Παρουσίαση και αριθμητικός έλεγχος του κώδικα πεπερασμένων στοιχείων

Transcript

1 Παρουσίαση και αριθμητικός έλεγχος του κώδικα πεπερασμένων στοιχείων Presentaton and verfcaton of the fnte element code Δράκος, Ι.Σ. Δρ. Πολιτικός Μηχανικός, Α.Π.Θ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Ο είναι ένα πρόγραμμα γεωτεχνικής μηχανικής βασισμένο στην θεωρία των πεπερασμένων στοιχειών. Στην παρούσα εργασία αφού γίνεται μία σύντομη παρουσίαση του προγράμματος εξετάζεται η ακρίβεια του πραγματοποιώντας συγκρίσεις είτε με το γνωστό λογισμικό πεπερασμένων στοιχείων PLAXIS είτε με κλειστές λύσεις όπου αυτές είναι διαθέσιμες. Τέλος παρουσιάζεται η επίλυση ενός πραγματικού έργου με τον κώδικα. ABSRAC: s a new fnte element code for geotechncal engneerng problems. In ths paper after a short presentaton of the program numercal tests were carred out. For the valdaton of the program, analytcal solutons, f avalable, and the commercal geotechncal software PLAXIS based on the fnte element method were used. At the end a case study analyss s presented. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ένας από τους κύριους στόχους της εξέλιξης του κώδικα ήταν η δημιουργία μιας πλατφόρμας πεπερασμένων στοιχείων η οποία να είναι εύκολα διαχειριζόμενη, επεκτάσιμη και να παρέχει τη δυνατότητα τροποποίησης ανά πάσα στιγμή. Τα κύρια χαρακτηριστικά του κώδικα όπως είναι οι κόμβοι, τα στοιχεία, οι συνοριακές συνθήκες και τα υλικά, αποτελούν συγκεκριμένα αντικείμενα, με δική τους υπόσταση και συμπεριφορά. Στον κώδικα έχουν αναπτυχθεί επίσης αντικείμενα όπως είναι οι πίνακες και τα διανύσματα, βασικές ιδιότητες των οποίων είναι ο πολλαπλασιασμός η αντιστροφή και η πρόσθεση. Για την δημιουργία της γεωμετρίας, τον καθορισμό των υλικών, των συνοριακών συνθηκών καθώς επίσης και για την παρουσίαση των αποτελεσμάτων, έχει δημιουργηθεί ένας ειδικός προ και μετά-επεξεργαστή σε συνεργασία με τον Πολ. Μηχ Ι. Ιωαννίδη. Ο κώδικας συνεργάζεται επίσης και με διάφορους άλλους προ-επεξεργαστές όπως π.χ τους GID, ASA. Για την σύνδεση του προ-επεξεργαστή με το βασικό κομμάτι επίλυσης του κώδικα έχουν αναπτυχθεί διάφοροι αλγόριθμοι, όπως π.χ. ο αλγόριθμος καθορισμού των επιτρεπόμενων βαθμών ελευθερίας ο οποίος καθορίζεται από τις συνοριακές συνθήκες. 2. ΚΥΡΙΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΟΥ ΚΩΔΙΚΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ELSA Ο κώδικας αποτελεί ένα ολοκληρωμένο πακέτο πεπερασμένων στοιχείων συνδυάζοντας τέσσερις διαφορετικές τεχνολογίες: 1. Τεχνολογία σχεδίασης CAD 2. Τεχνολογία προ-επεξεργασίας 3. Τεχνολογία επίλυσης 4. Τεχνολογία Μετά-επεξεργασίας Τα στοιχεία που έχουν αναπτυχθεί είναι γραμμικά τριών και τεσσάρων κόμβων καθώς επίσης και ισοπαραμετρικά έξι και οκτώ κόμβων. Στην παρούσα εργασία εξετάσθηκαν στοιχεία 6 κόμβων. 1

2 Σχήμα 1. Σχεδίαση προβλήματος (τεχνολογία CAD). Fgure 1. Drawng of the problem (CAD technology) Σχήμα 4. Παρουσίαση αποτελεσμάτων (τεχνολογία μετά-επεξεργασίας). Fgure 4. Result s presentaton (Post-processng technology) 2.1 ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΤΟΥ ΚΩΔΙΚΑ ELSA Στην γεωτεχνική μηχανική ανάλογα με τον τρόπο φόρτισης του εδάφους καθορίζεται και ο τρόπος υπολογισμού. Με βάση αυτήν την θεώρηση μπορούν να διακριθούν τρεις καταστάσεις φόρτισης: Σχήμα 2. Διακριτοποίηση επιφάνειας (τεχνολογία προ-επεξεργασίας) Fgure 2. Generaton mesh (Preprocessng technology) - Αστράγγιστες συνθήκες φόρτισης: ταχεία φόρτιση με ανάπτυξη της πίεσης του νερού των πόρων και μηδενική μεταβολή του όγκου (κρίσιμη κατάσταση σε αργίλους). - Μηχανισμός στερεοποίησης (σταδιακή εφαρμογή του φορτίου με ταυτόχρονη ανάπτυξη υπερπίεσης του νερού των πόρων και στην συνέχεια εκτόνωση αυτής της πίεσης). Η στερεοποίηση είναι άμεσα εξαρτώμενη από τον χρόνο και μπορεί να διαρκέσει για χρόνια. Εφαρμόζοντας στο σώμα την αρχή των δυνατών έργων, προκύπτει ότι οι εξισώσεις που περιγράφουν την στερεοποίηση στην περίπτωση των πεπερασμένων στοιχείων αποδηκνείεται ότι είναι οι ακόλουθες (Small et al. 1976): [ΚΜ G ]{Δd} ng +[C G ]{Δu w } ng ={ΔR G } Σχήμα 3. Καθορισμός συνοριακών συνθηκών και υλικών (τεχνολογία προ-επεξεργασίας). Fgure 3. Boundares condtons and materals (Pre-processng technology) [C G ] ({Δd} ng /Δt)-[KP G ]{Δu w } ng =0 (1) Όπου: 2

3 [ΚΜ G ]= ( K ) ( [ B] [ D ][ B] dvol) 1 E 1 vol (2) [Κ e ]= vol[ B ] [ D][ B] dvol είναι το μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου [C G ]= ( C E ) ( { m}[ B] [ ] dvol) 1 1 vol (3 ) {ΔR e }= vol[ ] { F}) dvol S [ ]{ } ds είναι το σύνολο των μαζικών και επιφανειακών φορτίων. {m}={ } (4) Όταν η επιβολή της φόρτισης γίνεται κάτω από αστράγγιστες συνθήκες ο τανυστής δυσκαμψίας του υλικού είναι ίσος με: [ KP G ] ( vol [ E] [ K][ E] dvol ) 1 kx 0 [ K ] 0 ky (5) (6) [D]=[D ]+[Dw] (9) όπου [D ] είναι ο τανυστής δυσκαμψίας του υλικού συναρτήσει των ενεργών τιμών των παραμέτρων δυσκαμψίας. [D w ] είναι ο τανυστής δυσκαμψίας του νερού [ E] x y (7) 2.2 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΤΩΝ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΑΣΕΩΝ [Ν] ο πίνακας των συναρτήσεων παρεμβολής του στοιχείου [Β] ό πίνακας παραμορφώσεων μετακινήσεων. [D] είναι ο τανυστής δυσκαμψίας του υλικού kχ, ky οι διαπερατότητες κατά την διεύθυνση χ και y αντίστοιχα {Δd} ng το διάνυσμα των μετακινήσεων {Δu w } ng το διάνυσμα της πίεσης του νερού των πόρων Δt: είναι το χρονικό βήμα υπολογισμού [ ([ ] { F}) dvol) 1 vol (8) {ΔR G }= ( [ ]{ } ds) ] S - Στραγγιζόμενες συνθήκες φόρτισης : φόρτιση δίχως ανάπτυξη πίεσης του νερού των πόρων (κρίσιμη κατάσταση σε άμμους). Στην περίπτωση των στραγγιζόμενων συνθηκών φόρτισης ο υπολογισμός γίνεται με την επίλυση του συστήματος: 1 [ K ]({ d} ) e n 1 { R } e (9) Το φορτίο βαρύτητας υπολογίζεται από την ακόλουθη σχέση: {F gravty }=Σγ e Ve [Ν Τ ]dv e (10) Όπου: [Ν Τ ]: είναι ο ανάστροφος του πίνακα των συναρτήσεων παρεμβολής του στοιχείου. γ e : είναι το ειδικό βάρος του κάθε στοιχείου. Για Το φορτίο βαρύτητας υπάρχει η δυνατότητα είτε να επιβάλλεται ανεξάρτητα από τον χρόνο είτε αυτό να προσάγεται εξαρτώμενα με τον χρόνο στον αλγόριθμο els (c)a. 2.3 ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΛΑΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟ- ΡΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΔΙΚΑΣΊΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Για τον διαχωρισμό της ελαστικής συμπεριφοράς του υλικού από την πλαστική στην παρούσα εργασία χρησιμοποιήθηκε το κριτήριο διαρροής Mohr-Coulomb (f({σ }). Οι όπου: 3

4 πλαστικές παραμορφώσεις υπολογίζονται από ένα μη συζευγμένο κανόνα ροής ο οποίος καθορίζεται από την συνάρτηση πλαστικού δυναμικού Q({σ }) (Potts D.& Zdravkovc L, 1999). Για την σύγκλιση της μη γραμμικότητας εξαιτίας της πλαστικής συμπεριφοράς του υλικού χρησιμοποιήθηκε η τροποποιημένη μέθοδος ewton Raphson όπως αυτή περιγράφεται από τους Zenkewcz & aylor (1991). 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ Για τον αριθμητικό έλεγχο του κώδικα πεπερασμένων στοιχείων χρησιμοποιήθηκαν είτε γνωστές κλειστές όπου αυτές ήταν διαθέσιμες είτε ο γνωστός και αποδεκτός κώδικας πεπερασμένων στοιχείων Plaxs. Έτσι οι έλεγχοι που πραγματοποιήθηκαν ήταν οι ακόλουθοι: 1. Έλεγχος ακρίβειας φορτίου βαρύτητας και υπολογισμός αρχικού πεδίου τάσεων 2. Έλεγχος αλγόριθμου συζευγμένης στερεοποίησης στην περίπτωση ελαστικού εδάφους 3. Ελαστο-πλαστικός υπολογισμός επιφανειακής θεμελίωσης σε στραγγιζόμενες και αστράγγιστες συνθήκες φόρτισης 3.1 ΈΛΕΓΧΟΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΦΟΡΤΙΟΥ ΒΑΡΥ- ΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΤΑΣΕΩΝ Για τον έλεγχο της ακρίβειας των υπολογισμών του φορτίου βαρύτητας καθώς επίσης και του υπολογισμού του αρχικού πεδίου τάσεων σε πρόβλημα τυχαίας γεωμετρίας εξετάσθηκε η περίπτωση του σχήματος 5. Το πρόβλημα επιλύθηκε τόσο με τον κώδικα όσο και με το πρόγραμμα Plaxs σε δύο στάδια. Κατά το πρώτο στάδιο το έδαφος Α φορτίζεται με το ίδιο του το βάρος και οι προκαλούμενες τάσεις οι οποίες αποτελούν το αρχικό τασικό πεδίο συγκρίνονται στο Σχήμα 6 με την κλασική τριγωνική κατανομή των τάσεων βάθος*βάρος. Στην συνέχεια το έδαφος Α φορτίζεται από το φορτίο βαρύτητας που προκαλείται από το έδαφος Β και οι προκαλούμενες καθιζήσεις στην επιφάνεια του δεύτερου υπολογίζονται από τον κώδικα ίσες με 0.626μ ενώ με το Plaxs ίσες με Σχήμα 5. Πλέγμα πεπερασμένων στοιχείων για τον υπολογισμό του φορτίου βαρύτητας Fgure 5. Fnte elements mesh for the gravty load calculaton βάθος(m) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5-120,0-100,0-80,0-60,0-40,0-20,0 0,0 5,σy,σχ Αρχικό πεδίο τάσεων (Kpa) γ*z κο*γ*z κατακόρυφη αρχική τάση οριζόντια αρχική τάση Σχήμα 6. Προκαλούμενες κατακόρυφες και οριζόντιες αρχικές τάσεις Fgure 6. Resulted ntal vertcal and horzontal stresses 3.2 ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΣΥΖΕΥΓΜΕΝΗΣ ΣΤΕΡΕΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΕΛΑΣΤΙΚΟΥ ΕΔΑΦΟΥΣ Ο έλεγχος που γίνεται αφορά την σύγκριση των αποτελεσμάτων του ELS(C)A με τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται από τους Schffman et al. (1969) για την περίπτωση μονοδιάστατης στερεοποίησης. 4

5 Στον έλεγχο αυτό πραγματοποιήθηκε η επίλυση του προβλήματος φόρτισης θεμελίου η οποία αυξάνει γραμμικά με τον χρόνο μέχρι τη στιγμή to και στην συνέχεια διατηρείται σταθερή. Για το πρόβλημα αυτό χρησιμοποιήθηκε το πλέγμα των πεπερασμένων στοιχείων του Σχήματος 7. Οι συνοριακές συνθήκες του προβλήματος είναι παρόμοιες με αυτές της δοκιμής της συσκευής του οιδημέτρου, πιο συγκεκριμένα οι πλευρικές στηρίξεις επιτρέπουν μόνο κατακόρυφες μετακινήσεις, ενώ οι στηρίξεις του πυθμένα δεν επιτρέπουν καμία μετακίνηση. Όσον αφορά τις πιέσεις του νερού των πόρων, η αποστράγγιση επιτρέπεται να γίνεται μόνο από τους πάνω επιφανειακούς κόμβους και επιτρέπεται η ανάπτυξη της πίεσης σε οποιοδήποτε άλλο κόμβο της γεωμετρίας. Στο διάγραμμα του Σχήματος 8 παρουσιάζεται η εξέλιξη της πίεσης του νερού των πόρων συναρτήσει του αδιάστατου συντελεστή του χρόνου Το. Στο σχήμα αυτό παρουσιάζονται οι επιλύσεις για δύο διαφορετικές τιμές του Το. Ο αδιάστατος αυτός συντελεστής του χρόνου είναι ίσος με: C vt o o (11) 2 H Σχήμα 7. Πλέγμα πεπερασμένων στοιχείων για τον αριθμητικό έλεγχο της συζευγμένης στερεοποίησης. Fgure 7. Fnte elements mesh of the coupled consoldaton numercal test. 1,20 1,00 (Schffman et al. (1969) όπου: Η: είναι η διαδρομή αποστράγγισης του νερού. Οι συνοριακές υδραυλικές συνθήκες του πλέγματος καθορίζουν την τιμή του Η=10m. Ο χρόνος to είναι ίσος με 10Δt. k Όπου C v ο συντελεστής στερεοποίησης mv του υλικού και k η διαπερατότητα του. (12) Πίεση του νερού των πόρων 0,80 0,60 0,40 o=0.1 o=0.5 m v (1 v )(1 2v ) ο συντελεστής συμπιε- (1 v ) 0,20 στότητας του υλικού. (13) Πίνακας 1. Παράμετροι υλικού αριθμητικού ελέγχου. able 1. Parameters of numercal test sol Ε (t/m 2 ) 1 v 0 k x (m/day) 1 k y (m/day) 1 Δt (day) 1 0,00 0,01 0, Συντελεστής χρόνου Σχήμα 8. Διάγραμμα της εξέλιξης της πίεσης του νερού των πόρων με τον χρόνο εξαιτίας της επιφανειακής θεμελίωσης (Schffman et al. (1969). Fgure 8. Dagram of pore pressure changes wth tme beneath the ramp loadng (Schffman et al. (1969). 5

6 3.3 ΕΛΑΣΤΟ-ΠΛΑΣΤΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΗΣ ΘΕΜΕΛΙΩΣΗΣ ΣΕ ΣΤΡΑΓΓΙΖΟΜΕΝΕΣ ΚΑΙ ΑΣΤΡΑΓΓΙΣΤΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΦΟΡΤΙΣΗΣ Η ακρίβεια των υπολογισμών του κώδικα πεπερασμένων στοιχείων σε εδάφη με ελαστο-πλαστική συμπεριφορά η οποία προσδιορίζεται από τον καταστατικό νόμο Μohr-Coulomb έγινε πραγματοποιώντας συγκρίσεις με τον κώδικα Plaxs. Για τις ανάγκες των συγκεκριμένων ελέγχων επιλύθηκε το πρόβλημα της επιφανειακής θεμελίωσης του Σχήματος 9 κάτω από στραγγιζόμενες και αστράγγιστες συνθήκες φόρτισης. Στην περίπτωση των στραγγιζόμενων συνθηκών φόρτισης πραγματοποιήθηκαν δύο παραμετρικές επιλύσεις μεταβάλλοντας στην πρώτη τον συντελεστή ωθήσεων σε ηρεμία (χαρακτηριστική παράμετρος του αρχικού πεδίου των τάσεων) ενώ στην δεύτερη την γωνία τριβής (χαρακτηριστική παράμετρος της επιφάνειας διαρροής). Στη επίλυση κάτω από αστράγγιστες συνθήκες φόρτισης η μεταβαλλόμενη παράμετρος ήταν η αστράγγιστη διατμητική αντοχή του υλικού. Οι παράμετροι του εδαφικού υλικού που εξετάσθηκε παρουσιάζονται στον πίνακα, ενώ τα αποτελέσματα φαίνονται στα Σχήματα 10,11,12. Πίνακας 2 Παράμετροι υλικού αριθμητικού ελέγχου. able 2. Parameters of numercal test sol Στραγγιζόμενες συνθήκες Input φόρτισης Φορτίο (kpa) 150 Αστράγγιστες συνθήκες φόρτισης 100 E (K/m 2 ) v 0,25 0,35 φ 18, 25 0 c /Cu (Kpa) 5 20, 35 ψ 0 0 γ(k/m3) ko 0.5, 1 1 Σχήμα 9. Πλέγμα πεπερασμένων στοιχείων ελαστο-πλαστικής ανάλυσης. Fgure 9. Fnte elements mesh of the elastoplastc analyss. Kαθιζήσεις(m) 0,02 0-0,02-0,04-0,06-0,08-0,1-0,12-0,14-0,16 ko=1 ko=0.5 plaxs Απόσταση από το κέντρο του θεμελίου(m) Σχήμα 10. Αποτελέσματα καθιζήσεων, Κο=0.5, Κο=1 (Στραγγιζόμενες συνθήκες φόρτισης). Fgure 10. Settlements results, Κο=0.5, Κο=1 (Draned condton). 6

7 Kαθιζήσεις(m) 0,02 0-0,02-0,04-0,06-0,08-0,1-0,12-0,14 φ=25 φ=18 plaxs Απόσταση από το κέντρο του θεμελίου(m) Σχήμα 11. Αποτελέσματα καθιζήσεων, φ=18, φ=25 (Στραγγιζόμενες συνθήκες φόρτισης). Fgure 11. Settlements results, φ=18, φ=25 (Draned condton). 4 ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΧΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Στην παρούσα παράγραφο εξετάζεται ένα δοκιμαστικό επίχωμα στην περιοχή της Θεσσαλονίκης. Το συγκεκριμένο επίχωμα κατασκευάστηκε μεταξύ των ποταμών Αξιού και Γαλλικού περίπου 20 km από την πόλη της Θεσσαλονίκης (σχήμα 13). Από ένα προκαταρτικό υπολογισμό που έλαβε χώρα ο συντελεστής ασφάλειας του επιχώματός είναι ίσος με 1.35 με κλίσεις πρανών 1:2 (σχήμα 14). Η στρωματογραφία του υπεδάφους αποτελείται από τέσσερις κυρίως στρώσεις οι οποίες περιγράφονται από την Δρ. Ξηροτήρη (1991): SOIL 1:CL-ML SOIL2: SM-ML SOIL3: CL-CH SOIL4: GC Στον πίνακα 3 δίνονται οι τιμές των υλικών. Kαθιζήσεις(m) 0,03 0,02 0,01 0-0,01-0,02-0,03-0,04 cu=35 cu=20 plaxs Για τους υπολογισμούς θεωρήθηκαν συνθήκες επίπεδης παραμόρφωσης και η κατασκευή του επιχώματος ολοκληρώθηκε μέσα σε διάστημα 70 ημερών. Κατά την επίλυση το χρονικό βήμα υπολογισμού ήταν ίσο με 0.3 ημέρας. Οι συνοριακές συνθήκες θεωρήθηκαν διαπερατές στον πυθμένα της γεωμετρίας (Σχήμα 15). Στο Σχήμα 16 γίνεται σύγκριση των μετρούμενων μετακινήσεων στο κέντρο του επιχώματος με τις αντίστοιχες που προέκυψαν από την ανάλυση με το πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων και πιο συγκεκριμένα με τον αλγόριθμο στερεοποίησης του προγράμματος (els(c)a). Από το τελευταίο διάγραμμα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το πρόβλημα μπορεί να προσομοιαστεί με μεγάλη ακρίβεια με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. -0,05-0, Απόσταση από το κέντρο του θεμελίου(m) Σχήμα 12. Αποτελέσματα καθιζήσεων, Cu=20, Cu=35 (Αστράγγιστες συνθήκες φόρτισης). Fgure 12. Settlements results, Cu=20, Cu=35 (Undraned condton). 7

8 0-0,1-0,2 measured, 6-node -0,3 καθίζηση(m) -0,4-0,5 Σχήμα 13. Κάτοψη της περιοχής Fgure 13. Plan vew from the observed area -0,6-0,7-0,8-0, χρόνος (ημέρες) Σχήμα 14. Κάτοψη του επιχώματος Fgure 14. Embankment plan vew Πίνακας 3. Παράμετροι του εδάφους able 3. Sol parameters Παράμετροι Sol 1 Sol 2 Sol 3 Sol 4 Κο γ (ΚΝ/m 3 ) E (kpa) V φ c (KPa) Ψ kx (m/sec) 9x10-8 3x10-4 4x10-8 3x10-4 ky (m/dsec) 9x10-8 3x10-4 4x10-8 3x10-4 Σχήμα 15. Πλέγμα πεπερασμένων στοιχείων Fgure 15. Fnte elements mesh Σχήμα 16. Εξέλιξη των καθιζήσεων με τον χρόνο στον κόμβο 132. Fgure 16. Progress of vertcal dsplacement at node 132. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα εργασία παρουσιάσθηκε ο νέος κώδικας πεπερασμένων στοιχείων. Από τους αριθμητικούς ελέγχους που εκτελέστηκαν παρουσιάστηκε η αναμενόμενη ακρίβεια των υπολογισμών. Τέλος από την επίλυση ενός πραγματικού έργου τα αποτελέσματα των υπολογισμών παρουσίασαν μεγάλη ακρίβεια με τα δεδομένα των μετρήσεων. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Small, J.C., Booker, J.R. and Davs, E.H. (1976) Elasto-Plastc Consoldaton f Sol Int.Jnl.Solds Struct12, pp Potts D. & Zdravkovc, L (1999). Fnte Element Analyss n Geotechncal Engneerng: Volume I- heory. Zenkewcz O.C and aylor R. (1991). Fnte element Method 4 th edton Volume 2. Schffmann, R.L., Chen, A..F.and Jordan, J.C. (1969) An Analyss of Consoldaton heores Proc.AmSoc.Cv.Engrs95, SM1, pp Xrotr, A. Embankment s foundaton analyss on soft sol (1991). Phd hess. Arstotle Unversty of hessalonk, Laboratory of Sol Mechancs and Foundatons Engneerng. 8