Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας Κεφ. 1

Transcript

1 Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 50 5 Κεφ.. Ο όγκος του διπλανού ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου εκφράζεται µε τη συνάρτηση V() = ( )( ). Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης αυτής είναι το διάστηµα : A. [0, + ] B. (0, ) Γ. (, 0]. [, ] - - Επειδή τα,, είναι διαστάσεις θα πρέπει > 0 και > 0 και > 0 > 0 και < και < 0 < < Άρα σωστή απάντηση είναι το Β.. Στο διπλανό σχήµα, το µήκος του τµήµατος ΑΒ είναι Α. Β. Γ. +. = Α Είναι φανερό ότι το σηµείο Α έχει συντεταγµένες Α(, ) και το Β(, ) και επειδή το Α είναι ψηλότερα από το Β, θα είναι >. Ο = - Β Άρα ΑΒ = ( ) = + = +. Εποµένως, σωστή απάντηση είναι το Γ.. Το εµβαδόν του διπλανού ορθογωνίου ΑΒΓ είναι 6. Η τιµή του κ είναι Α. 8 Β. Γ Το εµβαδόν του ορθογωνίου είναι Ε = (Α ) ( Γ) A(, 4) B(k, 4) (, -) Γ(k, -) Όµως Α = 4 ( ) = 4 + = 7 και Γ = κ = κ αφού κ > Οπότε 6 = 7(κ ) 9=κ κ = 0. Άρα σωστή απάντηση είναι το χ

2 4. Στο διπλανό σχήµα έχουµε την γραφική 6 παράσταση της συνάρτησης f () = +. Οι τιµές του για τις οποίες ισχύει f() > είναι Α. > Β. < < Γ. < <. < = Πρόκειται για το κοµµάτι της καµπύλης που είναι πάνω από την ευθεία =. Η τετµηµένη κάθε σηµείου αυτού του κοµµατιού είναι < < 5. Στο διπλανό σχήµα τα σηµεία Α και Β είναι τα σηµεία τοµής των καµπυλών των συναρτήσεων f () =ηµ και g() =. Το µήκος του τµήµατος ΑΒ είναι : Α. π Β. π Γ. π. 5 6 / A B π Λύνουµε την εξίσωση ηµ = ηµ =ηµ 6 π π 5π = κπ+ ή = κπ+ π = κπ π 5π Επειδή όµως 0 < < π, θα είναι Α = και Β = 6 6 Άρα (ΑΒ) = 5 π π = 4π = π. Άρα σωστό είναι το Γ 6 6 6

3 6. Η γραφική παράσταση µίας συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Το πλήθος των διακεκριµένων λύσεων της εξίσωσης f () = f( ) είναι : Α. Β. Γ Ε. 6 f () = f() f () f () = 0 f () (f () ) = 0 5 = f() = 0 ή f() = 0 f() = 0 ή f() = Το πλήθος των λύσεων της f () = 0 είναι ίσο µε το πλήθος των κοινών σηµείων της γραφικής παράστασης µε τον άξονα, δηλαδή. Το πλήθος των λύσεων της f() = είναι ίσο µε το πλήθος των κοινών σηµείων της γραφικής παράστασης µε την ευθεία =, δηλαδή. Άρα το πλήθος των διακεκριµένων λύσεων της αρχικής εξίσωσης είναι + = 5. Άρα σωστή επιλογή είναι το 7. Στο διπλανό σχήµα έχουµε τις γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων f και g. Το άθροισµα f () + g () είναι ίσο µε Α. 5 Β. 4 Γ.. Είναι f() = και g() =. Άρα f() + g( ) = Σωστή επιλογή είναι η Γ

4 4 8. Η ευθεία = κ θέλουµε να τέµνει τη διπλανή γραφική παράσταση της συνάρτησης f σε 4 διαφορετικά σηµεία. Τότε πρέπει : Α. κ > Β. κ = Γ. κ <. < κ < Θεωρούµε τις οριζόντιες ευθείες = και =. H ευθεία = κ, για να τέµνει τη γραφική παράσταση σε τέσσερα διαφορετικά σηµεία, θα πρέπει να βρίσκεται µεταξύ των ευθειών = και =, άρα θα πρέπει < κ <. 9. Με βάση τη διπλανή γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = / Α = [0, ], να γράψετε τα ακρότατα της συνάρτησης. Η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο για =, το f() = και µέγιστο για = το f() = - -

5 5 0. Για καθένα από τα παρακάτω όρια να χρησιµοποιήσετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση για να βρείτε την τιµή του ή να προσδιορίσετε ότι δεν υπάρχει. = i) ii) = 0 = 0 0 = 0 iii) º = + º + εν υπάρχει το 0 iv) = ( - ) ( ) = + v) vi) = + - = = + = νii) = + ( + ) =

6 6. i) Αν f() = και f (α) =, ποια είναι η τιµή του α; ii) Αν f() = και f (α) =, ποιες τιµές µπορεί να πάρει o α; 9 iii) Αν f() = ηµ και f (α) =, ποιο είναι το σύνολο τιµών του α; i) f () = 6 f (α) = 6α, εποµένως 6α = α = ii) f () = άρα f (α) =, εποµένως πρέπει να ισχύει α = α = 9 α =± α 9 iii) f ) = συν, οπότε f (α) = συνα, άρα πρέπει να ισχύει συνα= π 6 α = kπ ± π 6, k Z. Αν για τις συναρτήσεις f και g ισχύουν f () = 4, g() =, f () = 6, και g () = 5, να βρείτε για = τις παραγώγους των συναρτήσεων α) f + g, β) f g, γ) fg, δ) f g α) (f + g) () = f () +g () (f + g) () = f () + g () = = β) (f g) () = f () g () (f g) () = f () g () = 6 5 = γ) (fg) () = f ()g() + f()g () (fg) () = f ()g() + f()g () = = 8 δ) f ( ) g ' ' = f ()g() g ()f() ( g() ) g () f f ()g() g ()f () () = = = =8 g 4

7 7. Αν h() = f(g()) αριθµό h () και g() = 6, g () = 4 και f (6) = 7, να βρείτε τον h () = [f(g())] = f (g())g () h () = f (g()) g () = f (6) 4 = 7 4 = 8 4. Στην πρώτη σειρά του παρακάτω πίνακα υπάρχουν οι γραφικές παραστάσεις κάποιων συναρτήσεων και στην δεύτερη σειρά οι γραφικές παραστάσεις των παραγώγων αυτών. Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση στην παράγωγο της. () () () (4) o o (α) (β) (γ) (δ) Στο σχήµα () έχουµε µια συνάρτηση που έχει δύο τοπικά ακρότατα, ένα µε αρνητική τετµηµένη και ένα µε θετική τετµηµένη, οπότε η παράγωγος αυτής πρέπει να µηδενίζεται σε δύο σηµεία δηλαδή η γραφική παράσταση της παραγώγου πρέπει να τέµνει τον άξονα σε ένα σηµείο µε αρνητική τετµηµένη και σε ένα µε θετική τετµηµένη, πράγµα που συµβαίνει στο σχήµα β) o o Στο σχήµα () έχουµε σαν γραφική παράσταση τεθλασµένη γραµµή, άρα η παράγωγος αυτής θα είναι σταθερή κατά διαστήµατα, πράγµα που συµβαίνει στο σχήµα (δ) Στο σχήµα () έχουµε µια συνάρτηση γνησίως φθίνουσα στο (, 0) και γνησίως αύξουσα στο (0, + ), άρα η γραφική παράσταση της παραγώγου πρέπει

8 8 να είναι κάτω από τον στο (, 0) και πάνω από τον στο (0, + ), πράγµα που συµβαίνει στο σχήµα (α) Τέλος το σχήµα (4) αντιστοιχεί στο σχήµα (γ).