ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια μικρή συλλογή ασκήσεω οι οποίες καλύπτου τις έοιες που μάθαμε στο κεφάλαιο της Στατιστικής. Σε κάθε άσκηση ααφέρεται το κομμάτι της θεωρίας που α- τιστοιχεί. Όπου χρειαστεί σχολιάζουμε ΑΣΚΗΣΗ η. (ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ) Έστω,,, 4 οι τιμές μια μεταβλητής Χ με σχετικές συχότητες: f, =,,,4 5κ α) Να προσδιοριστεί η τιμή του κ β) Α v 4 = 64 (απόλυτη συχότητα) α βρείτε το μέγεθος v του δείγματος γ) Να χαράξετε το κυκλικό διάγραμμα της παραπάω καταομής. f /0 4/0 9/0 0/0 α) Ισχύει: Άρα 4 f (δηλ. f + f + f + f 4 = ) κ 5κ 5κ 5κ 5κ 5κ 0 κ (Έτσι: f, f, f, f 4 ) v β) Ισχύει: f, =,,,4 Άρα: v v v 0 v 6 γ) Ισχύει: α f 60, =,,,4 4 f4 v v 0 α o 48 o 08 o 9 o ΑΣΚΗΣΗ η (ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ) Το διπλαό πολύγωο σχετικώ συχοτήτω παρουσιάζει τη καταομή του αριθμού τω η- μερώ που παρέμεια οι έοικοι σ έα ξεοδοχείο της Κέρκυρας τη φετιή καλοκαιριή σαιζό. Να βρεθεί: α) Η μέση τιμή τω ημερώ παραμοής στο ξεοδοχείο Εστω: β) Η διάμεσος τω ημερώ αυτώ. το κέτρο κλάσεω v οι συχότητες κάθε κλάσης και Ν οι ατίσοιχες αθροιστικές συχότητες α) Έχουμε το ακόλουθο πίακα: (=,,,7) v v Ν F,5 9, , ,5 50 7,5 40, ,5 47, , ,5 9 9, Άρα v 850 8, v β) Κατασκευάζουμε το πολύγωο αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω. Κυκλικό διάγραμμα καταομής συχοτήτω.

2 β) Να βρεθεί το ποσοστό επί τω αηλίκω που είαι Ολυμπιακοί γ) Να βρεθεί το ποσοστό επί τω Πααθηαϊκώ που είαι αήλικοι δ) Να βρεθεί το ποσοστό επί τω φιλάθλω που είαι εήλικοι Ολυμπιακοί α) β) Από τα όμοια τρίγωα Γ Α Β ΓΔ Ε έχουμε: ΔΕ ΑΒ ΓΔ ΑΓ ΑΒ ΓΔ 59 Άρα: ΔΕ 4, ΑΓ 7/Ο 5/Π 4/Π 9/Ο /Ο /Ο 7/Π /Π 9/Ο 0/Π 9/Π 7/Ο /Π /Ο /Π 5/Π /Π 9/Ο 0/Π 9/Ο 7/Π 7/Ο 8/Ο /Ο Επειδή 8:7=0,4705 το ζητούμεο ποσοστό είαι 47,05% γ) 9/Ο 0/Ο /Ο 8/Ο 7/Ο 6/Π 6/Ο 5/Ο 4/Π 9/Ο /Π 8/Ο /Ο /Ο /Π 9/Π Άρα: Η διάμεσος είαι: δ = 5 + 4, 9, ΑΣΚΗΣΗ η (ΠΙΝΑΚΕΣ ΔΙΠΛΗΣ ΕΙΣΟΔΟΥ) Στο παρακάτω πίακα καταγράφεται η η- Επειδή 9:7=0,594 το ζητούμεο ποσοστό είαι 5,94% δ) λικία και η ομάδα που υποστηρίζει (Ο: ΟΛΥ- ΜΠΙΑΚΟΣ, Π: ΠΑΝΑΘΗΝΑΪΚΟΣ) δείγμα 40 φιλάθλω από μια κερκίδα του γηπέδου. α) Να συμπληρώσετε το πίακα: ΗΛΙΚΙΑ <8 8 ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΙ ΠΑΝΑΘΗΝΑΪΚΟΙ (ΑΝΗΛΙΚΟΙ) (ΕΝΗΛΙΚΟΙ) Επειδή 5:40=0,75 το ζητούμεο ποσοστό είαι 7,5% Κώστα Βακαλόπουλου

3 ΑΣΚΗΣΗ 4 η (ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ) Η μέση ηλικία τω θαμώω εός INTER- NET CAFÉ στο ΜΑΡΟΥΣΙ είαι 5 χρόια. Σήμερα το πρωί ήρθε έας ηλικιωμέος κύριος 6 χροώ και η μέση τιμή αέβηκε στα 5,5 χρόια. Πόσοι ήτα οι θαμώες του café πρι έρθει ο κύριος αυτός; Α ο αριθμός τω θαμώω του café πρι έρθει ο κύριος ισχύει: 5 5 v v Με τη είσοδο του κυρίου στο café έχουμε: ' 5,5 v v 5,5 5 6 ΑΣΚΗΣΗ 5 η 0,5 46,5 9 (ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ) Η μέση τιμή και η διακύμαση τριώ αριθμώ είαι 5 και 50 ατίστοιχα. Α προστεθού δυο ακόμα αριθμοί η μέση τιμή και η διακύμαση γίοται 0 και 50 ατίστοιχα. Να βρεθού οι δυο έοι αριθμοί. Έστω,, οι τρεις πρώτοι αριθμοί και 4 =, 5 = y οι δυο έοι. Θα ισχύει: 5 45 () Επίσης: () (Θυμίζουμε ότι η διακύμαση: Επίσης: y 45 y y 55 (4) Εώ: y y y 55 (4) Λύουμε το σύστημα τω εξισώσεω () και y 55 y 55 y 55 y 750 y 55 y y 55 y 5,0 ή 0,5 Άρα: Οι ζητούμεοι αριθμοί είαι οι: 5, 0. ΑΣΚΗΣΗ 6 η («ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΤΙΜΩΝ» Έστω,,,, κ κ αριθμοί με μέση τιμή και τυπική απόκλιση. Α από κάθε α- ριθμό αφαιρέσουμε τη μέση τιμή και το αποτέλεσμα το διαιρέσουμε με τη τυπική απόκλιση θα προκύψου κ έοι αριθμοί με μέση τιμή 0 και τυπική απόκλιση. Έστω y, y, y,, y κ οι κ έοι αριθμοί με μέση τιμή y και τυπική απόκλιση: y Θα ισχύει: y, =,,,κ y y... y... κ κ... κ κ κ κ κ κ κ 0 κ Άρα: y 0. (Υπόψι:... κ... κ κ ). k y y y y... yκ y y y... y κ κ κ. Κώστα Βακαλόπουλου

4 κ... κ... κ Άρα: κ y οπότε: Σχόλιο: y. Τη 6 η άσκηση μπορούμε α λύσουμε και ε- φαρμόζοτας τα συμπεράσματα της ης εφαρμογής σελ. 99 του σχολικού βιβλίου. Σύμφωα με αυτή α,,, κ, οι τιμές μιας μεταβλητής Χ με μέση τιμή και τυπική απόκλιση: και: y = c, (c), =,, κ οι τιμές μιας μεταβλητής Y με μέση τιμή: y και τυπική από- κλιση: y τότε: y c και S y = c. S () ή y = + c, (c), =., κ οι τιμές μιας μεταβλητής Y με μέση τιμή y και τυπική απόκλιση: y τότε: y c και y = () Έτσι για τη άσκηση 6 έχουμε: y,,,,...,κ Θεωρούμε: ω, =,,,, κ αριθ- μούς με μέση τιμή ω και τυπική απόκλιση: S ω Σύμφωα με τους τύπους () θα ισχύει: ω και ω. Και: y ω, =,,,, κ αριθμούς με μέση τιμή y και τυπική απόκλιση: ω Σύμφωα με τους τύπους () θα ισχύει: y ω 0 και y ω. Πρι συεχίσουμε στη άσκηση 7 θα κάουμε έα ακόμα σχόλιο: Ότα σε μια καταομή συχοτήτω συμβαίει μεταβολή στις συχότητες ( ) τω τιμώ της ( ), =., κ τότε επέρχεται ατίστοιχη μεταβολή και στο πληθυσμό του δείγματος. π.χ. Α αυξήσουμε τις συχότητες κατά μ τότε ο έος πληθυσμός ( ) θα είαι: κ κ κ v' μ μ κμ ΑΣΚΗΣΗ 7 η Έστω, =,, 0 οι 0 τιμές μιας μεταβλητής Χ σ έα δείγμα μεγέθους = 50 με =, =,, 0,, =., 0 οι ατίστοιχες συχότητές τους και,8 η μέση τιμή τους. Α όλες οι συχότητες αυξηθού κατά α υπολογίσετε τη έα μέση τιμή τω τιμώ αυτώ. Ο πληθυσμός θα γίει: v' Η έα μέση τιμή ' είαι: ' () Όμως: Α η αρχική μέση τιμή, τότε: 0 ' άρα 0 0, και (Θυμηθείτε το άθροισμα τω πρώτω όρω α- ριθμητικής προόδου: α α ) Έτσι έχουμε: ' ΑΣΚΗΣΗ 8 η (ΣΥΝΤΕΛΕΣΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΜΟΙ- ΟΓΕΝΕΙΑ) Στα δυο τμήματα της Γ Τάξης εός επαρχιακού σχολείου στο διαγώισμα στο μάθημα της Στατιστικής η βαθμολογία έχει καταομή περίπου καοική. 4 Κώστα Βακαλόπουλου

5 Στο ο τμήμα το 50% τω μαθητώ έχει βαθμολογία πάω από εώ το 49,85% από αυτούς έχει βαθμολογία μέχρι 8. Στο ο τμήμα το 6% τω μαθητώ έχει βαθμολογία μέχρι 0 εώ από 0 μέχρι 9 έχει το 8,5% τω μαθητώ. Μπορείτε α συγκρίετε τα δυο τμήματα ως προς τη ομοιογέειά τους. ( ο τμήμα) Έστω S η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση Από τα δεδομέα προκύπτου: 8 Έστω y, y η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση Από τα δεδομέα προκύπτου: y y 0 y y y y y 9 0 y Άρα: CV 0,07 δηλ.,07%. Άρα: Το ο τμήμα παρουσιάζει μεγαλύτερη ομοιογέεια. Άρα: CV 0,66 δηλ. 6.6%. Έστω, η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση ( ο τμήμα) Έστω y, y η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση 5 Κώστα Βακαλόπουλου