ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.

Transcript

1 13/10/2010 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συδυασμός στοιχείω αά κ είαι μια μη διατεταγμέη συλλογή κ στοιχείω από τα. Παράδειγμα 1 Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι οι εξής τρεις: Α, Β, Γ. Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά δύο είαι οι εξής τρεις: ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ. Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά τρεις είαι ο εξής έας: ΑΒΓ. Παράδειγμα 2 Οι συδυασμοί τω 5 γραμμάτω Α,Α,Α,Β,Γ αά 3 είαι οι εξής: ΑΑΑ, ΑΑΒ, ΑΑΓ, ΑΒΓ. Συδυασμοί Διακεκριμέω Στοιχείω Θεώρημα Το πλήθος τω συδυασμώ διακεκριμέω στοιχείω λαμβαομέω αά κ, συμβολίζεται με ή C(, κ) ή Cκ και δίεται από τη σχέση C( κ, ) Cκ = P( κ, ) ( ) κ = = = κ! κ! ( 1) ( κ + 1) = = κ!! = κ! ( κ)! Έστω κ στοιχεία από τα. Ας τα οομάσουμε α,..., 1 α κ. Το πλήθος τω διαφορετικώ τρόπω που μπορώ α βάλω αυτά τα κ στοιχεία στη σειρά (δηλ. α τα διατάξω) είαι το πλήθος τω μεταθέσεω αυτώ τω κ στοιχείω και ισούται με κ! όπως είδαμε στη παράγραφο για τις διατάξεις. Όμως αυτά τα κ στοιχεία αποτελού έα μόο συδυασμό (αφού στους συδυασμούς δε εδιαφερόμαστε για τη σειρά τω στοιχείω που το αποτελού). Δηλαδή, για κάθε ξεχωριστό συδυασμό κ στοιχείω από τα θα έχω κ! διατάξεις (μεταθέσεις) αυτώ τω κ στοιχείω. Άρα το συολικό πλήθος τω διατάξεω κ στοιχείω από θα ισούται με κ! φορές το πλήθος τω συδυασμώ κ στοιχείω από τα. Δηλαδή, P( κ, ) = κ! κ

2 και άρα P( κ, ) ( 1) ( κ+ 1) = = = κ! κ! n! 1 = ( 1) ( κ + 1) = = ( κ)! κ!! = κ!! ( κ) Παρατήρηση 0 Κάουμε τη σύμβαση = 1 0 Επίσης προσέξτε ότι = 1 για κάθε φυσικό 0 Παράδειγμα 3 Το πλήθος τω συδυασμώ τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι 3 3 3! = = = = 3 1! 1! ( 3 1 )! 1 (2 1) Το πλήθος τω συδυασμώ τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά δύο είαι ! 321 = = = = 3 2 2! 2! ( 3 2 )! (2 1) 1 Το πλήθος τω συδυασμώ τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά τρία είαι ! 321 = = = = 1 3 3! 3! ( 3 3 )! (3 2 1) 1 [Σχόλιο: Το πλήθος τω συδυασμώ τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά μηδέ είαι 3 3! ] = = = 1 0 0! ( 3 0 )! 1 (3 2 1) Πρόταση = κ 1 ος τρόπος: Χρησιμοποιείστε το τύπο του προηγούμεου θεωρήματος και κάτε τις πράξεις (Άσκηση) 2 ος τρόπος: Κάθε φορά που παίρω κ στοιχεία από τα δηλ. έα συδυασμό κ στοιχείω από τα, τα υπόλοιπα -κ στοιχεία που περισσεύου αποτελού έα συδυασμό -κ στοιχείω από τα. Άρα οι συδυασμοί τω στοιχείω αά κ είαι όσοι και οι συδυασμοί τω στοιχείω αά -κ. Παράδειγμα 4 Πόσους διαφορετικούς συδυασμούς 51 φύλλω μπορώ α κάω από μια τράπουλα τω 52 φύλλω? Απάτηση: 52 Προφαώς και σύμφωα με τη προηγούμεη πρόταση έχω = = 52 51

3 Πρόταση (Το τρίγωο του Pascal) 1 1 = +, κ = 1,2,..., = 1,2, ος τρόπος: Απευθείας επαλήθευση από το τύπο (Άσκηση) 2 ος τρόπος: Με παρόμοια λογική που κάαμε και το παράδειγμα 8 του προηγούμεου φυλλαδίου (δες επίσης και το Θεώρημα αμέσως μετά το παράδειγμα 8 του προηγούμεου φυλλαδίου). Ας το κάουμε ααλυτικά εδώ. Έστω έα συγκεκριμέο στοιχείο * από τa στοιχεία. Κάθε συδυασμός τω στοιχείω αά κ είτε περιλαμβάει είτε δε περιλαμβάει το στοιχείο * Εκείοι οι συδυασμοί που δε περιλαμβάου το * φτιάχοται από τα υπόλοιπα -1 1 στοιχεία λαμβαόμεα αά κ και είαι το πλήθος. Εκείοι οι συδυασμοί που περιλαμβάου το * φτιάχοται από τα υπόλοιπα -1 1 στοιχεία λαμβαόμεα αά κ-1 (αφού το * το έχω ήδη συμπεριλάβει) και είαι 1 το πλήθος. Σύμφωα επομέως με τη αρχή του αθροίσματος έπεται το αποτέλεσμα.

4 Το Τρίγωο του Pascal κ

5 κ

6 Επααληπτικοί Συδυασμοί Θεώρημα Το πλήθος τω συδυασμώ διακεκριμέω στοιχείω λαμβαομέω αά κ, α κάθε στοιχείο μπορεί α επααληφθεί απεριόριστο αριθμό φορώ, + κ 1 είαι E( κ, ) = Έστω α1, α2,..., α τα διακεκριμέα στοιχεία. Θεωρώ τα +κ-1 διακεκριμέα στοιχεία με οόματα β1, β2,..., β + κ 1. Έστω έας επααληπτικός συδυασμός κ στοιχείω από τα α1, α2,..., α. Έστω λοιπό ότι αυτός ο συδυασμός αποτελείται από τα στοιχεία αi, α,..., 1 i α 2 i k με i1 i2... ik (Δηλαδή, αραδιάζω τα στοιχεία αυτού του συδυασμού στη σειρά με τέτοιο τρόπο ώστε α μαζεύοται πρώτα όλα τα α 1 που υπάρχου στο συδυασμό, μετά όλα τα α2 που υπάρχου στο συδυασμό κλπ). Σε αυτό το συδυασμό ατιστοιχώ το συδυασμό τω κ (διακεκριμέω τώρα) στοιχείω β, β,..., β (από τα +κ-1 στοιχεία i1+ 0 i2+ 1 ik + κ 1 β1, β2,..., β + κ 1). Ατίστροφα, εά έχω έα συδυασμό κ στοιχείω β, β,..., β (με j1 < j2 <... < jk ) j1 j2 j k από τα +κ-1 στοιχεία β1, β2,..., β + κ 1, το ατιστοιχώ στο συδυασμό α α α,,...,. j1 j2 1 jk κ + 1 Με αυτό το τρόπο έχω εξασφαλίσει μία 1-1 και επί ατιστοιχία μεταξύ του συόλου τω επααληπτικώ συδυασμώ κ στοιχείω από και του συόλου τω μη + κ 1 επααληπτικώ συδυασμώ κ στοιχείω από +κ-1. Άρα E( κ, ) =. Παράδειγμα 4 Έχω 2 παομοιότυπες μπάλες και 4 χρώματα (Λευκό (Λ), Κόκκιο (Κ), Μπλε (Μ) και Πράσιο(Π)). Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ α βάψω τις δύο μπάλες (δε βάφω καμία μπάλα πολύχρωμη)? Απάτηση Θα πρέπει α συδυάσω τα 4 χρώματα αά 2 αλλά επιτρέπεται α χρησιμοποιώ το ίδιο χρώμα και στις δύο μπάλες. Άρα ψάχω για το αριθμό τω επααληπτικώ συδυασμώ τεσσάρω στοιχείω αά δύο, δηλ. Πράγματι, οι συδυασμοί αυτοί είαι οι εξής: ΛΛ, ΛΚ, ΛΜ, ΛΠ, ΚΚ, ΚΜ, ΚΠ, ΜΜ, ΜΠ, ΠΠ E(4,2) = = 10 2 Παράδειγμα 5 Έχω 4 παομοιότυπες μπάλες και 2 χρώματα (Λευκό (Λ) και Μαύρο (Μ)). Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ α βάψω τις 4 μπάλες (δε βάφω καμία μπάλα πολύχρωμη)? Απάτηση

7 Θα πρέπει α συδυάσω τα 2 χρώματα αά 4 αλλά επιτρέπεται α χρησιμοποιώ το ίδιο χρώμα σε περισσότερες από μια μπάλα. Άρα ψάχω για το αριθμό τω επααληπτικώ συδυασμώ δύο στοιχείω αά τέσσερα, δηλ. E(2,4) = = 5 4 Πράγματι, οι συδυασμοί αυτοί είαι οι εξής: ΛΛΛΛ, ΛΛΛΜ, ΛΛΜΜ, ΛΜΜΜ, ΜΜΜΜ Παράδειγμα 6 Στο παρακάτω χάρτη μιας πόλης υπάρχου οριζότιοι και κ κάθετοι δρόμοι. Με πόσους τρόπους μπορεί α πάει κάποιος από το πάω αριστερά σημείο Α στο κάτω δεξιά σημείο Β α επιτρέπεται α κιηθεί μόο δεξιά και κάτω? Α Απάτηση Οι κ κάθετοι δρόμοι δημιουργού κ-1 διαστήματα επί τω οριζότιω δρόμω. Κάθε διαδρομή καθορίζεται με μοαδικό τρόπο από τη επιλογή τω κ-1 διαστημάτω επί τω οριζότιω δρόμω. (Στο παράδειγμα που απεικοίζεται παραπάω, πρέπει α επιλέξω 7 φορές από τους 5 οριζότιους δρόμους. Το μοοπάτι που απεικοίζεται δείχει το εξής από τους οριζότιους δρόμους 1 ος 2 ος 2 ος 2 ος 4 ος 4 ος 4 ος ) Άρα αρκεί α βρω το πλήθος τω τρόπω που μπορώ α επιλέξω κ-1 φορές από τους + κ 2 οριζότιους δρόμους. Μα αυτό το πλήθος ισούται με E( κ, 1) = 1 Παράδειγμα 7 Διωυμικό δέτρο (σε άσκηση) Διωυμικό Αάπτυγμα Θεώρημα Για κάθε φυσικό αριθμό ισχύει: κ κ ( α + β) = α β κ = k k 1 α + α β + α β α β αβ + β 0 2 k 1 1 ος τρόπος: Κάθε όρος του ααπτύγματος (χωρίς τους συτελεστές) είαι της μορφής k k α β, για k=0,...,. Αυτός ο όρος προκύπτει με τη επιλογή τω β από κ διαφορετικούς παράγοτες στο γιόμεο ( α + β ) (οπότε τα α επιλέγοται από τους υπόλοιπους -κ παράγοτες). Αυτό μπορεί α γίει με τρόπους και επομέως ο k k k όρος α β εμφαίζεται φορές στο αάπτυγμα. k Β

8 (Παρατηρείστε με ποιο τρόπο εμφαίζοται οι διωυμικοί συτελεστές στο τρίγωο του Pascal.) 2 ος τρόπος: Με επαγωγή (Άσκηση) Θεώρημα Για κάθε πραγματικό αριθμό α και για κάθε t ( 1,1) ισχύει: α α κ (1 + t) = t κ = 0 Παραλείπεται (θα τη δείτε στο Απειροστικό Λογισμό) Άσκηση Δείξτε ότι ισχύει η εξής σχέση: = 2 κ = 0 0 Από το διωυμικό αάπτυγμα έχουμε 2 = (1 + 1) = κ = 0 Άσκηση Έστω σύολο Α με το πλήθος στοιχεία. Δείξτε ότι το Α έχει, 2 υποσύολα (δηλ. ότι ο πληθάριθμος του δυαμοσυόλου ( Α) είαι 2 ) Έα υποσύολο του Α μπορεί α έχει από 0 έως στοιχεία. Για κάθε ακέραιο κ με 0 κ, το πλήθος τω υποσυόλω του Α με κ στοιχεία είαι. Άρα σύμφωα με τη αρχή του αθροίσματος το πλήθος τω υποσυόλω του Α είαι που σύμφωα με τη προηγούμεη άσκηση ισούται με 2 0

9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Διωυμικοί συτελεστές 1. Υπολογίστε τα ,,,,, Ααπτύξτε και απλοποιείστε 2 3 a. (2 x + y ) b. c. ( x 3 y) ( a + 2 b) d. (2 a b) n n n 3. Δείξτε ότι = 2 k = 0 k n n n n n 4. Δείξτε ότι ± = n n k n 5. Δείξτε ότι ( 1) = 0 k = 0 k Βρείτε το όρο στο αάπτυγμα του (2 x y ) που περιέχει το 7. Βρείτε το όρο στο αάπτυγμα του Συδυασμοί (3 xy z ) που περιέχει το 1. Μία τάξη έχει 9 αγόρια και 3 κορίτσια a. Με πόσους τρόπους μπορεί α φτιαχτεί μια επιτροπή από 4 άτομα? b. Με πόσους τρόπους μπορεί α φτιαχτεί μια επιτροπή από 4 άτομα που α περιλαμβάει τουλάχιστο έα κορίτσι? c. Με πόσους τρόπους μπορεί α φτιαχτεί μια επιτροπή από 4 άτομα που α περιλαμβάει ακριβώς έα κορίτσι? 2. Θεωρούμε 10 σημεία στο επίπεδο (Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ, Ι, Κ). Όποια τρία σημεία και α πάρω από αυτά, δε βρίσκοται στη ίδια ευθεία. a. Πόσες διαφορετικές ευθείες ορίζοται από αυτά τα σημεία? b. Πόσες από αυτές τις ευθείες δε διέρχοται ούτε από το Α ούτε από το Β? c. Πόσα διαφορετικά τρίγωα ορίζοται από αυτά τα σημεία? d. Πόσα από αυτά τα τρίγωα έχου το Α ως κορυφή τους? e. Πόσα από αυτά τα τρίγωα έχου το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ως πλευρά τους? 3. Έας μαθητής πρέπει α απατήσει σε 10 μόο από 13 ερωτήσεις σε μια εξέταση. a. Με πόσους τρόπους μπορεί α το κάει αυτό? b. Με πόσους τρόπους μπορεί α το κάει αυτό α πρέπει οπωσδήποτε α απατήσει τις δύο πρώτες ερωτήσεις? 8 x 6 y

10 c. Με πόσους τρόπους μπορεί α το κάει αυτό α πρέπει οπωσδήποτε α απατήσει τη μία από τις δύο πρώτες ερωτήσεις αλλά όχι και τις δύο? d. Με πόσους τρόπους μπορεί α το κάει αυτό α πρέπει οπωσδήποτε α απατήσει ακριβώς τρεις από τις πρώτες πέτε ερωτήσεις? e. Με πόσους τρόπους μπορεί α το κάει αυτό α πρέπει οπωσδήποτε α απατήσει τουλάχιστο τρεις από τις πρώτες πέτε ερωτήσεις? 4. Ο κύριος Α έχει 11 καλούς φίλους και θέλει α τους καλέσει για φαγητό στο σπίτι του. Όμως δε χωράε όλοι και αποφασίζει α καλέσει μόο 5 από αυτούς. a. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί α επιλέξει τους 5 που θα καλέσει? b. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί α επιλέξει τους 5 που θα καλέσει, α δύο από τους φίλους του είαι πατρεμέοι μεταξύ τους και πρέπει α τους καλέσει μαζί (ή α μη τους καλέσει καθόλου)? c. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί α επιλέξει τους 5 που θα καλέσει, α δύο από τους φίλους του δε μιλιούται μεταξύ τους οπότε δε μπορεί α τους καλέσει μαζί? 5. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε α μοιράσουμε 9 παιχίδια σε 3 παιδιά, εά κάθε παιδί πρέπει α πάρει 3 παιχίδια? 6. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε α χωρίσουμε 9 φοιτητές σε 3 ομάδες με 3 μέλη η κάθε ομάδα? 7. Με πόσους τρόπους μπορούμε α χωρίσουμε 10 φοιτητές σε 3 ομάδες, όπου η μία ομάδα θα έχει 4 φοιτητές και οι άλλες δύο από 3? 8. Με πόσους τρόπους μπορούμε α χωρίσουμε μια ομάδα 12 ατόμω σε 3 ομάδες που α αποτελούται από 5, 4 και 3 άτομα ατίστοιχα? 9. Με πόσους τρόπους μπορούμε α χωρίσουμε μια ομάδα ατόμω σε δύο ομάδες, όπου η κάθε ομάδα α έχει τουλάχιστο έα άτομο?