υπεύθυνα για την ηλεκτρική αγωγιμότητα είναι επίσης υπεύθυνα για τον θερμικό θόρυβο. Μπορούμε να περιγράψουμε τον θερμικό θόρυβο ως μία μηδενικής μέσης τιμής γκαουσιανή τυχαία διαδικασία. Μία γκαουσιανή διαδικασία n(t) είναι μία τυχαία συνάρτηση, της οποίας η τιμή n οποιαδήποτε αυθαίρετη χρονική στιγμή t χαρακτηρίζεται στατιστικά από τη γκαουσιανή 15

16 2.1. Θόρυβος συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: p(n) = 1 σ 1 2( n σ) 2 2π e όπου σ 2 είναι η διακύμανση του n. Η κανονικοποιημένη ή τυποποιημένη γκαουσιανή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας - σ.π.π. (probability density function pdf) μίας μηδενικής μέσης τιμής διαδικασίας προκύπτει από την παραδοχή ότι σ = 1 και φαίνεται στο Σχήμα 2.1. Σχήμα 2.1: Κανονικοποιημένη γκαουσιανή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Συχνά, ένα τυχαίο σήμα θεωρείται ως το άθροισμα ενός σήματος DC και μίας γκαουσιανής τυχαίας μεταβλητής θορύβου. Δηλαδή, z = α + n όπου z είναι το τυχαίο σήμα, α είναι η DC συνιστώσα, και n είναι η γκαουσιανή τυχαία μεταβλητή θορύβου. Η γκαουσιανή κατανομή χρησιμοποιείται συχνά ως το μοντέλο του θορύβου του συστήματος εξαιτίας ενός θεωρήματος, που ονομάζεται κεντρικό οριακό θεώρημα: Θεώρημα 2.1 (Κεντρικό Οριακό Θεώρημα - Central Limit Theorem). Κάτω από αρκετά γενικές συνθήκες, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του αθροίσματος j στατιστικά ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών, προσεγγίζει τη γκαουσιανή κατανομή, καθώς j, ανεξάρτητα των επιμέρους κατανομών. Ως εκ τούτου, αν και οι επιμέρους μηχανισμοί του θορύβου μπορεί να έχουν μη γκαουσιανή κατανομή, το άθροισμα πολλών τέτοιων μηχανισμών θα τείνει προς μία γκαουσιανή. Κεφάλαιο 2. Θεωρητικές Έννοιες 16

17 2.1. Θόρυβος Λευκός θόρυβος Το κύριο φασματικό χαρακτηριστικό του θερμικού θορύβου είναι ότι η φασματική πυκνότητα ισχύος του είναι η ίδια για όλες τις συχνότητες που μας ενδιαφέρουν για τα περισσότερα συστήματα επικοινωνιών. Με άλλα λόγια, μία πηγή θερμικού θορύβου εκπέμπει ίση ποσότητα ισχύος θορύβου ανά μονάδα εύρους ζώνης σε όλες τις συχνότητες - από DC έως περίπου Hz. Ως εκ τούτου, ένα απλό μοντέλο του θερμικού θορύβου υποθέτει ότι η φασματική πυκνότητα ισχύος G n (f) είναι επίπεδη για όλες τις συχνότητες, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.2α, και συμβολίζεται ως G n (f) = N 0 2 [Watts/Hertz] (2.1) (α) Φασματική πυκνότητα ισχύος λευκού θορύβου. (β) Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης λευκού θορύβου. Σχήμα 2.2 όπου ο συντελεστής 2 περιλαμβάνεται για να δείξει ότι η G n (f) είναι μία διπλής όψης (twosided) φασματική πυκνότητα ισχύος. Όταν η ισχύς του θορύβου έχει μία τέτοια ομοιόμορφη φασματική πυκνότητα, τότε ο θόρυβος αναφέρεται ως λευκός θόρυβος (white noise). Το επίθετο λευκός χρησιμοποιείται με την ίδια έννοια, όπως το λευκό φως, το οποίο περιέχει ίσες ποσότητες όλων των συχνοτήτων στο ορατό φάσμα της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του λευκού θορύβου δίνεται από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier της φασματικής πυκνότητας ισχύος του θορύβου, και συμβολίζεται ως εξής: R n (τ) = F 1 {G n (f)} = N 0 δ(τ) (2.2) 2 Έτσι, η αυτοσυσχέτιση του λευκού θορύβου είναι μία δέλτα συνάρτηση σταθμισμένη με τον παράγοντα N 0 /2 και εμφανίζεται στο τ = 0, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.2β. Από τη γραφική Κεφάλαιο 2. Θεωρητικές Έννοιες 17

18 2.1. Θόρυβος παράσταση παρατηρούμε ότι η R n (τ) είναι μηδέν για τ 0. Δηλαδή, δύο οποιαδήποτε δείγματα λευκού θορύβου, ανεξάρτητα από το πόσο κοντά βρίσκονται στον χρόνο, είναι ασυσχέτιστα. Η μέση ισχύς P n του λευκού θορύβου είναι άπειρη, επειδή το εύρος ζώνης του είναι άπειρο. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί με τον υπολογισμό της μέσης ισχύος: P n = G n (f) df = N 0 2 df = Αν και ο λευκός θόρυβος συμβάλλει στην αφαιρετικότητα, καμία διαδικασία θορύβου δεν μπορεί πραγματικά να είναι λευκή. Ωστόσο, ο θόρυβος που συναντάται σε πολλά πραγματικά συστήματα μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι περίπου λευκός. Μπορούμε να παρατηρήσουμε αυτόν τον θόρυβο μόνο αφού έχει περάσει μέσα από ένα πραγματικό σύστημα, το οποίο έχει ένα πεπερασμένο εύρος ζώνης. Έτσι, όσο το εύρος ζώνης του θορύβου είναι αισθητά μεγαλύτερο από αυτό του συστήματος, ο θόρυβος μπορεί να θεωρηθεί ότι έχει άπειρο εύρος ζώνης. Η εξίσωση (2.2) δείχνει ότι δύο οποιαδήποτε διαφορετικά δείγματα μίας διαδικασίας λευκού θορύβου είναι ασυσχέτιστα. Εφ όσον ο θερμικός θόρυβος είναι μία γκαουσιανή διαδικασία και τα δείγματα είναι ασυσχέτιστα, τα δείγματα θορύβου είναι επίσης ανεξάρτητα. Συνεπώς, η επίδραση στη διαδικασία ανίχνευσης ενός καναλιού με Προσθετικό Λευκό Γκαουσιανό Θόρυβο (Additive White Gaussian Noise - AWGN) είναι ότι ο θόρυβος επηρρεάζει κάθε μεταδιδόμενο σύμβολο ανεξάρτητα. Ένα τέτοιο κανάλι ονομάζεται κανάλι χωρίς μνήμη (memoryless channel). Ο όρος προσθετικός σημαίνει ότι ο θόρυβος απλά υπερτίθεται ή προστίθεται στο σήμα - ότι δεν υπάρχουν πολλαπλασιαστικοί μηχανισμοί στη διαδικασία. Εφόσον ο θερμικός θόρυβος είναι παρών σε όλα τα συστήματα επικοινωνιών και είναι η εξέχουσα πηγή θορύβου για τα περισσότερα συστήματα, τα χαρακτηριστικά του θερμικού θορύβου - προσθετικός, λευκός, και γκαουσιανός - χρησιμοποιούνται ευρέως για την μοντελοποίηση του θορύβου στα συστήματα επικοινωνιών. Αφού ο γκαουσιανός θόρυβος μηδενικής μέσης τιμής χαρακτηρίζεται πλήρως από την διασπορά του, το μοντέλο αυτό είναι ιδιαίτερα απλό για να το χρησιμοποιήσουμε στην ανίχνευση των σημάτων και στο σχεδιασμό βέλτιστων δεκτών. Στην εργασία αυτή θα υποθέσουμε, εκτός αν ορίζεται διαφορετικά, ότι το σύστημα είναι αλλοιωμένο από προσθετικό λευκό γκαουσιανό θόρυβο μηδενικής μέσης τιμής, ακόμη και αν αυτό μερικές φορές αποτελεί υπεραπλούστευση. Κεφάλαιο 2. Θεωρητικές Έννοιες 18

19 2.2. Η έννοια του E b /N Η έννοια του E b /N Το E b /N 0 ως δείκτης απόδοσης ψηφιακών συστημάτων Σε αντίθεση με τις αναλογικές επικοινωνίες, όπου η έννοια της απόδοσης εκφράζεται μέσω του λόγου ισχύος σήματος προς ισχύος θορύβου (Signal to Noise Ratio - S/N ή SNR), στις ψηφιακές επικοινωνίες χρησιμοποιείται πιο συχνά ο όρος E b /N 0. Στα ψηφιακά τηλεπικοινωνιακά συστήματα μεταδίδουμε (και λαμβάνουμε) σύμβολα χρησιμοποιώντας κυματομορφές μέσα σε ένα διάστημα, την περίοδο συμβόλου, T s. Στην περίπτωση ενός μεμονωμένου συμβόλου, προκύπτει ότι το ολοκλήρωμα της ισχύος σε όλο το μήκος του χρόνου τείνει στο μηδέν. Αντίθετα, η ενέργεια που περιέχει το μεταδιδόμενο σύμβολο (το ολοκλήρωμα, δηλαδή, της ισχύος στο διάστημα T s ) είναι πεπερασμένη. Επομένως η ενέργεια συμβόλου αποτελεί μία πιο χρήσιμη παράμετρο για τον χαρακτηρισμό ψηφιακών κυματομορφών. Εκτός αυτού, η ψηφιακή κυματομορφή είναι η αναπαράσταση ενός ψηφιακού μηνύματος, που αποτελείται από x bits (2 x -δικό μήνυμα). Έτσι, για την σύγκριση μεταξύ διαφορετικών συστημάτων σε επίπεδο bit, η περιγραφή με όρους SNR δεν είναι βολική, αφού θα πρέπει να ανάγουμε τις απαιτήσεις σε SNR σε απαιτήσεις SNR ανά bit. Παρακάτω θα δείξουμε ότι το E b /N 0 αποτελεί μία κανονικοποιημένη μορφή του SNR. E b είναι η ενέργεια ενός bit και ισούται με την ισχύ του σήματος S επί την διάρκεια ενός bit T b. N 0 είναι η φασματική πυκνότητα ισχύος θορύβου, και μπορεί να περιγραφεί ως ισχύς θορύβου N διαιρεμένη με το εύρος ζώνης W. Επειδή η διάρκεια του bit T b και ο ρυθμός μετάδοσης bit R b (= R) είναι αντίστροφοι, μπορούμε να γράψουμε E b = S T b N 0 N/W = S/R b N/W = S ( ) W N R (2.3) Από την παραπάνω εξίσωση φαίνεται ότι ο λόγος E b /N 0 είναι μία κανονικοποιημένη μορφή του SNR σύμφωνα με το εύρος ζώνης και τον ρυθμό μετάδοσης bit. Ο λόγος E b /N 0 είναι μία αδιάστατη ποσότητα: E b N 0 = Joule Watt / Hz = Watt s Watt s (2.4) Κεφάλαιο 2. Θεωρητικές Έννοιες 19

20 2.2. Η έννοια του E b /N Ρυθμός Σφαλμάτων Bit (Bit Error Rate - BER) και διαγράμματα BER P B vs E b /N 0 Ο Ρυθμός Σφαλμάτων Bit (Bit Error Rate - BER) ορίζεται ως ο αριθμός των λανθασμένων bits που λαμβάνουμε προς τον συνολικό αριθμό bits που στάλθηκαν και συμβολίζεται με P B. Στην περίπτωση που εφαρμόζονται κώδικες διόρθωσης λαθών με εισαγωγή πλεονάζοντων bits, ο ρυθμός σφαλμάτων bit υπολογίζεται με βάση τα bits που αφορούν την πληροφορία μόνο, ενώ αγνοούνται τα λάθη που συμβαίνουν στα πλεονάζοντα bits. Ένας από τους πιο σημαντικούς δείκτες της απόδοσης στα ψηφιακά τηλεπικοινωνιακά συστήματα είναι το διάγραμμα της πιθανότητας λάθους bit P B συναρτήσει του E b /N 0. Το Σχήμα 2.3 παρουσιάζει την μορφή καταρράκτη που έχουν αυτού του είδους οι συναρτήσεις. Για να επιτυγχάνεται μία δεδομένη πιθανότητα λάθους bit P 0 χρειάζεται να ισχύει E b /N 0 x 0. Το απαιτούμενο E b /N 0 μπορεί να θεωρηθεί δείκτης της απόδοσης τέτοιων συστημάτων. Όσο μικρότερο είναι το απαιτούμενο E b /N 0, τόσο πιο αποδοτική είναι η διαδικασία ανίχνευσης για μία δεδομένη πιθανότητα λάθους bit. Σχήμα 2.3: Γενική μορφή του διαγράμματος P B vs E b /N Συμβιβασμοί συστημάτων μεταξύ ποιότητας και ταχύτητας Στο Σχήμα 2.4, το οποίο παρουσιάζει ένα τυπικό διάγραμμα του ρυθμού σφαλμάτων bit ως προς το E b /N 0, παρουσιάζονται δύο καμπύλες. Η καμπύλη με τη συνεχή γραμμή αντιστοιχεί σε ένα σύστημα χωρίς κωδικοποίηση, ενώ η καμπύλη με τη διακεκομμένη σε ένα σύστημα όπου έχει εφαρμοστεί κώδικας διόρθωσης λαθών. Κεφάλαιο 2. Θεωρητικές Έννοιες 20

21 2.2. Η έννοια του E b /N 0 Σχήμα 2.4: Σύγκριση απόδοσης σε σύστημα χωρίς και με κωδικοποίηση. Με τη χρήση κωδίκων διόρθωσης λαθών υπεισέρχεται το επιπλέον κόστος για κωδικοποιητή και αποκωδικοποιητή. Όμως, μπορούμε να πετύχουμε διάφορους συμβιβασμούς μεταξύ παραμέτρων του συστήματος (Ρυθμός σφαλμάτων bit, Ρυθμός μετάδοσης δεδομένων, Εύρος ζώνης, Ισχύς, Καθυστέρηση). Περίπτωση 1: Ρυθμός σφαλμάτων bit - Ρυθμός μετάδοσης δεδομένων / Εύρος ζώνης Έστω ότι το σύστημα χωρίς κωδικοποίηση βρίσκεται στο σημείο λειτουργίας A του Σχήματος 2.4 (E b /N 0 = 8 db, και P B = 10 2 ). Εάν ήταν επιθυμητό να μειωθεί ο ρυθμός σφαλμάτων στην τιμή 10 4, θα έπρεπε το σημείο λειτουργίας να μετακινηθεί στο B. Στην περίπτωση όπου το μέγιστο διαθέσιμο E b /N 0 στο σύστημα είναι 8 db, από το διάγραμμα φαίνεται ότι μία πιθανή λύση είναι η μετακίνηση του σημείου λειτουργίας στο C, δηλαδή η εισαγωγή κώδικα διόρθωσης λαθών. Αν θεωρήσουμε ότι πρόκειται για ένα επικοινωνιακό σύστημα με απαιτήσεις σε πραγματικό χρόνο (στο οποίο τα μηνύματα δεν μπορούν να καθυστερήσουν), η προσθήκη περιττών bits επιβάλλει μεγαλύτερο ρυθμό μετάδοσης δεδομένων, ή ισοδύναμα, μεγαλύτερο εύρος ζώνης. Περίπτωση 2: Ισχύς - Ρυθμός μετάδοσης δεδομένων / Εύρος ζώνης Έστω ότι το σύστημα χωρίς κωδικοποίηση βρίσκεται στο σημείο λειτουργίας D του Σχήματος 2.4 (E b /N 0 = 14 db, και P B = 10 6 ). Εάν ήταν επιθυμητό να μειωθεί η ισχύς λειτουργίας του συστήματος, τότε θα έπρεπε να μειωθεί το E b /N 0 στο οποίο λειτουργεί, για παράδειγμα με την μετακίνηση στο σημείο λειτουργίας F. Εάν όμως υπήρχε ακόμη η απαίτηση να μην μειωθεί η ποιότητα της επικοινωνίας (δηλαδή να μην αυξηθεί ο ρυθμός σφαλμάτων bit), τότε μία πιθανή λύση είναι η μετακίνηση του σημείου λειτουργίας από το D στο E. Έτσι, με τη χρήση κωδίκων Κεφάλαιο 2. Θεωρητικές Έννοιες 21

22 2.3. Κέρδος Κωδικοποίησης (Coding Gain) διόρθωσης λαθών, μπορεί να επιτευχθεί μείωση στο απαιτούμενο E b /N 0, με την απαίτηση όμως (όπως και στην περίπτωση 1) για μεγαλύτερο ρυθμό μετάδοσης δεδομένων, ή ισοδύναμα, για μεγαλύτερο εύρος ζώνης. Στην περίπτωση των συστημάτων μη πραγματικού χρόνου, μπορούμε να πετύχουμε μικρότερο ρυθμό σφαλμάτων bit ή μείωση στην απαιτούμενη ισχύ (παρομοίως με τις περιπτώσεις 1 και 2) πληρώνοντας ως αντάλλαγμα καθυστέρηση αντί για εύρος ζώνης. 2.3 Κέρδος Κωδικοποίησης (Coding Gain) Για έναν δεδομένο ρυθμό σφαλμάτων bit, το Κέρδος Κωδικοποίησης (Coding Gain) ορίζεται ως η μείωση του E b /N 0 που επιτυγχάνεται με την χρήση κωδίκων διόρθωσης λαθών. Το κέρδος κωδικοποίησης G εκφράζεται συνήθως σε db, ως εξής: G(dB) = ( Eb N 0 ) (db) u ( Eb N 0 ) (db) (2.5) c όπου (E b /N 0 ) u και (E b /N 0 ) c αναπαριστούν το απαιτούμενο E b /N 0 στις περιπτώσεις χωρίς κωδικοποίηση και με κωδικοποίηση, αντίστοιχα. 2.4 Αριθμητική modulo-2 Στα επόμενα κεφάλαια, θα χρησιμοποιηθεί η έννοια της αριθμητικής modulo 2. Οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού στην αριθμητική modulo 2 ορίζονται ως εξής: A B A + B A B (modulo 2) (modulo 2) Πίνακας 2.1: Πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού modulo 2. Όπως παρατηρούμε, το αποτέλεσμα της πρόσθεσης modulo 2 ισοδύναμει με την πράξη XOR μεταξύ των bits, ενώ το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού modulo 2 είναι ισοδύναμο με απλό (boolean) πολλαπλασιασμό των bits. Κεφάλαιο 2. Θεωρητικές Έννοιες 22

23 Κεφάλαιο 3 Γραμμικοί Μπλοκ Κώδικες 3.1 Βασικές Έννοιες Έστω ότι μία πηγή που παράγει σύμβολα από ένα αλφάβητο A έχει q σύμβολα, όπου το A σχηματίζει ένα πεδίο. Αναφερόμαστε στην πλειάδα (c 0, c 1,..., c n 1 ) A n με n στοιχεία σαν ένα n-διάνυσμα ή μία n-πλειάδα. Ορισμός 3.1. Ένας (n, k) μπλοκ κώδικας (block code) C σε ένα αλφάβητο με q σύμβολα είναι ένα σύνολο από q k n-διανύσματα που ονομάζονται κωδικές λέξεις (codewords) ή κωδικά διανύσματα (code vectors). Με τον κώδικα είναι συνδεδεμένος ένας κωδικοποιητής (encoder) που αντιστοιχεί ένα μήνυμα (message), ή αλλιώς μία k-πλειάδα m A k, στην κωδική λέξη που του αντιστοιχεί. Ένας μπλοκ κώδικας για να είναι χρήσιμος σε διόρθωση λαθών θα πρέπει να υπάρχει μία προς μία αντιστοίχιση μεταξύ ενός μηνύματος m και της κωδικής του λέξης c. Ωστόσο, για ένα δοσμένο κώδικα C, μπορούν να υπάρξουν περισσότεροι τρόποι αντιστοίχισης μηνυμάτων σε κωδικές λέξεις. Ένας μπλοκ κώδικας μπορεί να αναπαρασταθεί σαν μία εξαντλητική λίστα, αλλά για μεγάλες τιμές του k αυτό θα ήταν απαγορευτικά σύνθετο στην αποθήκευση και αποκωδικοποίηση. Αυτή η πολυπλοκότητα μπορεί να μειωθεί εφαρμόζοντας μαθηματικές δομές στον κώδικα. Η πιο κοινή απαίτηση είναι η γραμμικότητα. Ορισμός 3.2. Ένας μπλοκ κώδικας C σε ένα πεδίο συμβόλων F q, μήκους n και που περιέχει q k κωδικές λέξεις είναι ένας q-ικά γραμμικός (linear) (n, k) κώδικας (μπορεί να συναντηθεί και ως [n, k]) αν και μόνο αν οι q k κωδικές λέξεις σχηματίζουν ένα k-διάστατο διανυσματικό υποχώρο του διανυσματικού χώρου F n q όλων των n-διανυσμάτων. Ο αριθμός n ονομάζεται μήκος (length) του κώδικα και ο αριθμός k είναι η διάσταση (dimension) του κώδικα. Ο ρυθμός (rate) του κώδικα είναι R = k/n. 23

24 3.1. Βασικές Έννοιες Για έναν γραμμικό κώδικα, το άθροισμα δύο κωδικών λέξεων είναι επίσης κωδική λέξη. Γενικότερα, οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός κωδικών λέξεων είναι κωδική λέξη. Ορισμός 3.3. Το βάρος Hamming (Hamming weight) wt(c) μίας κωδικής λέξης c είναι ο αριθμός των μη μηδενικών στοιχείων της κωδικής λέξης. Ορισμός 3.4. Το ελάχιστο βάρος (minimum weight) w min ενός κώδικα C είναι το μικρότερο βάρος Hamming οποιασδήποτε μη μηδενικής κωδικής λέξης: w min = min wt(c). c C,c 0 Ορισμός 3.5. Η απόσταση Hamming (Hamming distance) d H μεταξύ ενός διανύσματος x = [x 1, x 2,..., x n ] και ενός διανύσματος y = [y 1, y 2,..., y n ] είναι ο αριθμός των θέσεων στις οποίες διαφέρουν μεταξύ τους: d H (x, y) = όπου έχουμε χρησιμοποιήσει τον συμβολισμό [x i y i ] = { n [x i y i ], i=1 1 εάν x i y i 0 εάν x i = y i. Ορισμός 3.6. Η ελάχιστη απόσταση (minimum distance) d min ενός κώδικα C είναι η ελάχιστη απόσταση Hamming μεταξύ δύο οποιωνδήποτε λέξεων του κώδικα: d min = min d H (c i, c j ). c i,c j C,c i c j Θεώρημα 3.1. Για έναν γραμμικό κώδικα C, η ελάχιστη απόσταση d min ικανοποιεί τη σχέση d min = w min. Δηλαδή, η ελάχιστη απόσταση ενός γραμμικού κώδικα ισούται με το ελάχιστο βάρος των μη μηδενικών στοιχείων. Απόδειξη. Ισχύει ότι οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός κωδικών λέξεων είναι κωδική λέξη. Αν c i και c j είναι κωδικές λέξεις, τότε θα είναι και η διαφορά τους c i c j. Τότε: d min = min d H (c i, c j ) = c i,c j C,c i c j min d H (c i c j, c j c j ) = c i,c j C,c i c j min w(c) c C,c 0 Κεφάλαιο 3. Γραμμικοί Μπλοκ Κώδικες 24

25 3.2. Περιγραφή Γραμμικών Μπλοκ Κωδίκων με Γεννήτορες Πίνακες Έτσι, η ελάχιστη απόσταση ενός γραμμικού μπλοκ κώδικα μπορεί να βρεθεί χωρίς να εξετάσουμε την απόσταση μεταξύ όλων των πιθανών ζευγών κωδικών λέξεων. Ένας (n, k) κώδικας με ελάχιστη απόσταση d min συναντάται και ως (n, k, d min ) κώδικας. Η τυχαία διορθωτική ικανότητα ενός κώδικα με ελάχιστη απόσταση d min είναι t = (d min 1)/ Περιγραφή Γραμμικών Μπλοκ Κωδίκων με Γεννήτορες Πίνακες Αφού ένας γραμμικός μπλοκ κώδικας C αποτελεί ένα k-διάστατο διανυσματικό χώρο, τότε υπάρχουν k γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα τα οποία συμβολίζουμε g 0, g 1,..., g k 1 έτσι ώστε κάθε κωδική λέξη c στο C να μπορεί να αναπαρασταθεί ως γραμμικός συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων, c = m 0 g 0 + m 1 g m k 1 g k 1, (3.1) όπου m i F q (Για δυαδικούς κώδικες, όλες οι πράξεις της (3.1) γίνονται modulo 2, για κώδικες στο πεδίο F q, οι πράξεις γίνονται στο F q ). Θεωρώντας τα g i σαν διανύσματα γραμμής το ένα κάτω από το άλλο, σχηματίζουμε τον πίνακα G, διαστάσεων k n, G = g 0 g 1. g k 1. Αν ] m = [m 0 m 1 m k 1 τότε η παραπάνω Σχέση (3.1) γράφεται c = mg (3.2) και κάθε κωδική λέξη c C έχει μία τέτοια αναπαράσταση για κάποιο διάνυσμα m. Αφού οι γραμμές του G δημιουργούν (span) τον (n, k) γραμμικό κώδικα C, ο G λέγεται γεννήτορας πίνακας (generator matrix) του C. Η Σχέση (3.2) ισοδυναμεί με τη διαδικασία κωδικοποίησης του κώδικα C. Έτσι, η αναπαράσταση του κώδικα απαιτεί την αποθήκευση μόνο k διανυσμάτων, μήκους n (αντί για q k διανύσματα μήκους n που χρειάζονται για την αποθήκευση όλων των κωδικών λέξεων Κεφάλαιο 3. Γραμμικοί Μπλοκ Κώδικες 25

26 3.2. Περιγραφή Γραμμικών Μπλοκ Κωδίκων με Γεννήτορες Πίνακες ενός μη γραμμικού κώδικα). Αυτή η αναπαράσταση του κώδικα με τον γεννήτορα πίνακα G δεν είναι μοναδική. Από ένα δοσμένο πίνακα G, μπορούμε να αποκτήσουμε έναν άλλο γεννήτορα G κάνοντας πράξεις πάνω στις γραμμές του πίνακα (μη μηδενικός γραμμικός συνδυασμός γραμμών). Με αυτόν τον τρόπο η διαδικασία κωδικοποίησης c = mg αντιστοιχίζει τα μηνύματα m σε κωδικές λέξεις του C, αλλά όχι απαραίτητα στις ίδιες κωδικές λέξεις που παράγει ο αρχικός πίνακας G. Ορισμός 3.7. Έστω C ένας (n, k) μπλοκ κώδικας (όχι απαραίτητα γραμμικός). Ένας κωδικοποιητής είναι συστηματικός (systematic) εάν τα σύμβολα του μηνύματος m 0, m 1,..., m k 1 μπορούν να βρεθούν ρητά και αμετάβλητα στην κωδική λέξη. Δηλαδή, υπάρχουν συντεταγμένες i 0, i 1,..., i k 1 (οι οποίες είναι συχνά διαδοχικές, i 0, i 0 + 1,..., i 0 + k 1), έτσι ώστε c i0 = m 0, c i1 = m 1,..., c ik 1 = m k 1. Για έναν γραμμικό κώδικα, ο γεννήτορας για έναν συστηματικό κωδικοποιητή ονομάζεται συστηματικός γεννήτορας (systematic generator). Η ιδιότητα της συστηματικότητας θα πρέπει να τονιστεί ότι είναι ιδιότητα του κωδικοποιητή και όχι ιδιότητα του κώδικα. Για έναν γραμμικό μπλοκ κώδικα, η διαδικασία κωδικοποίησης που αναπαρίσταται με τον πίνακα G είναι συστηματική, εάν ο μοναδιαίος πίνακας μπορεί να εντοπιστεί στις σειρές του G. Συχνά, ένας συστηματικός γεννήτορας πίνακας είναι γραμμένος στη μορφή: p 0,0 p 0,1 p 0,n k ] p 1,0 p 1,1 p 1,n k G = [P I k = p 2,0 p 2,1 p 2,n k , (3.3).... p k 1,0 p k 1,1 p k 1,n k όπου I k είναι ο k k μοναδιαίος πίνακας και P είναι ένας πίνακας k (n k) ο οποίος δημιουργεί τα σύμβολα ισοτιμίας (parity symbols). Η διαδικασία κωδικοποίησης γράφεται ως: ] [ c = m [P I k = mp Η κωδική λέξη χωρίζεται σε δύο μέρη: το μέρος m αποτελείται από τα σύμβολα του μηνύματος, και το μέρος mp αποτελείται από τα σύμβολα ελέγχου ισοτιμίας (parity check symbols). Εκτελώντας στοιχειώδεις λειτουργίες μεταξύ των σειρών (αντικαθιστώντας μία σειρά με τον γραμμικό συνδυασμό κάποιων σειρών) δεν αλλάζει η κατανομή των σειρών, έτσι ώστε να προκύπτει ο ίδιος κώδικας. Αν δύο στήλες του γεννήτορα πίνακα εναλλαχθούν, τότε οι αντίστοιχες θέσεις ] m Κεφάλαιο 3. Γραμμικοί Μπλοκ Κώδικες 26

27 3.3. Ο Πίνακας Ελέγχου Ισοτιμίας (Parity Check Matrix) και Δυϊκοί Κώδικες (Dual Codes) του κώδικα αλλάζουν, αλλά η δομή των αποστάσεων του κώδικα διατηρείται. Ορισμός 3.8. Δύο γραμμικοί κώδικες που είναι ίδιοι, εκτός από μία εναλλαγή στοιχείων του κώδικα, λέγεται ότι είναι ισοδύναμοι (equivalent) κώδικες. Έστω ότι οι G και G είναι γεννήτορες πίνακες ισοδύναμων κωδίκων. Τότε οι G και G συνδέονται με συνδυασμό των παρακάτω πράξεων: 1. Εναλλαγές στηλών, 2. Στοιχειώδεις πράξεις μεταξύ των σειρών. Δεδομένου ενός τυχαίου γεννήτορα πίνακα G, είναι δυνατόν να τεθεί στη μορφή (3.3) με την εφαρμογή απαλοιφής Gauss με οδήγηση (Gaussian elimination with pivoting). 3.3 Ο Πίνακας Ελέγχου Ισοτιμίας (Parity Check Matrix) και Δυϊκοί Κώδικες (Dual Codes) Ορισμός 3.9. Έστω W ένας k-διάστατος υποχώρος ενός διανυσματικού χώρου V. Το σύνολο όλων των διανυσμάτων u V τα οποία είναι ορθογώνια σε όλα τα διανύσματα του W ονομάζεται δυϊκός χώρος (dual space) του W και συμβολίζεται με W (προφέρεται W perp ). Μερικές φορές συναντάται ως ορθογώνιο συμπλήρωμα (orthogonal complement) του W ή μηδενοχώρος (nullspace). Ισχύει ότι: W = {u V : u w = 0 για όλα τα w W } Θεώρημα 3.2. Έστω V ένας πεπερασμένης διάστασης διανυσματικός χώρος από n-πλειάδες, F n, με έναν υποχώρο W διάστασης k. Έστω U = W ότι είναι ο δυϊκός χώρος του W. Τότε dim(w ) = dim(v ) dim(w ) = n k Δεδομένου ότι ένας γραμμικός κώδικας C αποτελεί έναν k-διάστατο διανυσματικό υποχώρο του F n q, σύμφωνα με το Θεώρημα 3.2 θα πρέπει να υπάρχει ένας δυϊκός χώρος του C, διάστασης n k. Ορισμός Ο δυϊκός χώρος σε έναν (n, k) κώδικα C διάστασης k είναι ο (n, n k) δυϊκός κώδικας του C, που συμβολίζεται με C. Ένας κώδικας C τέτοιος ώστε C = C ονομάζεται αυτοδυϊκός κώδικας (self-dual code). Κεφάλαιο 3. Γραμμικοί Μπλοκ Κώδικες 27

28 3.3. Ο Πίνακας Ελέγχου Ισοτιμίας (Parity Check Matrix) και Δυϊκοί Κώδικες (Dual Codes) Ως διανυσματικός χώρος, ο C έχει μία βάση την οποία συμβολίζουμε με {h 0, h 1,..., h n k 1 }. Σχηματίζουμε έναν πίνακα H χρησιμοποιώντας αυτά τα διανύσματα βάσης ως σειρές: H = h 0 h 1. h n k 1 Αυτός ο πίνακας είναι γνωστός ως πίνακας ελέγχου ισοτιμίας (parity check matrix) για τον κώδικα C. Ο γεννήτορας πίνακας και ο πίνακας ελέγχου ισοτιμίας για έναν κώδικα ικανοποιούν τη σχέση:. GH T = 0 Ο πίνακας ελέγχου ισοτιμίας έχει την εξής σημαντική ιδιότητα: Θεώρημα 3.3. Έστω C ένας (n, k) γραμμικός κώδικας στο πεδίο F q, και H ένας πίνακας ελέγχου ισοτιμίας για τον C. Ένα διάνυσμα v F n q είναι κωδική λέξη αν και μόνο αν vh T = 0 Δηλαδή, οι κωδικές λέξεις του C βρίσκονται στον (αριστερό) μηδενοχώρο (nullspace) του H. Όταν ο G είναι σε συστηματική μορφή (3.3), ο πίνακας ελέγχου ισοτιμίας καθορίζεται εύκολα: ] H = [I n k P T (3.4) Συχνά, η εύρεση ενός πίνακα ελέγχου ισοτιμίας για έναν κώδικα επιτυγχάνεται με την κατασκευή ενός γεννήτορα πίνακα σε συστηματική μορφή και εφαρμόζοντας την (3.4). Η συνθήκη ch T = 0 επιβάλλει γραμμικούς περιορισμούς μεταξύ των bits του c, οι οποίοι ονομάζονται εξισώσεις ελέγχου ισοτιμίας (parity check equations). Ένας πίνακας ελέγχου ισοτιμίας για έναν κώδικα (είτε συστηματικός είτε όχι) παρέχει πληροφορίες σχετικά με την ελάχιστη απόσταση του κώδικα. Θεώρημα 3.4. Έστω ότι ένας γραμμικός μπλοκ κώδικας C έχει έναν πίνακα ελέγχου ισοτιμίας H. Η ελάχιστη απόσταση d min του C είναι ίση με το μικρότερο θετικό αριθμό στηλών του H που είναι γραμμικά εξαρτημένες. Δηλαδή, όλοι οι συνδυασμοί d min 1 στηλών είναι γραμμικά ανεξάρτητες, άρα υπάρχει κάποιο σύνολο d min στηλών, οι οποίες είναι γραμμικά εξαρτημένες. Κεφάλαιο 3. Γραμμικοί Μπλοκ Κώδικες 28

29 3.4. Μερικά Απλά Όρια για Μπλοκ Κώδικες 3.4 Μερικά Απλά Όρια για Μπλοκ Κώδικες Το Θεώρημα 3.4 οδηγεί στην εξής σχέση μεταξύ των d min, n και k: Θεώρημα 3.5 (Το Όριο Singleton - The Singleton Bound). Η ελάχιστη απόσταση για έναν (n, k) γραμμικό κώδικα είναι φραγμένη ως d min n k + 1 (3.5) Απόδειξη. Ένας (n, k) γραμμικός κώδικας έχει έναν πίνακα ελέγχου ισοτιμίας με n k γραμμικώς ανεξάρτητες γραμμές. Εφόσον η τάξη των γραμμών ενός πίνακα ισούται με την τάξη των στηλών του, rank(h) = n k. Οποιοσδήποτε συνδυασμός n k + 1 στηλών θα πρέπει επομένως να είναι γραμμικά εξαρτημένος. Σύμφωνα με το Θεώρημα 3.4, η ελάχιστη απόσταση δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από n k + 1. Αν προσεγγίσουμε γεωμετρικά τους κώδικες, γύρω από κάθε σημείο του κώδικα υπάρχει ένα σύννεφο από σημεία τα οποία αντιστοιχούν σε μη-κωδικές λέξεις. Για έναν q-ικό κώδικα, υπάρχουν (q 1)n διανύσματα σε απόσταση Hamming 1 από μία κωδική λέξη, (q 1) 2( n 2) σε απόσταση Hamming 2 από μία κωδική λέξη και, γενικά, (q 1) l( n l) διανύσματα σε απόσταση Hamming l από μία κωδική λέξη. Τα διανύσματα σε απόσταση Hamming d H t από μία κωδική λέξη σχηματίζουν μία σφαίρα που ονομάζεται σφαίρα Hamming (Hamming sphere) ακτίνας t. Ο αριθμός των κωδικών λέξεων που περιέχει μία σφαίρα Hamming ακτίνας t, για έναν κώδικα μήκους n πάνω σε ένα αλφάβητο q συμβόλων, συμβολίζεται V q (n, t), όπου V q (n, t) = t j=0 ( ) n (q 1) j (3.6) j Η οριοθετημένη με βάση την απόσταση σφαίρα αποκωδικοποίησης μίας κωδικής λέξης είναι η σφαίρα Hamming ακτίνας t = (d min 1)/2 γύρω από την κωδική λέξη. Ισοδύναμα, ένας κώδικας του οποίου η τυχαία διορθωτική ικανότητα είναι t πρέπει να έχει ελάχιστη απόσταση μεταξύ των κωδικών λέξεων που να ικανοποιεί τη σχέση d min 2t + 1. Ο πλεονασμός (redundancy) ενός κώδικα είναι ουσιαστικά ο αριθμός των συμβόλων ισοτιμίας σε μία κωδική λέξη. Πιο συγκεκριμένα έχουμε: r = n log q M, Κεφάλαιο 3. Γραμμικοί Μπλοκ Κώδικες 29

30 3.4. Μερικά Απλά Όρια για Μπλοκ Κώδικες όπου M είναι ο αριθμός των κωδικών λέξεων. Για έναν γραμμικό κώδικα έχουμε M = q k, οπότε r = n k. Θεώρημα 3.6 (Το Όριο Hamming - The Hamming Bound). Ένας t-τυχαίος q-ικός κώδικας διόρθωσης λαθών C πρέπει να έχει πλεονασμό r που να ικανοποιεί τη σχέση: r log q V q (n, t) Απόδειξη. Κάθε μία από τις M σφαίρες στον C έχει ακτίνα t. Δεν υπάρχει υπερκάλυψη των σφαιρών, αλλιώς δεν θα ήταν δυνατόν να αποκωδικοποιήσουμε t λάθη. Ο συνολικός αριθμός των σημείων που περικλείεται από τις σφαίρες πρέπει να είναι μικρότερος ή ίσος με q n. Πρέπει, δηλαδή, οπότε MV q (n, t) q n, q n /M V q (n, t), από την οποία το αποτέλεσμα προκύπτει παίρνοντας τον λογάριθμο log q και των δύο πλευρών. Ένας κώδικας που ικανοποιεί το όριο Hamming με την ισότητα χαρακτηρίζεται ως τέλειος κώδικας (perfect code). Στην πραγματικότητα, οι τέλειοι κώδικες δεν σημαίνει ότι είναι οι καλύτεροι δυνατοί κώδικες. Είναι απλώς μία ονομασία που σχετίζεται με τον τρόπο με τον οποίο τα σημεία κατανέμονται στις σφαίρες Hamming. Το σύνολο των τέλειων κωδίκων είναι στην πραγματικότητα πολύ περιορισμένο. Έχει αποδειχθεί [4] ότι το σύνολο των τέλειων κωδίκων είναι το εξής: 1. Το σύνολο όλων των n-πλειάδων, με ελάχιστη απόσταση d min = 1 και t = Περιττού μήκους δυαδικοί επαναληπτικοί κώδικες. 3. Δυαδικοί κώδικες Hamming (γραμμικοί) ή άλλοι μη γραμμικοί κώδικες με ισοδύναμες παραμέτρους. 4. Ο δυαδικός (23, 12, 7) κώδικας Golay G Ο τριαδικός (δηλαδή, πάνω στο GF (3)) (11, 6, 5) κώδικας G 11 και ο (23, 11, 5) κώδικας G 23. Κεφάλαιο 3. Γραμμικοί Μπλοκ Κώδικες 30

31 Κεφάλαιο 4 Κώδικες Χαμηλής Πυκνότητας Ελέγχου Ισοτιμίας (Low-Density Parity-Check Codes, LDPC Codes) 4.1 Εισαγωγή Οι χαμηλής πυκνότητας ελέγχου ισοτιμίας κώδικες (Low-Density Parity-Check, LDPC) αρχικά είχαν προταθεί το 1962 από τον Robert Gallager [1]. Οι κώδικες LDPC (μερικές φορές αποκαλούνται κώδικες Gallager) έχουν απόδοση που υπερβαίνει, σε ορισμένες περιπτώσεις, την απόδοση των κωδίκων Turbo, χρησιμοποιώντας αλγόριθμους επαναληπτικής αποκωδικοποίησης που είναι εύκολοι στην υλοποίηση (με την ανά επανάληψη πολυπλοκότητα πολύ χαμηλότερη από την ανά επανάληψη πολυπλοκότητα των αποκωδικοποιητών Turbo), καθώς επίσης είναι και παραλληλοποιήσιμοι στο υλικό. Υπάρχουν και κάποια ακόμα πιθανά πλεονεκτήματα για τους κώδικες LDPC. Ο αποκωδικοποιητής δηλώνει αποτυχία αποκωδικοποίησης όταν δεν καταφέρει να αποκωδικοποιήσει σωστά, ενώ άλλοι κώδικες πρέπει να εκτελέσουν επιπλέον υπολογισμούς για την εφαρμογή ενός κριτηρίου τερματισμού, όπως για παράδειγμα οι κώδικες Turbo. Επίσης, οι κώδικες LDPC σχεδόν οποιουδήποτε ρυθμού και μήκους λέξεως μπορούν να παραχθούν απλώς και μόνο προσδιορίζοντας την μορφή του πίνακα ελέγχου ισοτιμίας. Ακόμη, επειδή η εγκυρότητα μίας κωδικής λέξης επιτυγχάνεται μέσω των εξισώσεων ελέγχου ισοτιμίας, ακόμα και όταν συμβαίνουν λάθη, είναι σχεδόν πάντα εντοπισμένα λάθη (ειδικά για μεγάλους κώδικες). Από εμπορικής άποψης, οι κώδικες LDPC δεν προστατεύονται από δίπλωμα ευρεσιτεχνίας. Από την αρνητική πλευρά, οι 31

32 4.2. Αναπαράσταση των κωδίκων LDPC κώδικες LDPC έχουν μία σημαντικά μεγαλύτερη πολυπλοκότητα κωδικοποίησης έχοντας γενικά τετραγωνική εξάρτηση από την διάσταση του κώδικα, αν και αυτό μπορεί να μειωθεί ελάχιστα. Επίσης, η αποκωδικοποίηση μπορεί να χρειαστεί αρκετές επαναλήψεις, το οποίο έχει συνέπειες στην ολική καθυστέρηση (latency). Οι κώδικες LDPC ήταν στο περιθώριο για πολύ καιρό, αν και βρίσκονται ανάμεσα στους καλύτερους κώδικες που υπάρχουν. Αυτό μπορεί να οφείλεται στο ότι οι σύγχρονες έρευνες για ενοποιημένη κωδικοποίηση πηγής και καναλιού επισκίασαν τους κώδικες LDPC, και στο ότι το υλικό της εποχής δεν μπορούσε να υποστηρίξει αποδοτικές υλοποιήσεις αποκωδικοποιητών. Ως αποτέλεσμα, οι κώδικες LDPC παρέμειναν σε μεγάλο βαθμό χωρίς μελέτη για πάνω από τριάντα χρόνια, μόνο με σκόρπιες αναφορές στη βιβλιογραφία. Πρόσφατα, όμως, έχουν προωθηθεί σημαντικά, ξεκινώντας με τη δουλειά του MacKay ([2], [3]), ο οποίος επανεισήγαγε τους κώδικες LDPC. Τόσο στο παρελθόν, όσο και πρόσφατα, οι κώδικες LDPC έχουν αποδειχθεί ότι είναι σε θέση να πλησιάσουν αρκετά τη χωρητικότητα καναλιού. Στην πραγματικότητα, η απόδειξη των ιδιοτήτων απόστασης των κωδίκων LDPC επιδεικνύει τόσο ισχυρές επιδόσεις, σε τέτοιο βαθμό που χαρακτηρίστηκε ως ημι-εποικοδομητική απόδειξη του θεωρήματος κωδικοποίησης Shannon σε θορυβώδες κανάλι (semiconstructive proof of Shannon s noisy channel coding theorem) [3]. Συγκεκριμένα, ο MacKay έδειξε ότι σύνολα κωδίκων LDPC μπορούν να πλησιάσουν το όριο χωρητικότητας Shannon εκθετικά γρήγορα σε σχέση με το μήκος κώδικα. Οι ισχυρές δυνατότητες των κωδίκων LDPC έχουν οδηγήσει στην ένταξη τους σε διάφορα πρότυπα, όπως το IEEE , IEEE , IEEE και DVB-RS Αναπαράσταση των κωδίκων LDPC Υπάρχουν δύο διαφορετικοί τρόποι για να αναπαρασταθούν κώδικες LDPC. Όπως όλοι οι γραμμικοί μπλοκ κώδικες, μπορούν να περιγραφούν μέσω πινάκων. Υπάρχει επίσης και η δυνατότητα της γραφικής αναπαράστασης Αναπαράσταση με πίνακα Αν το n δηλώνει το μήκος του κώδικα και k την διάστασή του, έχουμε ότι m = n k. Θεωρούμε ότι τα διανύσματα είναι όλα διανύσματα γραμμής. Ένα μήνυμα είναι ένα διάνυσμα 1 k και μία κωδική λέξη ένα διάνυσμα 1 n. Ο γεννήτορας πίνακας G είναι διαστάσεων k n και ο πίνακας ελέγχου ισοτιμίας H διαστάσεων (n k) n, έτσι ώστε GH T = 0. Δηλώνουμε τις γραμμές του πίνακα ελέγχου ισοτιμίας ως: Κεφάλαιο 4. Κώδικες Χαμηλής Πυκνότητας Ελέγχου Ισοτιμίας (Low-Density Parity-Check Codes, LDPC Codes) 32

33 4.2. Αναπαράσταση των κωδίκων LDPC H = h 0 h 1.. h m 1 Η εξίσωση ch T i = 0 αποτελεί έναν γραμμικό περιορισμό ελέγχου ισοτιμίας πάνω στην κωδική λέξη c. Όπως έχουμε δει στον Ορισμό (3.3), το βάρος (weight) ενός δίτιμου διανύσματος είναι ο αριθμός των μη μηδενικών στοιχείων του. Ορισμός 4.1. Το βάρος στήλης (column weight) w c μίας στήλης ενός πίνακα είναι το βάρος αυτής της στήλης, ομοίως για το βάρος γραμμής, w r. Ορισμός 4.2. Ένας πίνακας ονομάζεται αραιός (sparse) εάν λιγότερα από τα μισά στοιχεία του είναι μη μηδενικά. Ορισμός 4.3. Ένας κώδικας χαμηλής πυκνότητας ελέγχου ισοτιμίας είναι ένας γραμμικός μπλοκ κώδικας ο οποίος έχει έναν πολύ αραιό πίνακα ελέγχου ισοτιμίας. Από τον τελευταίο Ορισμό (4.3), προκύπτει ότι πρέπει να ικανοποιούνται δύο προϋποθέσεις: w c m και w r n. Για να συμβαίνει αυτό, ο πίνακας ελέγχου ισοτιμίας θα πρέπει συνήθως να είναι πολύ μεγάλος. Για λόγους που θα φανούν στη συνέχεια, ο πίνακας ελέγχου ισοτιμίας θα πρέπει επίσης να είναι τέτοιος ώστε να μην υπάρχουν δύο στήλες οι οποίες να έχουν περισσότερες από μία σειρά στην οποία τα στοιχεία και στις δύο στήλες να είναι μη μηδενικά (αντιστοιχεί σε μη ύπαρξη κύκλων μήκους τέσσερα στο γράφημα Tanner) Γραφική αναπαράσταση - Γράφημα Tanner Ορισμός 4.4. Διμερής γράφος (bipartite graph, bigraph) είναι ένας γράφος που αποτελείται από δύο ξεχωριστά σύνολα κόμβων και ο οποίος έχει ακμές μόνο ανάμεσα σε κόμβους διαφορετικών συνόλων. Ο Tanner εισήγαγε έναν αποδοτικό τρόπο για τη γραφική αναπαράσταση των κωδίκων LDPC. Σχετιζόμενος με έναν πίνακα ελέγχου ισοτιμίας H είναι ένας διμερής γράφος, το γράφημα Tanner. Το πρώτο σύνολο αποτελείται από n κόμβους που αντιπροσωπεύουν τα n bits μίας κωδικής λέξης. Οι κόμβοι σε αυτό το σύνολο ονομάζονται κόμβοι ψηφίων ( bit nodes). Το δεύτερο σύνολο Κεφάλαιο 4. Κώδικες Χαμηλής Πυκνότητας Ελέγχου Ισοτιμίας (Low-Density Parity-Check Codes, LDPC Codes) 33

34 4.3. Κανονικοί και μη κανονικοί κώδικες LDPC αποτελείται από m κόμβους, οι οποίοι ονομάζονται κόμβοι ελέγχου ( check nodes), και αντιπροσωπεύουν τους m περιορισμούς ισοτιμίας. Στο γράφημα αυτό, ο κόμβος ψηφίου c j ενώνεται με τον κόμβο ελέγχου f i αν και μόνο αν το j-στό ψηφίο περιέχεται στο i-στό έλεγχο, δηλαδή αν H ij = 1. Το Σχήμα 4.1 είναι ένα παράδειγμα ενός γραφήματος Tanner. Το γράφημα Tanner θα χρειαστεί στην κατανοήση της διαδικασίας του αλγορίθμου αποκωδικοποίησης. Σχήμα 4.1: Διμερής γράφος σχετιζόμενος με τον πίνακα ελέγχου ισοτιμίας H (οι έντονες ακμές αντιστοιχούν σε έναν κύκλο με μήκος τέσσερα). 4.3 Κανονικοί και μη κανονικοί κώδικες LDPC Ορισμός 4.5. Ένας κώδικας LDPC ονομάζεται κανονικός (regular) έαν τα w c είναι σταθερά για κάθε στήλη και τα w r = w c (n/m) είναι επίσης σταθερά για κάθε γραμμή. Η κανονικότητα ενός κώδικα φαίνεται επίσης κοιτάζοντας την γραφική του αναπαράσταση. Σε έναν κανονικό κώδικα, κάθε κόμβος ψηφίου ενώνεται με w c κόμβους ελέγχου, και κάθε κόμβος ελέγχου ενώνεται με w r κόμβους ψηφίου. Ορισμός 4.6. Αν ο H είναι χαμηλής πυκνότητας, αλλά ο αριθμός των 1 σε κάθε γραμμή ή στήλη δεν είναι σταθερός, ο κώδικας ονομάζεται μη κανονικός (irregular) κώδικας LDPC. 4.4 Σχετικά με την κατασκευή κωδίκων LDPC Υπάρχουν διάφοροι αλγόριθμοι για την κατασκευή των κωδίκων LDPC. Έναν από τους αλγόριθμους εισήγαγε ο Gallager. Ο MacKay πρότεινε μία μέθοδο για την ημι-τυχαία παραγωγή αραιών πινάκων ελέγχου ισοτιμίας, γεγονός το οποίο δείχνει ότι η κατασκευή κωδίκων LDPC με Κεφάλαιο 4. Κώδικες Χαμηλής Πυκνότητας Ελέγχου Ισοτιμίας (Low-Density Parity-Check Codes, LDPC Codes) 34

35 4.5. Επιδόσεις & Πολυπλοκότητα καλές ιδιότητες δεν αποτελεί δύσκολο πρόβλημα. Στην πραγματικότητα, εντελώς τυχαίοι κώδικες είναι καλοί με υψηλή πιθανότητα. Το πρόβλημα που προκύπτει, είναι ότι η πολυπλοκότητα κωδικοποίησης τέτοιων τυχαίων κωδίκων είναι συνήθως αρκετά υψηλή. 4.5 Επιδόσεις & Πολυπλοκότητα Το χαρακτηριστικό των κωδίκων LDPC να έχουν απόδοση κοντά στο όριο Shannon του καναλιού ισχύει μόνο για μεγάλα μήκη μπλοκ. Για παράδειγμα, έχουν γίνει προσομοιώσεις που έχουν απόδοση 0.04 db από το όριο Shannon σε έναν ρυθμό λάθους bit της τάξης του 10 6 με ένα μήκος μπλοκ Ένα ενδιαφέρον σημείο είναι ότι αυτές οι υψηλές αποδόσεις επιτυγχάνονται με μη κανονικούς κώδικες. Το μεγάλο μήκος μπλοκ οδηγεί, επίσης, σε μεγάλους πίνακες ελέγχου ισοτιμίας και γεννήτορες πίνακες. Η πολυπλοκότητα του πολλαπλασιασμού μίας κωδικής λέξης με έναν πίνακα εξαρτάται από το σύνολο ] των 1 στον πίνακα. Αν μετατρέψουμε τον αραιό πίνακα H στη μορφή H = [I n k P T (Σχέση 3.4) μέσω απαλοιφής Gauss, ο γεννήτορας πίνακας G μπορεί να υπολογιστεί ] ως G = [P I k (Σχέση 3.3). Ο υποπίνακας P γενικά δεν είναι αραιός, επομένως η πολυπλοκότητα κωδικοποίησης θα είναι αρκετά μεγάλη. 4.6 Αποκωδικοποίηση κωδίκων LDPC Εάν θεωρήσουμε ότι η πολυπλοκότητα αυξάνεται εκθετικά, O(n 2 ), ακόμη και αραιοί πίνακες δεν οδηγούν σε καλή απόδοση, αν το μήκος μπλοκ αυξηθεί πολύ. Έτσι, χρησιμοποιούνται αλγόριθμοι επαναληπτικής αποκωδικοποίησης (και κωδικοποίησης). Αυτοί οι αλγόριθμοι εκτελούν τοπικούς υπολογισμούς και μεταβιβάζουν αυτά τα τοπικά αποτελέσματα μέσω μηνυμάτων. Αυτό το βήμα συνήθως επαναλαμβάνεται αρκετές φορές. Ο όρος τοπικοί υπολογισμοί υποδηλώνει ότι εφαρμόζεται μία διαίρει και βασίλευε στρατηγική, η οποία διαχωρίζει ένα σύνθετο πρόβλημα σε απλούστερα, ευκολότερα υποπροβλήματα. Ένας αραιός πίνακας ελέγχου ισοτιμίας βοηθά αυτούς τους αλγόριθμους, επειδή διατηρεί τους τοπικούς υπολογισμούς απλούς, και επίσης μειώνει τον αριθμό των μηνυμάτων που απαιτούνται για την ανταλλαγή όλης της πληροφορίας. Έχει παρατηρηθεί ότι οι αλγόριθμοι επαναληπτικής αποκωδικοποίησης αραιών κωδίκων αποδίδουν πολύ κοντά στο βέλτιστο αποκωδικοποιητή μέγιστης πιθανοφάνειας. Κεφάλαιο 4. Κώδικες Χαμηλής Πυκνότητας Ελέγχου Ισοτιμίας (Low-Density Parity-Check Codes, LDPC Codes) 35

36 Κεφάλαιο 5 Βέλτιστος Ανιχνευτής 5.1 Ο Βέλτιστος Ανιχνευτής Σε αυτή την ενότητα, περιγράφουμε έναν κανόνα βέλτιστης απόφασης που βασίζεται στο διάνυσμα παρατήρησης r. Στα πλαίσια της ανάλυσης αυτής, θεωρούμε ότι δεν υπάρχει μνήμη στα σήματα που μεταδίδονται σε διαδοχικά διαστήματα σήματος. Επιθυμούμε να σχεδιάσουμε έναν ανιχνευτή σήματος, ο οποίος θα αποφασίζει ως προς το ποιο σήμα έχει μεταδοθεί σε κάθε διάστημα σηματοδοσίας, βασιζόμενος στην παρατήρηση του διανύσματος r σε κάθε διάστημα, με έναν τρόπο που να μεγιστοποιεί την πιθανότητα σωστής απόφασης. Θεώρημα 5.1 (Κριτήριο της μέγιστης εκ των υστέρων πιθανότητας - Maximum a Posteriori Probability, MAP). Ο κανόνας απόφασης που ελαχιστοποιεί την πιθανότητα σφάλματος είναι η επιλογή ενός ŝ που ισούται με την τιμή του s που μεγιστοποιεί την P (S = s r), όπου οι πιθανές τιμές του s είναι εκείνες που βρίσκονται στον αστερισμό σημάτων S. Έτσι, ŝ = arg max P (s r). (5.1) s S Εάν χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα του Bayes, οι εκ των υστέρων πιθανότητες P (s m r) μπορούν να εκφραστούν ως P (s m r) = p(r s m)p (s m ), m = 1, 2,..., M, (5.2) p(r) όπου p(r s m ) είναι η υπό συνθήκη σ.π.π. του παρατηρούμενου διανύσματος s m, και P (s m ) είναι η εκ των προτέρων πιθανότητα (a priori probability) να μεταδοθεί το m-οστό σήμα. Ο παρονομαστής της (5.2) μπορεί να εκφρασθεί ως 36

37 5.1. Ο Βέλτιστος Ανιχνευτής M p(r) = p(r s m )P (s m ). (5.3) m=1 Από τις (5.2) και (5.3), παρατηρούμε ότι ο υπολογισμός των εκ των υστέρων πιθανοτήτων P (s m r) απαιτεί την γνώση των εκ των προτέρων πιθανοτήτων (a priori probabilities) P (s m ) και των υπό συνθήκη σ.π.π. p(r s m ) για m = 1, 2,..., M. Ακόμη, ο παρονομαστής στην (5.2) δεν εξαρτάται από το ποιο είναι το σήμα που μεταδίδεται και ο κανόνας απόφασης MAP (5.1) μπορεί να απλοποιηθεί ως ŝ = arg max p(r s)p (s). (5.4) s S Όταν τα M σήματα είναι εκ των προτέρων ισοπίθανα, δηλαδή P (s m ) = 1/M για όλα τα M, το κριτήριο MAP μπορεί κάπως να απλοποιηθεί. Αντικαθιστώντας την (5.3) στην (5.2) έχουμε P (s m r) = p(r s m )P (s m ) M m=1 p(r s m)p (s m ) = p(r s m )P (s m ) P (s m ) M m=1 p(r s m) = p(r s m ) M m=1 p(r s m). Η τελευταία σχέση ισχύει μόνο όταν όλα τα M σήματα είναι εκ των προτέρων ισοπίθανα. Στην περίπτωση ισοπίθανων σημάτων, ο κανόνας απόφασης που βασίζεται στην εύρεση του σήματος που μεγιστοποιεί την P (s m r) είναι ισοδύναμος με την εύρεση του σήματος που μεγιστοποιεί την p(r s m ). Η υπό συνθήκη σ.π.π. p(r s m ) ή οποιαδήποτε μονοτονική της συνάρτηση ονομάζεται συνήθως συνάρτηση πιθανοφάνειας (likelihood function). Το κριτήριο απόφασης που βασίζεται στη μεγιστοποίηση της p(r s m ) ως προς τα M σήματα ονομάζεται κριτήριο μέγιστης πιθανοφάνειας (Maximum Likelihood criterion, ML criterion). Παρατηρούμε ότι ένας ανιχνευτής που βασίζεται στο κριτήριο MAP και ένας που βασίζεται στο κριτήριο ML παίρνουν τις ίδιες αποφάσεις εφ όσον οι εκ των προτέρων πιθανότητες P (s m ) είναι όλες ίσες, δηλαδή τα σήματα {s m } είναι ισοπίθανα. Στην περίπτωση ενός καναλιού AWGN, οι έξοδοι {r k } του καναλιού υπό την συνθήκη της μετάδοσης του m-οστού σήματος, είναι γκαουσιανές τυχαίες μεταβλητές με μέση τιμή και ίσες διασπορές E(r k ) = E(s mk + n k ) = s mk Κεφάλαιο 5. Βέλτιστος Ανιχνευτής 37

38 5.1. Ο Βέλτιστος Ανιχνευτής σ 2 r = σ 2 n = 1 2 N 0. Εφ όσον οι συντεταγμένες του θορύβου {n k } είναι ασυσχέτιστες γκαουσιανές τυχαίες μεταβλητές, είναι επίσης στατιστικώς ανεξάρτητες. Ως συνέπεια, οι έξοδοι του καναλιού {r k } με δεδομένη τη μετάδοση του m-οστού σήματος, είναι στατιστικώς ανεξάρτητες γκαουσιανές μεταβλητές. Έτσι, οι υπό συνθήκη πυκνότητες πιθανότητας των τυχαίων μεταβλητών [r 1, r 2,..., r N ] = r είναι απλώς p(r s m ) = N p(r k s mk ), m = 1, 2,..., M, (5.5) k=1 όπου στην περίπτωση του AWGN καναλιού ισχύει p(r k s mk ) = [ 1 exp 1 ] (r 2πσ 2 r 2σr 2 k s mk ) 2, k = 1, 2,..., N. (5.6) Αντικαθιστώντας την (5.6) στην (5.5), λαμβάνουμε τις από κοινού υπό συνθήκη σ.π.π. p(r s m ) = 1 (2πσ 2 r) N 2 exp [ N 1 2σ 2 k=1 r (r k s mk ) 2 ], m = 1, 2,..., M. (5.7) Η Σχέση (5.7) δίνει την συνάρτηση πιθανοφάνειας p(r s m ) για κανάλι AWGN. Για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς, μπορούμε να δουλέψουμε με τον φυσικό λογάριθμο της p(r s m ) που είναι μία μονοτονική συνάρτηση. Έτσι, ln p(r s m ) = N 2 ln(2πσ2 r) 1 2σ 2 r N (r k s mk ) 2. Το μέγιστο του ln p(r s m ) ως προς το s m ισοδυναμεί με την εύρεση του σήματος s m το οποίο ελαχιστοποιεί την Ευκλείδια απόσταση D(r, s m ) = k=1 N (r k s mk ) 2. (5.8) k=1 Ονομάζουμε το D(r, s m ), m = 1, 2,..., M μέτρο της απόστασης (distance metric). Έτσι, στο κανάλι AWGN, ο κανόνας απόφασης που βασίζεται στο κριτήριο ML ανάγεται στην εύρεση του s m που έχει την μικρότερη απόσταση από το διάνυσμα του λαμβανόμενου σήματος r. Θα αναφερόμαστε σε αυτόν τον κανόνα απόφασης ως ανίχνευση της ελάχιστης απόστασης (minimum distance detection). Κεφάλαιο 5. Βέλτιστος Ανιχνευτής 38

39 5.2. Ειδική περίπτωση: Ανίχνευση δυαδικών σημάτων Μία άλλη ερμηνεία του κανόνα βέλτιστης απόφασης που βασίζεται στο κριτήριο ML, προκύπτει με την ανάλυση του μέτρου της απόστασης της (5.8) ως N N D(r, s m ) = rn 2 2 r n s mn + N n=1 n=1 n=1 s 2 mn = r 2 2r s m + s m 2, m = 1, 2,..., M. Ο όρος r 2 είναι κοινός σε όλα τα μέτρα αποφάσεων, και έτσι μπορεί να αγνοηθεί κατά τον υπολογισμό των μέτρων. Το αποτέλεσμα είναι ένα σύνολο από τροποποιημένα μέτρα αποστάσεων D (r, s m ) = 2r s m + s m 2. Η επιλογή του σήματος s m που ελαχιστοποιεί το D (r, s m ) είναι ισοδύναμη με την επιλογή του σήματος το οποίο μεγιστοποιεί το μέτρο C(r, s m ) = D (r, s m ), δηλαδή C(r, s m ) = 2r s m s m 2. Ο όρος r s m παριστά την προβολή του διανύσματος του λαμβανόμενου σήματος σε κάθε ένα από τα M διανύσματα των σημάτων που είναι πιθανόν να έχουν μεταδοθεί. Η τιμή της κάθε προβολής είναι ένα μέτρο της συσχέτισης μεταξύ του λαμβανόμενου διανύσματος και του m- οστού σήματος. Για το λόγο αυτό, ονομάζουμε τα C(r, s m ), m = 1, 2,..., M μέτρα συσχέτισης (correlation metrics) που χρησιμεύουν στον καθορισμό των σημάτων που μεταδόθηκαν. Τέλος, οι όροι s m 2 = E m, m = 1, 2,..., M μπορούν να θεωρηθούν όροι πόλωσης, οι οποίοι εξυπηρετούν ως αντιστάθμιση στην περίπτωση συνόλων σημάτων που έχουν άνισες ενέργειες, όπως η PAM. Αν όλα τα σήματα έχουν την ίδια ενέργεια, τα s m 2 μπορούν να αγνοηθούν κατά τον υπολογισμό των μέτρων συσχέτισης C(r, s m ) και των μέτρων απόστασης D(r, s m ) ή D (r, s m ). Για την περίπτωση του ανιχνευτή που σχεδιάστηκε, θεωρήθηκε ότι τα σήματα μπορεί να έχουν διαφορετικές ενέργειες, και έτσι βασίστηκε στα μέτρα απόστασης. 5.2 Ειδική περίπτωση: Ανίχνευση δυαδικών σημάτων Στην περίπτωση της δυαδικής μετάδοσης σε ένα μονοδιάστατο χώρο σημάτων, ο αστερισμός των σημάτων αποτελείται από τα σημεία S = { E b, E b }, που αντιστοιχούν στις τιμές των bit b = 1 και b = 0 και E b είναι η ενέργεια ενός bit. Οι αντίστοιχες υπό συνθήκη συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας δίνονται από την (5.6), όπου s mk = ± E b : Κεφάλαιο 5. Βέλτιστος Ανιχνευτής 39

40 5.2. Ειδική περίπτωση: Ανίχνευση δυαδικών σημάτων p(r s = E b ) = 1 e 1 2σ 2 (r E b ) 2 r p(r s = E b ) = 2πσ 2 r 1 e 1 2σ 2 (r+ E b ) 2 r. 2πσ 2 r (α) Υπό συνθήκη σ.π.π. (β) Σταθμισμένες υπό συνθήκη σ.π.π. Σχήμα 5.1: Υπό συνθήκη σ.π.π. στη διαμόρφωση BPSK. Οι συναρτήσεις αυτές είναι σχεδιασμένες στο Σχήμα 5.1α. Παρατηρούμε ότι η r s = E b είναι μία Γκουσιανή κατανομή με μέση τιμή E b. Το κριτήριο απόφασης MAP συγκρίνει τις σταθμισμένες πυκνότητες p(r s = E b )P (s = E b ) και p(r s = E b )P (s = E b ). Το Σχήμα 5.1β δείχνει αυτές τις πυκνότητες στην περίπτωση που P (s = E b ) > P (s = E b ). Υπάρχει ένα κατώφλι τ στο οποίο p(r s = E b )P (s = E b ) = p(r s = E b )P (s = E b ). Σε αυτή την περίπτωση, ο κανόνας (5.4) απλοποιείται ως εξής: { Eb εάν r > τ ŝ = E b εάν r < τ. Η τιμή κατωφλίου μπορεί να υπολογιστεί στη γενική περίπτωση ως τ = σ2 r 2 ln P (s = E b Eb ) P (s = E b ). (5.9) Στην περίπτωση όπου P (s = E b ) = P (s = E b ), το σημείο απόφασης είναι τ = 0. Προβλήματα δυαδικής ανίχνευσης εκφράζονται συχνά σε όρους λόγων πιθανοτήτων (likelihood ratios). Για τη δυαδική περίπτωση, το πρόβλημα είναι η ανίχνευση εάν b = 1 ή b = 0. Ο κανόνας απόφασης (5.4) μετατρέπεται σε σύγκριση μεταξύ p(r b = 1)P (b = 1) και p(r b = 0)P (b = 0). Κεφάλαιο 5. Βέλτιστος Ανιχνευτής 40

41 5.3. Hard/Soft Decision Αυτό μπορεί να εκφραστεί ως λόγος, p(r b = 1)P (b = 1) p(r b = 0)P (b = 0). Στην περίπτωση εμφάνισης των συμβόλων με ίση πιθανότητα, παίρνουμε τον λόγο πιθανοτήτων (likelihood ratio) ratio) L(r) = p(r b = 1) p(r b = 0). Σε πολλά κανάλια, είναι χρήσιμη η έννοια του λόγου πιθανοτήτων σε λογάριθμο (log likelihood Λ(r) = log p(r b = 1) p(r b = 0), όπου χρησιμοποιείται συνήθως ο φυσικός λογάριθμος (με βάση το e). Η απόφαση είναι ˆb = 1 εάν Λ(r) > 0 και ˆb = 0 εάν Λ(r) < 0. Για Γκαουσιανό κανάλι με διαμόρφωση BPSK, έχουμε ότι Λ(r) = log p(r a = ( E b ) exp 1 (r ) E p(r a = E b ) = log 2σr 2 b ) 2 ( exp 1 (r + ) = 2 E 2σr 2 b ) 2 Eb σ 2 r r = L c r, όπου L c = 2 E b ονομάζεται αξιοπιστία καναλιού (channel reliability). Η αξιοπιστία καναλιού συναντάται και ως 2E b /σr, 2 το οποίο είναι μία αδιάστατη σr 2 ποσότητα. 5.3 Hard/Soft Decision Η ποσότητα Λ(r) = L c r μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως soft information σε έναν αποκωδικοποιητή και σε αυτή την περίπτωση πραγματοποιείται soft decoding. Αντίθετα, η ποσότητα sign(λ(r)) αναφέρεται ως hard information και η αντίστοιχη αποκωδικοποίηση ονομάζεται hard decoding. Η απόδοση του συστήματος, καθώς και η πολυπλοκότητα στις δύο αυτές περιπτώσεις θα αναλυθούν στα επόμενα κεφάλαια. Κεφάλαιο 5. Βέλτιστος Ανιχνευτής 41

42 Κεφάλαιο 6 Δεδομένα προβλήματος 6.1 Τιμές που χρησιμοποιούνται στην προσομοίωση Θεωρούμε ότι η πηγή παράγει σύμβολα με ισοπίθανα ενδεχόμενα. Επομένως δεν χρειάζεται κωδικοποίηση πηγής για την αφαίρεση της περιττής πληροφορίας. Για την κωδικοποίηση καναλιού χρησιμοποιείται ένας κώδικας LDPC (20, 10), του οποίου ο πίνακας ελέγχου ισοτιμίας είναι ο εξής: H = (6.1) και ο γεννήτορας πίνακας 42

43 6.1. Τιμές που χρησιμοποιούνται στην προσομοίωση G = (6.2) Η διαμόρφωση που χρησιμοποιείται είναι δυαδική PSK (Binary Phase-Shift Keying - BPSK). Πρόκειται για ψηφιακή διαμόρφωση, η οποία επηρρεάζει τη φάση ενός σήματος αναφοράς. Στη διαμόρφωση BPSK υπάρχουν δύο πιθανές καταστάσεις, η μία έχει φάση 0 και αντιστοιχεί στο bit b = 1, ενώ η άλλη έχει φάση 180 και αντιστοιχεί στο bit b = 0. Η αναπαράσταση των διαμορφωμένων σημάτων γίνεται με αντίποδα σήματα με στάθμες E b και E b, αντίστοιχα. Για την αναπαράσταση του καναλιού, έχουμε θεωρήσει ένα κανάλι AWGN σε διαφορετικά επίπεδα θορύβου, E b /N 0. Το κανάλι που χρησιμοποιείται για την προσομοίωση στο FPGA παράγει έξοδο κβαντισμένη σε 2 6 επίπεδα σε μορφή συμπληρώματος ως προς 2, με τρία δεκαδικά ψηφία. Τέλος, υπάρχει το στάδιο της αποκωδικοποίησης, όπου εφαρμόζεται το κριτήριο της μέγιστης πιθανοφάνειας για τον κώδικα LDPC (20, 10) που έχουμε θεωρήσει, ώστε να προκύψει η εκτίμηση σχετικά με το ποιο σήμα έχει μεταδοθεί. Ως είσοδο του αποκωδικοποιητή μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτούσια την έξοδο του καναλιού (soft information) ή το πρόσημό της (hard information). Κεφάλαιο 6. Δεδομένα προβλήματος 43

44 Κεφάλαιο 7 BER για διαμόρφωση BPSK χωρίς κωδικοποίηση 7.1 Θεωρητικός υπολογισμός του BER Σε αυτή την ενότητα θα υπολογίσουμε την πιθανότητα λάθους bit στην περίπτωση όπου δεν χρησιμοποιείται καμία κωδικοποίηση. Η συνάρτηση Q(x) εκφράζει την πιθανότητα η τυποποιημένη γκαουσιανή κατανομή N N (0, 1) να υπερβαίνει την τιμή x: Q(x) = P (N > x) = 1 e n2 /2 dn (7.1) 2π x Σχήμα 7.1: Γραφική αναπαράσταση της συνάρτησης Q(x). Για μία γκαουσιανή τυχαία μεταβλητή Z με μέση τιμή µ και διασπορά σ 2, Z N(µ, σ 2 ), ισχύει ότι P (Z > x) = 1 2πσ x e 1 2σ 2 (z µ)2 dz = Q ( x µ σ ). 44

45 7.1. Θεωρητικός υπολογισμός του BER Σχήμα 7.2: Κατανομές όταν τα σήματα αλλοιώνονται από γκαουσιανό θόρυβο. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο σημεία σε έναν άξονα a και b, και ότι R = s + N, όπου s είναι ένα από τα δύο σημεία, και N N(0, σ 2 ). Οι κατανομές P (R s = a)p (s = a) και P (R s = b)p (s = b) φαίνονται στο Σχήμα 7.2, όπως επίσης και ένα σημείο απόφασης τ. Όταν στέλνεται το σύμβολο a, λάθος συμβαίνει όταν R > τ. Συμβολίζοντας με E το ενδεχόμενο να συμβεί λάθος, αυτό συμβαίνει με πιθανότητα P (E s = a) = P (R > τ) = 1 2πσ τ e 1 2σ 2 (r a)2 dr = Q ( τ a Όταν στέλνεται το σύμβολο b, λάθος συμβαίνει όταν R < τ, το οποίο συμβαίνει με πιθανότητα ( ) τ b P (E s = b) = P (R < τ) = 1 P (R > τ) = 1 Q σ Η ολική πιθανότητα λάθους είναι P (E) = P (E s = a)p (s = a) + P (E s = b)p (s = b) ( ) ( ) τ a b τ = Q P (s = a) + Q P (s = b). σ σ σ ). ( ) b τ = Q. σ (7.2) Στην περίπτωση των BPSK σημάτων, έχουμε ότι a = E b, b = E b. Η πιθανότητα P (E) συμβολίζεται με P b, και είναι η πιθανότητα λάθους bit. Έτσι, ( ) τ + Eb P b = Q P (s = ( ) Eb τ E b ) + Q P (s = E b ). (7.3) σ σ Επειδή τα δύο ενδεχόμενα έχουμε θεωρήσει ότι είναι ισοπίθανα, οι πιθανότητες P (s = E b ) και P (s = E b ) είναι ίσες με 1 και το σημείο απόφασης είναι τ = 0 σύμφωνα με τη Σχέση (5.9). 2 Κεφάλαιο 7. BER για διαμόρφωση BPSK χωρίς κωδικοποίηση 45

46 7.2. Προσομοίωση στο MATLAB Επειδή η διασπορά του θορύβου είναι σ 2 = N 0 2, για τη μετάδοση με διαμόρφωση BPSK έχουμε ότι P b = Q ( Eb σ ) ( ) 2Eb = Q. (7.4) N 0 Σχήμα 7.3: Πιθανότητα λάθους bit για διαμόρφωση BPSK. Το Σχήμα 7.3 δείχνει την πιθανότητα λάθους bit για διαμόρφωση BPSK ως συνάρτηση του E b /N 0 σε db στην περίπτωση όπου P ( E b ) = P ( E b ). Η ποσότητα E b /N 0 εκφράζεται σε db μέσω της σχέσης E b /N 0 db = 10 log 10 E b /N Προσομοίωση στο MATLAB Στο MATLAB υπάρχει η συνάρτηση erfc(x), η οποία ορίζεται ως erfc(x) = 2 e y2 dy (7.5) π Συνδυάζοντας τις Σχέσεις (7.1) και (7.5) προκύπτει ότι x Κεφάλαιο 7. BER για διαμόρφωση BPSK χωρίς κωδικοποίηση 46

47 7.2. Προσομοίωση στο MATLAB erfc(x) = 2 π x e y2 dy u= 2y = 2 π x/ 2 e u2 /2 1 2 du = 2 1 2π x/ 2 e u2 /2 du (7.5) = 2Q(x 2) και Q(x) = 1 2 erfc ( x 2 ) (7.6) Επομένως, από τη Σχέση (7.4), η πιθανότητα λάθους bit στη διαμόρφωση BPSK χωρίς κωδικοποίηση γράφεται και ως P b = Q ( ) 2Eb Για διάφορες τιμές του E b /N 0 προκύπτει το παράκατω διάγραμμα: N 0 ( ) (7.6) = 1 2 erfc Eb. (7.7) N 0 Σχήμα 7.4: Πιθανότητα λάθους bit για διαμόρφωση BPSK. Κεφάλαιο 7. BER για διαμόρφωση BPSK χωρίς κωδικοποίηση 47

48 Κεφάλαιο 8 Μεθοδολογία Σχεδίασης Συστήματος 8.1 Μεθοδολογία Σχεδίασης Συστήματος Ο όρος Μεθοδολογία Σχεδίασης Συστήματος περιλαμβάνει τα βήματα που είναι απαραίτητα για την υλοποίηση του συστήματος που έχει θεωρηθεί σε κάθε περίπτωση, όπως για παράδειγμα τον κωδικοποιητή και αποκωδικοποιητή της παρούσας διπλωματικής εργασίας. Το γενικό διάγραμμα της Μεθοδολογίας Σχεδίασης Συστήματος παρουσιάζεται στο Σχήμα 8.1. Αρχικά, διατυπώνονται οι προδιαγραφές του συστήματος όσο το δυνατόν με μεγαλύτερη λεπτομέρεια. Αυτό μπορεί να περιλαμβάνει τη διατύπωση της ζητούμενης λειτουργίας του συστήματος σε κείμενο ή σε ψευδοκώδικα, διαγράμματα χρονισμού εισόδων-εξόδων του συστήματος, καθορισμό παραμέτρων (όπως ο αριθμός και το μήκος των εισόδων-εξόδων σε bits, η απαιτούμενη ταχύτητα, η κάλυψη επιφάνειας, ή η πολυπλοκότητα του συστήματος) ή ακόμα και χρονικά όρια μέσα στα οποία πρέπει να ολοκληρωθεί. Στη συνέχεια, αρχίζει η διαδικασία ανάπτυξης του συστήματος, η οποία χωρίζεται σε δύο μέρη: Περιγραφή στο Λογισμικό Η διαδικασία περιγραφής στο λογισμικό αποτελείται κυρίως από τη δημιουργία του bit true μοντέλου του συστήματος. Ο όρος bit true χρησιμοποιείται για να δηλώσει ότι το λογισμικό που αναπτύσσεται έχει πλήρη αντιστοιχία με την υλοποίηση στο υλικό, δηλαδή δέχεται ίδιας μορφής εισόδους, τις επεξεργάζεται με αποφάσεις και συναρτήσεις των οποίων παρόμοιες είναι εφικτό να κατασκευαστούν στο υλικό, και υπολογίζει τις ίδιες εξόδους με το υλικό. Μετά από το στάδιο της δημιουργίας του μοντέλου υπάρχει και ένα στάδιο επαλήθευσης, στο οποίο ελέγχεται η σωστή λειτουργία του συστήματος, γίνονται διορθώσεις στα σημεία όπου παρατηρούνται σφάλματα και ρυθμίζονται οι παράμετροί του (όπως για 48

49 8.1. Μεθοδολογία Σχεδίασης Συστήματος Σχήμα 8.1: Μεθοδολογία Σχεδίασης Συστήματος. παράδειγμα ποιο μήκος λέξης θα χρησιμοποιηθεί για την αναπαράσταση των διάφορων ενδιάμεσων τιμών ή με ποια σειρά θα γίνονται ορισμένοι έλεγχοι και πράξεις), ώστε να επιτευχθεί καλύτερη απόδοση. Για την κατασκευή του bit true μοντέλου χρησιμοποιήθηκε το MATLAB και το αποτέλεσμα των προσομοιώσεων είναι ο υπολογισμός της απόδοσης του συστήματος, δηλαδή η πιθανότητα σφάλματος bit και τα αντίστοιχα διαγράμματα BER, που θα παρουσιαστούν σε επόμενα κεφάλαια. Περιγραφή στο Υλικό Η διαδικασία περιγραφής στο υλικό αρχίζει με τον σχεδιασμό του συστήματος χρησιμοποιώντας μία γλώσσα περιγραφής υλικού (Hardware Description Language - HDL). Στην περίπτωση του συστήματος που σχεδιάστηκε χρησιμοποιήθηκε η VHDL. Για τον σχεδιασμό του συστήματος ήταν χρήσιμη η ταυτόχρονη προσέγγιση από πάνω προς τα κάτω και από κάτω Κεφάλαιο 8. Μεθοδολογία Σχεδίασης Συστήματος 49

50 8.1. Μεθοδολογία Σχεδίασης Συστήματος προς τα πάνω, το οποίο σημαίνει ότι το συνολικό σύστημα χωρίστηκε σε επιμέρους υπομονάδες ώστε να μειωθεί η πολυπλοκότητα σχεδίασής του, αλλά και ότι μικρές μονάδες (όπως δέντρα αθροιστών ή συγκριτές) σχεδιάστηκαν πρώτα ώστε να γίνει ευκολότερη η υλοποίηση των παραπάνω υπομονάδων. Κατά τη διαδικασία του σχεδιασμού του συστήματος είναι χρήσιμη και η ύπαρξη συγκεκριμένης μεθοδολογίας επαναχρησιμοποίησης κώδικα από άλλες ομάδες ή άτομα χωρίς να απαιτείται μεγάλο χρονικό διάστημα για την κατανόηση και σύνταξη του κώδικα. Αυτό επιτυγχάνεται με τη χρήση του HDL Designer και βασίζεται σε τρία σημεία: α) στην ανάλυση της ακεραιότητας του κώδικα, που περιλαμβάνει έλεγχο για συντακτικά λάθη ή για παραλειπόμενα αρχεία, β) στην εκτίμηση της ποιότητας του κώδικα, δηλαδή του ποσοστού κάλυψης συγκεκριμένων συνόλων κανόνων σχεδίασης (design rule sets), όπως το Reuse Methodology Manual - RMM, Xilinx rule set κ.ά., ώστε να είναι μεταφέρσιμος σε πλήθος διαφορετικών FPGA και γ) στην αναπαράσταση του κυκλώματος με δομικό διάγραμμα, διαγράμμα ροής ή διάγραμμα καταστάσεων για εύκολη επισκόπηση της λειτουργίας του. Μία ακόμα μορφή επαναχρησιμοποίησης κώδικα είναι μέσω της υλοποίησης του συστήματος για διαφορετικές τιμές των παραμέτρων του, χωρίς την ανάγκη για σχεδίαση από την αρχή κάθε φορά που μεταβάλλεται κάποια από αυτές. Αυτό επιτυγχάνεται με τη δημιουργία παραμετρικών scripts σε κάποια γλώσσα προγραμματισμού, τα οποία παράγουν τον κατάλληλο κώδικα σύμφωνα με τις τιμές των παραμέτρων που τους δίνονται. Αφού ολοκληρωθεί η ανάπτυξη του συστήματος και η συγγραφή του κώδικα VHDL, είναι απαραίτητη η εκτέλεση προσομοιώσεων στο Modelsim. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι σε αυτό το στάδιο δεν λαμβάνονται υπόψιν οι καθυστερήσεις των πυλών και των διασυνδέσεων, επομένως γίνεται έλεγχος μόνο σχετικά με το αν το κύκλωμα επιτελεί την απαιτούμενη λειτουργία ή όχι. Κατά τη διαδικασία της προσομοίωσης, ανιχνεύονται λειτουργικά σφάλματα και διορθώνονται, ώστε να γίνει προσομοίωση του συστήματος εκ νέου μέχρις ότου το κύκλωμα να πληρεί τις προδιαγραφές που ορίστηκαν. Μετά την ολοκλήρωση του προηγούμενου σταδίου ακολουθεί η διαδικασία της σύνθεσης, η οποία πραγματοποιείται με το εργαλείο XST του Xilinx ISE και παρέχει πληροφορίες που αφορούν μία εκτίμηση για το ποσοστό κάλυψης του FPGA και τις καθυστερήσεις στα διάφορα μονοπάτια του συστήματος, καθώς και παρέχει το σχηματικό του συστήματος. Στη συνέχεια, πραγματοποιείται το Translate, Map, Place & Routing του συστήματος, ώστε να προκύψουν τα τελικά αποτελέσματα για τις παραπάνω παραμέτρους (την κάλυψη του FPGA και τη μέγιστη καθυστέρηση) ύστερα από διάφορα στάδια βελτιστοποιήσεων. Εφ όσον ικα- Κεφάλαιο 8. Μεθοδολογία Σχεδίασης Συστήματος 50

51 8.1. Μεθοδολογία Σχεδίασης Συστήματος νοποιούνται οι απαιτήσεις για το σύστημα σε επιφάνεια κάλυψης και συχνότητα λειτουργίας παράγεται ένα.bit αρχείο με χρήση του εργαλείου impact του Xilinx ISE, το οποίο θα φορτωθεί τελικά στο FPGA. Αν δεν πληρείται κάποια από τις προδιαγραφές του συστήματος ή εάν είναι επιθυμητή καλύτερη απόδοση, ίσως χρειαστούν αλλαγές στον κώδικα ή ακόμα και διαφορετική υλοποίηση της αρχιτεκτονικής του συστήματος. Κεφάλαιο 8. Μεθοδολογία Σχεδίασης Συστήματος 51

52 Κεφάλαιο 9 Περιγραφή στο Λογισμικό 9.1 Διαδικασία προσομοίωσης στο MATLAB Σε αυτή την ενότητα θα παρουσιάσουμε τα βήματα τα οποία είναι απαραίτητα για την κατασκευή του διαγράμματος BER μέσω προσομοίωσης στο MATLAB. Ο ψευδοκώδικας που παρουσιάζεται παρακάτω χρησιμοποιείται για την εύρεση της πιθανότητας λάθους bit σε διάφορα επίπεδα θορύβου, E b /N 0. Data: πίνακας G, τιμές E b /N 0, πλήθος N των bit προς αποστολή Result: διάγραμμα BER Κατασκεύασε τον πίνακα m που περιέχει όλα τα πιθανά μηνύματα; Κατασκεύασε τον πίνακα c που περιέχει όλες τις πιθανές κωδικές λέξεις; Κατασκεύασε τον πίνακα ip που περιέχει N τυχαία bits; Κατασκεύασε τον πίνακα ipc που περιέχει τις τυχαίες κωδικές λέξεις, πολλαπλασιάζοντας τον πίνακα ip με τον G; Κατασκεύασε τον πίνακα s, ο οποίος προκύπτει από τη διαμόρφωση BPSK του πίνακα ipc; for όλες τις τιμές E b /N 0 do Υπολόγισε το σ (τυπική απόκλιση του θορύβου); Κατασκεύασε τον πίνακα r, προσθέτοντας θόρυβο AWGN N (0, σ 2 ) στον πίνακα s; for όλες τις πλειάδες r i r που ελήφθησαν do Aπό το σύνολο των πιθανών κωδικών λέξεων του πίνακα c, βρες την κωδική λέξη ml i που βρίσκεται πιο κοντά στην πλειάδα r i end Υπολόγισε τον συνολικό αριθμό των bits στα οποία διαφέρουν τα bits των αρχικών μηνυμάτων ip i με τα bits μηνύματος των κωδικών λέξεων ml i της εκτίμησης με βάση το κριτήριο ML. end Αλγόριθμος 1: Γενικός αλγόριθμος αποκωδικοποίησης με βάση το κριτήριο ML 52

53 9.1. Διαδικασία προσομοίωσης στο MATLAB Στον Πίνακα 9.1 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της προσομοίωσης στο MATLAB για τον κώδικα LDPC (20, 10) με γεννήτορα τον πίνακα της Σχέσης (6.2). Τα αποτελέσματα αυτά αφορούν δείγμα τουλάχιστον N k = = 10 6 μηνυμάτων με το E b /N 0 να παίρνει τιμές στο διάστημα [2.0, 8.2] db. Επίσης, τα δεδομένα θεωρείται ότι εισέρχονται στον αποκωδικοποιητή ως soft information, κβαντισμένα δηλαδή σε 2 6 καταστάσεις όπως περιγράφθηκε στην Ενότητα 6.1. E b /N Λάθη E b /N Λάθη Πίνακας 9.1: Soft decoding - Σύνολο λαθών σε N = 10 7 ( : N = , : N = ) bits για διάφορες τιμές του E b /N 0 Η πιθανότητα λάθους bit, η οποία είναι απλώς ο αριθμός των λαθών διαιρεμένος με το σύνολο N των bits που στάλθηκαν, παρουσιάζεται στο Διάγραμμα 9.1 συναρτήσει του E b /N 0, για τις τιμές του Πίνακα 9.1. Σχήμα 9.1: Soft decoding - Πιθανότητα λάθους bit για διαμόρφωση BPSK (σύγκριση κώδικα LDPC (20, 10) με την περίπτωση χωρίς κωδικοποίηση). Κεφάλαιο 9. Περιγραφή στο Λογισμικό 53

54 9.2. Σύγκριση αποκωδικοποιήσεων : Hard - Soft 9.2 Σύγκριση αποκωδικοποιήσεων : Hard - Soft Σε αυτή την ενότητα θα δούμε την επίδραση που έχει στην πιθανότητα λάθους bit η χρήση μόνο hard information ως είσοδο στον αποκωδικοποιητή. Αυτό πρακτικά σημαίνει για τη διαμόρφωση BPSK με τα ισοπίθανα ενδεχόμενα που έχουμε θεωρήσει ότι το κατώφλι τ = 0 καθορίζει την τιμή (0 ή 1) ενός bit b i, i = 1,..., n που θα χρησιμοποιηθεί ως είσοδος του αποκωδικοποιητή. Στον Πίνακα 9.2 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της προσομοίωσης στο MATLAB για τον κώδικα LDPC (20, 10) με γεννήτορα τον πίνακα της Σχέσης (6.2). Τα αποτελέσματα αυτά αφορούν δείγμα N k = = 106 μηνυμάτων με το E b /N 0 να παίρνει τιμές στο διάστημα [2.0, 8.2] db. E b /N Λάθη E b /N Λάθη Πίνακας 9.2: Hard decoding - Σύνολο λαθών σε N = 10 7 bits για διάφορες τιμές του E b /N 0 Η πιθανότητα λάθους bit παρουσιάζεται στο Διάγραμμα 9.2 συναρτήσει του E b /N 0, για τις τιμές του Πίνακα 9.2. Σχήμα 9.2: Hard decoding - Πιθανότητα λάθους bit για διαμόρφωση BPSK (σύγκριση κώδικα LDPC (20, 10) με την περίπτωση χωρίς κωδικοποίηση). Κεφάλαιο 9. Περιγραφή στο Λογισμικό 54

55 9.3. Εύρεση ελάχιστης απόστασης κώδικα και κατανομή του minimum distance 9.3 Εύρεση ελάχιστης απόστασης κώδικα και κατανομή του minimum distance Σύμφωνα με τον Ορισμό 3.6, για την εύρεση της ελάχιστης απόστασης του κώδικα θα πρέπει να ελέγξουμε όλα τα πιθανά διαφορετικά ζεύγη των κωδικών λέξεων. Εκείνο το ζεύγος για το οποίο παρατηρείται η μικρότερη απόσταση Hamming είναι το ζητούμενο. Ο γενικός αλγόριθμος είναι: Data: πίνακας G Result: ελάχιστη απόσταση κώδικα d min Κατασκεύασε τον πίνακα m που περιέχει όλα τα πιθανά μηνύματα; Κατασκεύασε τον πίνακα c που περιέχει όλες τις πιθανές κωδικές λέξεις; d min = μήκος n κώδικα; for όλες τις γραμμές c i c do for όλες τις γραμμές c j c, j > i do if d H (c i, c j ) < d min then d min = d H (c i, c j ) end end end Αλγόριθμος 2: Γενικός αλγόριθμος εύρεσης d min Για τον κώδικα LDPC (20, 10) που έχουμε θεωρήσει μπορούμε επίσης να εξάγουμε ένα διάγραμμα που να δείχνει την κατανομή του d min ανά κωδική λέξη, δηλαδή πόση απόσταση Hamming απέχει η κοντινότερη κωδική λέξη, για κάθε μία από τις 2 10 συνολικά κωδικές λέξεις. Ο αλγόριθμος 3 χρησιμοποιείται για την εξαγωγή αυτού του διαγράμματος. Στο Διάγραμμα 9.3 φαίνεται το αποτέλεσμα της προσομοίωσης για τον κώδικα LDPC (20, 10). Όπως παρατηρούμε, για όλες τις κωδικές λέξεις, υπάρχει (τουλάχιστον) μία κωδική λέξη σε απόσταση Hamming d H = 4 και καμία σε απόσταση Hamming d H < 4. Επομένως, η ελάχιστη απόσταση του κώδικα είναι d min = 4. Όμως, σύμφωνα με το Θεώρημα 3.1, για γραμμικούς κώδικες ισχύει ότι d min = w min, επομένως αρκεί ο υπολογισμός του w min, όπως φαίνεται στον αλγόριθμο 4, αφού είναι απλούστερος. 9.4 Iterative vs ML Θα ήταν χρήσιμο να εξάγουμε και μία σχέση της απόδοσης, δηλαδή της πιθανότητας λάθους bit, μεταξύ της αποκωδικοποίησης ML που εξετάστηκε ήδη και της αποκωδικοποίησης με επαναλή- Κεφάλαιο 9. Περιγραφή στο Λογισμικό 55

56 9.4. Iterative vs ML Data: πίνακας G Result: ελάχιστη απόσταση κώδικα d min, κατανομή του d min Κατασκεύασε τον πίνακα m που περιέχει όλα τα πιθανά μηνύματα; Κατασκεύασε τον πίνακα c που περιέχει όλες τις πιθανές κωδικές λέξεις; for όλες τις γραμμές c i c do d min,i = μήκος n κώδικα; for όλες τις γραμμές c j c, i j do if d H (c i, c j ) < d min,i then d min,i = d H (c i, c j ) end end end Κατασκεύασε το διάγραμμα d min,i = f(i), i 1,..., 2 k ; d min = min{d min,i }; Αλγόριθμος 3: Γενικός αλγόριθμος εύρεσης της κατανομής του d min ανά κωδική λέξη και του d min Σχήμα 9.3: Απόσταση Hamming, d H, από την κοντινότερη κωδική λέξη, για όλες τις κωδικές λέξεις (2 10 = 1024) του κώδικα LDPC (20, 10). Κεφάλαιο 9. Περιγραφή στο Λογισμικό 56

57 9.5. Κατασκευή μεγαλύτερων σε διαστάσεις G, H Data: πίνακας G Result: ελάχιστη απόσταση κώδικα d min Κατασκεύασε τον πίνακα m που περιέχει όλα τα πιθανά μηνύματα; Κατασκεύασε τον πίνακα c που περιέχει όλες τις πιθανές κωδικές λέξεις; for όλες τις γραμμές c i c, c i 0 do Βρες το βάρος w i του c i (αριθμός των 1 που περιέχει); end d min = min w i ; Αλγόριθμος 4: Αλγόριθμος εύρεσης d min για κώδικες μπλοκ μέσω του w min ψεις που χρησιμοποιείται κατά κύριο λόγο σε κώδικες πολύ μεγαλύτερου μεγέθους (n, k > 1000). Στην αποκωδικοποίηση με επαναλήψεις ορίζεται ένας μέγιστος αριθμός επαναλήψεων και εάν μέχρι το τέλος των επαναλήψεων δεν έχουν ικανοποιηθεί όλοι οι περιορισμοί ελέγχου ισοτιμίας που ορίζονται από τη σχέση ch T = 0, τότε δηλώνεται αδυναμία αποκωδικοποίησης. Εάν σε κάποια επανάληψη βρεθεί ότι στάλθηκε η κωδική λέξη c i, τότε η διαδικασία αποκωδικοποίησης σταματάει, εκτός αν έχουμε θεωρήσει ότι ο αποκωδικοποιητής φτάνει πάντα στο μέγιστο αριθμό επαναλήψεων για να βρει το αποτέλεσμα. Χρησιμοποιώντας τις κλάσεις (fec.ldpcdec) και συναρτήσεις (decode) του MATLAB προσομοιώθηκε η αποκωδικοποίηση κωδίκων LDPC με επαναλήψεις. Στον Πίνακα 9.3 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της προσομοίωσης στο MATLAB για τον κώδικα LDPC (20, 10) με γεννήτορα τον πίνακα της Σχέσης (6.2). Τα αποτελέσματα αυτά αφορούν δείγμα τουλάχιστον N k = = 106 μηνυμάτων με το E b /N 0 να παίρνει τιμές στο διάστημα [2.0, 8.2] db. Επίσης, θεωρήσαμε ότι τα δεδομένα εισέρχονται στον αποκωδικοποιητή ως soft information, κβαντισμένα δηλαδή σε 2 6 καταστάσεις όπως περιγράφθηκε στην Ενότητα 6.1. Η πιθανότητα λάθους bit παρουσιάζεται στο Διάγραμμα 9.4 συναρτήσει του E b /N 0, για τις τιμές του Πίνακα Κατασκευή μεγαλύτερων σε διαστάσεις G, H Με βάση έναν πίνακα ελέγχου ισοτιμίας H διαστάσεων (n k) n, είναι δυνατή η κατασκευή ενός λ φορές μεγαλύτερου πίνακα ελέγχου ισοτιμίας H λ, ο οποίος θα σχετίζεται με έναν κώδικα διάστασης λk. Αυτό επιτυγχάνεται με την αντικατάσταση κάθε 0 που υπάρχει στον αρχικό πίνακα ελέγχου ισοτιμίας με τον μηδενικό πίνακα διαστάσεων λ λ και κάθε 1 με έναν μοναδιαίο πίνακα I λ διαστάσεων λ λ μετατοπισμένο δεξιά (ή αριστερά, χωρίς καμία διαφορά) κατά έναν τυχαίο αριθμό s {1,..., λ}. Στη συνέχεια, μπορούμε να βρούμε έναν πίνακα G λ, ο οποίος θα είναι ο γεννήτορας πίνακας Κεφάλαιο 9. Περιγραφή στο Λογισμικό 57

58 9.5. Κατασκευή μεγαλύτερων σε διαστάσεις G, H E b /N Λάθη (Iterative) Λάθη (ML) E b /N Λάθη (Iterative) Λάθη (ML) Πίνακας 9.3: Soft decoding - Σύνολο λαθών σε N = 10 7 ( : N = , : N = ) bits για διάφορες τιμές του E b /N 0 (σύγκριση Iterative αποκωδικοποιητή και αποκωδικοποιητή ML κώδικα LDPC (20, 10) σε υλικό και λογισμικό). Σχήμα 9.4: Soft decoding - Πιθανότητα λάθους bit για διαμόρφωση BPSK (σύγκριση Iterative αποκωδικοποίησης και αποκωδικοποίησης ML κώδικα LDPC (20, 10) με την περίπτωση χωρίς κωδικοποίηση). Κεφάλαιο 9. Περιγραφή στο Λογισμικό 58

59 9.5. Κατασκευή μεγαλύτερων σε διαστάσεις G, H για τον νέο κώδικα διάστασης λk που αναπαριστά ο H λ. Ένας πίνακας ελέγχου ισοτιμίας H, μπορεί να χωριστεί σε δύο υποπίνακες ως εξής: H T = [ H a H b ], (9.1) όπου ο υποπίνακας H a έχει διαστάσεις k (n k) και ο υποπίνακας H b διαστάσεις (n k) (n k). Τότε, αν υπάρχει κάποιος πίνακας P που να ικανοποιεί την εξίσωση P H b = H a ο γεννήτορας πίνακας που αντιστοιχεί στον πίνακα ελέγχου ισοτιμίας της Εξίσωσης (9.1) είναι ο G = [ I ] P Ο ψευδοκώδικας που υλοποιεί αυτή τη διαδικασία και στον οποίο βασίστηκε η αντίστοιχη συνάρτηση στο MATLAB φαίνεται παρακάτω. Data: πίνακας H, αριθμός λ που δείχνει πόσες φορές μεγαλύτερος θα κατασκευαστεί ο νέος πίνακας ελέγχου ισοτιμίας Result: πίνακας H λ, πίνακας G λ Κατασκεύασε τον πίνακα H λ, διαστάσεων λ(n k) λn, ο οποίος αρχικά είναι μηδενικός πίνακας; for όλες τις συντεταγμένες (i, j) του πίνακα H για τις οποίες H i,j = 1 do Μετατόπισε κατά s {1,..., λ} τυχαίες θέσεις δεξιά (ή αριστερά) τον μοναδιαίο πίνακα I λ ; Τοποθέτησε τον μετατοπισμένο πίνακα στις γραμμές από λ(i 1) + 1 έως λi και στις στήλες από λ(j 1) + 1 έως λj ; end Με δεδομένο τον H λ που βρέθηκε, κατασκεύασε τους πίνακες H a και H b ; if υπάρχει ο H 1 b then Υπολόγισε τον P = H a H 1 b ; Υπολόγισε τον G λ = [ I λk P ] ; else Σφάλμα στην εύρεση του πίνακα G λ ; end Αλγόριθμος 5: Αλγόριθμος εύρεσης πινάκων G, H μεγαλύτερων σε διάσταση κωδίκων Κεφάλαιο 9. Περιγραφή στο Λογισμικό 59

60 Κεφάλαιο 10 Αρχιτεκτονική Συστήματος 10.1 Επεξήγηση κυκλώματος σε υψηλό επίπεδο Το τηλεπικοινωνιακό σύστημα που περιγράφθηκε στο Κεφάλαιο 6 σχεδιάστηκε στο υλικό και αποτελείται από τα εξής επιμέρους τμήματα του Σχήματος 10.1, το καθένα από τα οποία υλοποιείται ανεξάρτητα από τα υπόλοιπα: Τις δύο γεννήτριες ψευδοτυχαίων αριθμών (LFSR - Linear Feedback Shift Register), Τον κωδικοποιητή (encoder) ενός (n, k) κώδικα, Το κανάλι, Τον αποκωδικοποιητή (decoder) και Το κύκλωμα σύγκρισης και συγχρονισμού των επιμέρους υπομονάδων. Στις επόμενες υποενότητες παρουσιάζονται με μεγαλύτερη λεπτομέρεια η λειτουργία καθενός από αυτά LFSR Οι γεννήτριες ψευδοτυχαίων αριθμών (LFSR) παράγουν μία τυχαία ακολουθία 0 και 1 με ίση πιθανότητα και με περίοδο της τάξης του Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι το κάθε μήνυμα τείνει να έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης. Οι γεννήτριες αυτές είναι σχεδιασμένες ώστε να παρέχουν στην έξοδο δύο bits ανά παλμό ρολογιού. 60

61 10.1. Επεξήγηση κυκλώματος σε υψηλό επίπεδο Σχήμα 10.1: Η υλοποίηση του τηλεπικοινωνιακού συστήματος στο υλικό Κωδικοποιητής - Encoder Σχήμα 10.2: Είσοδοι-Έξοδοι του κωδικοποιητή. Στο Σχήμα 10.2 φαίνεται σε μπλοκ διάγραμμα η αναπαράσταση του κωδικοποιητή. Στα δύο λιγότερα σημαντικά bits (LSB - Least Significant Bits) της εισόδου του αποκωδικοποιητή din(7:0) φθάνουν δύο bits ανά παλμό ρολογιού, και επομένως ένα μήνυμα μήκους k χρειάζεται συνολικά k/2 παλμούς ρολογιού. Κατά τη διάρκεια αυτών των παλμών, η είσοδος του κωδικοποιητή din_val είναι 1. Μετά το πέρασμα ενός συγκεκριμένου και σταθερού αριθμού παλμών ρολογιού, που εξαρτάται από τη δομή και την υλοποίηση του κωδικοποιητή, ο κωδικοποιητής αρχίζει να εξάγει την κωδικοποιημένη λέξη μήκους n με τον ίδιο ρυθμό, δηλαδή δύο bits ανά παλμό ρολογιού, στα δύο LSB της εξόδου dout(7:0). Κατά τη διάρκεια των n/2 παλμών που απαιτούνται για αυτόν τον σκοπό, η έξοδος dout_val παραμένει 1. Η έξοδος cout_str γίνεται 1 μόνο κατά τον πρώτο, ενώ η έξοδος cout_end μόνο κατά τον τελευταίο εκ των n/2 παλμών. Στο Σχήμα 10.3 παρουσιάζονται τα διαγράμματα χρονισμού των εισόδων και των εξόδων του κωδικοποιητή. Κεφάλαιο 10. Αρχιτεκτονική Συστήματος 61

62 10.1. Επεξήγηση κυκλώματος σε υψηλό επίπεδο (α) Διάγραμμα χρονισμού εισόδων. (β) Διάγραμμα χρονισμού εξόδων. Σχήμα 10.3: Διαγράμματα χρονισμού του κωδικοποιητή Κανάλι - Channel Σχήμα 10.4: Είσοδοι-Έξοδοι του καναλιού. Η λειτουργία της υπομονάδας του καναλιού είναι η εισαγωγή προσθετικού λευκού γκαουσιανού θορύβου με διακύμανση σ 2. Επειδή η βασική είσοδος του κυκλώματος έχει αποφασιστεί να είναι το SNR, είναι απαραίτητη μία μετατροπή της εισόδου αυτής forsnr(5:0) σε τιμές τυπικής απόκλισης και διακύμανσης. Οι τιμές που προκύπτουν από τη μετατροπή, μήκους 40 bits η καθεμία (sigma1(39:0) για την τυπική απόκλιση και sigma2(39:0) για τη διακύμανση), δίνονται Κεφάλαιο 10. Αρχιτεκτονική Συστήματος 62

63 10.1. Επεξήγηση κυκλώματος σε υψηλό επίπεδο ως είσοδος στη μονάδα του καναλιού, που φαίνεται στο Σχήμα Επίσης, το κανάλι δέχεται στην είσοδο τα σήματα dinready και datain(1:0), τα οποία προκύπτουν από τις εξόδους του κωδικοποιητή dout_val και από τα δύο LSB της εξόδου dout(7:0), αντίστοιχα. Τα δύο bits της εισόδου datain(1:0) που εισάγονται στο κανάλι σε κάθε παλμό ρολογιού παραμορφώνονται κατάλληλα, με την προσθήκη θορύβου AWGN, με τρόπο ο οποίος δεν θα αναλυθεί και δεν αποτελεί μέρος της διπλωματικής εργασίας. Μετά το πέρασμα ενός συγκεκριμένου και σταθερού αριθμού παλμών ρολογιού, που εξαρτάται από τη δομή και την υλοποίηση του καναλιού, εμφανίζονται στις εξόδους dataout11(5:0) και dataout21(5:0) σε μορφή συμπληρώματος ως προς 2, με τρία δεκαδικά ψηφία. Σε όλους τους παλμούς που διαρκεί η έξοδος των bits, η έξοδος doutready παραμένει Αποκωδικοποιητής - Decoder Σχήμα 10.5: Είσοδοι-Έξοδοι του αποκωδικοποιητή. Στο Σχήμα 10.5 παρουσιάζεται το μπλοκ διάγραμμα του αποκωδικοποιητή του συστήματος. Οι είσοδοι dllr0(5:zero), dllr1(5:zero), din_val είναι ακριβώς οι τρεις έξοδοι του καναλιού, χωρίς καμία περαιτέρω επεξεργασία. Ο αποκωδικοποιητής, με βάση τις εισόδους και τον αλγόριθμο αποκωδικοποίησης που ακολουθεί, επιλέγει την κωδική λέξη που είναι πιθανότερο ότι στάλθηκε. Με το πέρας της διαδικασίας αποκωδικοποίησης, αρχίζει η διαδικασία εξαγωγής της κωδικής λέξης που βρέθηκε, στα δύο LSB της εξόδου dout(7:0). Η κωδική λέξη έχει έχει k bits πληροφορίας, επομένως απαιτούνται συνολικά k/2 παλμοί ρολογιού. Κατά τη διάρκεια των k/2 παλμών, η έξοδος dout_val παραμένει 1. Η έξοδος idout_str γίνεται 1 μόνο κατά τον πρώτο, ενώ η έξοδος idout_end μόνο κατά τον τελευταίο εκ των k/2 παλμών. Επίσης, στην έξοδο err_cnt(15:0) παρουσιάζεται μία εκτίμηση της απόστασης κατά την οποία υπολογίστηκε ότι απέχει η ληφθείσα λέξη στην είσοδο του αποκωδικοποιητή από αυτήν που εξάγεται ως αποτέλεσμα της αποκωδικοποίησης. Τέλος, τα σήματα convergence και iter_conv(7:0) αφορούν την υλοποίηση συγκεκριμένων τύπων αποκωδικοποιητών και δεν ήταν απαραίτητη η χρήση τους στην υλοποίηση της παρούσας διπλωματικής εργασίας. Κεφάλαιο 10. Αρχιτεκτονική Συστήματος 63

64 10.1. Επεξήγηση κυκλώματος σε υψηλό επίπεδο Στο Σχήμα 10.6 παρουσιάζονται τα διαγράμματα χρονισμού των εισόδων και των εξόδων του αποκωδικοποιητή. (α) Διάγραμμα χρονισμού εισόδων. (β) Διάγραμμα χρονισμού εξόδων. Σχήμα 10.6: Διαγράμματα χρονισμού του αποκωδικοποιητή Κύκλωμα σύγκρισης και συγχρονισμού των επιμέρους υπομονάδων Το κύκλωμα σύγκρισης δέχεται ως είσοδο την απόφαση του αποκωδικοποιητή, καθώς και ένα αντίγραφο της γεννήτριας ψευδοτυχαίων αριθμών, και υπολογίζει τον αριθμό των λαθών που έγιναν. Διατηρεί, επίσης, και σε έναν μετρητή τον συνολικό αριθμό (σε MFrames, 1 Frame = μήκος k ενός μηνύματος = διάσταση k του κώδικα) των bits που εξετάστηκαν. Με αυτόν τον τρόπο, μπορούμε πολύ εύκολα να υπολογίσουμε και την πιθανότητα σφάλματος bit: BER = Συνολικός αριθμός λαθών 2 20 Αριθμός MFrames k Κεφάλαιο 10. Αρχιτεκτονική Συστήματος 64

65 10.2. Η υλοποίηση του αποκωδικοποιητή ML Το κύκλωμα συγχρονισμού των επιμέρους υπομονάδων περιλαμβάνει όλες τις απαραίτητες λειτουργίες για την επικοινωνία και σωστή ανταλλαγή πληροφοριών μεταξύ των τμημάτων του τηλεπικοινωνιακού συστήματος. Πιο συγκεκριμένα, περιλαμβάνει λειτουργίες όπως την καθυστέρηση της δεύτερης γεννήτριας ψευδοτυχαίων αριθμών κατά τον κατάλληλο αριθμό παλμών ρολογιού, την πολύπλεξη των σημάτων στην έξοδο (ο αριθμός των σημάτων που χρειάζεται να εξάγονται είναι αρκετά μεγαλύτερος από τον αριθμό των pins που παρέχει το FPGA), τη μηχανή καταστάσεων του τηλεπικοινωνιακού συστήματος, καθώς και μετρητές και καταχωρητές που υλοποιούν διάφορες άλλες λειτουργίες Η υλοποίηση του αποκωδικοποιητή ML Σε αυτή την Ενότητα θα περιγραφθεί με μεγαλύτερη λεπτομέρεια η λειτουργία του αποκωδικοποιητή ML που παρουσιάστηκε στην Υποενότητα Περιγραφή δομικών στοιχείων Στο Σχήμα 10.7 παρουσιάζεται η υλοποίηση του αποκωδικοποιητή ML σε επίπεδο που να επιτρέπει την κατανόηση της λειτουργίας του. Σε αυτό το σχήμα υπάρχουν όλες οι είσοδοι και έξοδοι που περιγράφθηκαν στην Υποενότητα Η συγκεκριμένη υλοποίηση του αποκωδικοποιητή αποτελείται από τις εξής επιμέρους υπομονάδες: Υπομονάδες parser και parser_out Όπως είδαμε στην Υποενότητα , ο αποκωδικοποιητής λαμβάνει σε κάθε παλμό ρολογιού δύο bits στα οποία έχει προστεθεί θόρυβος AWGN. Η λειτουργία της υπομονάδας parser είναι η ανασύσταση ολόκληρης της λέξης προς αποκωδικοποίηση, μήκους n bits. Όταν είναι έτοιμη η λέξη, εμφανίζεται στην έξοδο, ταυτόχρονα με το σήμα search, το οποίο γίνεται 1 για να δηλώσει την αρχή της διαδικασίας αποκωδικοποίησης. Η λειτουργία της υπομονάδας parser_out είναι συμπληρωματική. Δηλαδή, δέχεται ως είσοδο την κωδική λέξη που αποφάσισε ο αποκωδικοποιητής ML, καθώς και το σήμα new_cw που δηλώνει το τέλος της διαδικασίας αποκωδικοποίησης. Έπειτα από έναν αριθμό παλμών ρολογιού (στη συγκεκριμένη υλοποίηση έπειτα από έναν) εξάγει δύο bits ανά παλμό ρολογιού παράλληλα με τα σήματα dout_val, idout_str και idout_end, που δηλώνουν την ύπαρξη έγκυρης λέξης στην έξοδο, όπως περιγράφθηκε και στην Υποενότητα Κεφάλαιο 10. Αρχιτεκτονική Συστήματος 65

66 10.2. Η υλοποίηση του αποκωδικοποιητή ML Σχήμα 10.7: Το μπλοκ διάγραμμα του αποκωδικοποιητή. Κεφάλαιο 10. Αρχιτεκτονική Συστήματος 66

67 10.2. Η υλοποίηση του αποκωδικοποιητή ML Μετρητής counter Πρόκειται για έναν τυπικό μετρητή προς τα πάνω, με μήκος ίσο με τη διάσταση k του κώδικα. Ο μετρητής αυτός δημιουργεί σε κάθε παλμό ρολογιού ένα από τα 2 k πιθανά μηνύματα με τη σειρά. Όταν ο μετρητής φτάσει στο τελευταίο μήνυμα, τότε η έξοδος endofcount αυτής της υπομονάδας γίνεται 1 για να δηλώσει το τέλος της αναζήτησης. Κωδικοποιητής ldpc_enc Μέσα στον αποκωδικοποιητή, υπάρχει και μία υπομονάδα που επιτελεί τη λειτουργία της κωδικοποίησης. Δεχόμενη ένα από τα 2 k μηνύματα που παράγει ο counter, το κωδικοποιεί σε μία από τις 2 k πιθανές κωδικές λέξεις. Υπομονάδα codeword_dist Βασική στη διαδικασία της αποκωδικοποίησης ML είναι και μία υπομονάδα, η οποία υπολογίζει πόσο απέχουν μεταξύ τους δύο λέξεις με μήκος ίσο με το μήκος n του κώδικα η καθεμία, με βάση την απόσταση που ορίστηκε στη Σχέση (5.8). Πιο συγκεκριμένα, οι λέξεις που αποτελούν την είσοδο αυτής της υπομονάδας είναι η ολοκληρωμένη λέξη που παρέχει η υπομονάδα parser_in και οι λέξεις που παρέχει το ζεύγος counter-κωδικοποιητή. Η υπομονάδα codeword_dist περιέχει τα εξής βασικά στάδια: Ένα στάδιο n αφαιρέσεων μεταξύ καθεμιάς από τις n συνιστώσες των δύο εισόδων. Η αναπαράσταση κάθε συνιστώσας αποτελείται από έξι bits σε μορφή συμπληρώματος ως προς 2 με τρία δεκαδικά ψηφία. Επομένως, το αποτέλεσμα είναι n στοιχεία των επτά bits. Ένα στάδιο τετραγωνισμού των παραπάνω n στοιχείων, το οποίο δημιουργεί n αποτελέσματα των 14 bits, εκ των οποίων τα οκτώ αποτελούν το ακέραιο και τα έξι το δεκαδικό μέρος. Ένα στάδιο άθροισης όλων των n στοιχείων, μήκους 14 bits το καθένα, ώστε να προκύψει η ολική απόσταση μεταξύ των δύο λέξεων. Η προτιμότερη υλοποίηση για την άθροιση n στοιχείων είναι η χρήση ενός δέντρου αθροιστών με μεταβλητό μήκος άθροισης σε κάθε επίπεδο του δέντρου. Το τελικό αποτέλεσμα για την απόσταση αποτελείται από log 2 n +14 bits. Κεφάλαιο 10. Αρχιτεκτονική Συστήματος 67

68 10.2. Η υλοποίηση του αποκωδικοποιητή ML Συγκριτής Απαραίτητος για τη διαδικασία της αποκωδικοποίησης ML είναι και ένας συγκριτής, του οποίου η βασική λειτουργία είναι η σύγκριση της μικρότερης απόστασης που έχει εντοπιστεί μέχρι το βήμα i 1, i 1, 2,..., 2 k με την απόσταση που αντιστοιχεί στην κωδική λέξη που εξετάζεται στο βήμα i. Αν βρεθεί ότι η απόσταση είναι μικρότερη, ενεργοποιείται το σήμα change. Επίσης, στην περίπτωση όπου η απόσταση είναι μικρότερη από d min 2 (ή γενικά, αν βρεθεί κάποια κωδική λέξη που να απέχει λιγότερο από μία προκαθορισμένη τιμή), είναι δυνατόν να θεωρηθεί ότι βρέθηκε η ζητούμενη κωδική λέξη, το οποίο δηλώνεται με την ενεργοποίηση του σήματος foundcw της υπομονάδας του συγκριτή. Μηχανή πεπερασμένων καταστάσεων (Finite-State Machine - FSM) Η λειτουργία του αποκωδικοποιητή ελέγχεται από μία μηχανή πεπερασμένων καταστάσεων. Το Σχήμα 10.8 δείχνει το διάγραμμα της λειτουργίας της μηχανής καταστάσεων του αποκωδικοποιητή, συμπεριλαμβανομένων και όλων των πιθανών μεταβάσεων και των συνθηκών υπό τις οποίες συμβαίνουν. Όπως φαίνεται από το διάγραμμα, οι πιθανές καταστάσεις στις οποίες μπορεί να βρεθεί ο αποκωδικοποιητής είναι μία από τις ακόλουθες: Όταν το κύκλωμα τίθεται σε λειτουργία για πρώτη φορά με την εφαρμογή του εξωτερικού σήματος reset, καθώς επίσης και όταν ολοκληρωθεί η αποκωδικοποίηση της προηγούμενης ληφθείσας λέξης, ο αποκωδικοποιητής βρίσκεται στην κατάσταση start. Από την κατάσταση start, η μόνη πιθανή μετάβαση είναι στην κατάσταση decide όταν ενεργοποιηθεί το σήμα search, το οποίο δηλώνει την αρχή της διαδικασίας αποκωδικοποίησης. Ο αποκωδικοποιητής βρίσκεται στην κατάσταση decide για όσο διάστημα δεν έχει βρεθεί ακόμη η πιθανότερη κωδική λέξη. Σε αυτό το διάστημα, η υπομονάδα counter παράγει ένα μήνυμα σε κάθε παλμό ρολογιού, το οποίο κωδικοποιείται στην υπομονάδα lpdc_enc. Η απόσταση της κωδικής λέξης από την ληφθείσα κωδική λέξη υπολογίζεται και συγκρίνεται με όλες τις προηγούμενες μέσω των υπομονάδων codeword_dist και του συγκριτή. Όσο ο αποκωδικοποιητής βρίσκεται στην κατάσταση decide, ελέγχεται πρώτα εάν βρέθηκε η πιθανότερη κωδική λέξη, ώστε ο αποκωδικοποιητής να μεταβεί στην κατάσταση stop. Αυτό μπορεί να συμβεί είτε μέσω της ενεργοποίησης του σήματος found_cw το οποίο δηλώνει ότι η κωδική λέξη βρίσκεται εντός της αποδεκτής απόστασης ώστε να είναι η πιθανότερη, είτε μέσω της ταυτόχρονης ενεργοποίησης των σημάτων change και endofcount τα οποία δηλώνουν ότι ολοκληρώθηκε η διερεύνηση όλων των πιθανών κωδικών λέξεων και ότι η Κεφάλαιο 10. Αρχιτεκτονική Συστήματος 68

69 10.2. Η υλοποίηση του αποκωδικοποιητή ML Σχήμα 10.8: Το διάγραμμα καταστάσεων της FSM του αποκωδικοποιητή. Κεφάλαιο 10. Αρχιτεκτονική Συστήματος 69

70 10.3. Βελτιώσεις στην υλοποίηση του αποκωδικοποιητή τελευταία κωδική λέξη έχει μικρότερη απόσταση από τις προηγούμενες. Εάν δεν συμβαίνουν τα παραπάνω, τότε ελέγχονται ξεχωριστά τα σήματα endofcount και search με τη σειρά. Εάν το σήμα endofcount είναι ενεργοποιημένο, τότε ολοκληρώθηκε η διευρεύνηση όλων των πιθανών κωδικών λέξεων και ο αποκωδικοποιητής μεταβαίνει στην κατάσταση start. Ενώ εάν το σήμα search είναι ενεργοποιημένο, τότε βρέθηκε μια κωδική λέξη με μικρότερη απόσταση από τη ληφθείσα σε σχέση με όλες τις προηγούμενες, και ο αποκωδικοποιητής μεταβαίνει στην κατάσταση ff_en. Όταν ο αποκωδικοποιητής βρίσκεται στην κατάσταση ff_en, ενεργοποιείται η έξοδος load της FSM, ώστε να είναι δυνατή η αποθήκευση των νέων τιμών στους κατάλληλους καταχωρητές του αποκωδικοποιητή. Οι μεταβάσεις από αυτή την κατάσταση είναι αντίστοιχες με τις μεταβάσεις από την κατάσταση decide. Ο αποκωδικοποιητής θα βρεθεί στην κατάσταση stop στην περίπτωση όπου το σήμα foundcw είναι ενεργοποιημένο ή ταυτόχρονα τα σήματα change και endofcount. Εάν δεν συμβαίνουν τα παραπάνω, τότε ελέγχονται ξεχωριστά τα σήματα endofcount και search με τη σειρά, ώστε ο αποκωδικοποιητής να μεταβεί στην κατάσταση start ή να παραμείνει στην κατάσταση ff_en. Εάν δεν συμβαινει τίποτε από τα παραπάνω, ο αποκωδικοποιητής επιστρέφει στην κατάσταση decide. Τέλος, η κατάσταση stop, όπως και η κατάσταση ff_en, επιτρέπει την αποθήκευση των νέων τιμών στους κατάλληλους καταχωρητές, μέσω της ενεργοποίησης της εξόδου load της FSM. Η μόνη δυνατή μετάβαση από την κατάσταση stop είναι προς την κατάσταση start. Όλες οι παραπάνω μεταβάσεις πραγματοποιούνται στις ανερχόμενες παρυφές του ρολογιού. Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις, εάν δεν ισχύει καμία από τις συνθήκες μετάβασης, ο αποκωδικοποιητής παραμένει στην ίδια κατάσταση Βελτιώσεις στην υλοποίηση του αποκωδικοποιητή Η υπομονάδα codeword_dist, όπως περιγράφθηκε στην Υποενότητα , αποτελείται από τρία βασικά στάδια. Στην περίπτωση που χρησιμοποιείται η διαμόρφωση BPSK είναι δυνατόν να απλοποιηθεί το στάδιο των αφαιρέσεων. Επειδή οι δύο πιθανές αφαιρέσεις είναι με τις τιμές +1 και 1, το συγκεκριμένο στάδιο απλοποείται και μετατρέπεται από ένα στάδιο n αφαιρέσεων των έξι bits σε ένα στάδιο n αφαιρέσεων των τριών bits. Η απλοποίηση είναι δυνατή λόγω των τριών μηδενικών δεκαδικών bits στην περίπτωση αυτή. Κεφάλαιο 10. Αρχιτεκτονική Συστήματος 70

71 10.4. Εφαρμογή διασωλήνωσης (Pipelining) Στο δεύτερο στάδιο του τετραγωνισμού μπορούν να επιτευχθούν σημαντικές βελτιώσεις. Επειδή οι πιθανοί αριθμοί που τετραγωνίζονται βρίσκονται στην περιοχή [ 4, +3.75], τα τετράγωνα αυτών των αριθμών βρίσκονται στην περιοχή [0, 16]. Έτσι, στους υπολογισμούς που ακολουθούν είναι δυνατόν να αγνοηθούν τα τρία πιο σημαντικά bits του ακέραιου μέρους, καθώς θα είναι πάντα 000 και να διατηρήσουμε μόνο τα πέντε. Όσον αφορά το δεκαδικό μέρος, από τα συνολικά έξι bits που προκύπτουν από τον τετραγωνισμό, είναι δυνατόν να παραλείψουμε τα πέντε λιγότερο σημαντικά χωρίς καμία διαφορά στη λειτουργία του αποκωδικοποιητή. Η απλοποίηση είναι δυνατή επειδή στις δύο πιθανές περιπτώσεις του υπολογισμού της απόστασης από τις τιμές +1 και 1, τα τελευταία πέντε bits του δεκαδικού μέρους συμπίπτουν. Συνεπώς, αν και οι τετραγωνισμοί εξάγουν αποτελέσματα των 14 bits, στους υπολογισμούς που ακολουθούν θα χρησιμοποιηθούν μόνο τα έξι που βρίσκονται στις θέσεις Το δέντρο των αθροιστών που ακολουθεί απαιτείται πλέον να αθροίσει n αριθμούς των έξι bits και όχι των 14, παράγοντας ένα τελικό αποτέλεσμα για την απόσταση μήκους log 2 n + 6 bits. Το γεγονός αυτό μπορεί να οδηγήσει σε υλοποιήσεις του αποκωδικοποιητή, οι οποίες είναι 15-35% μικρότερες σε επιφάνεια (εξαρτάται από το μήκος n των λέξεων) σε σχέση με την αρχική Εφαρμογή διασωλήνωσης (Pipelining) Ακόμη και ύστερα από τις παραπάνω βελτιώσεις που περιγράφθηκαν στην Υποενότητα 10.3, η μέγιστη δυνατή συχνότητα στην οποία μπορεί να λειτουργήσει το κύκλωμα του αποκωδικοποιητή είναι μικρότερη από την επιθυμητή συχνότητα των 100 MHz. Για να γίνει εφικτό αυτό, εφαρμόστηκε ένα στάδιο διασωλήνωσης (pipelining) στην υπομονάδα codeword_dist, έτσι ώστε να βελτιωθεί η μέγιστη συχνότητα λειτουργίας του αποκωδικοποιητή από περίπου 78 MHz σε περίπου 120 MHz. Κεφάλαιο 10. Αρχιτεκτονική Συστήματος 71

72 Κεφάλαιο 11 Περιγραφή στο Υλικό και μετρήσεις Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζονται τα βήματα που αφορούν την περιγραφή στο υλικό και τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων που πραγματοποιήθηκαν, σύμφωνα με τη Μεθοδολογία Σχεδίασης Συστήματος που αναλύθηκε στο Κεφάλαιο Περιγραφή στο Υλικό Προσομοίωση στο Modelsim Η κάθε υπομονάδα που σχεδιάζεται ελέγχεται ξεχωριστά για τη σωστή λειτουργία της στο Modelsim, ώστε να είναι ευκολότερη η απασφαλμάτωση (debugging) ολόκληρου του κυκλώματος στα επόμενα στάδια της σχεδίασης. Kατά τη διαδικασία της επαλήθευσης της λειτουργίας του συστήματος χρησιμοποιήθηκαν τα κατάλληλα διανύσματα ελέγχου (testbenches) με την μορφή.do αρχείων στο Modelsim, ώστε να γίνει εφικτός ο έλεγχος όλων των καταστάσεων στις οποίες είναι πιθανό να βρεθεί το σύστημα Ορθότητα και επαναχρησιμοποίηση κώδικα Ο κώδικας που αναπτύχθηκε ελέγχθηκε για την ορθότητα, την ακεραιότητα και την ποιότητά του χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα HDL Designer. Στο Σχήμα 11.1 φαίνεται το αποτέλεσμα της εκτίμησης ποιότητας του κώδικα, καθώς και ορισμένα σφάλματα και προειδοποιήσεις, τα οποία αν και δεν επηρρεάζουν τη σωστή λειτουργία του συστήματος μειώνουν τον βαθμό της εκτιμούμενης ποιότητας, ο οποίος θεωρείται αρκετά υψηλός (91%). Επίσης, θα ήταν επιθυμητή η αποκωδικοποίηση ενός πλήθους κωδίκων LDPC με διαφορετικές διαστάσεις και μήκη χωρίς την ανάγκη της συγγραφής του κώδικα VHDL από την αρχή. Αυτό 72

73 11.1. Περιγραφή στο Υλικό Σχήμα 11.1: Εκτίμηση ποιότητας του κώδικα VHDL στον HDL Designer. μπορεί να επιτευχθεί με τη δημιουργία των κατάλληλων παραμετρικών scripts. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα για τον αποκωδικοποιητή ML είναι το δέντρο των αθροιστών που βρίσκεται στην υπομονάδα codeword_dist (βλ. Υποενότητα ), του οποίου το βάθος αλλά και το πλήθος των αθροιστών που περιέχει μεταβάλλεται ανάλογα με το μήκος του κώδικα. Για την αυτόματη παραγωγή του κατάλληλου κώδικα VHDL φτιάχτηκε ένα script σε C, του οποίου η λειτουργία φαίνεται στο Σχήμα 11.2 για μήκος κώδικα 6 και 20. Στην υλοποίηση του συστήματος για τον κώδικα LDPC (20, 10) ακολουθήθηκε η έννοια της επαναχρησιμοποίησης κώδικα στο μεγαλύτερο μέρος, αλλά υπάρχουν και σημεία στον κώδικα VHDL που απαιτούν χειροκίνητες αλλαγές. Κεφάλαιο 11. Περιγραφή στο Υλικό και μετρήσεις 73

74 11.1. Περιγραφή στο Υλικό Σχήμα 11.2: Παραγωγή κώδικα VHDL μέσω ενός script σε C. Κεφάλαιο 11. Περιγραφή στο Υλικό και μετρήσεις 74

75 11.1. Περιγραφή στο Υλικό Σχήμα 11.3: Διαδικασία της διασύνδεσης (Routing) του συστήματος Αποτελέσματα σύνθεσης και Translate, Map & Routing συστήματος Μετά την παραγωγή του τελικού κώδικα VHDL, το σύστημα ολοκλήρωσε τη διαδικασία της σύνθεσής του, καθώς και το στάδιο του Translate, Map & Routing. Η διαδικασία του Routing φαίνεται στο Σχήμα 11.3 και αποτελείται από στάδια στα οποία γίνεται προσπάθεια να διασυνδεθούν όλες οι πύλες μεταξύ τους, με τρόπο ώστε να επιτυγχάνονται οι προδιαγραφές του συστήματος (συνολική καθυστέρηση από register σε register μικρότερη των 10ns λόγω των παλμών ρολογιού συχνότητας 100 MHz). Κάλυψη στο FPGA Ο συνοπτικός πίνακας που δείχνει το ποσοστό κάλυψης του FPGA φαίνεται στο Σχήμα Κρίσιμο μονοπάτι Το κρίσιμο μονοπάτι του συστήματος, δηλαδή το μονοπάτι με τη μεγαλύτερη συνολική καθυστέρηση πυλών και διασυνδέσεων φαίνεται στο Σχήμα 11.5, όπως υπολογίστηκε από το Xilinx Κεφάλαιο 11. Περιγραφή στο Υλικό και μετρήσεις 75

76 11.1. Περιγραφή στο Υλικό Σχήμα 11.4: Ποσοστό κάλυψης του FPGA. ISE FPGA Chipscope Το τελικό στάδιο της διαδικασίας είναι η παραγωγή του.bit αρχείου και η μεταφορά του στο FPGA. Στο τελικό.bit αρχείο ενσωματώνεται και ένας πυρήνας ChipScope Pro, ο οποίος χρησιμεύει στην παρατήρηση οποιουδήποτε σήματος του συστήματος, όπως για παράδειγμα της πιθανότητας σφάλματος bit, του συνολικού αριθμού των μηνυμάτων που εξετάστηκαν, ή της κωδικής λέξης που αποτελεί το αποτέλεσμα της αποκωδικοποίησης. Στα Σχήματα 10.3 και 10.6 παρουσιάστηκαν τα διαγράμματα χρονισμού του κωδικοποιητή και του αποκωδικοποιητή. Για την επιβεβαίωση της σωστής λειτουργίας του συστήματος, στο Κεφάλαιο 11. Περιγραφή στο Υλικό και μετρήσεις 76

77 11.2. Αποτελέσματα και διαγράμματα BER Σχήμα 11.5: Η διαδρομή που αποτελεί το κρίσιμο μονοπάτι του κυκλώματος. Σχήμα 11.6 παρουσιάζονται αντίστοιχα διαγράμματα με τη χρήση του εργαλείου ChipScope Pro, τα οποία αποτελούν μέρος της προσομοίωσης στο FPGA. H βασική λειτουργία που δείχνει καθένα από τα διαγράμματα βρίσκεται ανάμεσα στους δείκτες X και O Αποτελέσματα και διαγράμματα BER Στον Πίνακα 11.1 παρουσιάζονται τα τελικά αποτελέσματα των εξομοιώσεων σε υλικό και λογισμικό. Οι μετρήσεις στο FPGA αφορούν ένα δείγμα N = 16 MFrames = , bits και απαιτείται χρόνος περίπου 2 λεπτών για κάθε τιμή του E b /N 0. Τα αποτελέσματα που αφορούν τις μετρήσεις στο MATLAB απαιτούν από 10 έως 50 λεπτά για κάθε τιμή του E b /N 0, ανάλογα με το πλήθος των bits που εξετάζονται (N παίρνει τιμές από 10 7 bits έως bits). Το διάγραμμα BER που προκύπτει παρουσιάζεται στο Διάγραμμα Κεφάλαιο 11. Περιγραφή στο Υλικό και μετρήσεις 77

78 11.2. Αποτελέσματα και διαγράμματα BER (α) Διάγραμμα χρονισμού εισόδων και εξόδων του κωδικοποιητή. (β) Διάγραμμα χρονισμού εισόδων του αποκωδικοποιητή. (γ) Διάγραμμα χρονισμού εξόδων του αποκωδικοποιητή. Σχήμα 11.6: Διαγράμματα χρονισμού του συστήματος στο ChipScope Pro. Κεφάλαιο 11. Περιγραφή στο Υλικό και μετρήσεις 78