Ε π α ν α λ η π τ ι κ έ ς ε ρ ω τ ή σ ε ι ς κ α ι α σ κ ή σ ε ι ς

Transcript

1 Σ υ µ π λ ή ρ ω µ α Θ ε ω ρ ί α ς Τ υ π ο λ ό γ ι ο Ε π α ν α λ η π τ ι κ έ ς ε ρ ω τ ή σ ε ι ς κ α ι α σ κ ή σ ε ι ς ΦΟΥΝΑΡΓΙΩΤΑΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΦΥΣΙΚΟΣ - -

2 ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΑΕΡΙΩΝ Καταστατική εξίσωση των αερίων. = n.r.t n = αριθµός mole αερίου Γνωρίζουµε ότι n = M m όπου m η µάζα του αερίου και Μ η γραµµοµοριακή µάζα οπότε η καταστατική εξίσωση µπορεί να γραφεί. = M m R.T.M = m.r.t.m = p.r.t Όπου p = πυκνότητα του αερίου Επίσης αποδεικνύεται ότι η πίεση που ασκεί ένα αέριο στα τοιχώµατα ενός δοχείου δίνεται από την σχέση υ = p. 3 ( ) όπου = πίεση του αερίου = p πυκνότητα του αερίου και υ = µέση τιµή των τετραγώνων των ταχυτήτων των µορίων του αερίου Αν το αέριο έχει Ν µόρια τότε υ = υ + υ υν Ν Αν Μ η µάζα του αερίου και ο όγκος του θα είναι Μ p= ( ) Αν m η µάζα του ενός µορίου θα είναι Μ = Ν.m οπότε η () γράφεται - -

3 p N. m = ( 3) Εποµένως η () λόγω των () και (3) θα γραφεί = 3 N. m. υ 3 = N. m. υ 3 = N. m. υ 3 nrt = N. mυ. 3 N N Α RT = N. mυ. 3 R N Α T όπου K= = N Α mυ. R 3. KT = mυ ( 4 ) ( Σταθερά του Boltzmann) (4) 3ΚΤ 3ΚΤ υ = υ = ( 5) m m αν όπου K= R N Α 3RΤ η ( 5) υ = γράφεται N m Α είναι όµως N m= M Α όπου Μ = γραµµοµοριακή µάζα του αερίου Συνεπώς 3RΤ υ = ( 6) M Η ποσότητα υ ονοµάζεται ενεργός ταχύτητα των µορίων του συµβολίζεται µε υ εν η υ rms αερίου και θα - 3 -

4 Παρατηρήσεις Αν έχουµε το ίδιο αέριο σε δύο διαφορετικές θερµοκρασίες θα ισχύει ) Όσο µεγαλύτερη είναι η θερµοκρασία τόσο µεγαλύτερη θα είναι και η ενεργός ταχύτητα των µορίων του αερίου όπως προκύπτει από την σχέση (6) ) O λόγος των ενεργών ταχυτήτων των µορίων του αερίου είναι ίσος µε τη τετραγωνική ρίζα του λόγου των απολύτων θερµοκρασιών υ υ εν εν = Τ Τ Η σχέση αυτή προκύπτει εύκολα από την (6) Αν έχουµε δύο διαφορετικά αέρια Α και Β στην ίδια θερµοκρασία τότε όπως προκύπτει από την (4) τα µόρια τους θα έχουν την ίδια µέση κινητική ενέργεια Δηλαδή m. υ A A = m. υ B B υα υ Β = m m B A υ υ Α Β = ΜΒ ΜΒ Β Α Η παραπάνω σχέση µπορεί να προκύψει εύκολα και µε την βοήθεια της σχέσης (6) δηλαδή ο λόγος των ενεργών τους ταχυτήτων είναι αντίστροφα ανάλογος της τετραγωνικής ρίζας του λόγου των µοριακών τους βαρών Συνεπώς τα µόρια του αερίου µε το µικρότερο µοριακό βάρος θα κινούνται πιο γρήγορα - 4 -

5 ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Χρήσιµες έννοιες Σύστηµα : είναι ένα τµήµα του φυσικού κόσµου που διαχωρίζεται από τον υπόλοιπο κόσµο µε πραγµατικά ή νοητά τοιχώµατα. Αν για την περιγραφή ενός συστήµατος χρησιµοποιούµε µόνο µεγέθη της µηχανικής όπως δύναµη, ταχύτητα,επιτάχυνση κλπ το σύστηµα θα χαρακτηρίζεται σαν µηχανικό, αν όµως χρησιµοποιούµε και µεγέθη της θερµοδυναµικής όπως πίεση, όγκος, θερµοκρασία τότε το σύστηµα θα χαρακτηρίζεται σαν Θερµοδυναµικό Το τµήµα του φυσικού κόσµου που δεν ανήκει στο σύστηµα θα λέγεται περιβάλλον του συστήµατος Θερµοδυναµικές µεταβλητές : είναι οι µεταβλητές εκείνες οι οποίες είναι απαραίτητες για την περιγραφή ενός θερµοδυναµικού συστήµατος Όταν σε ένα θερµοδυναµικό σύστηµα οι θερµοδυναµικές µεταβλητές που το περιγράφουν διατηρούνται σταθερές µε τον χρόνο τότε θα λέµε ότι το σύστηµα βρίσκεται σε κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας Η κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας µπορεί να παρασταθεί γραφικά µε ένα σηµείο σε σύστηµα συντεταγµένων µε άξονες δύο ανεξάρτητες θερµοδυναµικές µεταβλητές Αντιστρεπτή µεταβολή ονοµάζεται εκείνη κατά την οποία υπάρχει η δυνατότητα επαναφοράς του συστήµατος και του περιβάλλοντος στην αρχική του κατάσταση Κατά την διάρκεια µιας αντιστρεπτής µεταβολής το σύστηµα περνά από διαδοχικές καταστάσεις θερµοδυναµικής ισορροπίας, για το λόγο αυτό µια αντιστρεπτή µεταβολή µπορεί να παρασταθεί σαν µια συνεχής γραµµή σε σύστηµα συντεταγµένων µε άξονες δύο ανεξάρτητες θερµοδυναµικές µεταβλητές Οι µη αντιστρεπτές µεταβολές δεν µπορούν να παρασταθούν γραφικά - 5 -

6 Τα απλούστερα θερµοδυναµικά συστήµατα µε τα οποία και θα ασχοληθούµε είναι αέρια τα οποία βρίσκονται µέσα σε δοχεία στο εσωτερικό των οποίων δεν γίνονται χηµικές αντιδράσεις Όταν θα λέµε Εκτόνωση εννοούµε την αύξηση του όγκου του αερίου Συµπίεση εννοούµε την µείωση του όγκου του αερίου Θέρµανση εννοούµε την αύξηση της θερµοκρασίας του αερίου Ψύξη εννοούµε την µείωση της θερµοκρασίας του αερίου Αποδεικνύεται ότι κατά την µεταβολή του όγκου ενός αερίου παράγεται έργο το οποίο είναι θετικό αν το αέριο εκτονώνεται και αρνητικό αν συµπιέζεται Σε µια αντιστρεπτή µεταβολή το έργο ισούται αριθµητικά µε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της πίεσης µε τον όγκο και τον άξονα των όγκων Έργο θετικό ( W >0) σηµαίνει ότι µέσω µηχανικού έργου ενέργεια µεταφέρεται από το αέριο στο περιβάλλον Έργο αρνητικό ( W < 0) σηµαίνει ότι µέσω µηχανικού έργου ενέργεια µεταφέρεται από το περιβάλλον στο αέριο - 6 -

7 Εσωτερική ενέργεια αερίου ( U ) Ισούται µε το άθροισµα των ενεργειών των µορίων του αερίου (Για τα αέρια λαµβάνουµε υπόψιν µας µόνο τις κινητικές ενέργειες των µορίων ) Αν έχουμε Ν μόρια αερίου η εσωτερική του ενέργεια θα είναι U = ½ m. υ +½ m. υ ½ m. υ = ½ m.( υ + υ υ Ν ) υ + υ υν = ½ Ν. m. Ν Ν [ Πολλαπλασιάζουµε και διαιρούµε Ν ] = Ν. ½ m υ [ γνωρίζουµε ότι υ = 3 = Ν. ΚΤ [ ισχύει ½ m υ = 3 ΚΤ ] 3 R NΑ 3 N = RT N = Ν. T Α = 3 n.r.t ή U = 3. [ είναι Κ = R ] N Α υ + υ υν ] Ν ηλαδή η εσωτερική ενέργεια ορισµένης ποσότητας ιδανικού αερίου εξαρτάται µόνο από την θερµοκρασία του Η παραπάνω σχέση ισχύει κανονικά µονο για µονοατοµικά αέρια Η γενικότερη µορφή της σχέσης είναι U=f/ nrt όπου f οι βαθµοί ελευθερίας του αερίου. Για τα µονοατοµικά αέρια - 7 -

8 Μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας U = Uτελ Uαρχ U = 3 n. R. T τελ 3 - n. R. Tαρχ U = 3 nr Τ Επίσης αφού = n RT θα έχουµε 3 3 Η µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας ενός αερίου δεν εξαρτάται από τον τρόπο µε τον οποίο το αέριο πήγε από µια κατάσταση σε µια άλλη αλλά µόνο από την αρχική και τελική κατάσταση του αερίου Πρώτος νόµος της θερµοδυναµικής Το ποσό της θερµότητας Q που απορροφά ή αποβάλει ένα θερµοδυναµικό σύστηµα είναι ίσο µε το αλγεβρικό άθροισµα της µεταβολής της εσωτερικής του ενέργειας και του έργου που παράγει ή δαπανά το σύστηµα Q = W + U Q > 0 To αέριο απορροφά θερµότητα, ενώ αν Q < 0 To αέριο αποβάλει θερµότητα - 8 -

9 Γραµµοµοριακές ειδικές θερµότητες αερίων Το ποσό της θερµότητας που απαιτείται για να αυξηθεί η θερµοκρασία σώµατος µάζας m κατά Τ δίνεται από την σχέση Q = m.c. Τ όπου c η ειδική θερµότητα του υλικού Αν την ποσότητα του σώµατος την µετρήσουµε σε mole θα έχουµε m = n.m όπου n ο αριθµός των mole και Μ η γραµµοµοριακή µάζα του σώµατος Άρα θα έχουµε Q = n.m.c. Τ Το γινόµενο Μ.c ονοµάζεται Γραµµοµοριακή ειδική θερµότητα και συµβολίζεται µε το γράµµα C Συνεπώς Q = n.c. Τ Αν σε ένα αέριο προσφέρουµε θερµότητα υπό σταθερό όγκο τότε την γραµµοµοριακή ειδική θερµότητα θα την συµβολίζουµε µε το γράµµα Cv Οπότε θα ισχύει Q = n.cv. Τ Αν σε ένα αέριο προσφέρουµε θερµότητα υπό σταθερή πίεση τότε την γραµµοµοριακή ειδική θερµότητα θα την συµβολίζουµε µε το γράµµα Cρ Οπότε θα ισχύει Q = n.cρ. Τ Τον λόγο Cp/Cv θα τον συµβολίζουµε µε το γράµµα γ και θα τον ονοµάσουµε σταθερά του oison - 9 -

10 Μεταβολές αερίων Ισόθερµη µεταβολή Στη µεταβολή αυτή το αέριο από µια αρχική κατάσταση (,,T ) πηγαίνει σε µια κατάσταση (,,T ) ετσι ώστε η θερµοκρασία να παραµένει συνεχώς σταθερή Τ =T = Τ Από την σχέση = nrt προκύπτει ότι =σταθερό ή = = nrt = nrt Γραφικές παραστάσεις T T Οι παραπάνω γραφικές παραστάσεις παριστάνουν µια ισόθερµη αντιστρεπτή εκτόνωση Το έργο αποδεικνύεται ότι δίνεται από την σχέση W = n.r.t. ln - 0

11 Επειδή η θερµοκρασία δεν αλλάζει θα είναι U = 0 Άρα από τον ο νόµο της θερµοδυναµικής έχουµε Q = W = n.r.t. ln Ισόχωρη µεταβολή Στη µεταβολή αυτή το αέριο από µια αρχική κατάσταση (,,T ) πηγαίνει σε µια κατάσταση (,,T ) έτσι ώστε ο όγκος να παραµένει συνεχώς σταθερός = = nr Από την σχέση = nrt προκύπτει ότι = = σταθερό = = nrt nr = T T T T Γραφικές παραστάσεις Τ Τ Τ T Τ Τ Οι παραπάνω γραφικές παραστάσεις παριστάνουν µια ισόχωρη αντιστρεπτή θέρµανση Το έργο σε µια ισόχωρη µεταβολή είναι W = 0 Άρα από τον ο νόµο της θερµοδυναµικής έχουµε -

12 Q = U αφού Q = n.cv. Τ Θα είναι και U = n.cv. Τ Την παραπάνω σχέση µπορούµε να την χρησιµοποιήσουµε για όλες τις µεταβολές, µια και η µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας ενός αερίου δεν εξαρτάται από τον τρόπο που έγινε η µεταβολή του αερίου,αλλά µόνο από την αρχική και την τελική του κατάσταση Ισοβαρή µεταβολή Στη µεταβολή αυτή το αέριο από µια αρχική κατάσταση (,,T ) πηγαίνει σε µια κατάσταση (,,T ) ετσι ώστε ή πίεση του αερίου να παραµένει συνεχώς σταθερή = = nr Από την σχέση = nrt προκύπτει ότι = = σταθερό = = nrt nr = T Γραφικές παραστάσεις T T T Τ Τ Τ T Τ Τ Οι παραπάνω γραφικές παραστάσεις παριστάνουν µια ισοβαρή αντιστρεπτή εκτόνωση Το έργο στην ισοβαρή µεταβολή είναι ίσο µε το γραµµοσκιασµένο εµβαδόν στη γραφική παράσταση της µεταβολής στους άξονες - άρα θα είναι -

13 W =.( ) =. -. =nrt nrt = n.r. Τ ή W =. Aπό τον ο νόµο της θερµοδυναµικής έχουµε Q =W + U = n.r. Τ + U είναι όµως Q = n.cρ. Τ και U = n.cv. Τ Άρα n.cρ. Τ= n.r. Τ + n.cv. Τ Cρ= R + Cv Παρατήρηση Αν δίνεται ένα από τα Cp, Cv, γ τότε για τον υπολογισµό της µεταβολής της εσωτερικής ενέργειας θα χρησιµοποιούµαι την σχέση U = n.cv. Τ Cp Από την σχέση γ = Cp = γ.cv Cv Cp=Cv+R γ.cv = Cv+R (γ-).cv=r Cv = R γ γ Εποµένως αφού Cp = γ.cv θα είναι Cp = R γ Άρα U = γ ( n.r. Τ) = γ ( - ) τελ τελ αρχ αρχ Για την ισοβαρή µεταβολή θα ισχύει τότε γ Q = n.cρ. Τ= ( n.r. Τ) Q = γ. U γ U = n.cv. Τ = ( n.r. Τ) U = W γ γ γ W = n.r. Τ Q = W γ Πολλές φορές σε ασκήσεις δεν δίνονται ο αριθµός των molle και οι θερµοκρασίες, σε αυτές τις περιπτώσεις µας συµφέρει το γινόµενο n. Τ να το αντικαθιστούµε µε R ( - ), αφού n. Τ = n.(τ τελ τελ αρχ αρχ τελ Τ αρχ ) = n.τ τελ nτ αρχ = ( n. R Ττελ n R Τ αρχ ) = ( - ) τελ τελ αρχ αρχ R R - 3

14 Αδιαβατική µεταβολή Στη µεταβολή αυτή το αέριο από µια αρχική κατάσταση (,,T ) πηγαίνει σε µια κατάσταση (,,T ) έτσι ώστε το αέριο να µην ανταλλάσσει θερµότητα µε το περιβάλλον ηλαδή Q = 0 Ένα τέτοιο σύστηµα θα χαρακτηρίζεται σαν θερµικά µονωµένο ή απλά µονωµένο αν τα τοιχώµατα του δοχείου δεν επιτρέπουν την ανταλλαγή θερµότητας του αερίου µε το περιβάλλον Αποδεικνύεται ότι σε µια αδιαβατική µεταβολή ισχύει Όπου γ η σταθερά του oison. γ = σταθερό ηλαδή µπορούµε να γράψουµε τις σχέσεις. γ =. γ επίσης από την καταστατική εξίσωση έχουµε. =. Τ Τ ιαιρώντας κατά µέλη τις δύο σχέσεις προκύπτει Τ. γ- = Τ. γ- Από τον ο νόµο της θερµοδυναµικής έχουµε Q = 0 άρα W + U = 0 W = - U = - γ ( n.r. Τ) = - γ ( - ) τελ τελ αρχ αρχ Σε µια αδιαβατική εκτόνωση το έργο είναι θετικό άρα U < 0 Συνεπώς το αέριο ψύχεται εποµένως οι αδιαβατικές καµπύλες θα είναι ποιο απότοµες από τις ισόθερµες αφού σε µια αδιαβατική εκτόνωση η καµπύλη θα τέµνει συνεχώς ισόθερµες µικρότερης θερµοκρασίας - 4

15 H παραπάνω γραφική παράσταση παριστάνει µια αδιαβατική αντιστρεπτή εκτόνωση Κυκλική µεταβολή Είναι η µεταβολή κατά την οποία το αέριο ξεκινά από µια κατάσταση και µετά από µια διεργασία επιστρέφει στην ίδια κατάσταση Σε µια κυκλική µεταβολή θα είναι U = 0 αφού το αέριο ξεκινά και καταλήγει στην ίδια κατάσταση Το έργο σε µια κυκλική µεταβολή είναι το αλγεβρικό άθροισµα όλων των έργων το οποίο εύκολα αποδεικνύεται ότι ισούται µε το εµβαδόν που περικλείει η κλειστή γραµµή που περιγράφει την µεταβολή σε άξονες - Από τον ο νόµο της θερµοδυναµικής θα είναι Q =W ηλαδή η θερµότητα που απορροφά ή αποδίδει ένα αέριο στην κυκλική µεταβολή ισούται µε το έργο που παράγει ή δαπανά - 5

16 Παρατηρήσεις Σε µια ισόθερµη µεταβολή η πίεση σε συνάρτηση µε τον όγκο παριστάνεται γραφικά µε µια υπερβολή σε άξονες - () () Έτσι για τις ισόθερµες () και () στο παραπάνω σχήµα θα ισχύει = n RT και = n RT Άρα θα πρέπει n RT > n RT n T > n T Σε µια ισόχωρη µεταβολή ισχύει = nrt = T ηλαδή η γραφική της παράσταση σε άξονες -T θα είναι µια ευθεία γραµµή που προεκτεινόµενη θα περνά από την αρχή των αξόνων nr () () T Έτσι αν στο παραπάνω γράφηµα η () παριστάνει την ισόχωρη και η () την nr T = θα είναι µεγαλύτερη από της () nr > nr n > nr = T n αφού η κλίση της () είναι - 6

17 Συνεπώς αν έχουµε την ίδια ποσότητα αερίου δηλαδή n = n θα είναι < Eνω αν = θα είναι n > n Σε µια ισοβαρή µεταβολή ισχύει = nrt = T ηλαδή η γραφική της παράσταση σε άξονες -T θα είναι µια ευθεία γραµµή που προεκτεινόµενη θα περνά από την αρχή των αξόνων () () nr T Έτσι αν στο παραπάνω γράφηµα η () παριστάνει την ισόχωρη και η () την nr T = θα είναι µεγαλύτερη από της () nr > nr nr = T αφού η κλίση της () είναι Συνεπώς αν έχουµε την ίδια ποσότητα αερίου δηλαδή n = n θα είναι < Eνω αν = θα είναι n > n Αν θεωρήσουµε ότι U = 3 nr Τ τότε θα είναι Cv = 3 R αφού είναι U = n.cv. Τ Επίσης θα είναι Cρ = 5 R Αφού Cρ = Cv + R και γ = 3 5-7

18 Θερµικές Μηχανές Είναι διατάξεις οι οποίες µετατρέπουν την θερµότητα σε µηχανικό έργο Η θερµική µηχανή είναι µια διάταξη η οποία υποβάλει ένα <<µέσον>> σε µια µεταβολή Άρα επειδή η µηχανή µετατρέπει την θερµότητα σε έργο θα πρέπει η µεταβολή στην οποία υποβάλλεται το µέσον να είναι κυκλική Κατά την διάρκεια της κυκλικής µεταβολής του µέσου η µηχανή α) Απορροφά µια ποσότητα θερµότητας Q h από µια θερµή δεξαµενή θερµοκρασίας T h β) Παράγει έργο W γ) αποβάλει µια ποσότητα θερµότητας Q c σε µια ψυχρότερη δεξαµενή θερµοκρασίας T c εξαµενές θερµότητας ονοµάζουµε τα σώµατα των οποίων η θερµοκρασία δεν µεταβάλλεται ακόµα και αν απορροφούν ή αποβάλουν θερµότητα π.χ Η θάλασσα, το περιβάλλον κλπ Συντελεστή απόδοσης (e) µιας θερµικής µηχανής ονοµάζεται το πηλίκο του ωφέλιµου έργου W που παράγει προς το ποσό της θερµότητας Q h που απορρόφησε από την θερµή δεξαµενή e =W/Q h Σχηµατικά µια θερµική µηχανή µπορεί να παρασταθεί όπως στο παρακάτω σχήµα Για το υπολογισµό της απόδοσης ενός κύκλου σε ασκήσεις αρκεί να υπολογίσουµε το ποσό της θερµότητας που εκλύεται ή απορροφάται σε κάθε µεταβολή και στη συνέχεια να υπολογίσουµε το συνολικό έργο από την σχέση W=ΣQ - 8

19 Και το ποσό θερµότητας που απορροφά το αέριο από την σχέση Q h = ΣQ (+) όπου Q (+) τα θετικά ποσά θερµότητας που υπολογίσαµε µια και όταν είναι Q>0 σηµαίνει ότι το αέριο απορροφά θερµότητα Οπότε θα είναι e = W/Q h e = ΣQ / ΣQ (+) Ο Κ Υ Κ Λ Ο Σ Τ Ο Υ C a r n o t Ένας σπουδαίος αντιστρεπτός κύκλος είναι ο κύκλος του Carnot ο οποίος προτάθηκε από τον Sadi Carnot το 84. Ο κύκλος αυτός καθορίζει το όριο της ικανότητας µας να µετατρέπουµε την θερµότητα σε έργο εν µπορεί να υπάρξει θερµική µηχανή που να έχει µεγαλύτερη απόδοση από µια µηχανή Carnot η οποία να λειτουργεί ανάµεσα στις ίδιες θερµοκρασίες Το σύστηµα αποτελείται από µια ουσία εργασίας όπως ένα ιδανικό αέριο και ο κύκλος αποτελείται από δύο ισόθερµες και δύο αδιαβατικές αντιστρεπτές µεταβολές Ο κύκλος δείχνεται στο διάγραµµα - του παρακάτω σχήµατος αποτελείται όπως φαίνεται από 4 φάσεις Φάση Το αέριο είναι σε µια αρχική κατάσταση ισορροπίας Α : T h από όπου επιτρέπουµε στο αέριο να εκτονωθεί ισόθερµα µέχρι την κατάσταση Β : T h στη διάρκεια αυτής της µεταβολής το αέριο απορροφά ποσότητα θερµότητας Q h από την θερµή δεξαµενή Ενώ συγχρόνως παράγει έργο W =Q h - 9

20 Φάση Το αέριο από την κατάσταση Β : T h του επιτρέπουµε να εκτονωθεί αδιαβατικά µέχρι την κατάσταση Γ : 3 3 T C στη διάρκεια αυτής της µεταβολής το αέριο δεν ανταλλάσσει θερµότητα µε το περιβάλλον παράγει όµως έργο W ενώ συγχρόνως µειώνει την θερµοκρασία σε T C Φάση 3 Το αέριο από την κατάσταση Γ : 3 3 T C συµπιέζεται ισόθερµα µέχρι την κατάσταση : 4 4 T C στη διάρκεια αυτής της µεταβολής το αέριο αποβάλει ποσότητα θερµότητας Q C στην ψυχρή δεξαµενή Ενώ συγχρόνως παράγεται έργο πάνω στο αέριο W = Q C Φάση 4 Το αέριο από την κατάσταση : 4 4 T C συµπιέζεται αδιαβατικά µέχρι την κατάσταση Α : T h στη διάρκεια αυτής της µεταβολής το αέριο δεν ανταλλάσσει θερµότητα µε το περιβάλλον παράγεται όµως έργο W 4 πάνω στο αέριο το οποίο αυξάνει την θερµοκρασία του σε T h Η απόδοση του κύκλου δίνεται από την σχέση e = Άρα W = Q h Q c W Q h είναι όµως e = W e = Q h Q Qc h Q h e = - Qc Q h () είναι όµως Q h = nrt h.ln Άρα Q C = nrt C.Ln 4 3 Q C = - nrt C.Ln 3 4 Qc Q h = 3 nrtc Ln 4 nrth Ln Qc Q h = 3 TC Ln 4 Th Ln () Από τους νόµους των αερίων για τις µεταβολές που λαµβάνουν χώρα στον κύκλο του Carnot έχουµε Ισόθερµη εκτόνωση = Αδιαβατική εκτόνωση. γ = 3. 3 γ Ισόθερµη συµπίεση 3 3 = 4 4 Αδιαβατική συµπίεση 4. 4 γ =. γ - 0

21 Πολλαπλασιάζουµε κατά µέλη. γ γ =. γ γ γ 3 4 γ = γ 4 3 γ γ- 4 γ- = γ- 3 γ- ( 4 ) γ - = ( 3 ) γ 4 = 3 Οπότε η () λόγω των () και (3) µας δίνει = 3 4 (3) e = - Tc T h Ο κύκλος του Carnot -

22 Μονάδες µέτρησης Πίεση ( ) στο S.I είναι το N /m Πολλές φορές σαν µονάδα για την πίεση δίνεται η atm = 76 cm Hg =760 mm Hg Η σχέση µεταξύ atm και N /m πρέπει να δίνεται προκειµένου να κάνουµε µετατροπή ( η atm είναι περίπου 0 5 N /m ) Όγκος ( ) στο S.I είναι το m 3 Πολλές φορές σαν µονάδα δίνεται το Lt ( m 3 = 000 Lt ) ή το ml;(cc,cm 3 ) ( Lt =000 ml) Θερµοκρασία ( Τ ) στο S.I είναι οι βαθµοί ο Κ Επίσης πρέπει να θυµόµαστε ότι Τ = θ + 73 όπου θ η θερµοκρασία σε ο C Η σταθερά R θα δίνεται συνήθως σε lt. atm mole. K ή joule mole. K Ανάλογα µε τις µονάδες που θα χρησιµοποιούµε για τα & θα επιλέγουµε την -

23 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ Καταστατική εξίσωση των αερίων. = n.r.t. = m/m R.T.M = m/.r.t.m = p.r.t υ = p. 3 3 KT= mυ. = 3RΤ 3 3 υ U = n.r.t ή U = nr Τ M U = 3. U = 3 ( - ) τελ τελ αρχ αρχ Οι παραπάνω σχέσεις για το U ισχύουν µόνο για µονατοµικά αέρια στη γενική περίπτωση είναι 3 U = n.cv. Τ ( στα µονατοµικά αέρια ισχύει Cv = R ) Έργο κατά την εκτόνωση αερίου W = Σ (. ) = Αριθµητικά µε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της πίεσης σε διάγραµµα - και τον άξονα των όγκων Το έργο είναι θετικό αν το αέριο εκτονώνεται και αρνητικό αν συµπιέζεται Πρώτος νόμος της θερμοδυναμικής Q = W+ΔU Q > 0 To αέριο απορροφά θερµότητα Q < 0 To αέριο αποβάλει θερµότητα ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Η κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας µπορεί να παρασταθεί γραφικά µε ένα σηµείο σε σύστηµα συντεταγµένων µε άξονες δύο ανεξάρτητες θερµοδυναµικές µεταβλητές µια αντιστρεπτή µεταβολή µπορεί να παρασταθεί σαν µια συνεχής γραµµή σε σύστηµα συντεταγµένων µε άξονες δύο ανεξάρτητες θερµοδυναµικές µεταβλητές Οι µη αντιστρεπτές µεταβολές δεν µπορούν να παρασταθούν γραφικά - 3

24 Όταν θα λέµε Εκτόνωση εννοούµε την αύξηση του όγκου του αερίου Συµπίεση εννοούµε την µείωση του όγκου του αερίου Θέρµανση εννοούµε την αύξηση της θερµοκρασίας του αερίου Ψύξη εννοούµε την µείωση της θερµοκρασίας του αερίου Μεταβολές αερίων Ισόθερµη µεταβολή = nrt =σταθερό ή = Ισόχωρη µεταβολή U = 0 Q = W = n.r.t. ln =.. ln nr = = σταθερό =, nr = T T T T W = 0 Q = U = n.cv. Τ για µονατοµικά αέρια Cv = 3/ R ηλ. Q = U = 3/n. R. Τ Ισοβαρή µεταβολή nr = = σταθερό T T =, nr = T T W =.( ) =. -. = nrt nrt = n.r. Τ ή W =. U = n.cv. Τ Q / U = γ Q = γ. U Q =W + U = n.r. Τ + n.cv. Τ = n. (Cv +R). Τ Q = n.cρ. Τ Cρ= Cv +R Αδιαβατική µεταβολή. γ = σταθερό ή. γ =. γ επίσης από την καταστατική εξίσωση έχουμε. =. Τ Τ ιαιρώντας κατά µέλη τις δύο σχέσεις προκύπτει Τ. γ- = Τ. γ- Από τον ο νόµο της θερµοδυναµικής έχουµε Q = 0 άρα W + U = 0 W = - U = - n.cv. Τ Cρ/ Cv = γ Cρ = γ. Cv Cv + R = γ. Cv W = - ( n.r. Τ) = γ Cv = R γ γ ( - τελ τελ αρχ ) Σε µια αδιαβατική εκτόνωση το έργο είναι θετικό άρα U < 0 Συνεπώς το αέριο ψύχεται εποµένως οι αδιαβατικές καµπύλες θα είναι ποιο απότοµες από τις ισόθερµες αφού σε µια αδιαβατική εκτόνωση η καµπύλη θα τέµνει συνεχώς ισόθερµες µικρότερης θερµοκρασίας αρχ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ - 4

25 . Πως απεικονίζεται η καταστατική εξίσωση ενός ιδανικού αερίου σε άξονες. T ( Τι παριστάνει η κλίση της ευθείας ). Σε ποια θερµοκρασία τα µόρια του Η έχουν i) Tην ίδια µέση κινητική ενέργεια µε αυτήν που έχουν τα µόρια του Ο στους 400 ο Κ, και ii) Tην ίδια ενεργό ταχύτητα ίνονται ΜΗ = gr, MO = 3 gr 3. Στο δωµάτιο µας υπάρχουν κυρίως µόρια Ο και Ν ποια από αυτά έχουν την µεγαλύτερη µέση κινητική ενέργεια και ποια την µεγαλύτερη ενεργό ταχύτητα ικαιολογήστε ίνονται ΜN = 8 gr, MO = 3 gr 4. Για µια ποσότητα ιδανικού αερίου σε θερµοκρασία Τ= 300 Κ και πίεση = Ν/m η πυκνότητα του είναι ρ = 0,3 Κgr/m 3. Να βρείτε την ενεργό ταχύτητα των µορίων του αερίου σε θερµοκρασία Τ =00 Κ 5. Για µια ποσότητα ιδανικού αερίου σε θερµοκρασία Τ= 400 Κ και πίεση =8,3.0 5 Ν/m η πυκνότητα είναι ρ = Κgr/m 3. Να βρείτε µοριακό βάρος του αερίου δίνεται R = 8,3 J/mole.K [ Απ Μ.Β = 4 ]. = n.r.t,.m =p.r.t Χ ρ ή σ ι µ ε ς σ χ έ σ ε ι ς p. υ =, 3 3 mυ KT =., υ = 3RΤ M Αν έχουµε το ίδιο αέριο σε δύο διαφορετικές θερµοκρασίες θα ισχύει υ υ εν εν = Τ Τ - 5

26 6. Τι είδους μεταβολή έχουμε σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις τα έμβολα στα σήματα ( α ) και ( γ ) έχουν μάζα m και μπορούν να κινούνται χωρίς τριβές ( α) ( β) ( γ ) 7. Το δοχείο στο παρακάτω σχήµα περιέχει ιδανικό αέριο και κλείνεται µε έµβολο χωρίς τριβές ποια είναι η πίεση του αερίου µέσα στο δοχείο, σε κάθε περίπτωση αν γνωρίζουµε ότι η εξωτερική πίεση είναι εξ = At = 0 5 N/m, το βάρος του εµβόλου είναι Β = 00 Ν και η διατοµή του εµβόλου είναι Α = 0 cm 3 4 θ=30 ο (α) (β) (γ) (δ) Υπόδειξη θα πρέπει η συνολική δύναµη που δέχεται το έµβολο να είναι ίση µε το µηδέν έτσι για το (α) δοχείο θα έχουµε F εξ +m.g = F εξ.a + m.g =.A = εξ + m.g /Α οµοίως εργαζόµαστε και στις υπόλοιπες περιπτώσεις F εξ F m.g - 6

27 8. Για µια ποσότητα ιδανικού αερίου γνωρίζουµε την πίεση =8,3.0 5 Ν/m και ότι σε κάθε cm 3 υπάρχουν.0-4.ν Α µόρια Να βρείτε την θερµοκρασία του αερίου δίνεται R = 8,3 J/mole.K και ότι Ν Α ο αριθµός του Avogandro [Aπ Τ = 500 Κ ] 9. Τα δοχεία στο παρακάτω σχήµα περιέχουν ιδανικό αέριο. Αν τα δύο δοχεία συγκοινωνούν µεταξύ των µε µικρό σωλήνα αµελητέου όγκου και µπορούµε να µεταβάλουµε τις θερµοκρασίες των δύο δoχείων να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα T T n n At 300 o K 300 o K 6 mol At 500 o K 600 o K 300 o K 400 o K mol Υπόδειξη α. Αφού τα δοχεία συγκοινωνούν θα είναι = β. Από την καταστατική εξίσωση θα έχουµε. = n.r.t n =. / R.T γ. Ο συνολικός αριθµός των mole θα είναι πάντα ό ίδιος - 7

28 0. Τι µεταβολή παθαίνει η ενεργός ταχύτητα των µορίων ενός ιδανικού αερίου στις παρακάτω µεταβολές i. Ισόθερμη εκτόνωση μέχρι διπλασιασμού του όγκου ii. Ισόθερμη συμπίεση μέχρι υποδιπλασιασμού του όγκου iii. Ισόχωρη θέρμανση μέχρι τετραπλασιασμού της θερμοκρασίας iv. Ισοβαρής συμπίεση μέχρι υποενιαπλασιασμού του όγκου v. Αδιαβατική εκτόνωση μέχρι οκταπλασισμού του όγκου ( γ = 5/3 ). Κλειστό δοχείο όγκου = 300 Lt περιέχει ιδανικό αέριο και χωρίζεται σε δύο διαµερίσµατα µε έµβολο µάζας m = 8,3 Kg.Αν το έµβολο µπορεί να κινείται χωρίς τριβές και η θερµοκρασία των δύο διαµερισµάτων µπορεί να αλλάζει τότε να υπολογίσετε τις πιέσεις,, και τους όγκους, σε κάθε περίπτωση ίνονται Τ = 000 o K,Τ = 500 o K, n =, n = 4,και το εµβαδόν της διατοµής του εµβόλου Α=0,00 m Οι σταθερές R = 8,3 J/mol. K και g = 0 m/s (α) (β) [ Απ (α) = = 50 Lt = = 0800 N/m (β) = 00 Lt, = 00 Lt =6, N/m και =8, N/m ] Υπόδειξη Ισχύει. = n.r.t = n.r.t / οµοίως = n.r.t / Για την (α) περίπτωση ισχύει = n.r.t / = n.r.t / () Για την (β) περίπτωση ισχύει + m.g/a = n.r.t / + m.g/a = n.r.t / () Επίσης είναι + = (3) και για τις δύο περιπτώσεις Λύνοντας τα συστήµατα των () και (3) για την (α) περίπτωση Και () και (3) για την (β) υπολογίζουµε τα, Στη συνέχεια από την καταστατική εξίσωση υπολογίζουµε τις πιέσεις - 8

29 . Ένα αέριο βρίσκεται στην κατάσταση ( 0, 0, T 0 ) και εκτονώνεται αντιστρεπτά και ισόθερµα µέχρι διπλασιασµού του όγκου του Να παρασταθεί η παραπάνω μεταβολή σε άξονες -, T, T, p, p T, U, - U 3. gr H και gr N εκτονώνονται στους 300 ο Κ ποια από τις παρακάτω ισόθερµες αντιστοιχεί σε κάθε µια από τις µεταβολές και γιατί ; ΜΗ = gr, MN = 8 gr () () Υπόδειξη για τις ισόθερμες () και () στο παραπάνω σχήμα θα ισχύει = n RT και = n RT 4. Σε ποια θερµοκρασία πρέπει να εκτονώσουµε 8 gr O ώστε η ισόθερµη να συµπίπτει µε την ισόθερµη που αντιστοιχεί σε εκτόνωση gr H σε θερµοκρασία 00 ο Κ ίνονται ΜH = gr και ΜΟ = 3 gr [ Απ 800 ο Κ ] Υπόδειξη ότι και στην προηγούµενη ερώτηση 5. Ιδανικό αέριο βρίσκεται στην κατάσταση ( 0, 0, T 0 ) και ψύχεται αντιστρεπτά και ισόχωρα µέχρι υποδιπλασιασµού της θερµοκρασίας του Να παρασταθεί η παραπάνω µεταβολή σε άξονες -, T, T, p, U, - U - 9

30 6. Ποια από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις παριστάνει την ισόχωρη θέρµανση H και ποια την ισόχωρη θέρµανση ίσου όγκου N αλλά διπλάσιου αριθµού mole () () T Υπόδειξη στο παραπάνω γράφηµα η () παριστάνει την ισόχωρη και η () την nr T µεγαλύτερη από της () = θα είναι nr > nr nr = T αφού η κλίση της () είναι 7. Ιδανικό αέριο βρίσκεται στην κατάσταση ( 0, 0, T 0 ) και εκτονώνεται αντιστρεπτά και ισοβαρώς µέχρι διπλασιασµού της θερµοκρασίας του Να παρασταθεί η παραπάνω µεταβολή σε άξονες -, T, T, p, U, U, ρ Τ 8. Ποια από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις παριστάνει την ισοβαρή θέρµανση H και ποια την ισοβαρή θέρµανση ίσης µάζας N στην ίδια Α.Β Ν =4, Η = () () Υπόδειξη T - 30

31 στο παραπάνω γράφηµα η () παριστάνει την ισοβαρή nr > nr αφού η κλίση της () είναι µεγαλύτερη από της () nr nr = T και η () την T = θα είναι 9. Μια αδιαβατική µεταβολή µια ισόχωρη και µια ισοβαρής της ίδιας ποσότητας αερίου γίνονται µεταξύ των ίδιων ισόθερµων Σε ποια περίπτωση η εσωτερική ενέργεια µεταβάλλεται περισσότερο ; 0. Ένα αέριο µάζας m, όγκου o και πίεσης o συµπιέζεται σε όγκο o/ α) ισόθερµα και β) αδιαβατικά Να συγκρίνεται την ενέργεια που προσφέρθηκε µέσω µηχανικού έργου στο αέριο κατά τις παραπάνω µεταβολές. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται στην κατάσταση (,,T ) Το αέριο εκτονώνεται µέχρι ο όγκος του να γίνει κατά δύο τρόπους α) ισόθερµα και β) ισοβαρώς Να συγκριθούν οι θερµότητες που πρέπει να προσφέρουµε στο αέριο σε κάθε περίπτωση. Στο σχήµα παριστάνονται τρεις διαφορετικοί τρόποι µε τους οποίους ένα αέριο πηγαίνει από µια κατάσταση A σε µία κατάσταση B () () A (3) B Να συγκριθούν τα Q, W, U Υπόδειξη για τις ερωτήσεις 9,0,, για τον υπολογισµό της µεταβολής της εσωτερικής ενέργειας θα χρησιµοποιούµαι την σχέση για όλες τις µεταβολές U = n.cv. Τ Σε µια αντιστρεπτή µεταβολή το έργο ισούται αριθµητικά µε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της πίεσης µε τον όγκο και τον άξονα των όγκων Να ληφθεί υπόψη και ο ος νόµος της θερµοδυναµικής - 3

32 3. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας Cv Cρ 7/R 3/ R 4 R γ,4 4. Είναι δυνατό χωρίς να αποβάλει θερµότητα ένα αέριο να µειώσει την θερµοκρασία του ; ικαιολογήστε 5. Είναι δυνατό χωρίς να προσφέρουµε θερµότητα σε ένα αέριο να αυξήσουµε την θερµοκρασία του ; ικαιολογήστε 6. Είναι δυνατό να προσφέρουµε ή να πάρουµε θερµότητα από ένα αέριο χωρίς να µεταβάλλουµε την θερµοκρασία του ; ικαιολογήστε 7. Να παραστήσετε µια αντιστρεπτή µεταβολή µιας ποσότητας αερίου σε άξονες - όταν η εσωτερική του ενέργεια παραµένει σταθερή 8. Ένα αέριο συµπιέζεται ισόθερµα από µια αρχική πίεση 0 αtm σε µια τελική πίεση 60 atm σε θερµοκρασία 7 C. Αν ο αριθµός των mol του αερίου είναι 3 να βρείτε α) Την ενέργεια που προσφέρθηκε στο αέριο β) Την θερµότητα που αφαιρέθηκε από το αέριο και γ) Την µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου ίνεται R = 8,34 joule/mol.k - 3

33 9. Ένα αέριο βρίσκεται σε κατάσταση ο, ο, Tο και συµπιέζεται αδιαβατικά µέχρι υποοκταπλασιασµού του όγκου. ίνεται γ = 5/3 Ποια µεταβολή θα πάθουν τα µεγέθη Εσωτερική ενέργεια του αερίου, Μέση κινητική ενέργεια του ενός µορίου, Ενεργός ταχύτητα των µορίων του αερίου, Πίεση του αερίου, Πυκνότητα του αερίου 30. Στο παρακάτω σχήµα δίνεται µια κυκλική µεταβολή ενός αερίου Αν κλ ισοβαρής, λµ αδιαβατική, µν ισόθερµη και νκ ισόχωρη Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα µε τα σύµβολα +, -, 0 Μεταβολή Q W U Τ Κλ λµ µν νκ - 33

34 3. Σε ποιες από τις παρακάτω µεταβολές το αέριο Α. Ψύχεται Β. Θερµαίνεται Γ. Αποβάλει θερµότητα. Απορροφά θερµότητα Ε. Κάνει έργο ή ( δίνει ενέργεια στο περιβάλλον ) Ζ. του προσφέρεται ενέργεια µέσω µηχανικού έργου Η. Αυξάνει την εσωτερική του ενέργεια Θ. Μειώνεται η ενεργός ταχύτητα των µορίων του Ι. Αυξάνεται η πυκνότητα του Κ. Μειώνεται η πυκνότητα του Λ. Μειώνεται η πίεση του Μ. Αυξάνει ο όγκος του Ν. Αυξάνει η µέση κινητική ενέργεια των µορίων του Βάλτε ένα Χ στην κατάλληλη θέση Μεταβολή αερίου Α Β Γ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ισόθερµη εκτόνωση Ισόθερµη συµπίεση Ισόχωρη θέρµανση Ισοβαρής εκτόνωση Αδιαβατική συµπίεση Ισόχωρη Ψύξη Ισοβαρής συµπίεση Αδιαβατική Ψύξη - 34

35 3. Αν Q h το ποσό της θερµότητας που απορροφά ένα αέριο από την θερµή δεξαµενή θερµοκρασίας Τ h,σε ένα κύκλο Carnot Q c το ποσό της θερµότητας που αποβάλει στην ψυχρή δεξαµενή θερµοκρασίας Τ c, W το ωφέλιµο έργο και e η απόδοση της µηχανής Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα που αναφέρετε σε τρεις διαφορετικές θερµικές µηχανές που λειτουργούν σαν κύκλος Carnot Q h Q c W e Τ h Τ c η θερ. Μηχ. 300 J ο Κ η θερ. Μηχ 50 J 00 J 300 ο Κ 3 η θερ. Μηχ. 00 J 700 ο Κ 350 ο Κ 33. Να δειχθεί ότι σε µια ισοβαρή µεταβολή ισχύει α) Q = γ. U β) U = Cv / R. W 34. Aν γνωρίζουµε ότι W AB = 50 J, και γ =5/3 Να υπολογιστούν τα Q,W, U σε κάθε µεταβολή και στη συνέχεια να υπολογιστεί η απόδοση του κύκλου Επίσης να παρασταθεί γραφικά η παραπάνω µεταβολή σε άξονες -T και-t - 35

36 35. Να ονοµάσετε τις µεταβολές που απεικονίζονται στο παρακάτω διάγραµµα - και να συµπληρώσετε τα ποσά της ενέργειας στον πίνακα του σχήµατος δίνεται γ= 5 / 3 Μεταβολή Q/J W/J U/J ΑΒ +0 ΒΓ +300 Γ -50 Α Αδιαβατική ΑΒΓ Α Και στη συνέχεια να υπολογίσετε την απόδοση του κύκλου 36. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται στην κατάσταση A = Ν/m A =. 0-3 m 3, T A = 00 K. Το αέριο παθαίνει τις παρακάτω διαδοχικές µεταβολές : ΑΒ ισοβαρής εκτόνωση µέχρι ο όγκος να γίνει Β = m 3 ΒΓ ισόθερµη εκτόνωση µέχρι ο όγκος να γίνει Γ = m 3 Γ ισόχωρη ψύξη µέχρι η πίεση να γίνει = 0 5 Ν/m Ε ισόθερµη συµπίεση µέχρι ο όγκος να γίνει Ε =. 0-3 m 3 Να αποδείξετε ότι η µεταβολή είναι κυκλική και να την σχεδιάσετε σε άξονες -, -T, και -T Να υπολογίσετε και την απόδοση του κύκλου Cv = 3 / R - 36

37 37. Ποσότητα ιδανικού αερίου εκτελεί τις µεταβολές που φαίνονται στο σχήµα ίνονται α) Για την µεταβολή ΑCB ότι Q ACB = 00 J και W ACB = 40 J β) Για την µεταβολή ΑDB ότι W ADB = 0 J γ) Για την µεταβολή BΑ ότι W BA = -30 J Να βρείτε τα Q ADB και Q BA 38. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται στην κατάσταση A = Ν/m A =. 0-3 m 3, T A = 00 K. Το αέριο παθαίνει τις παρακάτω διαδοχικές µεταβολές : α) µια ισοβαρή εκτόνωση µέχρι η θερµοκρασία να γίνει T Β = 600 K β) µια ισόθερµη εκτόνωση µέχρι η πίεση να γίνει Γ =.0 5 Ν/m γ) µια ισοβαρή συµπίεση µέχρι η θερµοκρασία να γίνει T = 00 K δ) µια ισόθερµη συµπίεση µέχρι η πίεση να γίνει Α να παραστήσετε την µεταβολή σε διάγραµµα -, -T, και -T και να υπολογίσετε το ολικό έργο και την απόδοση του κύκλου ίνεται γ = 5 / Μια ποσότητα ιδανικού αερίου παθαίνει την κυκλική µεταβολή του σχήµατος Αν W ΓA = -00 J να βρείτε τα W BΓ και Q AΒ ίνεται γ = 5 / 3-37

38 40. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου εκτελεί την κυκλική µεταβολή του σχήµατος αν A = Ν/m, A =.m 3, T A = 00 K, T Β = 300 K Να βρείτε τα Q, W, U σε κάθε µεταβολή καθώς και την απόδοση του κύκλου ίνεται γ = 5 / 3 [Απ Q AB = U ΑΒ = J, W ΑΒ = 0, U ΒΓ = 0, Q ΒΓ =W ΑΒ =. 0 5 (In3 Ln)J W ΓΑ = J, U ΓΑ = J, Q ΓΑ = J ] 4. Οι µεταβολές ΑΒ και Γ είναι ισοβαρείς και οι µεταβολές ΒΓ και Α ισόθερµες Αν U ΑΒ = 300 J, Q AB = 500 J, Q BΓ = 500 J, Q Α = - 00 J να βρείτε τα W Γ και W ολ. [ Απ W Γ = - 00 J, W ολ. = 400 J ] 4. Οι µεταβολές ΑΒ και Γ είναι ισόχωρες και η ΒΓ ισοβαρής Αν Q AB = 70 J, Q Γ = -00 J, και γ = 5 / 3 να βρείτε τα Q ΒΓ και W ΒΓ. - 38

39 43. Τα δύο δοχεία στο παρακάτω σχήµα έχουν αδιαβατικά τοιχώµατα και επικοινωνούν µε αδιαβατικά σωλήνα αµελητέου όγκου Αρχικά η στρόφηγκα είναι κλειστή, και στο πρώτο δοχείο το αέριο βρίσκεται σε πίεση, όγκο και θερµοκρασία T, Ενώ στο δεύτερο βρίσκεται σε πίεση, όγκο και θερµοκρασία T. Αν ανοίξουµε την στρόφηγκα να βρεθεί η τελική πίεση και θερµοκρασία των δύο δοχείων 44. Ιδανικό αέριο που βρίσκεται στην κατάσταση Α (, ) εκτονώνεται αντιστρεπτά µέχρι διπλασιασµού του όγκου του οπότε έρχεται σε µια κατάσταση Β σε όλη την διάρκεια της παραπάνω µεταβολής η σχέση πίεσης όγκου είναι της µορφής = κ. όπου κ µια σταθερά µε κ>0. Στην συνέχεια το αέριο εκτονώνεται αδιαβατικά µέχρι την κατάσταση Γ από όπου µε µια ισόθερµη συµπίεση επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση Α. Αν γ = 5/3 να υπολογιστεί η απόδοση της κυκλικής µεταβολής ίνεται ln = 0,7 [ Απ 8/5] 45. Το αραιό αέριο µιας θερµικής µηχανής παθαίνει την κυκλική αντιστρεπτή µεταβολή που φαίνεται στο διάγραµµα του σχήµατος, Αν γνωρίζουµε ότι U ΑΒ = 300 J και U Α = 50 J α) Να βρεθεί η απόδοση της µηχανής και β) Να βρεθεί η ωφέλιµη µηχανική ισχύ που αποδίδει η µηχανή όταν λειτουργεί µε συχνότητα f = 0 c/s ίνεται atm = 0 5 N/m [Aπ: e =8,%, = 000W ] (at) A B Γ (Lt) - 39

40 46. Ορισµένη ποσότητα ιδανικού αερίου εκτελεί την κυκλική µεταβολή του σχήµατος. Το αέριο κατά την µεταβολή ΑΒ απορροφά θερµότητα Q ΑΒ = 90 J. Να υπολογιστούν : α) το έργο και η µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας σε κάθε τµήµα της µεταβολή, β) το έργο της κυκλικής µεταβολής γ) το Q ΒΓ, ίνονται Cv = 3/ R 4o B o A o Γ 5o 47. Μια θερµική µηχανή εκτελεί τον κύκλο του σχήµατος Η µεταβολή ΒΓ είναι αδιαβατική και γνωρίζουµε ότι γ = 5/3 καθώς και ότι = 8 Να υπολογιστεί ο λόγος / = λ καθώς και συντελεστής απόδοσης της µηχανής [ Aπ λ = 3 e = 58 /93 ] - 40

41 48. Ποσότητα ιδανικού αερίου καταλαµβάνει όγκο A = 0 m 3, σε θερµοκρασία Τ Α = 00 ο Κ και πίεση A = N/m. Το αέριο εκτελεί την κυκλική µεταβολή που αποτελείται από τις πιο κάτω διαδοχικές µεταβολές α) ΑΒ: ισοβαρής εκτόνωση µέχρι Τ Β = 600 ο Κ β) ΒΓ: αδιαβατική εκτόνωση µέχρι Τ Γ = 300 ο Κ γ) Γ : ισοβαρής συµπίεση µέχρι Τ = 00 ο Κ δ) Α: ισόθερµη συµπίεση Να βρείτε τα Q, W σε κάθε µεταβολή δίνεται γ = 5/3 [Απ : Q ΑΒ = J, W ΑΒ =.0 7 J, Q ΒΓ = 0, W ΒΓ =,5.0 7 J, Q Γ = -,5.0 7 J W Γ = -0,5.0 7 J, Q Α = W Α = -,5.0 7 ln J] 49. Κύλινδρος µε αδιαβατικά και ανένδοτα τοιχώµατα χωρίζεται σε δύο µέρη Α και Β µε αδιαβατικό έµβολο, που µπορεί να κινείται χωρίς τριβές.ο κύλινδρος βρίσκεται στην οριζόντια θέση.στο κάθε ένα από τα Α και Β υπάρχει n mole ιδανικού αερίου µε όγκο o σε πίεση o και θερµοκρασία Το. Με τη βοήθεια αντίστασης θερµαίνουµε αργά το αέριο που βρίσκεται στο Α µέχρι η πίεση να γίνει 3o Να βρείτε α) Τους τελικούς όγκους Α και Β και τις τελικές θερµοκρασίες Τ Α και Τ Β β) Την ενέργεια που προσφέρθηκε στο αέριο που υπάρχει στο Β γ) Την θερµότητα που απορρόφησε το αέριο στο Α ίνονται : γ = 5 / 3,Το = 300 ο Κ, n=/r mole, Cv = 3 / R. [Απ: Β = o / 8, Α = 5 / 8 o, Τ Α =8000 ο Κ και Τ Β =00 ο Κ W = 700 J Q = J ] 50. Μια µηχανή Carnot εργάζεται µεταξύ των θερµοκρασιών Τ =500 ο Κ και Τ =300 ο Κ (ατµόσφαιρα). Το έργο που παίρνουµε από την µηχανή χρησιµοποιείτε για τη λειτουργία γερανού. Τα 0% του έργου που δίνεται στο γερανό χάνεται µε µορφή θερµότητας στην ατµόσφαιρα. Αν για το σύστηµα µηχανή γερανός, η θερµότητα που δίνεται στην ατµόσφαιρα είναι Q = 7000 J να βρείτε : α) τη θερµότητα Q που απορροφά η µηχανή από τη θερµή δεξαµενή. β) Την απόδοση του συστήµατος µηχανή γερανός [ Απ: Q = 5000 J e = 3% ] - 4

42 5. Το ιδανικό αέριο µιας µηχανής υφίσταται κυκλική µεταβολή η οποία αποτελείται από τις εξής αντιστρεπτές µεταβολές. ) Από µια κατάσταση Α εκτονώνεται ισόθερµα µέχρι την κατάσταση Β. ) Στην συνέχεια ψύχεται ισόχωρα µέχρι την κατάσταση Γ και τέλος 3) Με αδιαβατική µεταβολή επανέρχεται στην αρχική κατάσταση Α. α) Να σχεδιάσετε την παραπάνω κυκλική µεταβολή σε διάγραµµα Ρ- β) Η µηχανή που λειτουργεί µε αυτή την κυκλική µεταβολή, παράγει ή καταναλώνει έργο; ικαιολογήστε την απάντησή σας. Πώς παριστάνεται αυτό το έργο στο διάγραµµα; 5. Μια ποσότητα αερίου πηγαίνει από την κατάσταση Α (Ρ,,T ) στην κατάσταση Β (0,5Ρ,,T ). Η µετάβαση του αερίου από την κατάσταση Α στη Β µπορεί να γίνει µε τους παρακάτω τρόπους: ) Με µια ισόθερµη µεταβολή ) Με µια ισόβαρη και µια ισόχωρη µεταβολή 3) Μια ισόχωρη και µια ισόβαρη µεταβολή 4) Με µια ισόβαρη και µια αδιαβατική µεταβολή. Α) Να παρασταθούν γραφικά οι µεταβολές για όλους τους τρόπους σε άξονες -. Β) Να καταταχθούν οι διάφοροι τρόποι κατά σειρά από αυτόν που αποδίδει περισσότερο έργο προς αυτόν που αποδίδει λιγότερο. Γ) Σε ποια περίπτωση θα δώσουµε λιγότερη θερµότητα στο αέριο; 53. Ιδανικό αέριο βρίσκεται στην κατάσταση Α (Ρ Α, Α,T Α ) και του προσφέρουµε ποσό θερµότητας Q=0 J υπό σταθερό όγκο οπότε µεταβαίνει στην κατάσταση B ( B, A,T B ). Αν στην συνέχεια το αέριο εκτονωθεί αδιαβατικά παράγοντας έργο W=0J να αποδείξετε ότι το αέριο θα επανέλθει στην θερµοκρασία Τ Α. 54. Το αραιό αέριο ενός θερµικού µηχανήµατος από τις τρεις µεταβολές µιας αντιστρεπτής κυκλικής µεταβολής παθαίνει τις εξής δύο ) Εκτονώνεται ισοβαρώς από ένα σηµείο Α της ισόθερµης Τ έως ένα σηµείο Β της ισόθερµης Τ είναι Τ >Τ. ) Εκτονώνεται αδιαβατικά από το σηµείο Β της ισόθερµης Τ µέχρι ένα σηµείο Γ της ισόθερµης Τ. Ζητείται α) Να γίνει γραφική - 4

43 παράσταση των µεταβολών αυτών σε διάγραµµα --. β)να γραφούν οι εξισώσεις που αντιστοιχούν σε κάθε µια από τις µεταβολές αυτές. γ) Να βρεθεί η µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας και η µεταβολή της εντροπίας κατά την αδιαβατική µεταβολή ΒΓ και να γίνει εφαρµογή µε τα εξής δεδοµένα : αριθµός moles αερίου 500, C Ρ =50 j/mol. 0 k, γ=,, Τ =43 0 Κ και Τ =303 0 Κ. 55. Ιδανικό αέριο από την αρχική του κατάσταση,,t εκτονώνεται ισόθερµα µέχρι να τριπλασιαστεί ο όγκος του. Στη συνέχεια το συµπιέζουµε ισοβαρώς προσφέροντας του έργο ίσο µε το µισό του έργου που απέδωσε κατά την ισόθερµη εκτόνωση του. Να προσδιοριστεί ο τελικός όγκος Τ του αερίου σε συνάρτηση µε τον αρχικό όγκο. ίνεται ln3=,. 56. mole ιδανικού αερίου βρίσκονται σε θερµοκρασία 7 0 C και εκτονώνονται ισοβαρώς µέχρι διπλασιασµού του όγκου τους. Για την µεταβολή αυτή ζητούνται: α)το έργο που παρήγαγε το αέριο. β)η τελική θερµοκρασία του αερίου. γ)το ποσό της θερµότητας που προσφέρθηκε στο αέριο. δ)η µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου. ίνονται R=8,34 J/mol 0 K και C Ρ =0,8 J/mol 57.Το ιδανικό αέριο µιας θερµικής µηχανής υφίσταται κυκλική µεταβολή, η οποία αποτελείται από τις εξής επιµέρους αντιστρεπτές µεταβολές. ι) Απο την κατάσταση Α, όπου η πίεση του αερίου είναι Ρ=60 N/m, εκτονώνεται ισοβαρώς µέχρι την κατάσταση Β, στην οποία ο όγκος του είναι Β = 8 m 3. ιι) Ψύχεται ισόχωρα µέχρι την κατάσταση Γ και ιιι) Συµπιέζεται αδιαβατικά µέχρι την κατάσταση Α. Για την αδιαβατική µεταβολή ΓΑ δίνεται Ρ γ = 60 N.m 3, α) Να αποδώσετε σε άξονες Ρ- την παραπάνω κυκλική µεταβολή. β) Να υπολογίσετε το έργο για κάθε µια από τις επιµέρους µεταβολές, καθώς και το ολικό έργο. γ) Να υπολογίσετε τη θερµότητα για κάθε µια από τις επιµέρους µεταβολές. δ) Να υπολογίσετε την απόδοση της µηχανής 58 Ορισµένη ποσότητα ιδανικού αερίου, το οποίο έχει όγκο = 5lt υπό πίεση = N / m, παθαίνει τις εξής αντιστρεπτές µεταβολές : ) Εκτονώνεται ισόθερµα µέχρι διπλασιασµού του όγκου του. ) Συµπιέζεται ισοβαρώς µέχρι να αποκτήσει τον αρχικό του όγκο 3) Θερµαίνεται ισόχωρα µέχρι να αποκτήσει την αρχική του κατάσταση. - 43

44 Η µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου κατά την ισοβαρή συµπίεση είναι U = Joules. Ζητείται : α) Να γίνει η γραφική παράσταση της κυκλικής µεταβολής σε διάγραµµα -. β) Να βρεθεί για καθεµιά από τις τρεις µεταβολές του κύκλου η ενέργεια που ανταλλάσσει το αέριο µε το περιβάλλον µέσω ροής θερµότητας. γ) Να βρεθεί η απόδοση του κύκλου. ίνεται : ln = 0, Ιδανικό αέριο από την αρχική του κατάσταση,,t εκτονώνεται ισόθερµα µέχρι να τριπλασιαστεί ο όγκος του. Στη συνέχεια το συµπιέζουµε ισοβαρώς προσφέροντας του έργο ίσο µε το µισό του έργου που απέδωσε κατά την ισόθερµη εκτόνωση του. Να προσδιοριστεί ο τελικός όγκος τ του αερίου σε συνάρτηση µε τον αρχικό όγκο. ίνεται ln3=, - 44

45 Σύντοµες απαντήσεις και ενδεικτικές λύσεις. Από την καταστατική εξίσωση εύκολα συµπεραίνουµε ότι η γραφική παράσταση είναι ευθεία που αν την προεκτείνουµε περνά από την αρχή των αξόνων Η κλίση της ευθείας παριστά το γινόµενο n.r. ι) Απ 400 ο Κ Αφού όπως φαίνεται από την σχέση 3 KT = mυ. η µέση κινητική ενέργεια των µορίων ενός αερίου εξαρτάται µόνο από την θερµοκρασία του ιι) Για τις ενεργές ταχύτητες των µορίων του Η και Ο ισχύει U ενο 3RΤ =, U ενη M O 3RΤ = U ενο = U ενη M H 3RΤ M O 3RΤ = Τ = 5 ο Κ M H 3. Όλα τα µόρια έχουν την ίδια κινητική ενέργεια ( γιατί; ) Μεγαλύτερη ενεργό ταχύτητα έχουν τα µόρια του αζώτου ( γιατί;) 4. Από την σχέση U εν = 000 m/s υ 3 = p. υπολογίζουµε την ενεργό ταχύτητα των µορίων του αερίου στους 300 ο Κ Στη συνέχεια µπορούµε εύκολα να δείξουµε ότι για τα µόρια του ίδιου αερίου σε δύο διαφορετικές θερµοκρασίες ισχύει υ εν Τ = από όπου υπολογίζουµε την ενεργό ταχύτητα των µορίων στους 00 ο Κ υ Τ U εν = 4000 m/s εν 5. Από την σχέση.m =p.r.t Υπολογίζουµε ότι είναι Μ = Kgr = 4 gr Άρα το ζητούµενο µοριακό βάρος είναι 4 6. α) Ισόθερµη β) Ισόχωρη γ) Ισοβαρής ( γιατί; ) 7. Βλέπε υπόδειξη Απ α),5 0 5 N/m β) 0,5 0 5 N/m γ) 0 5 N/m δ),5 0 5 N/m 8. Από τα δεδοµένα του προβλήµατος γνωρίζουµε ότι σε όγκο = cm 3 = 0-6 m 3 υπάρχουν N =.0-4.Ν Α µόρια ή n =.0-4 mole. Οπότε εύκολα από την καταστατική εξίσωση υπολογίζουµε την θερµοκρασία 9 Για την η γραµµή Αφού τα δοχεία συγκοινωνούν θα είναι = Συνεπώς θα είναι = At Από την καταστατική εξίσωση έχουµε n =. / R.T και n =. / R.T αφού = και Τ = Τ θα είναι και n = n Άρα θα είναι n = 6 mol Για την η γραµµή θα είναι πάλι = =. και αφού ο συνολικός αριθµός των mole θα είναι πάντα ό ίδιος θα ισχύει n + n = () Από την καταστατική εξίσωση έχουµε n =. / R.T και n =. / R.T και αφού = θα είναι n / n = Τ / Τ n / n = 300 / 600 n = n () Από τις (), () προκύπτει n = 4 mol και n = 8 mol - 45

46 Από την καταστατική εξίσωση έχουµε. = n.r.t και. = n.r.t ιαιρούµε κατά µέλη όποτε προκύπτει n. T = 3 = = 4/3 At ' n'. T' ' 4 Παρατήρηση : εύκολα αποδεικνύεται ότι σε κάθε γραµµή ισχύει n.t = n.t ουλεύοντας µε τον ίδιο τρόπο για όλες τις γραµµές παίρνουµε τελικά T T n n At At 300 o K 300 o K 6mol 6mol 4/3At 4/3At 600 o K 300 o K 4mol 8mol 4/9At 4/9At 80 o K 400 o K 0mol mol At At 500 o K 750 o K 7,mol 4,8mol 0. i. Καµιά ii. Καµιά iii. ιπλασιάζεται iv. Υποτριπλασιάζεται v. Υποδιπλασιάζεται. Για το (α) ισχύει. = n.r.t (). = n.r.t () = = και (3) + = (4) n. T = = είναι δηλαδή = και αφού + = 300 Lt ιαιρώντας κατά µέλη τις () και () έχουµε n. T θα είναι = = 50 Lt Στη συνέχεια από την () ή () υπολογίζουµε ότι είναι = = 0800 N/m Για το (β) ισχύει. = n.r.t (). = n.r.t () = + m.g/a και (3) + = (4) H (3) λόγω των () και () γράφεται n. R. T = n. R. T + m.g A από την οποία µε την βοήθεια της (4) προκύπτει ότι είναι = 00 Lt, = 00 Lt Στη συνέχεια από τις σχέσεις () και () προκύπτει ότι είναι =6, N/m και =8, N/m. Για τους άξονες -, T, T οι γραφικές παραστάσεις είναι γνωστές Για τους άξονες U, U είναι αντίστοιχα ίδιες µε τις T, T Για τους άξονες p πρέπει να λάβουµε υπόψη µας την σχέση.m = p.r.t. =. Για τους άξονες p T, R.T M p T - 46

47 3. Αν n τα mole του H και n τα mole του N ισχύει n = / = n = / 8 ηλαδή είναι n > n. Αν λάβουµε υπόψη µας και την υπόδειξη που δίνεται εύκολα συµπεραίνουµε ότι η () καµπύλη αντιστοιχεί στην ισόθερµη του Η και η () του Ν 4. θα πρέπει n.r.t = n.r.t από όπου προκύπτει ότι Τ = 800 ο Κ 6., 8 ες τις υποδείξεις 9 Η µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας είναι η ίδια σε όλες τις περιπτώσεις ( γιατί ; ) 0 Η ενέργεια που προσφέρθηκε µέσω µηχανικού έργου στο αέριο ισούται αριθµητικά µε το εµβαδόν του χωρίου (ΑΒ Ε) για την ισόθερµη και (ΑΓ Ε) για την αδιαβατική συνεπώς περισσότερη ενέργεια πρέπει να προσφέρουµε στην αδιαβατική συµπίεση. Έστω ΑΒ η ισοβαρής εκτόνωση και ΑΓ η ισόθερµη είναι W AB = E (AB E) W ΑΓ = Ε (ΑΓ Ε) εποµένως θα είναι W AB > W ΑΓ () Επίσης εύκολα φαίνεται ότι U ΑΒ > 0 και U ΑΓ = 0 Άρα U ΑΒ > U ΑΓ () Προσθέτουµε κατά µέλη τις () και () Έχουµε W AB + U ΑΒ > W ΑΓ + U ΑΓ ή Q AB > Q ΑΓ. Εύκολα φαίνεται ότι U = U = U 3 και W > W > W 3 Άρα U + W > U + W > U 3 + W 3 ή Q > Q > Q 3 3, 4, 5, 6,7. ες την θεωρία 8 W = n.r.t. ln = n.r.t. ln ( γιατί ;) Άρα θα είναι W = ln3 J Εποµένως στο αέριο προσφέρθηκε ενέργεια 7479 ln3 J ενώ η θερµότητα που αφαιρέθηκε από το αέριο είναι Q = 7479 ln3 J U = 0-47

48 9. Από την σχέση Τ. γ- = Τ. γ- προκύπτει ότι η θερµοκρασία του αερίου θα τετραπλασιαστεί Συνεπώς η εσωτερική ενέργεια του αερίου θα τετραπλασιαστεί, η µέση κινητική ενέργεια του ενός µορίου θα τετραπλασιαστεί, η ενεργός ταχύτητα των µορίων του αερίου θα διπλασιαστεί, Από την σχέση. γ =. γ προκύπτει ότι η πίεση του αερίου θα µειωθεί στο /3 της αρχικής Η πυκνότητα του αερίου αφού ο όγκος υποοκταπλασιάζεται θα οκταπλασιαστεί 30. Μεταβολή Q W U Τ Κλ λµ µν νκ , 3, 33 εύκολες από την θεωρία του βιβλίου και το συµπλήρωµα θεωρίας 34. Αν θεωρήσουµε ότι Α = Εύκολα µε την βοήθεια της γραφικής παράστασης και των σχέσεων που ισχύουν για κάθε µεταβολή προκύπτει Α = Β = Γ = / = /4 Ε = /8 Α = Β =4 Γ =4 =8 Ε = 8 Τ Α = Τ Τ Β = 4Τ Τ Γ = Τ Τ = Τ Τ Ε = Τ Με την βοήθεια του παραπάνω πίνακα µπορούµε εύκολα να παραστήσουµε γραφικά την κυκλική µεταβολή σε άξονες -T και-t Αφού γ =5/3 Εύκολα υπολογίζουµε ότι Cv = 3/ R και Cρ= 5/ R W ΑΒ =. = n.r.(τ Β - Τ Α ) =3 n.r.τ Συνεπώς 3 n.r.τ = 50 J n.r.τ = 50 J Q ΑΒ = n.cρ. Τ = 5/ n..r. Τ = 5/ n.r.τ =375 J, Οµοίως U ΑΒ = n.cv. Τ = 9/ n.r.τ =5 J W ΒΓ = 0 και Q ΒΓ = U ΒΓ = n.cv. Τ = 3/ n.r.(τ 4Τ) = - 3 n.r.τ = -50 J U Γ = 0 και Q Γ = W Γ = n.r.t. ln Γ = 00 ln J W Ε = 0 και Q Ε = U Ε = n.cv. Τ = 3/ n.r.(τ Τ) = - 3/ n.r.τ = -75 J U ΕΑ = 0 και Q ΕΑ = W ΕΑ = n.r.t. ln A E = 50 ln (/8) J = - 50 ln J - 48

49 35. Για την ισοβαρή µεταβολή έχουµε αποδείξει ότι Q = γ. U Μεταβολή Q/J W/J U/J ΑΒ Ισοβαρής ΒΓ Ισόθερµη Γ Ισόχωρη Α Αδιαβατική ΑΒΓ Α Κυκλική e = W/Q h e = ΣQ (+) / ΣQ = 50/500 = 0,5 36. Με την βοήθεια των νόµων των αερίων εύκολα υπολογίζουµε τα παρακάτω, από όπου εύκολα διαπιστώνουµε ότι η µεταβολή του αερίου είναι κυκλική Α = Ν/m Β = Ν/m Γ =.0 5 Ν/m = 0 5 Ν/m Ε = Ν/m Α =.0-3 m 3 Β = m 3 Γ = m 3 = m 3 Ε =.0-3 m 3 Τ Α = 00 K Τ Β = 400 K Τ Γ = 400 K Τ =00 K Τ Ε = 00 K Για το υπολογισµό της απόδοσης του κύκλου αρκεί να υπολογίσουµε το ποσό της θερµότητας που εκλύεται ή απορροφάται σε κάθε µεταβολή και στη συνέχεια να υπολογίσουµε το συνολικό έργο από την σχέση W=ΣQ Και το ποσό θερµότητας που απορροφά το αέριο από την σχέση Q h = ΣQ (+) [ Πολλές φορές σε ασκήσεις µας συµφέρει το γινόµενο n.r. Τ να το αντικαθιστούµε µε τελ τελ αρχ αρχ, αφού n.r. Τ = n.r.(τ τελ Τ αρχ ) = n. R Τ τελ n R Τ αρχ = τελ τελ αρχ αρχ ] Η µεταβολή ΑΒ είναι ισοβαρής άρα Q ΑΒ = n.cρ. Τ = 5/ n..r. Τ = 5/ ( Β Β - Α Α ) = 000 J > 0 Η µεταβολή ΒΓ είναι ισόθερµη άρα Q ΒΓ = n.r.t. ln Γ = Β Β ln Γ = 600 ln J Η µεταβολή Γ είναι ισόχωρη άρα Q Γ = n.cv. Τ = 3/ n..r. Τ = 3/ ( - Γ Γ ) = -00 J B B Η µεταβολή Α είναι ισόθερµη άρα Q Α = n.r.t. ln A = Α Α ln A = ln J Όπως φαίνεται το αέριο απορροφά θερµότητα στις µεταβολές ΑΒ και ΒΓ ενώ αποβάλει στις µεταβολές Γ και Α W ολ = ΣQ = 800 J Q h = ΣQ (+) = ( ln) J = 309 J e = W/Q h = 0, Για την µεταβολή ΑCB ισχύει Q ACB = W ACB + U ΑΒ U ΑΒ = Q ACB - W ACB = 60 J Για την µεταβολή ΑDB έχουµε Q ADB = W ADB + U ΑΒ = 80 J Για την µεταβολή BΑ έχουµε Q BA = W BA + U BA = - 90 J ( U BA = - U ΑΒ =- 60 J - 49

50 38. Με την βοήθεια των νόµων των αερίων εύκολα υπολογίζουµε τα παρακάτω από όπου εύκολα διαπιστώνουµε ότι η µεταβολή του αερίου είναι κυκλική Α = Ν/m Β = Ν/m Γ =.0 5 Ν/m =.0 5 Ν/m Ε = Ν/m Α =.0-3 m 3 Β = m 3 Γ = m 3 = m 3 Ε =.0-3 m 3 Τ Α = 00 K Τ Β = 600 K Τ Γ = 600 K Τ =00 K Τ Ε = 00 K Στη συνέχεια εργαζόµαστε όπως την άσκηση Εφαρµόζοντας τον νόµο του Boyle στην ισόθερµη ΒΓ προκύπτει ότι Γ = Αφού γ =5/3 θα είναι Cv = 3/ R και Cρ= 5/ R W ΓΑ =.( Α Γ ) = - και αφου W ΓΑ = -00 J θα είναι = 00 J Επίσης µπορούµε να γράψουµε για την ισοβαρή ΓΑ U ΓΑ = n.cv. Τ = 3/ n.r. Τ W ΓΑ = n.r. Τ Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι U ΓΑ = 3/ W ΓΑ = J Για ολόκληρο τον κύκλο ισχύει U ΑΒ + U ΒΓ + U ΓΑ = 0 είναι όµως U ΒΓ = 0 Άρα U ΑΒ + U ΓΑ = 0 U ΑΒ = - U ΓΑ =300 J Για την ισόχωρη ΑΒ ισχύει Q ΑΒ = U ΑΒ =300 J Για την ισόθερµη ΒΓ ισχύει Q ΒΓ = n.r.t. ln Γ = Β Β ln Γ = ln = 400 ln J B B 40. Εύκολα µε την βοήθεια της γραφικής παράστασης ιαπιστώνουµε ότι η µεταβολή ΑΒ είναι ισόχωρη η ΒΓ ισόθερµη και η ΓΑ ισοβαρής. Και αφού γνωρίζουµε τα A, A, T A δουλεύουµε όπως στις ασκήσεις 36 και 38 Παρατήρηση Αν έχουµε δύο ισοβαρείς µεταβολές ΑΒ και Γ ανάµεσα στις ίδιες ισόθερµες Αποδεικνύεται ότι U ΑΒ = U Γ, Q ΑΒ = Q Γ και W ΑΒ =W Γ W ΑΓ / W Β = Τ / Τ Αφού κάνετε την παραπάνω απόδειξη να λύσετε την άσκηση 4-50

51 4. Έχουµε U ΑΒ = Q ΑΒ =70J U Γ = Q Γ = -00J U Α = 0 και U ΑΒ + U ΒΓ + U Γ + U Α = 0 Άρα U ΒΓ = 30J Έχουµε αποδείξει για την ισοβαρή ότι Q = γ. U Άρα Q ΒΓ = γ. U ΒΓ = 50J W ΒΓ = Q ΒΓ - U ΒΓ = 0J 43. Η εσωτερική ενέργεια του αερίου θα παραµείνει σταθερή U αρχ = 3 n.r.t + 3 n.r.t ή U αρχ = U τελ = 3 (n +n ).R.T ή U τελ = 3.( + ) U αρχ = U τελ = 3.( + ). +. =.( + ) = Ο συνολικός αριθµός mole θα παραµείνει σταθερός Άρα n + n = n + n,. +. =.( + ) Τ = Τ Τ Τ.Τ +. Τ Τ Τ (.+.) 44 Η γραφική παράσταση της µεταβολής είναι η παρακάτω Aφού = κ. Αν Α = και Β = θα είναι Α = και Β = Για την µεταβολή ΒΓ ισχύει Β Β γ = Γ Γ γ ή ( ) γ = Γ Γ γ γ+ γ = Γ Γ γ () Για την µεταβολή ΓΑ ισχύει Α Α = Γ Γ ή = Γ Γ () ιαιρούµε κατά µέλη τις () και () και έχουµε γ+ γ - = Γ γ 8/3. /3 = Γ /3 Γ = 4. Γ = 6. Για το υπολογισµό της απόδοσης του κύκλου αρκεί να υπολογίσουµε το ποσό της θερµότητας που εκλύεται ή απορροφάται σε κάθε µεταβολή και στη συνέχεια να υπολογίσουµε το συνολικό έργο από την σχέση W=ΣQ Και το ποσό θερµότητας που απορροφά το αέριο από την σχέση Q h = ΣQ (+) Q ΑΒ = U ΑΒ + W ΑΒ U ΑΒ = n.cv. Τ = 3/ n..r. Τ = 3/ ( Β Β - Α Α ) = 9/ - 5

52 W ΑΒ = 3/ ( Το έργο υπολογίζεται από το αντίστοιχο εµβαδόν ) Άρα Q ΑΒ = U ΑΒ + W ΑΒ = 6 Η µεταβολή ΒΓ είναι αδιαβατική άρα Q ΒΓ = 0 A Η µεταβολή ΓΑ είναι ισόθερµη άρα Q ΓΑ = n.r.t. ln Γ = Α Α ln A = ln(/6) = - 4 ln ή Γ Q ΓΑ = -,8 W ωφ = ΣQ = 3, Q h = Q ΑΒ = 6 Άρα e = 3,/6 = 8/5 45. Υπολογίζουµε το ποσό της θερµότητας που εκλύεται η απορροφάται σε κάθε µεταβολή Q ΑΒ = U ΑΒ + W ΑΒ W ΑΒ = 00J τα ( Το έργο υπολογίζεται από το αντίστοιχο εµβαδόν ) Πρώτα µετατρέπουµε τις atm σε N/m και Lt σε m 3 Άρα Q ΑΒ = 300J + 00J = 500J Τα σηµεία Α και Γ είναι σηµεία της ίδιας ισόθερµης άρα U ΑΒ + U ΒΓ = 0 U ΒΓ = - U ΑΒ = - 300J Q ΒΓ = U ΒΓ = - 300J U Γ + U Α = 0 = 0 U Γ = - U Α = - 50J Q Γ = U Γ + W Γ = - 50J - 00J = - 50J Το έργο το υπολογίζεται πάλι από το εµβαδόν Q Α = U Α = 50J W ωφ = ΣQ = 00J Το ποσό θερµότητας που απορροφά το αέριο είναι Q h = ΣQ (+) = 550J Άρα e = 00/550 = / = 8,% Η ισχύ της µηχανής ισούται µε το πηλίκο του ωφέλιµου έργου προς τον αντίστοιχο χρόνο Αφού η µηχανή λειτουργεί µε συχνότητα f = 0 c/s σε s θα παράγει έργο W = 0 W ωφ = 000J Εποµένως η ωφέλιµη µηχανική ισχύ που αποδίδει η µηχανή θα είναι = 000W 46. α) Q ΑΒ = U ΑΒ =90J W ΑΒ = 0 U ΑΒ = n.cv. Τ = 3/ n..r. Τ = 3/ ( Β Β - Α Α ) = 9/ ο ο U ΑΒ = 90J Άρα 9/ ο ο = 90J ο ο = 0J U ΒΓ = n.cv. Τ = 3/ n..r. Τ = 3/ ( Γ Γ - Β Β ) = 3/ ο ο = 30J W ΒΓ = 0 ο ο = 00J U ΑΒ + U ΒΓ + U ΓΑ = 0 U ΓΑ = -0 J W ΒΓ = -4 ο ο = - 80J Το έργο το υπολογίζεται πάλι από το εµβαδόν β ) W ολ = Σ W = 0J γ ) Q ΒΓ = U ΒΓ + W ΒΓ = 30J - 5