ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ έκδοση DΥΝI-FORVDOFS-06b

2 Cpyrigh Ε.Μ.Π Σχολή Μηχανολόγν Μηχανικών Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών κτ. Μ αιθ. Μ00 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας παρουσίασης, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για πάσης φύσες εμπορικό ή επαγγελματικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσες, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Πληροφορίες Δρ. Ι. Αντνιάδης, Καθηγητής, agia@ceral.ua.gr, Δρ. Χ. Γιακόπουλος, ΕΔΙΠ, chryia@ceral.ua.gr,

3 Περιεχόμενα. Απόκριση συστήματος Β.Ε. σε αρμονική διέγερση. Απόκριση συστήματος Β.Ε. σε βηματική διέγερση 3. Απόκριση συστήματος Β.Ε. σε παλμική διέγερση 4. Απόκριση συστήματος Β.Ε. σε κρουστική διέγερση 5. Απόκριση συστήματος Β.Ε. σε διέγερση αυγοσταθμίας 6. Απόκριση συστήματος Β.Ε. σε κινηματική διέγερση 7. Συντονισμός συστήματος Β.Ε.

4 Απόκριση συστήματος Β.Ε. σε αρμονική διέγερση

5 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση c m πλάτος αρμονικής διέγερσης F csω Μονοβάθμιο δυναμικό σύστημα m-c- υπό εξτερική αρμονική διέγερση κυκλική συχνότητα αρμονικής διέγερσης αρμονική διέγερση: f F cs Ω η συμπεριφορά του συστήματος περιγράφεται από: m c F cs Ω / m c m m f m F m cs Ω ❶

6 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση όπου: φυσική συχνότητα m m λόγος απόσβεσης c c c c c m m m criical και: f F0 F0.cs Ω F0.cs Ω. cs Ω m m f X ST cs Ω ισοδύναμο στατικό πλάτος m παριστάνει την μετατόπιση του συστήματος στην στατική περίπτση, δηλαδή στην περίπτση που η δύναμη ff είναι στατική, δηλαδή ανεξάρτητη του χρόνου.

7 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση επομένς ❶ X ST cs Ω ❷ λύση βάσει θερίας Δ.Ε.: μεταβατική απόκριση ομογενής λύση f h p μερική λύση μόνιμη απόκριση

8 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση ομογενής λύση μερική λύση εξαφανίεται μετά από ορισμένο χρόνο Δεν εξασθενεί παραμένει και μετά το πέρας της επιβολής τν αρχικών συνθηκών >> 3/ συνολική λύση Μετά το πέρας του παραμένει μόνο η κίνηση λόγ διεγέρτη

9 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση παρατηρήσεις... όταν επιβάλλεται εξτερική αρμονική διέγερση διεγέρτης σε ένα δυναμικό σύστημα με απόσβεση, μετά την παρέλευση ικανοποιητικού χρονικού διαστήματος, σύστημα θα ταλαντώνεται επ άπειρον με την συχνότητα του διεγέρτη. όταν απουσιάει ο αρμονικός διεγέρτης, το σύστημα ταλαντώνεται με συχνότητα, η οποία καθορίεται αποκλειστικά από τα χαρακτηριστικά του συστήματος. όταν επιβάλλεται εξτερική αρμονική διέγερση, τότε το σύστημα, από ένα σημείο και έπειτα, θα ξεχάσει την ταλάντσή του λόγ τν χαρακτηριστικών του και θα συνεχίσει να ταλαντώνεται επ άπειρον με τη συχνότητα του διεγέρτη. πρέπει να δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στο χρονικό διάστημα εντός του οποίου εξετάουμε την ταλάντση. Εάν το διάστημα αυτό αντιστοιχεί στη μεταβατική κατάσταση, τότε πρέπει οπσδήποτε να ληφθούν υπ όψιν και η ομογενής λύση και η μερική λύση. Εάν το διάστημα αυτό αντιστοιχεί στη μόνιμη κατάσταση, τότε λαμβάνεται υπ όψιν μόνον η μόνιμη λύση

10 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση: Μόνιμη απόκριση μερική λύση Μόνιμη απόκριση μερική λύση συστήματος Η απόκριση αποσβενόμενου συστήματος υπό αρμονική διέγερση είναι αρμονική συνάρτηση ίδιας συχνότητας, αλλά διαφορετικού πλάτους και φάσης θ οφείλεται στις δυνάμεις απόσβεσης. μερική λύση: X cs Ω ϑ ισχύει: p cs A ± B cs A cs B si A si B όπου: p A cs Ω B si Ω A s B s s X X csϑ siϑ s X ϑ A S B S a B s A s ❸ ❹

11 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση: Μόνιμη απόκριση μερική λύση επίσης οι παράγγοι της: p A cs Ω B si Ω s s p p A Ω si Ω B Ω cs Ω Ω s [ A s cs Ω επειδή η p μόνομη απόκριση ισχύει: s B s si Ω Ω π si Ω si π Ω 0 cs Ω si0 ] αντικατάσταση στη ❷ π Ω 0

12 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση: Μόνιμη απόκριση μερική λύση 0 Ω Ω s s B A ST s s X B A Ω Ω Ω Ω Ω ST s X A Ω Ω Ω ST s X B αντικατάσταση στη ❸ Ω Ω X ST X Πλάτος ταλάντσης λόγ εξτερικής αρμονικής διέγερσης πλάτος ταλάντσης στη μόνιμη κατάσταση. Εξαρτάται από χαρακτηριστικά συστήματος & διεγέρτη.

13 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση: Μόνιμη απόκριση μερική λύση επίσης : A B s s Ω X Ω ST Ω Ω Ω X Ω ST αντικατάσταση στη ❹ ϑ a Ω Ω Διαφορά φάσης μεταξύ απόκρισης του συστήματος λόγ εξτερικής διέγερσης και συχνότητας διεγέρτη. Εξαρτάται από χαρακτηριστικά συστήματος & διεγέρτη. Άρα η μερική λύση: X cs Ω ϑ p p X ST Ω cs Ω a Ω Ω Ω

14 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση: Συνολική λύση η συνολική λύση: f X e si ϕ X cs Ω ϑ h p M αρχικές συνθήκες: 0 f 0 f 0... X siϕ X cs ϑ M... X M X csϑ siϕ Πλάτος ταλάντσης λόγ επιβολής αρχικών συνθηκών μετατόπιση ή/και ταχύτητα

15 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση: Συνολική λύση Ω ϑ ϑ ϑ ϕ si cs cs a... 0 X X V X V f f V 0 0 και η παραγγός της f : si ϕ e X M f si cs ϑ ϕ Ω Ω X e X M αρχικές συνθήκες: ϑ ϑ ϑ ϕ si cs cs a Ω X X V X Διαφορά φάσης μεταξύ απόκρισης λόγ επιβολής αρχικών συνθηκών και απλής αρμονικής ταλάντσης του συστήματος

16 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση: Συνολική λύση Αποσβενόμενη ταλάντση με μηδενική διαφορά φάσης h για 0... παρατηρήσεις... η μάα του συστήματος στην περίπτση της αποσβενόμενης ταλάντσης διέρχεται από τη θέση ισορροπίας της. Κατ επέκτασιν, οι μέγιστες και ελάχιστες τιμές τν δύο αποκρίσεν εμφανίονται στις ίδιες χρονικές στιγμές. ομογενής λύση h απόκριση ενός απλού αρμονικού ταλανττή Αποσβενόμενη ταλάντση με μη-μηδενική διαφορά φάσης ϕ Στην περίπτση της αποσβενόμενης ταλάντσης, έχει ήδη διέλθει από τη θέση ισορροπίας. Κατ επέκτασιν, οι μέγιστες και ελάχιστες τιμές τν δύο αποκρίσεν δεν εμφανίονται στις ίδιες χρονικές στιγμές.

17 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση: Συνολική λύση παρατηρήσεις... Μόνιμη ταλάντση με μηδενική διαφορά φάσης οι μέγιστες και ελάχιστες τιμές τν δύο γραμμών εμφανίονται στις ίδιες χρονικές στιγμές Μόνιμη ταλάντση με μημηδενική διαφορά φάσης ϑ ομογενής λύση απόκριση ενός απλού αρμονικού ταλανττή οι μέγιστες και ελάχιστες τιμές τν δύο γραμμών δεν εμφανίονται στις ίδιες χρονικές στιγμές

18 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση: Συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης από: πλάτος ταλάντσης στη μόνιμη κατάσταση X Ω X ST Ω X X ST Ω Ω δυναμικό σύστημα, όταν σε αυτό επιβληθεί μία χρονικά σταθερή εξτερική διέγερση F X s c m F m στη διαμόρφση του στατικού πλάτους συμμετέχει μόνον η σταθερά του ελατηρίου και η εξτερικά ασκούμενη δύναμη F

19 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση: Συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης ορίεται: q Ω Πληροφορεί σχετικά με το πόσο κοντά βρίσκεται η ιδιοσυχνότητα του συστήματος στη συχνότητα του ταλανττή δηλ. πόσο κοντά βρισκόμαστε στο φαινόμενο του συντονισμού. Ω << q 0 Ω q Ω >> q

20 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση: Συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης από: X X ST Ω Ω / X ST F X F q q H Συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης η φυσική ερμηνεία Η παριστάνει την ποσότητα μεταβολής του πλάτους της απόκρισης ενός δυναμικού συστήματος αν σε αυτό, αντί να μεταβληθεί το πλάτος της δύναμης διέγερσης μεταβάλλεται η συχνότητά ο ρυθμός μεταβολής της δύναμης

21 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση: Συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης από: H q q X X ST H F ελ F ST όπου: F ελ FST είναι η ελαστική δύναμη δύναμη ελατηρίου που αναπτύσσεται στο σύστημα λόγ επιβολής σε αυτό εξτερικής αρμονικής διέγερσης πλάτους F είναι η ελαστική δύναμη δύναμη ελατηρίου που αναπτύσσεται στο σύστημα λόγ επιβολής σε αυτό εξτερικής σταθερής διέγερσης F η φυσική ερμηνεία Η ποιοτική & ποσοτική σύγκριση της ελαστικής δύναμης δύναμη ελατηρίου που αναπτύσσεται σε ένα δυναμικό σύστημα, όταν επιβάλλεται σε αυτό εξτερική αρμονική διέγερση πλάτους F με την ελαστική δύναμη που αναπτύσσεται στο σύστημα όταν σε αυτό επιβάλλεται χρονικά σταθερή εξτερική διέγερση F

22 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση: Συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης H q q εξαρτάται από δύο παραμέτρους: λόγος απόσβεσης λόγος q FF Ω0 q0 H H ZONE I ZONE II ZONE II ZONE III ZONE III Hfq 0.5 Στατική περιοχή Περιοχή συντονισμού Περιοχή υψίσυχνν διεγέρσεν q

23 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση: Συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης Ι. Στατική περιοχή q << H Η συχνότητα Ω της εξτερικής διέγερσης είναι πολύ μικρή, συγκριτικά με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος Η μάα m του συστήματος, ακολουθώντας την εξτερική διέγερση, μπορεί να μετατοπισθεί σημαντικά μεγάλη μετατόπιση, αλλά κινείται πολύ αργά μικρή ταχύτητα και μεταβάλλει την ταχύτητά της με πολύ αργό ρυθμό μικρή επιτάχυνση. οι δυνάμεις ελαστικότητας είναι εκείνες που κυριαρχούν και καθορίουν την απόκριση του συστήματος οι άλλες δυνάμεις είναι αμελητέες. c m F csω F csω

24 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση: Συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης ΙΙ. Περιοχή συντονισμού q H > Η συχνότητα Ω της εξτερικής διέγερσης προσεγγίει την ιδιοσυχνότητα του συστήματος συντονισμός q H q q η τιμή του συντελεστού δυναμικής ενίσχυσης H είναι αντιστρόφς ανάλογη του λόγου απόσβεσης 0 Η

25 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση: Συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης ΙΙ. Περιοχή συντονισμού Παρατηρήσεις... μία κατασκευή με μικρό λόγο απόσβεσης επειδή δεν είναι δυνατόν να ταλαντθεί με άπειρο πλάτος, θα αστοχήσει το σύστημα ταλαντώνεται με πολύ μεγάλο πλάτος ταλάντσης και επειδή η συχνότητα ταλάντσης είναι σταθερή, έπεται ότι το σύστημα κινείται πολύ γρήγορα σε ίδιους χρόνους καλύπτει μεγαλύτερη διαδρομή συγκριτικά με περιπτώσεις όπου Ω οι δυνάμεις απόσβεσης δυνάμεις ανάλογες της ταχύτητας είναι εκείνες που κυριαρχούν, οπότε οι εξτερικές δυνάμεις παραλαμβάνονται από τον αποσβεστήρα

26 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση: Συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης ΙΙΙ. Περιοχή υψίσυχνν διεγέρσεν q >> H 0 H I ZONE I ZONE II ZONE II ZONE III ZONE III Hfq Η συχνότητα Ω της εξτερικής διέγερσης πολύ μεγαλύτερη της ιδιοσυχνότητας του συστήματος q Για τιμές του q μεγαλύτερες από μία χαρακτηριστική τιμή και μακριά από τη ώνη συντονισμού, ο συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης H <

27 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση: Συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης ΙΙΙ. Περιοχή υψίσυχνν διεγέρσεν ο συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης H < το σύστημα ταλαντώνεται με πάρα πολύ μικρό πλάτος, συγκριτικά με το στατικό πλάτος ταλάντσης το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντσης είναι σημαντικά μικρότερο από το στατικό πλάτος ταλάντσης του συστήματος επειδή η συχνότητα ταλάντσης του συστήματος είναι πολύ μεγάλη αλλά το πλάτος ταλάντσης είναι μικρό, το κυρίαρχο στοιχείο είναι η επιτάχυνση η ταχύτητα αλλάει σημαντικά σε μικρό χρονικό διάστημα οι εξτερικές δυνάμεις παραλαμβάνονται από τις δυνάμεις αδρανείας μάα του συστήματος

28 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση: Συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης H 3.5 ZONE I I ZONE II ZONE II ZONE III H ma ZONE III Hfq μέγιστη τιμή Η q Υπολογισμός q pea q pea H Hfq ma 0 q

29 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση: Συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης... 0 q q q q H οπότε: 0 ] [ 4 3 q q q q θα πρέπει:... 0 ± q q

30 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση: Συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης θερώντας 0 ισχύουν: 0 q pea εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντση δίχς απόσβεση θα εμφανίσει το μέγιστο πλάτος ταλάντσης όταν επιτευχθεί συντονισμός > 0 > 0 < < 0,707 η q pea εξαρτάται από την τιμή του λόγου απόσβεσης & q pea H q εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντση με απόσβεση θα εμφανίσει το μέγιστο πλάτος ταλάντσης πριν επιτευχθεί συντονισμός

31 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση: Συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης 3 < 0 < > 0,707 q pea μη πραγματικές ρίες το σύστημα δεν εμφανίει μέγιστο πλάτος ταλάντσης & q pea 0 Άρα q:

32 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση: Συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης όλες οι καμπύλες Hfq διέρχονται από τη θέση Hq0 Hfq τόσο νρίτερα του συντονισμού εμφανίεται το μέγιστο πλάτος της ταλάντσης

33 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση: Συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης στην μόνιμη κατάσταση ισχύει: Διαφορά φάσης μεταξύ απόκρισης του συστήματος λόγ εξτερικής διέγερσης και συχνότητας διεγέρτη. ϑ a & Ω q Ω Ω διαφορά φάσης θfq... q ϑ a q

34 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση: Συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης παρατηρήσεις... q 0 θ 0 Ω << η απόκριση του συστήματος και η εξτερική διέγερση είναι συμφασικές απόκριση του συστήματος και η εξτερική διέγερση λαμβάνουν ταυτόχρονα τις μέγιστες και τις ελάχιστες τιμές τους

35 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση: Συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης π/ 4 Ω θ π/ συντονισμός παρατηρήσεις... η απόκριση του συστήματος μεγιστοποιείται όταν μηδενίεται η εξτερική διέγερση 3 Ω >> θ π η απόκριση του συστήματος μεγιστοποιείται όταν ελαχιστοποιείται η εξτερική διέγερση 4 τόσο μεγαλύτερο είναι το πεδίο συχνοτήτν εντός του οποίου η απόκριση του συστήματος και η εξτερική διέγερση έχουν σταθερή διαφορά φάσης

36 . Σύστημα Β.Ε. υπό αρμονική διέγερση: Συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης H 3.5 ZONE I ZONE II ZONE II θ π/ ZONE III III Hfq.5 θ Στατική περιοχή Περιοχή συντονισμού Περιοχή υψίσυχνν διεγέρσεν Ελαστικές δυνάμεις Δυνάμεις απόσβεσης υποχρετική χρήση αποσβεστήρα για να μην αστοχήσει το σύστημα Δυνάμεις αδράνειας θ π q

37 Απόκριση συστήματος Β.Ε. σε βηματική διέγερση

38 . Σύστημα Β.Ε. υπό βηματική διέγερση < F f βηματική διέγερση η συμπεριφορά του συστήματος περιγράφεται από: F c m m / m F m f m m c ST X... m F X ST όπου: στατικό πλάτος ❶

39 . Σύστημα Β.Ε. υπό βηματική διέγερση: μερική λύση λύση βάσει θερίας Δ.Ε.: μεταβατική απόκριση γενική λύση: ομογενής λύση f h p μερική λύση μόνιμη απόκριση Μόνιμη απόκριση μερική λύση συστήματος μερική λύση: p X ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ικανοποιεί Δ.Ε p p 0 οπότε από ❶ X F

40 . Σύστημα Β.Ε. υπό βηματική διέγερση: γενική λύση έτσι, η γενική λύση είναι: και για: f h p h e [ α cs β si ] όπου και για: p F f e [ α cs β si ] F ❷ γενική λύση

41 . Σύστημα Β.Ε. υπό βηματική διέγερση: γενική λύση Υπολογισμός α & β από ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ για V 0 V 0 0 αρχικά ακίνητο σύστημα 0 F ο h 0 e [ α cs 0 β si 0] 0 0 F α 0 α F

42 . Σύστημα Β.Ε. υπό βηματική διέγερση: γενική λύση και h [ α cs β si ] e [ α cs β si ] e h e [ α si β cs ] e [ α cs β si ] για 0 V V και h 0 β α και α F 0 β F

43 ❷ F α F β cs ϕ e F f όπου: a ϕ απόκριση συστήματος Β.Ε. σε βηματική διέγερση γενική λύση. Σύστημα Β.Ε. υπό βηματική διέγερση: γενική λύση

44 . Σύστημα Β.Ε. υπό βηματική διέγερση: γενική λύση απόκριση σε στατική διέγερση 0 0 λόγ αρχικών συνθηκών e 0 f Λύση ΗΡΕΜΙΑΣ εφαρμογή στατική δύναμης F F επιμήκυνση ελατηρίου κατά F

45 . Σύστημα Β.Ε. υπό βηματική διέγερση: γενική λύση f F e cs ϕ Η απόκριση είναι άθροισμα δύο όρν ο ος όρος είναι αποσβενόμενος αρμονικός συχνότητας ίσης με την αποσβενόμενη συχνότητα του ταλανττή. Ο όρος αυτό αποσβένει και τείνει στο F / για σχετικά μεγάλους χρόνους με ρυθμό που εξαρτάται από τον συντελεστή της εκθετικής συνάρτησης Επομένς ο ρυθμός επηρεάεται από τον συντελεστή απόσβεση του συστήματος. ο ος όρος είναι σταθερός εύρους F / και αντιστοιχεί στην απόκριση μόνιμης κατάστασης του ταλανττή η οποία παραμένει για μεγάλους χρόνους. Ο σταθερός όρος είναι ίδιος με την στατική απόκριση του συστήματος για την περίπτση που η διέγερση F επιβάλλεται στατικά.

46 Απόκριση συστήματος Β.Ε. σε παλμική διέγερση 3

47 3. Σύστημα Β.Ε. υπό παλμική διέγερση παλμική διέγερση f F...0 < 0... < > I II Ανάλυση διαφορετικών χρονικών διαστημάτν I η απόκριση είναι ίδια με την απόκριση σε βηματική διέγερση μόνη διαφορά η χρονική περίοδος II μηδενική διέγερση ελεύθερη ταλάντση οι αρχικές συνθήκες προσδιορίονται από την απόκριση στο διάστημα 0 < < θέτοντας

48 3. Σύστημα Β.Ε. υπό παλμική διέγερση επομένς για το διάστημα I είναι: σαν τη βηματική διέγερση, ΑΛΛΑ για χρονικό διάστημα 0 < < και όχι cs ϕ e F a και η παραγγός της: ] si cs [ ϕ ϕ e F a cs ϑ ϕ e F a όπου: ϕ ϑ a a

49 3. Σύστημα Β.Ε. υπό παλμική διέγερση για το διάστημα II η απόκριση b προκύπτει από ελεύθερη ταλάντση που είναι: cs ϕ e V b h Εναλλακτική Λύση όπου -, ώστε να ληφθεί υπόψη ότι οι αρχικές συνθήκες αναφέρονται στον χρόνο : & αρχικές συνθήκες: cs ϕ a e F cs ϑ ϕ a e F V ΠΡΟΣΟΧΗ στο χρόνο!!!

50 3. Σύστημα Β.Ε. υπό παλμική διέγερση a a cs b a a a b e ϕ a b ϕ α α και η φάση: Συνολική απόκριση του συστήματος σε παλμική διέγερση Ι ή a ΙI ή b

51 3. Σύστημα Β.Ε. υπό παλμική διέγερση : Ειδικές περιπτώσεις παλμική διέγερση μεγάλης διάρκειας, δηλ. >> T το μεταβατικό μέρος της απόκρισης αποσβένει πριν την χρονική στιγμή η απόκριση στο χρονικό διάστημα > αντιστοιχεί σε ελεύθερη ταλάντση με αρχικές συνθήκες: F V a a 0 απόκριση του συστήματος σε παλμική διέγερση στατική απόκριση

52 3. Σύστημα Β.Ε. υπό παλμική διέγερση : Ειδικές περιπτώσεις παλμική διέγερση μικρής διάρκειας, δηλ. << T /T ε << η παλμική διέγερση μπορεί να θερηθεί ς κρουστική ανάπτυξη σε σειρά Taylr τν συναρτήσεν με όρους ές τάξη ε a m F F F ε π m F F a και αρχικές συνθήκες για > δεν αποσβένει το σύστημα πριν

53 3. Σύστημα Β.Ε. υπό παλμική διέγερση : Ειδικές περιπτώσεις ϕ α α a b και η φάση: cs b a a a b e ϕ οπότε η απόκριση του συστήματος για > για << : π ϕ b si b e m F

54 3. Σύστημα Β.Ε. υπό παλμική διέγερση : Ειδικές περιπτώσεις αρχική ταχύτητα F m απόκριση σε στατική διέγερση ελεύθερη ταλάντση για > σχεδόν μηδενική πολύ μικρή αρχική μετατόπιση

55 Απόκριση συστήματος Β.Ε. σε κρουστική διέγερση 4

56 Απόκριση συστήματος Β.Ε. σε διέγερση αυγοσταθμίας 5

57 5. Σύστημα Β.Ε. υπό διέγερση αυγοσταθμίας: ορισμός αυγοσταθμίας όταν οι άξονες μηχανών π.χ. τουρμπίνες δεν είναι υγοσταθμισμένοι εμφανίονται φυγοκεντρικές δυνάμεις αυγοστάθμια Το φαινόμενο της αυγοστάθμιας παρουσιάεται λόγ της ανομοιόμορφης κατανομής της πυκνότητας στα περιστρεφόμενα στοιχεία άξονες μηχανών Η ανομοιομορφία αυτή οφείλεται: ατέλειες του υλικού το οποίο δημιουργεί πολύ μικρές ανομοιομορφίες βλάβες που δημιουργούνται κατά την λειτουργία της μηχανής παράδειγμα η καταστροφή ενός από τα πολλαπλά πτερύγια μιας πολύ καλά υγοσταθμισμένης στροβιλομηχανής

58 5. Σύστημα Β.Ε. υπό διέγερση αυγοσταθμίας έστ δίσκος τομή άξονα με ανομοιόμορφη κατανομή μάας στηρίεται σε ένα ακλόνητο σημείο στο κέντρο του περιστρέφεται με γνιακή ταχύτητα Ω m & m απειροελάχιστες μάες του δίσκου m r Ω στις αντιδιαμετρικές θέσεις r, ϑ r, ϑ π & r Ω ανάπτυξη αδρανειακών δυνάμεν m r m r Ω & m r Ω m διαφορά τν μαών λόγ ανομοιομορφίας µ m m θ θ m r Ω µ r Ω συνισταμένη δύναμη

59 5. Σύστημα Β.Ε. υπό διέγερση αυγοσταθμίας φ θ δ μ μ μrω οπότε η συνισταμένη αδρανειακή δύναμη που προκύπτει από την ανομοιομορφία στη κατανομή της πυκνότητας του δίσκου F i F μδω i μεταφέρεται στη στήριξη r Ω µ Ω όπου: r r µ µ δ Ω το διάνυσμα θέσης της μάας μ δ διάνυσμα θέσης του κέντρου του δίσκου με κατανομή μάας μ F i δύναμη αυγοστάθμιας ο προσανατολισμός της θέση μεταβάλλεται με το χρόνο ϕ ροπή αδράνειας Ω

60 5. Σύστημα Β.Ε. υπό διέγερση αυγοσταθμίας θερούμε ότι ο δίσκος στηρίεται μεταξύ του κέντρου του και ενός ακλόνητου στηρίγματος με ελαστικό σώμα ακαμψίας και απόσβεσης c στη χρική κατεύθυνση, ενώ η κίνησή του στην διεύθυνση y δεν επιτρέπεται μέσ κατάλληλν περιοριστών c λόγ της περιστροφής του δίσκου με γνιακή ταχύτητα Ω δ Ω εφαρμόεται στο δίσκο η δύναμη αυγοστάθμιας μέτρου Χρίς τριβή φ μ Χρίς τριβή F i µ δ Ω

61 5. Σύστημα Β.Ε. υπό διέγερση αυγοσταθμίας διάγραμμα ελευθέρου σώματος cẋ κίνηση του κέντρου του δίσκου στην κατακόρυφη κατεύθυνση µ δ Ω csϕ µ δ Ω cs Ω δ εξίσση κίνησης φ μ μδω siφ m c µ δ Ω cs Ω μδω csφ μδω κίνηση ταλανττή σε αρμονική διέγερση με συχνότητα διέγερσης την γνιακή ταχύτητα περιστροφής του β δίσκου Ω εύρος διέγερσης ανάλογο της συνολικής αυγοσταθμισμένης μάας μ, της απόστασης δ και της γνιακής ταχύτητας Ω

62 5. Σύστημα Β.Ε. υπό διέγερση αυγοσταθμίας µ δ Ω aυγοστάθμητη ποσότητα g m ή g m F i επίσης, ισχύει για τον συντελεστή ενίσχυση: H X X ST όπου το στατικό πλάτος: μετατόπιση μάας m συστήματος υπό την επίδραση χρονικά σταθερής δύναμης μέτρου F i Ω X ST µ

63 Απόκριση συστήματος Β.Ε. σε κινηματική διέγερση 6

64 6. Σύστημα Β.Ε. υπό κινηματική διέγερση κινηματική διέγερση διέγερση βάσης ταλανττής σε διέγερση βάσης γνστής μετατόπισης s s s m c η σχετική μετατόπιση της μάας ς προς την βάση y y απόλυτη μετατόπιση της μάας σε σχέση με αδρανειακό σύστημα συντεταγμένν κινούμενη βάση κινούμενη βάση στη βάση του συστήματος επιβάλεται κινηματική συνθήκη s s cs Ω α Αδρανειακό αδρανειακό Σύστημα σύστημα Αναφοράς αναφοράς y s ακλόνητο ακλόνητο επίπεδο

65 6. Σύστημα Β.Ε. υπό κινηματική διέγερση διάγραμμα ελευθέρου σώματος m m c. c y y εφαρμογές... απόλυτη κίνηση οργάνν για την απομόνσή τους από θορύβους που μεταδίδονται μέσ της βάσης από το περιβάλλον κίνηση οχημάτν σε διεγέρσεις που προέρχονται από ανομοιομορφίες του εδάφους εξίσση κίνησης νόμος Νεύτνα β m y c y s y s 0 m y c y y c s s δύναμη διέγερσης F μ χρησιμοποιείται για να περιγράψει την απόλυτη κίνηση σμάτν σε διέγερση βάσης συνήθς περιγράφεται μέσ της μετατόπισης της βάσης

66 6. Σύστημα Β.Ε. υπό κινηματική διέγερση επομένς... m y c y y c s s c m κινηματική διέγερση s s cs Ω και η παράγγός της s Ω s si Ω m q Ω m y c y y s q si Ω cs Ω ορίεται aϕ q ϕ a q τριγνομετρία... si ϕ q cs ϕ... csϕ

67 6. Σύστημα Β.Ε. υπό κινηματική διέγερση m y c y y s q cs Ω / m y y y s q cs Ω αρμονική δύναμη διέγερσης F μ η απόκριση στη μόνιμη κατάσταση είναι αρμονική y p Y cs Ω ϑ συχνότητα διεγέρτη διαφορά φάσης μεταξύ διεγέρτη & απόκρισης

68 6. Σύστημα Β.Ε. υπό κινηματική διέγερση: συντελεστής μεταδοτικότητας αρμονική κινηματική διέγερση ορισμός: συντελεστής μεταδοτικότητας TR και TR q, Y s πλάτος κατακόρυφης απόκρισης πλάτος της εξτερικής κινηματικής διέγερσης της βάσης F s q cs Ω µ και συντελεστή ενίσχυσης Η q q TR H q

69 6. Σύστημα Β.Ε. υπό κινηματική διέγερση: συντελεστής μεταδοτικότητας φυσική ερμηνεία: συντελεστής μεταδοτικότητας TR πληροφορίες για τον τρόπο με τον οποίο η κινηματική διέγερση βάσης μεταφέρεται στο σύστημα αμελητέα απόσβεση 0 Ω << q 0 Η TR

70 6. Σύστημα Β.Ε. υπό κινηματική διέγερση: συντελεστής μεταδοτικότητας δυναμικό σύστημα Β.Ε. στο οποίο επιβάλλονται αρχικές συνθήκες εξτερική διέγερση κινηματική συνθήκη

71 Συντονισμός συστήματος Β.Ε. 7

72 7. Συντονισμός συστήματος Β.Ε.: υπό αρμονική διέγερση F εξίσση κίνησης... m F cs Ω... m m και f F m / m f cs Ω απόκριση στη μόνιμη κατάσταση μερική λύση p X cs Ω και p X Ω cs Ω

73 7. Συντονισμός συστήματος Β.Ε.: υπό αρμονική διέγερση Χ Ω X f cs Ω 0 > 0 cs Ω 0 Χ Ω X f 0 Χ Ω X f X f Ω πλάτος της αρμονικής διέγερσης οπότε για... Ω η μερική λύση είναι απόκριση στην μόνιμη κατάσταση: f cs Ω Ω p

74 7. Συντονισμός συστήματος Β.Ε.: υπό αρμονική διέγερση η συνολική απόκριση μεταβατική & μόνιμη κατάσταση h p για 0<< h e [ α cs β si ] δίχς απόσβεση 0 & h A si A cs επομένς, η συνολική απόκριση είναι: f A si A cs cs Ω Ω όπου οι όροι Α & Α υπολογίονται από τις αρχικές συνθήκες:

75 7. Συντονισμός συστήματος Β.Ε.: υπό αρμονική διέγερση υπολογισμός Α & Α από ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ 0 0 V 0 V οπότε για 0 και 0 0 f 0 A si 0 A cs 0 cs Ω 0 0 Ω A f Ω 0 A 0 f Ω 0 0 V 0 V επίσης για και f Ω 0 A cs 0 A si 0 si Ω 0 V Ω

76 7. Συντονισμός συστήματος Β.Ε.: υπό αρμονική διέγερση V A V A 0 άρα η συνολική απόκριση είναι: cs cs si f f V Ω Ω Ω ❶

77 7. Συντονισμός συστήματος Β.Ε.: υπό αρμονική διέγερση ra sec Ω 0 ra sec 0m V 0 m sec ra sec Ω ra sec 0, 0m V m 0.0 sec πολύ χαμηλού πλάτος απόκριση << Ω

78 7. Συντονισμός συστήματος Β.Ε.: υπό αρμονική διέγερση Ω φαινόμενο beaig συντονισμός

79 7. Συντονισμός συστήματος Β.Ε.: φαινόμενο beaig ra sec ra Ω 0.95 sec Ω φαινόμενο beaig 0m V 0 m sec για ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ V και ❶... f Ω cs Ω cs...

80 7. Συντονισμός συστήματος Β.Ε.: φαινόμενο beaig... f Ω Ω si si Ω μέγιστο πλάτος T scil 4 π Ω Ω Ω και Ω << >> T bea 4 π Ω η συνιστώσα Ω si ταλαντώνεται με μεγαλύτερη περίοδο Τ π/ από τη συνιστώσα Ω si

81 7. Συντονισμός συστήματος Β.Ε.: συντονισμός ra sec ra Ω 0,999 sec 0m V 0 m sec από ❶ f cs Ω f cs Ω Ω για Ω μη έγκυρη λύση για ❶

82 7. Συντονισμός συστήματος Β.Ε.: συντονισμός καθώς η μερική λύση p X cs Ω αποτυγχάνει για Ω p X si Byce W. E., Di Prima P. C., elemeary iffereial equais a buary value prblem, 8 h eii, Wiley, New Yr p & f cs Ω f si και ισχύει για Ω ομοίς, η συνολική απόκριση είναι: f A si A cs si

83 7. Συντονισμός συστήματος Β.Ε.: συντονισμός εφαρμόοντας ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ 0 0 V 0 V η συνολική απόκριση είναι: V f si cs cs

84 ΑΝΑΦΟΡΕΣ - ΒΙΒΛΙΑ Egieerig Vibrai Daiel J. Ima hp:// Vibrai Prblems i Egieerig S. Timshe, D. H. Yug, W. Weaver JR. SDOF Sysems uer Harmic Eciai hp://

85 Ευχαριστώ για την προσοχή σας! Εργαστήριο Δυναμικής & Κατασκευών Δρ. Αντνιάδης Ι..... Δρ. Γιακόπουλος Χ....