РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА

Transcript

1 РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА 006. Задатак. Одредити вредност израза: а) : за, и 69 0, ; б) 9 а) Како је за 0 и 0 дати израз идентички једнак изразу,, : : то је за дате вредности, и 69 0, вредност израза. б) Задатак. Решити једначину:. Дата једначина еквивалентна је једначини тј.

2 . Увођењем смене добијамо тј. 0 0, односно. Дакле, решење полазне једначине је 0. Задатак. Доказати идентитет: sin sin g. sin sin За k важи: sin sin sin sin cos sin sin sin sin cos sin sin cos cos g. sin cos cos cos Задатак., одакле је Ако се број страница правилног многоугла смањи за један, број његових дијагонала смањи се за осам. Који је то многоугао? Према услову задатка важи: D n 8 Dn n n n n 8 n n 6 n n n 0 n 0. Задатак. Написати једначину праве која на координатним осама одсеца једнаке одсечке и додирује кружницу y 8.

3 Једначину праве можемо написати у сегментном облику q y p. Како је q p то је p y p y. Права n k y додирује кружницу r y ако је n k r. Како је 8 r, k и p n, то је 6 p p 6, па су једначине праве : 6 y : и 6 y :. 00. Задатак. Вредност израза једнака је: а) ; б) ; в) ; г) ; д). ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Одговор: в) Задатак. Упрошћен израз : има облик: а) ; б) ; в) ; г) ; д) 0.

4 - ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( : ) ( : Одговор: в) Задатак. Решења квадратне једначине 0 задовољавају неједнакост за а),0 ; б), ; в), ; г), ; д) 0,. На основу Виетових правила је и, 0 0,,, па дата неједнакост добија облик:, 6 Одговор: в) Задатак. Збир решења једначине је: а) 0; б) ; в) ; г) ; д) 6. Дата једначина еквивалентна је једначини

5 6 Увођењем смене Висока техничка школа струковних студија , једначина се трансформише у 0 6 0, чија су решења /, 8,. Заменом добијамо 8 или, односно или па је или. Дакле и. Отуда је. Одговор: в) Задатак. Производ решења једначине а) 9 ; б) ; в) ; г) ; д) -. је: Нека је 0. Дата једначина еквивалентна је једначини. Усвjањем смене, једначина добија облик 0 чија су решења и, па је 9 или, односно 9. Одговор: в) Задатак 6. Израз cos sin sin идентички је једнак: а) cos( ) ; б) cos sin ; в) sin( ) ; г) ; д) 0.

6 cos sin (cos sin ) (cos sin cos sin sin sin cos (cos sin ) ( sin cos ) ( sin cos ) cos sin. Задатак. ) Одговор: б) У правоуглом троуглу једна катета је Површина тог троугла је: 8 c а друга је c краћа од хипотенузе. а) 0 c ; б) 60 c ; в) 80 c ; г) 8 c ; д) 6 c. Ако су и катетете, а c хипотенуза правоуглог троугла, онда је 8 c, c. Применом Питагорине теореме добијамо: c ( c ) 8 c c c c 68 c c. Отуда, c, па је 8 P P P 60 c. Одговор: б) Задатак 8. У купу, чији је осни пресек једнакостранични троугао, уписана је лопта запремине. Запремина купе је: а) 0 ; б) 0 ; в) ; г) ; д) ниједан од ових одговора. Нека је s изводница купе, r полупречник основе, H висина купе, а R полупречник лопте. Како је осни пресек једнакостраничан троугао, то је r s и s H, а R H тј. 6

7 s R. Запремина лопте је V R, па је R, одакле је R. Тада је 6 s тј. s, а r 6 s, r, H 6. Запремина купе је V r H V 6 V. Одговор: г) Задатак 9. Услов да права k y 0 додирује елипсу y вредности: је да параметар k има а) k ; б) k ; в) k 0 ; г) k 6 д) ниједан од ових одговора. y Права y k n додирује елипсу ако је k може записати у облику y k и елипса y то је: k k k k k 6. n. Како се дата права 6 Одговор: г) Задатак 0. Тринаести члан аритметичког низа -, -6, -0,... је: а) 0; б) -0; в) -6; г) 00; д) ниједан од ових одговора. Како је и 6 ( ), то је ( ) 0. Одговор: б)

8 Задатак. Вредност израза је: ) ; ) ; в) + ; г) -. За, 0 0, Одговор: а) Задатак. Производ решења једначине је: ) ; б) ; в) 0 ; г). Дата једначина може се представити у облику:

9 је Висока техничка школа струковних студија Увођењем смене, добија се: 0 чија су решења и 9, одакле и, или.,, па је производ решења Задатак. Решења једначине sin cos ) k ; б) k, 6 в) су: k ; 6 k ; г) k, k, k. 6 6 Одговор: г) Како је cos sin, то се заменом добија квадратна једначина: sin sin sin 0 sin 0 sin 0 sin k, k, 6 k 6 Одговор: г) Задатак. Површина ромба чије се дијагонале разликују за 8 не мења се ако се краћа дијагонала продужи за, а дужа скрати за. Та површина је: ) 0 ; б) 60 ; в) 0 ; г) 00. Означимо дужине дијагонала са и. Према условима задатка добијамо следећи систем: 9

10 Тражена површина је 0 0 P. Одговор: а) Задатак. Угао између изводнице и висине праве кружне купе је 0 60, а разлика њихових дужина је 0. Запремина купе је: ) 000 ; б) 00 ; в) ; г) 00. r s r s r s H H H H s H s s H 0, sin 60, sin , 0 0,, cos V V H r V Одговор: а) 009. Задатак. Вредност израза је: а) ; б) ; в) 0 ; г) -. H s r 60 o 0 o

11 За 0, 0, Одговор: а) Задатак. Решења једначине су : а) или 0 ; б) или 9 ; в) или ; г) или 6. Једначина има смисла за 0 и. Како је, и, то је дата једначина еквивалентна са. Увођењем смене, добија се: 9 0, Одакле је 9 или. Одговор: б)

12 Задатак. Ако је sin 8 и оштар угао, онда је вредност израза cos sin једнака: а) ; б) ; в) ; г). 89 Како је cos cos Задатак. cos sin и sin sin то је 8 sin 6 89 cos sin sin cos 89. sin Одговор: в) У једнакокраком троуглу збир трећине угла при врху и половине једног од углова на 0 основици износи 8. Углови тог троугла су: а) 6,6,08 ; б) 0,0,0 ; в) ,0,00 ; г) ,,. Нека су и углови на основици, а угао при врху. Тада је: Дакле, 6 Одговор: г) Задатак. Три броја образују растући аритметички низ.њихов збир је, а збир њихових квадрата је. То су бројеви : а) -,, ; б) 0, 6, 9 ; в), 6, 8 ; г),,.

13 Нека су то бројеви,,. Тада је: Како је низ растући, то је 0. Дакле, 6 и тражени бројеви су -,,. Одговор: а) 00. Задатак. Вредност израза : је: а) ; б) ; в) ; г). Како је и, дати израз добија облик: :. : Одговор: б)

14 Задатак. Решење једначине је: а) ; б) ; в) ; г) 0. Уз услове да је 0, 0, 0, добија се: 0. Одговор: а) Задатак. Вредност израза cos cos је: 8 8 а) ; б) ; в) ; г). Користећи формулу за разлику квадрата и одговарајуће адиционе формуле, добија се: cos cos 8 8 cos cos. 8 sin 8 Одговор: б) Задатак. Бројеви:,, аритметичког низа за: представљају три узастопна члана а) ; б) ; в) ; г).

15 Како је код аритметичког низа разлика два суседна члана константна, то је : Увођењем смене, 0, добија се квадратна једначина 0, чија су решења:,. Дакле,. Задатак. Одговор: а) Обим већег дијагоналног пресека правилне шестостране призме је c. Висина призме је за c краћа од основне ивице. Површина те призме је: а) c ;б) c ; в) ( ) c ; г) 6 c. Обележимо основну ивицу призме са ивисину са H. Већи дијагонални пресек призме је правоугаоник страница и а -, одакле је обим једнак: O ( ) ( ) c H c. Како је површина шестостране призме једнака вредности долази до решења: P 6H, то се заменом добијених P 8 ( ) c. Одговор: в)

16 0. Задатак. Вредност израза : а) ; б) - ; ц) 00 ; д) -00. је: Задатак. : : 6 6 Одговор: б) Производ решења једначине 6 6 je: а) ; б) 6; ц) ; д) -6. Примењујући правила о промени основе логаритма и о логаритму количника, добија се једначина облика: Увођењем смене добија се: Како су решења дате једначине 8 и то је њихов производ. Одговор: а) 6

17 Задатак. Упрошћен израз cos sin sin je: а) ; б) cos sin ; ц) cos sin ; д). sin Koристећи формулу за разлику кубова, основни тригонометријски идентитет cos и формулу sin sin cos добија се: cos sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos Задатак. Висина хипотенузе дели хипотенузу на одсечке дужина кружнице датог правоуглог троугла је: а) 0 c ; б) 00 c ; ц) c ; д) c. sin Одговор: ц) 9c и 6 c. Обим уписане Како су одсечци хипотенузе дати то је хипотенуза c 9 c 6 c c. Висина је поделила дати троугао на два правоугла троугла, у којима се применом Питагорине теореме могу изразити катете датог троугла. 9 hc и 6 hc. Како је c и c c 9 6 h, одакле је c c то се сабирањем ових једнакости добија c h, па је 0 c и c. Како је полупречник уписане кружнице правоуглог троугла c r то је r c, па је обим уписане кружнице O r 0 c. Одговор: а)

18 Задатак. Основна ивица правилне четворостране пирамиде је M 60 c. Запремина те пирамиде је : 6c, а површина омoтача а) 8 c ; б) 60 c ; ц) 6 c ; д) Како је омотач правилне четворостране пирамиде h 0 c. M h 60 c и 6 c, то је апотема c. Из правоуглог троугла који повезује апотему, висину пирамиде и полупречник уписане кружнице основе пирамиде, jе H h полупречник уписане кружнице једнак половини странице, Тражена запремина пирамиде је: V BH H 6 8 c. r, а како је у основи квадрат, то је 6 r c c то је H c. Одговор: а) 0. Задатак. y y Вредност израза y y y 6 6 y y je: ) ) ) y ) y Растављајући имениоце на чиниоце, израз постаје : y y 6 y y y y y y y y 6 y y y y y y y y y y y y y 8 6 y 0 0 y y 6 y y y y y, y 6 y y y 6 y y y y y Одговор: ) 8

19 Задатак. Висока техничка школа струковних студија Збир решења једначине 8 је : За 0 0 и вредности израза ) ) ) ) 6, дата једначина еквивалентна је једначини 0, увођењем смене, добија се квадратна једначина 0, чија су решења,, одакле су решења полазне једначине,. s На основу особина логаритама s и s је s 8,, Отуда је : 8 Одакле је збир решења дате једначине и вредности датог израза. Одговор: ) Задатак. Решења једначине sin 0 на интервалу π 0, су: ),,, ), 6 6 ),,, ), Дата једначина еквивалентна је једначини : sin, одакле је sin sin Решења ових једначина су : π π π π kπ lπ и π sπ,oдакле је : π kπ π lπ π π π sπ и k, l,, s Z Kако решења треба одредити на интервалу 0, π то је π 9 π 9 9 π π. 9 9 Одговор: )

20 Задатак. Збир првих 0 парних природних бројева је : ) 0 ) 0 ) 80 ) Како парни природни бројеви чине аритметички низ, где је ралика свака два суседна члана и први члан то се из формуле за првих n чланова аритметичког низа n S n добија n 0 S Одговор: ) Задатак. Хипотенуза правоуглог троугла је, а један оштар угао 0. Запремина тела које настаје ротацијом троугла око хипотенузе је : ) ) ) ) 6 Ротацијом троугла око хипотенузе настаје тело које се састоји од две купе спојене базама.отуда је запремина тако добијеног тела: V V V r πh r πh r π H H Како је збир висина ове две купе једнак хипотенузи датог троугла то је r πc. Полупречник основа купа је висина датог троугла која одговара хипотенузи и може се chc израчунати из обрасца за површину правоуглог троугла: P. Kко се у правоуглом 0

21 троуглу наспрам угла од 0 налази катета једнака половини хипотенузе то је, а на основу Питагорине теореме, п је r h. Kоначно запремина тела биће једнака : V r πc π π. c Одговор: ) 0. je: Задатак. Вредност израза + + А) ; Б) ; В) ; Г). + + = = = = ( 0, ). Одговор: Г) Задатак. Производ решења једначине + + = 8 je: А) -9 ; Б) ; В) -6 ; Г) = = 8. Како је + =, тј. = +, увођењм смене + = једначина постаје + = = 0. Решења ове једначине су = = +, = +, те је = =. Отуда, решења полазне једначине су =, =, те је њихов производ = 9.

22 Одговор: А) Задатак. Број решења једначине = на интервалу (0, ) je : А) ; Б) 0 ; В) ; Г). = + = 0 = 0 ( ) = 0 + = 0 Решења последње једначине по су - и, а како је, то је =. Отуда је = + = + (, Ζ ), те је = + = + (, Ζ). Како се траже решења на интервалу (0, ) то је = =. Дакле број решења дате једначине на интервалу (0, ) je. Одговор: Г) Задатак. Површина кружног прстена, део између описаног и уписаног круга правилног шестоугла странице, je. Површина тог шестоугла (у ) је :, =. А) ; Б) ; В) ; Г) 6. Означимо са, полупречник описаног и уписаног круга респективно. Тада је = Како је површина кружног прстена ( ) =, то је =, одакле је =. Тражена површина шестоугла је = 6 =. Одговор: А) Задатак. Запремина праве призме чија је основа ромб је 0 пресека су 60 и 80. Површина те призме је :. Површине дијагоналних А) ; Б) ; В) 80 ; Г) 8. Нека су, дијагонале ромба, =, = површине дијагоналних пресека призме висине. Површина основе =. Запремина ове призме је =

23 , одакле је =, те је =, а одатле заменом датих вредности добијамо = 0. Из = = = = 6, = = = 8 Како је = + то је =. Tражена површина призме је = + = +, одакле је = 8. Одговор: Г) Задатак. Вредност израза je: А) ; Б) 6 ; В) ; Г) 0. На основу формуле за квадрат збира + + = и формуле за разлику квадрата следи да је + = = 6 = = + + = Како је и то је = + = = + + = + + = + = = = = 8 = = 0. Одговор: Г) Задатак. Производ решења једначине = je: А) Б) ; В) ; Г) 0.

24 Како је = за за > то је за дата једначина еквивалентна једначини: ( ) = ( ). Отуда је 9 = 6, односно =. За > дата једначина еквивалентна је једначини: ( ) = ( ), одакле је 9 = 6, те је =. Како су решења дате једначине = и = то је њихов производ =. Одговор: А) Задатак. Збир решења једначине + = на интервалу (, ] je : А) ; Б) ; В) 6 ; Г) 8. Дата једначина еквивалентна је са = Како је = s то је s = 0, тј. = 0. Одатле је = 0 =, те је = = + = +,,,. Зато је = = + = +,,,. Kако се траже решења на интервалу (0, ], то је = = = =, а одатле је њихов збир једнак 8. Одговор: Г) Задатак. Oко круга пречника описан је једнакокраки трапез, површине. Збир нумеричких вредности обима и површине овог трапеза је: А) ; Б) 6 ; В) ; Г) 6. Нека су и основице, крак, а h висина датог трапеза. Приметимо да је пречник једнак висини. Како је дати трапез тангентни четвороугао, то је збир основица једнак збиру кракова тј. + =. Како је површина трапеза = h, то знајући површину и висину можемо одредити збир основица, тј. + = = =. Како је обим једнакокраког трапеза = + +, то је = 68, отуда је збир нумеричких вредности обима и површине 68+=. Одговор: А)

25 је : Задатак. Запремина ваљка је 80. Површин осног пресека је 0. Површина тог ваљка А) 8 ; Б) 90 ; В) 80 ; Г) 60. Означимо са полупречник основе ваљка и са висину. Како је површина осног пресека = = = 60. Запремина ваљка је =, тј 80 = = 60, одакле је = и = = = 0. Површина ваљка је = ( + ) = ( + 0) = 8. Одговор: А) Задатак. У скупу целих бројева збир решења једначине + = je: А) ; Б) 0 ; В) ; Г). 0. Како је =,, < и + = +,, то може припадати следећим, < интервалима (, -) ;, ;, ). Разликујемо три случаја: ) <, ) - <, ). < - < ) За (, ) дата једначина еквивалентна је једначини ( ) = =, па једначина у овом случају нема решења. ) За, дата једначина постаје ( + ) = = = =. ) За, ) дата једначина еквивалентна је једначини ( + ) = = = =. Дакле, = и = су решења полазне једначине, па је збир решења -+=. Задатак. Ako je =, =, тада je једнако: Одговор: Г)

26 А) ; Б) ; В) ; Г). На основу особина логаритама добија се: = = = = = ( ) = ( ) = Одговор: А) Задатак. Вредност израза + je: А) ; Б) ; В) ; Г). се: Користећи формулу за разлику квадрата и одговарајуће тригоно-метријске идентитете добија + = = = + = + = +. Одговор: Г) Задатак. Збир прва четри члана аритметичког низа једнак је, а следећа једнак је 8. Број чланова овог низа које треба сабрати да би се добио збир је: А) 0 ; Б) ; В) 0 ; Г) 6. Према условима задатка = и = + =. Из формуле за збир првих чланова аритметичког низа = ( + ( ) ) и датих услова добија се следећи систем линеарних једначина ( + ( ) ) = ( + (8 ) ) = 0 тј. + 6 = = 0. Овај систем има решења = и =. Ако је број првих чланова низа чији је збир, онда је + ( ) =, односно 0 = 0. Решавањем квадратне једначине добија се = 0. Одговор: А) Задатак. Ако су А =, =, две странице троугла ABC и збир висина h и h једнак је трећој висини h ( = + ), тада је страница овог троугла једнака: А) ; Б) ; В) ; Г). 6

27 Како је површина троугла = = =, то је h =, h =, h = и како за висине овог троугла важи = + добија се = +, одакле следи = + =, те је =. Одговор: А)