Περιεχόμενα Βασικές Έννοιες - Ορισμοί

Transcript

1 Περιεχόμενα 1 Βασικές Έννοιες - Ορισμοί Ιστορική ανασκόπηση - Ορισμοί Χαρακτηριστικά διεργασιών - Μεταβλητές H χειροκίνητη σε αντίθεση με την αυτόματη ρύθμιση Η έννοια της ανατροφοδότησης Χαρακτηριστικά ρύθμισης διεργασιών. Βασικές έννοιες Αυτόματη ρύθμιση Αυτόματος ρυθμιστής Στοιχεία ρυθμιζόμενων διεργασιών Το διάγραμμα βαθμίδων Δυναμική συμπεριφορά των συστημάτων ρύθμισης Ευστάθεια συστημάτων Βιβλιογραφία Κεφαλαίου i

2 Βασικές Έννοιες - Ορισμοί Ιστορική ανασκόπηση - Ορισμοί Με τον όρο «ρύθμιση», εν γένει, εννοούμε την ανάληψη και οργάνωση δράσης προς διατήρηση των επιθυμητών συνθηκών σε μια οποιαδήποτε διεργασία. Η διεργασία είναι δυνατό να είναι μηχανική, χημική, ηλεκτρική κλπ., ή/και συνδυασμός αυτών. Η επέμβαση για μια τέτοια πραγμάτωση μπορεί να γίνεται με ανθρώπινη επέμβαση (χειρισμό) ή και με κάποιο μηχανισμό. Στις εφαρμογές, η ρύθμιση αποβλέπει στην επίτευξη των επιθυμητών συνθηκών λειτουργίας και, κυρίως, στη δυνατότητα επαναφοράς στις επιθυμητές αυτές συνθήκες, όταν υπάρξει κάποια διαταραχή, όπως και στη δυνατότητα επίτευξης μόνιμης κατάστασης όταν ένα ή/και περισσότερα εξωτερικά αίτια τείνουν να δημιουργήσουν συνθήκες μεταβατικές. O άνθρωπος είχε κατά πρώτο την ευκαιρία να διαπιστώσει την ύπαρξη ρυθμιστικών λειτουργιών στη φύση και να εκτιμήσει τη σημασία της επέμβασης των εξωτερικών αιτιών πάνω στην καθ όλα πορεία των διεργασιών που λαμβάνουν χώρα στη φύση. Θέλησε επομένως να τις μιμηθεί, πράγμα το οποίο έχει επιτύχει σε σημαντικό βαθμό σε ορισμένους τομείς. Μία από τις πρώτες εφαρμογές ρύθμισης εμφανίζεται στα μηχανικά συστήματα αυτόματης ρύθμισης του «Ήρωνα (50 π.χ.)», όπως π.χ. ο διανομέας οίνου ή το αυτόματο άνοιγμα θυρών ενός βωμού. Από την εποχή εκείνη μέχρι τους νεότερους χρόνους η εξέλιξη των συστημάτων ρύθμισης, στα μηχανικής φύσης πλαίσια πάντοτε υπήρξε βραδεία. Αξιόλογο σταθμό στην εξέλιξη των μηχανικών συστημάτων απετέλεσε, αναμφισβήτητα, η εφαρμογή της αυτόματης ρύθμισης στη λειτουργία της ατμομηχανής κατά τη χρήση της για άντληση νερού στα ορυχεία της Αγγλίας. Η ανάγκη ρύθμισης επιβλήθηκε από το γεγονός, ότι η φόρτιση σε μια ατμομηχανή μεταβαλλόταν τόσο γρήγορα, ώστε η σταθεροποίηση της ταχύτητας να είναι πέρα από τις ανθρώπινες 1

3 Ενότητα δυνατότητες. Για να πετύχει η ρύθμιση των στροφών της ατμομηχανής κατά τις μεταβολές του φορτίου ο Watt επινόησε και κατασκεύασε έναν ρυθμιστή με μηχανισμό μέτρησης των στροφών, το φυγοκεντρικό εκκρεμές. Ο ρυθμιστής αυτός εξακολουθεί και σήμερα να ονομάζεται ρυθμιστής του Watt. Μέχρι πριν από λίγα χρόνια, όμως, η ρύθμιση των διεργασιών ήταν περισσότερο θέμα επιδεξιότητας και λιγότερο θέμα επιστήμης ή μεθοδολογημένης δράσης [1]. Ο σχεδιασμός των μέσων και συσκευών ρύθμισης βασιζόταν κυρίως, στη διαίσθηση και στη δοκιμαστική προσέγγιση (trial and error) προς την επιθυμητή ή ακόμη και παραδεκτή λύση, παρά στην επιστημονική μεθοδολογία. Έτσι, π.χ., ενώ ο σχεδιασμός μιας μηχανής ή συσκευής, για λειτουργία υπό ορισμένες, μόνιμες, συνθήκες ήταν εύκολη, ο καθορισμός των ειδικών χαρακτηριστικών των μέσων επίτευξης σταθερότητας της λειτουργίας στηριζόταν στην εμπειρία. Ο αντικειμενικός σκοπός περιοριζόταν πολλές φορές, στο να επιτευχθεί μηχανική σταθερότητα λειτουργίας, στο να λάβει, δηλαδή, χώρα απλή αντικατάσταση της ανθρώπινης προσπάθειας. Σ αυτό άλλωστε διαφέρει η σύγχρονη αντιμετώπιση του προβλήματος της ρύθμισης από την αντίστοιχη παλιά. Στο παρελθόν, στις «μηχανές» και συσκευές εν γένει, δεν απαιτούνταν, βέβαια, συνεχής ανθρώπινη ρύθμιση, χρειαζόταν όμως κατά καιρούς επέμβαση, κυρίως σε περιπτώσεις αναπροσαρμογής των συνθηκών λειτουργίας. Σήμερα, ο σχεδιασμός και η κατασκευή μηχανικού εξοπλισμού κάθε είδους γίνεται με γνώμονα την όσο το δυνατό υψηλότερή του χρησιμότητα και αυξημένες δυνατότητές εκμετάλλευσης του. Κάτι τέτοιο, μοιραία, οδηγεί σε διαρκώς μεγαλύτερη ανάγκη για ανάπτυξη των συστημάτων ρύθμισης. Με τον όρο «αυτόματη ρύθμιση» εννοούμε τη δράση, με την οποία, οποιαδήποτε «ποσότητα» σε μια μηχανή, μηχανισμό, συσκευή κλπ. διατηρείται ή μεταβάλλεται σύμφωνα με δοσμένες συνθήκες, χωρίς δηλαδή την άμεση ανθρώπινη επέμβαση. Η θεωρητική υποδομή στην ανάπτυξη του κλάδου της αυτόματης ρύθμισης τέθηκε περίπου το Αυτό υπαγορεύθηκε από την ανάγκη αντιμετώπισης των απαιτήσεων της αναπτυσσόμενης βιομηχανίας, απαιτήσεων, που γίνονται διαρκώς περισσότερες, και μεγαλύτερες, εξαιτίας του πολυσύνθετου των διεργασιών, όπως επίσης και της τάσης προς αύξηση της παραγωγής και βελτίωση και τυποποίηση των προϊόντων. Εξάλλου, η ανάπτυξη, αυτή καθεαυτή, του κλάδου της αυτόματης ρύθμισης βοήθησε στο σχεδιασμό και την κατασκευή καλύτερων συστημάτων ρύθμισης. Σημαντικό, ειδικά, ρόλο έπαιξε η ανάπτυξη και χρησιμοποίηση ορισμένων «τύπων» ρυθμιστών, ανάλογα με τον ειδικό σκοπό για τον οποίο προορίζονται, όπως π.χ. ρυθμιστών με «αναλογική», «διαφορική», «ολοκληρωτική» κλπ. δράση. Στην περαιτέρω αξιοποίηση των συστημάτων ρύθμισης συνετέλεσε επίσης η αποδοχή νέων εννοιών και δράσεων προς τη συνδρομή της ποσοτικής αποτίμησης των συστημάτων

4 Ενότητα ρύθμισης, όπως είναι π.χ. η «δυναμική απόκλιση» και η «δυναμική διόρθωση». Τέλος σημαντική ώθηση στην ανάπτυξη των συστημάτων ρύθμισης έδωσαν η μελέτη της επίδρασης της χρονικής «συμπεριφοράς» που προέρχεται από αντικειμενικά και λειτουργικά αίτια των οργάνων και συσκευών μέτρησης, στην ευστάθεια και την ικανότητα γρήγορης «απόκρισης» στις εντολές προς αποκατάσταση της επιθυμητής ισορροπίας. Μπορούμε ήδη, να ανακεφαλαιώσουμε, σε αδρές γραμμές, τα οφέλη από την αυξημένη χρήση της αυτόματης ρύθμισης στις βιομηχανικές διεργασίες. Από την ανακεφαλαίωση αυτή φαίνεται σαφέστερα η σημασία της αυτόματης ρύθμισης στις παραγωγικές κυρίως διεργασίες. Έτσι, τα αποτελέσματα μπορούν να συνοψιστούν ως εξής: Αυξημένη παραγωγικότητα και χαμηλότερο κόστος παραγωγής. Δυνατότητα παραγωγής, ανεξάρτητα από υποκειμενικούς (ανθρώπινους) παράγοντες, κατά συνέπεια καλύτερη και περισσότερο σταθερή ποιότητα προϊόντος. Μείωση της καταβαλόμενης ανθρώπινης προσπάθειας. Μεγαλύτερη ασφάλεια του προσωπικού που απασχολείται με την παραγωγή. Η πραγματοποίηση αυτόματης ρύθμισης οποιασδήποτε μορφής στηρίζεται στη λειτουργία της ανατροφοδότησης ή ανάδρασης (feedback), δηλαδή της μέτρησης προς δραστηριοποίηση ενός ρυθμιστικού μηχανισμού. Η λειτουργία αυτή της ανατροφοδότησης είναι πρωταρχικής σημασίας για κάθε σύστημα, που περιλαμβάνει διεργασίες, είτε «φυσικές» είναι αυτές, είτε βιολογικές, είτε, ακόμη διεργασίες συστημάτων κατασκευασμένων από τον άνθρωπο. Κάθε ζώο, ή φυτό, π.χ., διαθέτει ένα πλήθος από αυτοελεγχόμενα συστήματα και οφείλει την ύπαρξη και σταθερότητα της συμπεριφοράς τους σε ένα πλήθος, επίσης, συστημάτων ρύθμισης με ανατροφοδότηση. Η ύπαρξη της ανατροφοδότησης είναι δυνατό, έξαλλου, να διαπιστωθεί σε ποικιλία εκφάνσεων της ζωής, ακόμη και στους κατώτερους βιολογικούς οργανισμούς, ή στις πλέον αναπτυγμένες οικονομίες των χωρών κλπ. Ο όρος ανατροφοδότηση είναι σχετικά νέος και η συστηματική μελέτη των συνεπειών της είναι ακόμη νεότερη. Το θεωρητικό της υπόβαθρο τέθηκε από τον Ν.Wiener και τους συνεργάτες του τη δεκαετία του Ο Wiener [2] όρισε την ανατροφοδότηση ως «τη μέθοδο ρύθμισης ενός συστήματος, με επαναφορά σε αυτό των αποτελεσμάτων της προηγούμενης συμπεριφοράς του». Ένας πιο σαφής ορισμός είναι ο ακόλουθος: «Ένα σύστημα αυτόματης ρύθμισης με ανατροφοδότηση

5 Ενότητα είναι ένα σύστημα, που προσπαθεί να διατηρεί μία προκαθορισμένη σχέση μιας μεταβλητής του προς μία άλλη μεταβλητή, συγκρίνοντας κατάλληλες συναρτήσεις των μεταβλητών αυτών και χρησιμοποιώντας τη διαφορά αυτή ως μέσο ρύθμισης». Με άλλα λόγια, ανατροφοδότηση είναι το φαινόμενο της σύζευξης του «αποτελέσματος» μιας διεργασίας με το «αίτιο», προς το σκοπό της αποκατάστασης της τιμής του αποτελέσματος στο επιθυμητό «ύψος». Κατ αυτόν τον τρόπο, αν η τιμή του αποτελέσματος της διεργασίας (θερμοκρασία, στάθμη, πίεση, συγκέντρωση κλπ.) είναι διαφορετική από την επιθυμητή τιμή, η ανατροφοδότηση έχει ως σκοπό να «πληροφορήσει» επί τόπου, σε τρόπο ώστε να λάβει χώρα διαφοροποίηση της διεργασίας, προς διόρθωση του αποτελέσματος και αποκατάστασή του στο επιθυμητό ύψος. Στο σχήμα 1.1 παρίσταται σχηματικά η διασύνδεση της εξόδου (αποτελέσματος) με την είσοδο που επηρεάζει τη διεργασία. Σχήμα 1.1: Σχηματική παράσταση συστήματος ρύθμισης με ανάδραση. Σημαντική ώθηση στην ανάπτυξη του κλάδου της αυτόματης ρύθμισης, έδωσε η επινόηση και ο σχεδιασμός των «σερβομηχανισμών» [3]. Ο όρος προέρχεται από τον ξένο όρο servo mechanism, που και αυτός προέρχεται από τις λέξεις servant και mechanism. Σερβομηχανισμός ή μηχανισμός εξυπηρέτησης, είναι η διάταξη, που τείνει να θέσει σε κίνηση ή στάση ένα αντικείμενο ή συγκρότημα αντικειμένων (συσκευή) σύμφωνα με μια εντολή, που δίνεται από ένα εντολέα. Κύριο χαρακτηριστικό του σερβομηχανισμού είναι η ενεργοποίησή του από σχετικά μικρή ισχύ σε σύγκριση προς το επιδιωκόμενο αποτέλεσμα. Η λειτουργία του σερβομηχανισμού εξαρτάται από τη διαφορά ανάμεσα στην πραγματική και την επιθυμητή θέση ενός αντικειμένου ή μιας διάταξης. Ο σερβομηχανισμός δρα προς την κατεύθυνση της μείωσης της διαφοράς αυτής, που είναι γνωστή και ως ρυθμιστική απόκλιση, παρά την ενδεχόμενη ύπαρξη εξωτερικών και άλλων παρενοχλήσεων. Οι αρχές της αυτόματης ρύθμισης έχουν βρει δυνατότητα εφαρμογής σε ποικίλα πεδία της επιστήμης και της τεχνολογίας. Χαρακτηριστικά αναφέρουμε τη χημική μηχανική, την κλασσική μηχανολογία, την ρομποτική, τις τηλεπικοινωνίες, τη βλητική (βαλλιστική), τη ναυσιπλοΐα και την ακτοπλοΐα, την παραγωγή εν γένει κλπ.

6 Ενότητα Σήμερα το σύνολο των διεργασιών πάσης φύσης, προέλευσης και αποστολής επιδέχεται αυτόματη ρύθμιση. Σε αυτό το σημείο θα πρέπει να αναφερθούμε στην σημαντική συνεισφορά των σοβιετικών επιστημόνων (Μandelstam, Andronov, Pontryagin, Solodownikow κ.α.) στην εξέλιξη της αυτόματης ρύθμισης όπως τη γνωρίζουμε στην σημερινή της μορφή [4, 5, 6, 7, 8]. 1.2 Χαρακτηριστικά διεργασιών - Μεταβλητές Στη γλώσσα της ρύθμισης, ρυθμιστική δράση ή απλώς δράση σημαίνει επέμβαση ή σειρά επεμβάσεων πάνω σε διεργασίες για την επεξεργασία υλικών, κατά τη διάρκεια τα υλικά αυτά διαμορφώνονται σε πλέον χρήσιμη μορφή ή κατάσταση. Π.χ στη μηχανολογία ενδιαφερόμαστε για διαμορφώσεις, που συνεπάγονται συνήθως αλλαγές φυσικής κατάστασης. Στη Χημική Μηχανική λαμβάνουν χώρα συνήθως μεταβολές της χημικής κατάστασης, πολλές δε φορές μεταβολές χημικής και φυσικής κατάστασης συγχρόνως. Στη βιολογία και την ιατρική π.χ. η φυσιολογία μιας σειράς λειτουργιών καθορίζεται από διάφορες πολύπλοκες ρυθμιστικές δράσεις όπως είναι η διατήρηση της θερμοκρασίας μέσω της εφίδρωσης ή η παραγωγή των σημαντικών ορμονών Τ3 και Τ4 από τον θυροειδή αδένα, η παραγωγή νευροδιαβιβαστών για τον έλεγχο εγκεφαλικών λειτουργιών κ.α. Καθ όλο τον χρόνο που λαμβάνει χώρα μία διεργασία, είναι δυνατό να επιδρούν πάνω σ αυτήν εξωτερικοί και εσωτερικοί παράγοντες (συνθήκες). Οι συνθήκες αυτές είναι δυνατό να εκφράζονται συναρτήσει μεταβλητών της διεργασίας, όπως π.χ. της θερμοκρασίας, της πίεσης, του ρυθμού ροής, της στάθμης του υγρού, της μάζας, του όγκου κλπ. Στο σύνολο των μεταβλητών μιας διεργασίας πρέπει να συμπεριλαμβάνονται και εκείνες, που αναφέρονται στις συνθήκες του περιβάλλοντος. Η διεργασία είναι δυνατό να ρυθμίζεται με τη μέτρηση μιας μεταβλητής, και αντιπροσωπεύει την επιθυμητή μορφή ή κατάσταση που προϊόντος της διεργασίας, και την αυτόματη διευθέτηση, ακολούθως, μιας από τις άλλες μεταβλητές. Ανάμεσα στις μεταβλητές μιας διεργασίας θα διακρίνουμε τη ρυθμιζόμενη μεταβλητή. Η διακριτική ιδιότητα της ρυθμιζόμενης μεταβλητής είναι ότι αυτή καθορίζει, κατά τον πληρέστερο δυνατό τρόπο, την επιθυμητή μορφή και κατάσταση του προϊόντος της διεργασίας. Είναι δυνατό, η ρύθμιση μιας διεργασίας να πραγματοποιείται μέσω μιας μεταβλητής, που έχει άμεση σχέση με τη μορφή ή την κατάσταση του προϊόντος. Στην περίπτωση αυτή η ρύθμιση λέγεται «άμεση». Ώστε:

7 Ενότητα Άμεση ρύθμιση είναι η ρύθμιση επιτυγχάνει την κατάλληλη εκτέλεση της διεργασίας με δράση πάνω σε μια μεταβλητή, έχει άμεση σχέση με τη μορφή ή κατάσταση του προϊόντος. Σε περιπτώσεις, που η άμεση ρύθμιση είναι αδύνατη ή δύσκολη, είναι δυνατό η διεργασία να ρυθμίζεται μέσω μιας μεταβλητής, που βρίσκεται σε έμμεση σχέση με τη μορφή ή κατάσταση του προϊόντος. Τότε η ρύθμιση λέγεται «έμμεση». Στην έμμεση ρύθμιση η ρυθμιζόμενη μεταβλητή είναι δευτερεύουσα μεταβλητή. Τυπικό παράδειγμα αποτελεί η ρύθμιση της ανόπτησης σε μία κάμινο. Με αυστηρά κριτήρια, η ρυθμιζόμενη μεταβλητή θα έπρεπε να είναι η ανοπτημένη κατάσταση του μετάλλου. Η μέτρηση, όμως, με απλά μέσα, μιας ιδιότητας αυτής της μορφής είναι δύσκολη, σε τρόπο ώστε η αλλαγή της ρυθμιζόμενης μεταβλητής να είναι απαραίτητη. Στην προκειμένη περίπτωση ως ρυθμιζόμενη μεταβλητή μπορούμε να δεχθούμε τη θερμοκρασία που επικρατεί στην κάμινο. Δεχόμεθα, δηλαδή, ότι η κατάσταση ανόπτησης εξαρτάται από τη θερμοκρασία που επικρατεί στην κάμινο. Τέτοια όμως εξάρτηση μεταξύ της επιθυμητής μορφής ή κατάστασης του προϊόντος και μιας δευτερεύουσας μεταβλητής είναι ενδεχόμενο να μην υπάρξει. Αυτό άλλωστε είναι το αδύνατο σημείο της έμμεσης ρύθμισης, ότι δηλαδή προαπαιτεί την ύπαρξη εξάρτησης μεταξύ της επιθυμητής μορφής ή κατάστασης του προϊόντος και μιας δευτερεύουσας μεταβλητής. Πέρα από τη ρυθμιζόμενη μεταβλητή, σημαντικό ρόλο παίζει και η μεταβλητή εκ χειρισμού. Ως μεταβλητή εκ χειρισμού εκλέγεται η παράμετρος εκείνη που θα είναι σε θέση καλύτερα από κάθε άλλη να διατηρεί τη ρυθμιζόμενη μεταβλητή στην επιθυμητή τιμή. H μεταβλητή εκ χειρισμού επομένως είναι δυνατό να είναι οποιαδήποτε από τις μεταβλητές της διεργασίας, η οποία προκαλεί γρήγορη ανταπόκριση της ρυθμιζόμενης μεταβλητές και ο χειρισμός είναι, κατά το δυνατό, εύκολος. Στον θερμαντήρα, του σχήματος 1.2, π.χ., επιθυμούμε να ρυθμίσουμε την αυτόματη λειτουργία, ώστε η θερμοκρασία του ύδατος απαγωγής να είναι θ 2 (ρυθμιζόμενη μεταβλητή), τα μεγέθη ανάμεσα στα οποία θα επιλέξουμε τη μεταβλητή εκ χειρισμού είναι ο ρυθμός ροής θερμότητας, q, ο ρυθμός ροής ύδατος, ṁ, και η θερμοκρασία προσαγωγής του ύδατος, θ 1. Από τις μεταβλητές αυτές η πιο πρόσφορη είναι o ρυθμός ροής θερμότητας, q. Είναι δυνατό, όχι όμως και πρακτικά εύκολο πάντοτε, ο χειρισμός για τη ρύθμιση της θερμοκρασίας εξόδου να γίνεται μέσω του ρυθμού ροής ύδατος. Τέλος ο χειρισμός της θερμοκρασίας προσαγωγής ως μεταβλητής εκ χειρισμού δεν είναι πρακτικά εφικτή. Πέρα από τη ρυθμιζόμενη μεταβλητή και τη μεταβλητή εκ χειρισμού, οι υπόλοιπες

8 Ενότητα Σχήμα 1.2: Οι μεταβλητές θέρμανσης νερού σε θερμαντήρα. q ṁ, θ 1 ṁ, θ 2 μεταβλητές σε κάθε μια διεργασία είναι γνωστές ως μεταβλητές φορτίου. Για τον θερμαντήρα του σχήματος 1.2, π.χ., η θερμοκρασία προσαγωγής του ύδατος, θ 1, είναι μεταβλητή φορτίου. Σε ό,τι αφορά τη συσχέτιση ανάμεσα στη ρυθμιζόμενη μεταβλητή και τις μεταβλητές φορτίου, μπορούμε να διατυπώσουμε την πρόταση, ότι ο αυτόματος ρυθμιστής σκοπό έχει να επιφέρει διορθώσεις σε αποκλίσεις, που προέρχονται από διακυμάνσεις των μεταβλητών φορτίου και να διατηρήσει κατ αυτόν τον τρόπο τη ρυθμιζόμενη μεταβλητή στην επιθυμητή τιμή. 1.3 H χειροκίνητη σε αντίθεση με την αυτόματη ρύθμιση Με τον όρο «χειροκίνητη ρύθμιση» εννοούμε τη ρυθμιστική διεργασία, στην οποία χρησιμοποιείται η ανθρώπινη επέμβαση. Είναι ενδεχόμενο, η ανθρώπινη επέμβαση να περιορίζεται σε σχετικά απλές δράσεις, όπως π.χ. η πίεση, με το δάκτυλο, πάνω σ ένα «κομβίο», η αλλαγή της θέσης ενός κόμβου, ή ο χειρισμός μιας βαλβίδας. Στην τελευταία αυτή περίπτωση η ανθρώπινη επέμβαση εντοπίζεται στην ανάγνωση ενός μετρητικού οργάνου και στη συνέχεια στον χειρισμό μιας ρυθμιστικής βαλβίδας, με τρόπο ώστε η ένδειξη στο μετρητικό όργανο να επανέλθει στην επιθυμητή τιμή. Τυπική μορφή χειροκίνητης ρύθμισης, όπως περιγράφεται προηγουμένως, εικονίζεται σχηματικά στο σχήμα 1.3. Δεν υπάρχει αμφιβολία, ότι σε πολλές περιπτώσεις η επιδέξια ανθρώπινη επέμβαση είναι δυνατό να συνεπάγεται και επιτυχία στη ρύθμιση πολλών διεργασιών. Η αδυναμία όμως της επί μακρό χρόνο συγκέντρωσης της ανθρώπινης προσοχής αφενός και η σωματική κόπωση αφετέρου θέτουν, όπως είναι φανερό, περιορισμούς στη δυνατότητα της χρησιμοποίησης της ανθρώπινης επέμβασης, ιδιαίτερα

9 Ενότητα Σχήμα 1.3: Χειροκίνητη ρύθμιση. Μεταβλητή εκ χειρισμού Διεργασία Ρυθμιζόμενη Μεταβλητή Χειροκίνητη Βαλβίδα Επιθυμητή Τιμή Μέτρηση στις περιπτώσεις, όπου απαιτείται ανάληψη γρήγορης δράσης για την εξουδετέρωση εξωτερικών διαταραχών και διατήρηση των επιθυμητών συνθηκών. Η αντικατάσταση της χειροκίνητης δράσης με μηχανικά μέσα για την επίτευξη του επιθυμητού αποτελέσματος κάνει τη ρύθμιση αυτόματη, ενώ συγχρόνως απαλλάσσει τη ρυθμιστική δραστηριότητα από τον περιορισμό του ανθρώπινου στοιχείου. Τα μηχανικά αυτά μέσα (συσκευές, όργανα, μηχανισμοί κλπ.) θα αποκαλέσουμε αυτόματους ρυθμιστές. Ο αυτόματος ρυθμιστής έχει το πλεονέκτημα να επενεργεί κατά τον ίδιο πάντοτε τρόπο σε μια δεδομένη διαταραχή και για μακρές περιόδους, επί πλέον δε να μην υποφέρει από κόπωση, όπως συμβαίνει με τον ανθρώπινο οργανισμό. Αυτό σημαίνει ότι οι τιμές των μεταβολών μιας διεργασίας μπορούν πλέον να περιορίζονται σε στενότερα όρια, με τελικό αποτέλεσμα την ποιοτική βελτίωση του προϊόντος της διεργασίας και την οικονομικότερη λειτουργία. 1.4 Η έννοια της ανατροφοδότησης Χαρακτηριστικό παράδειγμα συστήματος ρύθμισης με ανατροφοδότηση αποτελεί το σύστημα ρύθμισης θερμοκρασίας ενός θαλάμου. Ας υποθέσουμε ότι επιθυμούμε η θερμοκρασία εντός θαλάμου να διατηρείται σταθερή, ίση προς 25 C. Η θερμοκρασία αυτή είναι η επιθυμητή θερμοκρασία, είναι δε γνωστή και ως τιμή αναφοράς (reference point) ή προκαθορισμένη τιμή (set point) της ρυθμιζόμενης μεταβλητής. Η πραγματική θερμοκρασία στον θάλαμο, δηλαδή η θερμοκρασία, που μετράται με κάποιο όργανο μέτρησης, είναι η ρυθμιζόμενη μεταβλητή. Πτώση της θερμοκρασίας, στην αίθουσα, κάτω από την επιθυμητή, και συνεπώς εμφάνιση ρυθμιστικής απόκλισης ανάμεσα στην πραγματική τιμή της ρυθμιζόμενης μεταβλητής και στην επιθυμητή τιμή, προκαλεί δραστηριοποίηση των στοιχείων του συστήματος ρύθμισης, με σκοπό τον μηδενισμό της διαφοράς αυτής. Η μέτρηση και σύγκριση των θερμοκρασιών είναι δυνατό να γίνει εύκολα με ένα θερμοστάτη. Η

10 Ενότητα διαφορά ανάμεσα στην επιθυμητή και την πραγματική τιμή είναι γνωστή ως ρυθμιστική απόκλιση. Το μέγεθος της ρυθμιστικής απόκλισης ενεργεί ως σήμα, που διαβιβάζεται στον καυστήρα ή τον θερμαντήρα της μονάδας θέρμανσης, για την αύξηση της θερμότητας που αποδίδει ο θερμαντήρας και διόρθωση κατά συνέπεια της θερμοκρασίας του θαλάμου. Αν δηλαδή η θερμοκρασία του θαλάμου είναι μικρότερη από την επιθυμητή θερμοκρασία, τότε η απόκλιση διαβιβάζεται σαν σήμα προς ορισμένα στοιχεία του συστήματος ρύθμισης, τα οποία εν συνεχεία πρέπει να επέμβουν στην καθ αυτό διεργασία της θέρμανσης, για την αύξηση δηλαδή εφοδιασμού του θαλάμου με θερμότητα. Αν η απόκλιση είναι μηδενική, τότε τα στοιχεία ρύθμισης δεν υφίστανται καμιά μεταβολή ή αλλαγή «θέσης», συνεπώς δεν γίνεται καμιά αλλαγή του ρυθμού της παροχής θερμότητας στον θάλαμο. Αν η θερμοκρασία στον θάλαμο είναι υψηλότερη από την επιθυμητή, τότε το σήμα ενεργεί και προκαλεί μείωση στον ρυθμό ροής θερμότητας, στον θάλαμο. Το παράδειγμα που αναφέρθηκε προηγουμένως δίνει μια εικόνα ενός κλειστού συστήματος ρύθμισης, όπου δηλαδή υπάρχει «διασύνδεση» ανάμεσα στο αποτέλεσμα και την αιτία. Σε αντιδιαστολή προς τα κλειστά συστήματα, υπάρχουν τα ανοικτά συστήματα, στα οποία το αποτέλεσμα δεν έχει καμιά επίδραση στην αιτία. Τη διασύνδεση ανάμεσα στο αποτέλεσμα και την αιτία ονομάζουμε ανατροφοδότηση. Σε κάθε σύστημα ρύθμισης με ανατροφοδότηση η ρυθμιζόμενη μεταβλητή ανατροφοδοτεί το σύστημα, σε τρόπο ώστε η πραγματική της τιμή να συγκρίνεται με την προκαθορισμένη τιμή. Η απόκλιση, που προέρχεται από τη σύγκριση αυτή, άρα πάνω στα στοιχεία του συστήματος ρύθμισης προς επίτευξη μεταβολής του αποτελέσματος (εξόδου) και ελαχιστοποίηση της απόκλισης. Σε κάθε τιμή αναφοράς (εισόδου) αντιστοιχεί μία ορισμένη συνθήκη λειτουργίας των στοιχείων του συστήματος. Στα συστήματα ρύθμισης χωρίς ανατροφοδότηση εν αντιθέσει προς τα συστήματα με ανατροφοδότηση δεν γίνεται σύγκριση μεταξύ ρυθμιζόμενης μεταβλητής και της τιμής αναφοράς. Σαν παράδειγμα συστήματος ρύθμισης με ανοικτό βρόχο αναφέρεται το σύστημα ρύθμισης ph που δίδεται στο σχήμα 1.4. Με το σύστημα αυτό επιτυγχάνεται η διατήρηση σταθερού ph στο δοχείο εξουδετέρωσης με τη ρύθμιση της παροχής του διαλύματος εξουδετέρωσης στον αγωγό E. Η κύρια διαταραχή στο σύστημα προέρχεται από μεταβολές της παροχής διαλύματος στον αγωγό. Η παροχή αυτή μετράται με ένα διάφραγμα, έτσι ώστε να δίδεται στη συνέχεια ανάλογη εντολή μέσω του μηχανισμού ρύθμισης στη βαλβίδα που μεταβάλει την παροχή του διαλύματος εξουδετέρωσης στον αγωγό E. Στο σύστημα αυτό ρύθμισης δεν υπάρχει η διασύνδεση μεταξύ του αποτελέσματος (δηλαδή του ph του διαλύματος στο δοχείο) και της εισόδου που είναι σε θέση

11 Ενότητα Σχήμα 1.4: Ρύθμιση του ph με σύστημα ανοιχτού βρόχου. να επηρεάσει το αποτέλεσμα (στη προκειμένη περίπτωση η παροχή διαλύματος εξουδετέρωσης). Έτσι, αν μεταβληθούν οι συγκεντρώσεις των διαλυμάτων ή E ή και η πίεση στον αγωγό E, η τιμή του ph στο δοχείο θα απομακρυνθεί από την επιθυμητή τιμή χωρίς αυτό να προκαλέσει μεταβολή στην παροχή του εξουδετερωτικού. 1.5 Χαρακτηριστικά ρύθμισης διεργασιών. Βασικές έννοιες Αυτόματη ρύθμιση Με βάση τα όσα αναπτύξαμε μέχρι τώρα, θα μπορούσαμε να ορίσουμε την αυτόματη ρύθμιση ως έξης: Αυτόματη ρύθμιση είναι η διατήρηση της τιμής ενός μεγέθους, ή συνθηκών, σε επιθυμητή στάθμη ή κατάσταση, χωρίς την ανθρώπινη επίδραση ή παρουσία. Η διατήρηση αυτή επιτυγχάνεται με τη μέτρηση, σε δεδομένη χρονική στιγμή, της τιμής ή των συνθηκών, τη σύγκριση της μετρούμενης προς την επιθυμητή τιμή και εν συνεχεία τη χρησιμοποίηση της μεταξύ τους διαφοράς προς έναρξη δράσης για τη μείωση της διαφοράς αυτής. Παράδειγμα Έστω ότι επιθυμούμε τη διατήρηση της θερμοκρασίας μιας αίθουσας στους 20 C. Έστω ότι αυτό επιτυγχάνεται με την προσαγωγή θερμού αέρα η θέρμανση του οποίου γίνεται στον θερμαντήρα (βλέπε σχήμα 1.5). Στο παράδειγμα αυτό, η θερμοκρασία του χώρου είναι η μεταβλητή, που ρυθμίζεται, είναι δηλαδή η ρυθμιζόμενη μεταβλητή.

12 Ενότητα Σχήμα 1.5: Τυπικό σύστημα θέρμανσης χώρου. Μπορούμε τώρα να δώσουμε τον γενικό ορισμό, της ρυθμιζόμενης μεταβλητής, ως εξής: Ρυθμιζόμενη μεταβλητή είναι, η ποσότητα ή η συνθήκη ενός ρυθμιζόμενου συστήματος, η οποία μετά τη μέτρηση και σύγκριση προς μία επιθυμητή τιμή υπόκειται σε μεταβολή (αυξομείωση), έτσι ώστε να αποκτήσει την επιθυμητή τιμή. Η θερμοκρασία των 20 C είναι στο παράδειγμα, η επιθυμητή θερμοκρασία στην αίθουσα. Το γεγονός αυτό πρέπει να δοθεί ως «εντολή» ή τουλάχιστον ως «πληροφορία» στο σύστημα ρύθμισης. Λέμε δηλαδή ότι προκαθορίζουμε την επιθυμητή τιμή της ρυθμιζόμενης μεταβλητής. Ώστε προκαθορισμένο σημείο, ή σημείο αναφοράς, είναι η τιμή της ρυθμιζόμενης μεταβλητής που ορίσαμε, την οποία επιθυμούμε να διατηρήσουμε σταθερή. Έστω ότι κάποια στιγμή η ένδειξη του θερμομέτρου στον θάλαμο του παραδείγματος είναι 18 C. Αυτό σημαίνει ότι η επιθυμητή θερμοκρασία δεν έχει επιτευχθεί, και κατά συνέπεια θα υφίσταται διαφορά ανάμεσα στην πραγματική και την επιθυμητή τιμή της θερμοκρασίας, δηλαδή ρυθμιστική απόκλιση. Εφόσον η ρυθμιστική απόκλιση είναι διάφορη του μηδενός, θα λαμβάνει χώρα δράση προς μείωση της διαφοράς αυτής. Από τη δράση αυτή θα προκληθεί ροή καυσίμου προς τον καυστήρα του θερμαντήρα αν πρόκειται για καυστήρα ή ροή ηλεκτρικού ρεύματος προς τον θερμαντήρα, αν πρόκειται για ηλεκτρικές αντιστάσεις κ.ο.κ. Η ροή του καυσίμου ή η ροή του ηλεκτρικού ρεύματος είναι η μεταβλητή την οποία «χειριζόμαστε» με τη βοήθεια ενός μηχανισμού που επηρεάζεται από τη διαφορά μεταξύ της πραγματικής (μετρούμενης) και της επιθυμητής τιμής της ρυθμιζόμενης μεταβλητής. Είναι δηλαδή η μεταβλητή εκ χειρισμού. Ώστε:

13 Ενότητα Μεταβλητή εκ χειρισμού είναι το μέγεθος ή η συνθήκη, που μεταβάλλεται μέσω του συστήματος ρύθμισης, με σκοπό να διατηρεί τη ρυθμιζόμενη μεταβλητή στην επιθυμητή τιμή. Σαν συμπέρασμα μπορεί να λεχθεί, ότι σε κάθε σύστημα ρύθμισης, τύπου κλειστού βρόχου, μεταξύ της ρυθμιζόμενης μεταβλητής, της ρυθμιστικής απόκλισης και της μεταβλητής εκ χειρισμού υφίσταται αλληλεπίδραση κατά μονόδρομο κυκλικό τρόπο, ο οποίος, σχηματικά εικονίζεται στο σχήμα 1.6. Οποτεδήποτε η ρυθμιζόμενη μεταβλητή υφίσταται από την επιθυμητή της τιμή, η ρυθμιστική απόκλιση που προκαλείται, επενεργεί πάνω στη μεταβλητή εκ χειρισμού, η οποία με την σειρά της τείνει να καταστήσει τιμή της ρυθμιζόμενης μεταβλητής ίση προς την επιθυμητή τιμή. Σχήμα 1.6: Η αλληλεπίδραση ανάμεσα στη ρυθμιζόμενη μεταβλητή, τη ρυθμιστική απόκλιση και τη μεταβλητή εκ χειρισμού. Είναι δυνατό να κατατάξουμε τα συστήματα ρύθμισης σε δύο βασικές κατηγορίες, ανάλογα με τον κύριο αντικειμενικό σκοπό για τον οποίο χρησιμοποιούνται. Στην πρώτη κατηγορία ανήκουν συστήματα που έχουν σκοπό να κρατήσουν τη ρυθμιζόμενη μεταβλητή κατά το δυνατό σταθερή σε μια προκαθορισμένη τιμή, παρά τις μεταβολές που θα παρουσιαστούν στη μεταβλητή φορτίου του συστήματος. Στα συστήματα αυτά η είσοδος που προκαλεί τη διαταραχή και την απόκλιση από τις συνθήκες ισορροπίας είναι η μεταβλητή φορτίου, γι αυτό τα συστήματα του τύπου αυτού λέγονται συστήματα με διαταραχή φορτίου ή συστήματα καθορισμού (regulator control). Παράδειγμα ενός συστήματος με διαταραχή φορτίου είναι το σύστημα ρύθμισης θερμοκρασίας χώρου του σχήματος 1.5. Η επιθυμητή θερμοκρασία της αίθουσας καθορίζεται σε μια σταθερή τιμή και το σύστημα έχει σκοπό να ελαττώσει κατά

14 Ενότητα το δυνατό την επίδραση των μεταβολών του φορτίου δηλαδή της αυξομείωσης των θερμικών απωλειών του χώρου. Στη δεύτερη κατηγορία ανήκουν συστήματα στα οποία η επιθυμητή τιμή μεταβάλλεται ενώ τα φορτία παραμένουν εν γένει σταθερά. Σκοπός της ρύθμισης είναι να ακολουθεί η ρυθμιζόμενη μεταβλητή τις μεταβολές της επιθυμητής τιμής κατά το δυνατόν πιο πιστά. Στην περίπτωση αυτή η επιθυμητή τιμή είναι η είσοδος που προκαλεί τη διαταραχή της ισορροπίας και συχνά αναφέρεται και ως μεταβλητή καθοδήγησης. Συστήματα του τύπου αυτού λέγονται συστήματα καθοδήγησης ή συστήματα εξυπηρέτησης (servo control). Σαν παράδειγμα θα αναφέρουμε τον καθορισμό της πορείας ενός πλοίου με τη βοήθεια ενός μηχανισμού εξυπηρέτησης που χρησιμοποιείται για την κίνηση του πηδαλίου. Συστήματα ρύθμισης των οποίων η επιθυμητή τιμή καθορίζεται από ένα άλλο ρυθμιστή ή από ένα πρόγραμμα, αποτελούν επίσης παραδείγματα του τύπου αυτού ρύθμισης. Οι διακρίσεις αυτές γίνονται περισσότερο από παράδοση γιατί οι δύο τύποι συστημάτων ρύθμισης αναπτύχθηκαν ξεχωριστά. Εντούτοις και για τους δύο τύπους ισχύουν οι ίδιες αρχές λειτουργίας και γι αυτό στα επόμενα κεφάλαια δεν εφαρμόζεται η διάκριση αυτή Αυτόματος ρυθμιστής Ο αυτόματος ρυθμιστής είναι το όργανο ή ο μηχανισμός, με τον οποίο επιτυγχάνεται η αυτόματη ρύθμιση. Με την αυτόματη ρύθμιση επιδιώκεται η διατήρηση της τιμής της ρυθμιζόμενης μεταβλητής στο προκαθορισμένο ύψος. Με άλλα λόγια, η ρύθμιση επεμβαίνει, ανά πάσα στιγμή, για την επαναφορά της τιμής της ρυθμιζόμενης μεταβλητής στην προκαθορισμένη της τιμή, οποτεδήποτε συμβεί τέτοια απομάκρυνση από την προκαθορισμένη τιμή. Έτσι, ο θερμοστάτης του σχήματος 1.5 είναι ο αυτόματος ρυθμιστής της συσκευής, που εικονίζεται στο σχήμα αυτό. Η σχηματική διάταξη ενός θερμοστατικού ρυθμιστή εικονίζεται στο σχήμα 1.7. Στην περίπτωση αυτή ο καθορισμός της επιθυμητής τιμής της ρυθμιζόμενης μεταβλητής (της θερμοκρασίας) γίνεται με τη μετακίνηση του κόμβου K, που «ολισθαίνει» κατά μήκος του κοχλία ρύθμισης P. Η πραγματική θερμοκρασία στον θάλαμο μετράται με τη βοήθεια του μεταλλικού θερμομέτρου M. Η μεταλλική σπείρα του θερμομέτρου αυτού συσπειρώνεται ή εκτυλίσσεται ελαφρά, όταν η θερμοκρασία του χώρου κατέρχεται ή ανέρχεται, αντίστοιχα. Όταν η θερμοκρασία ανέρχεται πάνω από το καθορισμένο σημείο, η μεταλλική σπείρα κινεί την πλάκα επαφής Π 1 προς τα αριστερά και έτσι το κύκλωμα του ηλεκτρικού ρεύματος διακόπτεται. Η διακοπή του

15 Ενότητα ρεύματος συνεπάγεται απενεργοποίηση του σωληνοειδούς πηνίου Σ, αυτό δε συνεπάγεται το κλείσιμο της βαλβίδας B και τη διακοπή της παροχής του καυσίμου. Σχήμα 1.7: Τυπική διάταξη θερμοστάτη. Παροχή Ρεύματος K P E Π 1 q B M 1.6 Στοιχεία ρυθμιζόμενων διεργασιών Σε κάθε ρυθμιζόμενη διεργασία διακρίνουμε τα ακόλουθα βασικά στοιχεία: (i) Την καθ αυτό διεργασία (ii) Το στοιχείο μέτρησης (iii) Το ρυθμιστή (iv) Το στοιχείο τελικής ρύθμισης Η διεργασία την οποία το σύστημα ρύθμισης έχει σκοπό να εξυπηρετήσει είναι δυνατό να είναι μηχανική, ηλεκτρική, φυσική, χημική, βιολογική ή και οποιοσδήποτε συνδυασμός τους. Το στοιχείο μέτρησης είναι το όργανο που χρησιμεύει για τη διακρίβωση των διακυμάνσεων των τιμών της ρυθμιζόμενης μεταβλητής και διαβιβάζει το ανάλογο σήμα στο ρυθμιστή. Ο ρυθμιστής έχει σκοπό να «επέμβει» για τη διατήρηση της επιθυμητής τιμής της ρυθμιζόμενης μεταβλητής. Για το σκοπό αυτό πρέπει να γίνουν οι εξής εργασίες: Να «τροφοδοτηθεί» στο σύστημα η επιθυμητή τιμή. Να συγκριθεί η επιθυμητή τιμή με τη στιγμιαία τιμή της ρυθμιζόμενης μεταβλητής που μετράει το στοιχείο μέτρησης και να σχηματισθεί η ρυθμιστική απόκλιση. Να υπολογισθεί και να αποσταλεί το κατάλληλο σήμα, που αντιστοιχεί στην υπάρχουσα ρυθμιστική απόκλιση, προς το στοιχείο τελικής ρύθμισης.

16 Ενότητα Στο ρυθμιστή επομένως περιλαμβάνονται: ο μηχανισμός με τη βοήθεια του οποίου καθορίζεται η επιθυμητή τιμή, ο μηχανισμός διακρίβωσης ρυθμιστικής απόκλισης που συγκρίνει την πραγματική (μετρούμενη) με την επιθυμητή τιμή και ο κυρίως ρυθμιστής που υπολογίζει το κατάλληλο σήμα το οποίο τροφοδοτεί στοιχείο τελικής ρύθμισης. Τέλος το στοιχείο τελικής ρύθμισης ενεργοποιείται από το ρυθμιστή και με κατάλληλα προκαθορισμένη σχέση δρα για τον καθορισμό του ρυθμού με τον οποίο θα συνεχισθεί η διεργασία. Σε χημικές διεργασίες το στοιχείο τελικής ρύθμισης είναι συχνά μια ρυθμιστική βαλβίδα δηλαδή μια βαλβίδα με κατάλληλο μηχανισμό ενεργοποίησης ο οποίος ανάλογα με το σήμα του ρυθμιστή μετατοπίζει το στέλεχος της βαλβίδας ώστε να μεταβάλλεται η διατομή του ανοίγματος μέσω του οποίου γίνεται η ροή. Εκτός από τα βασικά στοιχεία, σ ένα σύστημα ρύθμισης είναι δυνατό να περιλαμβάνονται μηχανισμοί για μετατροπή, ενίσχυση, ένδειξη και καταγραφή των διαφόρων σημάτων. 1.7 Το διάγραμμα βαθμίδων Διάγραμμα βαθμίδων λέμε τη συμβατική απεικόνιση μιας διεργασίας ρύθμισης με την οποία παριστάνονται οι σχέσεις που υπάρχουν μεταξύ των σημάτων εισόδου και εξόδου στα διάφορα στοιχεία ενός συστήματος καθώς και ο τρόπος με τον οποίο οι πληροφορίες αυτές (σήματα) διακινούνται από το ένα στοιχείο στο άλλο, την κατεύθυνση δράσης των σημάτων. Η απλούστερη μορφή διαγράμματος είναι ένα ορθογώνιο που έχει μια είσοδο και μια έξοδο (σχήμα 1.8). Σχήμα 1.8: Σχηματική παράσταση στοιχείου μεταφοράς. x i (t) x a (t) Κάθε ορθογώνιο σε ένα διάγραμμα βαθμίδων παριστάνει μία «βαθμίδα» ή αλλιώς ένα «στοιχείο μεταφοράς». Ως βαθμίδα ή στοιχείο μεταφοράς μπορεί να χαρακτηρισθεί κάθε αυτοτελής μηχανισμός του συστήματος ρύθμισης π.χ. η ίδια η διεργασία, ένα όργανο μέτρησης, ο ενισχυτής που χρησιμοποιείται στο σύστημα μέτρησης ή στο στοιχείο τελικής ρύθμισης κ.ο.κ. Το ορθογώνιο υποδηλώνει «δυναμική συνάρτηση» που παριστάνει την εξάρτηση της μεταβλητής εξόδου, x a (t) από

17 Ενότητα τη μεταβλητή εισόδου x i (t). Πρέπει να σημειωθεί ότι οι όροι «είσοδος» και «έξοδος» αναφέρονται σε μεταβλητές ή σήματα ανάλογα μ αυτές και δεν έχουν καμιά σχέση με ροή μάζας ή ενέργειας. Έτσι π.χ. κατά τη μέτρηση της θερμοκρασίας ενός χώρου θεωρούμε σαν είσοδο στο όργανο μέτρησης την πραγματική θερμοκρασία του χώρου και σαν έξοδο την ένδειξη του θερμομέτρου η οποία εν γένει δεν συμπίπτει με τη θερμοκρασία του χώρου όταν η τελευταία δεν παραμένει σταθερή. Το σήμα εισόδου και το σήμα εξόδου μπορεί να έχουν τελείως διαφορετικές φυσικές ιδιότητες ή να εκφράζονται σε διαφορετικές μονάδες π.χ. σ ένα όργανο μέτρησης πίεσης, είσοδος είναι η πίεση που μετράται και έξοδος η μετατόπιση του δείκτη του οργάνου. Η σχέση που υπάρχει μεταξύ εισόδου και εξόδου είναι χαρακτηριστική για κάθε στοιχείο μεταφοράς και εκφράζεται με τη συνάρτηση μεταφοράς του στοιχείου. Η συνάρτηση μεταφοράς G(s) ορίζεται από τη σχέση: x a = G(s)x i, όπου x a και x i. είναι η έξοδος και η είσοδος κατάλληλα μετασχηματισμένες όπως θα δούμε παρακάτω. Εκτός από τα στοιχεία μεταφοράς σ ένα διάγραμμα βαθμίδων υπάρχουν στοιχεία συνδυασμού σημάτων που συμβολίζονται με ένα κύκλο όπως στο σχήμα 1.9. Το σχήμα 1.9i υποδηλώνει ότι το αποτέλεσμα (έξοδος x a ) είναι το άθροισμα των επί μέρους μεγεθών (εισόδων) x i,1 και x i,2. H μαθηματική διατύπωση της σχέσης είναι: x a = x i,1 + x i,2. Το σχήμα 1.9ii παριστάνει συγκριτική δράση της μορφής: x a = x i,1 x i,2. H έξοδος δηλαδή x a είναι η διαφορά των δύο σημάτων εισόδου (x i,1 x i,2 ) Πολλές φορές η χρήση του κύκλου δεν περιορίζεται για την παράσταση προσθετικής ή συγκριτικής πράξης αλλά επεκτείνεται στην παράσταση πολλαπλασιασμού ή και διαίρεσης. Στις περιπτώσεις αυτές τοποθετείται μέσα στον κύκλο το σύμβολο του πολλαπλασιασμού ή της διαίρεσης. Σχήμα 1.9: Στοιχεία συνδυασμού σημάτων. x i,1 + + x i,2 x a x i,1 + - x a = x i,1 + x i,2 (i) x i,2 x a x a = x i,1 x i,2 (ii) Τέλος η απλή διασύνδεση σε ένα σημείο χωρίς την ύπαρξη κάποιας διεργασίας παρίσταται με κόμβο. Ο κόμβος είναι ένα σημείο διακλάδωσης σήματος και παριστά τη μαθηματική σχέση x 1 = x 2 = x 3 (σχήμα 1.10). Στο σχήμα 1.11 παρατίθεται το φυσικό διάγραμμα ενός συστήματος ρύθμισης θερμοκρασίας σ ένα θερμαντήρα και το αντίστοιχο διάγραμμα βαθμίδων. Με το

18 Ενότητα Σχήμα 1.10: Κόμβος ή σημείο διακλάδωσης. x 1 x 2 x 3 x 1 = x 2 = x 3 σύστημα αυτό επιδιώκεται η θερμοκρασία του νερού στην έξοδο του θερμαντήρα Θ a να είναι ίση με την επιθυμητή τιμή Θ i. Η θερμοκρασία Θ a μετράται με ένα θερμόμετρο, συγκρίνεται η τιμή της μετρούμενης θερμοκρασίας Θ m με την επιθυμητή τιμή και η ρυθμιστική απόκλιση E = Θ i Θ m τροφοδοτείται ως σήμα εισόδου στο ρυθμιστή. O ρυθμιστής ανάλογα με την απόκλιση ενεργοποιεί το στοιχείο τελικής ρύθμισης που καθορίζει το ποσό θερμότητας που παρέχεται στο θερμαντήρα. Αν η θέρμανση γίνεται με ατμό, όπως η περίπτωση του σχήματος 1.11i, το στοιχείο τελικής ρύθμισης είναι μια ρυθμιστική βαλβίδα η οποία ανάλογα με το σήμα του ρυθμιστή ανοίγει ή κλείνει καθορίζοντας το ποσό ατμού που παρέχεται στον θερμαντήρα. Όταν υπάρξει μια μεταβολή στις συνθήκες π.χ. όταν ελαττωθεί η θερμοκρασία εισόδου του νερού Θ ϵισ ελαττώνεται αντίστοιχα και η θερμοκρασία εξόδου Θ α, δημιουργείται απόκλιση από την επιθυμητή τιμή η οποία μέσω του ρυθμιστή προκαλεί το άνοιγμα της βαλβίδας παροχής ατμού, έτσι ώστε να ανέβει πάλι η θερμοκρασία και η απόκλιση να ελαττωθεί ή και να μηδενιστεί. Όπως φαίνεται από την παραπάνω περιγραφή η διεργασία της θέρμανσης από την οποία εξαρτάται η θερμοκρασία εξόδου θα επηρεάζεται αφ ενός μεν από τη θερμοκρασία εισόδου Θ ϵισ και αφ ετέρου από το ποσό θερμότητας που παρέχεται στον θερμαντήρα. Το άθροισμα των δύο αυτών επιδράσεων καθορίζει την τιμή της θερμοκρασίας του νερού στην έξοδο, Θ a. H σύνδεση μεταξύ των στοιχείων του συστήματος ρύθμισης που περιγράψαμε παραπάνω φαίνεται σχηματικά στο διάγραμμα βαθμίδων του σχήματος 1.11ii. Τα στοιχεία συνδέονται μεταξύ τους με ευθύγραμμα τμήματα που υποδηλώνουν μετάδοση κάποιας δράσεως ή σήματος μεταξύ των συνδεόμενων στοιχείων. Η φορά του βέλους δείχνει τη φορά μετάδοσης του σήματος. Έτσι π.χ. το βέλος από το ρυθμιστή προς το στοιχείο τελικής ρύθμισης υποδηλώνει ότι σήμα αποστέλλεται από το ρυθμιστή στο στοιχείο τελικής ρύθμισης. Το σήμα αυτό μπορεί να είναι κάποιο δυναμικό π.χ. πίεση ή τάση ρεύματος αλλά ως σήμα θεωρούμε και οποιαδήποτε άλλη μεταβλητή που προέρχεται από το ένα στοιχείο και επιδρά στο άλλο π.χ. τη μετατόπιση κάποιου μοχλού ή μια θερμοκρασία. Στο διάγραμμα βαθμίδων 1.11ii περιλαμβάνονται δυο κλάδοι και συγκεκριμένα στο αριστερό μέρος ο κλάδος της ρύθμισης και στο δεξιό ο κλάδος της διεργασίας.

19 Ενότητα Στον κλάδο της διεργασίας αθροίζονται οι επιδράσεις των δύο μεταβλητών που επηρεάζουν τη θερμοκρασία Θ a, δηλαδή η επίδραση της θερμοκρασίας Θ ϵισ και του ρυθμού ροής ενέργειας q. Στον κλάδο της ρύθμισης περιλαμβάνονται το στοιχείο μέτρησης, ο ρυθμιστής με το μηχανισμό διακρίβωσης απόκλισης και το στοιχείο τελικής ρύθμισης. Είσοδος στο σύστημα είναι η επιθυμητή τιμή της θερμοκρασίας Θ i. Σχήμα 1.11: Το φυσικό διάγραμμα και το διάγραμμα βαθμίδων συστήματος ρύθμισης θερμοκρασίας σ ένα θερμαντήρα. Ρυθμιστής TC Θερμόμετρο Θ a q Βαλβίδα Θ (i) Θi E Ρυθμιστής Στοιχείο Tελικής Ρύθμισης Φορτίο Θεισ. Διεργασία Διεργασία Θ d Θ m Μέτρηση Ρύθμιση Διεργασία (ii) 1.8 Δυναμική συμπεριφορά των συστημάτων ρύθμισης Η συμπεριφορά ενός συστήματος, όταν επιβληθούν σ αυτό εξωτερικές διαταραχές δηλαδή μεταβολές σε μια ή περισσότερες από τις μεταβλητές εισόδου του συστήματος, είναι γνωστή ως απόκριση του συστήματος. Χαρακτηριστικό τόσο των επί μέρους διεργασιών όσο και ολόκληρου του συστήματος ρύθμισης είναι ότι μια μεταβολή στην είσοδο δεν προκαλεί αμέσως την αντίστοιχη μεταβολή στην απόκριση. Υπάρχει μια καθυστέρηση μεταξύ αιτίας και

20 Ενότητα αποτελέσματος που οφείλεται στις φυσικές ιδιότητες του συστήματος. Έτσι, αν για παράδειγμα στον θερμαντήρα του σχήματος 1.2 ανοίξει απότομα η βαλβίδα παροχής ατμού, η θερμοκρασία του νερού δεν θα επηρεασθεί αμέσως. Θα αρχίσει να ανεβαίνει προοδευτικά ακολουθώντας μια καμπύλη όπως του σχήματος Το ίδιο ισχύει και για τον θερμαντήρα του σχήματος 1.11i αν διακοπεί σε κάποιο σημείο ο βρόχος ανατροφοδότησης. Καθυστέρηση εκτός από την κυρίως διεργασία παρουσιάζεται και σε άλλα σημεία του βρόχου ρύθμισης και κυρίως στα όργανα μέτρησης. Οι καθυστερήσεις αυτές πολλές φορές δυσχεραίνουν τη ρύθμιση. Η μεταβολή στη θέση της βαλβίδας που εικονίζεται στο σχήμα 1.12 είναι μια από τις χαρακτηριστικές μορφές διαταραχής που χρησιμοποιούμε για τη μελέτη των συστημάτων που λειτουργούν σε μεταβατικές συνθήκες. Μια τέτοια αιφνίδια μεταβολή από μια σταθερή τιμή σε μια νέα, μεγαλύτερη ή μικρότερη, σταθερή τιμή λέγεται βαθμωτή ή βηματική μεταβολή και η διαφορά μεταξύ αρχικής και τελικής τιμής λέγεται ύψος βήματος ή βαθμίδας. Η καμπύλη της απόκρισης δείχνει τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος δηλαδή την αλλαγή των μεταβλητών με τον χρόνο από τη στιγμή που θα επιβληθεί μια διαταραχή μέχρι να αποκατασταθεί μια νέα ισορροπία. Σχήμα 1.12: Χρονική καθυστέρηση απόκρισης. Μεταβολή θερμοκρασίας με το χρόνο για αιφνίδια (βαθμωτή) μεταβολή του περιεχόμενου ποσού θερμότητας σε θερμαντήρα. Θέση βαλβίδας (είσοδος) Θερμοκρασία (έξοδος) t 0 Χρόνος 1.9 Ευστάθεια συστημάτων Στο διάγραμμα του σχήματος 1.12 φαίνεται ότι μετά την αύξηση του παρεχόμενου ποσού θερμότητας η θερμοκρασία αποκαθίσταται σε μια νέα υψηλότερη τιμή. Το επιπλέον ποσό θερμότητας που προσδίδεται αυξάνει τη θερμοκρασία του νερού

21 Ενότητα κατά ένα δεδομένο ποσό σύμφωνα με τη γνωστή σχέση: q = ṁc p (Θ 2 Θ 1 ). Διεργασίες όπου η έξοδος αποκαθίσταται σε μια νέα σταθερή τιμή μετά την επιβολή μιας διαταραχής πεπερασμένου εύρους λέγονται ευσταθείς διεργασίες. Μια ακόμη ευσταθής διεργασία εικονίζεται στο σχήμα 1.13i. Στη δεξαμενή υγρού του σχήματος σε μόνιμες συνθήκες λειτουργίας ο ρυθμός εισροής πρέπει να είναι ίσος με το ρυθμό εκροής ( V ϵισ. = V ϵκ. ). Ο ρυθμός εκροής όμως είναι τόσο μεγαλύτερος όσο ψηλότερα βρίσκεται το νερό στη δεξαμενή γιατί αυξάνεται ανάλογα η κινητήρια δύναμη. Αν αυξηθεί η εισροή, η στάθμη του υγρού στη δεξαμενή θ αρχίσει να ανεβαίνει και η εκροή θα αυξάνει ανάλογα, μέχρι να εξισωθεί με τη νέα τιμή της εισροής. Το σύστημα δηλαδή ρυθμίζεται μόνο του σε μια υψηλότερη στάθμη. Αντίθετα, στη δεξαμενή του σχήματος 1.13ii η εκροή γίνεται με τη βοήθεια μιας αντλίας, η παροχή της οποίας δεν επηρεάζεται από τη στάθμη του υγρού στη δεξαμενή. Αν η εισροή είναι ίση με την εκροή το σύστημα λειτουργεί κανονικά. Αν όμως αυξηθεί η εισροή, η στάθμη θ αρχίσει ν ανεβαίνει. Η εκροή δεν επηρεάζεται από τη στάθμη και παραμένει στην προηγούμενη τιμή της με αποτέλεσμα να ξεχειλίσει η δεξαμενή. Το σύστημα αυτό λέμε ότι είναι ασταθές και μπορεί να λειτουργήσει μόνο με τη χρησιμοποίηση ενός συστήματος ρύθμισης το οποίο, όταν αρχίσει να ανεβαίνει η στάθμη, θα επεμβαίνει για την αύξηση της παροχής της αντλίας ή για την ελάττωση του ρυθμού εισροής με τη βοήθεια μιας ρυθμιστικής βαλβίδας. Σχήμα 1.13: Δεξαμενή υγρού V V LC h V h V (i) Αυτορυθμιζόμενη διεργασία - φυσική εκροή. Ρυθμός εκροής ανάλογος της στάθμης. (ii) Μη αυτορυθμιζόμενη (ασταθής) διεργασία - εκροή μέσω αντλίας. Ρυθμός εκροής ανεξάρτητος της στάθμης. Ένα σύστημα χαρακτηρίζεται ως ευσταθές, όταν οι παροδικές διαταραχές ή αποκλίσεις από την κατάσταση ισορροπίας εξαφανίζονται με την πάροδο του χρόνου. Αντίθετα, ένα σύστημα χαρακτηρίζεται ως ασταθές, αν μία παροδική διαταραχή προκαλέσει σ αυτό συνεχώς αυξανόμενο εύρος απομακρύνσεως από την κατάσταση ισορροπίας. Πρακτικά, το μέγιστο εύρος μιας τέτοιας απομακρύνσεως σ ένα ασταθές σύστημα περιορίζεται από τα φυσικά χαρακτηριστικά της διεργασίας. Έτσι π.χ. αύξηση της τάσης που εφαρμόζεται σ ένα ηλεκτρικό κινητήρα αυξάνει

22 Συγκέντρωση άλατος Ενότητα την ταχύτητα περιστροφής του μέχρι μια ορισμένη οριακή τιμή, πάνω από την οποία θα συμβεί μηχανική ή άλλου είδους βλάβη τού κινητήρα. Με τη ρύθμιση επιδιώκουμε να έχουμε ευσταθή συστήματα υπό οποιαδήποτε πιθανή κατάσταση λειτουργίας. Πολλές φορές με τη χρήση αυτόματου ρυθμιστή επιτυγχάνουμε ένα ασταθές φυσικό σύστημα να γίνει ευσταθές όπως η δεξαμενή του σχήματος 1.13ii, άλλες φορές όμως ένα φυσικά ευσταθές σύστημα μπορεί να γίνει ασταθές αν χρησιμοποιηθεί κακώς προσαρμοσμένο σύστημα ρύθμισης. Ας θεωρήσουμε το σύστημα του σχήματος 1.14i όπου ένα πυκνό διάλυμα άλατος αραιώνεται σε ανάμιξη με νερό σ ένα μακρύ σωλήνα. Σχήμα 1.14: Αστάθεια συστήματος ρύθμισης λόγω μεγάλης ενίσχυσης του ρυθμιστικού βρόγχου. Νερό 1 2 l Μέτρηση Πυκνό Διάλυμα Ρυθμιστής (i) Επιθυμητή τιμή (ii) Χρόνος Μια μικρή αύξηση στην παροχή νερού έχει αποτέλεσμα αντίστοιχη αραίωση του διαλύματος. Αν η διαταραχή είναι παροδική το σύστημα επιστρέφει στην πρώτη του κατάσταση, δηλαδή χωρίς ρύθμιση είναι ευσταθές. Για τη ρύθμιση της σύστασης του μίγματος μετράται με ένα πυκνόμετρο η σύσταση του μίγματος στην έξοδο του σωλήνα ανάμιξης και ρυθμίζεται η παροχή του πυκνού διαλύματος ανάλογα με τη διαφορά που υπάρχει μεταξύ πραγματικής και επιθυμητής τιμής. Έστω ότι η ενίσχυση που έχει επιλεγεί στο ρυθμιστή είναι μεγάλη, δηλαδή για μικρές μεταβολές

23 Ενότητα στη σύσταση του μίγματος γίνονται δυσανάλογα μεγάλες μεταβολές στη ροή του πυκνού διαλύματος. Όταν το όργανο μέτρησης διαπιστώσει, ελάττωση της πυκνότητας στέλνει ανάλογο σήμα στο ρυθμιστή ο οποίος ανοίγει τη βαλβίδα παροχής πυκνού διαλύματος. Η βαλβίδα εξακολουθεί να παραμένει ανοιχτή διοχετεύοντας δυσανάλογα μεγάλη παροχή πυκνού διαλύματος καθ όλο το χρονικό διάστημα που χρειάζεται το μείγμα για να φθάσει από τη θέση 1 όπου γίνεται η ανάμιξη στη θέση 2 όπου το όργανο μετρήσεως διαπιστώνει ότι η συγκέντρωση είναι πολύ μεγάλη. Ο ρυθμιστής τώρα παίρνει σήμα να ελαττώσει την παροχή διαλύματος σε τιμή πολύ μικρότερη από αυτή που χρειάζεται για να έχουμε την επιθυμητή σύσταση σε μόνιμες συνθήκες λειτουργίας, με αποτέλεσμα να έχουμε μεγάλη αραίωση του διαλύματος που έχει αποτέλεσμα να αποσταλεί πολύ μεγαλύτερο σήμα στο ρυθμιστή κ.ο.κ. Η καμπύλη των μεταβολών της συγκέντρωσης με το χρόνο δίδεται στο σχήμα 1.14ii. Το ίδιο σύστημα μπορεί να γίνει ευσταθές αν γίνει μικρή η ενίσχυση του ρυθμιστή, αν δηλαδή η βαλβίδα ανοίγει λιγότερο και η αύξηση ροής του πυκνού διαλύματος είναι μικρότερη απ ό,τι χρειάζεται για να εξουδετερωθεί η διαταραχή. Ο τρόπος απόκρισης των διαφόρων συστημάτων ρύθμισης εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του συστήματος. Η απόκριση ενός ευσταθούς συστήματος μπορεί να είναι ταλαντευόμενης μορφής φθίνοντος εύρους, ταλαντευόμενης μορφής σταθερού εύρους ή να μην παρουσιάζει ταλαντώσεις ακολουθώντας μια καμπύλη όπως του σχήματος Χαρακτηριστικές μορφές απόκρισης σε βαθμωτή διαταραχή δίδονται στο σχήμα Το σχήμα περιλαμβάνει τρεις περιπτώσεις αποσβενόμενης απόκρισης και συγκεκριμένα την «υπεραπόσβεση» την «κρίσιμη απόσβεση» και «υποαπόσβεση» καθώς και την ασταθή απόκριση (διακεκομμένη γραμμή). Συνήθως όπως θα φανεί στα επόμενα η επιθυμητή μορφή αποκρίσεως είναι η ελαφρώς υποαποσβενόμενη. Κατά τη διάρκεια της λειτουργίας ενός συστήματος τα φορτία μεταβάλλονται, εν γένει, κατά τρόπο τυχαίο. Αυτό σημαίνει ότι ο ιδανικός σχεδιασμός ενός συστήματος θα έπρεπε να γίνει προς αντιμετώπιση τυχαίων διαταραχών. Κατά τη μελέτη του προβλήματος της απόκρισης θα εξετάσουμε δύο βασικές περιπτώσεις διαταραχής και συγκεκριμένα τη βαθμωτή και την ημιτονοειδή διαταραχή. Αυτό, γιατί οποιαδήποτε διαταραχή είναι δυνατό να θεωρηθεί ότι συνίσταται από συνδυασμό βαθμωτών και τριγωνομετρικών διαταραχών. Κατά συνέπεια, η απόκριση ενός συστήματος ρύθμισης σε τυχαία διαταραχή είναι δυνατό να θεωρηθεί ως ο συνδυασμός αποκρίσεων βαθμωτής μεταβολής και μεταβολών τριγωνομετρικής μορφής διαφόρων συχνοτήτων. Κατά το σχεδιασμό ενός συστήματος ρύθμισης αποβλέπουμε στο να επιτύχουμε

24 Ενότητα Σχήμα 1.15: Απόκριση συστήματος σε βαθμωτή διαταραχή. Απόκριση Αστάθεια Τελική τιμή Υποαπόσβεση Υπεραπόσβεση Αρχική τιμή Κρίσιμη Απόσβεση Χρόνος t την επιθυμητή απόκριση στις διαταραχές. Για τον σκοπό αυτό εξετάζουμε τρία βασικά χαρακτηριστικά του συστήματος ρύθμισης. 1. Τα περιθώρια ευστάθειας. Δηλαδή πόσο απέχει το σύστημα από το σημείο όπου αρχίζει να παρατηρείται αστάθεια. 2. Τη μεταβατική απόκριση τού συστήματος. Δηλαδή το μέρος εκείνο της απόκρισης από τη στιγμή που επιβάλλεται μια διαταραχή έως ότου αποκατασταθεί μια καινούργια ισορροπία. 3. Τη μόνιμη απόκριση (ή στατική λειτουργία) δηλαδή τη νέα τιμή ισορροπίας στην οποία αποκαθίσταται το σύστημα μετά μια διαταραχή και πόσο απέχει αυτή από την επιθυμητή τιμή. H ύλη που παρουσιάζεται στα επόμενα κεφάλαια αποτελεί την ολοκλήρωση σημειώσεων [9, 10, 11] και πείρας από την διδασκαλία των μαθημάτων της αυτόματης ρύθμισης σε σχολές του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου από τους συγγραφείς.

25 Βιβλιογραφία Κεφαλαίου [1] W. Rosen, The Most Powerful Idea in the World: A Story of Steam, Industry and Invention. University of Chicago Press, [2] N. Wiener, Cybernetics or Control and Communication in the Animal and the Machine. MIT Press, [3] G. W. Younkin, Industrial Servo Control Systems - Fundamentals and Applications. Taylor and Francis, 2nd ed., [4] N. A. Kuznetsov, The 100th birthday of aleksandr aleksandrovich andronov, Automation and Remote Control, vol. 62(6), pp , [5] C. C. Bissell, Russian and soviet contributions to the development of control engineering: a celebration of the lyapunov centenary, Transactions of the Institution of Measurement and Control, vol. 14, pp , [6] K. J. Aström and P. Kumarb, Control: A perspective, Automatica, vol. 50(1), pp. 3 43, [7] L. S. Pontryagin, V. G. Boltyanskii, R. V. Gamkrelidze, and E. F. Mishchenko, The Mathematical Theory of Optimal Processes. Interscience, [8] W. W. Solodownikow, Basics of Automatic Control (in German) Vol. 1. Munich: R. Oldenbourg Verlag, [9] Ν. Κουμούτσος, Β. Λυγερού και Γ. Β. Μπάφας, Δυναμική Συστημάτων και Ρύθμιση Διεργασιών. ΕΜΠ, [10] Γ. Β. Μπάφας, Συστήματα Αυτόματης Ρύθμισης και Πληροφορικής. ΕΜΠ, [11] Γ. Β. Μπάφας και Κ. Ι. Σιέττος, Μη γραμμικά και ασαφή συστήματα Αυτόματης Ρύθμισης. ΕΜΠ,