Μαθηµατική Επαγωγή 175.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηµατική Επαγωγή 175."

Ἰωσήφ Κωνσταντόπουλος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Μαθηµατική Επαγωγή 75.

3 Μαθηµατική Επαγωγή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Στο κεφάλαιο τω προόδω έχει αποδειχθεί ότι ο ισχυρισµός v( v+ ) P( v ): v, v N είαι αληθής (ως άθροισµα πρώτω όρω αριθµητικής προόδου µε α και ω ) δηλαδή. ( + ) (προφαές) ( + ) (προφαές) 33 ( + ) (προφαές) ( + ) ( ) + (ισχύει όπως έχει αποδειχθεί) Ο παραπάω ισχυρισµός P( ) α και επαληθεύεται από πάρα πολλές διαδοχικές τιµές του v N χωρίς τη βοήθεια τω προόδω δε θα µπορούσαµε α ισχυριστούµε ότι ισχύει για κάθε v N. Γειέται λοιπό η αάγκη µιας µεθόδου που α αποδεικύει τη ισχύ αάλογω ισχυρισµώ P( ) για κάθε τιµή του θετικού ακέραιου ή για κάθε v, 0 0 Ν. Η αποδεικτική αυτή µέθοδος λέγεται µαθηµατική ή τέλεια επαγωγή και στηρίζεται στη λεγόµεη αρχή της µαθηµατικής επαγωγής η οποία διατυπώεται ως εξής:

4 78. Μαθηµατική Επαγωγή Έστω P έας ισχυρισµός που ααφέρεται στους θετικούς ακέραιους. Α α. ο ισχυρισµός είαι αληθής για το ακέραιο δηλαδή ο P () είαι αληθής και β. η αλήθεια του P( ) συεπάγεται τη αλήθεια του P( v+ ) για κάθε. Τότε ο ισχυρισµός P( ) αληθεύει για όλους τους θετικούς ακέραιους. Σε αρκετές περιπτώσεις η αλήθεια του ισχυρισµού P( ) ξεκιάει από v v0, v N και v0 ή v0 3 ή... οπότε επιβεβαιώουµε τη αλήθεια του ισχυρισµού για v ή v 3 ή..., αάλογα. Για παράδειγµα α. Α α ακέραιος µε α > ισχύει α > ( α ), για κάθε. Είαι φαερό ότι για έχουµε α > ( α ) α > α που δε ισχύει. β. Ισχύει 3 < 3, για κάθε 4. Είαι φαερό ότι για έχουµε < 3 3 < 3 3, που ισχύει για έχουµε < < 3, που ισχύει για 3 έχουµε 3 3 < 3 3, που δε ισχύει Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κατηγορία - Mέθοδος Για τη απόδειξη ισχυρισµού P( ) που ααφέρεται σε ισότητα ακολουθούµε αυστηρά τα βήµατα της επαγωγικής µεθόδου που προααφέραµε. Σχετική δυσκολία παρουσιάζεται στο πέρασµα από τη αλήθεια του P στη αλήθεια του P( v+ ) διότι αρκετές φορές χρειάζοται κατάλληλοι µετασχη- µατισµοί (πρόσθεση, πολ/σµός,...) ώστε α εµφαίσουµε τη µορφή του P( v+ ). Παράδειγµα Να αποδείξετε ότι : α , για κάθε Ν β , για κάθε Ν Έστω P() η παραπάω ισχυρισµοί: α. Για έχουµε + + δηλαδή ο Ρ () είαι αληθής.

5 Μαθηµατική Επαγωγή 79. εχόµαστε ότι ο Ρ () είαι αληθής για τυχαίο Ν δηλαδή : (Ι) Θα δείξουµε ότι και ο P( v+ ) είαι αληθής δηλαδή : Έχουµε ( )( ) ( + ) ( + ) + ( + ) ( λόγω της (Ι) ) ( + )( + ) + ( + ) ( + )[ ( + ) + ( + )] 3 ( + )( ++ + ) ( + ) + ( + ) ( 3) Άρα η ισότητα αληθεύει για όλους τους θετικούς ακέραιους. 3 + β. Για έχουµε που ισχύει. εχόµαστε ότι ο Ρ () είαι αληθής για Ν δηλαδή (Ι) Θα δείξουµε ότι και ο P( v+ ) είαι αληθής δηλαδή : ( + ) Έχουµε λόγω της (Ι) ότι Έτσι: ( ) ( + ) + 4( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) 4 4

6 80. Μαθηµατική Επαγωγή ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) (( + ) + ) ( + ) (( + ) + ). Άρα η ισότητα αληθεύει για όλους τους θετικούς ακέραιους. Παράδειγµα Να δείξετε ότι το πλήθος τω διαγωίω εός -γώου είαι δ Έστω Ρ() ο παραπάω ισχυρισµός. 4( 4 3) Για 4 έχουµε δ4, που ισχύει. εχόµαστε ότι ισχύει για Ν µε > 4,δηλαδή δ οπότε ο Ρ( ) είαι αληθής. Θα δείξουµε ότι ισχύει για + δηλαδή δ + Πράγµατι, α Α...Α Α ( + ) [( + ) 3] ( + )( ). Α + η τελευταία κορυφή του ( + ) ( 3) γώου Α + τότε ότα αυτή εωθεί µε τις υπόλοιπες κορυφές (εκτός της Α και της Α ) δηµιουργεί - διαγωίους. Α προσθέσουµε και τη διαγώιο Α Α τότε το ( + ) γωο έχει + διαγώιους περισσότερες από το -γωο. Έτσι έχουµε: (Ι) + δ + δ Παράδειγµα 3 Να δείξετε ότι ( 3) για κάθε 4. ( 3) ( 3) + ( ) ( + )( ) + 4 πολ5, για κάθε. Έστω Ρ() ο παραπάω ισχυρισµός. 4 Για ισχύει πολ5 5 πολ5, που ισχύει οπότε ο Ρ() είαι αληθής. 4 εχόµαστε ότι ισχύει για Ν δηλαδή πολ5( 5λ),οπότε ο Ρ() είαι αληθής 4( + ) Θα δείξουµε ότι ισχύει για + δηλαδή πολ5( 5λ),οπότε ο Ρ( +) είαι αληθής.

7 Μαθηµατική Επαγωγή 8. 4( + ) Είαι ( 5λ + ) 5 λ + 5 5( λ + ) πολ5 Κατηγορία - Mέθοδος Για τη απόδειξη ισχυρισµού Ρ() που ααφέρεται σε αισότητα ακολουθούµε αυστηρά τα βήµατα της επαγωγής που προααφέραµε και η απόδειξη γίεται σχετικά εύκολα (παράδειγµα ) µε είσχυση τω αισοτήτω. Στη πορεία αυτή συχά είαι πολύ χρήσιµη η µεταβατική ιδιότητα, δηλαδή Α δεχθούµε ότι ισχύει η σχέση (δ): Ρ > Α και χρειάζεται α δείξουµε µε αυτή τη παραδοχή ότι Ρ( + ) > Β, τότε αρκεί α δείξουµε ότι Α> Β ή Γ> Β, όπου Γ η µορφή του Α από τη επιτρεπτή επέµβαση στα µέλη της σχέσης (δ) ώστε το Ρ() α πάρει τη µορφή Ρ( + ). (Βλ. παράδειγµα ). Παράδειγµα Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο 4, ισχύει Έστω Ρ() η αισότητα που θέλουµε α δείξουµε.! >,όπου! Για 4 έχουµε 4! > 34 > 4> δηλαδή ο Ρ( 4 ) είαι αληθής. εχόµαστε ότι ο Ρ() είαι αληθής για τυχαίο 4, δηλαδή! > ( δ). Θα δείξουµε ότι ο Ρ() ισχύει και για το επόµεο φυσικό το +, δηλαδή ( + )! > + οπότε και ο Ρ( + ) θα είαι αληθής. Έχουµε λόγω της (δ)! > οπότε! ( + ) > ( + ) ή ( + )! > (είαι < + αφού 4) ή ( + )! > +. Άρα η αισότητα αληθεύει για κάθε θετικό ακέραιο 4. Παράδειγµα 3 α. Να δείξετε ότι > , για κάθε ακέραιο 4. 3 β.να δείξετε ότι >, για κάθε ακέραιο 0. α. Έστω Ρ() η αισότητα που θέλουµε α δείξουµε. Για 4 έχουµε 3 4 > >, δηλαδή ο Ρ(4) είαι αληθής. εχόµαστε ότι ο Ρ() είαι αληθής για τυχαίο 4,δηλαδή 3 > ( δ) Θα δείξουµε ότι ο Ρ() ισχύει και για το επόµεο φυσικό το +, δηλαδή: 3 ( + ) > 3( + ) + 3( + ) +,οπότε και ο Ρ( + ) θα είαι αληθής. 3 Έχουµε λόγω της (δ) ότι > οπότε 3 ( ) ( 3 ) ( > > ).

8 8. Μαθηµατική Επαγωγή Αρκεί α δείξουµε ότι ( ) > 3( + ) + 3( + ) > > > 0 3± 9 Είαι ( 3) 4 3( 5) 9> 0 οπότε,. Η συµπεριφορά του φαίεται στο σχήµα και φαερά για 4 είαι 3 3 5> 0. Άρα η αισότητα είαι αληθής για όλους τους θετικούς ακέραιους µε 4. β. Έστω Ρ() η αισότητα που θέλουµε α δείξουµε: 0 3 Για 0 έχουµε > 0 04 > 000 δηλαδή ο Ρ(0) είαι αληθής. εχόµαστε ότι ισχύει για Ν δηλαδή > 3 (δ) οπότε ο Ρ() είαι αληθής και Θα δείξουµε µε τη παραδοχή αυτή ότι ισχύει για + δηλαδή + > ( + ) 3 οπότε ο Ρ( + ) είαι αληθής Έχουµε λόγω της (δ) ότι > οπότε > δηλαδή + >. Αρκεί α δείξουµε ότι 3 > ( + ) 3 3 > > το οποίο ισχύει λόγω του α. ερωτήµατος. Άρα η αισότητα αληθεύει για όλους τους θετικούς ακέραιους µε 0. Γ. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση Να δείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθµό ισχύει: Για : 3 ( ) ισχύει. 3 Έστω ότι ισχύει για τυχαίο () Θα δείξουµε ότι ισχύει και για το επόµεο φυσικό το + : ( + ) () Παίρουµε το πρώτο µέλος της () : ( + ) ( ) ( ) ( ) + () Άρα ισχύει για κάθε. Άσκηση 3 Να αποδείξετε ότι 3 >, για κάθε φυσικό αριθµό 4.

9 Μαθηµατική Επαγωγή 83. Για 4: Έστω ότι ισχύει για κ: > 4 8 > 4, ισχύει 3 3 κ >κ () Θα δείξουµε ότι ισχύει για κ+ : 3 3 κ+ > κ+ () κ+ κ 3 Παίρουµε το πρώτο µέλος της (): > 3 κ και αρκεί α δείξουµε ότι κ > κ+ κ > κ + κ + κ+ κ κ κ κ > κ κ κ > κ κ κ > κ κ κ > ισχύει γιατί κ 4 κ 8 κ 3 5 κ ( κ 3) 0 κ ( κ 3) 3 7 κ 4 κ κ κ κ ( κ 3) 3 8 κ κ ( κ 3) 3 7 κ 4 3 κ+ > κ+, οπότε ισχύει για κάθε 4. Άρα ισχύει 3 Παρατήρηση : Χρησιµοποιήσαµε το συµβολισµό κ και κ + που συηθίζεται α ααφέρεται σε αρκετά βιβλία. () Άσκηση 3 Να αποδείξετε ότι για κάθε + + >. Ν ισχύει : 5 7 είαι : Για + > + + > > > > + + > απ όπου µε πρόσθεση κατα µέλη προκύπτει: > > Για έχουµε : > 4>. Αισότητα Bernoulli +α > +α α>, α 0 µε Άσκηση 4 Να δείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθµό ισχύει : 7 > 7 Για : 7 > 7 7>, ισχύει Έστω ότι ισχύει για κ: 7κ> 7κ () κ+ κ+ 7 > 7 κ+ 7 > 7κ+ () Θα δείξουµε ότι ισχύει και για κ + :

10 84. Μαθηµατική Επαγωγή κ+ κ Παίρουµε το πρώτο µέλος της (): αρκεί α δείξουµε ότι 49κ 7 > 7κ+ 4κ> 3 οπότε () > 7 7κ 49κ 7 3 κ >, που ισχύει αφού κ 4 7 κ+ > 49κ 7> 7κ+ δηλαδή 7 κ+ > 7κ+. Άρα ισχύει για κάθε.. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ. Να δείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο.. Να δείξετε ότι ( + )( + ) α ( + ) 3 β ( + ) γ ( + ) για κάθε θετικό ακέραιο. ( ) 4 3. α. Να δείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει ( ). 3 β. Να υπολογίσετε το φυσικό ώστε ( ) Να δείξετε ότι > για κάθε θετικό ακέραιο µε Να δείξετε ότι 3 3 > για κάθε θετικό ακέραιο µε > 3.. α. Α α πραγµατικός αριθµός µε < α 0 α δείξετε ότι ισχύει ( + α) > + α για κάθε θετικό ακέραιο µε. (αισότητα Bernoulli) 3 β. Να δείξετε ότι i. > + iii., ii. β. 4 > + 3, 7 > + για κάθε θετικό ακέραιο µε.

11 Μαθηµατική Επαγωγή α. Α α ακέραιος αριθµός µε < α α δείξετε ότι ισχύει α > + ( α ) για κάθε θετικό ακέραιο µε (αισότητα Tchebychef) 3 β. Να δείξετε ότι i. >, ii. iii. 4 > 3, 8. α. Α α, β ακέραιοι αριθµοί µε α β 7 > για κάθε θετικό ακέραιο µε. α δείξετε ότι α β ( α β)( α + α β αβ + β ) για κάθε θετικό ακέραιο. β. Έστω οι διαφορετικοί µεταξύ τους θετικοί αριθµοί α, β µε α β. Να δείξετε ότι α > β για κάθε θετικό ακέραιο µε. 9. Οι πραγµατικοί αριθµοί α, β, γ αποτελού τη υποτείουσα και τις δύο κάθετες πλευρές εός oρθογωίου τριγώου, ατίστοιχα. Να δείξετε ότι α > β + γ για κάθε θετικό ακέραιο µε 3. Ε. ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ. Να δείξετε ότι > 004. (Υπ: Να δείξετε ότι + > ( + ) για κάθε φυσικό 3 ).

12 8. Μαθηµατική Επαγωγή

Σχετικά έγγραφα

4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. Εισαγωγή

4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Εισαγωγή Η Θεωρία Αριθμώ, δηλαδή η μελέτη τω ιδιοτήτω τω θετικώ ακεραίω, έθεσε από πολύ ωρίς τους μαθηματικούς μπροστά στο εξής πρόβλημα: Κάποια πρόταση αληθεύει