ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Transcript

1 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του ορισμού της παραγώγου ότι cf cf, για κάθε Μονάδες 7 Α. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες Α3. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή λέγεται διακριτή και πότε συνεχής; Μονάδες Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει f0 0, για κάθε 0,, και η παράγωγός της f διατηρεί πρόσημο εκατέρωθεν του, 0 τότε η f είναι γνησίως μονότονη στο, και δεν παρουσιάζει ακρότατο στο διάστημα αυτό. (μονάδες ) β. Για δύο οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: PA B PB PA B (μονάδες ) γ. Σε μια κανονική ή περίπου κανονική κατανομή το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκονται στο διάστημα s, s, όπου η μέση τιμή και s η τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων. (μονάδες ) δ. Αν είναι η τιμή μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ, τότε η αθροιστική συχνότητα N εκφράζει το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μεγαλύτερες της τιμής. (μονάδες ) ε. Το κυκλικό διάγραμμα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισμένος σε κυκλικούς τομείς, τα εμβαδά ή, ισοδύναμα, τα τόξα των οποίων είναι ανάλογα προς τις αντίστοιχες συχνότητες ή τις σχετικές συχνότητες f των τιμών της μεταβλητής. (μονάδες ) Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Β Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το ιστόγραμμα συχνοτήτων, το οποίο παριστάνει τις πωλήσεις σε χιλιάδες ευρώ που έγιναν από τους πωλητές μιας εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους. ΠΕΙΡΑΙΑΣ: Αγ. Κωνσταντίνου (5 ος όροφος), τηλ.: 035 ΜΑΡΟΥΣΙ: Δ. Ράλλη 3 ( ος όροφος), τηλ.: thesmos@otenet.gr thesmosmarous@gmal.com

2 αριθμός πωλητών ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΘΕΣΜΟΣ» 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ πωλήσεις σε χιλιάδες ευρώ Β. Να βρείτε το πλήθος των πωλητών της εταιρείας. Μονάδες 5 Β. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων της κατανομής των πωλήσεων κατάλληλα συμπληρωμένο, δικαιολογώντας τη στήλη με τις σχετικές συχνότητες Κλάσεις f,,,3, Κεντρικές τιμές Συχνότητα Σχετική συχνότητα,,,, Σύνολο Μονάδες 8 Β3. α. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή των πωλήσεων του έτους. (μονάδες 6) β. Να βρείτε το πλήθος των πωλητών που έκαναν πωλήσεις τουλάχιστον,5 χιλιάδων ευρώ (θεωρούμε ότι οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες). (μονάδες 6) Μονάδες ΘΕΜΑ Γ Ένα δοχείο περιέχει κόκκινες (Κ), άσπρες (Α) και πράσινες (Π) μπάλες. Επιλέγουμε τυχαία μία μπάλα. Η πιθανότητα να προκύψει κόκκινη μπάλα είναι PK, ενώ η πιθανότητα να προκύψει άσπρη μπάλα είναι PA, όπου, είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης 7 f, 3 με Γ. Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Κ), Ρ(Α) και Ρ(Π), όπου Ρ(Π) η πιθανότητα να προκύψει πράσινη μπάλα. Μονάδες 0 f ΠΕΙΡΑΙΑΣ: Αγ. Κωνσταντίνου (5 ος όροφος), τηλ.: 035 ΜΑΡΟΥΣΙ: Δ. Ράλλη 3 ( ος όροφος), τηλ.: thesmos@otenet.gr thesmosmarous@gmal.com

3 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 3 Γ. Αν PK και PA, να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων: Γ: «η μπάλα που επιλέγεται τυχαία να είναι κόκκινη ή άσπρη» Δ: «η μπάλα που επιλέγεται τυχαία να είναι ούτε κόκκινη ούτε άσπρη» Ε: «η μπάλα που επιλέγεται τυχαία να είναι άσπρη ή να μην είναι πράσινη» Μονάδες 9 Γ3. Αν οι άσπρες μπάλες είναι κατά τέσσερις () λιγότερες από τις πράσινες μπάλες, να βρείτε πόσες μπάλες έχει το δοχείο. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Δ Θεωρούμε ένα κουτί σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με βάση ορθογώνιο και ανοικτό από πάνω. Το ύψος του κουτιού είναι 5 dm. Η βάση του κουτιού έχει σταθερή περίμετρο 0 dm και μία πλευρά της είναι dm με dm dm Δ. Να αποδείξετε ότι η συνολική επιφάνεια του κουτιού ως συνάρτηση του είναι E 0 00, 0,0 και να βρείτε για ποια τιμή του το κουτί έχει μέγιστη επιφάνεια. Μονάδες 8 Στη συνέχεια, θεωρούμε τα σημεία A,y, όπου y E,,,,5 με Δ. Αν το δείγμα των τετμημένων,,,,5 των παραπάνω σημείων A,y δεν είναι ομοιογενές έχει μέση τιμή 8 και τυπική απόκλιση s τέτοια, ώστε s 5s 0 τότε: α) να αποδείξετε ότι s (μονάδες ) β) να βρείτε τη μέση τιμή των, με,,,5 Δίνεται ότι: s t t (μονάδες ) Δ3. Επιλέγουμε τυχαία ένα από τα παραπάνω σημεία την πιθανότητα του ενδεχομένου: B A,y,,,,5 έ, ώ y 9R, όπου R είναι το εύρος των y E,,,,5 A,y,,,,,5 Μονάδες 8. Να βρείτε Μονάδες 9 ΠΕΙΡΑΙΑΣ: Αγ. Κωνσταντίνου (5 ος όροφος), τηλ.: 035 ΜΑΡΟΥΣΙ: Δ. Ράλλη 3 ( ος όροφος), τηλ.: thesmos@otenet.gr thesmosmarous@gmal.com

4 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΘΕΜΑ A A. Θεωρία σχολικό βιβλίο, σελ. 30. A. Θεωρία σχολικό βιβλίο, σελ. 3. Α3. Θεωρία σχολικό βιβλίο, σελ. 59. Α. α Σ, β Λ, γ Λ, δ Λ, ε Σ ΘΕΜΑ Β Β Β. Κεντρικές Κλάσεις τιμές Β3. α) f 0,3, 0 3 f3 0,35, 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα, 3 0,3, , 6,8 7 0,35 8, ,35 Σύνολο f 0,5 0 f 0,, ,7 ά ώ 0 ή ΘΕΜΑ Γ f 3 0,3 5 0, 7 0,35 90,5 0,9,5,35 5,7 ά ώ. β) Θεωρώντας ότι οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες, έχουμε: σε πλάτος 6 8 πωλητές σε πλάτος 6,5,5,5 8 6 πωλητές Άρα το πλήθος των πωλητών που έκαναν πωλήσεις τουλάχιστον,5 χιλιάδες ευρώ είναι: Γ. Είναι f,. Η f ως πολυωνυμική είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο με f 7, f ή 3 f ΠΕΙΡΑΙΑΣ: Αγ. Κωνσταντίνου (5 ος όροφος), τηλ.: 035 ΜΑΡΟΥΣΙ: Δ. Ράλλη 3 ( ος όροφος), τηλ.: thesmos@otenet.gr thesmosmarous@gmal.com

5 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ f 0 7 0,, 3 / /3 + f Γ. P f Η f στο παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το f f f 3 P K, P A 3 P K P A 5 P P 3 και στο παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το Επομένως Είναι P f (η μπάλα που επιλέγεται τυχαία να είναι Κ ή Α)= 7 PK PA 3 P P 3 (η μπάλα που επιλέγεται τυχαία να είναι ούτε κόκκινη ούτε άσπρη)=ρ(να είναι πράσινη)= P P E P 5 (η μπάλα που επιλέγεται τυχαία να είναι άσπρη ή να μην είναι πράσινη)=ρ(να είναι άσπρη ή κόκκινη)= P 7 Γ3. Έστω Ν(Α) το πλήθος των άσπρων μπαλών και Ν(Π) το πλήθος των πράσινων μπαλών. Τότε N P NA 8 5N () NA Και P A () 3 N 3 3, N 8, άρα το δοχείο έχει 8 μπάλες. ΘΕΜΑ Δ Δ. Η βάση του κουτιού έχει περίμετρο 0 dm y 0 y 0, 0 0 Γ Δ B Ε 5 dm A Θ dm Ζ ydm Η ΠΕΙΡΑΙΑΣ: Αγ. Κωνσταντίνου (5 ος όροφος), τηλ.: 035 ΜΑΡΟΥΣΙ: Δ. Ράλλη 3 ( ος όροφος), τηλ.: thesmos@otenet.gr thesmosmarous@gmal.com

6 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ άρα E AB , 0 0 Η συνάρτηση Ε() ως πολυωνυμική είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,0) με E 0 E 0 5, E Ε + 0 Ε Άρα για 5 dm το κουτί έχει μέγιστη επιφάνεια. Δ. α) Είναι s 5s 0 s ήs Δ3. για s είναι ομοιογενές, άτοπο για s είναι s CV δηλ. το δείγμα 6 0 s CV δηλ. το δείγμα δεν είναι ομοιογενές, άρα s 8 0 t β) Είναι s t t t 8 68 t άρα η μέση τιμή των 5 είναι [5,0) E E E5 y y y5 Άρα R y y5 E5 E9 Δηλαδή y 96 y 6,,,, ,9 Άρα 3 3 B,y,,y,,,y, N B Επομένως από τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας: NB 3 PB N 5 Επιμέλεια: ΣΙΜΙΤΖΟΓΛΟΥ Μ. ΝΤΡΙΤΣΟΣ Τ. ΣΤΡΟΥΖΑΚΗΣ Δ. ΠΕΙΡΑΙΑΣ: Αγ. Κωνσταντίνου (5 ος όροφος), τηλ.: 035 ΜΑΡΟΥΣΙ: Δ. Ράλλη 3 ( ος όροφος), τηλ.: thesmos@otenet.gr thesmosmarous@gmal.com