4.4. Тежиште и ортоцентар троугла

Transcript

1 50. 1) Нацртај правоугли троугао и конструиши његову уписану кружницу. ) Конструиши једнакокраки троугао чија је основица = 6 m и крак = 9 m, а затим конструиши уписану и описану кружницу. Да ли се уочава неко својство тих кружница? 3) Конструиши једнакостраничан троугао чија је страница дата дуж. Конструиши описану и уписану кружницу тог троугла Тежиште и ортоцентар троугла 51. Нацртај троугао и одреди средиште сваке његове странице. Дуж чији је један крај теме троугла а други крај средиште наспрамне странице зове се тежишна линија (медијана) троугла (сл. 51). Свака страница троугла има одговарајућу тежишну линију (дуж). Страници одговара тежишна дуж = t. Тежишне линије осталих страница троугла су приказане на слици 5 (t = F и t = E). t k T E t Тежишна линија t t F Сл. 51 Сл. 5 Направи модел троугла и обеси га да мирно виси о концу из једног темена троугла. Права конца (која има правац виска) поклопиће се са тежишном линијом из истог темена; она показује правац силе Земљине теже. Отуда и назив тежишна линија. Понови поступак за остала два темена троугла. Увери се да се све три праве затегнутог конца, које су у ствари правци Земљине теже, секу у истој тачки тежишту троугла. * Тежишне линије троугла секу се у једној тачки. Та тачка се зове тежиште троугла. * Направи моделе других фигура (правоугаоник, квадрат, круг) и одреди њихова тежишта. 68 математика за 6. разред основне школе

2 5. Нацртај троугао (једнакокраки, једнакостраничан, правоугли) и одреди његове тежишне линије и тежиште. 53.* Нацртај троугао и мерењем се увери да тежиште троугла дели тежишну линију (дуж) на два дела, тако да је део који се налази између тежишта и темена двапут већи од дела који се налази између тежишта и средишта наспрамне странице. У случају (сл. 5) биће: T = T или T =, 3 односно T = 1. * ) Дати су права p и тачка M p. Нацртај праву q p и M q (сл. 53). Обележи растојање тачке M и праве p. M p ' p q H ' q ' Сл. 53 Сл. 54 ) Посматрамо нормалну праву из једног темена троугла на наспрамну страницу или на праву којој припада та страница (сл. 54). Та нормала из темена сече наспрамну страницу у тачки. Дуж назива се висина троугла. Свака страница троугла има одговарајућу висину (висине тог троугла су и дужи и ). Праве којима припадају висине троугла секу се у једној тачки. Тачка у којој се секу висине троугла (праве којима висине припадају) зове се ортоцентар троугла. Ортоцентар троугла на слици 54 обележен је словом H. Напомена: Уместо дужина висине троугла користимо израз висина троугла, и обележавамо је са h, односно са h, h и h ( = h, = h, = h (сл. 54) ) Нацртај оштроугли, правоугли и тупоугли троугао и одреди ортоцентар. ** ) Нацртај једнакокраки и једнакостранични троугао и одреди њихове ортоцентре. Да ли се уочава неко својство висина ових троуглова? 56. Нацртај тежиште и ортоцентар правоуглог и једнакокрако-правоуглог троугла. * Ово је значајно својство тежишта сваког троугла, што овде не доказујемо. То ћемо учинити касније. ** Користи модел троугла. Ортоцентар може и да се конструише. Покушај! Троугао (II део) 69

3 57. 1) На слици 55 приказани су описана и уписана кружница једног троугла, а тежиште и орто-центар другог троугла. 1) ) ' ε T h O t t h ' h ' H O 1 Сл. 55 ) Такође, за једнакокраки троугао све то је дато на једној слици, а за правоугли троугао је нацртан ортоцентар и центар описане кружнице (сл. 56). 1) = ) E h O s 1 O 1 T O t ' s Сл. 56 h H h H h h 3) Интересантно је уочити центар описане и центар уписане кружнице једнакостраничног троугла, као и његово тежиште и ортоцентар (сл. 57). == ε F O1 H T O k1 60º k Сл математика за 6. разред основне школе

4 Код једнакостраничног троугла све четири значајне тачке се поклапају. Пресек симетрала страница троугла, пресек симетрала унутрашњих углова троугла, пресек висина троугла и пресек тежишних дужи троугла, називају се значајне тачке троугла. Значајне тачке троугла су: центар описане кружнице; центар уписане кружнице; тежиште и ортоцентар. Запажамо нека карактеристична својства значајних тачака једнакокраког и правоуглог троугла. За једнакостранични троугао она су већ утврђена. Све четири значајне тачке једнакокраког троугла припадају симетрали основице која је и истовремено симетрала угла при врху, тежишна дуж која одговара основици и висина тог троугла. Ортоцентар правоуглог троугла поклапа се са теменом правог угла. Центар описане кружнице правоуглог троугла је средиште хипотенузе, а пречник кружнице је једнак хипотенузи.* 58. 1) Троугао је једнакокрак (сл. 58). Ако је угао α = 70, колики је угао x који граде крак и висина = h? x = h α Сл. 58 Решење: Из следи: α x = 180 (Зашто?), па је x = 180, тј. x = 10. Тражени угао x је 10. Збир углова : = 180. ) Нацртај висину датог која одговара краку и израчунај угао који образују основица и та висина. 3) Нацртај једнакостранични троугао и израчунај угао који образују страница и висина. 4)* Докажи тврђење: Висине једнакокраког троугла које одговарају крацима, једнаке су. Тежишне дужи које одговарају крацима једнакокраког троугла једнаке су. Да ли поменута тврђења важе и за једнакостранични троугао? 59. * Нацртај једнакостранични троугао. Одреди центар описане и уписане кружнице. Уочи висину и полупречнике описане и уписане кружнице. * Следећа тврђења доказујемо касније: Центар описане кружнице правоуглог троугла је средиште његове хипотенузе. Троугао (II део) 71

5 60. Поменимо неке сложене конструкције троуглова. 1) Конструисати једнакокраки троугао ако је дата основица и висина која њој одговара. Анализа Дата је основица и висина h (сл. 59). Висина је симетрала основице, тако да је позната њена конструкција. Конструкција На правој p, од тачке пренесе се дуж = (сл. 60). Тиме су одређена темена троугла и. Нека је права симетрала дужи. Кружница k(,h ) сече праву у тачкама и 1. Троуглови и 1 су тражено решење. h p h h h Сл. 59 Сл Доказ = и 1 = 1 (Својство симетрале дужи ). Значи, конструисани троуглови су једнакокраки, и основица и њена висина су једнаки датим елементима на основу конструкције. Дискусија Елементи с и h могу узимати произвољне вредности, а пресек кружнице k и симетрале одређује две тачке. Задатак има два решења. ) Конструиши једнакостранични троугао ако је дата висина ) Конструиши правоугли троугао ако је дата катета и полупречник описане кружнице. ) Конструиши једнакокрако-правоугли троугао ако је познат пречник описане кружнице. 6. * Конструиши троугао ако је дато: 1), α, h ; ),, h. (Парлелне и нормалне праве цртај лењирима) ) Дате су дужи и. Конструиши дуж чија је дужина једнака њиховом збиру. ) На слици 61 дат је троугао. Преношењем страница, и на правој p се добија дуж MN (сл. 6). 7 математика за 6. разред основне школе

6 Сл. 61 M а N Сл. 6 Збир дужина свих страница троугла је његов обим. У овом случају обим троугла приказује дуж MN (сл. 6). Одреди његову меру. 3) Нацртај једнакостранични троугао и конструиши дуж која приказује његов обим. 4) Нацртај правоугли троугао и конструиши његов обим. 64. * 1) Дат је обим једнакостраничног троугла. Конструиши тај троугао. Да ли та конструкција омогућује поделу дате дужи на три једнака дела? ) Конструиши троугао чији је обим 1 m, а углови 30 и 60. * 65. * 1) Конструиши једнакокрако-правоугли троугао ако је збир катете и хипотенузе 7 m. ) Конструиши правоугли троугао ако је један његов угао 60 а збир катета 8 m. 66. * Дате су паралелне праве p и q. Тачке и припадају правој p. Оне су темена троугла, где q. Да ли постоји: 1) пар (два) подударних троуглова 1 и, ако 1 q и q? ) једнакокраки троугао 3, 3 q? 3) једнакостранични троугао M, M q? 67. Која од следећих тврђења су тачна, а која нетачна: 1) Сваком троуглу се може придружити једна, и само једна, описана кружница. ) Сваком троуглу се може придружити једна, и само једна, уписана кружница. 3)* Свакој кружници се може придружити један, и само један, троугао чија су темена на кружници. 4)* Свакој кружници се може придружити један, и само један, троугао чије су странице тангенте кружнице. 68. * Дата је кружница k. Дуж је пречник кружнице k и k. 1) Троугао је правоугли ( = 90 ). Докажи. (Користи својства једнакокраког троугла, упоредне углове и др.). ) Да ли можеш да уочиш и формулишеш неко опште својство за такве кружнице и троуглове? * Обнови својство симетрале угла. Троугао (II део) 73

7 69.*1) Дата је дуж и полуправа x (сл. 63). Нека је: M 1 = M 1 M = M M 3 = и p 1 p p 3. Сл. 63 α x M 1 β N 1 θ M γ ϕ F M 3 δ x Е m 1 m y z t p 3 p p 1 Тврђење Дужи x, y и z су једнаке. Доказ Нека је права m 1 t () и m t. Пресечна тачка правих m 1 и p 1 је тачка E, а правих p и m тачка F. * Даље, β = γ = δ (сагласни углови); α = θ = ϕ (сагласни углови). Следи N 1 M 1 M 1 FM M EM 3 (УСУ). Из те подударности троуглова, следи: N 1 = M 1 F = M E и M 1 N 1 = M F = M 3 E (једнакост одговарајућих страница подударних троуглова). Тачна је и једнакост углова: N 1 = F = E из истог разлога. Из наведене подударности троуглова, следи: N 1 = x = M 1 F = M E. На исти начин може се доказати подударност троуглова: N 1 М 1 F М 1 FM M FЕ итд. Тако би се доказало да је: x = y и y = z. На крају следи једнакост дужи: x = y = z. Овим поступком можемо поделити дату дуж на: 3, 5, 7, тј. непаран број делова. Да ли се дата дуж овим поступком може поделити на: 4, 6, 8 тј. паран број делова? ) Дат је троугао (сл. 64). Нека је тачка E средиште странице (), и нека је права p. Права p сече страницу у тачки M. Тачка M је средиште странице. (Зашто?) Сл. 64 M E p EM EM = Дуж ME је средишна дуж троугла (средња линија). Тврђење Средња линија троугла паралелна је одговарајућој страници и једнака њеној половини. Докажи. * Може се доказати, да је и M 1 M, што сада не чинимо! 74 математика за 6. разред основне школе

8 Контролни задатак 70. (1). Конструиши троугао ако је = 7 m, = 5,5 m и α = () Ако је: = EF, = E и = F троуглова и EF, који од осталих основних елемената тих троуглова су међусобно подударни? 7. (3*) Нацртај тупоугли троугао, и одреди му ортоцентар. 73. (4*) Тетиве и кружнице k(o,r) су подударне. Докажи да је O O. 74. (5*) Конструиши једнакостранични троугао ако је његов висин 4 m. Троугао (II део) 75