Εξεταστική Ιανουαρίου 2007 Μάθηµα: «Σήµατα και Συστήµατα»

Transcript

1 Εξεταστική Ιανουαρίου 27 Μάθηµα: «Σήµατα και Συστήµατα» Θέµα 1 ο (3%) Έστω δύο διακριτά σήµατα: x(n) = {1,,, -1} και h(n) = {1,, 1} µε το πρώτο δείγµα να αντιστοιχεί σε n= και για τα δύο. Υπολογίστε τα εξής: α) Τα σήµατα x(n-2) και h(n+1). β) Τη συνέλιξη x(n)*h(n). Ποιό είναι το µήκος του σήµατος που προκύπτει; γ) Τη συνέλιξη του x(n) µε το h(n) µε τη χρήση µετασχηµατισµού Ζ και στη συνέχεια του αντίστροφου µετασχηµατισµού Ζ. β) Ως γνωστόν αν γνωρίζουµε την κρουστική απόκριση ενός γραµµικού συστήµατος τότε η έξοδος y(n) για οποιαδήποτε είσοδο x(n) δίνεται από την ΣΥΝΕΛΙΞΗ: yn ( ) = hn ( )* xn ( ) = hk ( ) xn ( k) = xk ( ) hn ( k) k x(k) 1,,, 1 h(-k) 1,, 1 k= k= n= x(k) 1,,, 1 h(n-k) 1,, 1 y(n) = 1*1 = 1 (ολίσθηση προς τα δεξιά κατά n=) n=1 x(k) 1,,, 1 h(n-k) 1,, 1 (ολίσθηση προς τα δεξιά κατά n=1) y(n) = 1* + *1 = n=2 x(k) 1,,, 1 h(n-k) 1,, 1 y(n) = 1*1 + * + *1 = 1 n=3 x(k) 1,,, 1 h(n-k) 1,, 1 y(n) = *1 + * + 1*1 = 1

2 n=4 x(k) 1,,, 1 h(n-k) 1,, 1 y(n) = *1 + 1* = n=5 x(k) 1,,, 1 h(n-k) 1,, 1 y(n) = 1*1 = 1 Άρα y(n) = { }, Length = length(x) + length(h) 1 = = 6 γ) Με το θεώρηµα δυϊκότητας έχουµε Y ( z) = X ( z) H ( z) y( n) = x( n)* h( n) Εποµένως ο µετασχηµατισµός Ζ του σήµατος εξόδου y(n) είναι ( ) ( ) Y( z) = X( z) H( z) = 1+ z 1+ z = 1+ z + z + z από όπου προκύπτει απευθείας µε βάση τον ορισµό n Y( z) = y( n) z ότι n= y(n) = 1,, 1, 1,, 1

3 Θέµα 2 ο (2%) α) Σχεδιάστε το φάσµα (µετασχηµατισµός Fourier) X(f) του αναλογικού σήµατος x1(t) = cos(2πf t) και του x2(t)=exp(j2πf t). Τί παρατηρείτε; π β) Έστω το σήµα διακριτού χρόνου: x( n) = cos n 8 i) Ποιά είναι η ψηφιακή κυκλική συχνότητα ω και ποιά η f digital του x(n). ii) Να δοθούν τρία διαφορετικά σήµατα συνεχούς χρόνου x(t) από τα οποία µπορούν να προέλθουν τα δείγµατα του x(n), όταν δειγµατοληπτηθούν µε συχνότητα δειγµατοληψίας fs = 32 Hz. Ο µετασχηµατισµός Fourier του complex exponential sinusoid είναι: (µία συχνότητα στο f ) (Α=1 και φ = για το ερώτηµα) o xt () = Ae ω φ j ( t + ) X(f) Ae jφ f ο f (Hz) Ενώ επειδή cos(2 π ft) e + e 2 j(2 π f t) j(2 π f t) = το φάσµα δίνεται απευθείας ως το άθροισµα των συχνοτήτων f και - f µε πλάτη.5 η κάθε µία. X(f).5.5 -f ο f ο f (Hz)

4 β) Κάθε διακριτού χρόνου σήµα προέρχεται από ένα συνεχές µε δειγµατοληψία, δηλαδή για ένα συνεχές συµηµίτονο µε συχνότητα f Hz έχουµε: cos(2 π f t) cos(2 π f nt ) = cos( ω n) s οπότε ω = 2π fts είναι η ψηφιακή κυκλική συχνότητα. Στο ερώτηµα η ψηφιακή κυκλική συχνότητα είναι π/8 και η κανονική ψηφιακή ω 1 συχνότητα είναι f digital = 2π = 16 Hz. γ) Για f s 1 = 32 Ts =, εποµένως ισχύει 32 π 2π f cos n = cos n π f π => = f = 2Hz άρα ένα συνεχές σήµα είναι το cos(2π2t)=cos(4πt) Επειδή το cos( ) είναι περιοδική συνάρτηση µε περίοδο 2π προκύπτει ότι π π 2π f cos n cos 2π k n cos k = + = n 8 8, k ακέραιος 32 2π f1 π 2π f1 17π => k = 1: = + 2π = f1 = 34Hz και x 1 ( t ) = cos(2 π 34 t ) = cos(68 πt ) 2π f2 π 2π f1 33π => k = 2: = + 4π = f1 = 66Hz Γενικά όλες οι αναλογικές συχνότητες fk = f + k fs δίνουν την ίδια ψηφιακή συχνότητα όταν δειγµατοληπτθούν µε f s. Π.χ. f1 = f + fs = 2+ 32= 34Hz.

5 Θέµα 3 ο (3%) Έστω ένα φίλτρο µε εξίσωση διαφοράς y(n) = x(n) +.8 y(n-1) Απαντήστε στα παρακάτω ερωτήµατα: 1. Βρείτε τη συνάρτηση µεταφοράς του παραπάνω φίλτρου. 2. Υπολογίστε την κρουστική απόκριση του παραπάνω φίλτρου παίρνοντας τον αντίστροφο µετασχηµατισµό της συνάρτησης µεταφοράς του 1 ου ερωτήµατος. 3. Είναι το φίλτρο ευσταθές και γιατί; 4. Υπολογίστε την έξοδο του φίλτρου για είσοδο x(n) = cos(π n). α) Y z X z z Y z 1 ( ) = ( ) +.8* ( ) Y z z = X z 1 ( ) 1.8* ( ) β) hn = Z 1 ( H z) = ( ) ( ) ( ).8 n Y( z) 1 H( z) = = X ( z) 1.8* γ) ΝΑΙ (γιατί?) δ) Από τη θεωρία γραµµικών συστηµάτων γνωρίζουµε ότι η έξοδος για κάθε συχνότητα εισόδου είναι ένα σήµα µε την ίδια συχνότητα αλλά µε αλλαγή του πλάτους και της φάσης, που δίνεται από την απόκριση συχνότητας του γραµµικού συστήµατος, δηλαδή j ( ω ) ( ω ) yn ( ) = H e cos n Για ω 1 z jπ 1 1 = π έχουµε H( e ) = H( z) jπ = = =.55 z= e jπ 1.8* e 1+.8 οπότε yn ( ) =.55 cos( π n)

6 Θέµα 4 ο (2%) Έστω το σήµα διακριτού χρόνου µε πεπερασµένο µήκος h(n)=[1,2,3,4,5]: α) Βρείτε τον µετασχηµατισµό Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) και ορίστε τις ψηφιακές συχνότητες ω αλλά και f digital για τις οποίες ορίζεται. β) είξτε µε το θεώρηµα δυϊκότητας ότι κάθε δειγµατοληπτηµένο σήµα µε περίοδο δειγµατοληψίας Ts είναι περιοδικό µε περίοδο Fs=1/Ts. H ( z) = h( n) z = 1+ 2z + 3z + 4z + 5z n= n DTFT = jωn jω j2ω j3ω j4ω ω < π n= H( z) = h( n) e = 1+ 2e + 3e + 4e + 5e jωn z= e ή f digital <.5 β) Απόδειξη Εφαρµογή Θεωρήµατος υικότητας µεταξύ απεικόνισης στο χρονικό και φασµατικό πεδίο Το δειγµατοληπτηµένο σήµα προκύπτει: Στο Χρονικό πεδίο η πράξη είναι: yt () = xt () st () στο Φασµατικό θα είναι: Y ( f ) = X ( f )* S( f ) Όπου s(t) είναι µία σειρά από δέλτα παλµούς µε απόσταση Τs, µε Τs το διάστηµα µεταξύ δειγµάτων (Τs = 1/fs µε fs τη συχνότητα δειγµατοληψίας) Όπως έχουµε υπολογίσει η περιοδική σειρά παλµών δέλτα µε περίοδο Τ έχει σειρά Fourier που αποτελείται από συναρτήσεις δέλτα (µε οριζόντιο βέβαια άξονα το f ) και περίοδο 1/Τs (γιατί?)

7 X(f) X(f fs 2B!!!! fs = 1/Ts S(f) - B f 1/Τs!!.. -2fs fs fs 2fs X(f) * S(f).. -2fs fs fs 2fs