1.1 Áñéèìüò ïîåßäùóçò. Ïîåßäùóç ÁíáãùãÞ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1.1 Áñéèìüò ïîåßäùóçò. Ïîåßäùóç ÁíáãùãÞ"

Transcript

1 1.1 Áñéèìüò ïîåßäùóçò. Ïîåßäùóç ÁíáãùãÞ A. Áñ éêþ (êëáóéêþ) Üðïøç Ôé åßíáé ïîåßäùóç êáé áíáãùãþ Ðñéí ãßíåé ãíùóôþ ç çëåêôñïíéáêþ äïìþ ôùí áôüìùí, äüèçêáí ãéá ôçí ïîåßäùóç êáé ôçí áíáãùãþ ïé ïñéóìïß ðïõ áêïëïõèïýí. Ïîåßäùóç ïíïìüæåôáé ç Ýíùóç åíüò óôïé åßïõ Þ ìéáò çìéêþò Ýíùóçò ìå ôï ïîõãüíï, Þ ç áöáßñåóç õäñïãüíïõ áðü ìéá çìéêþ Ýíùóç. Ðáñáäåßãìáôá 1. Ôï Mg ïîåéäþíåôáé óå MgO óýìöùíá ìå ôçí áíôßäñáóç: 2Mg + O 2 2MgO, åöüóïí ôï ìáãíþóéï åíþíåôáé ìå ôï ïîõãüíï. 2. O C ïîåéäþíåôáé óå CO 2 óýìöùíá ìå ôçí áíôßäñáóç: C + O2 CO2, åöüóïí ï Üíèñáêáò åíþíåôáé ìå ôï ïîõãüíï. 3. Ôï Cl ïîåéäþíåôáé óå Cl 2 óýìöùíá ìå ôçí áíôßäñáóç: 4Cl + O2 2Cl2 + 22O, åöüóïí ôïõ õäñï ëþñéï åíþíåôáé ìå ôï ïîõãüíï. 4. Ç ìåèáíüëç (C 3O) ïîåéäþíåôáé óå ìåèáíüëç (C 2 = O) óýìöùíá ìå ôçí áíôßäñáóç: C 3O C2 =O+Ç2, áöïý áðïâüëëåé õäñïãüíï. ÁíáãùãÞ ïíïìüæåôáé ç áöáßñåóç ïîõãüíïõ áðü ìéá çìéêþ Ýíùóç, Þ ç Ýíùóç ìå ôï õäñïãüíï åíüò óôïé åßïõ Þ ìéáò çìéêþò Ýíùóçò. Ðáñáäåßãìáôá 1. Tï MgÏ áíüãåôáé óå Mg óýìöùíá ìå ôçí áíôßäñáóç: MgÏ + Ç 2 Mg + Ç 2O, åöüóïí áðü ôï ïîåßäéï ôïõ ìáãíçóßïõ áöáéñåßôáé ïîõãüíï. 2. Ôï ZnO áíüãåôáé óå Zn óýìöùíá ìå ôçí áíôßäñáóç: ZnO + C Zn + CO, åöüóïí áðü ôï ïîåßäéï ôïõ øåõäáñãýñïõ áöáéñåßôáé ïîõãüíï. 9

2 ÊÅÖÁËÁÉÏ 1 3. Tï Cl 2 áíüãåôáé óå Cl óýìöùíá ìå ôçí áíôßäñáóç: Cl Cl, áöïý ôï ëþñéï åíþíåôáé ìå ôï õäñïãüíï. 4. áéèáíüëç (C 3C = O) áíüãåôáé óå áéèáíüëç (C 3C 2O) óýìöùíá ìå ôçí áíôßäñáóç: C 3C=O+2 C3C2OÇ, áöïý ðñïóëáìâüíåé (åíþíåôáé) ìå ôï õäñïãüíï. Ç ðáñáðüíù ðñïóýããéóç ôçò ïîåßäùóçò êáé ôçò áíáãùãþò áíáöýñåôáé óå åêåßíåò ôéò áíôéäñüóåéò üðïõ óõììåôý ïõí åíþóåéò ðïõ ðåñéý ïõí ïîõãüíï Þ õäñïãüíï. Áõôüò ï ðåñéïñéóìüò áðïôýëåóå óçìáíôéêü ìåéïíýêôçìá, åöüóïí áíüëïãåò óõìðåñéöïñýò äåí ìðïñïýí íá áñáêôçñéóôïýí ùò ïîåßäùóç Þ áíáãùãþ. Ð..: Mg + Cl2 MgCl2 (2Mg + O2 2MgO) C + 2F 2 CF 4 (C + O 2 CO 2) 2Na + Cl 2 2NaCl ( 2 + Cl 2 2Cl) Â. ÇëåêôñïíéáêÞ Üðïøç Ãéá íá äïèåß åîþãçóç óå áíüëïãåò óõìðåñéöïñýò ìå áõôýò ôùí áíôéäñüóåùí ïîåßäùóçò êáé áíáãùãþò óýìöùíá ìå ôéò áñ éêýò áðüøåéò, Ýãéíå äéåýñõíóç ôïõ ïñéóìïý ôçò ïîåßäùóçò êáé ôçò áíáãùãþò. Óôç äéåýñõíóç áõôþ âïþèçóå ç ãíþóç ôçò çëåêôñïíéáêþò äïìþò ôùí áôüìùí êáé ôùí çìéêþí åíþóåùí. ôóé ðñïýêõøáí ïé ðáñáêüôù ïñéóìïß ãéá ôçí ïîåßäùóç êáé ôçí áíáãùãþ. Ïîåßäùóç ïíïìüæåôáé ç áðïâïëþ çëåêôñïíßùí áðü óôïé åßï. ÁíáãùãÞ ïíïìüæåôáé ç ðñüóëçøç çëåêôñïíßùí áðü óôïé åßï. Óýìöùíá ìå ôïõò íýïõò ïñéóìïýò ãßíåôáé êáôáíïçôü üôé: á. ãéá ôçí ïîåßäùóç äåí åßíáé áðáñáßôçôç ç ðáñïõóßá ôïõ ïîõãüíïõ, áëëü ïðïéïõäþðïôå óôïé åßïõ Ý åé ôçí ôüóç íá ðñïóëüâåé çëåêôñüíéá (çëåêôñáñíçôéêü áìýôáëëï óôïé åßï), üðùò ôïõ N, Cl, Br ê.ü. â. ãéá ôçí áíáãùãþ äåí åßíáé áðáñáßôçôç ç ðáñïõóßá ôïõ õäñïãüíïõ, áëëü ïðïéïõäþðïôå óôïé åßïõ Ý åé ôçí ôüóç íá áðïâüëåé çëåêôñüíéá (çëåêôñïèåôéêü óôïé åßï), üðùò ôïõ Mg, Ía, K ê.ü. Ðáñáäåßãìáôá 1. Óôçí ðåñßðôùóç ôçò áíôßäñáóçò: 2Mg + O2 2MgO êüèå Üôïìï ôïõ Mg áðïâüëëåé äýï çëåêôñüíéá áðü ôçí åîùôåñéêþ ôïõ óôéâüäá êáé ãßíåôáé êáôéüí Mg 2+ (Mg Mg e ), Üñá ïîåéäþíåôáé. ÊÜèå Üôïìï ôïõ ïîõãüíïõ ðñïóëáìâüíåé äýï çëåêôñüíéá óôçí åîùôåñéêþ ôïõ óôéâüäá êáé ãßíåôáé áíéüí Ï 2 (O + 2e O 2 ), êáé êáôü óõíýðåéá áíüãåôáé. 10

3 1.1 ÁÑÉÈÌÏÓ ÏÎÅÉÄÙÓÇÓ. ÏÎÅÉÄÙÓÇ ÁÍÁÃÙÃÇ 2. ¼ìïéá ãéá ôçí áíôßäñáóç: Mg + Cl 2 MgCl 2 êüèå Üôïìï ôïõ Mg áðïâüëëåé äýï çëåêôñüíéá (Mg Mg 2+ +2e ), Üñá ïîåéäþíåôáé, åíþ êüèå Üôïìï ôïõ ëùñßïõ ðñïóëáìâüíåé Ýíá çëåêôñüíéï (Cl + e Cl ) êáé áíüãåôáé. ÓõìðåñÜóìáôá Óýìöùíá ìå ôçí çëåêôñïíéáêþ Üðïøç ôçò ïîåßäùóçò êáé ôçò áíáãùãþò, óõìðåñáßíïõìå: 1. Ç ïîåßäùóç êáé ç áíáãùãþ åßíáé öáéíüìåíá áëëçëýíäåôá, áöïýüôáíêüðïéï óôïé åßï áðïâüëëåé çëåêôñüíéá (äçëáäþ ïîåéäþíåôáé), êüðïéï Üëëï óôïé åßï ðñïóëáìâüíåé áõôü ôá çëåêôñüíéá (äçëáäþ áíüãåôáé). Ãéá áõôü ôïí ëüãï ïé áíôéäñüóåéò ïíïìüæïíôáé áíôéäñüóåéò ïîåéäïáíáãùãþò. 2. Ãéá íá ïîåéäùèåß Ýíá óôïé åßï äçëáäþ íá áðïâüëåé çëåêôñüíéá, ìåóïëáâåß åðßäñáóç åíüò ìýóïõ, ôï ïðïßï ðñïêáëåß ôçí ïîåßäùóç. Ôï ìýóï áõôü ðåñéý åé óôïé åßï ðïõ ðñïóëáìâüíåé çëåêôñüíéá (áíüãåôáé) êáé áñáêôçñßæåôáé ïîåéäùôéêü ìýóï. ÁíÜëïãá, ãéá íá áíá èåß Ýíá óôïé åßï äçëáäþ íá ðñïóëüâåé çëåêôñüíéá, ìåóïëáâåß åðßäñáóç åíüò ìýóïõ, ôï ïðïßï ðñïêáëåß ôçí áíáãùãþ. Ôï ìýóï áõôü ðåñéý åé óôïé åßï ðïõ áðïâüëëåé çëåêôñüíéá (ïîåéäþíåôáé) êáé ïíïìüæåôáé áíáãùãéêü ìýóï. ðáñáðüíù ðñïóýããéóç ôçò ïîåßäùóçò êáé ôçò áíáãùãþò, ðáñü ôç äéåýñõíóç, äåí êáëýðôåé áíôéäñüóåéò üðùò áõôýò ðïõ áêïëïõèïýí, üðïõ äåí Ý ïõìå áðïâïëþ Þ ðñüóëçøç çëåêôñïíßïõ: C + O + Cl CO 2 2Cl ( C + O O O C O ) ( + Cl Cl Cl + Cl ) Óå áõôýò ôéò áíôéäñüóåéò ðñáãìáôïðïéåßôáé óõíåéóöïñü çëåêôñïíßùí ìå áðïôýëåóìá ôç äçìéïõñãßá êïéíïý Þ êïéíþí æåõãþí çëåêôñïíßùí. Óôéò åíþóåéò áõôýò äçìéïõñãïýíôáé êïéíü Þ êïéíü æåýãç çëåêôñïíßùí, üðïõ ãßíåôáé áðëþ ìåôáôüðéóç öïñôßùí ëüãù ôùí ðïëùìýíùí ïìïéïðïëéêþí äåóìþí óôéò ìïñéáêýò åíþóåéò ðïõ ó çìáôßæïíôáé. Óõíåðþò Þôáí áíáãêáßá ìéá ãåíéêüôåñç ðñïóýããéóç ôùí åííïéþí ôçò ïîåßäùóçò êáé ôçò áíáãùãþò, Ýôóé þóôå íá êáëýðôåé üëåò ôéò ðåñéðôþóåéò. Ãéá ôïí ëüãï áõôü ñçóéìïðïéþèçêå Ýíáò íýïò üñïò ãéá ôç çìåßá, ï áñéèìüò ïîåßäùóçò (Á.Ï.). Ï áñéèìüò ïîåßäùóçò åîõðçñåôåß: ôç ãñáöþ êáé ôçí ïíïìáôïëïãßá ôùí çìéêþí åíþóåùí (Á Ëõêåßïõ), ôçí ôáîéíüìçóç ôùí çìéêþí áíôéäñüóåùí (Á Ëõêåßïõ), 11

4 ÊÅÖÁËÁÉÏ 1 ôçí åýñåóç ôùí óõíôåëåóôþí óå çìéêýò áíôéäñüóåéò, üðùò ïé áíôéäñüóåéò ïîåéäïáíáãùãþò. ÅðéóÞìáíóç Ìå âüóç ôïõò ðáñáðüíù ïñéóìïýò ôçò ïîåßäùóçò êáé ôçò áíáãùãþò, ìéá áíôßäñáóç ïîåéäïáíáãùãþò ìðïñåß íá èåùñçèåß Üèñïéóìá äýï áíôéäñüóåùí, ôçò çìéáíôßäñáóçò ïîåßäùóçò êáé ôçò çìéáíôßäñáóçò áíáãùãþò. Ð..: Ìg Mg e çìéáíôßäñáóç ïîåßäùóçò Cl 2 + 2e 2Cl çìéáíôßäñáóç áíáãùãþò Mg + Cl2 MgCl 2 áíôßäñáóç ïîåéäïáíáãùãþò Á. Ïñéóìüò ôïõ áñéèìïý ïîåßäùóçò Áñéèìüò ïîåßäùóçò Ùò áñéèìüò ïîåßäùóçò ïñßæåôáé ôï çëåêôñéêü öïñôßï ðïõ Ý åé Ýíá éüí óå ìéá éïíôéêþ Ýíùóç Þ ðïõ öáßíåôáé íá Ý åé Ýíá Üôïìï (öáéíïìåíéêü öïñôßï) óå ìéá ïìïéïðïëéêþ Ýíùóç, áí õðïëïãßóïõìå ôá çëåêôñüíéá ôçò çìéêþò Ýíùóçò ìå âüóç ôïõò ðáñáêüôù êáíüíåò: á. Ôá çëåêôñüíéá ìåôáîý ßäéùí áôüìùí ìïéñüæïíôáé åîßóïõ óôá äýï Üôïìá. â. Ôá çëåêôñüíéá ìåôáîý áíüìïéùí áôüìùí õðïëïãßæïíôáé âüóåé ôçò ðáñáäï Þò üôé áíþêïõí óôï ðéï çëåêôñáñíçôéêü Üôïìï. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôïõ áñéèìïý ïîåßäùóçò åíüò óôïé åßïõ óå ìéá çìéêþ Ýíùóç ðñýðåé íá ãíùñßæïõìå: ôïí çëåêôñïíéáêü ôýðï ôçò çìéêþò Ýíùóçò, Çëåêôñïíéáêüò ôýðïò ïíïìüæåôáé ï çìéêüò ôýðïò ðïõ äåß íåé ü,ôé êáé ï ìïñéáêüò, êáèþò êáé ôïí ôñüðï óýíäåóçò ôùí áôüìùí óôï ìüñéï ìýóù ôçò äéåõèýôçóçò ôùí çëåêôñïíßùí óôçí åîùôåñéêþ óôéâüäá ôïõ êüèå áôüìïõ. ôç óåéñü çëåêôñáñíçôéêüôçôáò ôùí áôüìùí ðïõ óõììåôý ïõí óôç çìéêþ Ýíùóç. ÓåéñÜ çëåêôñáñíçôéêüôçôáò ôùí êõñéüôåñùí áìåôüëëùí F>O>N,Cl>Br>S,I,C> Çëåêôñáñíçôéêüôçôá åíüò áôüìïõ åßíáé ç ôüóç ôïõ íá ðñïóëáìâüíåé çëåêôñüíéá Þ ç ôüóç ôïõ íá Ýëêåé çëåêôñüíéá áðü ôï êïéíü æåýãïò ôïõ ìå Üëëá Üôïìá. Ðáñáäåßãìáôá 1. NaCl (éïíôéêþ Ýíùóç) 12

5 1.1 ÁÑÉÈÌÏÓ ÏÎÅÉÄÙÓÇÓ. ÏÎÅÉÄÙÓÇ ÁÍÁÃÙÃÇ Óôçí ðåñßðôùóç ôïõ ëùñéïý ïõ íáôñßïõ (NaCl) ôá äïìéêü óõóôáôéêü åßíáé ôá êáôéüíôá íáôñßïõ (Na + ) êáé ôá áíéüíôá ëùñßïõ (Cl ). ÅðïìÝíùò, ï áñéèìüò ïîåßäùóçò êüèå óôïé åßïõ åßíáé ßóïò ìå ôï ðñáãìáôéêü ôïõ öïñôßï: ÍaCl (Na + Cl ): A.O.(Na) = öïñôßï = +1 êáé A.O.(Cl) = öïñôßï = 1 2. Cl (ïìïéïðïëéêþ Ýíùóç) Óôçí ðåñßðôùóç ôïõ Cl ôá äïìéêü óõóôáôéêü åßíáé ôá ìüñéá ôïõ õäñï ëùñßïõ. Ηλεκτρονιακός τύπος υδροχλωρίου Cl ÅðïìÝíùò, ï áñéèìüò ïîåßäùóçò êüèå óôïé åßïõ åßíáé ßóïò ìå ôï öáéíïìåíéêü öïñôßï ðïõ Ý ïõí ôï õäñïãüíï êáé ôï ëþñéï, áí ôï êïéíü æåýãïò äïèåß óôï Üôïìï ôïõ ëùñßïõ, ðïõ åßíáé ôï çëåêôñáñíçôéêüôåñï óôïé åßï: Φαινομενική κατάσταση υδροχλωρίου + Cl Ìå âüóç ôç öáéíïìåíéêþ êáôüóôáóç Ý ïõìå ôïõò áñéèìïýò ïîåßäùóçò: 3. Cl2 (ïìïéïðïëéêþ Ýíùóç) Á.Ï.(Ç) = öïñôßï = +1 êáé Á.Ï.(Cl) = öïñôßï = 1 Ηλεκτρονιακός τύπος χλωρίου Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ôá çëåêôñüíéá ôïõ êïéíïý æåýãïõò ìïéñüæïíôáé åîßóïõ óôá äýï Üôïìá ôïõ ëùñßïõ: Φαινομενική κατάσταση Cl Cl χλωρίου Ìå âüóç ôç öáéíïìåíéêþ êáôüóôáóç Ý ïõìå ôïí áñéèìü ïîåßäùóçò: 4. BrO (ïìïéïðïëéêþ Ýíùóç) Á.Ï.(Cl) = öïñôßï = 0 Cl Cl Ηλεκτρονιακός τύπος υποβρομιώδους οξέος O Br ÅðïìÝíùò, ï áñéèìüò ïîåßäùóçò êüèå óôïé åßïõ åßíáé ßóïò ìå ôï öáéíïìåíéêü öïñôßï ðïõ Ý ïõí ôï õäñïãüíï, ôï ïîõãüíï êáé ôï âñüìéï, áí êüèå êïéíü æåýãïò äïèåß óôï Üôïìï ôïõ ïîõãüíïõ, ðïõ åßíáé ôï çëåêôñáñíçôéêüôåñï óôïé åßï: Φαινομενική κατάσταση υποβρομιώδους οξέος O Br 13

6 ÊÅÖÁËÁÉÏ 1 Ìå âüóç ôç öáéíïìåíéêþ êáôüóôáóç Ý ïõìå ôïõò áñéèìïýò ïîåßäùóçò: Á.Ï.(Ç) = öïñôßï = +1, Á.Ï.(Ï) = öïñôßï = 2 êáé Á.Ï.(Âr) = öïñôßï = +1 Â. Óõìâáôéêïß êáíüíåò ãéá ôïí ïñéóìü ôïõ áñéèìïý ïîåßäùóçò Óôçí ðñüîç äåí åßíáé åýêïëï íá ïñéóôåß ï áñéèìüò ïîåßäùóçò åíüò óôïé åßïõ ìå ôç âïþèåéá ôïõ ïñéóìïý ôïõ áñéèìïý ïîåßäùóçò. ñåéüæåôáé íá ãíùñßæïõìå ôïõò çëåêôñïíéáêïýò ôýðïõò ôùí çìéêþí åíþóåùí êáé ôéò ôéìýò çëåêôñáñíçôéêüôçôáò ôùí óôïé åßùí. Ãéá áõôü ôïí ëüãï ñçóéìïðïéïýíôáé êüðïéïé ðñáêôéêïß êáíüíåò, ðïõ óôéò ðåñéóóüôåñåò ðåñéðôþóåéò åðéôñýðïõí ôïí åýêïëï ðñïóäéïñéóìü ôïõ áñéèìïý ïîåßäùóçò åíüò óôïé åßïõ. Ðñáêôéêïß êáíüíåò ãéá ôçí åýñåóç ôïõ áñéèìïý ïîåßäùóçò 1. Ï áñéèìüò ïîåßäùóçò åíüò óôïé åßïõ óå åëåýèåñç êáôüóôáóç åßíáé ðüíôïôå ìçäýí. Ð..: Na 0,Fe 0,g 0,Ç 0 2,Ï 0 2,Í 0 2,F 0 2,Cl 0 2,Br 0 2,I ÌåñéêÜ âáóéêü óôïé åßá Ý ïõí óôáèåñïýò áñéèìïýò ïîåßäùóçò, üðùò: á. Ôï õäñïãüíï (Ç) óôéò åíþóåéò ôïõ Ý åé áñéèìü ïîåßäùóçò +1. Åîáéñïýíôáé ïé éïíôéêýò åíþóåéò ôïõ õäñïãüíïõ ìå ôá ìýôáëëá, üðùò Na, Ca 2,..., ðïõ ïíïìüæïíôáé õäñßäéá, üðïõ ôï õäñïãüíï Ý åé áñéèìü ïîåßäùóçò 1. â. Ôï öèüñéï (F) Ý åé ðüíôá áñéèìü ïîåßäùóçò 1. ã. Ôï ïîõãüíï (Ï) óôéò åíþóåéò ôïõ Ý åé áñéèìü ïîåßäùóçò 2. Åîáéñïýíôáé ôï ïîåßäéü ôïõ ìå ôï öèüñéï (OF 2), üðïõ Ý åé áñéèìü ïîåßäùóçò +2, êáé ôá õðåñïîåßäéá (üðùò ôï õðåñïîåßäéï ôïõ õäñïãüíïõ, Ç Ï Ï ÇÞÇ 2Ï 2), üðïõ Ý åé áñéèìü ïîåßäùóçò 1. ä. Ôá ìýôáëëá ôçò ÉÁ (1) ïìüäáò ôïõ ðåñéïäéêïý ðßíáêá (áëêüëéá), äçëáäþ ôá óôïé åßá: Li (ëßèéï), Na (íüôñéï), Ê (êüëéï), Rb (ñïõâßäéï), Cs (êáßóéï) êáé Fr (öñüãêéï) Ý ïõí áñéèìü ïîåßäùóçò +1. å. Ôá ìýôáëëá ôçò ÉÉÁ (2) ïìüäáò ôïõ ðåñéïäéêïý ðßíáêá (áëêáëéêýò ãáßåò), äçëáäþ ôá óôïé åßá: Be (âçñýëëéï), Mg (ìáãíþóéï), Ca (áóâýóôéï), Sr (óôñüíôéï), Ba (âüñéï) êáé Ra (ñüäéï) Ý ïõí áñéèìü ïîåßäùóçò Óå ìéá çìéêþ Ýíùóç ôï áëãåâñéêü Üèñïéóìá ôùí áñéèìþí ïîåßäùóçò üëùí ôùí áôüìùí ðïõ ôçí áðïôåëïýí åßíáé ßóï ìå ìçäýí. 4. Óå Ýíá ðïëõáôïìéêü éüí ôï áëãåâñéêü Üèñïéóìá ôùí áñéèìþí ïîåßäùóçò üëùí ôùí áôüìùí ðïõ ôï áðïôåëïýí åßíáé ßóï ìå ôï öïñôßï ôïõ éüíôïò. Åßíáé ðñïöáíýò üôé ï áñéèìüò ïîåßäùóçò êüèå ìïíïáôïìéêïý éüíôïò éóïýôáé ìå ôï öïñôßï ôïõ éüíôïò. Ð..: ãéá ôï êáôéüí ôïõ áñãéëßïõ Ál 3+ ï áñéèìüò ïîåßäùóçò ôïõ Al åßíáé ßóïò ìå +3, ðïõ åßíáé ôï öïñôßï ôïõ. 14

7 1.1 ÁÑÉÈÌÏÓ ÏÎÅÉÄÙÓÇÓ. ÏÎÅÉÄÙÓÇ ÁÍÁÃÙÃÇ ÂáóéêÝò åöáñìïãýò 1. Åýñåóç ôïõ áñéèìïý ïîåßäùóçò óôïé åßïõ óå áíüñãáíá ìüñéá Þ éüíôá, ìå Ýíá Üôïìï ôïõ óôïé åßïõ óôï ìüñéï Þ óôï éüí Íá ïñéóôïýí ïé áñéèìïß ïîåßäùóçò: á. ôïõ áæþôïõ (Í) óôï ìüñéï ôïõ áæþôïõ (Í 2), â. ôïõ èåßïõ (S) óôï èåééêü ïîý ( 2SÏ4), ã. ôïõ ìáããáíßïõ (Mn) óôï õðåñìáããáíéêü êüëéï (KMnO 4), ä. ôïõ áæþôïõ (Í) óôï íéôñéêü áíéüí (ÍÏ 3 ). AðÜvôçóç ÓåáõôÝòôéòðåñéðôþóåéò ñçóéìïðïéïýìåôïõòâáóéêïýòáñéèìïýòïîåßäùóçòôùíóôïé åßùí êáé ôïí èåìåëéþäç êáíüíá üôé ôï áëãåâñéêü Üèñïéóìá ôùí áñéèìþí ïîåßäùóçò üëùí ôùí áôüìùí åßíáé ßóï ìå ìçäýí (ãéá çìéêþ Ýíùóç) Þ ßóï ìå ôï öïñôßï (ãéá éüí). á. Óýìöùíá ìå ôïõò êáíüíåò ãéá ôçí åýñåóç ôïõ áñéèìïý ïîåßäùóçò åíüò óôïé åßïõ óå åëåýèåñç êáôüóôáóç, Ý ïõìå: Á.Ï.(N) = 0 óôï ìüñéï ôïõ áæþôïõ (Í 2). â. Ãíùñßæïõìå üôé ï Á.Ï.(Ç) = +1, ï Á.Ï.(Ï) = 2, åíþ Ýóôù üôé ï Á.Ï.(S) = x. Ãéá ìéá çìéêþ Ýíùóç ôï Üèñïéóìá ôùí áñéèìþí ïîåßäùóçò üëùí ôùí áôüìùí ðïõ ôçí áðïôåëïýí åßíáé ßóï ìå ôï ìçäýí. ÅðïìÝíùò, ãéá ôï èåééêü ïîý ( 2SÏ4) éó ýåé: (+1) 2+x 1+(2) 4 = 0 Þ +2 + x 8=0 Þ x=+6 ñá ï Á.Ï.(S) = +6 óôï èåééêü ïîý. ã. Ãíùñßæïõìå üôé ï Á.Ï.(Ê) = +1, ï Á.Ï.(O) = 2, åíþ Ýóôù üôé ï Á.O.(Ìn) = x. Ãéá ôï õðåñìáããáíéêü êüëéï (ÊÌnÏ 4) éó ýåé: (+1) 1+x 1+(2) 4 = 0 Þ +1 + x 8=0 Þ x=+7 Óõíåðþò ï A.O.(Ìn) = +7 óôï õðåñìáããáíéêü êüëéï. ä. Ãíùñßæïõìå üôé ï Á.Ï.(O) = 2, åíþ Ýóôù üôé ï Á.O.(Í) = x. Ãéá ôï íéôñéêü áíéüí (ÍÏ 3 ) éó ýåé: ñá ï Á.Ï.(Í) = +5 óôï íéôñéêü áíéüí. x 1+(2) 3 = 1 Þ x 6=1 Þ x = Åýñåóç ôïõ áñéèìïý ïîåßäùóçò óôïé åßïõ óå áíüñãáíá ìüñéá Þ éüíôá, ìå ðåñéóóüôåñá áðü Ýíá Üôïìá ôïõ óôïé åßïõ óôï ìüñéï Þ óôï éüí Íá ïñéóôåß ï áñéèìüò ïîåßäùóçò ôïõ ñùìßïõ (Cr) óôï äé ñùìéêü êüëéï (K 2Cr 2O 7). 15

8 ÊÅÖÁËÁÉÏ 1 AðÜvôçóç ¼ôáí õðüñ ïõí äýï Þ ðåñéóóüôåñá Üôïìá ôïõ óôïé åßïõ óôï ìüñéï Þ óôï éüí, ðñýðåé íá åßíáé ãíùóôþ ç äïìþ ôïõ ìïñßïõ Þ ôïõ éüíôïò, äçëáäþ ï çëåêôñïíéáêüò ôýðïò. Ìå äåäïìýíï üôé äå ãßíåôáé ìåëýôç ôçò äïìþò ãéá ìéá áíüñãáíç Ýíùóç Þ éüí, óôéò åíþóåéò Þ ôá éüíôá ðïõ óõíáíôüìå èá õðïèýôïõìå üôé üëá ôá Üôïìá ôïõ óôïé åßïõ Ý ïõí ôïí ßäéï áñéèìü ïîåßäùóçò. ÊáôÜ óõíýðåéá ìðïñïýìå íá óôçñé èïýìå óôïõò óõìâáôéêïýò êáíüíåò. Ãéá ôï äé ñùìéêü êüëéï (Ê 2Cr2Ï7) ãíùñßæïõìå üôé: ï Á.Ï.(Ê) = +1, ï Á.Ï.(O) = 2,åíþÝóôùüôéïÁ.O.(Cr)=x Éó ýåé: (+1) 2+x 2+(2) 7 = 0 Þ x 14=0 Þ x=+6 ñá ï Á.Ï.(Cr) = +6 óôï äé ñùìéêü êüëéï. Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ ôá Üôïìá ôïõ óôïé åßïõ åíþíïíôáé ìå äéáöïñåôéêïýò ôñüðïõò êáé åðïìýíùò åìöáíßæïõí äéáöïñåôéêïýò áñéèìïýò ïîåßäùóçò, ðñýðåé íá ìáò äßíåôáé ç äïìþ ôçò Ýíùóçò. ÐáñÜäåéãìá Óôçí ðåñßðôùóç ôçò ëùñáóâýóôïõ (CaOCl 2) Ý ïõìå ôç äïìþ: Cl 1 Ca 2+ (OCl) 1 Óôï áíéüí ôïõ ëùñßïõ, ôï ëþñéï Ý åé áñéèìü ïîåßäùóçò ßóï ìå ôï öïñôßï ôïõ, äçëáäþ 1. Óôï õðï ëùñéþäåò áíéüí (OCl) 1 éó ýåé: (2) 1+x 1 =1 Þ 2 +x =1 Þ x = Åýñåóç ôïõ áñéèìïý ïîåßäùóçò óôïé åßïõ óå ïñãáíéêýò åíþóåéò Íá ðñïóäéïñßóåôå ôïí áñéèìü ïîåßäùóçò êüèå áôüìïõ Üíèñáêá óôï ìüñéï ôïõ ðñïðáíßïõ. Ôé ðñïêýðôåé áðü ôç ñçóéìïðïßçóç ôùí ðñáêôéêþí êáíüíùí ãéá ôçí åýñåóç ôïõ áñéèìïý ïîåßäùóçò ôïõ Üíèñáêá óôï ðñïðüíéï; Ôé åêöñüæåé ôï áðïôýëåóìá ðïõ ðñïêýðôåé; AðÜvôçóç Åêôüò áðü áðëýò åíþóåéò (üðùò C 4,C 3O, C 2 = O, COO, C 3C 3,C 2 =C 2,C C ê.ü.) üðïõ ñçóéìïðïéïýìå ôïõò óõìâáôéêïýò êáíüíåò, óôéò ïñãáíéêýò åíþóåéò ôá Üôïìá ôïõ Üíèñáêá åíþíïíôáé ìå äéáöïñåôéêü ôñüðï, Üñá Ý ïõí äéáöïñåôéêïýò ìåôáîý ôïõò áñéèìïýò ïîåßäùóçò. ÅðïìÝíùò, ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôùí áñéèìþí ïîåßäùóçò óôçñéæüìáóôå óôïí ïñéóìü ôïõ áñéèìïý ïîåßäùóçò. Ìåèïäïëïãßá åýñåóçò ôïõ Á.Ï. ôïõ Üíèñáêá óôéò ïñãáíéêýò åíþóåéò 1. ÃñÜöïõìå ôïí óõíôáêôéêü ôýðï ôçò ïñãáíéêþò Ýíùóçò êáé óôç óõíý åéá ôïí áíáëõôéêü 16

9 1.1 ÁÑÉÈÌÏÓ ÏÎÅÉÄÙÓÇÓ. ÏÎÅÉÄÙÓÇ ÁÍÁÃÙÃÇ óõíôáêôéêü ôýðï ôçò. Ìå âüóç ôïí áíáëõôéêü óõíôáêôéêü ôýðï ó çìáôßæïõìå ôïí çëåêôñïíéáêü ôýðï ôçò Ýíùóçò. 2. Ãéá êüèå Üôïìï ôïõ Üíèñáêá âñßóêïõìå ôï öáéíïìåíéêü öïñôßï ôïõ, Üñá êáé ôïí áñéèìü ïîåßäùóþò ôïõ. Ãéá ôçí åýñåóç ôïõ öáéíïìåíéêïý öïñôßïõ óôçñéæüìáóôå óôç ãíþóç üôé ï Üíèñáêáò åßíáé çëåêôñáñíçôéêüôåñïò áðü ôï õäñïãüíï (Üñá, êåñäßæåé ôï êïéíü æåýãïò çëåêôñïíßùí) êáé çëåêôñïèåôéêüôåñïò áðü ôá õðüëïéðá áìýôáëëá ôùí ïñãáíéêþí åíþóåùí O, N, X, S (åðïìýíùò, Üíåé ôï êïéíü Þ ôá êïéíü æåýãç çëåêôñïíßùí). Ãéá ôï ðñïðüíéï, åðïìýíùò, èá óôçñé èïýìå óôïí ïñéóìü ôïõ áñéèìïý ïîåßäùóçò êáé èá âñïýìå ôïí óõíôáêôéêü ôýðï. Ï óõíôáêôéêüò ôýðïò ôïõ ðñïðáíßïõ åßíáé: Ç Ç Ç C 3 C 2 C 3 Þ Ç C C C Ç Ìå ïäçãü ôïí áíáëõôéêü óõíôáêôéêü ôýðï ôïõ ðñïðáíßïõ, ó çìáôßæåôáé ï çëåêôñïíéáêüò ôýðïò ôïõ ðñïðáíßïõ: Ηλεκτρονιακός τύπος προπανίου Ï Üíèñáêáò êåñäßæåé ôï êïéíü æåýãïò ðïõ Ý åé ìå ôï Üôïìï ôïõ õäñïãüíïõ. Ìå ôïí ðñïóäéïñéóìü ôïõ öáéíïìåíéêïý öïñôßïõ, Ý ïõìå ôïí áñéèìü ïîåßäùóçò ãéá êüèå Üôïìï ôïõ Üíèñáêá. C C C } Φαινομενική Aποκτά 7e, άρα κατάσταση φαινομενικό φορτίο 3 Α.Ο. = 3 C C C Aποκτά 6e, άρα φαινομενικό φορτίο 2 Α.Ο. = 2 Aποκτά 7e, άρα φαινομενικό φορτίο 3 Α.Ο. = 3 Óýìöùíá ìå ôïõò óõìâáôéêïýò êáíüíåò ãéá ôçí åýñåóç ôïõ áñéèìïý ïîåßäùóçò, èåùñïýìå üôé üëá ôá Üôïìá Üíèñáêá Ý ïõí ôïí ßäéï áñéèìü ïîåßäùóçò. 17

10 ÊÅÖÁËÁÉÏ 1 Ãíùñßæïõìå üôé ï Á.Ï.(Ç) = +1, åíþ Ýóôù üôé ï Á.Ï.(C) = x. Ôï Üèñïéóìá ôùí áñéèìþí ïîåßäùóçò ôùí áôüìùí ðïõ áðïôåëïýí ôï ìüñéï ôïõ ðñïðáíßïõ åßíáé ßóï ìå ôï ìçäýí, ïðüôå éó ýåé: x 3+(+1) 8=0 Þ 3x+8=0 Þ 3x=8 Þ x = 8 3 Ï êëáóìáôéêüò áñéèìüò ïîåßäùóçò ðïõ ðñïêýðôåé ìå ôç ñþóç ôùí óõìâáôéêþí êáíüíùí åêöñüæåé ôïí ìýóï üñï ôùí äéáöïñåôéêþí áñéèìþí ïîåßäùóçò ôïõ áôüìïõ óôçí Ýíùóç. ÐñÜãìáôé Ý ïõìå: ÌÝóïòüñïòÁ.Ï.(C)= = ÓõíçèÝóôåñïé áñéèìïß ïîåßäùóçò ïñéóìýíùí óôïé åßùí óå åíþóåéò ôïõò ÌÝôáëëá ÁìÝôáëëá Na, K, Ag Mg, Ca, Ba, Zn Al g, Cu Fe, Íi Sn, Pb Cr Mn , +2 +2, +3 +2, +4 +3, +6 +2, +4, +6, +7 F O Cl, Br, I S C B N P +1 (1 óôá õäñßäéá) 1 2 (+2 óôï ÏF2, 1 óôá õðåñïîåßäéá) 1 (+1, +3, +5, +7) 2 (+4, +6) 4, +4 3, +3 3 (+1, +2, +3, +4, +5) 3 (+3, +5) Ã. Óýã ñïíç Üðïøç ãéá ôçí ïîåßäùóç êáé ôçí áíáãùãþ Må ôç âïþèåéá ôïõ áñéèìïý ïîåßäùóçò ïñßóôçêáí ç ïîåßäùóç êáé ç áíáãùãþ, Ýôóé þóôå íá êáëýðôïíôáé üëåò ïé ðåñéðôþóåéò áíôéäñüóåùí ïîåéäïáíáãùãþò. Ïîåßäùóç ïíïìüæåôáé ç áëãåâñéêþ áýîçóç ôïõ áñéèìïý ïîåßäùóçò åíüò óôïé åßïõ. ÁíáãùãÞ ïíïìüæåôáé ç áëãåâñéêþ ìåßùóç ôïõ áñéèìïý ïîåßäùóçò åíüò óôïé åßïõ. Ðáñáäåßãìáôá 1. áýîçóç 2 0 2Mg O 2 2MgO ìåßùóç 2 18

11 1.1 ÁÑÉÈÌÏÓ ÏÎÅÉÄÙÓÇÓ. ÏÎÅÉÄÙÓÇ ÁÍÁÃÙÃÇ Ôï ìáãíþóéï (Mg) ïîåéäþíåôáé, åöüóïí áõîüíåôáé ï áñéèìüò ïîåßäùóþò ôïõ áðü 0 óå +2 (áýîçóç êáôü 2). Ôï ïîõãüíï (Ï) áíüãåôáé, åöüóïí åëáôôþíåôáé ï áñéèìüò ïîåßäùóþò ôïõ áðü 0 óå 2 (ìåßùóç êáôü 2). 2. áýîçóç C + O2 CO2 ìåßùóç 2 Ï Üíèñáêáò (C) ïîåéäþíåôáé, åöüóïí áõîüíåôáé ï áñéèìüò ïîåßäùóþò ôïõ áðü 0 óå +4 (áýîçóç êáôü 4). Ôï ïîõãüíï (Ï) áíüãåôáé, åöüóïí åëáôôþíåôáé ï áñéèìüò ïîåßäùóþò ôïõ áðü 0 óå 2 (ìåßùóç êáôü 2). 3. áýîçóç SnCl 2 + 2FeCl SnCl 4 + 2FeCl 2 ìåßùóç 1 Ï êáóóßôåñïò (Sn) ïîåéäþíåôáé, åöüóïí áõîüíåôáé ï áñéèìüò ïîåßäùóþò ôïõ áðü +2 óå +4 (áýîçóç êáôü 2). Ï óßäçñïò (Fe) áíüãåôáé, åöüóïí åëáôôþíåôáé ï áñéèìüò ïîåßäùóþò ôïõ áðü +3 óå +2 (ìåßùóç êáôü 1). ÓõíïðôéêÞ ðáñïõóßáóç ôùí ïñéóìþí ôçò ïîåßäùóçò êáé ôçò áíáãùãþò Ïîåßäùóç 1. Ðñüóëçøç ïîõãüíïõ Þ áöáßñåóç õäñïãüíïõ ÁíáãùãÞ 1. Áöáßñåóç ïîõãüíïõ Þ ðñüóëçøç õäñïãüíïõ 2. ÁðïâïëÞ çëåêôñïíßùí 2. Ðñüóëçøç çëåêôñïíßùí 3. Áýîçóç ôïõ áñéèìïý ïîåßäùóçò 3. Ìåßùóç ôïõ áñéèìïý ïîåßäùóçò ÏîåéäïáíáãùãÞ ¼ðùò åßäáìå óôçí çëåêôñïíéáêþ Üðïøç êáé óôá ðáñáðüíù ðáñáäåßãìáôá, äåí åßíáé äõíáôüí íá Ý ïõìå ïîåßäùóç ùñßò áíáãùãþ êáé áíáãùãþ ùñßò ïîåßäùóç. ÅðïìÝíùò, ôo öáéíüìåío ôçò ïîåßäùóçò êáé ôï öáéíüìåíï ôçò áíáãùãþò åßíáé áëëçëýíäåôá. ôóé, äåí õðüñ ïõí áíôéäñüóåéò ïîåßäùóçò êáé áíôéäñüóåéò áíáãùãþò, áëëü áíôéäñüóåéò ïîåéäïáíáãùãþò. 19

12 4.2 ÐáñÜãïíôåò ðïõ åðçñåüæïõí ôç èýóç çìéêþò éóïññïðßáò Áñ Þ Le Chatelier ÃåíéêÜ Óôïõò è C óå äï åßï üãêïõ V Ý åé áðïêáôáóôáèåß ç éóïññïðßá: Ç 2(g) + É 2(g) 2É (g) Ìå ôïí üñï êáôüóôáóç (èýóç) ôçò çìéêþò éóïññïðßáò áíáöåñüìáóôå óå ìéá ïñéóìýíç ðïóïôéêþ óýóôáóç, ç ïðïßá äå ìåôáâüëëåôáé ìå ôçí ðüñïäï ôïõ ñüíïõ, åöüóïí ïé óõíèþêåò ðáñáìýíïõí óôáèåñýò. Óôç èýóç ôçò çìéêþò éóïññïðßáò ïé äýï áíôßèåôåò áíôéäñüóåéò ðñáãìáôïðïéïýíôáé ìå ôçí ßäéá ôá ýôçôá. ¼ðùò èá ìüèïõìå óôçí åðüìåíç åíüôçôá, óôçí êáôüóôáóç (èýóç) ôçò çìéêþò éóïññïðßáò ôá áýñéá óþìáôá ôçò éóïññïðßáò (ð.. 2,I2êáé ÇÉ) Ý ïõí ôýôïéåò óõãêåíôñþóåéò Ýôóé þóôå íá éêáíïðïéåßôáé ï íüìïò ôçò çìéêþò éóïññïðßáò, äçëáäþ ç óôáèåñü K c óôïõò è C. Óå äéáöïñåôéêýò óõíèþêåò, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá ìå ìåôáâïëþ ôçò èåñìïêñáóßáò, ôá áýñéá óþìáôá ôçò éóïññïðßáò ( 2,I2êáé ÇÉ) áðïêôïýí äéáöïñåôéêþ ðïóïôéêþ óýóôáóç óå ìéá íýá èýóç çìéêþò éóïññïðßáò. Ìå ôç ìåôáâïëþ ôçò èåñìïêñáóßáò ïé äýï áíôßèåôåò áíôéäñüóåéò äåí ðñáãìáôïðïéïýíôáé ìå ôçí ßäéá ôá ýôçôá, áëëü åðéêñáôåß ç ìßá áðü ôéò äýï êáôåõèýíóåéò. Ôá óþìáôá, üìùò, ðüëé èá êáôáëþîïõí óå íýá èýóç çìéêþò éóïññïðßáò. ÐñáêôéêÜ ëýìå üôé ç áñ éêþ èýóç ôçò çìéêþò éóïññïðßáò ìåôáôïðßóôçêå ðñïò ôá äåîéü Þ ðñïò ôá áñéóôåñü, áíüëïãá ìå ôï ðïéá áðü ôéò äýï êáôåõèýíóåéò åîåëß èçêå ôá ýôåñá ÐáñÜãïíôåò ðïõ åðçñåüæïõí ôç èýóç çìéêþò éóïññïðßáò Ãéá Ýíá óýóôçìá óùìüôùí ðïõ âñßóêåôáé óå çìéêþ éóïññïðßá, ïé ðáñüãïíôåò ïé ïðïßïé ìðïñïýí íá åðçñåüóïõí ôç èýóç ôçò çìéêþò éóïññïðßáò äçëáäþ ôçí ðïóïôéêþ óýóôáóç ôïõ óõóôþìáôïò åßíáé ïé åîþò (ðáñüãïíôåò Þ óõíôåëåóôýò çìéêþò éóïññïðßáò): 1. Ç óõãêýíôñùóç ôùí áíôéäñþíôùí Þ ðñïúüíôùí ôçò éóïññïðßáò. 225

13 ÊÅÖÁËÁÉÏ 4 2. Ç ðßåóç, ìå ôéò ðñïûðïèýóåéò üôé óôçí éóïññïðßá óõììåôý åé ôïõëü éóôïí Ýíá áýñéï, åíþ êáôü ôçí ðñáãìáôïðïßçóç ôçò áíôßäñáóçò Ý ïõìå ìåôáâïëþ ôïõ üãêïõ ôïõ óõóôþìáôïò. 3. Ç èåñìïêñáóßá. ÅðéóçìÜíóåéò á. ¼ðùò èá äéáðéóôùèåß óôç óõíý åéá, ïõóéáóôéêü ï ðáñüãïíôáò ðïõ åðéäñü óôç èýóç ôçò éóïññïðßáò åßíáé ï üãêïò ôïõ äï åßïõ êáé ü é ç ðßåóç. â. Óå üëá ó åäüí ôá çìéêü öáéíüìåíá ñçóéìïðïéïýíôáé êáôáëýôåò þóôå íá ìðïñåß íá ðñáãìáôïðïéçèåß ôï öáéíüìåíï óå éäáíéêüôåñåò óõíèþêåò êáé ðéï ãñþãïñá. Ïé êáôáëýôåò äåí åðçñåüæïõí ôç èýóç ôçò çìéêþò éóïññïðßáò. Ç ðáñïõóßá êáôáëýôç åðéôá ýíåé ôéò äõï áíôßèåôåò áíôéäñüóåéò ìå ôïí ßäéï ñõèìü. Ç áñ éêþ ðáñïõóßá êáôáëýôç óå Ýíá óýóôçìá åëáôôþíåé ôïí ñüíï ðïõ áðáéôåßôáé ãéá ôçí áðïêáôüóôáóç ôçò éóïññïðßáò Áñ Þ Le Chatelier óôù Ýíá óýóôçìá óùìüôùí, ôï ïðïßï âñßóêåôáé óå èýóç çìéêþò éóïññïðßáò. Óôï óýóôçìá ìåôáâüëëåôáé êüðïéïò áðü ôïõò ðáñüãïíôåò (óõíôåëåóôýò) ôçò çìéêþò éóïññïðßáò (óõãêýíôñùóç, ðßåóç, èåñìïêñáóßá), ìå áðïôýëåóìá íá äéáôáñüóóåôáé ç èýóç ôçò çìéêþò éóïññïðßáò. Ôï óýóôçìá ôùí óùìüôùí áíôéäñü óôç äéáôáñá Þ ôçò èýóçò éóïññïðßáò, Ýôóé þóôå íá åðáíýëèåé óå íýá èýóç éóïññïðßáò. Ï ôñüðïò áíôßäñáóçò ôïõ óõóôþìáôïò ôùí óùìüôùí êáèïñßæåôáé áðü ôçí áñ Þ Le Chatelier Þ ôçí áñ Þ ôçò öõãþò ðñï ôçò âßáò. Áñ Þ Le Chatelier ¼ôáí óå Ýíá óýóôçìá óùìüôùí ðïõ âñßóêåôáé óå êáôüóôáóç çìéêþò éóïññïðßáò ìåôáâëçèåß êüðïéïò áðü ôïõò óõíôåëåóôýò ôçò éóïññïðßáò (óõãêýíôñùóç, ðßåóç, èåñìïêñáóßá), ôüôå ôï óýóôçìá áíôéäñü ìåôáôïðßæïíôáò ôç èýóç ôçò éóïññïðßáò ðñïò ôçí êáôåýèõíóç åêåßíç üðïõ ôåßíåé íá áíáéñåèåß ç ìåôáâïëþ ðïõ ðñïêëþèçêå. Ç áñ Þ Le Chatelier ñçóéìïðïéåßôáé êáé óå ðåñéðôþóåéò éóïññïðßáò óå öõóéêü öáéíüìåíá. Ãéá íá êáôáíïþóïõìå ôïõò ôñüðïõò áíôßäñáóçò ôïõ óõóôþìáôïò óå èýóç éóïññïðßáò üôáí áõôþ äéáôáñüóóåôáé, áñêåß íá ðñïóäéïñßóïõìå ôé ìðïñåß íá êüíåé Ýíá óýóôçìá óùìüôùí. Ãéá ðáñüäåéãìá ôï óýóôçìá ôùí áýñéùí óùìüôùí ôïõ Í 2, ôïõ Ç 2(g) êáé ôçò Í 3(g) óå êáôüóôáóç éóïññïðßáò (Í 2(g) + 3Ç 2(g) 2Í 3(g)) ç ïðïßá äéáôáñüóóåôáé, Ý åé ôç äõíáôüôçôá íá áíôéäñüóåé ìå ôïõò åîþò äýï ôñüðïõò: 1oòôñüðïò: ìå ôçí áíôßäñáóç êáôüëëçëùí ðïóïôþôùí Í 2 êáé Ç 2 ðñïò ôïí ó çìáôéóìü ÍÇ 3 Þ 2ïò ôñüðïò: äéáóðþíôáò êáôüëëçëç ðïóüôçôá ÍÇ 3 ðñïò ôïí ó çìáôéóìü Í 2 êáé Ç 2. ÅðïìÝíùò, óå ìéá äéáôáñá Þ ôçò èýóçò éóïññïðßáò áñêåß íá ðñïóäéïñßóïõìå ìå ðïéïí áðü 226

14 4.2 ÐÁÑÁÃÏÍÔÅÓ ÐÏÕ ÅÐÇÑÅÁÆÏÕÍ ÔÇ ÈÅÓÇ ÇÌÉÊÇÓ ÉÓÏÑÑÏÐÉÁÓ ÁÑ Ç LE CATELIER ôïõò äýï ðáñáðüíù ôñüðïõò ôï óýóôçìá ôåßíåé íá áíáéñýóåé ôç ìåôáâïëþ ðïõ ðñïêëþèçêå. ÐñïûðïèÝóåéò ñþóçò ôçò áñ Þò Le Chatelier 1. Tï óýóôçìá ôùí óùìüôùí íá âñßóêåôáé óå èýóç éóïññïðßáò. 2. Ç ìåôáâïëþ ðïõ ðñïêáëåßôáé íá äéáôáñüóóåé ôç èýóç ôçò éóïññïðßáò. ÅðéóÞìáíóç Ôï ðñüâëçìá ôçò áíôßäñáóçò åíüò óõóôþìáôïò óùìüôùí óå ìéá ìåôáâïëþ ìðïñåß íá ìåëåôçèåß êáé ìýóù ôïõ íüìïõ ôçò çìéêþò éóïññïðßáò, äçëáäþ ôçò óôáèåñüò K c ÌåôáâïëÞ ôçò èåñìïêñáóßáò óôù üôé ìåôáâüëëåôáé ç èåñìïêñáóßá óå Ýíá óýóôçìá óùìüôùí ôï ïðïßï âñßóêåôáé óå èýóç çìéêþò éóïññïðßáò. Ç ìåôáâïëþ ôçò èåñìïêñáóßáò äéáôáñüóóåé ôç èýóç ôçò çìéêþò éóïññïðßáò. ÅðïìÝíùò, ôï óýóôçìá áíôéäñü óýìöùíá ìå ôçí áñ Þ Le Chatelier, Ýôóé þóôå íá åðýëèåé íýá èýóç éóïññïðßáò. á. ¼ôáí áõîüíåôáé ç èåñìïêñáóßá, ç èýóç ôçò éóïññïðßáò ìåôáôïðßæåôáé óýìöùíá ìå ôçí áñ Þ Le Chatelier, äçëáäþ ðñïò åêåßíç ôçí êáôåýèõíóç üðïõ åëáôôþíåôáé ç èåñìïêñáóßá. Ç èåñìïêñáóßá åëáôôþíåôáé üôáí áðïññïöüôáé èåñìüôçôá, äçëáäþ üôáí ðñáãìáôïðïéåßôáé åíäüèåñìç áíôßäñáóç. Áýîçóç ôçò èåñìïêñáóßáò ðñïò ôçí êáôåýèõíóç üðïõ ãßíåôáé åíäüèåñìç áíôßäñáóç â. ¼ôáí åëáôôþíåôáé ç èåñìïêñáóßá, ç èýóç ôçò éóïññïðßáò ìåôáôïðßæåôáé óýìöùíá ìå ôçí áñ Þ Le Chatelier, äçëáäþ ðñïò åêåßíç ôçí êáôåýèõíóç üðïõ áõîüíåôáé ç èåñìïêñáóßá. Ç èåñìïêñáóßá áõîüíåôáé üôáí åêëýåôáé èåñìüôçôá, äçëáäþ üôáí ðñáãìáôïðïéåßôáé åîþèåñìç áíôßäñáóç. Ìåßùóç ôçò èåñìïêñáóßáò ðñïò ôçí êáôåýèõíóç üðïõ ãßíåôáé åîþèåñìç áíôßäñáóç Ðáñáäåßãìáôá 1. íá óýóôçìá âñßóêåôáé óå éóïññïðßá: C (s) + CO 2(g) 2CO (g), ÄÇ > 0 227

15 ÊÅÖÁËÁÉÏ 4 Ìå ôç ìåßùóç ôçò èåñìïêñáóßáò ç éóïññïðßá äéáôáñüóóåôáé ìå áðïôýëåóìá ç èýóç ôçò éóïññïðßáò íá ìåôáôïðßæåôáé ðñïò ôçí êáôåýèõíóç ôçò åîþèåñìçò áíôßäñáóçò, äçëáäþ ðñïò ôá áñéóôåñü. 2. Ôá óþìáôá ôçò áíôßäñáóçò åóôåñïðïßçóçò âñßóêïíôáé óå éóïññïðßá: C 3COO () + C 3C 2O () C 3COOC 2C 3() + 2O (), ÄÇ 0 Ç áíôßäñáóç åßíáé ðñáêôéêü èåñìïïõäýôåñç (åëü éóôá åîþèåñìç) ìå áðïôýëåóìá ç ìåôáâïëþ ôçò èåñìïêñáóßáò íá ìçí åðçñåüæåé óôçí ðñüîç ôç èýóç ôçò éóïññïðßáò. ÅðéóÞìáíóç Ç áñ Þ Le Chatelier åöáñìüæåôáé êáé óå éóïññïðßåò öõóéêþí öáéíïìýíùí. Ãéá ðáñüäåéãìá, ìå ôçí åéóáãùãþ óå êëåéóôü äï åßï, õðü êáôüëëçëç èåñìïêñáóßá, ðïóüôçôáò õãñïý Ç 2Ï, ìåôü áðü ñüíï t áðïêáèßóôáôáé äõíáìéêþ éóïññïðßá ìåôáîý ôïõ õãñïý Ç 2Ï êáé ôùí áôìþí Ç 2Ï: åîüôìéóç Ç 2Ï () 2O (g), ÄÇ > 0 O 2 (g) 2 O () õãñïðïßçóç Óôçí êáôüóôáóç éóïññïðßáò üóá ìüñéá õãñïý Ç 2Ï åîáôìßæïíôáé óôç ìïíüäá ôïõ ñüíïõ, ôüóá ìüñéá õãñïý Ç 2Ï ó çìáôßæïíôáé óôç ìïíüäá ôïõ ñüíïõ áðü ôçí õãñïðïßçóç áôìþí Ç 2Ï. Må ôçí áýîçóç ôçò èåñìïêñáóßáò ç éóïññïðßá ìåôáôïðßæåôáé ðñïò ôçí êáôåýèõíóç ôçò åíäüèåñìçò áíôßäñáóçò, äçëáäþ ðñïò ôá äåîéü. ÅðïìÝíùò èá ðñïêëçèåß åîüôìéóç ðïóüôçôáò õãñïý Ç 2Ï ÌåôáâïëÞ ôçò óõãêýíôñùóçò ìéáò ïõóßáò óôù üôé ìåôáâüëëåôáé ç óõãêýíôñùóç åíüò óþìáôïò óå Ýíá óýóôçìá óùìüôùí ôï ïðïßï âñßóêåôáé óå èýóç çìéêþò éóïññïðßáò. Ç ìåôáâïëþ ôçò óõãêýíôñùóçò äéáôáñüóóåé ôç èýóç ôçò çìéêþò éóïññïðßáò. ñá ôï óýóôçìá áíôéäñü óýìöùíá ìå ôçí áñ Þ Le Chatelier, Ýôóé þóôå íá åðýëèåé íýá èýóç éóïññïðßáò. á. ¼ôáí áõîüíåôáé ç óõãêýíôñùóç åíüò óþìáôïò ôçò éóïññïðßáò, ç èýóç ôçò éóïññïðßáò ìåôáôïðßæåôáé óýìöùíá ìå ôçí áñ Þ Le Chatelier, äçëáäþ ðñïò åêåßíç ôçí êáôåýèõíóç üðïõ åëáôôþíåôáé ç óõãêýíôñùóç ôïõ óþìáôïò. Ç óõãêýíôñùóç ôïõ óþìáôïò åëáôôþíåôáé üôáí ôï óþìá áíôéäñü. Áýîçóç ôçò óõãêýíôñùóçò åíüò óþìáôïò Á ðñïò ôçí êáôåýèõíóç üðïõ ôï óþìá Á áíôéäñü 228

Σπύρος Μιχέλης Δικαία Μιχέλη. Χημεία. Γ Γενικού Λυκείου ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. Α τόμος

Σπύρος Μιχέλης Δικαία Μιχέλη. Χημεία. Γ Γενικού Λυκείου ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. Α τόμος Σπύρος Μιχέλης Δικαία Μιχέλη Χημεία Γ Γενικού Λυκείου ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Α τόμος Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1: Οξειδοαναγωγή Ηλεκτρόλυση........................................ 7 Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò

4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò 4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò Óôéò áóêþóåéò ìå åðßäñáóç óôç èýóç ìéáò éóïññïðßáò ãßíåôáé áíáöïñü óå ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá èýóåéò éóïññïðßáò. Ïé èýóåéò éóïññïðßáò åßíáé äéáäï

Διαβάστε περισσότερα

Union of Pure and Applied Chemistry).

Union of Pure and Applied Chemistry). .5 Ç ãëþóóá ôçò çìåßáò Ãñáö çìéêþí ôýðùí êáé åéóáãùã óôçí ïíïìáôïëïãßá ôùí áíüñãáíùí åíþóåùí..5.1 ÃåíéêÜ. Ç çìåßá Ý åé ôç äéê ôçò äéåèí ãëþóóá, ç ïðïßá êáèïñßæåôáé áðü êáíüíåò ðïõ Ý ïõí ðñïôáèåß êáé ðñïôåßíïíôáé

Διαβάστε περισσότερα

ÓôïâéâëßïáõôüðáñïõóéÜæïíôáé ìå áíáëõôéêü ôñüðï ïé åíüôçôåò «ÏîåéäïáíáãùãÞ», «Èåñìï çìåßá», «çìéêþ êéíçôéêþ» êáé «çìéêþ éóïññïðßá» ÐåñéÝ åé

ÓôïâéâëßïáõôüðáñïõóéÜæïíôáé ìå áíáëõôéêü ôñüðï ïé åíüôçôåò «ÏîåéäïáíáãùãÞ», «Èåñìï çìåßá», «çìéêþ êéíçôéêþ» êáé «çìéêþ éóïññïðßá» ÐåñéÝ åé ÓôïâéâëßïáõôüðáñïõóéÜæïíôáé ìå áíáëõôéêü ôñüðï ïé åíüôçôåò «ÏîåéäïáíáãùãÞ», «Èåñìï çìåßá», «çìéêþ êéíçôéêþ» êáé «çìéêþ éóïññïðßá» ÐåñéÝ åé 1. ÁíáëõôéêÞ èåùñßá ãéá ðëþñç êáôáíüçóç ôçò ýëçò. Áêïëïõèåßôáé

Διαβάστε περισσότερα

K(2), L(8), M(1) K(2), L(8), M(7)

K(2), L(8), M(1) K(2), L(8), M(7) 2.4 çìéêüò äåóìüò 2.4.1 Ãéáôß åíþíïíôáé ôá Üôïìá ôùí óôïé åßùí ìåôáîý ôïõò; Ç áéôßá ôçò äçìéïõñãßáò ôùí çìéêþí äåóìþí åßíáé ç ôüóç ðïõ Ý ïõí üëá ôá óþìáôá óôç öýóç íá ìåôáâáßíïõí óå óôáèåñüôåñåò êáôáóôüóåéò,

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης 2o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1.1. ÓùóôÞ áðüíôçóç åßíáé ç Ä. ΘΕΜΑ 1ο 1.2. ñçóéìïðïéïýìå ôçí êáôáíïìþ ôùí çëåêôñïíßùí óå áôïìéêü ôñï éáêü óýìöùíá

Διαβάστε περισσότερα

L s Ìå âüóç ôïõò óõíôåëåóôýò ôçò áíôßäñáóçò ðñïêýðôåé ç ðáñáêüôù ó Ýóç ìåôáîý ôùí ôá- õôþôùí ôùí óùìüôùí óôçí áíôßäñáóç: Ät =0,02mol

L s Ìå âüóç ôïõò óõíôåëåóôýò ôçò áíôßäñáóçò ðñïêýðôåé ç ðáñáêüôù ó Ýóç ìåôáîý ôùí ôá- õôþôùí ôùí óùìüôùí óôçí áíôßäñáóç: Ät =0,02mol 3.1 ÃÅÍÉÊÁ ÃÉÁ ÔÇ ÇÌÉÊÇ ÊÉÍÇÔÉÊÇ ÊÁÉ ÔÇ ÇÌÉÊÇ ÁÍÔÉÄÑÁÓÇ ÔÁ ÕÔÇÔÁ ÁÍÔÉÄÑÁÓÇÓ ÅñùôÞóåéò ïõ èýìáôïò ìå áéôéïëüãçóç 3.1. Ã éá ôçí áíôßäñáóç 3Á (g) + Â (g) Ã (g) + Ä (g), óôï ñïíéêü äéüóôçìá [10 s, 0 s], õðïëïãßóôçêå

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò

Διαβάστε περισσότερα

iv. , v. vi Cl

iv. , v. vi Cl ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ - ÁÓÊÇÓÅÉÓ: Óôï ÊÅÖ. 2 (Ðåñéïäéêüò Ðßíáêáò - Äåóìïß) Óýóôáóç êáé äïìþ ôïõ áôüìïõ. 2.1 á. Ôé åßíáé ï áôïìéêüò áñéèìüò êáé ôé ï ìáæéêüò; â. Óôá ðáñáêüôù óôïé åßá ðïéïò åßíáé ï áôïìéêüò êáé ðïéïò

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ

ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ 28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)

ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) 44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ, ΔΕΣΜΟΙ ΟΞΕΑ ΒΑΣΕΙΣ ΟΞΕΙΔΙΑ ΑΛΑΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΟΜΕΤΡΙΑ...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ, ΔΕΣΜΟΙ ΟΞΕΑ ΒΑΣΕΙΣ ΟΞΕΙΔΙΑ ΑΛΑΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΟΜΕΤΡΙΑ... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ....................................................... 7 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ................................................ 19 1.3 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ...................................................

Διαβάστε περισσότερα

å) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.

å) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ. ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé

Διαβάστε περισσότερα

+ O 2(g) C (s) CO 2. + Cl 2(g) 2HCl (g) 3H 2(g) + N 2(g) 2NH 3(g) Ca (s) + Br 2(l) CaBr 2(s) 2Ía (s) 2NaCl (s) 2SO 2(g) 2SO 3(g) + H 2.

+ O 2(g) C (s) CO 2. + Cl 2(g) 2HCl (g) 3H 2(g) + N 2(g) 2NH 3(g) Ca (s) + Br 2(l) CaBr 2(s) 2Ía (s) 2NaCl (s) 2SO 2(g) 2SO 3(g) + H 2. 189. 3.5 Åßäç çìéêþí áíôéäñüóåùí ÏîåéäïáíáãùãéêÝò áíôéäñüóåéò Áðáñáßôçôåò ãíþóåéò Èåùñßáò Ôáîéíüìçóç ôùí áíôéäñüóåùí: Ïé çìéêýò áíôéäñüóåéò ðïõ èá óõíáíôþóïõìå ìðïñïýí íá ôáî éíïìçèïýí óå äýï ìåãüëåò êáôçãïñßåò,

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim

3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim 3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ

ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,

Διαβάστε περισσότερα

ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò

ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)

Διαβάστε περισσότερα

= +2, A.O. O

= +2, A.O. O 129. 2.5 Áñéèìüò ïîåßäùóçò ÃñáöÞ çìéêþí ôýðùí Ïíïìáôïëïãßá áíüñãáíùí åíþóåùí Áðáñáßôçôåò ãíþóåéò Èåùñßáò Áñéèìüò ïîåßäùóçò (Á.Ï.) Ç Ýííïéá ôïõ áñéèìïý ïîåßäùóçò åßíáé óõìâáôéêþ êáé åðéíïþ èçêå þóôå íá

Διαβάστε περισσότερα

Ó ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X

Ó ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò

Διαβάστε περισσότερα

106. ÐáñÜãïíôåò ðïõ êáèïñßæïõí ôç çìéêþ óõìðåñéöïñü ôïõ áôüìïõ: Ôá áñáêôçñéóôéêü ðïõ êáèïñßæïõí ôçí çìéêþ óõìðåñéöïñü åíüò áôüìïõ åßíáé: á. ôá çëåêôñü

106. ÐáñÜãïíôåò ðïõ êáèïñßæïõí ôç çìéêþ óõìðåñéöïñü ôïõ áôüìïõ: Ôá áñáêôçñéóôéêü ðïõ êáèïñßæïõí ôçí çìéêþ óõìðåñéöïñü åíüò áôüìïõ åßíáé: á. ôá çëåêôñü 105. 2.3 ÃåíéêÜ ãéá ôï çìéêü äåóìü ÐáñÜãïíôåò ðïõ êáèïñßæïõí ôç çìéêþ óõìðåñéöïñü ôïõ áôüìïõ Áðáñáßôçôåò ãíþóåéò Èåùñßáò çìéêüò äåóìüò. Ïñéóìüò: Åßíáé ç äýíáìç ðïõ óõãêñáôåß ôéò äïìéêýò ìïíüäåò (Üôïìá,

Διαβάστε περισσότερα

Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí

Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò

Διαβάστε περισσότερα

ÄÉÁÃÙÍÉÓÌÁ ÇÌÅÉÁÓ ÏîåéäïáíáãùãÞ Èåñìï çìåßá çìéêþ êéíçôéêþ çìéêþ éóïññïðßá ÉïíôéêÞ éóïññïðßá

ÄÉÁÃÙÍÉÓÌÁ ÇÌÅÉÁÓ ÏîåéäïáíáãùãÞ Èåñìï çìåßá çìéêþ êéíçôéêþ çìéêþ éóïññïðßá ÉïíôéêÞ éóïññïðßá ÄÉÁÃÙÍÉÓÌÁ ÇÌÅÉÁÓ ÏîåéäïáíáãùãÞ Èåñìï çìåßá çìéêþ êéíçôéêþ çìéêþ éóïññïðßá ÉïíôéêÞ éóïññïðßá ÈÝìá 1ï 1. Óôïé åßï Ó, êýñéáò ïìüäáò ôïõ ðåñéïäéêïý ðßíáêá, åìöáíßæåé óå çìéêýò åíþóåéò ìýãéóôï áñéèìü ïîåßäùóçò

Διαβάστε περισσότερα

Ðñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.

Ðñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá. ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â

ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...

Διαβάστε περισσότερα

Σπύρος Μιχέλης Δικαία Μιχέλη. Χημεία. Γ Γενικού Λυκείου. Ομάδα Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Σπύρος Μιχέλης Δικαία Μιχέλη. Χημεία. Γ Γενικού Λυκείου. Ομάδα Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Σπύρος Μιχέλης Δικαία Μιχέλη Χημεία Γ Γενικού Λυκείου Ομάδα Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Θέση υπογραφής δικαιούχων δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται

Διαβάστε περισσότερα

1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï

1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï 5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Óôïé åéïìåôñéêïß õðïëïãéóìïß

Óôïé åéïìåôñéêïß õðïëïãéóìïß Ðåñéå üìåíá Óôïé åéïìåôñéêïß õðïëïãéóìïß (Áðü ôçí Á Ëõêåßïõ)...... 5 ÊåöÜëáéï 1: Ãåíéêü ìýñïò ïñãáíéêþò çìåßáò... 9 ÊåöÜëáéï : ÐåôñÝëáéï ÕäñïãïíÜíèñáêåò... 119 ÊåöÜëáéï 3: Áëêïüëåò Öáéíüëåò... 93 ÊåöÜëáéï

Διαβάστε περισσότερα

( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ

( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ . Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé

Διαβάστε περισσότερα

5.1.4 Íá áíáöýñåôå äéáöïñýò ðïõ åìöáíßæïõí ç èåùñßá ôïõ Arrhenius êáé ç

5.1.4 Íá áíáöýñåôå äéáöïñýò ðïõ åìöáíßæïõí ç èåùñßá ôïõ Arrhenius êáé ç ÊÅÖÁËÁÉÏ 5 ÅñùôÞóåéò 2ïõ èýìáôïò ìå áéôéïëüãçóç 5.1.4 Íá áíáöýñåôå äéáöïñýò ðïõ åìöáíßæïõí ç èåùñßá ôïõ Arrhenius êáé ç èåùñßá ôùí Brnsted-Lowry ãéá ôá ïîýá êáé ôéò âüóåéò. Ç èåùñßá ôùí Brnsted êáé Lowry

Διαβάστε περισσότερα

16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.

16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. 55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð

Διαβάστε περισσότερα

S.I.1Pa (Pascal) =1N/m. 1atm = 1, Pa = =1,013bar = 760mmHg =760Torr

S.I.1Pa (Pascal) =1N/m. 1atm = 1, Pa = =1,013bar = 760mmHg =760Torr 1.4. ÊáôáóôÜóåéò ôçò ýëçò ÌåôáâïëÝò - Éäéüôçôåò ÁÝñéï Óôåñåü Õãñü Ç ýëç åìöáíßæåôáé óõíþèùò óå 3 öõóéêýò êáôáóôüóåéò: n Ôçí áýñéá (g) n Ôçí õãñþ (1) n Ôçí óôåñåþ (s) g: gas = áýñéï, l: liquid = õãñü, s:

Διαβάστε περισσότερα

4Na (s) + O 2(g) 2Na 2 O (s) 2Mg (s) + O 2(g) 2MgO (s) 4Fe (s) + 3O 2(g) 2Fe 2 O 3(s) S (s) + O 2(g) SO 2(g) C (s) + O 2(g) CO 2(g)

4Na (s) + O 2(g) 2Na 2 O (s) 2Mg (s) + O 2(g) 2MgO (s) 4Fe (s) + 3O 2(g) 2Fe 2 O 3(s) S (s) + O 2(g) SO 2(g) C (s) + O 2(g) CO 2(g) 3.5 Ôáîéíüìçóç ôùí çìéêþí áíôéäñüóåùí 3.5.1 ÁíôéäñÜóåéò óýíèåóçò ýï Þ ðåñéóóüôåñåò ïõóßåò åíþíïíôáé êáé ó çìáôßæïõí ìéá íýá ïõóßá ÁíôéäñÜóåéò ôùí óôïé åßùí ìå ôï ïîõãüíï ãéá ôï ó çìáôéóìü ïîåéäßùí 4Na

Διαβάστε περισσότερα

Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá...

Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá... ÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá....1 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí þñï ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß Ýíá çëåêôñéêü öïñôßï èá äå èåß äýíáìç. Ãéá íá åîåôüóïõìå áí óå êüðïéï

Διαβάστε περισσότερα

ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ

ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.

Διαβάστε περισσότερα

3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ .1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé

Διαβάστε περισσότερα

Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò

Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò 50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr

2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr 2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé

Διαβάστε περισσότερα

Fe - Ni - Cr - C. (70% - 80% Cu êáé 30% - 20% Æn).

Fe - Ni - Cr - C. (70% - 80% Cu êáé 30% - 20% Æn). 1.5. Ìßãìáôá Äéáëýìáôá Ôáîéíüìçóç Äéáëõôüôçôá Ðåñéåêôéêüôçôá. Ìå áíüìéîç äýï Þ ðåñéóóüôåñùí çìéêþí ïõóéþí ðïõ äåí áíôéäñïýí ìåôáîý ôïõò, ðñïêýðôåé Ýíá åßäïò ýëçò ðïõ ïíïìüæåôáé ìßãìá. Ôá ìßãìáôá äéáêñßíïíôáé

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç

1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 7 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç Åñþ ôçóç 1 Ðïéïé áñéèìïß ïíïìüæïíôáé öõóéêïß; Ðþò ôïõò óõìâïëßæïõìå êáé ðþò ùñßæïíôáé;

Διαβάστε περισσότερα

Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò

Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò Áããåëßíá ÂéäÜëç åðéâëýðùí êáèçãçôþò: ÃéÜííçò Ìïó ïâüêçò Q 13 Éïõíßïõ, 2009 ÄïìÞ äéðëùìáôéêþò åñãáóßáò 1o êåö. ÅéóáãùãÞ óôá óõíå Þ êëüóìáôá 2ï êåö. Ëßãç

Διαβάστε περισσότερα

3.6. ð.. FeS + 2HCl FeCl 2 + H 2. 2HNO 3(aq) CaO (s) + CO 2(s) + NaBr (aq) NaNO 3(aq) + AgBr (s) BaCl 2(aq) + 2HNO 3(aq) Ba(NO 3. ) 2(aq) + 2HCl 201.

3.6. ð.. FeS + 2HCl FeCl 2 + H 2. 2HNO 3(aq) CaO (s) + CO 2(s) + NaBr (aq) NaNO 3(aq) + AgBr (s) BaCl 2(aq) + 2HNO 3(aq) Ba(NO 3. ) 2(aq) + 2HCl 201. 201. 3.6 ÌåôáèåôéêÝò áíôéäñüóåéò Áðáñáßôçôåò ãíþóåéò Èåùñßáò Ïñéóìüò: ÌåôáèåôéêÝò åßíáé ïé áíôéäñüóåéò óôéò ïðïßåò äåí ìåôáâüëëåôáé ï áñéèìüò ïîåßäùóçò óå êáíýíá áðü ôá óôïé åßá ðïõ óõììåôý ïõí. +2-2 +1-1

Διαβάστε περισσότερα

ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí

ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ Εικονογράφηση ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Ï ðéï ìåãüëïò êáé ï ðéï óçìáíôéêüò ðáéäáãùãéêüò êáíüíáò äåí åßíáé ôï íá

Διαβάστε περισσότερα

81. < E P < E L < E M < E N < E Q < E O Ê, L, M, N, O, P, Q.

81. < E P < E L < E M < E N < E Q < E O Ê, L, M, N, O, P, Q. 2 ï ÊÅÖÁËÁÉÏ 2.1 ÇëåêôñïíéêÞ äïìþ ôùí áôüìùí 2.2 Ðåñéïäéêüò ðßíáêáò 2.3 ÃåíéêÜ ãéá ôï çìéêü äåóìü - ÐáñÜãïíôåò ðïõ êáèïñßæïõí ôç çìéêþ óõìðåñéöïñü ôïõ áôüìïõ 2.4 Åßäç çìéêþí äåóìþí 2.5 Áñéèìüò ïîåßäùóçò

Διαβάστε περισσότερα

Συντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας

Συντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

B i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí

B i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí B i o f l o n Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí Ç åôáéñåßá Aflex, ç ïðïßá éäñýèçêå ôï 1973, Þôáí ç ðñþôç ðïõ ó åäßáóå ôïí åýêáìðôï óùëþíá PTFE ãéá ôç ìåôáöïñü çìéêþí õãñþí ðñßí áðü 35 ñüíéá. Ï åëéêïåéäþò

Διαβάστε περισσότερα

ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT

ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT ÊåöÜëáéï 7 ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT 7. Áêïëïõèßåò ¼ðùò êáé ãéá ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ìéá (Üðåéñç) áêïëïõèßá ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôïõò èåôéêïýò áêýñáéïõò. ÄçëáäÞ, ìéá

Διαβάστε περισσότερα

Estimation Theory Exercises*

Estimation Theory Exercises* Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò

Διαβάστε περισσότερα

10-12 cm. g Quark

10-12 cm. g Quark ÊåöÜëáéï 2ï ÐÅÑÉÅ ÏÌÅÍÁ ÊÅÖÁËÁÉÏÕ 2 2.1 Óýóôáóç êáé äïìþ ôïõ áôüìïõ 2.2 ÇëåêôñïíéêÞ äïìþ ôùí áôüìùí 2.3 ÊáôÜôáîç ôùí óôïé åßùí (Ðåñéïäéêüò Ðßíáêáò) 2.4 çìéêüò äåóìüò. 2.4.1 Ãéáôß åíþíïíôáé ôá Üôïìá ôùí

Διαβάστε περισσότερα

ιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá

ιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá 1.1 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí Express Ýêäïóç ôïõ SQL Server... 3 1.2 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí åãêáôüóôáóç... 3 2.1 ÅãêáôÜóôáóç Microsoft SQL Server 2008R2 Express Edition... 4 2.1 Åíåñãïðïßçóç ôïõ

Διαβάστε περισσότερα

ÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ

ÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ÏÉÊÏÍÏÌÉÊÙÍ ÃÅÍÉÊÇ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÄÇÌÏÓÉÁÓ ÐÅÑÉÏÕÓÉÁÓ & ÅÈÍÉÊÙÍ ÊËÇÑÏÄÏÔÇÌÁÔÙÍ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÔÅ ÍÉÊÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ & ÓÔÅÃÁÓÇÓ ÔÌÇÌÁ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÏÕ ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÕ ÖÏÑÏËÏÃÇÔÅÁÓ ÁÎÉÁÓ ÁÊÉÍÇÔÙÍ

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ

ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ

Διαβάστε περισσότερα

Cel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí

Cel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí Cel animation Ç ôå íéêþ áõôþ óõíßóôáôáé óôçí êáôáóêåõþ ðïëëþí ó åäßùí ðïõ äéáöýñïõí ìåôáîý ôïõò óå óõãêåêñéìýíá óçìåßá. Ôá ó Ýäéá áõôü åíáëëüóóïíôáé ôï Ýíá ìåôü ôï Üëëï äßíïíôáò ôçí

Διαβάστε περισσότερα

1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)

1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.) ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá

Διαβάστε περισσότερα

3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)

3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 3523 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 252 28 Öåâñïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 19306/Ã2 ÐñïãñÜììáôá Óðïõäþí Ôå íéêþí Åðáããåëìáôéêþí Åêðáéäåõôçñßùí (Ô.Å.Å.).

Διαβάστε περισσότερα

Åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý

Åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá

Διαβάστε περισσότερα

Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ!

Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ΑΞΕΣΟΥΑΡ Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ÅããõÜôáé ôçí áóöüëåéá êáé õãåßá ôïõ ìùñïý êáôü ôç äéüñêåéá ôïõ ýðíïõ! AP 1270638 Õðüóôñùìá Aerosleep, : 61,00 AP 125060 ÊÜëõììá Aerosleep, : 15,30 ÁóöáëÞò, ðüíôá áñêåôüò

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß

ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. 27 Μαΐου (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ

ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. 27 Μαΐου (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΚΥΠΡΟΥ ΜΑΣ 121- ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 27 Μαΐου 2002 (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΑΡ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΟΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ

Διαβάστε περισσότερα

¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí

¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí ¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí ÈåñìïóôÜôçò ÓõíôÞñçóçò REF-DF-SM ÅëÝã åé Ýíá èåñìïóôïé åßï PTC Êëßìáêá èåñìïêñáóßáò: -19? +99 C ëåã ïò áðüøõîçò - dfrst Ôñßá ñåëý: óõìðéåóôþò (30Á, 2ÇÑ),

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ. Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ

ÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ. Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ 138 Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής ÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ 10 ÌÏÍÔÅËÏ ÁÐÏÔÉÌÇÓÇÓ ÔÙÍ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ 11 ÔÏÌÅÉÓ ÅÖÁÑÌÏÃÇÓ ÔÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ 139

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

9. ÁíÜðôõîç ðñïãñáììüôùí ìå ñïíéêýò ëåéôïõñãßåò.

9. ÁíÜðôõîç ðñïãñáììüôùí ìå ñïíéêýò ëåéôïõñãßåò. 9. ÁíÜðôõîç ðñïãñáììüôùí ìå ñïíéêýò ëåéôïõñãßåò. 9.1 ÃåíéêÜ. Ôá ðåñéóóüôåñá PLC äéáèýôïõí óçìáíôéêýò åõêïëßåò üóïí áöïñü óôïí ðñïãñáììáôéóìü ñïíéêþí ëåéôïõñãéþí ìå ñçóéìïðïßçóç ôùí ñïíéêþí ëåéôïõñãéþí

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΚΑΙ ΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΙΑΣ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΓΑΣΤΡΟΟΙΣΟΦΑΓΙΚΗΣ ΣΥΜΒΟΛΗΣ Εκπαιδευτικό Σεμινάριο.

ΕΝΔΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΚΑΙ ΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΙΑΣ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΓΑΣΤΡΟΟΙΣΟΦΑΓΙΚΗΣ ΣΥΜΒΟΛΗΣ Εκπαιδευτικό Σεμινάριο. ΕΝΔΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΚΑΙ ΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΙΑΣ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΓΑΣΤΡΟΟΙΣΟΦΑΓΙΚΗΣ ΣΥΜΒΟΛΗΣ Εκπαιδευτικό Σεμινάριο Τελικό Πρόγραμμα Β Χειρουργική και Γαστρεντερολογική κλινική, Ναυτικού Νοσοκομείου

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

SPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá

SPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí

Διαβάστε περισσότερα

ÅõñùðáúêÞ íùóç Áëïõìéíßïõ Ý åé äçìïóéåýóåé Ýíáí ìßíé - ïäçãü åðåîþãçóçò

ÅõñùðáúêÞ íùóç Áëïõìéíßïõ Ý åé äçìïóéåýóåé Ýíáí ìßíé - ïäçãü åðåîþãçóçò Ôå íéêü èýìáôá CE marking of curtain walling This FAECF Guidance Sheet provides an explanation to the product standard on curtain walling EN 13830 with more details for the manufacturer and reader of the

Διαβάστε περισσότερα

Τυπικές Γλώσσες. Μεταγλωττιστές. (μέρος 1ο) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας

Τυπικές Γλώσσες. Μεταγλωττιστές. (μέρος 1ο) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Τυπικές Γλώσσες (μέρος 1ο) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ÐïëëÝò åôáéñßåò ðñïóöýñïõí õðçñåóßåò

ÐïëëÝò åôáéñßåò ðñïóöýñïõí õðçñåóßåò Ferral Ferral Της Πηνελόπης Λεονταρά Σήμανση CE: Πως γίνεται ο έλεγχος της παραγωγικής Ï êáèïñéóìüò ôïõ åëýã ïõ ðáñáãùãþò óå Ýíá êáôáóêåõáóôéêü óýìöùíá ìå ôéò ôå íéêýò ðñïäéáãñáöýò ãéá ôá êïõöþìáôá, óôçí

Διαβάστε περισσότερα

Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò

Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email:

Διαβάστε περισσότερα

Κίνδυνοι στο facebook WebQuest Description Grade Level Curriculum Keywords

Κίνδυνοι στο facebook WebQuest Description Grade Level Curriculum Keywords &#922&#943&#957&#948&#965&#957&#959&#953 &#963&#964&#959 facebook WebQuest Description: &#932&#959 Facebook &#949&#943&#957&#945&#953 &#941&#957&#945&#962 &#953&#963&#964&#959&#967&#974&#961&#959&#962

Διαβάστε περισσότερα

V 1 V 2 = P 2 , V 2

V 1 V 2 = P 2 , V 2 55. 4.3 Íüìïé ôùí áåñßùí Áðáñáßôçôåò ãíþóåéò Èåùñßáò ¼ëåò ïé ïõóßåò óôçí áýñéá öõóéêþ êáôüóôáóç óõìðåñéöýñïíô áé ìå ôïí ßäéï ôñüðï êáé éäéáßôåñá üóïí áöïñü ôçí óõìðåñéöïñü ôïõò óôéò ìåôáâïëýò ôçò ðßåóçò,

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

272. = V 1 V 2. + V í. = n 2. n 1. > c 2 > V 1 V 1. = c 2. c 1

272. = V 1 V 2. + V í. = n 2. n 1. > c 2 > V 1 V 1. = c 2. c 1 271. 4.4 ÓõãêÝíôñùóç äéáëýìáôïò Áðáñáßôçôåò ãíþóåéò Èåùñßáò ÓõãêÝíôñùóç Þ ìïñéáêüôçôá êáô üãêï äéáëýìáôïò Þ Ìïlarity: Åßíáé ç Ýêöñáóç ôçò ðåñéåêôéêüôçôáò ðïõ åêöñüæåé ôïí áñéè ìü ôùí mol ôçò äéáëõìýíçò

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΗΜΕΡΟ ΚΙΝΗΤΟΠΟΙΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΔΗΜΩΝ ΤΗΣ ΧΩΡΑΣ. Αναστολή λειτουργίας των δήμων στις 12 και 13 Σεπτεμβρίου 2012

ΔΙΗΜΕΡΟ ΚΙΝΗΤΟΠΟΙΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΔΗΜΩΝ ΤΗΣ ΧΩΡΑΣ. Αναστολή λειτουργίας των δήμων στις 12 και 13 Σεπτεμβρίου 2012 ΔΙΗΜΕΡΟ ΚΙΝΗΤΟΠΟΙΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΔΗΜΩΝ ΤΗΣ ΧΩΡΑΣ Αναστολή λειτουργίας των δήμων στις 12 και 13 Σεπτεμβρίου 2012 Τετάρτη, 12 Σεπτεμβρίου, Πανελλαδική Συγκέντρωση στη Πλατεία Κλαυθμώνος, στις 11.00 π.μ. Πορεία

Διαβάστε περισσότερα

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò

Διαβάστε περισσότερα

ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò

Διαβάστε περισσότερα

ÅðåéäÞ ïé äõíüìåéò F 1 êáé F 2 åßíáé ïìüññïðåò (ó Þìá) èá éó ýåé: F ïë = F 1 + F 2. ÔåëéêÜ: F ïë = 1.500Í.

ÅðåéäÞ ïé äõíüìåéò F 1 êáé F 2 åßíáé ïìüññïðåò (ó Þìá) èá éó ýåé: F ïë = F 1 + F 2. ÔåëéêÜ: F ïë = 1.500Í. ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ç äýíáìç áëëçëåðßäñáóçò äýï çëåêôñéêþí öïñôßùí ìðïñåß íá õðïëïãéóôåß ìå âüóç ôïí íüìï ôïõ Coulomb. Óôï ðáñüäåéãìá ìáò âñßóêåôáé ç óõíéóôáìýíç äýíáìç ðïõ åíåñãåß óôï öïñôßï q áðü äýï Üëëá öïñôßá

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝ. ΠΑΙ ΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚ/ΤΩΝ ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΩΝ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ Π.Ε.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝ. ΠΑΙ ΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚ/ΤΩΝ ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΩΝ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ Π.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝ. ΠΑΙ ΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚ/ΤΩΝ ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΩΝ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ Π.Ε. Τµήµα Α Αν. Παπανδρέου 37 151 80 Μαρούσι Πληροφορίες: Ρ. Γεωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç

ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü

Διαβάστε περισσότερα

Chi-Square Goodness-of-Fit Test*

Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@mathuoagr February 6, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô ÐáðáúùÜííïõ êáé ôá âéâëßá

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.

[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á. ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁ 1ï. ÈÅÌÁ 2ï. ÈÅÌÁ 3ï. Óåë. 1 ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Â ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ:

ÈÅÌÁ 1ï. ÈÅÌÁ 2ï. ÈÅÌÁ 3ï. Óåë. 1 ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Â ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ: ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Â ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ: Çì/íßá: ÈÅÌÁ 1ï Äýï áõôïêßíçôá Á êáé Â êéíïýíôáé ìå ìýóåò ôá ýôçôåò 60km/h êáé 90km/h êáé äéáíýïõí

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 1. Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ -

ΜΑΘΗΜΑ 1. Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ - ΜΑΘΗΜΑ 1 Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑΤΩΝ- ΟΡΥΚΤΩΝ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ - ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΤΡΕΠΤΟΣ ΖΥΓΟΣ- ΕΚΚΡΕΜΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΜΑΣΤΕ Η ΓΝΩΣH ΠΟΥ ΚΑΤΑΚΤΟΥΜΕ

ΕΙΜΑΣΤΕ Η ΓΝΩΣH ΠΟΥ ΚΑΤΑΚΤΟΥΜΕ ΛΥΚΕΙΟ Ε Κ Π Α Ι Ε Υ Τ Ι Κ Α Β Ι Β Λ Ι Α Γ Ι Α Μ Ι Κ ΡΑ Κ Α Ι Μ Ε Γ Α Λ Α Π Α Ι Ι Α 2 0 1 8 γιορτάζουµε τη χρονιά του βιβλίου ΕΙΜΑΣΤΕ Η ΓΝΩΣH ΠΟΥ ΚΑΤΑΚΤΟΥΜΕ Με αυτή µπορούµε να κινήσουµε ολόκληρα βουνά.

Διαβάστε περισσότερα

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò

Διαβάστε περισσότερα

ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ

ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò

Διαβάστε περισσότερα

ÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò

ÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò ÌÜèçìá 2 ÓÅÉÑÅÓ 2. Áêïëïõèßåò áñéèìþí Êñßíåôáé óêüðéìï íá äïèåß ðåñéëçðôéêü ðñéí áðü ôç ìåëýôç ôùí óåéñþí ç Ýííïéá ôçò áêïëïõèßáò áñéèìþí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá

Διαβάστε περισσότερα

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ ÌÜèçìá 18 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 18.1 ÅéóáãùãÞ 1 Óôï ìüèçìá áõôü äßíïíôáé ïé âáóéêýò Ýííïéåò ôïõ Äéáíõóìáôéêïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý, ðïõ åßíáé ó åôéêýò ìå ôéò âáèìùôýò Þ ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò

Διαβάστε περισσότερα

Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá

Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email: fotakis@aegean.gr 1 Âáóéêïß Ïñéóìïß êáé Ïñïëïãßá

Διαβάστε περισσότερα

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 17.1.1 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò

ÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÌÜèçìá 13 ÓÅÉÑÁ FOURIER 13.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óå äéüöïñá ðñïâëþìáôá åöáñìïãþí. Ç ðñïóðüèåéá íá åêöñáóôïýí ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ìå üñïõò áðëþí ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ ÌÜèçìá 5 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ 5.1 ÄéáêñéôÞ ðñïóýããéóç 5.1.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ

Διαβάστε περισσότερα