Released under a. Creative Commons. Attribute & Non-commercial

Transcript

1 3. ΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ «ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΡΥΦΟΡΙΚΗΣ ΓΕΩ ΑΙΣΙΑΣ»

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3.00 ΡΟΛΟΣ, ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΩΝ ΤΡΟΧΙΩΝ ΑΝΑΓΚΕΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΧΡΗΣΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΩΝ ΤΡΟΧΙΩΝ ΧΡΗΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΟΓΗ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΤΡΟΧΙΑΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΙΝΗΣΗ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ ΣΕ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΤΡΟΧΙΑ ΕΚΤΟΞΕΥΣΗ ΚΑΙ ΤΡΟΧΙΑΚΗ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ ΤΡΟΧΙΕΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ O 1 ος ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ KEPLER Ο 2 ος ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ KEPLER Ο 3 ος ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ KEPLER ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΤΡΟΧΙΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ KEPLER ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΘΕΣΗ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ ΕΠΙΓΕΙΟ ΙΧΝΟΣ ΤΗΣ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ ΤΟΠΟΚΕΝΤΡΙΚΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΑΣΚΟΥΜΕΝΕΣ ΕΛΚΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΠΑΡΕΛΞΕΙΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΤΡΙΤΟΓΕΝΕΙΣ ΠΛΑΝΗΤΙΚΕΣ ΕΠΙΔΡΑΣΕΙΣ ΗΛΙΑΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΚΑΙ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΙΚΗ ΤΡΙΒΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΚΠΕΜΠΟΜΕΝΗΣ ΤΡΟΧΙΑΚΗΣ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΣ ΤΩΝ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ GPS ΤΡΟΧΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΚΠΕΜΠΟΜΕΝΗΣ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΣ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ GPS ΜΗΚΟΣ ΑΝΙΟΝΤΟΣ ΔΕΣΜΟΥ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΟΡΥΦΟΡΟΥ ΤΡΟΧΙΑΚΕΣ ΕΦΗΜΕΡΙΔΕΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ 2

3 3.00 ΡΟΛΟΣ, ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΩΝ ΤΡΟΧΙΩΝ Η ακριβής γνώση της θέσης των δορυφόρων και η συνεχής παρακολούθηση της τροχιάς που ακολουθούν αυτοί κατά τη την κίνηση τους στο διάστημα αποτελεί απαραίτητο στοιχείο της αποστολής κάθε δορυφόρου. Στις επόμενες ενότητες εξετάζεται συγκεκριμένα ο ρόλος, οι διεργασίες υπολογισμού και η πρακτική χρήση των τροχιακών στοιχείων που εκπέμπονται από τους δορυφόρους και πως αυτά χρησιμοποιούνται στις διάφορες εφαρμογές της Δορυφορικής Γεωδαισίας. Για παράδειγμα, για τον εντοπισμό της θέσης ενός ή περισσοτέρων σταθερών ή κινητών σημείων, με τη βοήθεια παρατηρήσεων GPS, είναι απαραίτητη η όσο το δυνατόν πιο ακριβής γνώση της τροχιάς των χρησιμοποιουμένων δορυφόρων σε καθορισμένα χρονικά διαστήματα, που συνήθως περιλαμβάνουν τη χρονική περίοδο των συλλεγομένων μετρήσεων. Αλλά, εκτός από το στάδιο της επεξεργασίας των συλλεγομένων μετρήσεων, η γνώση της τροχιάς των δορυφόρων είναι επίσης απαραίτητη και σε άλλες σχετικές διεργασίες όπως, για παράδειγμα, για τον σχεδιασμό των εργασιών πεδίου, ως προς την επιλογή καταλλήλων δορυφόρων για την εκτέλεση μετρήσεων και το χρονικό διάστημα συλλογής αυτών, καθώς και σαν βοηθητική πληροφορία στους δέκτες για το γρήγορο εγκλωβισμό του σήματος των δορυφόρων. Στις τελευταίες περιπτώσεις, συνήθως αρκούν προσεγγιστικές τροχιές πολύ μικρότερης ακρίβειας, σε σχέση με τις τροχιές υψηλής ακριβείας που απαιτούνται στη περίπτωση της επεξεργασίας των μετρήσεων. Ο υπολογισμός των δορυφορικών τροχιών μπορεί να γίνει είτε γεωμετρικά (όταν οι διαδοχικές θέσεις του εκάστοτε δορυφόρου θεωρούνται άγνωστες και ανεξάρτητες η μία από την άλλη), είτε δυναμικά (όταν οι διαδοχικές θέσεις του εκάστοτε δορυφόρου θεωρείται ότι σχετίζονται μεταξύ τους με κάποιο συγκεκριμένο τρόπο, που καθορίζεται από καθαρά φυσικούς νόμους της ουράνιας μηχανικής και ιδιαίτερα από τις δυνάμεις που επιδρούν στη κίνηση του δορυφόρου στο διάστημα. Στη ιδανική περίπτωση, που ένας δορυφόρος κινείται γύρω από τη Γη και η τελευταία θεωρείται ότι έχει τελείως σφαιρικό σχήμα και δεν υπάρχει ατμόσφαιρα, η μορφή της τροχιάς ενός δορυφόρου εξαρτάται από τους τρεις νόμους του Kepler που περιγράφονται αναλυτικά στις επόμενες ενότητες, όπως επίσης περιγράφεται και ο τρόπος που επιτρέπει τον υπολογισμό των συντεταγμένων και της ταχύτητας του δορυφόρου στο Συμβατικό Γήινο Σύστημα αναφοράς χρησιμοποιώντας τα λεγόμενα Κεπλέρια στοιχεία (Kepler elements). Οι νόμοι του Kepler δεν λαμβάνουν υπόψη τις παρέλξεις, που προκαλούνται στη Κεπλέρια κίνηση ενός δορυφόρου εξ αιτίας του μη σφαιρικού σχήματος της Γης, τις έλξεις της Σελήνης και του Ήλιου, την ηλιακή ακτινοβολία, την ατμοσφαιρική τριβή και άλλες δυνάμεις που ασκούνται πάνω στο δορυφόρο κατά τη κίνησή του στο διάστημα. Οι επιδράσεις των παραπάνω διαταρακτικών φαινομένων εξετάζονται αναλυτικά στις επόμενες ενότητες και περιγράφεται συνοπτικά ο τρόπος αντιμετώπισης τους. Επίσης εξετάζονται οι διάφοροι μέθοδοι περιγραφής των τροχιών και, ιδιαίτερα στη περίπτωση των δορυφόρων GPS, η μορφή και το περιεχόμενο της εκπεμπόμενης τροχιακής εφημερίδας, που αποτελεί την πλέον κοινή πηγή πληροφορίας για τον προσδιορισμό της τροχιάς των δορυφόρων. Το πόσο πολύπλοκα είναι τα μοντέλα, που περιγράφουν τη κίνηση των δορυφόρων, εξαρτάται από την επιζητούμενη ακρίβεια και το μήκος του τόξου της τροχιάς που αντιστοιχεί στο χρονικό διάστημα των μετρήσεων. Γενικά τα εισερχόμενα σφάλματα προέρχονται από δύο κυρίως πηγές: (α) από τη χρήση μοντέλων που δεν είναι μεγάλης ακρίβειας και (β) από τις ανακρίβειες των μετρήσεων, που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό και τη μελλοντική πρόβλεψη των τροχιακών στοιχείων. Στη πράξη χρησιμοποιούνται συγκεκριμένες διαδικασίες βελτίωσης της τροχιάς των δορυφόρων και διάφορες εναλλακτικές πρακτικές τεχνικές, που εφαρμόζονται για τον υπολογισμό διορθωτικών παραμέτρων της εκάστοτε χρησιμοποιούμενης τροχιακής εφημερίδας, μαζί με τις άλλες κατηγορίες των 3 - ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ 3

4 σφαλμάτων που επηρεάζουν τις εκάστοτε δορυφορικές μετρήσεις ΑΝΑΓΚΕΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ Σε πολλές από τις γεωδαιτικές εφαρμογές, απαιτείται ακριβής γνώση της θέσης των χρησιμοποιούμενων δορυφόρων, κατά τη διάρκεια της περιόδου των παρατηρήσεων, ώστε η επεξεργασία των μετρήσεων να οδηγήσει σε ακριβή αποτελέσματα για την εκάστοτε εφαρμογή ενδιαφέροντος. Για παράδειγμα, στην περίπτωση του απόλυτου εντοπισμού, η ανάγκη αυτή είναι ιδιαίτερα έντονη, δεδομένου ότι οποιαδήποτε σφάλματα στη τροχιά των δορυφόρων μεταφράζονται σε αντίστοιχα σφάλματα στον υπολογισμό των αποστάσεων μεταξύ του παρατηρητή και των δορυφόρων που χρησιμοποιούνται, που Released ένα under a με τη σειρά τους επιδρούν, κατά συστηματικό τρόπο, στο υπολογιζόμενο στίγμα του παρατηρητή. Στη περίπτωση σχετικού εντοπισμού, τα οποιαδήποτε σφάλματα στη τροχιά των δορυφόρων, γενικά έχουν μικρότερη επίδραση στα τελικά αποτελέσματα προσδιορισμού της σχετικής θέσης μεταξύ σημείων στα οποία εκτελούνται ταυτόχρονα μετρήσεις, ιδιαίτερα όταν οι αποστάσεις μεταξύ των σημείων είναι σχετικά μικρές (<1000 km), σε σχέση με την απόσταση των δορυφόρων πάνω από τη Γη. Στη περίπτωση π.χ. των δορυφόρων GPS που είναι σε τροχιές km πάνω από τη Γη, οι ταυτόχρονες παρατηρήσεις, των ίδιων δορυφόρων GPS από δύο ή περισσότερους σταθμούς, επηρεάζονται κατά μεγάλο ποσοστό από τα ίδια σφάλματα που σχετίζονται με τους δορυφόρους (π.χ., τροχιακά σφάλματα, σφάλματα των χρονομέτρων, κ.ά.), τα οποία είναι δυνατόν με κατάλληλη επεξεργασία σχετικών «ψευδομετρήσεων» μεταξύ των σταθμών να ελαττωθούν ή να εξαλειφθούν τελείως. Η προσεγγιστική εξίσωση που συνδέει το σφάλμα dβ, που εισάγεται στο προσδιορισμό ενός διανύσματος Β, που εκφράζει τη σχετική θέση μεταξύ δύο σταθμών και οφείλεται στα σφάλματα της τροχιάς των δορυφόρων, μπορεί να εκφραστεί από τη σχέση: dβ Σe i j ρi j = Β Σdr j j όπου ρ i είναι η απόσταση μεταξύ του δέκτη j " i " και του δορυφόρου " j ", e i είναι το αντίστοιχο μοναδιαίο διάνυσμα και dr j είναι το σφάλμα στο γεωκεντρικό διάνυσμα του δορυφόρου, που οφείλεται στα τροχιακά σφάλματα, και Σ δηλώνει το άθροισμά των τριών διανυσματικών συνιστωσών. Είναι φανερό ότι το μέγεθος του τελικού σφάλματος dβ είναι συνάρτηση, όχι μόνο j j του μεγέθους των διανυσμάτων e i ρi, Β και dr j, αλλά και της διεύθυνσης τους. Πρακτικά ο τελικός προσδιορισμός του σχετικού διανύσματος Β στηρίζεται σε πολλές παρατηρήσεις από πολλούς δορυφόρους σε ένα χρονικό διάστημα και συνεπώς επηρεάζεται από τα αντίστοιχα σφάλματα dr j όλων των δορυφόρων που χρησιμοποιούνται, των οποίων οι τροχιές έχουν διαφορετικό προσανατολισμό μεταξύ τους και σε σχέση με την εκάστοτε βάση Β. Ο γενικός κανόνας είναι ότι, στη χειρότερη περίπτωση, το σφάλμα dβ μπορεί να εκφραστεί από τη σχέση: dβ / Β = dr / ρ. Η σχέση αυτή είναι εμπειρική και εκφράζει μία γεωμετρική προσέγγιση, χωρίς να λαμβάνει υπόψη τον προσανατολισμό της βάσης Β σε σχέση με τη τροχιά των δορυφόρων, αλλά αποτελεί μία συντηρητική 3 - ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ 4

5 εκτίμηση των αναμενόμενων σφαλμάτων. Για παράδειγμα, αν επιδιώκεται μία σχετική ακρίβεια της τάξης ± 1 ppm και οι τροχιακές εφημερίδες, που πρόκειται να χρησιμοποιηθούν για την επεξεργασία των μετρήσεων, περιέχουν σφάλματα της τάξης ±20 m, το αναμενόμενο μέγιστο σφάλμα dβ, για βάσεις Β μήκους 10, 100 και 1000 km, θα είναι αντίστοιχα 1, 10 και 100 cm. Ανάλογα για να επιτύχουμε μία σχετική ακρίβεια ±0.1 ppm στις ίδιες βάσεις, δηλαδή το αναμενόμενο μέγιστο σφάλμα dβ για βάσεις μήκους 10, 100 και 1000 km, να είναι αντίστοιχα 0.1, 1 και 10 cm, χρειάζεται το σφάλμα της τροχιάς των δορυφόρων να μην υπερβαίνει τα ± 2 m ΧΡΗΣΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΩΝ ΤΡΟΧΙΩΝ Σε πολλές εφαρμογές της Δορυφορικής Γεωδαισίας υπάρχουν περιπτώσεις που δεν είναι απαραίτητη η χρήση τροχιακών δεδομένων υψηλής ακριβείας και μπορούν να χρησιμοποιηθούν τροχιακά στοιχεία, τα οποία επιτρέπουν τον υπολογισμό της θέσης των δορυφόρων κατά προσέγγιση μέχρι και μερικών δεκάδων χιλιομέτρων. Τυπικές πηγές προσεγγιστικών τροχιακών στοιχείων είναι συνήθως: (i) για τους δορυφόρους GPS τα τροχιακά στοιχεία που περιλαμβάνονται στο Πλαίσιο 5 (satellite almanac) της εφημερίδας που εκπέμπεται, και (ii) τροχιακά στοιχεία των κυριοτέρων γεωδαιτικών και άλλων δορυφόρων (π.χ., GPS, GLONASS, LAGEOS Ι, LAGEOS II, TOPEX, ERS-1, κ.ά.) που μπορεί να ληφθούν από το Διαδίκτυο. Οι αντίστοιχες πληροφορίες παρέχονται στη μορφή που χρησιμοποιεί η NASA (τα λεγόμενα 2-Line NASA elements) και στη μορφή απλής λίστας στοιχείων Kepler. Παραδείγματα χρήσης τέτοιων προσεγγιστικών τροχιακών στοιχείων αφορούν τυπικές ανάγκες όπως, για παράδειγμα στη περίπτωση εφαρμογών GPS: Σχεδιασμό και επιλογή της χρονικής περιόδου εκτέλεσης των παρατηρήσεων GPS στο πεδίο. Σήμερα, που ο δορυφορικός σχηματισμός είναι πλήρης, ο αριθμός των δορυφόρων που είναι κάθε στιγμή, ταυτόχρονα ορατοί από οποιοδήποτε σημείο της Γης κυμαίνεται, μεταξύ έξι και δέκα. Ως εκ τούτου, οι χρήστες που απαιτούν μεγάλες ακρίβειες από το GPS, χρησιμοποιούν συνήθως δέκτες που έχουν πολλά κανάλια (συνήθως περισσότερα από τέσσερα) και μπορούν να παρακολουθούν όλους τους ορατούς δορυφόρους ταυτόχρονα. Στη περίπτωση αυτή είναι αρκετό να εκτελεστούν μετρήσεις GPS στο πεδίο σε οποιοδήποτε χρονικό διάστημα της μέρας, αδιάκριτα από πόσοι και ποίοι δορυφόροι είναι διαθέσιμοι κάθε φορά. Ωστόσο όταν, για παράδειγμα, πρόκειται να χρησιμοποιηθούν δέκτες με περιορισμένες δυνατότητες ως προς την ικανότητα τους να παρακολουθούν και να λαμβάνουν ταυτόχρονα το σήμα από όλους τους ορατούς δορυφόρους, είναι συνήθως επιθυμητό και απαραίτητο να προκαθοριστεί εκ των προτέρων: (α) η συγκεκριμένη χρονική περίοδος κατά τη διάρκεια της μέρας, που προσφέρει ευνοϊκή γεωμετρία συγκεκριμένων δορυφόρων από τα εκάστοτε σημεία, όπου ενδιαφερόμαστε να εκτελέσουμε μετρήσεις, και (β) οι συγκεκριμένοι δορυφόροι που ικανοποιούν προκαθορισμένα κριτήρια επιλογής (π.χ., κατάλληλη γεωμετρική κατανομή, ως προς το αζιμούθιο και τη γωνία ύψους τους σε σχέση με τον εκάστοτε σταθμό) και επιθυμητά επίπεδα γεωμετρικής ισχύος. Στη περίπτωση αυτή ο χρόνος αναφοράς των προσεγγιστικών τροχιακών στοιχείων, που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τους αναγκαίους σχεδιασμούς, αρκεί να μην υπερβαίνει τις μερικές μέρες ή ακόμα και μερικές βδομάδες από τη χρονική 3 - ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ 5

6 περίοδο ενδιαφέροντος για την εκτέλεση των μετρήσεων. Σχεδιασμό ταυτοχρόνων παρατηρήσεων δορυφόρων αμοιβαία ορατών από διαφόρους σταθμούς ενδιαφέροντος. Η εν λόγω ανάγκη είναι ουσιαστικά επέκταση της προηγούμενης περίπτωσης, με μόνη διαφορά ότι ενδιαφερόμαστε κυρίως για τον προσδιορισμό της χρονικής περιόδου, που συγκεκριμένοι δορυφόροι είναι αμοιβαία ορατοί από διάφορους σταθμούς ενδιαφέροντος, ώστε να είναι δυνατή η ταυτόχρονη εκτέλεση μετρήσεων GPS, για εφαρμογές σχετικού εντοπισμού μεταξύ σημείων σε μη πραγματικό χρόνο ή εφαρμογές διαφορικής λειτουργίας του GPS σε πραγματικό χρόνο. Εγκλωβισμό και λήψη του σήματος των δορυφόρων από τους δέκτες GPS. Οι δέκτες GPS, κατά την έναρξη της διεργασίας λήψης των δορυφορικών σημάτων χρειάζονται προσεγγιστικά τροχιακά στοιχεία, τα οποία τους επιτρέπουν να υπολογίσουν την αναμενόμενη επίδραση του φαινομένου Doppler για το σήμα κάθε δορυφόρου, να εγκλωβίσουν γρηγορότερα το επερχόμενο σήμα και, κατά συνέπεια, να αρχίσουν μετρήσεις χωρίς τυχόν καθυστερήσεις, που συνεπάγονται στην περίπτωση έλλειψης οποιασδήποτε γνώσης της θέσης των δορυφόρων της γνωστής σαν κατάσταση «ψυχρής εκκίνησης» (cold start) ΧΡΗΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΟΓΗ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ Σε πολλές περιπτώσεις, όπως στις εφαρμογές στιγμιαίου απόλυτου εντοπισμού ενός σημείου, απαιτείται η χρήση ταυτοχρόνων παρατηρήσεων GPS από τέσσερις τουλάχιστον δορυφόρους, ώστε να είναι δυνατός ο υπολογισμός των τριών συντεταγμένων (Χ, Υ, Ζ) του σημείου και της απόκλισης του χρονομέτρου του δέκτη, ως προς τη χρονική κλίμακα του συστήματος GPS. Ένας από τους σημαντικούς παράγοντες, που επηρεάζουν την εφικτή ακρίβεια του υπολογιζόμενου στίγματος, είναι η σχετική γεωμετρία των χρησιμοποιουμένων δορυφόρων σε σχέση με το προς προσδιορισμό σημείο, γεγονός που οδηγεί στην εξής εύλογη ερώτηση: με ποίο τρόπο μπορούν να επιλεγούν οι τέσσερις γεωμετρικά καλύτεροι δορυφόροι; Προφανώς, το καταλληλότερο κριτήριο είναι εκείνο που οδηγεί στη μεγαλύτερη εφικτή ακρίβεια του υπολογιζόμενου στίγματος ενός σημείου. Από θεωρητική άποψη, αλλά και από πρακτική εμπειρία, έχει θεμελιωθεί ότι η ιδανική περίπτωση γεωμετρίας συμβαίνει όταν οι τέσσερις επιλεγόμενοι δορυφόροι και το σημείο ενδιαφέροντος σχηματίζουν ένα κανονικό τετράεδρο στο χώρο και σε τέτοια διάταξη, ώστε ο ένας δορυφόρος να είναι κατευθείαν κατακόρυφα πάνω από την τοποθεσία του δέκτη του χρήστη και οι άλλοι τρεις δορυφόροι να είναι μεταξύ τους κατά 120 ομοιόμορφα κατανεμημένοι στον ορίζοντα του δέκτη και να βρίσκονται όσο το δυνατόν σε χαμηλότερες γωνίες ύψους. Προφανώς η ιδανική αυτή διάταξη δεν συμβαίνει πάντοτε και σαν αποτέλεσμα, σε μία οποιαδήποτε χρονική στιγμή, από τους εκάστοτε ορατούς δορυφόρους, σαν «γεωμετρικά καλύτεροι», επιλέγονται εκείνοι, των οποίων η σχετική διάταξη στο χώρο και ως προς το παρατηρητή πλησιάζει την γεωμετρία του ιδανικού τετραέδρου. Ωστόσο κατά τη διάρκεια μίας χρονικής περιόδου μετρήσεων, η γεωμετρία των δορυφόρων αλλάζει συνεχώς και κατά συνέπεια αλλάζει και το σχήμα του παραπάνω τετραέδρου. Σαν αποτέλεσμα, η κοινή στρατηγική είναι να επιλέξει κανείς μια διαφορετική τετράδα δορυφόρων, όταν το σχήμα του τετραέδρου των χρησιμοποιούμενων δορυφόρων δεν ανταποκρίνεται πλέον στην επιθυμητή γεωμετρία του ιδανικού τετραέδρου. Κάτι τέτοιο συμβαίνει γεωμετρικά, όταν το σχηματιζόμενο τετράεδρο αρχίζει και παίρνει μια πεπλατυσμένη μορφή, δηλαδή όταν και οι τέσσερις δορυφόροι τείνουν να βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο στο χώρο. Αν θεωρήσουμε μια μοναδιαία σφαίρα με κέντρο τον παρατηρητή, είναι εύκολο να αποδειχθεί μαθηματικά ότι ο όγκος του τετραέδρου που σχηματίζεται από τα διανύσματα από τον δέκτη προς τους τέσσερις δορυφόρους σχετίζεται με τον δείκτη PDOP με τη σχέση: PDOP 1/V. Ο δείκτης PDOP (γνωστός σαν δείκτης τρισδιάστατης γεωμετρικής ισχύος ή Position Dilution Of Precision factor) είναι ένα μέτρο ενδεικτικό της γεωμετρικής ισχύος των τεσσάρων δορυφόρων και είναι 3 - ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ 6

7 ένας από μια σειρά από αντιπροσωπευτικούς παρόμοιους αριθμητικούς δείκτες, που είναι γνωστοί σαν δείκτες γεωμετρικής ισχύος (Dilution Of Precision factors) και χρησιμοποιούνται στη πράξη για να δηλώσουν τη συνεισφορά της εκάστοτε γεωμετρίας των δορυφόρων στον προσδιορισμό θέσης και χρόνου. Γενικά, όσο μικρότερος είναι ο δείκτης PDOP, τόσο μικρότερη είναι η ευαισθησία της αβεβαιότητας εντοπισμού GPS, σε συνάρτηση με τη εκάστοτε γεωμετρία δορυφόρων-δέκτη. Πρακτικά για μια συγκεκριμένη τοποθεσία και μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, η τετράδα των δορυφόρων που αντιστοιχεί στο τετράεδρο με τον μεγαλύτερο όγκο υλοποιεί τη γεωμετρία με το μικρότερο PDOP και συνεπώς αποτελεί την «ιδανική» επιλογή, σε σχέση με οποιοδήποτε άλλο συνδυασμό τεσσάρων δορυφόρων μεταξύ των εκάστοτε ορατών δορυφόρων. Γενικά έχοντας πρόσβαση ακόμα και σε κάποιες προσεγγιστικές τροχιές των δορυφόρων, η μαθηματική διαδικασία για τον υπολογισμό του όγκου V (και συνεπώς του δείκτη PDOP) είναι σχετικά τόσο απλή, ώστε συνήθως αποτελεί μέρος των ενδογενών αλγορίθμων, που χρησιμοποιούνται από τους δέκτες GPS για τη επιλογή των καταλλήλων δορυφόρων και τη λήψη του σήματος τους ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΤΡΟΧΙΑΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Η βαρύτητα είναι η δύναμη που εκφράζει την αμοιβαία έλξη μεταξύ οποιωνδήποτε αντικειμένων στον κόσμο μας. Η επίδρασή της μειώνεται αναλογικά ως προς την απόσταση μεταξύ των ελκυόμενων σωμάτων, ωστόσο ισχύει, ως ένα ορισμένο βαθμό, ανεξάρτητα από τα μεγέθη των μαζών τους ή της μεταξύ τους απόστασης. Οι έννοιες που συνδέονται, με τη τροχιακή κίνηση των δορυφόρων, διατυπώθηκαν ήδη από το 16 ο αιώνα από τον Johannes Kepler ( ). Ο Kepler απετέλεσε βοηθός του Δανού αστρονόμου Tycho Brahe ( ), του οποίου η συνεισφορά στην αστρονομία θεωρείται η πλέον σημαντική εξ αιτίας των ακριβέστερων οργάνων που κατασκεύασε, πριν από την επινόηση των τηλεσκοπίων, και του όγκου των υψηλής ακρίβειας παρατηρήσεων της κίνησης των πλανητών που εκτέλεσε στην εποχή του. Βασισμένος στην ανάλυση των εκτενών στοιχείων του Brahe που αφορούσαν τον πλανήτη Άρη, ο Kepler μπόρεσε να διατυπώσει τη σωστή θεωρία του ηλιακού συστήματος και τους βασικούς νόμους της πλανητικής κίνησης καταδεικνύοντας ότι η τροχιά του Άρη δεν ήταν ένας κύκλος αλλά μια έλλειψη. Ωστόσο το σημαντικό βήμα της σύνθεσης των αρχών της δυναμικής και της 3 - ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ 7

8 αστρονομίας ολοκληρώθηκαν από τον Newton ( ), που εξήγησε γιατί ισχύουν οι νόμοι του Kepler για την πλανητική κίνηση, αποδεικνύοντας ότι μπορούν να προέλθουν από το παγκόσμιο νόμο της βαρύτητας. Επιπλέον, οι νόμοι της κίνησης του Newton παρέχουν διορθώσεις στους νόμους του Kepler που επαληθεύονται από παρατηρήσεις, και ο νόμος της βαρύτητας αποδεικνύεται ότι περιγράφει τις κινήσεις όλων των αντικειμένων στο διάστημα, όχι μόνο των πλανητών. Κατά συνέπεια, οι νόμοι του Kepler και οι νόμοι του Newton συνολικά υπονοούν ότι η δύναμη που κρατά τους πλανήτες (ή οποιαδήποτε άλλα σώματα) στις τροχιές τους στο διάστημα είναι ακριβώς η δύναμης της βαρύτητας, και η κίνηση τους ακολουθεί τους ίδιους νόμους με εκείνους που ακολουθούν τα αντικείμενα στην επιφάνεια της Γης! Οι ελλειπτικές τροχιές δεν είναι η μόνη πιθανή μορφή κίνησης σε ένα πεδίο βαρύτητας. Σύμφωνα με την ανάλυση του Παραδείγματα τροχιακών κινήσεων στο πεδίο βαρύτητας υπάρχουν για όλες τις παραπάνω μορφές κωνικών καμπυλών. Σε κάθε περίπτωση, ο καθοριστικός παράγοντας που επηρεάζει τη μορφή της τροχιάς είναι η σχετική ταχύτητα του εκάστοτε αντικειμένου στην τροχιά του. Για παράδειγμα: Newton, οι πιθανές τροχιές σε ένα πεδίο βαρύτητας μπορούν να πάρουν τη μορφή σχημάτων που είναι γνωστά ως κωνικές τομές (conic sections), δεδομένου ότι μπορούν να ληφθούν από την τομή ενός επιπέδου με το ένα ή τα δύο τμήματα ενός διπλού κώνου. Για ένα επίπεδο κάθετα στον άξονα του κώνου παράγεται ένας κύκλος. Για ένα επίπεδο που δεν είναι κάθετο στον άξονα και που τέμνει μόνο ένα ενιαίο τμήμα του κώνου, η καμπύλη είναι είτε έλλειψη είτε παραβολή (parabola). Η καμπύλη που παράγεται με ένα επίπεδο που κόβει και τα δύο τμήματα του κώνου είναι υπερβολή (hyperbola). Οι ελλείψεις και οι παραβολές είναι γνωστές ως κεντρικές κωνικές καμπύλες. Στη περίπτωση της τροχιακής κίνησης φυσικών ή τεχνητών δορυφόρων, τροχιές που έχουν το σχήμα παραβολής ή υπερβολής αποκαλούνται ανοικτές τροχιές σε αντίθεση με τις ελλειπτικές τροχιές που αποκαλούνται κλειστές τροχιές. Οι πλανήτες, οι δευτερεύοντες πλανήτες, οι κομήτες, και τα διπλά αστέρια (binary stars) έχουν γενικά ελλειπτικές τροχιές, δεδομένου ότι η ταχύτητα τους στην τροχιά είναι πάντοτε λιγότερη από αυτή που απαιτείται για να ξεφύγουν από τη βαρύτητα του επιδρόντος σώματος γύρω από το οποίο περιστρέφονται. Οι τροχιές μερικών από τους πλανήτες (π.χ., της Αφροδίτης) είναι σχεδόν κύκλοι. Μερικοί κομήτες έχουν παραβολικές τροχιές, που πρακτικά σημαίνει ότι περνούν τον Ήλιο μια φορά και μετά εγκαταλείπουν το ηλιακό σύστημα. Άλλοι κομήτες έχουν ελλειπτικές τροχιές και περιστρέφονται γύρω από τον Ήλιο με συγκεκριμένες περιόδους. Η αλληλεπίδραση της βαρύτητας μεταξύ δύο αστέρων γενικά οδηγεί γενικά σε υπερβολικές τροχιές. Στη περίπτωση των τεχνητών δορυφόρων, ανάλογα με την κινητική ενέργεια του δορυφόρου όταν τοποθετείται σε τροχιά, είναι δυνατόν η τελική τροχιά του να είναι οποιασδήποτε μορφής από τους 3 - ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ 8

9 τέσσερις παραπάνω τύπους κωνικών καμπυλών. Ένα κωνικό τομή μπορεί να οριστεί τυπικότερα ως ο γεωμετρικός τόπος ενός σημείου P που κινείται στο επίπεδο ενός σταθερού σημείου F, που αποκαλείται εστία, και μιας σταθερής γραμμής L, την αποκαλούμενη διευθύνουσα (directrix), που δεν διέρχεται από το F, έτσι ώστε η αναλογία της απόστασης του P από το F και της κάθετης απόστασή του F από τη γραμμή L είναι σταθερή. Η εν λόγω αναλογία είναι γνωστή ως εκκεντρότητα e και αποτελεί τον καθοριστικό παράγοντα της μορφής μιας τροχιάς. Εάν e = 0, η τροχιά είναι ένας κύκλος, εάν 0 < e < 1 είναι μια έλλειψη, εάν e = 1 είναι παραβολή, και εάν e > 1 είναι υπερβολή. Κωνική καμπύλη Έλλειψη Παραβολή Υπερβολή e, a, c p(a,b) p(a,c) p(a,e) 0<e<1 a > 0 c > 0 e = 1 a = Released c = under a e > 1 a < c Σε πολικές συντεταγμένες [r, θ], όπου η αρχή των συντεταγμένων (πόλος) συμπίπτει με την εστία της κωνικής καμπύλης, η εξίσωση της κωνικής καμπύλης μιας τροχιάς εκφράζεται από τη γενική σχέση r = e p / (1 ± e cosθ) ή r = e p / (1 ± e sinθ) όπου η απόσταση p από την εστία στην γραμμή L καλείται εστιακή παράμετρος και λαμβάνει, ανάλογα με την μορφή της συγκεκριμένης κωνικής καμπύλης, διάφορες τιμές, ως συνάρτηση μεταξύ των ημιαξόνων a και b, της απόστασης c από την αρχή των b 2 / (a 2 b 2 ) (a 2 c 2 )/c a (1 e 2 ) / e 2a 2a 2a b 2 / (a 2 + b 2 ) (a 2 c 2 )/c a (1 e 2 ) / e συντεταγμένων και την εστία της κωνικής, και της εκκεντρότητας e. Η πρώτη σχέση ισχύει στην περίπτωση που η διευθύνουσα L είναι κατακόρυφη και p μονάδες δεξιά (+) ή αριστερά (-) της εστίας της κωνικής και ο κύριος άξονας της κωνικής είναι οριζόντιος (δηλ. κατά μήκος της γραμμής όπου θ = 0 ο ). Η δεύτερη σχέση ισχύει στην περίπτωση που η γραμμή L είναι οριζόντια και p μονάδες από πάνω (+) ή από κάτω (-) της εστίας της κωνικής και ο κύριος άξονας της κωνικής είναι κατακόρυφος (δηλ. κατά μήκος της γραμμής όπου θ = 90 ο ) ΚΙΝΗΣΗ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ ΣΕ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΤΡΟΧΙΑ Η κίνηση ενός τεχνητού δορυφόρου γύρω από τη Γη εκφράζεται από μια πολύπλοκη τροχιά, που υπακούει και υπολογίζεται από τους νόμους της ουράνιας μηχανικής. Γενικά, η κίνηση του δορυφόρου μπορεί να μελετηθεί ευκολότερα κάνοντας τη παραδοχή ότι ο δορυφόρος κινείται σε μια κανονική τροχιά γύρω από μια ιδανική Γη, όπου ισχύουν οι εξής υποθέσεις: Η Γη είναι τελείως σφαιρική και η μάζα της είναι συγκεντρωμένη στο κέντρο της Ο δορυφόρος θεωρείται ότι έχει αμελητέα μάζα (σε σχέση με τη μάζα της Γης) Δεν υπάρχει ατμόσφαιρα και ο δορυφόρος κινείται στο κενό Δεν υπάρχουν διαταρακτικές δυνάμεις ασκούμενες στο δορυφόρο, οι οποίες οφείλονται στην επίδραση του Ηλίου, της Σελήνης ή των πλανητών, καθώς και 3 - ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ 9

10 οποιασδήποτε άλλης μορφής ακτινοβολίες. (=6.672x10-11 m 3 kg -1 sec -2 ). Αν θεωρήσουμε την ελκυόμενη μάζα του δορυφόρου ίση με τη μονάδα, έχουμε F = G Μ r 2, και περαιτέρω αν θεωρήσουμε τη δύναμη F σαν διάνυσμα με μέτρο F σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Χ, Υ, Ζ, τότε η δύναμη F μπορεί να αναλυθεί στις τρεις συνιστώσες F x, F y, F z. Μπορεί να αποδειχθεί ότι υπάρχει μια συνάρτηση V = G Μ r που καλείται δυναμικό έλξης, η οποία είναι τέτοια ώστε οι συνιστώσες F x, F y, F z δίνονται από τις σχέσεις: F x = V/ Χ, F y = V/ Υ, F z = V/ Ζ. Στην περίπτωση αυτή, αν ένας δορυφόρος θεωρηθεί ότι ξεκινάει την κίνηση του από ένα σημείο του χώρου με συντεταγμένες Χ, Υ, Ζ και με αρχική ταχύτητα υ x, υ y, υ z, η τροχιά του θα καθοριστεί από τις δυνάμεις που επιδρούν πάνω του. Η σημαντικότερη τέτοια δύναμη είναι εκείνη που ασκείται από την έλξη της μάζας της Γης, που σύμφωνα με τον νόμο του Newton εκφράζεται από τη σχέση: F = G Μ m r 2 όπου F είναι η ασκούμενη ελκτική δύναμη, Μ είναι η μάζα της Γης, m είναι η μάζα του δορυφόρου, r είναι η απόσταση του δορυφόρου από το κέντρο της Γης και G είναι η παγκόσμια σταθερά της βαρύτητας Η σημαντικότερη πρακτική συνέπεια του νόμου του Newton είναι ότι η ελκτική δύναμη δεν μηδενίζεται ποτέ. Δηλαδή, άσχετα από το πόσο μακριά από τη Γη μπορεί να κινείται ένας δορυφόρος, η ελκτική δύναμη της Γης θα έχει μια επίδραση στη κίνηση του, άσχετα αν μπορεί ακόμα να είναι και μικρότερου μεγέθους από τις αντίστοιχες ελκτικές δυνάμεις των άλλων πλανητών. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η αρχική παραδοχή, ότι η κίνηση ενός δορυφόρου λαμβάνει χώρα στο πεδίο της κεντρικής δύναμης της Γης, ικανοποιεί κατά μεγάλο ποσοστό την πραγματικότητα. Η μεγαλύτερη απόκλιση στη κίνηση του δορυφόρου από την εν λόγω «ιδανική» τροχιά του προέρχεται από την επιπλάτυνση της Γης, της οποίας το δυναμικό έλξης (και συνεπώς η ελκτική δύναμη που προκαλεί) είναι πολύ μικρότερο (κατά τρεις περίπου τάξεις μεγέθους) από εκείνο της σφαιρικής Γης. Οι έλξεις του Ηλίου, της Σελήνης και των άλλων πλανητών είναι επίσης άλλες τρεις τάξεις μεγέθους μικρότερες. Οι αποκλίσεις που προκαλούν, σε σχέση με την ιδανική κίνηση του δορυφόρου, θα εξετασθούν στις επόμενες ενότητες ΕΚΤΟΞΕΥΣΗ ΚΑΙ ΤΡΟΧΙΑΚΗ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ Η έλξη της βαρύτητας της Γης είναι ο κυριότερος παράγοντας που είναι αναγκαίο να ληφθεί υπόψη κατά τη διάρκεια της εκτόξευσης ενός δορυφόρου. Για να υπερνικήσει την έλξη της Γης, ένας δορυφόρος GPS, που σχεδιάζεται να εκτοξευθεί από τη Γη και να τεθεί σε κυκλική τροχιά, χρειάζεται να έχει κατά την εκτόξευση του ελάχιστη δυνατή ταχύτητα περίπου 11.1 km/sec. Γενικά η ελάχιστη ταχύτητα εκτόξευσης, που χρειάζεται ένας δορυφόρος για να τεθεί σε τροχιά γύρω από τη Γη, είναι γνωστή σαν ταχύτητα διαφυγής (escape velocity) και δίνεται από τη σχέση: v = [2μ (r earth + h L )] 1/2, 3 - ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ 10

11 όπου μ = GM = x m 3 /sec 2 είναι η βαρυτημετρική σταθερά, r earth είναι η μέση ακτίνα της Γης ( 6371 km) και h L είναι το υψόμετρο του σημείου εκτόξευσης. Η απαιτούμενη ταχύτητα διαφυγής μειώνεται όσο μεγαλύτερη είναι η απόσταση του σημείου εκτόξευσης πάνω από τη Γη. Ενδεικτικά, αν ένας δορυφόρος εκτοξεύεται από ένα σημείο 400 km πάνω από τη Γη, η απαιτούμενη ταχύτητα διαφυγής είναι περίπου km/sec. Πρακτικά, αν η ταχύτητα διαφυγής είναι μεγαλύτερη από 11.1 km/sec, η τροχιά παύει να έχει ελλειπτική μορφή και γίνεται παραβολική (όπως γίνεται με τους διαπλανητικούς δορυφόρους). Η ταχύτητα ενός δορυφόρου που απαιτείται για να διατηρηθεί σε κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη, είναι γνωστή σαν κυκλική ταχύτητα (circular velocity) και δίνεται από τη σχέση: v c = [μ (r earth + h S )] 1/2, όπου h S είναι το ύψος του δορυφόρου πάνω από τη Γη. Όπως η ταχύτητα διαφυγής, έτσι και η κυκλική ταχύτητα μειώνεται όσο μεγαλύτερη είναι η απόσταση του δορυφόρου από τη Γη. Για παράδειγμα, ένας δορυφόρος GPS σε τροχιά περίπου km πάνω από τη Γη, χρειάζεται μία κυκλική ταχύτητα περίπου 3.9 km/sec για να διατηρηθεί σε κυκλική τροχιά. Ενδεικτικά, η Σελήνη χρειάζεται μία κυκλική ταχύτητα περίπου 1.1 km/sec για να διατηρηθεί σε τροχιά γύρω από τη Γη. Πρακτικά, με τις επίγειες εκτοξεύσεις (μέσο πυραύλων) οι δορυφόροι είναι πολύ δύσκολο να τοποθετηθούν απευθείας σε πραγματικά κυκλική τροχιά. Σαν αποτέλεσμα, όλοι οι τεχνικοί δορυφόροι σε «κυκλικές» τροχιές γύρω από τη Γη, στην πραγματικότητα είναι τοποθετημένοι σε ελλειπτικές τροχιές με πολύ μικρή εκκεντρότητα (δηλ. e 0). Σε εκτοξεύσεις δορυφόρων που γίνονται σήμερα (όπως και με τους πρώτους δορυφόρους GPS) από το διαστημικό λεωφορείο, ακολουθείται μια διαφορετική τεχνική. Αρχικά το διαστημικό λεωφορείο τοποθετεί τον εκάστοτε δορυφόρο σε μία χαμηλή κυκλική τροχιά, γνωστή σαν τροχιά στάθμευσης (Parking Οrbit) και στη συνέχεια βοηθητικοί εκτοξευτήρες προωθούν τον δορυφόρο σε μία σχεδόν κυκλική μεταβατική τροχιά (intermediate drift orbit) σε υψηλότερο ύψος. Με προοδευτικές μικρές μανούβρες και σταδιακή αλλαγή της ταχύτητας του σαν αποτέλεσμα της διαδοχικής χρήσης των μικροπυραύλων του (thrusters), ο δορυφόρος τοποθετείται στην τελική του τροχιά πάνω από τη Γη. 3 - ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ 11

12 3.07 ΤΡΟΧΙΕΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ H κίνηση ενός δορυφόρου υπόκειται στους νόμους της ουράνιας μηχανικής και συγκεκριμένα στο 2o νόμο του Newton, F = m a που περιγράφει την κίνηση κάθε σώματος κάτω από την επίδραση των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό, δηλαδή: η επιτάχυνση του κέντρου βάρους ενός ελεύθερα κινούμενου σώματος είναι ανάλογη της δύναμης που ασκείται στο σώμα. Η σταθερά αναλογίας στη περίπτωση αυτή εκφράζεται από τη μάζα του σώματος. Οι συνιστώσες της θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης του σώματος, όπως και οι συνιστώσες της ασκούμενης δύναμης, είναι απαραίτητο να εκφράζονται σε ένα συγκεκριμένο σύστημα αναφοράς, το λεγόμενο αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς θεωρείται εκείνο που είναι ακίνητο ή κινείται με ομοιόμορφη κίνηση (δηλαδή χωρίς επιτάχυνση) στο χώρο. Σαν πρώτο βήμα, για τη μαθηματική περιγραφή της τροχιάς ενός δορυφόρου είναι απαραίτητο να ορισθεί ένα κατάλληλο αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Ένα τέτοιο είναι το ουράνιο σύστημα RA, με βασικές συντεταγμένες την ορθή αναφορά α (right ascension) και την απόκλιση δ (declination), το οποίο ικανοποιεί τα απαιτούμενα χαρακτηριστικά ενός αδρανειακού συστήματος για μικρές χρονικές περιόδους. Ο προσανατολισμός του συστήματος RA, σε σχέση με τα άστρα μεταβάλλεται περίπου 1 arcsec/year, κυρίως λόγω της περιοδικής κίνησης του άξονα περιστροφής της Γης και του επιπέδου της εκλειπτικής, το επίπεδο περιφοράς της Γης γύρω από τον Ήλιο. Οι παραπάνω κινήσεις του πόλου της Γης, οι γνωστές σαν μετάπτωση (precession) και κλόνηση (nutation), μπορούν να υπολογισθούν με ακρίβεια και συνεπώς ο προσανατολισμός του αστρικού συστήματος RA, σε διαφορετικές χρονικές στιγμές μπορεί να καθοριστεί επακριβώς. Η κίνηση του πόλου καθορίζεται, σε σχέση με το στερεό φλοιό της Γης, με προηγμένες αστρονομικές μεθόδους (π.χ., οπτική Αστρομετρία) από παρατηρήσεις επιλεγμένων φωτεινών αστέρων και με ακρίβειες της τάξης ± 10 milli-arcsec ή/και από τις σύγχρονες γεωδαιτικές μεθόδους (π.χ., Συμβολομετρία VLBI), δορυφορικά συστήματα laser (SLR), κλπ) με ακρίβειες της τάξης μερικών milli-arcsec. Το αστρικό σύστημα αναφοράς RA, αν και είναι το πλέον κατάλληλο για τον υπολογισμό των δορυφορικών τροχιών, δεν προσφέρεται για την απευθείας διεξαγωγή υπολογισμών εντοπισμού θέσης σε επίγειες εφαρμογές. Στη τελευταία περίπτωση απαιτείται ένα σύστημα αναφοράς που να είναι «προσκολλημένο» στη Γη (και να περιστρέφεται με τη Γη). Με τον τρόπο αυτό, ένα ακίνητο σημείο στη Γη θα έχει διαχρονικά μη μεταβαλλόμενες συντεταγμένες. Ένα τέτοιο σύστημα είναι το συμβατικό (ή μέσο) γήινο σύστημα αναφοράς CT. Ο άξονας x CT του εν λόγω συστήματος αναφοράς είναι η τομή του επιπέδου του μέσου μεσημβρινού Greenwich και του επιπέδου του ισημερινού. Ο άξονας z CT διέρχεται από το Συμβατικό Πόλο (Conventional International Origin, CIO) που με την σειρά του ορίζεται σαν η μέση θέση του Πόλου περιστροφής της Γης για την περίοδο Ο άξονας y CT είναι κάθετος στο επίπεδο των αξόνων x CT και 3 - ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ 12

13 z CT και συμπληρώνει το δεξιόστροφο σύστημα αναφοράς. Τα παραπάνω δύο συστήματα αναφοράς συνδέονται μεταξύ τους με μια σειρά στροφών σύμφωνα με τη σχέση: r CT = R 2 (-x P ) R 1 (-y P ) R 3 (θ) r RA, όπου θ είναι ο αληθής αστρικός χρόνος Greenwich και x P και y P είναι οι συντεταγμένες του Στιγμιαίου Πόλου (συνήθως εκπεφρασμένες σε arcsec) σε σχέση με τον Συμβατικό Πόλο. R i (i=1,2,3) είναι οι γνωστοί 3x3 πίνακες στροφής του Euler. H ιδανική κίνηση ενός δορυφόρου, κάτω από την επίδραση της κεντρικής δύναμης του πεδίου βαρύτητας της Γης, είναι γνωστή σαν Κεπλέρια κίνηση (Keplerian motion) ή κανονική τροχιά η οποία, μπορεί να εξηγηθεί θεωρητικά από τους νόμους βαρύτητας του Newton. Η κίνηση ενός δορυφόρου σε κανονική τροχιά διέπεται από τους νόμους του Kepler, που ισχύουν για κάθε πεδίο κεντρικών δυνάμεων, άσχετα αν αυτό είναι πεδίο που προκαλείται από τη βαρύτητα ή από κάποιες άλλες δυνάμεις. Τα κύρια χαρακτηριστικά της Κεπλέριας κίνησης είναι: 3.08 O 1 ος ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ KEPLER (α) Η κίνηση του δορυφόρου (σε σχέση με το αστρικό σύστημα αναφοράς) λαμβάνει χώρα σε ένα επίπεδο, το οποίο περιέχει το κέντρο μάζας της Γης. Το σχήμα της τροχιάς είναι μία κωνική γραμμή (στη περίπτωση των περισσοτέρων δορυφόρων μια έλλειψη), όπου μία από τις εστίες κατέχει το κέντρο μάζας της Γης. Η αρχή αυτή είναι γνωστή σαν 1ος νόμος του Kepler. (β) Τα σημεία όπου ο δορυφόρος βρίσκεται στο πλησιέστερο ή αντίστοιχα στο πιο απομεμακρυσμένο σημείο από το κέντρο της Γης, είναι γνωστά σαν το περίγειο και το απόγειο αντίστοιχα, τα οποία είναι ακίνητα, σε σχέση με το αστρικό σύστημα αναφοράς. (γ) Το μέγεθος και το σχήμα της ελλειπτικής τροχιάς είναι σταθερά και ορίζονται αντίστοιχα, το μεν μέγεθος από τον μεγάλο ημιάξονα a και τον μικρό ημιάξονα b της έλλειψης, το δε σχήμα με την εκκεντρότητα της έλλειψης, που συμβολίζεται με e και εκφράζεται από τη σχέση e = [(a 2 -b 2 )/a 2 ] 1/2. Για τους περισσότερους γεωδαιτικούς δορυφόρους, η εκκεντρότητα της ελλειπτικής τροχιάς τους είναι πολύ μικρή, με αποτέλεσμα οι τροχιές να είναι σχεδόν κυκλικές. Ο πρώτος νόμος του Kepler έχει πρακτικές συνέπειες, δεδομένου ότι παίζει ένα περιοριστικό ρόλο, όσον αφορά τις εφικτές τροχιές, που είναι δυνατόν να τοποθετηθούν οι δορυφόροι που εκτοξεύονται από διάφορα κέντρα εκτόξευσης. Δεν είναι δυνατόν, π.χ. για ένα δορυφόρο, να εκτοξευθεί και να τεθεί κατευθείαν σε τροχιά γύρω από τη Γη, με κλίση ως προς τον ισημερινό μικρότερη από το γεωγραφικό πλάτος του σημείου εκτόξευσης. Εκτοξεύοντας τον δορυφόρο λίγο προς τα βόρεια ή τα νότια του σημείου εκτόξευσης σημαίνει ότι η κλίση της τροχιάς θα είναι μεγαλύτερη από το γεωγραφικό πλάτος του σημείου εκτόξευσης του. Γενικά είναι επικίνδυνο να εκτοξεύονται δορυφόροι προς τέτοιες κατευθύνσεις που θα τους φέρουν, στα αρχικά στάδια της εκτόξευσης τους, πάνω από κατοικημένες περιοχές, 3 - ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ 13

14 γεγονός που περιορίζει ουσιαστικά τις κατευθύνσεις, προς τις οποίες μπορούν να εκτοξευθούν οι εκάστοτε δορυφόροι από ένα κέντρο εκτόξευσης. Σήμερα τα περισσότερα κέντρα εκτοξεύσεων, εκτός από εκείνα που χρησιμοποιούν ο Ευρωπαϊκός Διαστημικός Οργανισμός (European Space Agency, ESA) στη τοποθεσία Kourou (φ=5 Ν, λ=52 W) και η Ινδία στη τοποθεσία Sriharikota (φ=14 Ν, λ=80 Ε), δεν έχουν τη δυνατότητα να θέτουν δορυφόρους κατευθείαν σε τροχιές με χαμηλή κλίση ( i <14 ), δεδομένου ότι βρίσκονται σε τοποθεσίες με γεωγραφικά πλάτη από 28 μέχρι 63. Για να τεθούν δορυφόροι σε τροχιές, με τροχιακή κλίση μικρότερη από το γεωγραφικό πλάτος του σημείου εκτόξευσης τους, είναι απαραίτητο να τεθούν αρχικά σε «μεταβατικές» ή ενδιάμεσες τροχιές (parking orbits) και να μετατεθούν στην τελική τους τροχιά με πυροδοτήσεις των κατευθυντηρίων πυραύλων τους, όταν περνούν από το σημείο της τροχιάς τους που αντιστοιχεί στο πέρασμα του ισημερινού. Τέτοιου τύπου τοποθετήσεις των δορυφόρων σε τροχιά απαιτούν μεγάλους, ως προς τη κατασκευή, κατευθυντηρίους πυραύλους και συνεπώς κοστίζουν περισσότερο Ο 2 ος ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ KEPLER Tα επιπλέον χαρακτηριστικά της Κεπλέριας κίνησης των δορυφόρων σχετίζονται με τους νόμους διατήρησης της ενέργειας. Ο 2ος νόμος του Kepler καθορίζει τον τρόπο που κινείται ο δορυφόρος στη τροχιά του: η επιβατική ακτίνα από το κέντρο της μάζας της Γης προς το δορυφόρο σαρώνει επάνω στο τροχιακό επίπεδο ίσες επιφάνειες σε ίσα χρονικά διαστήματα. Αυτό είναι απαραίτητο, δεδομένου ότι η ολική ενέργεια του δορυφόρου πρέπει να παραμένει σταθερή. Όπως για κάθε κινούμενο σώμα, η ενέργεια του δορυφόρου μπορεί να διακριθεί σε δυναμική και κινητική ενέργεια. Η δυναμική ενέργεια καθορίζεται μόνο από τις επιδράσεις του ασκούμενου ελκτικού πεδίου και έχει τη μικρότερη τιμή, όταν ο δορυφόρος είναι πλησιέστερα στη Γη (δηλαδή στο περίγειο) και τη μεγαλύτερη τιμή, όταν ο δορυφόρος είναι στο μακρύτερο σημείο από τη Γη (δηλαδή στο απόγειο). Η κινητική ενέργεια είναι συνάρτηση της ταχύτητας του δορυφόρου. Για να παραμένει σταθερή η ολική ενέργεια (δηλαδή το άθροισμα της δυναμικής και της κινητικής ενέργειας), απαιτείται η κινητική ενέργεια (και συνεπώς η ταχύτητα του δορυφόρου) να έχει τη μεγαλύτερη τιμή της στο περίγειο και τη μικρότερη τιμή της στο απόγειο. Πρακτικά, ο 2ος νόμος του Kepler συνεπάγεται ότι η ταχύτητα του δορυφόρου στην ελλειπτική τροχιά του δεν είναι σταθερή. Η ιδιότητα αυτή της Κεπλέριας κίνησης χρησιμοποιείται, για παράδειγμα, από τους αναγνωριστικούς ή κατασκοπευτικούς δορυφόρους, οι οποίοι τίθενται σε τέτοιες τροχιές, ώστε το περίγειο της τροχιάς τους να βρίσκεται επάνω από την περιοχή ενδιαφέροντος, γεγονός που τους επιτρέπει να κινούνται πάνω από την περιοχή χαμηλά και με μεγάλη ταχύτητα. Ο 2ος νόμος του Kepler επίσης χρησιμοποιείται για τους δορυφόρους τηλεπικοινωνίας. Στην περίπτωση αυτή, είναι επιθυμητό να βρίσκονται πάνω από τη περιοχή ενδιαφέροντος για όσο το δυνατόν μεγαλύτερο χρονικό διάστημα και να καλύπτουν όσο το δυνατόν μεγαλύτερη περιοχή. Οι περισσότεροι τηλεπικοινωνιακοί δορυφόροι τοποθετούνται σε γεωστατικές τροχιές (δηλαδή σε τροχιακά επίπεδα που περιέχουν τον ισημερινό και σε ύψος περίπου km πάνω από τη Γη), από τις 3 - ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ 14

15 οποίες φαίνονται για έναν παρατηρητή στη Γη ότι είναι φαινομενικά ακίνητοι. Οι γεωστατικές τροχιές όμως δεν παρέχουν ικανοποιητική κάλυψη για τις περιοχές που είναι σε υψηλό γεωγραφικό πλάτος. Για αυτές τις ανάγκες τοποθετούνται δορυφόροι κυρίως σε ελλειπτικές τροχιές με μεγάλη εκκεντρότητα και οι οποίες έχουν το απόγειο σημείο τους πάνω από την περιοχή ενδιαφέροντος. Οι τροχιές αυτές δεν είναι γεωστατικές, αλλά σαν συνέπεια του 2ου νόμου του Kepler, κινούνται με πολύ μικρή ταχύτητα κοντά στο απόγειο σημείο τους και συνεπώς μπορούν να χρησιμοποιηθούν για το μεγαλύτερο χρονικό διάστημα της τροχιάς τους. Η διάρκεια ζωής ενός δορυφόρου εξαρτάται από την επίδραση της ατμοσφαιρικής τριβής πάνω στο δορυφόρο, 3.10 Ο 3 ος ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ KEPLER Ο 3ος νόμος του Kepler αφορά τον ρυθμό περιστροφής ενός δορυφόρου, δηλαδή το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να συμπληρώσει ο δορυφόρος μία πλήρη τροχιά γύρω από τη Γη: το τετράγωνο της περιόδου περιστροφής του δορυφόρου είναι ανάλογο του κύβου του μεγάλου ημιάξονα της έλλειψης. Σε μαθηματική μορφή, ο 3ος νόμος του Kepler εκφράζεται με τη σχέση: Τ 2 / a 3 = 4π 2 / μ εξ αιτίας της οποίας ελαττώνεται προοδευτικά η ταχύτητα του δορυφόρου. Η ατμοσφαιρική τριβή έχει τη μεγαλύτερη επίδραση στο περίγειο της τροχιάς, όπου η ατμόσφαιρα έχει μεγαλύτερη πυκνότητα και ο δορυφόρος έχει τη μεγαλύτερη ταχύτητα. Πρακτικά, αυτό σημαίνει ότι η αρχική θέση του περίγειου της τροχιάς παίζει καθοριστικό ρόλο στη διάρκεια ζωής ενός δορυφόρου. Για παράδειγμα, οι κατασκοπευτικοί δορυφόροι που έχουν το περίγειο τους περίπου σε απόσταση 400 km, έχουν μία τυπική διάρκεια ζωής περίπου 15 μέρες. Αντίστοιχα, οι γεωστατικοί δορυφόροι, που έχουν το περίγειο τους περίπου σε απόσταση km, έχουν μία θεωρητική διάρκεια ζωής (αν δηλαδή καταστρέφονταν μόνο λόγω των επιδράσεων της ατμοσφαιρικής τριβής) περίπου 106 χρόνια. όπου Τ είναι η περίοδος της τροχιάς εκφρασμένη σε δευτερόλεπτα, a είναι ο μεγάλος ημιάξονας της ελλειπτικής τροχιάς (σε μέτρα), και μ =GΜ=3.986 x10 14 m 3 /sec 2 είναι η λεγόμενη γήινη βαρυτημετρική σταθερά, δηλαδή το γινόμενο της παγκόσμιας σταθεράς της βαρύτητας G και της μάζας της Γης Μ. Συχνά, ο ρυθμός περιστροφής του δορυφόρου εκφράζεται με τη μέση γωνιακή ταχύτητα n που δίνεται από τη σχέση: n = 2π / Τ ή επειδή συνήθως γνωρίζουμε το a και μ n = (μ / a 3 ) 1/2. Η τελευταία σχέση είναι συνήθως η μορφή που εκφράζεται ο 3ος νόμος του Kepler. Βασιζόμενος στο 3ο νόμο του Kepler, ο Newton υπόθεσε ότι αν δίνεται η σωστή αρχική ταχύτητα, τότε ένα βλήμα (ή οποιοδήποτε άλλο αντικείμενο), που εκτοξεύεται από τη Γη, θα μπορούσε να τεθεί σε τροχιά γύρω από αυτή. Ουσιαστικά, διατυπώνοντας αυτή την παρατήρηση, ο Newton ήταν εκείνος που έτσι μπορεί να θεωρηθεί σαν ο προάγγελος των τεχνητών δορυφόρων, σχεδόν 200 χρόνια πριν από την εκτόξευση του πρώτου δορυφόρου. 3 - ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ 15

16 H πρακτική συνέπεια του 3ου νόμου του Kepler είναι ότι, δορυφόροι σε τροχιές με ίσους μεγάλους ημιάξονες (άσχετα από την εκκεντρότητα της ελλειπτικής τροχιάς τους), έχουν την ίδια περίοδο περιστροφής γύρω από τη Γη. Στη περίπτωση των δορυφόρων GPS, επειδή ο μεγάλος ημιάξονας της τροχιάς τους είναι περίπου τετραπλάσιος σε μέγεθος από την ακτίνα της Γης, οι δορυφόροι έχουν μεγαλύτερη περίοδο περιστροφής (περίπου 12 ώρες) σε σύγκριση με εκείνη των άλλων γεωδαιτικών δορυφόρων όπως οι δορυφόροι LAGEOS, TOPEX, κ.ά. που είναι σε χαμηλότερες τροχιές (συνήθως km πάνω από τη Γη) ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΤΡΟΧΙΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ KEPLER Τεχνητοί δορυφόροι, που είναι σε υψηλές τροχιές, αισθάνονται την επίδραση της έλξης της Γης, σαν να κινούνται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάμεων και κατά συνέπεια η κίνηση τους υπακούει τους νόμους του Kepler. Αντίστοιχα, δορυφόροι σε χαμηλές τροχιές αισθάνονται εντονότερα τις επιδράσεις των παρέλξεων, που οφείλονται στο μη σφαιρικό σχήμα της Γης και επηρεάζουν τις τροχιές τους, ανάλογα με το πόσο χαμηλά περιστρέφονται πάνω από τη Γη. Ο προσανατολισμός του τροχιακού επιπέδου στο χώρο, η θέση του περίγειου σημείου της τροχιάς, και το σχήμα της τροχιάς, καθώς επίσης και η σταθερότητα της μέσης γωνιακής ταχύτητας του δορυφόρου ουσιαστικά υλοποιούν την Κεπλέρια κίνηση. Η γεωμετρική μορφή και η θέση της Κεπλέριας τροχιάς μπορεί να περιγραφεί πλήρως από παρακάτω έξι τροχιακά στοιχεία του Kepler (Keplerian elements), εκ των οποίων μόνο ένα εκφράζεται σαν συνάρτηση του χρόνου: (1) Η ορθή αναφορά Ω (Right Ascension) του σημείου ανάδυσης της τροχιάς από το νότιο στο βόρειο ημισφαίριο, δηλαδή η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ: (α) του σημείου τομής του τροχιακού επιπέδου με το επίπεδο του ισημερινού όταν ο δορυφόρος κατευθύνεται από το νότιο ημισφαίριο στο βόρειο, και (β) του σημείου της εαρινής ισημερίας (Vernal Equinox), δηλαδή του σημείου τομής του επίπεδου περιστροφής της Γης γύρω από τον Ήλιο και του επιπέδου του ισημερινού. Η γωνία Ω μετράται στο επίπεδο του ισημερινού. (2) Η κλίση i του τροχιακού επιπέδου (Inclination) ως προς το επίπεδο του ισημερινού. (3) Το μέτρο του περίγειου ω (Argument of the Perigee), δηλαδή τη γωνία που σχηματίζουν οι επιβατικές ακτίνες προς το σημείο ανάδυσης και προς το περίγειο. Όπως ήδη έχει αναφερθεί, το περίγειο είναι το σημείο της εγγύτερης προσέγγισης του δορυφόρου στο κέντρο της Γης. Η διεύθυνση, που ορίζεται από το κέντρο μάζας της Γης και το περίγειο, είναι γνωστή σαν γραμμή των αψίδων. Η γωνία ω μετράται στο επίπεδο της τροχιάς. (4) Το μήκος a του μεγάλου ημιάξονα (Semi-major Axis) της έλλειψης της τροχιάς. (5) Η εκκεντρότητα e (Eccentricity) της έλλειψης της τροχιάς. (6) Ένα στοιχείο που εκφράζει την θέση του δορυφόρου στο επίπεδο της τροχιάς. Συνήθως για αυτό το σκοπό χρησιμοποιείται μία από τις λεγόμενες 3 - ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ 16

17 ανωμαλίες της τροχιάς (είτε η αληθής ανωμαλία f, είτε η μέση ανωμαλία Μ, είτε η έκκεντρη ανωμαλία Ε, τις οποίες θα ορίσουμε στην επόμενη ενότητα). Εναλλακτικά, η θέση του δορυφόρου στο επίπεδο της τροχιάς μπορεί να ορισθεί με το χρόνο διάβασης t Ρ του δορυφόρου από το περίγειο. Τα Κεπλέρια στοιχεία Ω και i καθορίζουν τον προσανατολισμό του τροχιακού επιπέδου στο χώρο. Το στοιχείο ω ορίζει τη θέση του περίγειου στο τροχιακό επίπεδο, ενώ τα στοιχεία a και e ορίζουν το σχήμα και το μέγεθος της έλλειψης της τροχιάς. Σε μια κανονική τροχιά (δηλαδή στη περίπτωση που η κίνηση του δορυφόρου υπακούει στους νόμους του Kepler), τα πέντε αυτά στοιχεία παραμένουν αμετάβλητα ως προς το χρόνο, ενώ οι χρόνοι διάβασης t Ρ του περίγειου είναι ακέραια πολλαπλάσια της περιόδου περιστροφής του δορυφόρου. Αντίστοιχα, οι ανωμαλίες της τροχιακής κίνησης f, Μ ή Ε αλλάζουν καθώς ο δορυφόρος περιστρέφεται στη τροχιά του ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΘΕΣΗ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ Για να προσδιορισθεί η θέση του δορυφόρου στη τροχιά του χρησιμοποιούνται μία από τις εξής γωνίες θέσης: Η αληθής ανωμαλία f (True Anomaly), δηλαδή η γωνία που σχηματίζεται από τη διεύθυνση του περίγειου και την επιβατική ακτίνα στην εκάστοτε θέση του δορυφόρου σε απόσταση r από το κέντρο της Γης. Η θέση του δορυφόρου στο συμβατικό γήινο σύστημα αναφοράς δίνεται από το διάνυσμα r Τ (Χ, Υ, Ζ), όπου Χ, Υ, Ζ είναι οι αντίστοιχες καρτεσιανές συντεταγμένες του. Η έκκεντρη ανωμαλία Ε (Eccentric Anomaly), για τον ορισμό της οποίας χρησιμοποιείται ο βοηθητικός κύκλος ακτίνας ίσης με το μεγάλο ημιάξονα της έλλειψης της τροχιάς. Η έκκεντρη ανωμαλία Ε ορίζεται σαν η γωνία που σχηματίζεται από τη διεύθυνση του περίγειου και την (ως προς την κάθετο στη γραμμή μεταξύ του περίγειου και του γεώκεντρου) προβολή της εκάστοτε θέσης του δορυφόρου στο βοηθητικό κύκλο. Η μέση ανωμαλία Μ (Mean Anomaly), που είναι μια καθαρά μαθηματική ποσότητα, που ορίζεται από τη σχέση n = Μ(t) / (t - t Ρ ) όπου n είναι η μέση γωνιακή ταχύτητα του δορυφόρου, t Ρ είναι ο χρόνος διάβασης του δορυφόρου από το περίγειο και t είναι ο χρόνος διάβασης του δορυφόρου από την εκάστοτε θέση στην τροχιά του. Η σχέση μεταξύ Μ και Ε εκφράζεται από την εξίσωση του Kepler: Μ(t) = Ε(t) - e sinε(t) που μπορεί να επιλυθεί ως προς την τιμή Ε, γνωρίζοντας τη τιμή Μ, με τη βοήθεια διαδοχικών προσεγγίσεων. 3 - ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ 17

18 Στο καρτεσιανό σύστημα του τροχιακού επιπέδου ισχύουν οι σχέσεις: x = r cosf = a (cosε - e) y = r sinf = a(1 - e 2 ) 1/2 sinε = b sinε dx/dt= -[na/(1-ecosε)] sinε dy/dt = [na/(1-ecosε)] (1 - e 2 ) 1/2 cosε r orbit = [x, y, 0] Τ dr orbit /dt = [dx/dt, dy/dt, 0] Τ όπως επίσης και οι σχέσεις: r orbit = (x 2 + y 2 ) 1/2 = a (1 - e cosε), tanf = y/x = [(1 - e 2 ) 1/2 sinε]/(cosε - e). Τα διανύσματα θέσης r RA = [ Χ, Υ, Ζ ] Τ και ταχύτητας dr RA /dt = [dχ/dt, dυ/dt, dζ/dt] Τ του δορυφόρου στο αδρανειακό γεωκεντρικό σύστημα αναφοράς RA δίνονται από τη σχέση: r = r RA = R 3 (-Ω) R 1 (-i) R 3 (-ω) r orbit, v = v RA = dr RA /dt = R 3 (-Ω)R 1 (-i)r 3 (-ω) dr orbit /dt όπου R 1 και R 3 είναι πίνακες στροφής του Euler (διαστάσεων 3x3) που ορίζονται στην επόμενη ενότητα. Το εξωτερικό γινόμενο h = r RA x v RA εκφράζει το διάνυσμα της στροφορμής (angular momentum) του δορυφόρου στο κεντρικό πεδίο βαρύτητας, δηλαδή τη γωνιακή κίνηση ανά μονάδα μάζας. Το μέγεθος h εκφράζεται από τη σχέση h = [μa (1-e 2 )] 1/2, h = σταθερό, που ικανοποιεί τον 1 ο νόμο του Kepler. Η στροφορμή h, μαζί με τη συνολική ενέργεια ανά μονάδα μάζας Ε Τ = Ε κινητική + Ε δυναμική = (v 2 /2) (μ/r), που εκφράζει τον νόμο διατήρησης της ενέργειας, αποτελούν δύο σταθερές από τις οποίες προσδιορίζονται ο μεγάλος ημιάξονας a και η εκκεντρότητα e κάθε ελλειπτικής τροχιάς, μέσο των σχέσεων a = -[μ/(2ε Τ )] και e = [1+2Ε Τ (h 2 /μ 2 )] 1/ ΕΠΙΓΕΙΟ ΙΧΝΟΣ ΤΗΣ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ Ένα από τα πλέον ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά πολλών δορυφόρων είναι ότι παρέχουν τη δυνατότητα να διασχίζουν και να καλύπτουν μεγάλες περιοχές της Γης σε μικρά χρονικά διαστήματα. Σε ποικίλες δορυφορικές εφαρμογές συνήθως είναι σημαντικό να γνωρίζουμε τον τρόπο με τον οποίο ο εκάστοτε δορυφόρος, με την περιστροφική του κίνηση, διέρχεται πάνω από κάθε τοποθεσία. Όλοι οι δορυφόροι, κατά την περιστροφή τους γύρω από τη Γη, περιγράφουν στην επιφάνεια της Γης ένα νοητό ίχνος της τροχιάς τους, το οποίο ορίζεται σαν ο γεωμετρικός τόπος της προβολής της εκάστοτε θέσης του δορυφόρου, κατά μήκος της ακτίνας που εκτείνεται από το κέντρο της Γης προς τον δορυφόρο. Με τον τρόπο αυτό, είναι σαν τα σημεία εκείνα της επιφάνειας της Γης, που συνιστούν το επίγειο ίχνος της τροχιάς ενός δορυφόρου, να προβάλλονται στην επιφάνεια ενός κυλίνδρου που εφάπτεται στη Γη κατά μήκος του ισημερινού. Αν η Γη μπορούσε να θεωρηθεί σαν μία μη περιστρεφόμενη σφαίρα, η τομή του εν λόγω επιπέδου στην επιφάνεια της Γης θα ήταν ένας μέγιστος κύκλος και στην περίπτωση αυτή, το ίχνος της τροχιάς ενός δορυφόρου θα παρέμενε ίδιο από τροχιά σε τροχιά. Η αντίστοιχη γραμμική μορφή του ίχνους μοιάζει σαν μία συνημιτονοειδής καμπύλη, αποτελούμενη από τέσσερα τμήματα, που αντιστοιχούν εναλλακτικά στην ανοδική και καθοδική πορεία κίνησης του δορυφόρου, δηλαδή, τα τμήματα της τροχιάς: από το σημείο του ανιόντος δεσμού στο περίγειο στο συμμετρικό σημείο του ανιόντος δεσμού στο απόγειο. Στην πραγματικότητα, επειδή η Γη περιστρέφεται γύρω από τον άξονα της, το επίγειο ίχνος της τροχιάς του εκάστοτε δορυφόρου μεταβάλλεται από τροχιά σε τροχιά, με τον 3 - ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ 18

19 τρόπο που διαδοχικά ίχνη σχηματίζουν ένα νοητό πλέγμα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Γενικά, μεταξύ δύο διαδοχικών διελεύσεων του δορυφόρου από τον ισημερινό μεσολαβεί μια χρονική περίοδος ίση με την περίοδο περιστροφής του δορυφόρου Τ. Στο διάστημα αυτό, το επίπεδο της τροχιάς έχει μετακινηθεί κατά μια γωνία ίση με ΔΩ = (dω/dτ) Τ, ενώ ταυτόχρονα η Γη έχει μετακινηθεί κατά μια γωνία Δθ = ω e Τ, όπου ω e = x 10-5 rad/sec -1 είναι η γωνιακή ταχύτητα της Γης. Η συνολική μετακίνηση του δορυφόρου στον ισημερινό, μεταξύ δύο διαδοχικών διελεύσεων του δίνεται από τη σχέση Δλ = ΔΩ Δθ = [(dω/dτ) - ω e ]Τ τηλεπικοινωνίες. Στην πράξη, για δορυφόρους που ισχύει 2π = -k Δλ, όπου k είναι ακέραιος αριθμός που δηλώνει πολλαπλάσιο της περιόδου της γήινης περιστροφής, το ίχνος της δορυφορικής τους τροχιάς έχει περιοδικό χαρακτήρα, δηλαδή μετά από χρονικό διάστημα k T ο δορυφόρος διέρχεται ακριβώς από το ίδιο σημείο του ισημερινού ή γενικότερα πάνω από κάθε σημείο της Γης. Η πρακτική συνέπεια αυτού του γεγονότος είναι ότι σε συγκεκριμένους δορυφόρους, όπως για παράδειγμα τους δορυφόρους τηλεπισκόπησης ή τους δορυφόρους αλτιμετρίας, η κατάλληλη επιλογή του Δλ και της περιόδου περιστροφής Τ επιτρέπει την επανακάλυψη των ίδιων τμημάτων της Γης ανά τακτά χρονικά διαστήματα kt. Στην προκειμένη περίπτωση, η απόσταση ΔS μεταξύ του ίχνους δύο διαδοχικών τροχιών εξαρτάται από την κλίση i της τροχιάς και εκφράζεται από τη σχέση ΔS = Δλ sini. Για τους γεωσύγχρονους δορυφόρους ισχύει k=1, δηλαδή έχουν περίοδο ίση με την περίοδο περιστροφής της Γης και ως εκ τούτου περνούν κάθε μέρα από τα ίδια σημεία της Γης. Στην ειδική περίπτωση, που ένας δορυφόρος έχει κλίση i=0 o και συγχρόνως είναι γεωσύγχρονος, φαίνεται να παραμένει ουσιαστικά ακίνητος πάνω από τα ίδια σημεία της Γης και για αυτό το λόγο ονομάζονται γεωστατικοί (geostationary) και χρησιμοποιούνται κυρίως για τις Στην περίπτωση των δορυφόρων GPS, ισχύει κ=2, δηλαδή οι δορυφόροι GPS έχουν περίοδο 12 ωρών και περνούν πάνω από τα ίδια σημεία δύο φορές την ημέρα. Η σχετική μετατόπιση στον ισημερινό, που αντιστοιχεί σε δύο διαδoχικά ίχνη του εκάστοτε δορυφόρου GPS, είναι περίπου 1. Χρονικά, η ημερήσια αυτή μετατόπιση οφείλεται στη διαφορά περίπου 4 λεπτών, μεταξύ του αστρικού και του ηλιακού χρόνου. Μια άλλη πρακτική συνέπεια του ίχνους της τροχιάς ενός δορυφόρου είναι ότι, εάν ένα σημείο στην επιφάνεια της Γης, με γεωγραφικές συντεταγμένες (φ,λ), τυχαίνει να βρίσκεται πάνω στο επίγειο ίχνος της τροχιάς ενός δορυφόρου, τότε τη χρονική στιγμή που αντιστοιχεί στο σημείο σύμπτωσης του ίχνους της τροχιάς και του εν λόγω σημείου, ο δορυφόρος θα βρίσκεται στο ζενίθ του επίγειου σημείου. Από το σχήμα φαίνεται ενδεικτικά η σχέση, που υπάρχει μεταξύ της μεγίστης τιμής του γεωγραφικού πλάτους, που μπορεί να λάβει το υψηλότερο (ή το χαμηλότερο) σημείο του επίγειου ίχνους μίας δορυφορικής τροχιάς δηλαδή, το μέγιστο (ή ελάχιστο) γεωγραφικό πλάτος ενός 3 - ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ 19