Κεφάλαιο 6 Ιστογράμματα δορυφορικών εικόνων

Transcript

1 Κεφάλαιο 6 Ιστογράμματα δορυφορικών εικόνων Κωνσταντίνος Γ. Περάκης Σύνοψη Μία γενική επισκόπηση με εστίαση στη χρήση των ιστογραμμάτων στην Τηλεπισκόπηση και περιγραφές ειδικών εικόνων με τα χαρακτηριστικά ιστογράμματά τους πλαισιώνουν την αρχή του κεφαλαίου αυτού. Οι διαφόρων τύπων τανυσμοί ιστογράμματος όπως ο γραμμικός, ο τμηματικά γραμμικός και ο λογαριθμικός και εκθετικός τανυσμός δείχνουν την οπτική ενίσχυση της ψηφιακής φασματικής εικόνας στη συνέχεια. Τέλος η μεθοδολογία της εξισορρόπησης ιστογράμματος εκτίθεται αναλυτικά και πλαισιώνεται με αριθμητικό παράδειγμα 4-bit εικόνας και το κεφάλαιο κλείνει ο τεμαχισμός των ιστογραμμάτων σε ομάδες συχνοτήτων που συχνά δείχνουν και ξεχωριστές καλύψεις γης στην εικόνα. 6.1 Γενικά Το ιστόγραμμα είναι ένα στατιστικό διάγραμμα που αναφέρεται στην ποσοτική κατανομή των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής. Έχει τον οριζόντιο άξονά του βαθμονομημένο με όλες τις τιμές που παίρνει μια τυχαία μεταβλητή και τον κάθετο άξονα με τον αριθμό εμφάνισης κάθε τιμής, δηλ. τον κάθετο άξονα να είναι βαθμονομημένος με τις συχνότητες εμφάνισης όλων των τιμών της τυχαίας μεταβλητής. Έτσι το συνολικό άθροισμα όλων των τιμών που θα πάρει η τυχαία μεταβλητή δηλαδή το άθροισμα όλων των συχνοτήτων δίνει και τον συνολικό αριθμό των μετρήσεων ή ατόμων που μελετάμε. Στην Τηλεπισκόπηση και στην δημιουργία ιστογραμμάτων φασματικών καναλιών και όχι μόνο, η τυχαία μεταβλητή είναι η μεταβλητή που παίρνει ραδιομετρικές τιμές και ο κάθετος άξονας του ιστογράμματος περιλαμβάνει της συχνότητες εμφάνισης (τον αριθμό των pixels) κάθε ραδιομετρικής τιμής. Με αυτόν τον τρόπο το συνολικό άθροισμα των συχνοτήτων όλων των ραδιομετρικών τιμών που εμφανίζονται στην εικόνα (οι οποίες ραδιομετρικές τιμές δεν θα είναι αναγκαστικά 256, γιατί κάθε φασματικό κανάλι δεν περιέχει απαραίτητα και τις 256 τιμές στο εύρος του) είναι ίσο με τον συνολικό αριθμό των pixels που έχει η εικόνα. Το ιστόγραμμα οποιασδήποτε ψηφιακής εικόνας δεν έχει χωρική υπόσταση. Κάθε pixel της εικόνας που έχει τοποθετηθεί στην αντίστοιχη με την ραδιομετρική του τιμή, ράβδο του ιστογράμματος, δεν έχει πλέον χωρικές συντεταγμένες. Το ιστόγραμμα περιέχει μόνον τον αριθμό των pixels της εικόνας που αντιστοιχεί σε κάθε ραδιομετρική τιμή αλλά όχι τις συντεταγμένες της θέσης τους μέσα στην εικόνα. Η ποσοτική κατανομή του συνολικού πλήθους των ραδιομετρικών τιμών που υπάρχουν στο φασματικό κανάλι που μελετάται έχει άμεση σχέση με την φασματική απόκριση των καλύψεων γης. Έτσι καλύψεις που δίνουν μικρές ραδιομετρικές τιμές καταλαμβάνουν τις (αριστερά) μικρότερες τιμές στον οριζόντιο άξονα των ραδιομετρικών τιμών του ιστογράμματος. Το πιο χαρακτηριστικό παράδειγμα ίσως είναι η θάλασσα και γενικότερα το υδάτινο στοιχείο σε φασματικά κανάλια της εγγύς και μέσης υπέρυθρης περιοχής του Η/Μ φάσματος: στον δορυφόρο Landsat π.χ. από το 4ο φασματικό κανάλι (εγγύς υπέρυθρο) και τα πιο αριστερά από αυτό η θάλασσα απομονώνεται στο δεξιό τμήμα του ιστογράμματος. Για το λόγο αυτό ενώ σε κάθε ψηφιακή εικόνα αντιστοιχεί ακριβώς μόνον ένα ιστόγραμμα (η πιθανότητα παραπάνω από μια εικόνες να έχουν το ίδιο ιστόγραμμα είναι σχεδόν μηδέν πρέπει να έχουν τον ίδιο ακριβώς αριθμό pixels σε κάθε ραδιομετρική τιμή τους και επιπλέον να έχουν και το ίδιο εύρος ραδιομετρικών τιμών), ενώ σε κάθε ιστόγραμμα μπορεί να αντιστοιχεί ένας πολύ μεγάλος αριθμός ψηφιακών εικόνων που έχουν τον ίδιο συνολικό αριθμό pixels. Σχετικά με την έκταση που εκφράζει κάθε συχνότητα του ιστογράμματος, όσο πιο ψηλά βρίσκονται και όσο πιο πολλές συχνότητες τόσο θα αντιπροσωπεύουν μεγαλύτερη έκταση στην εικόνα (μεγαλύτερο αριθμό pixels). 1

2 6.2 Παραδείγματα σχέσης ιστογράμματος εικόνας Τα συγκεκριμένα παραδείγματα που ακολουθούν δείχνουν τις σχετικές θέσεις -σε ποσοτική πάντα (και όχι χωρική) κλίμακα- διαφόρων καλύψεων γης. Σχήμα 6.1 Φασματικό κανάλι με θάλασσα. Εδώ πρόκειται για το ιστόγραμμα εικόνας (φασματικού καναλιού κυρίως στο εγγύς και μέσο υπέρυθρο όπου το νερό-θάλασσα έχει σαφώς χαμηλότερες τιμές από τις υπόλοιπες καλύψεις) της οποίας ένα μεγάλο ποσοστό της επιφάνειας καλύπτεται από θάλασσα. Ο όγκος προς τα δεξιά (στις ψηλότερες ραδιομετρικές τιμές του ιστογράμματος) περιέχει διάφορες καλύψεις γης (βλάστηση, καλλιέργειες, πολεοδομικό κ.ά.). Σχήμα 6.2 Νησί σε μικρή έκταση σχετικά με την θάλασσα. 2

3 Στο σχήμα 6.2 και λόγω του ύψους και του όγκου των συχνοτήτων των χαμηλών ραδιομετρικών τιμών (π.χ. από 0 έως 27) η θάλασσα στην αντίστοιχη εικόνα είναι εκτατικά πολύ μεγαλύτερη από την χερσαία γη (νησί). Σχήμα 6.3 Μικρή έκταση του υδάτινου στοιχείου στην εικόνα. Στο παραπάνω σχήμα το υδάτινο στοιχείο (π.χ. λίμνη) καταλαμβάνει μικρή έκταση (λίγα pixels) στο σύνολο της εικόνας. Σχήμα 6.4 Σύγχυση των ραδιομετρικών τιμών θάλασσας βλάστησης. 3

4 Στο ορατό φάσμα και ιδιαίτερα στο μήκος κύματος του μπλε οι ραδιομετρικές τιμές των pixels της θάλασσας επηρεάζονται από ατμοσφαιρικούς παράγοντες και εμφανίζουν σχετικά υψηλές τιμές. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να συγχέονται με κάποιες σχετικά χαμηλές ραδιομετρικές τιμές των pixels της βλάστησης. Σχήμα 6.5 Ιστόγραμμα εικόνας με μόνον δύο χρωματικούς τόνους. Στην εικόνα αυτή όλα τα pixels της έχουν δύο μόνον ραδιομετρικές τιμές 25 και Γραμμικός τανυσμός (διάταση- έκταση εφελκυσμός) ιστογράμματος (Linear stretching) Ας υποθέσουμε ότι μία εικόνα έχει ραδιομετρικές τιμές μόνον από το 30 έως το 40. Τότε και αν αναλογιστούμε ότι οι ψηφιακές εικόνες έχουν τόσο μεγαλύτερη αντίθεση (κοντράστ) όσο πιο εκτεταμένο εύρος τιμών έχουν, η προηγούμενη εικόνα έχει χαμηλή χρωματική δυναμική ή αλλιώς χαμηλή αντίθεση (κοντράστ). Η τεχνική που ακολουθείται για να αποκτήσει η εικόνα μεγαλύτερη οπτική αντίθεση χωρίς όμως να αλλάξει ο αριθμός των pixels που αντιστοιχεί σε μια τιμή λέγεται γραμμικός τανυσμός της εικόνας. Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή οι ραδιομετρικές τιμές που έχει η εικόνα «απλώνονται» σε όλο το εύρος των ραδιομετρικών τιμών που θα μπορούσε να πάρει, δηλ. από ένα εύρος 11 τιμών σε ένα άλλο 256 τιμών. Οι καινούργιες τιμές βρίσκονται εάν διαιρέσουμε το 255 με το πραγματικό εύρος των τιμών 1. Έτσι π.χ. το ιστόγραμμα του σχήματος 6.6 μετασχηματίζεται στο εκτεταμένο ιστόγραμμα του σχήματος 6.7 βάσει του τύπου που υπολογίζει της νέες ραδιομετρικές τιμές βάσει των παλιών με γραμμικό τρόπο : Κ.Ρ.Τ. = [ (Τ.Ρ.Τ Ε.Ρ.Τ) / (Μ.Ρ.Τ.-Ε.Ρ.Τ.] *255, όπου Κ.Ρ.Τ.: η καινούργια ραδιομετρική τιμή Τ.Ρ.Τ.: η τρέχουσα ραδιομετρική τιμή Ε.Ρ.Τ.: η ελάχιστη ραδιομετρική τιμή Μ.Ρ.Τ.: η μέγιστη ραδιομετρική τιμή 4

5 Σχήμα 6.6 Αρχικό ιστόγραμμα φασματικού καναλιού με χαμηλή οπτική αντίθεση. Και μετά την εφαρμογή του τύπου η συχνότητα 350 που βρίσκεται στη τιμή 30 πηγαίνει στην ραδιομετρική τιμή 0, η συχνότητα 400 στην 25,5 (=26) και η τελευταία συχνότητα 450 που αντιστοιχούσε στην ραδιομετρική τιμή 40 μεταφέρεται τελευταία στην ραδιομετρική τιμή 255. Σχήμα 6.7 Μετασχηματισμένο ιστόγραμμα φασματικού καναλιού με υψηλή οπτική αντίθεση Τμηματικά γραμμικός τανυσμός Μια παραλλαγή του γραμμικού τανυσμού ο οποίος τοποθετεί τις καινούργιες ραδιομετρικές τιμές που έχουν οι συχνότητες του αρχικού ιστογράμματος με γραμμική αντιστοιχία σύμφωνα με το σχήμα

6 Σχήμα 6.8 Γραμμική αντιστοιχία των ραδιομετρικών τιμών αρχικού και μετασχηματισμένου ιστογράμματος. Ε.Ρ.Τ.: Ελάχιστη Ραδιομετρική Τιμή και Μ.Ρ.Τ.: Μέγιστη Ραδιομετρική Τιμή. Σχήμα 6.9 Τμηματικά γραμμική αντιστοιχία των ραδιομετρικών τιμών αρχικού και μετασχηματισμένου ιστογράμματος. Είναι και κατά την κρίση του χρήστη, η γραμμική συνάρτηση αντιστοιχίας να «σπάει» σε διαφορετικά γραμμικά τμήματα αντιστοιχίας των παλιών με τις νέες ραδιομετρικές τιμές σύμφωνα με το σχήμα 6.9. Η τμηματικά αυτή γραμμική συνάρτηση αντιστοιχίας των αρχικών και των τελικών ραδιομετρικών τιμών του μετασχηματισμένου ιστογράμματος παρέχει την δυνατότητα στον μελετητή να «ανοίξει» περισσότερο (τα ευθύγραμμα τμήματα μεγάλης κλίσης) μερικά τμήματα του ιστογράμματος (που 6

7 χρειάζονται μεγαλύτερη ενίσχυση) και να αφήσει περίπου το αρχικό κοντράστ σε άλλα (ευθύγραμμα τμήματα περίπου στην κλίση 45 Ο ) που δεν έχουν σημασία στον μετασχηματισμό, όπως συμβαίνει αρκετές φορές με την θάλασσα Λογαριθμικός και Εκθετικός τανυσμός Παραλλαγές του γραμμικού τανυσμού αποτελούν ο λογαριθμικός και ο εκθετικός τανυσμός του ιστογράμματος. Στις περιπτώσεις αυτές η συνάρτηση απεικόνισης (αντιστοιχίας) είναι είτε λογαριθμική (δεκαδικού ή νεπέρειου λογάριθμου) είτε εκθετική όπως φαίνεται στα σχήματα 6.10 και Οι δύο αυτοί τανυσμοί χρησιμοποιούνται για την ενίσχυση της χρωματικής αντίθεσης των τμημάτων των εικόνων με χαμηλές και υψηλές ραδιομετρικές τιμές δηλαδή για τις πολύ σκοτεινές και πολύ φωτεινές περιοχές αντίστοιχα. Σχήμα 6.10 Συνάρτηση απεικόνισης Λογαριθμικού τανυσμού ιστογράμματος. Σχήμα 6.11 Συνάρτηση απεικόνισης Εκθετικού τανυσμού ιστογράμματος. 7

8 6.3.3 Με σημεία κορεσμού Τα όρια των ραδιομετρικών τιμών (άρα και το εύρος των τιμών του ιστογράμματος) της ψηφιακής εικόνας (ψηφιακού καναλιού) που περιγράφηκαν στην παράγραφο 6.3 είναι αρκετά σπάνιο να είναι τόσο περιορισμένα. Στην πραγματικότητα είναι περίπου έτσι, μόνο που η έκταση των ραδιομετρικών τιμών του ιστογράμματος είναι πολύ μεγαλύτερη, ώστε συχνά να καταλαμβάνουν σχεδόν όλο το δυνατό εύρος τιμών (256 τιμές για 8-bit εικόνες). Η ουσιαστική όμως διαφορά με την παράγραφο είναι ότι εκτός του διαστήματος π.χ. 50 έως 60 που υπάρχει η μεγάλη πληθώρα των ραδιομετρικών τιμών, όλες οι υπόλοιπες εμφανίζονται στην εικόνα με πολύ μικρές έως και αμελητέες συχνότητες, όπως φαίνεται και στο σχήμα Σχήμα 6.12 Ιστόγραμμα εικόνας με ελάχιστα pixels δεξιά και αριστερά του κύριου όγκου των συχνοτήτων. Τα σημεία αυτά με χαμηλότερες (αριστερά του κυρίως όγκου των συχνοτήτων) και με υψηλότερες ραδιομετρικές τιμές (δεξιά του κυρίως όγκου των συχνοτήτων), ονομάζονται σημεία κορεσμού (saturation points). Η διόρθωση της χρωματικής αντίθεσης της παραπάνω εικόνας βασίζεται στην παραδοχή ότι ένα σχετικά μικρό στατιστικά ποσοστό των pixels της εικόνας (δεξιά και αριστερά του κυρίως όγκου) μπορεί να συγχωνευθεί με κάποιες άλλες τιμές χωρίς να αλλάξει ουσιαστικά η μορφή της εικόνας. Έτσι όλες οι μικρές συχνότητες των χαμηλότερων ραδιομετρικών τιμών (από αριστερά) συγχωνεύονται στην μικρότερη συχνότητα του κυρίως όγκου. Αυτό βασίζεται στην λογική ότι αφού αυτά τα pixels έχουν χαμηλότερες ραδιομετρικές τιμές από την χαμηλότερη του κυρίως όγκου του ιστογράμματος, η οποία μετά τον τανυσμό του ιστογράμματος λογικά θα πάρει την τιμή 0 (μηδέν) θα πάρουν και αυτά την ίδια τιμή 0 (άρα την χαμηλότερη ραδιομετρική τιμή). Ακριβώς το ίδιο συμβαίνει και με όλα τα pixels που βρίσκονται από την δεξιά πλευρά του κυρίως όγκου του ιστογράμματος που θα συγχωνευθούν με την υψηλότερη ραδιομετρική τιμή μετά τον τανυσμό δηλ. την τιμή 255. Το μεγαλύτερο συνήθως ποσοστό επί του συνολικού αριθμού των pixels της εικόνας συνήθως είναι 5%. Ωστόσο για συγκεκριμένους λόγους οπτικοποίησης της εικόνας όπως μείωση των επιπέδων χρωματικής διαβάθμισης ή συγχωνεύσεις κάποιων επιπέδων χρωματικού τόνου η τεχνική αυτή μπορεί να φθάσει σε μεγαλύτερα ποσοστά συγχώνευσης ραδιομετρικών τιμών (άρα να περιλαμβάνει και συχνότητες που αντιστοιχούν σε ραδιομετρικές τιμές από τον κυρίως όγκο του ιστογράμματος). Όμως τα μεγαλύτερα ποσοστά συγχώνευσης αλλοιώνουν ή εξαλείφουν οπτικές πληροφορίες που χαρακτηρίζουν την εικόνα. 6.4 Εξισορρόπηση - ισοστάθμιση ιστογράμματος (Histogram equalization) Η γραμμική ενίσχυση του ιστογράμματος πολλές φορές δεν ενισχύει οπτικά τις διάφορες κλάσεις ραδιομετρικών τιμών με ισοδύναμο τρόπο, γεγονός το οποίο θα ενίσχυε σημαντικά την οπτική αντίθεση της εικόνας και μάλιστα με ένα σχετικά ισοσταθμισμένο τρόπο στο σύνολο των ραδιομετρικών τιμών της εικόνας. 8

9 Η εξισορρόπηση ή ισοστάθμιση ιστογράμματος μετασχηματίζει το ιστόγραμμα μιας ψηφιακής εικόνας σε ένα ιστόγραμμα (περίπου) ομοιόμορφης κατανομής μέσω ενός γραμμικού μετασχηματισμού της αθροιστικής του κατανομής. Εάν ΡΤ ι είναι η τρέχουσα ραδιομετρική τιμή με συχνότητα f(ρτ ι ) = n ι στο ιστόγραμμα της εικόνας διαστάσεων k x l, και m διαφορετικών ραδιομετρικών τιμών, και F(ΡΤ ι ) = = ι] οι τιμές της αθροιστικής κατανομής συχνοτήτων, τότε η συνάρτηση μετασχηματισμού της θα είναι: Y = [(m 1) / (k x l)] F(ΡΤ ι ) = [(m 1) / (k x l)] Το παρακάτω αριθμητικό παράδειγμα δείχνει την εφαρμογή της ισοστάθμισης του ιστογράμματος μιας μικρής ψηφιακής εικόνας 4-bit δηλαδή με ακέραιες τιμές από 0 έως 15 και διαστάσεων 10 x 10 δηλαδή 100 pixels. Ραδιομετρικ ές τιμές Ρτι Συχνότητ ες f(ρτ ι ) = n ι Αθροιστικ ές συχνότητε ς F(ΡΤι) = Πιθανότητ ες f(ρτι)/ Σnι [Πιθανότητ ες x (n-1)] Αθροιστική κατανομή Σ [πιθανότητ ες x (n-1)] Προσεγγιστι κή ραδιομετρικ ή τιμή της προηγούμεν ης στήλης Συχνότητες 2ης στήλης. Όταν >=2 συνεχόμεν α κελιά της στήλης G είναι ίσα οι αντίστοιχες συχνότητες προστίθεντ αι στην πρώτη από τις ίσες τιμές Πίνακας 6.1 Πίνακας των συχνοτήτων, των αθροιστικών συχνοτήτων και των συχνοτήτων και πιθανοτήτων του ισοσταθμισμένου ιστογράμματος, ψηφιακής εικόνας 10 x 10. H/10 0 9

10 Αρχικό ιστόγραμμα πιθανοτήτων των ραδιομετρικών τιμών Σχήμα 6.13 Αρχικό ιστόγραμμα πιθανοτήτων των ραδιομετρικών τιμών. Ισοσταθμισμένο ιστόγραμμα πιθανοτήτων ραδιομετρκών τιμών Σχήμα 6.14 Ισοσταθμισμένο ιστόγραμμα πιθανοτήτων ραδιομετρικών τιμών. 10

11 6.5 Προσαρμογή - συμφωνία ιστογραμμάτων (Histogram matching) Σχήμα 6.15 Αντιστοίχιση των ραδιομετρικών τιμών δύο ιστογραμμάτων μέσω των αθροιστικών πυκνοτήτων πιθανότητας (Α.Π.Π.1 Α.Π.Π.2). Ανάλογη διαδικασία με την ισοστάθμιση ιστογράμματος ακολουθείται και στην προσαρμογή των ιστογραμμάτων δύο ψηφιακών εικόνων-φασματικών καναλιών. Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται όταν δεν πρέπει υποχρεωτικά να μετατραπεί κάποιο ιστόγραμμα εικόνας σύμφωνα με κάποια μαθηματική συνάρτηση, αλλά είναι απαραίτητο να προσαρμοστεί στο ιστόγραμμα κάποιας άλλης εικόνας. Ουσιαστικά πρόκειται για μια προσαρμογή των επιπέδων ραδιομετρίας-φωτεινότητας ενός ιστογράμματος σε κάποιο άλλο. Πρακτικά η μέθοδος χρησιμοποιείται ή σε περιπτώσεις εικόνων της ίδιας περιοχής, της ίδιας χρονικής στιγμής (και στο ίδιο μήκος κύματος φασματικό κανάλι) που καταγράφηκαν από διαφορετικούς δορυφόρους, ή από τον ίδιο δορυφόρο μεν αλλά με διαφορετικούς χρόνους καταγραφής. 6.6 Τεμαχισμός ή κατάτμηση (density slicing) σε ομάδες συχνοτήτων του ιστογράμματος Σε μερικές ψηφιακές εικόνες κανάλια οι συχνότητες τυχαίνει να δημιουργούν σχεδόν ξεχωριστές υποομάδες σε διαφορετικά τμήματα του συνολικού εύρους των ραδιομετρικών τιμών. Για παράδειγμα σε ένα φασματικό κανάλι του μέσου υπέρυθρου, έστω το κανάλι 5 του δορυφόρου Landsat υπάρχει περίπτωση να διαχωρίζονται πλήρως η θάλασσα, η βλάστηση (και κάποιες άλλες καλύψεις μαζί) και τέλος μια κάλυψη με υψηλές ραδιομετρικές τιμές, όπως ορυχεία ή σύννεφα, κ.ά. Το ιστόγραμμα του σχήματος 6.14 αντιστοιχεί σε μια τέτοια εικόνα. Σε τέτοιες περιπτώσεις είναι πολύ εύκολο να διαχωρίσουμε σε αρχικό στάδιο τις ομάδες αυτές ορίζοντας ένα κατώφλι (threshold) στις ραδιομετρικές τιμές που αντιστοιχούν στις ελάχιστες συχνότητες του ιστογράμματος όπως φαίνεται και στο σχήμα

12 Σχήμα 6.16 Ιστόγραμμα με τρείς ξεχωριστές ομάδες pixels (διαχωρισμένων ραδιομετρικών τιμών). Βιβλιογραφία/Αναφορές CNES, Dossier d information-spot-1, Un satellite pour l observation de la terre. CNES-Centre National d études spatiales. Couzy, A., La Télédétection, Que sais-je? Paris: Presses Universitaires de France. Floys, S. and Sabins, J.R., Remote Sensing Principles and Interpretation. 2nd ed., New York: W.H. Freeman and Compan. Harris, R., Satellite Remote Sensing - An Introduction. London and New York: Routledge and Kegan Paul. Gonzalez, R.C., Woods, R.E., Digital Image Processing. 2nd ed., New Jersey: Prentice Hall. Rees, W.G., Physical Principles on Remote Sensing. Cambridge: Cambridge University Press. Richards, A.J., Remote Sensing Digital Image Analysis - An Introduction. Berlin: Springer-Verlag. Richards, J. and Xiuping, J., Remote Sensing Digital Image Analysis, An Introduction. Berlin: Springer Verlag. Showengerdt, A.R., Techniques for Image Processing and Classification in Remote Sensing. Academic Press. 12