ЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ

Transcript

1 Универзитет у Крагујевцу Машински факултет Краљево ЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Краљево, март 011. године 1

2 Публикација Збирка решених задатака за пријемни испит из математике Издавач Машински факултет Краљево За издавача Декан: др Новак Недић, ред. проф. Задатке одабрао: Зоран Богићевић, дипл. мат., асистент, Машински факултет Краљево Техничка обрада Владимир Ђорђевић, дипл инж. маш. Владимир Стојановић, дипл инж. маш. Марко Николић, дипл инж. маш. Бојан Белоица, дипл инж. маш. Штампа АДМ Графика, Краљево Тираж 800 примерака

3 1 1 ИЗРАЗИ Задатак 1.1 Израчунати вредност израза: 81 : 81 ( ) Дати израз једнак је a:b, где је: a b Одавде следи да је: a: b : Задатак 1. Израчунати вредност израза: : :

4 Задатак 1.3 Израчунати вредност израза: : : : : 13 : : Следи да је дати израз једнак: Задатак 1.4 Израчунати вредност израза: Пошто је , , 4 4 то је дати израз једнак :

5 Задатак 1.5 Израчунати вредност израза: : : 8 1 : : Задатак 1.6 Израчунати вредност израза:

6 Задатак 1.7 Упростити израз: 3 5 a a 5a 15a a 5 3 a 5a5 5a a 15 a5 ако a R \5 Код трансформација рационалних алгебарских израза, између осталог, се користе формуле: ab a abb, a b a b a b ; ab a 3a b3ab b, Што се тиче самог израза, за a 5, важи: a b a b a ab b ; Нека је притом 3 5 a a 5a A 3 a 5a5 5a a 15 a aa a 3 a a 3 5 a a 5a a 5a5 5a a 15 a5 a 5a a15a 10a 50aa 5a a 15a 75a 15 a5a 5a5 a5a 5a5 a a5a 5a5 3 5 a5 a 5a5 15a Нека је B a5 a 5 15a a 5 15a a 10a515a a 5a5 a 5 a5 a5 a5 a5 Па је вредност почетног израза једнака AB: 6

7 a 5 a 5a5 AB a5 a 5a5 a 5 Задатак 1.8 Упростити израз: 3 3 a b a b aba abb 3 3 a b a abb a b ab ab ab Задатак 1.9 Упростити израз: a1 1a 1 :, за a 3 a 4 a 8 a 1 3 Нека је a 1 1a A a 3 4 a 8 a1 1a a1 1a A a a a a a a a a1a a41a1aa aaa a4 a1 a a 4 1 a a a1a a4aa a aaa a4 aaa a4 a1a a 1 aaa a4 aa a4 7

8 Нека је B 1 1 a 1 3 a a 4 Тада је почетни израз једнак 1 a1 A: B a a4 a a a a a4 Задатак 1.10 Израчнати вредност израза: a 3 3 a a a a a a a a a

9 КВАДРАТНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ Једначина облика ax bx c 0 где су abc,, R и a 0 назива се квадратном једначином. Израз D b 4ac је дискриминанта квадратне једначине. Ако је D 0 квадратна једначина има реална и различита решења: b D x 1 a и b D x a b За D 0 једначина има двоструко решење x x 1 a, а за D 0 решења једначине су комплексни бројеви. Задатак.1 Решити једначину: x x 4 x 7x 4 x 1 A Једначину сведемо на облик 0 B трином x 7x 4 на чиниоце: A 0 и B 0. Раставимо квадратни x 7x 4 x 1, Пошто су решења x 4, x, квадратни трином се може записати као: 1 1 x 7x 4 x 4 x x 4 x 1 9

10 Сада добијамо: x x 4 x 1 x 4x 1 x 4x 1 x 7x 4x x 1 76 x 4 x 7 x 4 4 x x 7 6 x 4 0 6x x 1 x 4x 1 x 4x x x и x 4 x 1 0 x 4 и x x x и x 1, Међутим, због условне једначине једино решење је x 1. 3 Задатак. Решити једначину: x x 30 Размотрићемо следећа два случаја: 1. У случају x 0 једначина постаје x x 30, њена решења су: 16 4 x x 3 и x 1. 1, 1 10

11 Због ограничења једино решење је x 3.. У случају за x 0, једначина постаје x x 30 и њена решења су: 16 4 x x 3 и x 1. 1, 1 Због ограничења једино решење је x 3. Дакле, решења дате једначине су: x 3 и x 3. 1 Задатак.3 За које вредности јединог параметра m квадратна једначина x m1xm10 има двострука реална решења? , 650, , 1 и 5 Задатак.4 Решити неједначину: Дату неједначину је најлакше решити уз помоћ бројевних правих. Одредимо нуле функције 4 43 :, , 1 и 3 11

12 Сада добијамо: Па је скуп решења дате неједначине, 4,. Задатак.5 Одредити целобројна решења неједначине: 45 Дату неједначина је еквивалентна неједначини квадратног тринома на левој старани су: 450. Нуле, , 1 и Према томе, дата неједначина је задовољена ако и само ако 1,5. Цели бројеви који припадају сегменту 1,5 су 1, 0, 1,, 3, 4, 5. Задатак.6 Одредити реалан параметар α тако да је збир квадрата решења једначине x 3αxα 0 буде. За решавање овог задатка потребне су нам Виетове формуле. Ако су и решења квадратне једначине 0 тада важи: 1

13 x x b a, x x c a За дату квадратну једначину добијамо: x x 3α, x x α Приметимо да се дати услов може написати у облику одакле се добија 9, па су решења и. Задатак.7 За које је вредности реалног броја једно решење квадратне једначине m3x m4x3m0 три пута веће од другог? На основу Виетових формула је захтева да буде 3. Добијамо: и. У задатку се 4 и 3 следи , и

14 Задатак.8 Одредити домен параметра тако да је неједнакост тачна за свако x. Пошто за свако важи x x10 и x x30, после множења са x x1x x3 дата неједнакост неће променити смисао. Дакле, дата неједнакост важи ако и само ако је xax x 3 x x1 tj.: 1 30 Последња неједнакост је тачна за свако ако и само ако је 1 0 и што је испуњено ако и само ако 1 и, 1 1/, tj., 1. Задатак.9 Решити у скупу реалних бројева једначину: Сменом дата једначина се своди на квадратну Речења ове једначине су:, и 7 Из 8 следи односно 0, а из 7 следи 3 односно 5. Задатак.10 Одредити вредности параметра за које једначина x mxm10 има комплексне корене који задовољавају релацију: 1. Дискриминанта дате једначине је Решења су комплексна ако и само ако је 0, tj.: 14

15 0 4 0,4. Услов 1 је еквивалентан услову 1 тј.: 1. Како је према Вијетовим формулама и 1, следи да је: односно после сређивања следи: Значи, 1. Из израза и следи да је 1. 15

16 3 3 ПОЛИНОМИ Нека је полином дефинисан једнакошћу:, где су,,, 0 реални (или комплексни) брпјеви, а x променљива. На основу Безуове теореме остатак R при дељењу полинома биномом је. Неопходан услов да несводљиви разломак, буде нула полинома са целобројним коефицијентима је да (p дели ) и (q дели ). Задатак 3.1 Одредити коефицијенте полинома:, ако је 0 1, 1, 4 Из датих услова следи: 0 1, 1, 44 Решавањем овог система једначина добија се:,, 1. Задатак 3. Одредити збир свих коефицијената полинома ако је: 1 Збир коефицијената полинома добија се као вредност полинома за 1. Према томе је: Задатак 3.3 Одредити остатак при дељењу полинома биномом 1. 16

17 Према Безуовој теореми остатак дељења полиномом са 1 је: Задатак 3.4 Дат је полином 4. Одредити параметар m тако да полином буде дељив са. На основу Безуове теореме важи да је 0 : Задатак 3.5 Дат је полином 4. Одредити параметар m тако да остатак при дељењну са 1 буде једнак 7. Примењујући Безуову теорему добијамо 1 7 да је: Једначина 0 назива се алгебарском једначином степена n. Нека су,,., решења те једначине. Везу између коефицијената и решења те једначине дају уопштене Виетове формуле:.. 17

18 Задатак 3.6 Нека су, и решења једначине Одредити вредност израза. Користећи уопштене Виетове формуле добијамо: 15, 0 и 64 сада је: 15, одакле следи да је. Задатак 3.7 Једначина 0, има решења 1 и. Одредити производ свих решења те једначине. Из чињенице да су и решења дате једначине следи: Одакле је 7 и 6. Следи да из уопштених Виетових формула добијамо: 6. Задатак 3.8 Решити једначину:

19 Како важи да је:,, Следи: 1. За добијамо: Дата једначина није дефинисана.. За добијамо: Па је ова једначина еквивалентна систему: и Решења су 0, 1, 3, 4. Међутим, због датог ограничења једина решења су 3 и 4. Задатак 3.9 Ако је полином 6 8 дељив триномом 1, одредити и. Ако је дељив са онда је такође дељив и са 1 и са. Према Безуовој теореми је 1 0 и 0, одакле следи: 1 3 Решење овог система је 33,

20 Задатак 3.10 Израчунати вредност израза: Степеновањем леве и десне стране једначине са 3 добија се: Како је израз у загради једнак a, добијамо: Односно: 6400 Значи, је решење последње једначине. Приметимо да су коефицијенти полинома на левој страни цели бројеви. Испитајмо да ли једначина има решења на скупу рационалних бројева. Ако је решење једначине и онда и. Према томе 1,, 4, 5, 8, 10, 0, 40 и 1. Методом покушаја тако се установљује да је 4 једино решење. Дељењем леве стране једначине са 4 добија се да је , како једначина 4100 нема реалних решења (40), закључујемо да је 4 једино реално решење, што значи да је

21 4 4 АРИТМЕТИЧКИ И ГЕОМЕТРИЈСКИ НИЗОВИ Низ бројева,,.., је аритметички низ ако је :, Број d назива се разлика аритметичког низа. Општи члан аритметичког низа рачуна се по формули: 1 док се збир првих n чланова рачуна по формули: 1 Низ бројева,,.., је геометријски низ ако је :, и 0, 0 Број q се назива количник геометријског низа. Општи члан геометријског низа рачуна се по формули: док се збир првих n чланова рачуна по формули: Задатак 4.1 Аритметички низ дат је својим првим чланом 10 и разликом d 5.Одредити првих шест чланова низа. 1

22 Користећи се формулом за општи члан аритметичког низа добијамо: Задатак 4. Наћи осми члан аритметичког низа 1,3,5,7, Обележимо са 1, 3, 5, 7. Како је и користећи се формулом за општи члан аритметичког низа добијамо: Задатак 4.3 За аритметички низ са општим чланом важи: 7 0 и 0 Израчунати први члан и разлику овог низа. Користећи се формулом 1 препишемо дати систем једначина: Сада следи:

23 7 50 Решење овог система је 5 и. Задатак 4.4 Дат је први члан 6 и количник низа. Написати првих шест чланова тог низа. геометријског Користећи се формулом добијамо: 3 Задатак 4.5 Дат је општи члан геометријског низа. Одредити први члан и количник тог низа. Први члан геометријског низа је. Како је то је: Задатак 4.6 Дат је први члан 1 и количник 3 геометријског низа. Одредити индекс члана тог низа чија је вредност

24 Како је 81 и имамо следећу једначину: Па добијамо да је 5. Задатак 4.7 Збир трећег и седмог члана аритметичког низа је 6, а њихов производ је 8. Израчунати збир првих шеснаест чланова те прогресије. Према услову задатка је: 6 8 Односно Из прве једначине следи да је 34 и заменом у другу добијамо: тако да имамо два решења: 4

25 , 1 и, 5 У првом случају је: , а у другом: 515 0, Задатак 4.8 Израчунати збир свих парних двоцифрених бројева. Низ парних двоцифрених бројева је аритметички низ са првим чланом 10 и разликом. Таквих бројева има 145 па је: Задатак 4.9 Одредити четири узастопна члана геометријског низа ако је збир крајњих чланова једнак -49, а средњих 14. Из услова задатка имамо: 49 и 14 Односно:

26 Добијамо: 11 1 тј.: Решења ове једначине су: или 1 У првом случају је: 7, 14, 8, 56. а у другом је: 56, 8, 14, 7. Задатак 4.10 Бројеви a,a и a чине геометријску прогресију. Ако је a a a 343 и a a 5, одредити њихов збир. Из првог услова добијамо: 343 односно 7 Дакле 7, па из другог услова следи да је. Даље је и 6

27 5 5 ПЛАНИМЕТРИЈА И СТЕРЕОМЕТРИЈА Задaтак 5.1 Колике су странице правоугаоника чији је обим 7,4 m, а површина 3 m. Обим правоугаоника страница и je, а површина је. Из услова задатка следи да је: 7,4 3 tj. 3,7 3,7 3 Решимо последњу једначину: 3, ,,5 1, У првом случају је,5 и 1,, а у другом 1, и,5. 7

28 Задaтак 5. Одредити странице ромба површине 16cm дијагонала : 1:. чији је однос Како је површина ромба систем: и из услова задатка добијамо следећи 16 Решења овог система су 4, 8. Из Питагорине теореме следи да је: Односно: 416 Сада је: 5. Задaтак 5.3 Одредити збир унутрашњих углова многоугла код којег је збир броја страница и броја дијагонала једнак 190. Како је број дијагонала конвексног многоугла једнак једначину: добијамо 8

29 Једино решење које је природан број је 0, па је збир углова једнак: Задaтак 5.4 Одредити централни угао који одговара исечку површине 9,6 ако је полупречник круга 1. Како је површина кружног исечка, добијамо следећу једначину: 9, Чије је решење 4. Задaтак 5.5 Одредити запремину лопте чија је површина 34. Из формуле за површину лопте 4 добијамо: 34 4 Сада је 9. 9

30 Одавде следи да је: Задaтак 5.6 Обим основе ваљка је 1, а висина 16. Израчунати површину и запремину ваљка. Формуле за површину и запремину ваљка су: Како је основа ваљка круг имамо да је: 1 То значи да је 6 Према томе површина ваљка је: Односно запремина ваљка је:

31 Задaтак 5.7 Израчунати дужину полипречника уписане кружнице троугла ABC ако је 5, 9 и 36. Из формуле где је:, и Добијамо да је: Задaтак 5.8 Површина паралелограма страница 10cm и 1 cm је 60 cm. Наћи висине овог паралелограма. Користећи формулу за површину паралелограма биће: Добијамо да је: односно

32 Задaтак 5.9 Висина H и изводница s праве купе односе се као 3:5, а њена запремина је 18. Одредити њену површину. На основу Питагорине теореме је: Према услову задатка је: 5 3 Па из ових једначина добијамо: 16 9 Такође је познато да је запремина купе: 18 Односно: 3 Сада је: 6 18 На основу претходног следи да је: 3

33 8 и 10 Површина купе је: 144 Задaтак 5.10 Одредити површину тела које настаје обртањем правоуглог троугла око хипотенузе ако његове катете имају дужину a и b. Тело које се добија приказано је на слици: То су две купе са спојеним основама па је: Полупречник основе r је висина која одговара хипотенузи c, према томе: Збир висина ове две купе једнак је хипотенузи c, па имамо:

34 6 ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ Експоненцијалне једначине су једначине код којих се непозната налази у изложиоцу. Нека је 0,1. Тада aко и само ако је Задатак 6.1 Решити једанчину: 9 3 Дата једначина је дефинисана за 0. Довођењем на исте основе добијамо Задатак 6. Решити једначину: 16 8 Дата једначина је дефинисана за 0. Довођењем на основу добијамо: 34

35 Задатак 6.3 Решити једначину: 3 18 Користећи особину добијамо Задатак 6.4 Решити једначину:

36 Задатак 6.5 Решити једначину: : Задатак 6.6 Решити једначину:

37 Задатак 6.7 Решити једначину: Уведимо смену 0. Добијамо: , Задатак 6.8 Решити једначину: Уведимо смену 5 0. Добијамо:

38 (ово решење не задовољава услов 0) 5 Задатак 6.9 Решити једначину: Трансформацијом једначине добијамо: : Уведимо смену (ово решење не задовољава услов 0)

39 Задатак 6.10 Решити једначину: Трансформацијом једначине добијамо: : Уведемо смену ,

40 7 7 ЛОГАРИТМИ И ЛОГАРИТАМСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ 0,1,0 Основне особине логаритма су:, за, 1, 0, за 0, 0, 0, 1, за 0, 1, 0,, за 0, 0, 0, 1 1 0, за 0, 1 1, за 0, 1 1, за 0, 0, 1, 1, за 0, 0, 0, 1, 1 1, за 0, 0, 1, 1, за 0, 0, 1, 1 40

41 Задатак 7.1 Израчунати x ако је 9. Из дефиниције логаритма следи да је: 3 9 односно. Задатак 7. Израчунати x ако је Из дефиниције логаритма следи да је: 15, 15, 5 Задатак 7.3 Одредити x из једначине:, 0 Користећи особине логаритма добијамо: Задатак 7.4 Израчунати: Једначина је еквивалентна систему: 0 и 1 и 0 и. 41

42 Реалан број x је решење неједначине ако и само ако је решење бар једног од следећа два система неједначина: 1. 0 и и 0. Задатак 7.5 Решити једначину: 1 Дата једначина је еквивалентна систему: и и и 1 Тако да је решење. Задатак 7.6 Решити неједначину: 3 0 Дата неједначина је еквивалентна неједначини: 3 1 А ова систему: 031 Па је решење неједначине: 4

43 3 1 Задатак 7.7 Решити неједначину: Дата неједначину напишемо у облику: Одавде добијамо: Значи добили смо систем од две неједначине: Решења једначине (1):

44 Значи, 0,. Решења једначине (): , Значи,0. Из израза (*) и (**) следи да је:, 3 Задатак 7.8 Решити једначину: Област дефинисаности је 0,1, то јест 0,1 1,. Користећи особине логаритма трансформишемо дату једначину: Уведемо смену. 44

45 , , 3 Враћајући смену добијамо да су: 3, и 3, 8 решења. Задатак 7.9 Решити једначину: 7 Трансформишемо дату једначину: Па је решење једначине: 16 45

46 Задатак 7.10 Решити неједначину: 1 Запишемо неједначину у облику: Реалан број x је решење ове неједначине ако и само ако је решење бар једног од следећа два система неједначина: 1 0 1, 1, Скуп свих решења првог система је: 0,1 А другог је:, Према томе: 0,1, 46

47 8 8 АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА Задатак 8.1 Доказати да је троугао са теменима А(-3,-), B(0,-1) и C(-,5) правоугли. Растојање d између тачке A(x 1,y 1 ) и B(x,y ) рачуна се по формули : На основу ове формуле дужине страница троугла су: Очигледно је, па је троугао правоугли. Задатак 8. Одредити једначину праве која са осом Ox гради угао од 135 о и која садржи тачку А(-3,-). Једначина праве која садржи тачку A(x 1,y 1 ) и има дати коефицијент правца има облик: У овом случају коефицијент правца је 135 1, па је једначина праве: 3, односно: 47

48 5 Задатак 8.3 Одредити координате центра и дужину полупречника кружнице Једначина кружнице са центром у тачки C(p,q) и полупречником r има облик: Како се кружница из задатка може написати у облику: 3 16 То је центар C(,-3), и r=4. Задатак 8.4 Одредити једначину елипсе чије је растојање међу жижама једнако 8, а мале полуосе је 3. За 0 и b 0 једначина елипсе има облик: 1 Растојање између жижа је c, па је c=4. Даље је 5, одакле следи да је 5. Тако да је једначина тражене елипсе: Задатак 8.5 Израчунати ексцентрицитет хиперболе чија асимптота заклапа са осом Ox угао од 60 о. Једначина хиперболе је једначина облика: 48

49 1 Где су 0 и b 0. Праве су асимптоте хиперболе. Број назива се ексцентрицитет хиперболе, где је: У једначини асимптоте је: 60 Па је 3, одавде је екцентрицитет хиперболе: Задатак 8.6 Одредити једначину тангенте на параболу 16 која је нормална на праву Једначина параболе чија је оса симетрије оса Ox је: 0 Услов додира праве и параболе је. Коефицијент правца дате праве je па је коефицијент правца тангенте. Из услова додира даље се добијају: Па је једначина тангенте: 49

50 1 8 Задатак 8.7 Одредити параметар к тако да права k 340 буде тангента хиперболе 1. Услов додира праве и хиперболе Напишимо дату праву у облику: 1 је: 3 8 Одакле добијамо да је коефицијент праве, а 8. Из услова додира следи: Следи да је: 5. Задатак 8.8 Одредити растојање пресечне тачке правих и 1 од координатног почетка. Пресечну тачку добијамо решавањем система: И то је тачка 3,4, а њено растојање од О(0,0) је

51 Задатак 8.9 Одредити растојање тачке M(1,1) од центра круга Једначина круга може се написати у облику: 8 Па је центар круга тачка C(,). Тражено растојање је: 1 1 Задатак 8.10 Одредити параметре a и b, тако да праве и буду тангенте елипсе. Услов додира праве и елипсе 1 је: Ако се примени услов додира у односу на сваку праву: : 1 4 5, 1 4, 5 4 : , 4 9, 5 3 Добија се систем једначина: ; Где је 0 и b 0. Решење система је, 15,5. 51

52 9 9 ТРИГОНОМЕТРИЈСКИ ИЗРАЗИ. ТРИГОНОМЕТРИЈСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ. Задатак 9.1 Израчунати вредност израза: sin 8 Користећи се формулом за полу углове тригонометријских функција 1 добијамо Задатак 9. Израчунати вредност израза cos 36 cos 7 Користећи се формулом sin sin cos и проширивањем израза са добијамо

53 Користећи се са sin 144 sin sin 36 добијамо да је: Задатак 9.3 Израчунати: sin 3000 Знајући да је период функције sin једнак 360 добијамо jер је 90. Задатак 9.4 Ако је tan, израчунати tan. Користећи се формулом 1 и чињеницом да је tan 1, следи

54 Задатак 9.5 Ако је sin 1994, tan 1994, ctg Одредити,, и,,. На основу периодичности тригонометријских функција је sin 1994 sin sin 194 sin sin 14 tan 1994 tan tan 14 ctg 1994 ctg ctg 14 Очигледно је,,. Како је 0 1 следи да је ctg Према томе је,,. Задатак 9.6 Решити једначину sin 1 Користећи се идентитетом sin 1cos, добија се: 1cos1 cos 0 па је односно,. Задатак 9.7 Решити једначину: sin 3sin10 54

55 Уведимо смену sin, sin 1 Како је arc sin arc sin 6 7, 6 sin 1,. Задатак 9.8 Решити једначину sin cos1 Користећи идентитет sin 1cos, дата једначина се трансформише 1cos cos1 55

56 cos cos10 Смена cos, Значи, cos или cos 1. Како је arc cos то је и, Задатак 9.9 Решити једначину sin 5sin cos3cos 0 Како cos 0 не може бити решење дате једначине, поделимо је је са cos sin cos cos 5sin cos 3 cos cos 0 tan 5tan30 56

57 Смена tan , 3 за tan 1, за tan arc tg, Задатак 9.10 Решити једначину: sin 6 sin 4 0 Користећи се идентитетом sin sin cos cos sin 0 cos 5 sin 0 cos 5 0 sin, добијамо , sin 0, 57

58 10 10 ПРИМЕНА ТРИГОНОМЕТРИЈЕ У ПЛАНИМЕТРИЈИ Задатак 10.1 Ако у важи и,3, израчунати страницу. Применом синусне теореме одакле следи да је sin cos sin, добија се cos 4 На основу косинусне теореме следи Одавде се добија да је 10 Задатак 10. У једнакокраком троуглу крак је два пута већи од основице. Ако је угао између кракова, израчунати sin. Висина која одговара основици је симетрала угла који образују краци, те је sin

59 Задатак 10.3 Ако је у, 30,, израчунати угао. Применом синусне теореме добија се sin sin sin 30 sin Па је sin, одакле следи да постоје два решења 45 или 135. Задатак 10.4 Ако у, површине 6 3, странице 3 и 7 заклапају туп угао, одредити трећу страницу. Како је површина троугла 1 sin Следи да је sin 59

60 sin Даље је cos 1sin Према косинусној теореми је cos Задатак 10.5 У трапезу је 9, 4, 60 израчунати површину трапеза. Нека је висина трапеза. У правоуглом троуглу је sin 60 па је 3. Такође је cos 60, одакле следи да је. Како је трапез једнакокрак, па је 60

61 5. Сада је 95 7 па је површина трапеза Задатак 10.6 У троуглу је 30,,. Одредити остале углове троугла. Из синусне теореме је sin sin oдакле следи да је sin sin sin sin 30 sin па је

62 Задатак 10.7 У троуглу дато је 45, 60 и полупречник описаног круга 6. Одредити остале основне елементе без употребе таблица. Најпре ћемо наћи угао : Искористићемо синусну теорему sin sin sin sin sin 6 sin sin sin 6 sin

63 sin sin 6 sin sin sin 45 cos 30 cos 45 sin Задатак 10.8 Одредити страницу троугла ако су његове странице 3, 6 и угао 105. Овде ћемо употребити косинусну теорему cos Одредимо cos 105 cos 105 cos60 45 cos 60 cos 45 sin 60 sin

64 Задатак 10.9 У троуглу дато је 4, 9 и угао 60. Одредити без употребе таблица, страницу и полупречник описане кружнице. cos cos sin sin

65 4 3 рационалишемо Задатак У троуглу разлика страница и једнака је 3, угао 60 и полупречник описане кружнице. Одредити странице троугла. Како је sin sin sin cos cos 60 65

66 (ово није решење јер не може дужина странице да буде негативан број) Дакле

67 САДРЖАЈ 1. Изрази Квадратне једначине и неједначине Полиноми Аритметички и геометријски низови Планиметрија и стереометрија Експоненцијалне једначине Логаритми и логаритамске једначине и неједначине Аналитичка геометрија Тригонометријски изрази. Тригонометријске једначине Примена тригонометрије у планиметрији

68 68