Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
|
|
- Ἐλισάβετ Σπανού
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
2 ÌÜèçìá 3 ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ãéá ôéò ðñáãìáôéêýò óõíáñôþóåéò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ èåùñïýíôáé áðáñáßôçôïé ãéá ôá åðüìåíá ìáèþìáôá. 3.1 Ïñéóìïß Ïñéóìüò (óõíüñôçóçò). óôù D êáé T äýï ôõ üíôá ìç êåíü õðïóýíïëá ôïõ R. Ôüôå ëýãåôáé óõíüñôçóç, ìßá ìïíïóþìáíôç áðåéêüíéóç, Ýóôù f, ôïõ óõíüëïõ D óôï T, äçëáäþ f : D x f(x) = y T: (3.1-1) Ôï óýíïëï D ëýãåôáé ðåäßï ïñéóìïý, åíþ ôï T ðåäßï ôéìþí ôçò óõíüñôçóçò f. Óôï åîþò ìéá óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï D èá óõìâïëßæåôáé ìå f D Þ êáé f(x); x D. Ôï x, ðïõ ðåñéãñüöåé ôéò ôéìýò ôïõ D, ëýãåôáé áíåîüñôçôç ìåôáâëçôþ, åíþ ôï y, ðïõ ïñßæåé ôéò áíôßóôïé åò ôéìýò ôïõ x óôï T, åîáñôçìýíç ìåôáâëçôþ. Ï ôñüðïò ìå ôïí ïðïßï ãßíåôáé ç áðåéêüíéóç f, ðåñéãñüöåôáé áðü ôç ó Ýóç f(x), ðïõ ëýãåôáé ôýðïò ôçò óõíüñôçóçò. 1
3 2 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÐáñÜäåéãìá Óýìöùíá ìå ôïí Ïñéóìü 3.1-1, áí D = {0; 2; 5}, ôüôå ï ôýðïò f(x) = x 2 ïñßæåé óõíüñôçóç, åðåéäþ êüèå óôïé åßï ôïõ D ìýóù ôçò f áðåéêïíßæåôáé óå Ýíá óôïé åßï (ìïíïóþìáíôç áðåéêüíéóç), äçëáäþ: f(0) 0, f(2) 4 êáé f(5) 25, ïðüôå T = {0; 4; 25} åíþ ï g(x) = ± x äåí ïñßæåé, åðåéäþ ôá óôïé åßá ôïõ D áðåéêïíßæïíôáé óå äýï óôïé åßá, üðùò f(2) ± 2, ê.ëð. Ç óõíüñôçóç åßíáé äõíáôüí íá ðáñáóôáèåß ãñáöéêü óôï êáñôåóéáíü åðßðåäï D T R 2 áðü ôï äéüãñáììü ôçò Þ ôç ãñáöéêþ ôçò ðáñüóôáóç G f (Ó ), üðïõ G f = { (x; f(x)) : ãéá êüèå x D} D T: (3.1-2) f x 1.0 g x x x 1.0 (a) 5 (b) Ó Þìá 3.1-1: (a) ÓõíÜñôçóç f(x) = x 1 x 2 ìå D = [ 1; 1] êáé (b) g(x) = x+1 x 1 ìå D = R {1} Áí ç óõíüñôçóç åêöñüæåôáé ìå ôïí ôýðï y = f(x), ôüôå èá ëýãåôáé üôé ç ó Ýóç ðïõ óõíäýåé ôç ìåôáâëçôþ y ìå ôç ìåôáâëçôþ x, åßíáé ëõìýíç (explicit) ùò ðñïò ôç ìåôáâëçôþ y. ÕðÜñ ïõí üìùò êáé ðåñéðôþóåéò ðïõ ç y äåí åßíáé äõíáôüí íá åêöñáóôåß óôç ìïñöþ y = f(x). Óôéò ðåñéðôþóåéò áõôýò åßíáé ãíùóôþ ìüíïí ç ó Ýóç ðïõ óõíäýåé ôá x êáé y, äçëáäþ åðáëçèåýåôáé ìßá ó Ýóç ôçò ìïñöþò f(x; y) = 0. Ôüôå ëýãåôáé üôé ç óõíüñôçóç y äßíåôáé ìå ðåðëåãìýíç (implicit) ìïñöþ.
4 Ïñéóìïß 3 ÐáñÜäåéãìá Áí y = y(x), ôüôå ç óõíüñôçóç y = x 2 + 3x + 2 åêöñüæåôáé ìå ëõìýíç ìïñöþ, åíþ ç e y x y = 0 ìå ðåðëåãìýíç, åðåéäþ ç ó Ýóç áõôþ äå ëýíåôáé ùò ðñïò y. Ðñïóäéïñéóìüò ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ æçôåßôáé íá ðñïóäéïñéóôåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ìéáò óõíüñôçóçò, üôáí åßíáé ãíùóôüò ï ôýðïò ôçò, ðñýðåé íá ëçöèïýí õð' üøéí ôá åîþò: ïé ðåñéïñéóìïß ðïõ õðüñ ïõí áðü ôçí ßäéá ôç óõíüñôçóç üðùò ñßæá, ëïãüñéèìïò ê.ëð., Ýôóé þóôå ï ôýðïò ôçò íá ïñßæåôáé, êáé ïé ðñüîåéò ðïõ åßíáé óçìåéùìýíåò óôïí ôýðï ôçò óõíüñôçóçò íá Ý ïõí Ýííïéá -åðéôñåðôýò ðñüîåéò- óôï óýíïëï ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí. Õðåíèõìßæåôáé üôé ïé ìç åðéôñåðôýò ðñüîåéò óôï óýíïëï ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí åßíáé ïé: a 0 ; ; 0 ; 0 ; ; 00 ; 1 ; 0 : (3.1-3) ÐáñÜäåéãìá óôù ç óõíüñôçóç f(x) = x 2 5x + 1: Ôüôå ðñïöáíþò åßíáé D = R. ÐáñÜäåéãìá ¼ìïéá ç óõíüñôçóç g(x) = x + 1 (x 3) (x 2 + 4) : Ôüôå èá ðñýðåé (x 3) ( x ) 0. ÅðåéäÞ x ãéá êüèå x R, áñêåß x 3, äçëáäþ D = R {3}.
5 4 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ðßíáêáò 3.1-1: ÐáñÜäåéãìá ÓõíÜñôçóç x x x(x + 2) ÐáñÜäåéãìá ¼ìïéá ç ÐñÝðåé Þ éóïäýíáìá x h(x) = x + 2 : x x êáé x x(x + 2) 0 êáé x + 2 0: Ôüôå óýìöùíá ìå ôïí Ðßíáêá ðñïêýðôåé üôé x < 2 Þ x 0. ñá D = ( ; 2) [0; + ). Áíôßóôñïöç óõíüñôçóç Ïñéóìüò (áíôßóôñïöçò óõíüñôçóçò). óôù ìßá óõíüñôçóç f : D x f(x) = y T êáé T T. Áí ç áðåéêüíéóç f ìå f : T y f (y) = x D (3.1-4) åßíáé åðßóçò ìïíïóþìáíôç, ôüôå ïñßæåé ôçí áíôßóôñïöç óõíüñôçóç ôçò f, ðïõ óõìâïëßæåôáé ìå f 1. Óçìåéþóåéò i) Ôï f 1 åßíáé óõìâïëéóìüò êáé äåí ðñýðåé íá óõã Ýåôáé ìå ôï 1=f.
6 Ïñéóìïß 5 ii) Ï ôýðïò ôçò áíôßóôñïöçò óõíüñôçóçò õðïëïãßæåôáé, üôáí ç åîßóùóç f(x) = y ëõèåß ùò ðñïò x (ÐáñÜäåéãìá 3.1-6). ÅðåéäÞ üìùò ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ç ëýóç ôçò åîßóùóçò åßíáé áäýíáôç (ÐáñÜäåéãìá 3.1-7), ï ôýðïò ôçò êáé üôáí áêüìá åßíáé ãíùóôü üôé õðüñ åé áíôßóôñïöç óõíüñôçóç, äåí åßíáé äõíáôüí íá ðñïóäéïñéóôåß. iii) Ôï äéüãñáììá ôçò f êáé ôçò f 1 åöüóïí õðüñ åé, åßíáé óõììåôñéêü ùò ðñïò ôçí åõèåßá y = x (Ó ). iv) óôçí ðåñßðôùóç ðïõ éó ýåé ï Ïñéóìüò 3.1-2, äçëáäþ ïñßæåôáé ç áíôßóôñïöç óõíüñôçóç, ëýãåôáé üôé ç f ïñßæåé ìéá áìöéìïíïóþìáíôç Þ Ýíá ðñïò Ýíá áðåéêüíéóç. Áðïäåéêíýåôáé üôé óôçí ðåñßðôùóç áõôþ éó ýåé ôï ðáñáêüôù èåþñçìá: Èåþñçìá Ç óõíüñôçóç f Ý åé áíôßóôñïöç óõíüñôçóç ôüôå êáé ìüíïí, üôáí ç f åßíáé áìöéìïíïóþìáíôç. f x x (a) f x x 2 4 (b) Ó Þìá 3.1-2: Åõèåßá y = x êüêêéíç ãñáììþ. (a) ÓõíÜñôçóç f(x) = x 2 ìðëå, f 1 (x) = x ðñüóéíç êáìðýëç, üôáí x > 0 êáé (b) e x ìðëå, ln x ðñüóéíç êáìðýëç Óôá ðáñáäåßãìáôá ðïõ äßíïíôáé óôç óõíý åéá, õðïôßèåôáé üôé õðüñ åé ç áíôßóôñïöç óõíüñôçóç. ÐáñÜäåéãìá óôù ç óõíüñôçóç f(x) = 2x + 1 x 1 ìå ðåäßï ïñéóìïý D = R {1}:
7 6 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Íá õðïëïãéóôåß ï ôýðïò ôçò áíôßóôñïöçò óõíüñôçóçò. Ëýóç. óôù 2x + 1 x 1 = y ïðüôå x = y + 1 y 2 ìå T = R {2}: ñá ÐáñÜäåéãìá f 1 (x) = x + 1 x 2 : óôù ç óõíüñôçóç f(x) = e x x; üôáí ôï ðåäßï ïñéóìïý åßíáé D = [; + ): Ôüôå, åðåéäþ ç åîßóùóç e x x = y äåí ëýíåôáé ùò ðñïò x, åßíáé áäýíáôïò ï õðïëïãéóìüò ôïõ ôýðïõ ôçò áíôßóôñïöçò óõíüñôçóçò. Óýíèåôç óõíüñôçóç Ïñéóìüò (óýíèåôçò óõíüñôçóçò). óôù A, B, à ôñßá ôõ üíôá óýíïëá äéüöïñá ôïõ êåíïý êáé g A ìßá óõíüñôçóç ìå ðåäßï ôéìþí ôï B êáé f B ìßá óõíüñôçóç ìå ðåäßï ôéìþí ôï Ã. Ôüôå ïñßæåôáé ìßá óõíüñôçóç h A ìå ðåäßï ôéìþí ôï Ã, ðïõ óõìâïëßæåôáé ìå f g, áðü ôïí ôýðï h(x) = (f g)(x) = f(g(x)) ãéá êüèå x A (3.1-5) êáé ëýãåôáé óýíèåôç óõíüñôçóç ôùí f, g. Åßíáé ðñïöáíýò üôé ç óýíèåóç óõíáñôþóåùí ðëçñïß ôçí åðéìåñéóôéêþ éäéüôçôá, äçëáäþ ÐáñÜäåéãìá óôù ïé óõíáñôþóåéò f (g h) = (f g) h: g(x) = 3x 1 êáé f(x) = sin x:
8 ëãåâñá óõíáñôþóåùí 7 Ôüôå ïñßæåôáé ç óýíèåôç óõíüñôçóç f g êáé åßíáé (f g)(x) = f(g(x)) = sin(3x 1) üðïõ ãéá ôá ðåäßá ïñéóìïý åßíáé D(f) = D(g) = D(f g) = R, åíþ ãéá ôá ðåäßá ôéìþí T (g) = R êáé T (f) = T (f g) = [ 1; 1]. ÐáñÜäåéãìá ¼ìïéá ç óýíèåóç ôùí óõíáñôþóåùí äßíåé g(x) = x 2 êáé f(x) = e x (f g)(x) = f(g(x)) = e x2 1 üðïõ D(f) = D(g) = D(f g) = R, åíþ T (f) = R êáé T (g) = T (f g) = (0; + ). 3.2 ëãåâñá óõíáñôþóåùí Éóüôçôá Ïñéóìüò Ïé óõíáñôþóåéò f; g D ëýãïíôáé ßóåò êáé óõìâïëßæåôáé áõôü ìå f = g óôï D ôüôå êáé ìüíïí, üôáí f(x) = g(x) ãéá êüèå x D. Ðñïöáíþò ç éóüôçôá åßíáé áõôïðáèþò, óõììåôñéêþ êáé ìåôáâáôéêþ, ïðüôå ïñßæåé ìßá ó Ýóç éóïäõíáìßáò óôï óýíïëï ôùí óõíáñôþóåùí ìå êïéíü ðåäßï ïñéóìïý D ÄéÜôáîç Ïñéóìüò óôù ïé óõíáñôþóåéò f; g D. Ôüôå èá åßíáé f g ôüôå êáé ìüíïí, üôáí f(x) g(x) ãéá êüèå x D. Ç ó Ýóç áõôþ åßíáé áõôïðáèþò, áíôéóõììåôñéêþ êáé ìåôáâáôéêþ, ïðüôå ïñßæåé ìßá ó Ýóç äéüôáîçò óôï óýíïëï ôùí óõíáñôþóåùí ìå êïéíü ðåäßï ïñéóìïý D, ç ïðïßá üìùò äåí åßíáé ãñáììéêþ. Áíôßóôïé á ïñßæåôáé ç äõúêþ ôçò ó Ýóç f g. 1 ÂëÝðå ÐáñÜãñáöï
9 8 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ðñüóèåóç Ïñéóìüò óôù ïé óõíáñôþóåéò f; g D. Ôüôå ïñßæåôáé óáí ÜèñïéóìÜ ôïõò ç óõíüñôçóç h = f + g D, üðïõ h(x) = (f + g)(x) = f(x) + g(x) ãéá êüèå x D: (3.2-1) Ôï Üèñïéóìá ãåíéêåýåôáé ãéá ôï ðëþèïò óõíáñôþóåéò. Éäéüôçôåò i) áíôéìåôáèåôéêþ f + g = g + f ãéá êüèå f; g D, ii) ðñïóåôáéñéóôéêþ f + (g + h) = (f + g) + h ãéá êüèå f; g; h D, iii) õðüñ åé áêñéâþò ìßá óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý D, ðïõ ëýãåôáé ìçäåíéêþ óõíüñôçóç êáé óõìâïëßæåôáé ìå Õ, ôýôïéá þóôå Õ(x) = 0 ãéá êüèå x D êáé ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé f + Õ = Õ + f = f ãéá êüèå f D, iv) ãéá êüèå f D õðüñ åé áêñéâþò ìßá óõíüñôçóç ç f D, ðïõ ëýãåôáé áíôßèåôç óõíüñôçóç ôçò f óôï D, ôýôïéá þóôå f + ( f) = Õ, v) óôï D éó ýåé ç éóïäõíáìßá: áí f + h = g + h, ôüôå f = g ãéá êüèå f; g; h D (íüìïò ôçò äéáãñáöþò óôçí ðñüóèåóç), v) ãéá êüèå f; g; X D ç åîßóùóç f + X = g D Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç ôçí X = g + ( f). Ç ìïíáäéêþ ëýóç ôçò åîßóùóçò áõôþò ëýãåôáé äéáöïñü ôçò f áðü ôçí g êáé óõìâïëßæåôáé ìå g f, åíþ ç ðñüîç ìå ôçí ïðïßá õðïëïãßæåôáé ç äéáöïñü ôùí äýï óõíáñôþóåùí ëýãåôáé áöáßñåóç Ðïëëáðëáóéáóìüò Ïñéóìüò óôù ïé óõíáñôþóåéò f; g D. Ôüôå ïñßæåôáé óáí ãéíüìåíü ôïõò ç óõíüñôçóç h = f g = f g D, üôáí h(x) = (fg)(x) = f(x)g(x) ãéá êüèå x D: (3.2-2)
10 Åßäç óõíáñôþóåùí 9 ¼ìïéá ï ðïëëáðëáóéáóìüò ãåíéêåýåôáé ãéá ôï ðëþèïò óõíáñôþóåéò. Éäéüôçôåò i) áíôéìåôáèåôéêþ fg = gf ãéá êüèå f; g D, ii) ðñïóåôáéñéóôéêþ f(gh) = (fg)h ãéá êüèå f; g; h D, iii) åðéìåñéóôéêþ ùò ðñïò ôçí ðñüóèåóç f(g + h) = fg + fh ãéá êüèå f; g; h D, iv) õðüñ åé óôï D áêñéâþò ìßá óõíüñôçóç, ðïõ ëýãåôáé ìïíáäéáßá óõíüñôçóç êáé óõìâïëßæåôáé ìå e, ôýôïéá þóôå e(x) = 1 ãéá êüèå x D êáé ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé üôé fe = ef = f ãéá êüèå f D, v) áí f D ìå f(x) 0 ãéá êüèå x D, ôüôå õðüñ åé áêñéâþò ìßá óõíüñôçóç f = 1=f D, ôýôïéá þóôå ff = e, vi) óôï D éó ýåé ç éóïäõíáìßá: áí fh = gh êáé h(x) 0 ãéá êüèå x D, ôüôå f = g (íüìïò ôçò äéáãñáöþò óôïí ðïëëáðëáóéáóìü), vii) ãéá êüèå f; g; X D ç åîßóùóç fx = g D ìå f(x) 0 ãéá êüèå x D Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç ôçí X = g=f. Ç ìïíáäéêþ ëýóç ôçò åîßóùóçò áõôþò ëýãåôáé ðçëßêï ôçò g ðñïò ôçí f êáé óõìâïëßæåôáé ìå g=f. Ç ðñüîç ìå ôçí ïðïßá õðïëïãßæåôáé ôï ðçëßêï äýï óõíáñôþóåùí, ëýãåôáé äéáßñåóç. 3.3 Åßäç óõíáñôþóåùí ñôéåò êáé ðåñéôôýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò Ìßá óõíüñôçóç f D ëýãåôáé Üñôéá, üôáí ãéá êüèå x, x D éó ýåé f( x) = f(x): (3.3-1)
11 10 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò áñáêôçñéóôéêü ôïõ äéáãñüììáôïò ìéáò Üñôéáò óõíüñôçóçò åßíáé üôé ðáñïõóéüæåé óõììåôñßá ùò ðñïò ôïí Üîïíá Oy. ÐáñÜäåéãìá ôýôïéáò óõíüñôçóçò åßíáé ç cos x, ( x ) 1=2 (Ó a), ê.ëð. Ïñéóìüò Ìßá óõíüñôçóç f D ëýãåôáé ðåñéôôþ, üôáí ãéá êüèå x, x D éó ýåé f( x) = f(x): (3.3-2) áñáêôçñéóôéêü ôïõ äéáãñüììáôïò ìéáò ðåñéôôþò óõíüñôçóçò åßíáé üôé ðáñïõóéüæåé óõììåôñßá ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí O. ¼ìïéá ðáñüäåéãìá ôýôïéáò óõíüñôçóçò åßíáé ç x 3 (Ó b), sin x, ê.ëð. f x x (a) x^ x (b) Ó Þìá 3.3-1: (a) ÓõíÜñôçóç f(x) = ( x ) 1=2 êáé (b) x 3 ìåóá ðñïêýðôåé áðü ôïõò ðáñáðüíù ïñéóìïýò üôé: Ðñüôáóç Áí ç f åßíáé Üñôéá êáé ç g ðåñéôôþ óõíüñôçóç, ôüôå ôï ãéíüìåíï ôïõò åßíáé ðåñéôôþ óõíüñôçóç, åíþ ôï ãéíüìåíï äýï ðåñéôôþí Þ äýï Üñôéùí óõíáñôþóåùí åßíáé Üñôéá óõíüñôçóç Ìïíïôïíßá óõíüñôçóçò Ïñéóìüò (ìïíïôïíßáò). óôù ç óõíüñôçóç f D êáé x 1, x 2 D, üðïõ ùñßò íá ðåñéïñßæåôáé ç ãåíéêüôçôá õðïôßèåôáé üôé x 1 < x 2. Ôüôå, áí: i) f (x 1 ) f (x 2 ) ç f èá ëýãåôáé áýîïõóá êáé èá óõìâïëßæåôáé ìå. ii) f (x 1 ) f (x 2 ) ç f èá ëýãåôáé öèßíïõóá êáé èá óõìâïëßæåôáé ìå. Êáé óôéò äýï ðåñéðôþóåéò ç óõíüñôçóç èá ëýãåôáé ìïíüôïíç.
12 Åßäç óõíáñôþóåùí 11 iii) f (x 1 ) < f (x 2 ) ç f èá ëýãåôáé ãíþóéá áýîïõóá êáé èá óõìâïëßæåôáé ìå. iv) f (x 1 ) > f (x 2 ) ç f èá ëýãåôáé ãíþóéá öèßíïõóá êáé èá óõìâïëßæåôáé ìå. Óôéò ðåñéðôþóåéò (iii) êáé (iv) ç óõíüñôçóç èá ëýãåôáé ãíþóéá ìïíüôïíç. Ç ëåðôïìåñþò åîýôáóç ôçò ìïíïôïíßáò ìéáò óõíüñôçóçò èá ãßíåé óôï ÌÜèçìá 10. Ó åôéêü ôþñá ìå ôéò ìïíüôïíåò óõíáñôþóåéò éó ýïõí ôá ðáñáêüôù èåùñþìáôá. Èåþñçìá Áí ìßá óõíüñôçóç f D åßíáé ãíþóéá ìïíüôïíç óôï D, ôüôå õðüñ åé ðüíôïôå ç áíôßóôñïöþ ôçò óõíüñôçóç f 1 T üðïõ T = f(d) êáé åßíáé ôïõ ßäéïõ åßäïõò ìïíïôïíßáò ìå áõôþ. Èåþñçìá Ç óýíèåóç äýï óõíáñôþóåùí ôïõ ßäéïõ åßäïõò ìïíïôïíßáò åßíáé áýîïõóá óõíüñôçóç, åíþ äéáöïñåôéêïý åßäïõò ìïíïôïíßáò öèßíïõóá óõíüñôçóç ÐåñéïäéêÞ óõíüñôçóç Ïñéóìüò Ìßá óõíüñôçóç f R ëýãåôáé ðåñéïäéêþ, áí õðüñ åé ô R ìå ô 0, Ýôóé þóôå íá éó ýåé f(x + ô) = f(x) ãéá êüèå x R: (3.3-3) Ôüôå ï ô ëýãåôáé ðåñßïäïò, åíþ ï åëü éóôïò èåôéêüò áñéèìüò ô ãéá ôïí ïðïßï éó ýåé ç (3:3 3) ëýãåôáé èåìåëéþäçò ðåñßïäïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå T. Óçìåßùóç ìåóá ðñïêýðôåé áðü ôïí ïñéóìü üôé ïé éäéüôçôåò êáé ôï äéüãñáììá ìéáò ðåñéïäéêþò óõíüñôçóçò èá åßíáé ãíùóôýò, üôáí ìåëåôçèåß ç óõíüñôçóç óå Ýíá äéüóôçìá ðëüôïõò T, äçëáäþ üóï ç èåìåëéþäçò ðåñßïäïò.
13 12 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óôéò åöáñìïãýò, üðïõ ç ìåôáâëçôþ ôïõò t óõìâïëßæåé ôï ñüíï êáé ìåôáâüëëåôáé óå äéáóôþìáôá üðùò ôï [0; + ), [t 1 ; t 2 ] ê.ëð. Óôéò ðåñéðôþóåéò áõôýò ëýãåôáé üôé Ý ïõìå ôïí ðåñéïñéóìü ôçò ðåñéïäéêþò óõíüñôçóçò óôá äéáóôþìáôá áõôü. Êáôçãïñßåò ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò ùñßæïíôáé óôéò ðáñáêüôù äýï êáôçãïñßåò: i) åêåßíåò ðïõ áðü ôï ïñéóìü ôïõò åßíáé ðåñéïäéêýò, äçëáäþ ïé ôñéãùíïìåôñéêýò óõíáñôþóåéò üðùò: sin x, cos 3x, tan 5x, sin x ðïõ åßíáé ãíùóôþ óáí 2 ðëþñçò áíüñèùóç (Ó ) ìå èåìåëéþäç ðåñßïäï T =, ê.ëð. sin x sin x x (a) x (b) Ó Þìá 3.3-2: ÓõíÜñôçóç (a) sin x, üôáí x [0; ] äçëáäþ äéüóôçìá ðëüôïõò T = êáé (b) üôáí x [ 2; 2] ii) ÓõíáñôÞóåéò ðïõ ïñßæïíôáé ìå êüðïéá óõíèþêç ðåñéïäéêüôçôáò. Ïé óõíáñôþóåéò áõôýò óõíáíôþíôáé óôéò åöáñìïãýò êáé ðáñáäåßãìáôü ôïõò äßíïíôáé óôç óõíý åéá. ÐáñÜäåéãìá Ç óõíüñôçóç t áí 0 t < f(t) = 0 áí t < 2; üôáí óõíèþêç {}}{ f(t + }{{} 2 ) = f(t) ãéá êüèå t R Ô =!. 2 Ãåíéêüôåñá ç óõíüñôçóç sin!x ìå! > 0 åßíáé ðåñéïäéêþ ìå èåìåëéþäç ðåñßïäï T =
14 Åßäç óõíáñôþóåùí 13 åßíáé ðåñéïäéêþ ìå èåìåëéþäç ðåñßïäï T = 2. Óôï Ó a äßíåôáé ôï äéüãñáììü ôçò óôï äéüóôçìá [0; T ] ðëüôïõò üóï ç èåìåëéþäçò ðåñßïäïò, üðùò áõôü ðáñïõóéüæåôáé óôá ìáèçìáôéêü, åíþ óôï Ó b üðùò óôéò åöáñìïãýò. 3.0 f t (a) t (b) Ó Þìá 3.3-3: ÐáñÜäåéãìá ÐáñÜäåéãìá ¼ìïéá ç e t áí 0 t < 1 g(t) = 1 áí 1 t < 2; üôáí óõíèþêç {}}{ f(t + }{{} 2 ) = f(t) ãéá êüèå t R Ô åßíáé ðåñéïäéêþ ìå èåìåëéþäç ðåñßïäï T = 2 ìå äéüãñáììá óôï Ó a óôá ìáèçìáôéêü, áíôßóôïé á Ó b óôéò åöáñìïãýò. ÐáñÜäåéãìá ¼ìïéá ïé h(t) = t; üôáí 1 t < 1 êáé h(t + p(t) = t 2 ; üôáí 2 t < 2 êáé p(t + Ô {}}{ 2 ) = h(t); êáé Ô {}}{ 4 ) = p(t)
15 14 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò g t (a) t (b) Ó Þìá 3.3-4: ÐáñÜäåéãìá ãéá êüèå t R åßíáé ðåñéïäéêýò ìå èåìåëéþäç ðåñßïäï T = 2 (Ó a) êáé T = 4 (Ó b). h t t p t 4 (a) t (b) Ó Þìá 3.3-5: ÐáñÜäåéãìá Ôï Ðñüãñáììá äßíåé ôï Ó ìå ôï MATHEMATICA. Ðñüãñáììá Plot[Piecewise[{{t, 0 < t < Pi}, {0, Pi < t < 2 Pi}}], {t,0,2pi}, PlotStyle -> Thick, ColorFunction -> Function[Blue], AxesLabel -> {t, "f(t)"}, BaseStyle -> {FontFamily -> "Arial", FontSize -> 14}] Éäéüôçôåò Ó åôéêü ìå ôéò ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò éó ýïõí: i) ôï äéüãñáììá ìéáò ðåñéïäéêþò óõíüñôçóçò óå ìßá ðåñßïäï ëýãåôáé êýìá,
16 Åßäç óõíáñôþóåùí 15 ii) áí ç ìåôáâëçôþ ìéáò ðåñéïäéêþò óõíüñôçóçò óõìâïëßæåé ôï äéüóôçìá, ôüôå ç ðåñßïäüò ôçò ëýãåôáé ìþêïò êýìáôïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå ë, iii) êüèå ðåñéïäéêþ óõíüñôçóç f(t) ìå èåìåëéþäç ðåñßïäï T ãßíåôáé ðåñéïäéêþ ìå èåìåëéþäç ðåñßïäï 2, èýôïíôáò t = 2ð x ; (3.3-4) T iv) áí T åßíáé ç èåìåëéþäçò ðåñßïäïò, ôüôå ïñßæåôáé ùò óõ íüôçôá í ï áñéèìüò êáé ùò êõêëéêþ óõ íüôçôá ï í = 1 T ù = 2ð T v) ïñßæåôáé óáí áñìïíéêþ êüèå óõíüñôçóç ôçò ìïñöþò (3.3-5) ; (3.3-6) f(t) = a cos(ùt + è) Þ f(t) = a sin(ùt + è): (3.3-7) Áðïäåéêíýåôáé üôé éó ýïõí ïé ðáñáêüôù ðñïôüóåéò. Ðñüôáóç Ôï Üèñïéóìá äýï Þ ðåñéóóïôýñùí áñìïíéêþí óõíáñôþóåùí ìå ôçí ßäéá êõêëéêþ óõ íüôçôá, Ýóôù ù, åßíáé åðßóçò áñìïíéêþ óõíüñôçóç ìå ôçí ßäéá êõêëéêþ óõ íüôçôá. Áðüäåéîç. óôù ïé áñìïíéêýò óõíáñôþóåéò f(t) = á 1 cos (ùt + è 1 ) êáé g(t) = á 2 cos (ùt + è 2 ). Ôüôå, áí h(t) = f(t) + g(t), åßíáé h(t) = á 1 cos (ùt + è 1 ) + á 2 sin (ùt + è 2 ) = (á 1 cos è 1 + á 2 sin è 2 ) cos ùt + ( á 1 sin è 1 + á 2 cos è 2 ) sin ùt ( ) A = A cos ùt + B sin ùt = B cos ùt + sin ùt B = B (tan cos ùt + sin ùt) = C sin(ùt + ) äçëáäþ h(t) = A cos ùt + B sin ùt = C sin(ùt + ); (3.3-8)
17 16 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò üðïõ C = ( A 2 + B 2) 1=2 ìå tan ö = A=B, üôáí B 0 êáé ö <. Áðü ôçí (3:3 8) ðñïêýðôåé üôé ôï Üèñïéóìá åßíáé üìïéá ìßá áñìïíéêþ óõíüñôçóç ìå ôçí ßäéá êõêëéêþ óõ íüôçôá ù. ÐáñÜäåéãìá Ôï Üèñïéóìá ôùí áñìïíéêþí óõíáñôþóåùí f(t) = sin t êáé g(t) = 3 cos t, üðïõ ù = 1, äßíåé h(t) = sin t + ( ) ( cos t = 2 2 sin t + 2 cos t = 2 cos t ) ; 6 äçëáäþ ìßá áñìïíéêþ óõíüñôçóç ìå ôçí ßäéá êõêëéêþ óõ íüôçôá ù. Ðñüôáóç Ôï Üèñïéóìá äýï Þ ðåñéóóüôåñùí áñìïíéêþí óõíáñôþóåùí, ðïõ ç êüèå ìßá Ý åé êõêëéêþ óõ íüôçôá áêýñáéï ðïëëáðëüóéï ìéáò óõ íüôçôáò, Ýóôù ù 0, åßíáé ìßá ðåñéïäéêþ - ãåíéêü ìç áñìïíéêþ - óõíüñôçóç ìå óõ íüôçôá ôç ìéêñüôåñç óõ íüôçôá ôùí áñìïíéêþí óõíáñôþóåùí. Ðñüôáóç Ôï Üèñïéóìá äýï Þ ðåñéóóüôåñùí áñìïíéêþí óõíáñôþóåùí, ðïõ ïé óõ íüôçôýò ôïõò Ý ïõí áíü äýï ðçëßêï ñçôü áñéèìü, åßíáé ðåñéïäéêþ - ãåíéêü ìç áñìïíéêþ - óõíüñôçóç. 3.4 Êáôçãïñßåò óõíáñôþóåùí Äßíïíôáé óôç óõíý åéá ïé êõñéüôåñåò êáôçãïñßåò óõíáñôþóåùí ìå ôéò ðëýïí âáóéêýò éäéüôçôýò ôïõò ÐïëõùíõìéêÞ Ïñéóìüò ÊÜèå óõíüñôçóç ôçò ìïñöþò P (x) = P (x) = a x + : : : + a 1 x + a 0 ; (3.4-1) üôáí a i R; i = 0; 1; : : : ; êáé = 1; 2; : : : ëýãåôáé ðïëõùíõìéêþ âáèìïý. Ôüôå åßíáé D = R, åíþ ôï T ðñïóäéïñßæåôáé, åöüóïí áõôü åßíáé äõíáôüí.
18 Êáôçãïñßåò óõíáñôþóåùí 17 Ïñéóìüò ÊÜèå åîßóùóç ôçò ìïñöþò a x + : : : + a 1 x + a 0 = 0 (3.4-2) üôáí a i R; i = 0; 1; : : : ; êáé = 1; 2; : : : ëýãåôáé ðïëõùíõìéêþ åîßóùóç âáèìïý, åíþ êüèå ôéìþ, Ýóôù x, ðïõ ôçí åðáëçèåýåé ñßæá ôçò åîßóùóçò ÑçôÞ Ïñéóìüò ËÝãåôáé ñçôþ êüèå óõíüñôçóç ðïõ åßíáé äõíáôüí íá ðáñáóôáèåß óáí ôï ðçëßêï äýï ðïëõùíõìéêþí óõíáñôþóåùí, äçëáäþ R(x) = P (x) Q(x) = a íx + : : : + a 1 x + a 0 â m x m + : : : + â 1 x + â 0 (3.4-3) üðïõ ; m = 1; 2; : : : ìå a i ; â j R ãéá êüèå i = 0; 1; : : : ; êáé j = 0; 1; : : : ; m. Ôüôå D = R {ðñáãìáôéêýò ñßæåò ôïõ ðáñáíïìáóôþ}, åíþ üìïéá ôï T ðñïóäéïñßæåôáé, åöüóïí áõôü åßíáé äõíáôüí. Ïé ñßæåò ôïõ ðáñáíïìáóôþ ëýãïíôáé êáé ðüëïé ôçò R(x) ÐåðëåãìÝíç Ïñéóìüò ËÝãåôáé ðåðëåãìýíç (implicit) êüèå óõíüñôçóç ðïõ ïñßæåôáé áðü ìßá áëãåâñéêþ ó Ýóç ìåôáîý ôùí y êáé x êáé ç ïðïßá äåí åßíáé ëõìýíç ùò ðñïò y, äçëáäþ ìßá ó Ýóç ôçò ìïñöþò F (x; y(x)) = 0 (3.4-4) üðïõ ç F åßíáé Ýíá ðïëõþíõìï ôüóï ùò ðñïò y üóï êáé ùò ðñïò x, ç ïðïßá êáé üôáí áêüìá ëõèåß ùò ðñïò y, èá ðåñéý åé óôçí áíáëõôéêþ ôçò Ýêöñáóç êáé ñéæéêü. ÅíäåéêôéêÜ äßíïíôáé ïé óõíáñôþóåéò y 2 = ax 2 + bx + c, x 3 + y 3 3ax = 0, y = x + ( 1 + x 2) 1=2 ê.ëð. Ïé ñçôýò óõíáñôþóåéò åßíáé ìßá åéäéêþ êáôçãïñßá ôùí ðåðëåãìýíùí óõíáñôþóåùí.
19 18 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÔñéãùíïìåôñéêÝò Çìßôïíï: sin x Ðåäßï ïñéóìïý D = R êáé ôéìþí T = [ 1; 1]. Ç óõíüñôçóç åßíáé ðåñéïäéêþ ìå èåìåëéþäç ðåñßïäï T = 2, ðåñéôôþ, ãíþóéá áýîïõóá ãéá êüèå x [ =2; =2], äçëáäþ óôï É êáé IV ôåôáñôçìüñéï êáé ãíþóéá öèßíïõóá ãéá êüèåx [=2; 3=2], äçëáäþ óôï II êáé ÉÉÉ ôåôáñôçìüñéï (Ó a). x = 2k + a ÂáóéêÞ ôáõôüôçôá: sin x = sin a ìå k Z: x = 2k + a Óõíçìßôïíï: cos x Ðåäßï ïñéóìïý D = R êáé ôéìþí T = [ 1; 1]. Ç óõíüñôçóç åßíáé ðåñéïäéêþ ìå èåìåëéþäç ðåñßïäï T = 2, Üñôéá, ãíþóéá öèßíïõóá ãéá êüèå x [0; ], äçëáäþ óôï É êáé II ôåôáñôçìüñéï êáé ãíþóéá áýîïõóá ãéá êüèå x [; 2], äçëáäþ óôï III êáé IV ôåôáñôçìüñéï (Ó b). ÂáóéêÞ ôáõôüôçôá: cos x = cos a x = 2k ± a ìå k Z: sin x 1.0 cos x x x (a) 1.0 (b) Ó Þìá 3.4-1: (a) ÓõíÜñôçóç sin x êáé (b) cos x, üôáí x [0; 2] ÅöáðôïìÝíç: tan x Ðåäßï ïñéóìïý D = R {ê + =2} ; ê Z êáé ôéìþí T = R. Ç óõíüñôçóç åßíáé ðåñéïäéêþ ìå èåìåëéþäç ðåñßïäï T =, ðåñéôôþ êáé ãíþóéá áýîïõóá óå üëï ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò (Ó a). ÂáóéêÞ ôáõôüôçôá: tan x = tan a x = k + a ìå k Z:
20 Êáôçãïñßåò óõíáñôþóåùí 19 ÓõíåöáðôïìÝíç: cot x Ðåäßï ïñéóìïý D = R {ê} ; ê Z êáé ôéìþí T = R. Ç óõíüñôçóç åßíáé ðåñéïäéêþ ìå èåìåëéþäç ðåñßïäï T =, ðåñéôôþ êáé ãíþóéá öèßíïõóá óå üëï ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò (Ó b). ÂáóéêÞ ôáõôüôçôá: cot x = cot a x = k + a ìå k Z: tan x cot x x x 4 6 (a) 4 6 (b) Ó Þìá 3.4-2: (a) ÓõíÜñôçóç tan x, üôáí x ( =2; =2) êáé (b) cot x, üôáí x (0; ) Áíôßóôñïöåò ôñéãùíïìåôñéêýò Ôüîï çìéôüíïõ: sin 1 x Þ arcsin x Ç óõíüñôçóç f(x) = sin x, üôáí Ý åé ðåäßï ïñéóìïý ôï [ =2; =2], åßíáé ãíþóéá áýîïõóá êáé Ý åé ðåäßï ôéìþí ôï [ 1; 1], ïðüôå óýìöùíá ìå ôï Èåþñçìá áíôéóôñýöåôáé êáé ïñßæåé ôç óõíüñôçóç (Ó a) y = g(x) = f 1 (x) = sin 1 x = sin y x 2 y (3.4-5) 2 : Ôüîï óõíçìéôüíïõ: cos 1 x Þ arccos x ¼ìïéá ç óõíüñôçóç f(x) = cos x ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï [0; ] åßíáé ãíþóéá öèßíïõóá êáé Ý åé ðåäßï ôéìþí ôï [ 1; 1], ïðüôå áíôéóôñýöåôáé êáé ïñßæåé ôç óõíüñôçóç y = g(x) = f 1 (x) = cos 1 x = cos y x (3.4-6) 0 y :
21 20 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ôüîï åöáðôïìýíçò: tan 1 x Þ arctan x Ç óõíüñôçóç f(x) = tan x üìïéá ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï ( =2; =2) åßíáé ãíþóéá áýîïõóá ìå ðåäßï ôéìþí R, ïðüôå áíôéóôñýöåôáé êáé ïñßæåé ôç óõíüñôçóç (Ó b) y = g(x) = f 1 (x) = tan 1 x x = tan y 2 < y < 2 : (3.4-7) arcsin x arctan x x x (a) 0.5 (b) Ó Þìá 3.4-3: (a) ÓõíÜñôçóç sin 1 x êáé (b) tan 1 x, üôáí x [ 1; 1] Ôüîï óõíåöáðôïìýíçò: cot 1 x Þ arccotx Ç óõíüñôçóç f(x) = cot x üìïéá ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï (0; ) åßíáé ãíþóéá öèßíïõóá ìå ðåäßï ôéìþí R, ïðüôå áíôéóôñýöåôáé êáé ïñßæåé ôç óõíüñôçóç y = g(x) = f 1 (x) = cot 1 x x = cos y 0 < y < : (3.4-8) ÅêèåôéêÞ Ïñéóìüò ÊÜèå óõíüñôçóç ôçò ìïñöþò f(x) = a x üðïõ a > 0 êáé x R ëýãåôáé åêèåôéêþ. ÅéäéêÜ üôáí a = 1 åßíáé f(x) = 1. Ðñïöáíþò åßíáé D = R, åíþ T = (0; + ), äçëáäþ ïé ôéìýò ôçò åêèåôéêþò óõíüñôçóçò åßíáé ðüíôïôå èåôéêýò.
22 Êáôçãïñßåò óõíáñôþóåùí 21 Éäéüôçôåò óôù a; b (0; + ) êáé x; y R. ðáñáêüôù éäéüôçôåò. Ôüôå áðïäåéêíýåôáé üôé éó ýïõí ïé i) a x a y = a x+y v) a x = 1 x = 0 ìå a 1, ii) a x : a y = a x y vi) a x > b x ; x > 0 a > b = a x < b x ; x < 0 ; iii) (ab) x = a x b x vi) a x = a y x = y ìå a 1, iv) (a x ) y = a xy viii) x > y = a x > a y ; a > 1 a x < a y ; a < 1 : Ìïíïôïíßá Áðïäåéêíýåôáé üôé, üôáí: I) 0 < a < 1, ç óõíüñôçóç åßíáé ãíþóéá öèßíïõóá (Ó a), II) a > 1, åßíáé ãíþóéá áýîïõóá. ÅéäéêÜ, üôáí a = e, üðïõ e åßíáé ï ãíùóôüò õðåñâáôéêüò áñéèìüò Ý ïõìå ôç óõíüñôçóç f(x) = e x ; (3.4-9) ðïõ åßíáé ìßá ãíþóéá áýîïõóá óõíüñôçóç (Ó b). f x exp x x (a) x (b) Ó Þìá 3.4-4: (á) ÓõíÜñôçóç a x ìå a = 1 3 ìðëå, a = 1 2 êáé (b) ç e x, üôáí x [ 3; 2] êüêêéíç êáìðýëç
23 22 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Óçìåßùóç Ç óõíüñôçóç e x ðïëëýò öïñýò óôéò åöáñìïãýò óõìâïëßæåôáé ìå exp(x) ËïãáñéèìéêÞ Áðïäåéêíýåôáé éó ýåé ç ðáñáêüôù ðñüôáóç. Ðñüôáóç Ãéá êüèå èåôéêü ðñáãìáôéêü áñéèìü a ìå a 1 êáé êüèå y R ìå y > 0, õðüñ åé áêñéâþò Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò x, Ýôóé þóôå a x = y. Ïñéóìüò Ï ìïíïóþìáíôá ïñéóìýíïò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò y ãéá ôïí ïðïßïí éó ýåé a y = x üðïõ a > 0, a 1 êáé x > 0 ëýãåôáé ëïãüñéèìïò ôïõ x ìå âüóç a êáé óõìâïëßæåôáé ìå log a x. ÐáñáôÞñçóåéò Ðñïöáíþò D = (0; + ), åíþ T = R. Ç óõíüñôçóç log a x åßíáé ç áíôßóôñïöç ôçò a x. ÅéäéêÜ, üôáí a = e, ïñßæåôáé ï öõóéêüò Þ íåðýñéïò ëïãüñéèìïò, ðïõ óõìâïëßæåôáé óõíþèùò ìå ln x (Ó b). Ðñïöáíþò ôüôå éó ýåé ç ôáõôüôçôá a x = e x ln a : (3.4-10) ¼ôáí a = 10, ïñßæåôáé ï äåêáäéêüò ëïãüñéèìïò, ðïõ óõìâïëßæåôáé ìå ëïãx = log 10 x.
24 Êáôçãïñßåò óõíáñôþóåùí 23 Éäéüôçôåò óôù a > 0 ìå a 1 êáé x; y > 0. Ôüôå: ( ) x i) a log a x = x v) log a = log a x log a y, y ii) log a x = log a y x = y vi) log a x b = b log a x; b R, iii) log a 1 = 0, log a a = 1 vii) log a x > log a y iv) log a (xy) = log a x + log a y, x > y ; a > 1 x < y ; a < 1. ìåóç óõíýðåéá ôùí éäéïôþôùí iv, v êáé vi åßíáé üôé, áí xy > 0, ôüôå: viii) log a (xy) = log a x + log a y, ( ) x ix) log a = log a x log a y, y x) log a x = log a x; üôáí x > 0 = 1; 2; : : : ; xi) Éó ýåé ï ðáñáêüôù ôýðïò áëëáãþò âüóçò Ìïíïôïíßá Óýìöùíá ìå ôï Èåþñçìá 3.3-1, üôáí log b x = log a x : (3.4-11) log a b a) 0 < a < 1, ç óõíüñôçóç åßíáé ãíþóéá öèßíïõóá (Ó a), b) a > 1, åßíáé ãíþóéá áýîïõóá (Ó b) ÕðåñâïëéêÝò Ïé õðåñâïëéêýò óõíáñôþóåéò (hyperbolic functions) ïñßæïíôáé âüóç ôùí óõíáñôþóåùí e x êáé e x. ñçóéìïðïéïýíôáé óôçí ðåñéãñáöþ ðïëëþí öõóéêþí öáéíïìýíùí, ðïõ áíáöýñïíôáé óôçí çëåêôñïìáãíçôéêþ èåùñßá, ôç ìåôáöïñü èåñìüôçôáò, ôéò êõìáôïìïñöýò soliton ê.ëð. Ïé óõíáñôþóåéò áõôýò åßíáé:
25 24 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò f x 2 1 ln x x (a) x (b) Ó Þìá 3.4-5: (á) ÓõíÜñôçóç log a x ìå a = 1 3 ìðëå, a = 1 2 êáé (b) ç ln x, üôáí x (0; 10] êüêêéíç êáìðýëç Õðåñâïëéêü çìßôïíï sinh x = 1 2 ( e x e x) R (Ó. 3:4 6a): (3.4-12) Õðåñâïëéêü óõíçìßôïíï cosh x = 2 ( e x + e x) R (Ó. 3:4 6b): (3.4-13) ÕðåñâïëéêÞ åöáðôïìýíç tanh x = ex e x R (Ó. 3:4 e x 7a): (3.4-14) + e x ÕðåñâïëéêÞ óõíåöáðôïìýíç coth x = ex + e x R {0} (Ó. 3:4 e x 7b): (3.4-15) e x ÕðåñâáôéêÝò Ïé óõíáñôþóåéò ôçò êáôçãïñßáò áõôþò äåí åðáëçèåýïõí êáìßá áëãåâñéêþ åîßóùóç êáé ç áíáëõôéêþ Ýêöñáóç åðéôõã Üíåôáé ìå áðåñéüñéóôá ìåãüëï áñéèìü áëãåâñéêþí
26 Êáôçãïñßåò óõíáñôþóåùí 25 sinh x x cosh x (a) x (b) Ó Þìá 3.4-6: (a) ÓõíÜñôçóç sinh x êáé (b) cosh x, üôáí x [ ; ] tanh x 1.0 coth x x x (a) 4 (b) Ó Þìá 3.4-7: (a) ÓõíÜñôçóç tanh x êáé (b) coth x, üôáí x [ ; ] üñùí. Åßíáé ðñïöáíýò üôé ç åêèåôéêþ, ïé ôñéãùíïìåôñéêýò, ïé õðåñâïëéêýò êáé ïé áíôßóôñïöýò ôùí óõíáñôþóåéò åßíáé õðåñâáôéêýò.
27 26 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÁóêÞóåéò 1. Íá õðïëïãéóôåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí f(x) i) 3x 2 5x + 4 vii) ln ( x 2 x 2 ) x ii) tan(sin 2x) viii) cosh x + 1 iii) x x + 3 ix) 3x 2 + 4x 5 x x 2 54 iv) sin 1 3x x) coth x 1 x x v) xi) (x + 1) 1=x (x 2)(x + 5) ( ) sin x x vi) tan 1 5x xii). x 2. óôù ç óõíüñôçóç f(x) = ln(sin x). Íá õðïëïãéóôåß ôï ðåäßï ïñéóìïý, ôéìþí êáé íá ãßíåé ôï äéüãñáììü ôçò. 3. ¼ìïéá ôçò óõíüñôçóçò f(x) = ln [cos(x=2)]. 4. Äåßîôå üôé: i) cosh 2 x sinh 2 x = 1, ii) sinh( x) = sinh x, cosh( x) = cosh x, tanh( x) = tanh x, iii) sinh(x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y, iv) cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y, tanh x ± tanh y v) tanh(x ± y) = 1 ± tanh x tanh y : 5. Äåßîôå üôé ïé áíôßóôñïöåò óõíáñôþóåéò ôùí õðåñâïëéêþí óõíáñôþóåùí äßíïíôáé áðü ôïõò ôýðïõò: sinh 1 x = ln cosh 1 x = ( x + ) x cosh 1 + (x x = ln + ) x 2 1 cosh 1 (x x = ln ) x 2 1 (äßôéìç óõíüñôçóç)
28 Êáôçãïñßåò óõíáñôþóåùí 27 tanh 1 x = 1 2 ln 1 + x 1 x coth 1 x = 1 2 ln x + 1 x 1 : Óå êüèå ðåñßðôùóç íá õðïëïãéóôåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôùí êáé âüóåé áõôïý ôï ðåäßï ôéìþí ôùí õðåñâïëéêþí óõíáñôþóåùí. 6. Íá åîåôáóôåß áí åßíáé ðåñéïäéêýò ïé ðáñáêüôù óõíáñôþóåéò f(x), íá õðïëïãéóôåß ç èåìåëéþäçò ðåñßïäïò T êáé íá ãßíåé ôï äéüãñáììá ãéá ôéò ðåñéïäéêýò áðü áõôýò óôç èåìåëéþäç ðåñßïäï i) sin 3x ii) sin x iii) sin ùx iv) cos ùx v) cos x 2 vi) tan 2x. 7. Íá ãßíåé ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôùí ðáñáêüôù ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí, üôáí ï ðåñéïñéóìüò ôïõò óôç èåìåëéþäç ðåñßïäï åßíáé: i) f(t) = e t áí 0 t <, ii) f(t) = 4 2 t 2 áí 0 t < 2, t áí t < 0 iii) f(t) = 0 áí 0 t < ; t 2 áí =2 t < 0 iv) f(t) = 0 áí 0 t < =2; v) f(t) = sin t + t áí t < 0 vi) f(t) = t áí 0 t < : 8. Íá äåé èåß üôé, áí ìßá óõíüñôçóç f(t) åßíáé ðåñéïäéêþ ìå èåìåëéþäç ðåñßïäï T, ôüôå i) f(t) = f(t + kt ), üôáí k Z, ii) ç f(kt) ìå k 0 åßíáé üìïéá ðåñéïäéêþ ìå èåìåëéþäç ðåñßïäï T =k.
29 28 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò 9. Áí ïé óõíáñôþóåéò f, g åßíáé ðåñéïäéêýò ìå ðåñßïäï ô, ôüôå êáé ç óõíüñôçóç h = kf + ëg üðïõ k; ë R åßíáé üìïéá ðåñéïäéêþ. 3 3 Áðáãïñåýåôáé ç áíáäçìïóßåõóç Þ áíáðáñáãùãþ ôïõ ðáñüíôïò óôï óýíïëü ôïõ Þ ôìçìüôùí ôïõ ùñßò ôç ãñáðôþ Üäåéá ôïõ Êáè. Á. ÌðñÜôóïõ. bratsos@teiath.gr URL:
30 Âéâëéïãñáößá [1] ÌðñÜôóïò, Á. (2011), ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç, ÁèÞíá, ISBN 978{960{351{874{7. [2] ÌðñÜôóïò, Á. (2002), Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç, ÁèÞíá, ISBN 960{351{453{5/978{960{351{453{4. [3] Finney R. L., Giordano F. R. (2004), Áðåéñïóôéêüò Ëïãéóìüò ÉÉ, ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò, ISBN 978{960{524{184{1. [4] Spiegel M., Wrede R. (2006), Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Ôæéüëá, ISBN 960{418{087{8. ÌáèçìáôéêÝò âüóåéò äåäïìýíùí Page
31 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
32 Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, Αθανάσιος Μπράτσος. «Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις». Έκδοση: 1.0. Αθήνα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 2
ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 3 ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 3.1 Ïñéóìüò êáé ëãåâñá óõíáñôþóåùí 3.1.1 Ïñéóìïß Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ãéá ôéò ðñáãìáôéêýò óõíáñôþóåéò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò,
Διαβάστε περισσότεραÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß
ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò
ÌÜèçìá 13 ÓÅÉÑÁ FOURIER 13.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óå äéüöïñá ðñïâëþìáôá åöáñìïãþí. Ç ðñïóðüèåéá íá åêöñáóôïýí ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ìå üñïõò áðëþí ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí,
Διαβάστε περισσότερα( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
. Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)
44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò
Διαβάστε περισσότεραSPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá
ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότερα3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ
ÌÜèçìá 18 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 18.1 ÅéóáãùãÞ 1 Óôï ìüèçìá áõôü äßíïíôáé ïé âáóéêýò Ýííïéåò ôïõ Äéáíõóìáôéêïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý, ðïõ åßíáé ó åôéêýò ìå ôéò âáèìùôýò Þ ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 17.1.1 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç
Διαβάστε περισσότεραÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç
ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ
55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò
ÌÜèçìá 2 ÓÅÉÑÅÓ 2. Áêïëïõèßåò áñéèìþí Êñßíåôáé óêüðéìï íá äïèåß ðåñéëçðôéêü ðñéí áðü ôç ìåëýôç ôùí óåéñþí ç Ýííïéá ôçò áêïëïõèßáò áñéèìþí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ
28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 4: Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ
ÌÜèçìá 5 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ 5.1 ÄéáêñéôÞ ðñïóýããéóç 5.1.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ
Διαβάστε περισσότεραÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ
ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò
Διαβάστε περισσότεραΘερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση
Διαβάστε περισσότεραÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò
Διαβάστε περισσότερα16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.
55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð
Διαβάστε περισσότερα2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr
2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 9: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 9: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραå) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραÁóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 2: Διαφορικές Εξισώσεις Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Âáóéêïß ïñéóìïß
ÌÜèçìá 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ôá êõñéüôåñá óôïé åßá ôùí äéáíõóìüôùí, ðïõ åßíáé áðáñáßôçôá ãéá ôçí êáôáíüçóç ôùí åðüìåíùí ìáèçìüôùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá ðëçñýóôåñç
Διαβάστε περισσότεραEstimation Theory Exercises*
Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 8: Τριπλά Ολοκληρώματα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙII. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 1: Μετασχηματισμός Laplace. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙII Ενότητα 1: Μετασχηματισμός aplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Συναρτήσεις πολλών Μεταβλητών Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù êõñßùò ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò
Διαβάστε περισσότεραΘερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση Ποιότητας,
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 2: Αναλυτική Γεωμετρία Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Πολιτικών Μηχ.ΤΕ και Μηχ. Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραÌáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Προσέγγιση παραγώγων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΔιοικητική Λογιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ
ÌÜèçìá 9 ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 9. ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá 9.. ÅéóáãùãÞ Ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, äçëáäþ ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò, êñßíåôáé áðáñáßôçôï
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 4: Διανυσματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 4: Διανυσματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραΣυντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 1: Διαφορικές Εξισώσεις Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)
Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ
ÌÜèçìá 7 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÅéóáãùãÞ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÐñïóÝããéóç Ðáñáãþãùí, ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò, üôáí I(f) = f(x) dx i) ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 3: Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Τεχνολογίας ΤΕ Το
Διαβάστε περισσότερα3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ
.1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé
Διαβάστε περισσότεραÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙII. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 2: Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙII Ενότητα : Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότερα1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 1 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 11 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 111 Ïñéóìïß Êñßíåôáé áñ éêü áðáñáßôçôï íá ãßíåé óôïí áíáãíþóôç õðåíèýìéóç ôùí ðáñáêüôù âáóéêþí ìáèçìáôéêþí åííïéþí: Ïñéóìüò 111-1 (åîßóùóçò) ËÝãåôáé
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραÓ ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X
V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 11: Προσέγγιση μερικών διαφορικών εξισώσεων - Παραβολικές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.
Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αναδρομικές Συναρτήσεις.
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αναδρομικές Συναρτήσεις Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 8: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 7: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ
66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 9: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Προσεγγιστική Λύση Εξισώσεων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 7: Προσεγγιστική Λύση Εξισώσεων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT
ÊåöÜëáéï 7 ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT 7. Áêïëïõèßåò ¼ðùò êáé ãéá ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ìéá (Üðåéñç) áêïëïõèßá ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôïõò èåôéêïýò áêýñáéïõò. ÄçëáäÞ, ìéá
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 6: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 3: Μετασχηματισμός Laplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΠΙΝΑΚΕΣ. Θερμοδυναμική 2012 Σελίδα 292
ΠΙΝΑΚΕΣ 2012 Σελίδα 292 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες: Ιδανικά αέρια Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc.
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότερα[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.
ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση
Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΔιοικητική Λογιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 6: Μέθοδοι ς Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο
Διαβάστε περισσότερα1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï
ÊåöÜëáéï 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï óôù ç ôñéüäá (a, b, c). Ôï óýíïëï ôùí ôñéüäùí êáëåßôáé 3-äéÜóôáôïò þñïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå IR 3. Åéäéêüôåñá ç ôñéüäá (a, b, c) ïñßæåé
Διαβάστε περισσότεραÅîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 5: Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων
Ενότητα 1 Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων 2 1.1 Βάσεις Δεδομένων Ένα βασικό στοιχείο των υπολογιστών είναι ότι έχουν τη δυνατότητα να επεξεργάζονται εύκολα και γρήγορα μεγάλο πλήθος δεδομένων και πληροφοριών.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 4: Στρατηγικοί προσανατολισμοί Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότερα