Υπολογιστικές Τεχνικές Αιχμής στη Γεωτεχνική Μηχανική με τη Μέθοδο των Διακριτών Στοιχείων

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Υπολογιστικές Τεχνικές Αιχμής στη Γεωτεχνική Μηχανική με τη Μέθοδο των Διακριτών Στοιχείων ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Ν. ΘΩΜΑΣ Διπλ. Πολιτικός Μηχανικός, ΜΔΕ Τμήματος ΠολιτικώνΜηχανικώνΠανεπιστημίου Πατρών ΠΑΤΡΑ, ΜΑΙΟΣ 2015

2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Υπολογιστικές Τεχνικές Αιχμής στη Γεωτεχνική Μηχανική με τη Μέθοδο των Διακριτών Στοιχείων ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Ν. ΘΩΜΑΣ Διπλ. Πολιτικός Μηχανικός, ΜΔΕ Τμήματος ΠολιτικώνΜηχανικώνΠανεπιστημίου Πατρών ΠΑΤΡΑ, ΜΑΙΟΣ 2015

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... i ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ... v ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ... xi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Κοκκώδη υλικά και μελέτη συμπεριφοράς τους Γεωτεχνική Μηχανική και Μέθοδος ιακριτών Στοιχείων Υπολογιστικός αλγόριθμος της Μεθόδου ιακριτών Στοιχείων Υπολογιστικός κύκλος Νόμος ύναμης-μετακίνησης Νόμος Κίνησης Υπολογισμός κρίσιμου χρονικού βήματος Καταστατικά μοντέλα επαφών, γενικά στοιχεία Γραμμικό μοντέλο στιφρότητας Μοντέλο ολίσθησης Μοντέλα συνοχής Αντικείμενο της ιατριβής ομή της ιατριβής Βιβλιογραφία κεφαλαίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΙΑΤΑΞΕΩΝ ΓΙΑ ΑΝΑΛΥΣΕΙΣ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ 2.1 Εισαγωγή Επιλογή μεθόδου για την ανάπτυξη του αλγόριθμου Ανάπτυξη του αλγόριθμου Υπό-αλγόριθμος αναπαραγωγής δεδομένης κοκκομετρικής καμπύλης Υπορουτίνα FIRST_LAYER Υπορουτίνα NEXT_LAYERS Υπορουτίνα SEED_BALL i

4 2.3.5 Υπορουτίνα CORE Υπορουτίνα RIGHT_BOUND Υπορουτίνα RIGHT_BOUND Υπορουτίνα TOP_BOUND Υπορουτίνα TOP_CORNERS Υπορουτίνα GRAD_DATA Υπορουτίνα POOL_RADS Υπορουτίνα PICK_RADS Υπορουτίνα NCONT Υπορουτίνα TOP_BORDER Υπορουτίνα UPDATE_CHOSENS Υπορουτίνα UPPER_BALLS Ποιοτικά χαρακτηριστικά διατάξεων που δημιουργεί ο αλγόριθμος Βιβλιογραφία κεφαλαίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΤΗΣ ΟΚΙΜΗΣ ΑΞΟΝΙΚΗΣ ΦΟΡΤΙΣΗΣ ΥΠΟ ΠΛΕΥΡΙΚΗ ΤΑΣΗ ΣΕ ΥΟ ΚΑΙ ΤΡΕΙΣ ΙΑΣΤΑΣΕΙΣ 3.1 Εισαγωγή Γενικά στοιχεία αλγoρίθμων για δύο και τρεις διαστάσεις Ανάπτυξη αλγορίθμου για δύο διαστάσεις, ιαξονική οκιμή Υπορουτίνα MEM_BALL_CREATION, (μέθοδος Α) Υπορουτίνα APPLY_STRESS, (Μέθοδος Α) Υπορουτίνα MAIN_OUTER, (Μέθοδος Β) Υπορουτίνα FIND_OUT_BALL, (Μέθοδος Β) Υπορουτίνα CALC_FORCES, (Μέθοδος Β) Υπορουτίνα VOLUME_MEASURE, (Μέθοδος Α και Β) Υπορουτίνα RADIAL_STRAIN (Μέθοδος Α και Β) Υπορουτίνες FIRST_SCOUT, NEW_CONTACT, DEL_CONTACT, (Μέθοδος Α) Υπορουτίνα MONITOR, (Μέθοδος Α και Β) Ανάπτυξη αλγορίθμου για τρεις διαστάσεις, Τριαξονική οκιμή ιαγράμματα Voronoi Υπορουτίνα MAIN_OUTER, προσομοίωση Τριαξονικής οκιμής ii

5 3.4.3 Υπορουτίνα FIND_OUT_BALL, προσομοίωση Τριαξονικής οκιμής Υπορουτίνα CALC_FORCES, προσομοίωση Τριαξονικής οκιμής Υπορουτίνες MONITOR, VOL_MEASURE, RADIAL_STRAIN, προσομοίωση Τριαξονικής οκιμής Καταγραφές δοκιμών Βιβλιογραφία κεφαλαίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΑΣΠΟΡΑ ΙΑΜΗΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΚΟΚΚΩ Η ΥΛΙΚΑ 4.1 Εισαγωγή ιάδοση μονοδιάστατων ελαστικών κυμάτων Αρμονικά κύματα Εξαγωγή ταχύτητας ομάδας από την ταχύτητα φάσης (ευθύ πρόβλημα) Υπολογισμός ταχύτητας φάσης από την ταχύτητα ομάδας (αντίστροφο πρόβλημα) Αριθμητικές αναλύσεις Υπολογισμός στιφροτήτων ελατηρίων Καθορισμός χρόνου άφιξης κύματος ιαστατική ανάλυση Παράμετροι δοκιμίων και αναλύσεων Αποτελέσματα Συμπεράσματα Βιβλιογραφία κεφαλαίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΜΕΘΟ ΟΣ ΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ: ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΠΙΡΡΟΗ ΜΙΚΡΟΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΤΗΝ ΑΠΟΚΡΙΣΗ Ε ΑΦΙΚΩΝ ΟΚΙΜΙΩΝ ΥΠΟ ΙΑΞΟΝΙΚΗ ΦΟΡΤΙΣΗ 5.1 Εισαγωγή Ανασκόπηση σχετικής έρευνας Αριθμητικές αναλύσεις ιαστατική ανάλυση Ορισμός αδιάστατων παραμέτρων και στοιχεία αναλύσεων Αποτελέσματα και σχολιασμός αναλύσεων iii

6 5.4.1 Αποτελέσματα υπέρπυκνης διάταξης Αποτελέσματα διάταξης μέσης πυκνότητας με ελευθερία στροφής κόκκων Αποτελέσματα διάταξης μέσης πυκνότητας με δέσμευση στροφής των κόκκων Σχολιασμός επί της γωνίας διαστολικότητας ψ Επιρροή παραμέτρων k s /k n και k n /Bσ 3 στη σχέση φ peak - φ μ Επιρροή παραμέτρων k s /k n και k n /Bσ 3 στη σχέση φ cs - φ μ Σχολιασμός επί της περιστροφής των κόκκων Συμπεράσματα Βιβλιογραφία κεφαλαίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ KAI ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΕΡΕΥΝΑ 7.1 Συμπεράσματα ιατριβής Προτάσεις για περαιτέρω έρευνα iv

7 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Σχήμα 1.1: Σχήμα 1.2: Σχήμα 1.3: Αριθμός σωματιδίων σε εργασίες διακριτού μέσου ανά έτος, (Ο Sullivan, 2014)... 2 Ποιοτική σύγκριση αύξησης της ταχύτητας των υπολογιστών, με τον αριθμό δημοσιεύσεων σε εφαρμογές μεθόδων διακριτού μέσου, ανά έτος... 3 Σχηματική απεικόνιση της αλληλεπίδρασης κόκκων με βάση την Μ Σ... 7 Σχήμα 1.4: Κύκλος υπολογισμού της Μ Σ... 8 Σχήμα 1.5: Επαφή μεταξύ σωματιδίων Σχήμα 1.6: Σύστημα ελατηρίου-μάζας Σχήμα 1.7: Σύστημα άπειρων ελατηρίων-μαζών Σχήμα 1.8: Σχηματική αναπαράσταση του μοντέλου παράλληλου δεσμού Σχήμα 1.9: Καταστατική συμπεριφορά σημειακού δεσμού Σχήμα 1.10: υνάμεις και ροπή στο μοντέλο παράλληλου δεσμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Σχήμα 2.1: Σχήμα 2.2: ιάταξη με αρχική τριγωνοποίηση του χώρου, Cui και O Sullivan (2003) (α) Αρχικό μέτωπο με τρεις δίσκους, (β) δημιουργία του δίσκου D4 και ανανέωση του μετώπου (γ) δημιουργία του δίσκου D5 και ανανέωση του μετώπου (Feng et al., 2003) Σχήμα 2.3: Μέθοδος σταδιακής αύξησης του μεγέθους των κόκκων Σχήμα 2.4: ημιουργία διάταξης κόκκων με χρήση χωνίου, (Feng et al. 2003) 34 Σχήμα 2.5: ημιουργία διάταξης με μετακίνηση των ορίων προς τα μέσα Σχήμα 2.6: Γενική γεωμετρία στρώσεις δίσκων Σχήμα 2.7: Γεωμετρία πρώτου δίσκου της διάταξης, υπορουτίνα FIRST_LAYER v

8 Σχήμα 2.8: Σχήμα 2.9: Σχήμα 2.10: Σχήμα 2.11: Γεωμετρία δίσκων της πρώτης στρώσης, υπορουτίνα FIRST_LAYER Περιπτώσεις απόρριψης τυχαίας ακτίνας στην πρώτη στρώση, υπορουτίνα FIRST_LAYER Γεωμετρία τελικού δίσκου της πρώτης στρώσης, υπορουτίνα FIRST_LAYER Γεωμετρία πρώτου δίσκου των επόμενων στρώσεων, υπορουτίνα SEED_BALL Σχήμα 2.12: οκιμές και απορρίψεις για τον πρώτο δίσκο κάθε στρώσης Σχήμα 2.13: Ανίχνευση υποψήφιων δίσκων a Σχήμα 2.14: Γεωμετρία ενδιάμεσων δίσκων, υπορουτίνα Core Σχήμα 2.15: Σχήμα 2.16: Σχήμα 2.17: ΣΧΗΜΑ 2.18: Γεωμετρία τελικών δίσκων των στρώσεων, υπορουτίνα RIGHT_BOUND Γεωμετρία τελικών δίσκων των στρώσεων, υπορουτίνα Right_Bound Γεωμετρία δίσκων στις γωνίες της περιοχής, υπορουτίνα TOP_CORNERS εδομένα περιοχής κοκκομετρικής καμπύλης, υπορουτίνα GRAD_DAT Σχήμα 2.19: Παράδειγμα χρήσης της υπορουτίνας UPDATE_CHOSENS Σχήμα 2.20: Παράδειγμα χρήσης της υπορουτίνας UPPER_BALLS Σχήμα 2.21: Παράδειγμα τελικής διάταξης μιας ορθογωνικής περιοχής Σχήμα 2.22: Θεωρητικές ακραίες τιμές του δείκτη κενών e 2D Σχήμα 2.23: Χρόνος απόκρισης αλγόριθμου Σχήμα 2.24: Σχήμα 2.25: ιασπορά τιμών του δείκτη κενών e 2D με τον αριθμό των κόκκων ιασπορά του μέσου αριθμού διεπαφών C με τον αριθμό των κόκκων Σχήμα 2.26: ιασπορά ποσοστού ανισοτροπίας Σχήμα 2.27: Σχήμα 2.28: ιατάξεις με ανισοτροπία 16 και 5.7%, κόκκοι και δίκτυα διεπαφών ιατάξεις με ανισοτροπία 16 και 5.7%, κατανομή διευθύνσεων διεπαφών vi

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Σχήμα 3.1: ιάταξη Τριαξονικής οκιμής Σχήμα 3.2: Ορθές τάσεις στο δοκίμιο της Τριαξονικής οκιμής Σχήμα 3.3: Επιβολή αξονικής παραμόρφωσης μέσω απαραμόρφωτων πλακών Σχήμα 3.4: Αλληλεπίδραση απαραμόρφωτων στοιχείων με κόκκους Σχήμα 3.5: Προσομοίωση μεμβράνης με σωματίδια Σχήμα 3.6: Εξωτερική στοιβάδα κόκκων και κατανομή δυνάμεων, (Thomas and Bray, 1999) Σχήμα 3.7: Αντιστοίχηση διάταξης σωματιδίων με ισοδύναμη ελαστική ράβδο 87 Σχήμα 3.8: Γεωμετρία στοιχείων μεμβράνης και υπολογισμός ισοδύναμων δυνάμεων Σχήμα 3.9: ικτύωμα δυνάμεων σε κόκκους Σχήμα 3.10: Αναγνώριση εξωτερικής στοιβάδας κόκκων Σχήμα 3.11: Γεωμετρία αναγνώρισης εξωτερικής στοιβάδας κόκκων (i) Σχήμα 3.12: Γεωμετρία αναγνώρισης εξωτερικής στοιβάδας κόκκων (ii) Σχήμα 3.13: Ισοδύναμες δυνάμεις σε κόκκο εξωτερικής στοιβάδας Σχήμα 3.14: Γεωμετρικό πρόβλημα υπορουτίνας CALC_FORCES Σχήμα 3.15: Απεικόνιση υπολογισμού της μεταβολής του όγκου Σχήμα 3.16: Υπολογισμός εμβαδών για διαφορετικές θέσεις των σωματιδίων Σχήμα 3.17: Σχεδιασμός διαγράμματος Voronoi Σχήμα 3.18: ιάγραμμα Voronoi για τον σχεδιασμό χαρτών για παιχνίδια, (Web1) Σχήμα 3.19: Ζώνες επιρροής αεροδρομίων ΗΠΑ 2008, (Web2) Σχήμα 3.20: Εκτίμηση και τελική εξωτερική στοιβάδα δοκιμίου Σχήμα 3.21: Γεωμετρία αναγνώρισης εξωτερικής στοιβάδας κόκκων, Τριαξονική οκιμή Σχήμα 3.22: Ανάπτυγμα εξωτερικής στοιβάδας δοκιμίου Σχήμα 3.23: ιάγραμμα Voronoi για την εξωτερική στοιβάδα δοκιμίου vii

10 Σχήμα 3.24: Ζώνες Α και Β στα όρια του αναπτύγματος Σχήμα 3.25: Τελική διάταξη σημείων και διορθωμένο διάγραμμα Voronoi Σχήμα 3.26: Παραμορφωμένο δοκίμιο προσομοίωσης Τριαξονικής οκιμής 112 Σχήμα 3.27: υνάμεις διεπαφής στο κορυφαίο απαραμόρφωτο στοιχείο Σχήμα 3.28: Κύκλοι αναφοράς στα δοκίμια, ιαξονική οκιμή Σχήμα 3.29: Οδηγός γενικής διάταξης καταγραφών δοκιμής Σχήμα 3.30: Παρακολούθηση δοκιμών σε πραγματικό χρόνο Σχήμα 3.31: Γενική διάταξη καταγραφών δοκιμής Σχήμα 3.32: Περιστροφές εδαφικών στοιχείων Σχήμα 3.33: Απόλυτες περιστροφές εδαφικών στοιχείων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Σχήμα 4.1: ιαμήκης ταλάντωση πρισματικής ράβδου Σχήμα 4.2: Σχήμα 4.3: Σχήμα 4.4: Σχήμα 4.5: Μεμονωμένα ημιτονοειδή κύματα, ίδιου εύρους αλλά διαφορετικές συχνότητες και κυματικούς αριθμούς Υπέρθεση δύο ημιτονοειδών κυμάτων ίδιου εύρους αλλά διαφορετικές συχνότητες και κυματικούς αριθμούς Σχέση μεταξύ ταχυτήτων φάσης και ομάδας συναρτήσει του κυματικού αριθμού Σχέση μεταξύ ταχυτήτων φάσης και ομάδας συναρτήσει του μήκους κύματος Σχήμα 4.6: ιάγραμμα Brillouin Σχήμα 4.7: Μεταβολή ταχύτητας φάσης με τη συχνότητα Σχήμα 4.8: Το υπό εξέταση πρόβλημα και η γενική μορφή των δοκιμίων Σχήμα 4.9: Ορισμός χρόνου άφιξης κύματος Σχήμα 4.10: Αποτελέσματα για διαφορετικές τιμές του λόγου N= V par,a /V y,max Σχήμα 4.11: Προσαρμογή των αριθμητικών αποτελεσμάτων για διαφορετικές ακρίβειες του λόγου N= V par,a /V y,max στον χρόνο άφιξης viii

11 Σχήμα 4.12: Σχήμα 4.13: Σχήμα 4.14: Μεταβολή ταχύτητας ομάδας με τον κυματικό αριθμό d/λ για διαφορετικούς λόγους λυγηρότητας Η/B και για χαλαρή ορθογωνική διάταξη κόκκων, (e 2D =0.27, e=0.91, B/d=25, β=0) Μεταβολή ταχύτητας ομάδας με τον κυματικό αριθμό d/λ για διαφορετικά μεγέθη κόκκων και χαλαρή ορθογωνική διάταξη, (e 2D =0.27, e=0.91, Η/Β=2, β=0) Μεταβολή ταχύτητας ομάδας με τον κυματικό αριθμό d/λ για διαφορετικές διατάξεις σωματιδίων (δείκτης κενών), (Β/d=25, Η/Β=2, β=0) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Σχήμα 5.1: Σχήμα 5.2: Σχηματική απεικόνιση της αλληλεπίδρασης κόκκων με βάση την Μ Σ Σύγκριση μεταξύ δημοσιευμένων σχέσεων φ μ -φ cs, Dai et al. (2013) Σχήμα 5.3: ιατάξεις σωματιδίων, αναλυτική προσέγγιση κατά Rowe (1962) 159 Σχήμα 5.4: Πειραματικές διατάξεις μεταλλικών σφαιρών κατά Rowe (1962). 160 Σχήμα 5.5: Συσχέτιση των γωνιών φ μ και φ cs, κατά Horne (1969) Σχήμα 5.6: Αναλυτικές συσχετίσεις φ μ με φ cs Σχήμα 5.7: Συσχέτιση των γωνιών φ μ και φ cs κατά Thornton (2000) Σχήμα 5.8: Σχηματική αναπαράσταση σύνθετων κόκκων κατά Powrie et al. (2005) Σχήμα 5.9: Συσχέτιση φ μ με φ peak και φ cs κατά Powrie et al. (2005) Σχήμα 5.10: Συσχέτιση των γωνιών φ μ, φ peak και φ res κατά Sazzad and Islam (2008) Σχήμα 5.11: Γενικά στοιχεία δοκιμίων Σχήμα 5.12: ιάταξη των κόκκων στα δοκίμια Σχήμα 5.13: ίκτυο διεπαφών στα δοκίμια Σχήμα 5.14: Κατανομή διευθύνσεων διεπαφών στα δοκίμια Σχήμα 5.15: Ενδεικτικά αποτελέσματα για τα τρία δοκίμια μέσης πυκνότητας Σχήμα 5.16: Γραφική απεικόνιση Πίνακα 5.5 κατά γραμμές ix

12 Σχήμα 5.17: Γραφική απεικόνιση Πίνακα 5.5 κατά στήλες Σχήμα 5.18: Γραφική απεικόνιση Πίνακα 5.6 κατά γραμμές Σχήμα 5.19: Γραφική απεικόνιση Πίνακα 5.6 κατά στήλες Σχήμα 5.20: Γραφική απεικόνιση Πίνακα 5.7 κατά γραμμές Σχήμα 5.21: Γραφική απεικόνιση Πίνακα 5.7 κατά στήλες Σχήμα 5.22: Σχήμα 5.23: Σχήμα 5.24: υνάμεις στους κόκκους για διαφορετικές γωνίες τριβής μεταξύ τους ιαγράμματα μακροσκοπικής γωνίας τριβής, μεταβολής όγκου - αξονικής παραμόρφωσης, φ μ =0, δοκιμές με δέσμευση και ελευθερία στροφής κόκκων Στιγμιότυπα δοκιμίων στην αστοχία, φ μ =0, δοκιμές με δέσμευση και ελευθερία στροφής κόκκων Σχήμα 5.25: Συσχέτιση μεταξύ φ peak - φ μ για διάφορους λόγους k s /k n και k n /(Bσ 3 ), D r =100% Σχήμα 5.26: Συσχέτιση μεταξύ φ peak - φ μ για διάφορους λόγους k s /k n και k n /(Bσ 3 ), D r =47% Σχήμα 5.27: Μεταβολές στη στροφή των κόκκων για διατάξεις με D r =100% 198 Σχήμα 5.28: Συσχέτιση μεταξύ φ cs - φ μ για διάφορους λόγους k s /k n και k n /(Bσ 3 ), D r =100% Σχήμα 5.29: Συσχέτιση μεταξύ φ cs - φ μ για διάφορους λόγους k s /k n και k n /(Bσ 3 ), D r =47% Σχήμα 5.30: Περιστροφή κόκκων με την φ μ, για k s /k n =0.1, k n /Βσ 3 = , D r =47% Σχήμα 5.31: Περιστροφή κόκκων με την φ μ, για k s /k n =0.1, k n /Βσ 3 =2x10 4, D r =47% 205 Σχήμα 5.32: Περιστροφή κόκκων με την φ μ, για k s /k n =0.1, k n /Βσ 3 =8x10 4, D r =47% 206 x

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 1.1: Εφαρμογές της Μεθόδου ιακριτών Στοιχείων στη Γεωτεχνική Μηχανική... 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Πίνακας 2.1: εδομένα εισαγωγής Πίνακας 2.2: Υπορουτίνες ημιουργίας Κόκκων Πίνακας 2.3: Υπορουτίνες Ελέγχου Πίνακας 2.4: Παράμετροι διατάξεων Πίνακας 2.5: Αποτελέσματα ποιοτικού χαρακτηρισμού διατάξεων, Seed Πίνακας 2.6: Αποτελέσματα ποιοτικού χαρακτηρισμού διατάξεων, Seed Πίνακας 2.7: Αποτελέσματα ποιοτικού χαρακτηρισμού διατάξεων, Seed ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πίνακας 3.1: Πλεονεκτήματα-μειονεκτήματα μεθόδων εξιδανίκευσης ελαστικών ορίων Πίνακας 3.2: εδομένα εισαγωγής αλγόριθμου για τη ιαξονική οκιμή Πίνακας 3.3: Υπορουτίνες σε FISH, Μέθοδος Α Πίνακας 3.4: Υπορουτίνες σε C++, Μέθοδος Β Πίνακας 3.5: Κοινές υπορουτίνες σε FISH, Μέθοδος Α και Β Πίνακας 3.6: εδομένα εισαγωγής αλγορίθμου για την Τριαξονική οκιμή Πίνακας 3.7: Υπορουτίνες αλγόριθμου για την Τριαξονική οκιμή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Πίνακας 4.1: Τιμές αδιάστατων παραμέτρων των τρισδιάστατων αναλύσεων Πίνακας 4.2: Ονοματολογία και γενικά χαρακτηριστικά των δοκιμίων Πίνακας 4.3: Πίνακας ελέγχου για τις αναλύσεις του δοκιμίου #1 (Reg-Bspec1) xi

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Πίνακας 5.1: Γεωμετρικά χαρακτηριστικά δοκιμίων Πίνακας 5.2: Τιμές αδιάστατων παραμέτρων των αναλύσεων Πίνακας 5.3: Ονοματολογία και παράμετροι υπέρπυκνων δοκιμίων Πίνακας 5.4: Ονοματολογία και παράμετροι μέσης πυκνότητας δοκιμίων Πίνακας 5.5: Αποτελέσματα αναλύσεων υπέρπυκνης διάταξης Πίνακας 5.6: Πίνακας 5.7: Αποτελέσματα διάταξης μέσης πυκνότητας, με ελευθερία στροφής κόκκων Αποτελέσματα διάταξης μέσης πυκνότητας με δέσμευση στροφής κόκκων xii

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Κοκκώδη υλικά και μελέτη συμπεριφοράς τους Στον περιβάλλοντα χώρο του άνθρωπου, τα κοκκώδη υλικά εμφανίζονται σχεδόν παντού. Από τις κατασκευές οι οποίες εδράζονται σε εδαφικά υλικά, την τροφή του, μέσω της αποθήκευσης και διακίνησης δημητριακών και κάθε είδους σπόρου, μέχρι τον τομέα της υγείας του - με την παρασκευή σκευασμάτων σε είδος χαπιών, η διακριτή δομή τους επηρεάζει πολλούς τομείς της ζωής του. Η ίδια η φύση είναι ουσιαστικά διακριτή σε μικροσκοπικό επίπεδο, (μόρια, στοιχειώδη σωμάτια), αλλά και σε μακροσκοπικό, (πλανήτες, γαλαξίες, κλπ). Επομένως τα κοκκώδη μέσα α- παντώνται σε όλες τις κλίμακες. Με την εφαρμογή των κοκκωδών υλικών σε διαφορετικά πεδία της επιστήμης και της τεχνολογίας, είναι λογικό η μελέτη της συμπεριφοράς τους να απασχολεί ευρύ σύνολο ερευνητών διαφορετικών ειδικοτήτων, όπως μηχανικών, (πολιτικών, μηχανολόγων, χημικών), φυσικών, γεωλόγων και άλλων. Η διακριτή φύση τους, αποτέλεσε τροχοπέδη για πολλά χρόνια στη ρεαλιστική μελέτη πραγματικών προβλημάτων, και η διερεύνηση της συμπεριφοράς τους περιοριζόταν σε ιδεατά μοντέλα α- ναλυτικών λύσεων, ή τη χρήση συμβατικών θεωριών συνεχούς μέσου. Οι τελευταίες συχνά προσφέρουν ικανοποιητική ακρίβεια μέσω ποικιλίας φαινομενολογικών προσεγγίσεων, όμως αγνοούν τους μηχανισμούς της μικροδομής των υλικών όπως τα κενά μεταξύ των κόκκων, την περιστροφή αυτών και τη σχετική μετακίνησή τους, δηλαδή την ίδια τη διακριτή φύση τους. Το εργαλείο των αριθμητικών μεθόδων προσομοίωσης διακριτών υλικών, πρωτοεμφανίστηκε στις αρχές της δεκαετίας του 1970, (Cundall, 1971). Η ελλιπής υπολογιστική ισχύς απέτρεπε την προσομοίωση πραγματικών προβλημάτων με ικανή λεπτομέρεια και ακρίβεια. Με την αύξηση όμως την ισχύος των υπολογιστών [υπενθυμίζεται ότι ο εμπειρικός νόμος του Moore προβλέπει ότι η ταχύτητα των υπο- 1

16 λογισμών τους διπλασιάζεται περίπου ανά 18 μήνες, (Moore,( 1965)], οι αριθμητι- των κοκκωδών υλικών. Ακόμα όμως δεν υπάρχει η απαιτούμενη ισχύς (ούτε μέσω κές μέθοδοι έχουν μετατραπεί σε ισχυρό εργαλείο διερεύνησης της συμπεριφοράς υπέρ-υπολογιστών με παράλληλη αρχιτεκτονική) για την τ προσομοίωση προβλη- μάτων με περισσότερους από 1066 κόκκους σε δύο και τρεις διαστάσεις μέσα σε λογικό χρόνο. Παρόλα αυτά, η χρήση των αριθμητικώνν μεθόδωνν διακριτής φύσης είναι στενά συνυφασμένη με την πρόοδο στην τεχνολογία των υπολογιστών, κάτι που προκύπτει από την ποιοτική σύγκριση του Σχήματος 1.2, όπου παρατίθεται διάγραμμα με την αύξηση της ταχύτητας των μικροεπεξεργαστών, (πηγή, Google search), και διάγραμμα με τον αριθμό των δημοσιεύσ σεων σχετικών με μεθόδους διακριτού μέσου από το 1980 μέχρι το 2014, (πηγή, Web of Science). Σημειώνεται ότι το γράφημα προκύπτει μέσω σχετικής αναζήτησης με λέξεις κλειδιά, DEM και Distinct Element Method, καθώςς και περιορισμό τωνν αποτελεσμάτων σε τομείς όπως Engineering και Material Science. Επίσης στο Σχήμα 1.1, φαίνεται ο α- ριθμός των σωματιδίων σε προσομοιώσεις από διάφορες εργασίες ανά έτος. Σχήμα 1.1: Αριθμός σωματιδίων σε εργασίες διακριτού μέσου ανά έτος,, (Ο Sullivan, 2014) 2

17 (α) Αύξηση ταχύτητας μικροεπεξεργαστών (β) Αριθμός δημοσιεύσεων με χρήση μεθόδων διακριτού μέσου ανά έτος Σχήμα 1.2: Ποιοτική σύγκριση αύξησης της ταχύτητας των υπολογιστών, με τον αριθμό δημοσιεύσεων σε εφαρμογές μεθόδων διακριτού μέσου, ανά έτος 3

18 1.2 Γεωτεχνική Μηχανική και Μέθοδος ιακριτών Στοιχείων Το έδαφος αποτελεί μια ιδιαίτερη κατηγορία φυσικού κοκκώδους υλικού, το οποίο χαρακτηρίζεται από τρεις φάσεις: τη στερεά δομή, η οποία αποτελείται εν γένει από ανομοιόμορφους και ανισομεγέθεις κόκκους, και τα μεταξύ της δομής κενά, τα οποία πληρώνονται με ρευστά όπως αέρας ή νερό. Αν και η φύση του εδάφους είναι σαφώς διακριτή, η πολύπλοκη συμπεριφορά του σε επιβαλλόμενες φορτίσεις, διερευνάται παραδοσιακά μέσω θεωριών συνεχούς μέσου και κατάλληλων καταστατικών προσομοιωμάτων (Atkinson, 1993, Davis and Selvadurai, 2002), τα οποία, με λίγες εξαιρέσεις, δεν λαμβάνουν υπόψη τους μηχανισμούς που διέπουν την εδαφική συμπεριφορά σε επίπεδο κόκκου. Οι θεωρίες αυτές και τα αντίστοιχα καταστατικά μοντέλα βαθμονομούνται συνήθως με τη βοήθεια εργαστηριακών δοκιμών, μέσω μακροσκοπικών μετρήσεων στα δοκίμια, όπως οι τάσεις και οι παραμορφώσεις, χωρίς να υπάρχει δυνατότητα μέτρησης της πραγματικής εντατικής κατάστασης στο εσωτερικό τους, εκτός ίσως με την χρήση πολύπλοκων και ακριβών δοκιμών, όπως αυτές που στηρίζονται σε φωτοελαστικές θεωρήσεις (Jirathanathaworn, 2009). εν είναι όμως ξεκάθαρο κατά πόσον πληροφορίες στα όρια των δοκιμίων επαρκούν για την θεωρητική πρόβλεψη και διατύπωση καταστατικών νόμων που περιγράφουν την εντατική κατάσταση σε εσωτερικό σημείο του υλικού, που ουσιαστικά αντιπροσωπεύει την καταστατική συμπεριφορά του υλικού στο αντίστοιχο σημείο της θεώρησης του συνεχούς μέσου. Το κενό των θεωριών συνεχούς μέσου καλύπτεται από τη Μέθοδο των ιακριτών Στοιχείων (Μ Σ), η οποία αποτελεί ένα ισχυρό αριθμητικό εργαλείο για την προσομοίωση των εδαφικών υλικών. Αναπτύχθηκε αρχικά από τον Cundall (1971) για την ανάλυση προβλημάτων Βραχομηχανικής, και στη συνέχεια οι Cundall and Strack (1979) γενίκευσαν τη θεωρία ώστε να περιλαμβάνει κοκκώδη υλικά. Η κύρια θεώρηση της μεθόδου είναι ότι πολύπλοκες συμπεριφορές διακριτών στοιχείων όπως οι εδαφικοί κόκκοι, μπορούν προσομοιωθούν μέσω πολύ απλών νόμων στις διεπαφές τους. Θεωρώντας κάθε εδαφικό κόκκο ως απαραμόρφωτο διακριτό σωματίδιο, υπολογίζονται οι δυνάμεις που μεταφέρονται από τους γειτονικούς (σε επαφή) κόκκους. Στη συνέχεια εφαρμόζεται ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα για τον υπολογισμό της επιτάχυνσης, και μέσω αριθμητικής ολοκλήρωσης υπολογίζεται η ταχύτητα και εν τέλει η μετακίνησή του σε νέα θέση. Για κάθε σωματίδιο, ο υπολο- 4

19 γισμός των δυνάμεων αλληλεπίδρασης, των επιταχύνσεων, των ταχυτήτων και των θέσεων, πραγματοποιείται για το κάθε ένα ξεχωριστά σε κάθε χρονικό βήμα. Τα αποτελέσματα της μεθόδου είναι σωστά μόνο όταν η μεταβολή στην κατάσταση ενός κόκκου επηρεάζει μόνο αυτούς σε άμεση επαφή μαζί του στη διάρκεια ε- νός χρονικού βήματος. Αυτό ουσιαστικά μεταφράζεται στην ανάγκη ύπαρξης εξαιρετικά μικρού χρονικού βήματος, κάτι που καθιστά τη Μέθοδο των ιακριτών Στοιχείων εξαιρετικά απαιτητική σε υπολογιστική ισχύ και αποτελεί το μεγαλύτερο μειονέκτημά της. Στην επόμενη Παράγραφο (1.3) αναπτύσσεται διεξοδικά ο σχετικός υπολογιστικός αλγόριθμος. Η Μέθοδος των ιακριτών Στοιχείων βρίσκει εφαρμογή σε πληθώρα προβλημάτων που εμπίπτουν στο αντικείμενο της Γεωτεχνικής Μηχανικής και αποτελεί πλέον δημοφιλή μέθοδο ανάμεσα στους ερευνητές (Jiang and Yu, 2006), τάση που αυξάνεται συνεχώς όπως φαίνεται στο Σχήμα 1.2 (β). Στο πεδίο εφαρμογής της συγκαταλέγονται προβλήματα ερπυσμού, μηχανισμών σχηματισμού ρωγμών, μελέτη μηχανισμού διατμητικών ζωνών, προβλήματα μικρομηχανικής, αλληλεπίδραση εδάφους-κατασκευής, ακόμα και μεγάλης κλίμακας προβλήματα όπως η κινηματική μελέτη κατολισθήσεων και οι συνεπαγόμενες μεγάλες παραμορφώσεις. Η συμβολή της Μεθόδου στη Γεωτεχνική Μηχανική συνοψίζεται μέσω του Πίνακα 1.1, όπου επιχειρείται μια επιτομή από δημοσιευμένες εργασίες κατά τα τελευταία 15 χρόνια. 5

20 Πίνακας 1.1: Εφαρμογές της Μεθόδου ιακριτών Στοιχείων στη Γεωτεχνική Μηχανική Θέματα Σύντομη Περιγραφή Ερευνητές Μηχανική Κοκκώδων Υλικών Ερπυσμός Αργιλικά Υλικά Συνθλιψη Κόκκων- Ρηγματώσεις ιατμητικές Ζώνες Περιστροφές κόκκων ιερεύνηση κριτηρίων αστοχίας στα κοκκώδη υλικά Αριθμητική διερεύνηση ερπυσμού σε ρηγματωμένους βράχους ιερεύνηση φθοράς λόγω χρόνου και ερπυσμού σε άμμους σε επίπεδο κόκκων ιερεύνηση του μηχανισμού ανισοτροπίας των αργίλων ιερεύνηση της εφελκυστικής συμπεριφοράς αργίλων ιατύπωση μηχανικού μοντέλου σχετικά με την παραμόρφωση και αστοχία σχιστών αργίλων ιερεύνηση μηχανισμού σύνθλιψης και δημιουργίας ρωγμών ιερεύνηση του μηχανισμου δημιουργίας διατμητικών ζωνών Τροποπoίηση της Μ Σ ώστε να περιλαμβάνει και όρους αντίστασης στην περιστροφή των κόκκων Thornton (2000) Powrie et al., (2005) Sazzad and Islam (2008) Feng et al., (2003) Suarez (2012) Anandarajah A., (2000) Ammeri et al., (2007) Bradley A. J., (2013) McDowell and Harireche (2002) Tavarez et al., (2002) Cheng et al., (2003) Wang et al., (2007) Widulinski et al., (2011) Gu et al., (2014) Jiang et al., (2005) Wang and Li, (2014) Αλληλεπιδραση Εδάφους-Κατασκευής ιερεύνηση σεισμικής απόκρισης συστήματος εδάφος-θεμελίωσης-ανωδομής Shamy and Zamani (2012) ημιουργία ιατάξεων Κόκκων Νέα γεωμετρική μέθοδος δημιουργίας διατάξεων (Inwards Packing Method) Νέα γεωμετρική μέθοδος δημιουργίας μεγάλης κλίμακας τριδιάστατων διατάξεων, με συγκεκριμένο πορώδες και κατανομή κόκκων Bagi (2005) Dang and Meguid (2010) Προσομοιώσεις Μεγάλης Κλίμακας ιερεύνηση συμπεριφοράς ροής μέσω βαρύτητας ορυκτών σε ορυχεία Nazeri and Mustoe (2002) Προσομοίωση κατολίσθησης Tang et al., (2006) Συσχέτιση Μεθόδων Πεπερασμένων και ιακριτών Στοιχείων ιερεύνηση συμπεριφοράς εδαφικών υλικών, ταυτόχρονα σε μίκρο και μάκρο-κλίμακα Nitka et al. (2011) Guo and Zhao (2014) Nguyen et al. (2014) 6

21 1.3 Υπολογιστικός αλγόριθμος της Μεθόδου ιακριτών Στοιχείων Η Μ Σ προσομοιώνει τη μηχανική συμπεριφορά συστήματος αποτελούμενο από ομάδα σωματιδίων τα οποία μετακινούνται ανεξάρτητα μεταξύ τους και αλληλεπιδρούν μόνο στις περιοχές των διεπαφών τους. Θεωρώντας τα σωματίδια απαραμόρφωτα και τη συμπεριφορά των διεπαφών ως ενδόσιμη με ελεγχόμενη στιφρότητα, η μηχανική συμπεριφορά του συστήματος περιγράφεται σε όρους κίνησης των σωματιδίων καθώς και με τις δυνάμεις που αναπτύσσονται μεταξύ των. Η θεμελιώδης σχέση κίνησης των σωματιδίων και των αντίστοιχων δυνάμεων, παρέχεται από τους νόμους του Νεύτωνα. Το σύστημα των δυνάμεων μπορεί να είναι σε είτε σε στατική ισορροπία, οπότε δεν υπάρχει κίνηση, ή μπορεί να είναι τέτοιο ώ- στε να προκαλεί κίνηση/ροή των σωματιδίων. Η αλληλεπίδραση μεταξύ των σωματιδίων γίνεται αποκλειστικά μέσω δυνάμεων τριβής και συνοχής, οι οποίες παράγονται από ελατήρια ή και αποσβεστήρες για δυναμικά προβλήματα που συνδέουν τους κόκκους στην ακτινική και στην εφαπτομενική διεύθυνση, Σχήμα 1.3. k n c n k s c s f μ Σχήμα 1.3: Σχηματική απεικόνιση της αλληλεπίδρασης κόκκων με βάση την Μ Σ Οι παραδοχές που υιοθετεί η μέθοδος για τις προσομοιώσεις είναι οι εξής: 1. Τα σωματίδια αντιμετωπίζονται ως απαραμόρφωτα 2. Οι διεπαφές σχηματίζονται σε απειροελάχιστα μικρές επιφάνειες και θεωρούνται σημειακές 3. Στα σημεία των διεπαφών υιοθετείται εξιδανίκευση ενδόσιμης επαφής, έτσι ώστε να επιτρέπεται τοπικά η αλληλοεπικάλυψη των απαραμόρφωτων σωματιδίων 7

22 4. Το μέγεθος της επικάλυψης, είναι μικρό σε σχέση με το μέγεθος των σωματιδίων και σχετίζεται με τη δύναμη που αναπτύσσεται στη διεπαφή, μέσω κατάλληλης σχέσης δύναμης-μετακίνησης (Νόμος Hooke) 5. Εφαρμόζονται οι Νόμοι του Νεύτωνα για τον υπολογισμό της μεταφορικής και στροφικής κίνησης των σωματιδίων 6. Χρησιμοποιείται μικρός βηματικός χρόνος Υπολογιστικός κύκλος Ο κύκλος υπολογισμού της Μεθόδου είναι αλγόριθμος με μικρό χρονικό βήμα, κατά τη διάρκεια του οποίου και για κάθε σωματίδιο, γίνεται επαναλαμβανόμενη ε- φαρμογή του νόμου της κίνησης και του νόμου της δύναμης. Ο κύκλος υπολογισμού φαίνεται σχηματικά στο Σχήμα 1.4. αλλαγή θέσης σωματιδίων και δομής διεπαφών Εξίσωση της κίνησης (εφαρμόζεται σε κάθε σωματίδιο) Δυνάμεις και ροπές Νόμος δύναμης-μετακίνησης (εφαρμόζεται σε κάθε διεπαφή) σχετική κίνηση σωματιδίων καταστατικός νόμος διεπαφών Σχήμα 1.4: Κύκλος υπολογισμού της Μ Σ Στην αρχή κάθε χρονικού βήματος, η δομή των διεπαφών ανανεώνεται μέσω των γνωστών θέσεων των σωματιδίων. Έπειτα εφαρμόζεται ο νόμος δύναμηςμετακίνησης σε κάθε διεπαφή, και με βάση τη σχετική κίνηση των στοιχείων και το καταστατικό μοντέλο που την περιγράφει, υπολογίζονται οι δυνάμεις αλληλεπίδρασης σε ακτινικό και εφαπτομενικό επίπεδο. Τέλος εφαρμόζεται ο νόμος της κίνησης σε κάθε σωματίδιο, ώστε να αλλάξει η ταχύτητα και η θέση του αναλογικά με τις δυνάμεις και την ροπή που προκύπτουν από την αλληλεπίδραση και τυχόν δυνάμεις πεδίου που δρουν σε αυτό. Παρακάτω, περιγράφονται οι νόμοι δύναμηςμετακίνησης και κίνησης στις τρεις διαστάσεις. 8

23 1.3.2 Νόμος ύναμης-μετακίνησης Ο νόμος δύναμης-μετακίνησης συνδέει τη δύναμη που αναπτύσσεται στην διεπαφή μεταξύ δύο στοιχείων, με την σχετική μετακίνηση τους. Εφαρμόζεται στις διεπαφές και μπορεί να περιγραφεί με όρους σημείου επαφής x [C] i, το οποίο βρίσκεται σε επίπεδο, που καθορίζεται από ένα μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα n i, εντός του επιπέδου προσομοίωσης. Το σημείο της διεπαφής βρίσκεται μέσα στην αλληλεπικαλυπτόμενη περιοχή των δύο στοιχείων, και η διεύθυνση του ορθού διανύσματος βρίσκεται πάνω στην γραμμή που ενώνει τα κέντρα των δύο σωματιδίων. Η δύναμη της διεπαφής αναλύεται σε δύο συνιστώσες, μία ορθή που ενεργεί στη διεύθυνση του ορθού διανύσματος και σε μία εφαπτομενική, που δρα κάθετα στην προηγούμενη, στο επίπεδο της διεπαφής. Ο νόμος δύναμης-μετακίνησης συνδέει τις δύο συνιστώσες με τις σχετικές μετακινήσεις των στοιχείων, μέσω της αξονικής και εφαπτομενικής δυστμησίας της διεπαφής. Έστω δύο σωματίδια σε επαφή, Σχήμα 1.4, με επικάλυψη U n. Το διάνυσμα που καθορίζει το επίπεδο της διεπαφής ορίζεται ως, n i x B d x A i i (1.1) όπου A x και i B x τα διανύσματα θέσης των κέντρων των σωματιδίων Α και Β, και i d η απόσταση των κέντρων τους, Η επικάλυψη U n ορίζεται ως, d x x x x x x (1.2) B A B A B A i i i i i i A B n U R R d (1.3) όπου i R η ακτίνα του σωματιδίου i. Το σημείο της επαφής περιγράφεται από την εξίσωση C A A n xi xi R U ni 2 1 (1.4) 9

24 U n B R [B] R [A] n i x i [C] [B] x i x i [A] d A Επίπεδο διεπαφής Σχήμα 1.5: Επαφή μεταξύ σωματιδίων Το διάνυσμα της δύναμης F i που αναπτύσσεται στην διεπαφή αναλύεται σε δύο συνιστώσες, μία ορθή n Fi και μία διατμητική s F i, F F F n s i i i (1.5) Το μέγεθος της ορθής δύναμης υπολογίζεται ως, F K U (1.6) n n n i όπου Η τιμή της n K η ακτινική στιφρότητα σε μονάδες δύναμης/μετακίνησης στην διεπαφή. n K καθορίζεται από το εν ενεργεία μοντέλο διεπαφής-στιφρότητας, Παράγραφος Σημειώνεται ότι η ακτινική στιφρότητα n K είναι τέμνον μέτρο, το οποίο συσχετίζει ολικές μετακινήσεις και δυνάμεις. Αντίθετα η διατμητική δυστμησία s k, είναι εφαπτομενικό μέτρο, το οποίο συσχετίζει μεταβολές μετακίνησης και δύναμης, Εξίσωση Στη συνέχεια το κεφαλαίο K θα αναφέρεται σε τέμνον μέτρο, και το μικρό k, σε εφαπτομενικό μέτρο. 10

25 Η διατμητική συνιστώσα υπολογίζεται μέσω επαλληλίας μικρών μεταβολών. Όταν δημιουργείται η διεπαφή, η συνολική διατμητική δύναμη είναι μηδενική. Για κάθε επόμενο βήμα, η σχετική μεταβολή της διατμητικής δύναμης-μετακίνησης, προκαλεί μια αντίστοιχη μεταβολή στην ελαστική διατμητική δύναμη, η οποία προστίθεται στην υπάρχουσα δύναμη. Η κίνηση της διεπαφής καθορίζεται με την ανανέωση των n i και x C i για κάθε χρονικό βήμα. Η σχετική διατμητική ταχύτητα V s μεταξύ δύο στοιχείων, υπολογίζεται από τη σχέση, C C 3 3 s V x i x i t i xk x k xk x k (1.7) όπου j x i j και 3 η μεταφορική και η στροφική ταχύτητα, αντίστοιχα, του στοιχείου j, 1 2,, (1.8) και t n, n i. 2 1 Η διατμητική συνιστώσα της μεταβολής της μετακίνησης της διεπαφής που πραγματοποιείται σε χρονικό βήμα Δt υπολογίζεται ως s s U V t (1.9) και χρησιμοποιείται για να υπολογιστεί η ελαστική διατμητική μεταβολή στη δύναμη s s s F k U (1.10) όπου s k η διατμητική στιφρότητα σε μονάδες δύναμης/μετακίνησης στη διεπαφή. s Η τιμή της k καθορίζεται από το επιλεγμένο μοντέλο επαφής-στιφρότητας, Παράγραφος Η νέα τιμή της διατμητικής δύναμης, προκύπτει από την άθροιση της υπάρχουσας τιμής στην αρχή του χρονικού βήματος και της ελαστικής διατμητικής μεταβολής, 11

26 s s s n F F F F (1.11) όπου μ ο συντελεστής τριβής μεταξύ των στοιχείων. Η ορθή και διατμητική δύναμη στην διεπαφή, ορισμένες μέσω των Εξισώσεων 1.6 και 1.11, προσαρμόζονται κατάλληλα στις καταστατικές σχέσεις που διέπουν το επιλεγμένο μοντέλο επαφής, Παράγραφος 1.3.5, και η συνεισφορά της τελικής δύναμης στην προκύπτουσα δύναμη και ροπή στα δύο στοιχεία σε επαφή, δίνεται από τις σχέσεις F F n F t n s i i i 1 1 i i i F F F 2 2 i i i F F F C 3 3 3jk j j k M M e x x F C 3 3 3jk j j k M M e x x F (1.12) όπου j F j i και M 3 τα αθροίσματα δύναμης και ροπής για το στοιχείο j της Εξίσωσης 1.8. Η F i δίνεται από την Εξίσωση Νόμος Κίνησης Η κίνηση απαραμόρφωτου σωματιδίου καθορίζεται από τα δρώντα σε αυτό διανύσματα δύναμης και ροπής και μπορεί να περιγραφεί με όρους μεταφορικής κίνησης ενός σημείου στο σωματίδιο και τη στροφική κίνηση του ίδιου. Η μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας περιγράφεται με όρους της θέσης του, x i, της ταχύτητας του, x i και της επιτάχυνσης του x i, ενώ η στροφική κίνηση με όρους γωνιακής ταχύτητας i και γωνιακής επιτάχυνσης i. 12

27 Οι εξισώσεις κίνησης διατυπώνονται ως δύο διανυσματικές εξισώσεις, μία που συσχετίζει τη συνολική δύναμη στην μεταφορική κίνηση και μία που συσχετίζει τη συνολική ροπή στην περιστροφική κίνηση. Η εξίσωση για την μεταφορική κίνηση γράφεται, i i i F m x g (1.13) όπου F i η συνολική δύναμη, δηλαδή το άθροισμα όλων των δυνάμεων που α- σκούνται στο σωματίδιο, m, η μάζα του και g i, η επιτάχυνση από τις δυνάμεις πεδίου όπως η βαρυτική δύναμη. Η εξίσωση για την περιστροφική κίνηση γράφεται σε διανυσματική μορφή, M i H (1.14) i όπου M i, η συνολική ροπή που δρα στο σωματίδιο και H i η στροφορμή του. Η Εξίσωση 1.14 αναφέρεται σε σύστημα τοπικών συντεταγμένων, με αρχή το κέντρο μάζας του σωματιδίου. Αν το τοπικό σύστημα είναι προσανατολισμένο έτσι ώστε οι άξονές του να συμπίπτουν με τους κύριους αδρανειακούς άξονες, τότε η Εξίσωση 1.14 γράφεται (εξίσωση Euler), M I I I M I I I (1.15) M I I I όπου Ι 1, Ι 2 Ι 3, οι κύριες ροπές αδράνειας του σωματιδίου, ω 1, ω 2 ω 3 οι γωνιακές επιταχύνσεις ως προς τους κύριους άξονες, και Μ 1, Μ 2 Μ 3 οι αντίστοιχες συνολικές ροπές. Για ένα σωματίδιο με ακτίνα R, με μάζα ομοιόμορφα κατανεμημένη σε όλο τον ό- γκο του, το κέντρο μάζας του βρίσκεται στο γεωμετρικό κέντρο του. Για μια σφαίρα, κάθε τοπικό σύστημα με αρχή το κέντρο μάζας της είναι και κύριο σύστημα α- 13

28 ξόνων και οι τρεις ροπές αδράνειας είναι ίσες μεταξύ τους. Για έναν δίσκο του ο- ποίου ο κύριος άξονας παραμένει στη διεύθυνση κάθετα στο επίπεδο του, ισχύει ω 1 =ω 2 =0. Επομένως και για τα δύο είδη σωματιδίων η Εξίσωση 1.15 μπορεί να γραφεί mr (1.16) Όπου 2/5 (σφαίρα) 1/2 (δίσκος) (1.17) Οι Εξισώσεις κίνησης 1.13 και 1.16 ολοκληρώνονται εν χρόνω, με χρήση μεθόδου κεντρικών διαφορών, χρησιμοποιώντας χρονικό βήμα Δt. Οι ποσότητες x και ω 3 υπολογίζονται στα μεσοδιαστήματα των t n t/2, ενώ οι ποσότητες x, i xi, 3, Fi και M 3 υπολογίζονται στα ολόκληρα διαστήματα t n t Οι επόμενες εξισώσεις περιγράφουν την μεταφορική και γωνιακή επιτάχυνση σε χρόνο t, με όρους σχετικά με τις τιμές των ταχυτήτων στα μεσοδιαστήματα, t 1 xi x i x i t tt/2 tt/2 t t tt/2 tt/2 (1.18) Αντικαθιστώντας στις Εξισώσεις 1.13 και 1.16 και επιλύοντας ως προς τις ταχύτητες για το χρονικό σημείο t t/2 προκύπτει, tt tt i t tt/2 tt/2 F i xi xi gi t m t t /2 /2 3 i (1.19) 14

29 Τελικά οι ταχύτητες από την Εξίσωση 1.19 εφαρμόζονται για τον υπολογισμό της νέας θέσης του κέντρου του σωματιδίου, tt t tt/2 x x x t (1.20) i i i Συνοψίζοντας, ο κύκλος υπολογισμού περιγράφεται ως εξής: με δεδομένες τις τιμές των t t/2 x i, t t/2 3, t x, i t F και i M t 3, η Εξίσωση 1.19 εφαρμόζεται για τον υπολογισμό των t t/2 x i, t t/2 3. Στη συνέχεια η Εξίσωση 1.20 χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της τιμής του t t x i. Οι τιμές των t t F i και t t M 3 που χρησιμοποιούνται στο επόμενο βήμα, υπολογίζονται με την εφαρμογή του νόμου κίνησης-παραμόρφωσης Υπολογισμός κρίσιμου χρονικού βήματος Για την ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης, γίνεται χρήση της μεθόδου των κεντρικών διαφορών. Η λύση που προκύπτει θα παραμένει σταθερή μόνο όταν το χρονικό βήμα δεν υπερβεί μια κρίσιμη τιμή που σχετίζεται με την ελάχιστη ιδιοπερίοδο του συνολικού συστήματος. Μια γενική ανάλυση ιδιοτιμών όμως, δεν είναι πρακτικά χρήσιμη για τις μεγάλες και συνεχώς μεταβαλλόμενες προσομοιώσεις που συνήθως επιλύονται με την Μ Σ. Για αυτό τον λόγο εφαρμόζεται μια πιο α- πλοποιημένη διαδικασία εκτίμησης του κρίσιμου χρονικού βήματος στην αρχή κάθε κύκλου υπολογισμού. Για μονοδιάστατο σύστημα ελατηρίου-μάζας με σημειακή μάζα m και ελατήριο σταθεράς k, για το οποίο ισχύει το σύστημα συντεταγμένων του Σχήματος 1.6, η διαφορική εξίσωση κίνησης του συστήματος είναι, kx mx και το κρίσιμο χρονικό βήμα κατά Bathe και Wilson (1976) T tcrit, T 2 m/ k (1.21) όπου Τ η ιδιοπερίοδος του συστήματος. 15

30 k m x Σχήμα 1.6: Σύστημα ελατηρίου-μάζας t Θεωρώντας σύστημα από άπειρες σειρές ελατηρίων-μαζών Σχήμα 1.7, τότε η μικρότερη ιδιοπερίοδος ορίζεται ως αυτή για την οποία όλες οι μάζες κινούνται συγχρονισμένα έτσι ώστε να μην υπάρχει κίνηση στο μέσο κάθε ελατηρίου. Τότε η κίνηση μιας σημειακής μάζας μπορεί να περιγραφεί από τα δύο ισοδύναμα συστήματα που φαίνονται στο Σχήμα 1.7 (β, γ). Το κρίσιμο χρονικό βήμα για το σύστημα, υπολογίζεται μέσω της Εξίσωσης 1.21, t 2 m/ 4 k m/ k (1.22) crit όπου k η σταθερά του ελατηρίου. k k k k m m m (α) 2k m 2k (β) 4k m x (γ) t Σχήμα 1.7: Σύστημα άπειρων ελατηρίων-μαζών Τα παραπάνω συστήματα είναι χαρακτηριστικά της μεταφορικής κίνησης, ενώ η στροφική μπορεί να περιγραφεί με παρόμοια διαδικασία, αντικαθιστώντας την μάζα m με την ροπή αδράνειας I και την δυστμησία k με την αντίστοιχη στροφική. Το 16

31 κρίσιμο χρονικό βήμα, για την γενική περίπτωση συστήματος πολλαπλών ελατηρίων-μαζών εκφράζεται τελικά ως, t crit tran m/ k, (μεταφορική κίνηση) rot I / k, (στροφική κίνηση) (1.23) όπου tran k και rot k αδράνειας του σωματιδίου., η μεταφορική και στροφική δυστμησία αντίστοιχα, και Ι η ροπή Καταστατικά μοντέλα επαφών, γενικά στοιχεία Η γενική καταστατική συμπεριφορά υλικού που περιγράφεται με την Μ Σ, προσομοιώνεται με την συσχέτιση ενός απλού καταστατικού μοντέλου σε κάθε διεπαφή, αποτελούμενο από τρία μέρη: το μοντέλο στιφρότητας, το μοντέλο ολίσθησης και το μοντέλο συνοχής. Το μοντέλο στιφρότητας προσφέρει την ελαστική σχέση μεταξύ της δύναμης που αναπτύσσεται στην διεπαφή μέσω της σχετικής μετακίνησης. Το μοντέλο ολίσθησης επιβάλλει τη σχέση μεταξύ των διατμητικών και ορθών δυνάμεων που αναπτύσσονται στις διεπαφές, έτσι ώστε δύο σωματίδια σε επαφή να μπορούν να ολισθήσουν μεταξύ τους. Τέλος το μοντέλο συνοχής, εξυπηρετεί στην οριοθέτηση της συνολικής ορθής και διατμητικής δύναμης που μπορεί να α- ντέξει μια διεπαφή Γραμμικό μοντέλο στιφρότητας Οι στιφρότητες μιας διεπαφής συσχετίζουν τις δυνάμεις που αναπτύσσονται σε αυτή με τις σχετικές μετακινήσεις στις αντίστοιχες διευθύνσεις, μέσω των Εξισώσεων 1.6, ( F s s s K U ) και 1.10, ( F k U ). Η ορθή στιφρότητα n n n i n K είναι μια τέμνουσα στιφρότητα, η οποία συνδέει την συνολική δύναμη με την συνολική ορθή μετακίνηση. Αντίθετα, η διατμητική στιφρότητα s k είναι μια εφαπτομενική στιφρότητα εφόσον συνδέει την μεταβολή της διατμητικής δύναμης με την μεταβολή της διατμητικής μετακίνησης. 17

32 Το γραμμικό μοντέλο καθορίζεται από την ορθή και διατμητική στιφρότητα, k n και k s αντίστοιχα, των δύο στοιχείων σε επαφή και υπολογίζονται θεωρώντας ότι τα δύο στοιχεία (Α και Β) σε επαφή δρουν σε σειρά. Η ορθή τέμνουσα στιφρότητα της διεπαφής υπολογίζεται ως K k k A n n n A n k B k B n (1.24) και η διατμητική εφαπτομενική στιφρότητα υπολογίζεται ως k k k A s s s A s k B k B s (1.25) Λόγω της θεώρησης γραμμικού μοντέλου στιφρότητας, η ορθή τέμνουσα στιφρότητα είναι ίση με την ορθή εφαπτομενική στιφρότητα καθώς k n n n df d K U n n K (1.26) n n du du Μοντέλο ολίσθησης Το μοντέλο ολίσθησης δεν παρέχει στη διεπαφή αντοχή σε εφελκυσμό και επιτρέπει την ολίσθηση μεταξύ των στοιχείων, μέσω της εισαγωγής ορίου στην διατμητική δύναμη που μπορεί να αντέξει η διεπιφάνεια. Καθορίζεται δε από τον συντελεστή τριβής στη διεπαφή f μ. Το κριτήριο της αστοχίας σε ορθή δύναμη, επιβάλλεται όταν η επικάλυψη, Εξισώσεις 1.1 και 1.2, είναι μικρότερη ή ίση με το μηδέν. Τότε η ορθή και η διατμητική δύναμη μηδενίζονται. Η διεπαφή ελέγχεται για τυχόν συνθήκες ολίσθησης, με τον υπολογισμό της μέγιστης επιτρεπόμενης διατμητικής δύναμης ίσης με, F f F i s max n (1.27) 18

33 Αν n F i s > F max τότε επιτρέπεται να ολισθήσουν τα στοιχεία μεταξύ τους στον επόμενο υπολογιστικό κύκλο, με το να τεθεί η τιμή της s F max μέσω της εξίσωσης s F i ίση με s s s / s i i max i F F F F (1.28) Μοντέλα συνοχής Τα δύο βασικά μοντέλα συνοχής της μεθόδου είναι το μοντέλο σημειακού δεσμού και το μοντέλο παράλληλου δεσμού. Και τα δύο μοντέλα παρομοιάζονται με κόλλα που ενώνει τα σωματίδια σε επαφή. Η κόλλα σημειακού δεσμού εφαρμόζεται σε περιοχή με απειροστές διαστάσεις και συγκεκριμένα στο σημείο επαφής των σωματιδίων. Στην περίπτωση του παράλληλου δεσμού, η περιοχή έχει πεπερασμένες διαστάσεις, με ορθογωνική ή κυκλική διατομή, ανάλογα αν τα σωματίδια θεωρούνται κύλινδροι ή σφαίρες αντίστοιχα, Σχήμα Το μοντέλο σημειακού δεσμού μπορεί να μεταβιβάσει μόνο δύναμη, ενώ το παράλληλο μεταβιβάζει και ροπή. A B Περίπτωση σφαίρας Περίπτωση κυλίνδρου Σχήμα 1.8: Σχηματική αναπαράσταση του μοντέλου παράλληλου δεσμού 19

34 Ο σημειακός δεσμός περιγράφεται ως ζεύγος ελατηρίων με συγκεκριμένες αντοχές σε εφελκυστική και διατμητική δύναμη, ή ένα σημείο κόλλας με ορθή και διατμητική στιφρότητα που ενεργεί στο σημείο της επαφής. Ο τύπος του δεσμού αποκλείει την πιθανότητα ολίσθησης, δηλαδή το εύρος της τιμής της διατμητικής δύναμης δεν καθορίζεται από την Εξίσωση Αντιθέτως η τιμή της περιορίζεται από την διατμητική αντοχή του δεσμού. Το μοντέλο επιτρέπει την ανάπτυξη και εφελκυστικών δυνάμεων, με την τιμή τους να προκύπτει βάσει της Εξίσωσης 1.6 για αρνητικές τιμές του όρου U n. Σε αυτή την περίπτωση ο σημειακός δεσμός, δένει τα σωματίδια μεταξύ τους, ώστε η επαφή να αντέχει μια μέγιστη εφελκυστική δύναμη. Αν η τιμή της εφελκυστικής δύναμης σε κάποιο χρονικό βήμα γίνει ίση ή ξεπεράσει την ορθή αντοχή του δεσμού, τότε η επαφή καταλύεται και μηδενίζονται οι δυνάμεις επαφής. Αντίθετα, στην περίπτωση υπέρβασης της διατμητικής αντοχής, η επαφή μπορεί μεν να διαρρηγνύεται, αλλά οι δυνάμεις δεν αλλάζουν τιμή, εφ όσον η διατμητική δύναμη δεν υπερβαίνει το όριο της τριβής και η ορθή δύναμη δεν είναι εφελκυστική. Ο καταστατικός νόμος που συνδέει τις δυνάμεις με τις σχετικές μετακινήσεις για αυτό το μοντέλο σημειακού δεσμού, φαίνεται στο Σχήμα 1.8. Σε κάθε χρονική στιγμή είτε το μοντέλο ολίσθησης, Παράγραφος 1.3.7, είτε το μοντέλο συνοχής, είναι ενεργό. Στο Σχήμα 1.8, F n είναι η ορθή δύναμη που αναπτύσσεται στην διεπαφή, με θετικές τιμές να υποδηλώνουν εφελκυσμό, U n είναι η σχετική ορθή μετακίνηση, με θετικές τιμές να υποδηλώνουν επικάλυψη, F s είναι η συνολική διατμητική δύναμη και U s είναι η ολική διατμητική μετακίνηση, σχετικά με τη θέση του σημείου διεπαφής όταν αυτή σχηματίστηκε. Ο παράλληλος δεσμός περιγράφει την καταστατική συμπεριφορά ενός συγκολλητικού υλικού πεπερασμένων διαστάσεων, το οποίο βρίσκεται μεταξύ των σωματιδίων. Ο δεσμός προσθέτει μια επιπλέον ελαστική συμπεριφορά μεταξύ των κόκκων δρώντας παράλληλα με το μοντέλο διεπαφών που βρίσκεται εν ενεργεία. Όπως αναφέρεται και παραπάνω, ο δεσμός μπορεί να μεταφέρει σε αντίθεση με το σημειακό μοντέλο, και ροπές μεταξύ των κόκκων πέραν των δυνάμεων. Μοιάζει δε σαν ελατήρια, με σταθερές στιφρότητες και συγκεκριμένα όρια θραύσης, τα ο- ποία είναι ομοιόμορφα κατανεμημένα σε μια κυκλική ή ορθογωνική περιοχή, πάνω στο επίπεδο της διεπαφής, και δρουν παράλληλα με εκείνα που προσομοιώνουν 20

35 τη στιφρότητα 1.8 και των κόκκων. Η συμπεριφορά του δίνεται σχηματικά στο Σχήματα F n (εφελκυσμός) διάρρηξη διεπαφής F n c σημειακός ςδεσμός ολίσθησηη U n (επικάλυψη) K n 1 (α) ορθή συνιστώσα της δύναμης στην διεπαφή F s F F s c s max σημειακός δεσμός ολίσθηση όταν U n >0 διάρρηξη διεπαφής 1 k s (β) διατμητική συνιστώσα της δύναμης στην διεπαφή Σχήμα 1.9: Καταστατική συμπεριφορά σημειακού δεσμού U s Σχήμα 1.10: υνάμεις και ροπή στο μοντέλο παράλληλουπ υ δεσμού 21

36 1.4 Αντικείμενο της ιατριβής Η ιατριβή έχει τρεις κύριους στόχους. Ο πρώτος είναι να αναδείξει τη σημασία και την πρακτική χρησιμότητα της Μεθόδου των ιακριτών Στοιχείων στη μελέτη διαφορετικών προβλημάτων που αφορούν κοκκώδη υλικά όπως το έδαφος. Ο δεύτερος στόχος είναι η ανάπτυξη αριθμητικών εργαλείων τα οποία αποτελούν τη βάση διερευνήσεων με την Μέθοδο, και ο τρίτος αφορά τη μελέτη συγκεκριμένων προβλημάτων της Γεωτεχνικής Μηχανικής, θεωρητικής και πρακτικής φύσης, με έμφαση στη συμπεριφορά της μικροδομής, η οποία είναι δύσκολο να διερευνηθεί πλήρως μέσω εργαστηριακών δοκιμών. Το πρώτο από τα αριθμητικά εργαλεία που αναπτύχθηκαν είναι αλγόριθμος δημιουργίας πυκνών διδιάστατων ορθογωνικών διατάξεων κόκκων. Το κίνητρο για την ανάπτυξή του προέρχεται από την προφανή προαπαίτηση των αναλύσεων, την ύπαρξη αρχικής διάταξης σωματιδίων, τέτοια ώστε να αντιπροσωπεύει ρεαλιστικά τις πραγματικές συνθήκες του υπό μελέτη προβλήματος. Το δεύτερο αριθμητικό εργαλείο αφορά την ανάπτυξη αλγόριθμου προσομοίωσης της εργαστηριακής δοκιμής αξονικής φόρτισης υπό πλευρική τάση, δηλαδή δοκιμές μονοαξονικής, διαξονικής και τριαξονικής φόρτισης. Η προσομοίωση της δοκιμής κρίθηκε απαραίτητη, καθότι αποτελεί αρκετά διαδεδομένη εργαστηριακή μέθοδο μέτρησης των μηχανικών ιδιοτήτων των εδαφικών υλικών, και ταυτόχρονα χρησιμεύει ως εργαλείο βαθμονόμησης των προσομοιωμάτων. Αναφορικά με τα προβλήματα της Γεωτεχνικής Μηχανικής που επιλέχθηκαν προς διερεύνηση, το πρώτο αφορά στη διάδοση διαμήκων κυμάτων σε κοκκώδη υλικά, (τομέας αιχμής της Γεωτεχνικής Μηχανικής, της Γεωφυσικής, της Εμβιομηχανικής και της Επιστήμης των Υλικών). Οι μελέτες για τη διάδοση των κυμάτων σε αυτά, αποσκοπούν στην κατανόηση της εσωτερικής μικροδομής τους, καθορίζοντας έτσι τις μηχανικές ιδιότητες σε δυναμική φόρτιση. Σημειώνεται ότι το συγκεκριμένο τμήμα της έρευνας αποτελεί συνέχεια σχετικής εργασίας του συγγραφέα για την απόκτηση Μεταπτυχιακού ιπλώματος Ειδίκευσης, επεκτείνοντας τις αναλύσεις σε τρεις διαστάσεις και διερευνώντας ταυτόχρονα το σημαντικό ζήτημα του προσδιορισμού του χρόνου άφιξης ενός κύματος. 22

37 Το δεύτερο πεδίο διερεύνησης αφορά στη μελέτη της επιρροής των μικροπαραμέτρων που περιγράφουν τα προσομοιώματα της Μεθόδου, στην απόκριση των α- ριθμητικών δοκιμίων υπό διαξονική φόρτιση. Ο ορισμός τους αποτελεί μια από τις κύριες προκλήσεις στις αναλύσεις με τη Μέθοδο των ιακριτών Στοιχείων, με την ακρίβεια των αποτελεσμάτων της να εξαρτάται άμεσα από τις τιμές τους. Οι σχετικές εργασίες στη βιβλιογραφία, αναλυτικές και αριθμητικές, αναδεικνύουν τον παραπάνω συλλογισμό, καθώς όμως και τις διαφορές μεταξύ των ερευνητών, επισημαίνοντας έτσι την ανάγκη περαιτέρω έρευνας στο αντικείμενο. 1.5 ομή της ιατριβής Η ιατριβή χωρίζεται σε έξι (6) Κεφάλαια. Πέραν από το παρόν εισαγωγικό κεφάλαιο, όπου αναφέρθηκαν μερικά γενικά στοιχεία της Μεθόδου και αναπτύχθηκαν οι βασικές λειτουργίες της, τα υπόλοιπα κεφάλαια της ιατριβής περιλαμβάνουν: Στο Κεφάλαιο 2 γίνεται λεπτομερής περιγραφή του κώδικα που αναπτύχθηκε για την αριθμητική προσομοίωση της συμπεριφοράς κοκκωδών υλικών με τη Μέθοδο των ιακριτών Στοιχείων. Για την εκτέλεση των αριθμητικών αναλύσεων προαπαιτείται η δημιουργία μιας διδιάστατης διάταξης αλληλο-εφαπτόμενων κόκκων, που να αντιπροσωπεύει ρεαλιστικά τις συνθήκες του προβλήματος. Αναπτύσσεται αλγόριθμος που δημιουργεί διδιάστατες ορθογωνικές διατάξεις δίσκων, με δυνατότητα επέκτασης για οποιαδήποτε μορφή διάταξης. Η βασική ιδέα είναι, με δεδομένη την ακτίνα ενός δίσκου, να υπολογίζεται η κατάλληλη θέση του στο χώρο, ώστε να εφάπτεται και να μην επικαλύπτει γειτονικούς δίσκους. Η διαδικασία δημιουργίας της διάταξης υλοποιείται μέσω της εφαρμογής υπορουτινών που χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: (α) τις υπορουτίνες δημιουργίας δίσκων, που εκτελούν κυρίως γεωμετρικούς υπολογισμούς, και (β) τις υπορουτίνες ελέγχου, που πραγματοποιούν ελέγχους κατά τη ροή του αλγορίθμου και αλγεβρικούς υπολογισμούς. Επίσης, βάσει αποτελεσμάτων παραμετρικών αναλύσεων προκύπτει ότι ο αλγόριθμος λειτουργεί σωστά, δημιουργώντας πυκνές και σταθερές ορθογωνικές διατάξεις κόκκων. 23

38 Στο Κεφάλαιο 3 παρατίθενται οι αλγόριθμοι προσομοίωσης της δοκιμής αξονικής φόρτισης σε δυο και τρεις διαστάσεις, οι οποίοι αναπτύχθηκαν κυρίως στη γλώσσα προγραμματισμού FISH που είναι ενσωματωμένη στο εμπορικό λογισμικό PFC2D της εταιρίας ITASCA. Κύρια λειτουργία των αλγορίθμων είναι η σωστή επιβολή των ορθών τάσεων (ισοτροπικής-πλευρικής τάσης σ 3 και εκτροπικής τάσης q ) στα όρια των δοκιμίων. Η εκτροπική τάση q, εφαρμόζεται μέσω λείων ή τραχειών απαραμόρφωτων στοιχείων, τα οποία μετακινούνται με σταθερή ταχύτητα επιβάλλοντας τον απαιτούμενο ρυθμό αξονικής παραμόρφωσης στο δοκίμιο, όπως η εργαστηριακή δοκιμή. Για την επιβολή της ισοτροπικής τάσης σ 3 κρίνεται απαραίτητη η επιβολή των πλευρικών συνθηκών μέσω ελαστικών και παραμορφώσιμων ορίων τα οποία προσομοιώνουν το ρόλο της μεμβράνης στην εργαστηριακή δοκιμή. Τα όρια αυτά αποτελούνται από μεμονωμένα σωματίδια πάνω στα οποία εφαρμόζεται η περιβάλλουσα τάση σ 3. Η ταυτοποίηση των σωματιδίων που θα αναλάβουν το ρόλο της μεμβράνης γίνεται με δύο μεθόδους, α) η μεμβράνη προσομοιώνεται με σωματίδια που ενώνονται μεταξύ τους μέσω ελαστικών σημειακών δεσμών (contact bonding) και β) προσομοιώνεται η επιρροή της μεμβράνης. Κατά την ανάπτυξη του αλγορίθμου της δοκιμής σε δυο διαστάσεις ενσωματώθηκαν και οι δύο μέθοδοι για την προσομοίωση της μεμβράνης. Στο Κεφάλαιο 4 παρουσιάζεται τρισδιάστατη αριθμητική παραμετρική διερεύνηση της διασποράς διαμήκων κυμάτων σε ορθογωνικά κοκκώδη δοκίμια με ομοιόμορφους κόκκους. Οι κόκκοι θεωρούνται ελαστικές σφαίρες, οι οποίες συνδέονται μέσω γραμμικών ελατηρίων και αποσβεστήρων τόσο κατά την αξονική όσο και την εφαπτομενική διεύθυνση. Αρχικά ορίζονται θεωρητικές έννοιες όπως η διασπορά (ομαλή και ανώμαλη) διαμήκων κυμάτων σε υλικά, η ταχύτητα φάσης και η ταχύτητα ομάδας. Στη συνέχεια υπολογίζεται αναλυτικά η ταχύτητα ομάδας από τη ταχύτητα φάσης (ευθύ πρόβλημα) και αντίστροφα. Για την αριθμητική προσομοίωση απαιτείται ο υπολογισμός των στιφροτήτων των ελατηρίων καθώς και ο καθορισμός του χρόνου άφιξης κύματος σε μια θέση-δέκτη μέσα στο δοκίμιο. Από τη διαστατική ανάλυση του προβλήματος προκύπτει ότι ο δείκτης κενών, ο λόγος Poisson, η λυγηρότητα του δοκιμίου, ο λόγος πλάτος δοκιμίου προς τη διάμετρο του κόκκου, ο λόγος απόσβεσης και το αδιάστατο μήκος κύματος αποτελούν τις κύριες παραμέτρους του προβλήματος. Η επιρροή αυτών των παραμέτρων στη ταχύτητα διάδοσης των διαμήκων κυμάτων παρουσιάζεται με τη μορφή αδιάστα- 24