Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ"

Ὀφιοῦχος Αλαφούζος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012

2 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ

3 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ

4 Ομοιόμορφη Η Ομοιόμορφη θεωρητική κατανομή ορίζεται όταν οι τυχαίες μεταβλητές x [a, b] είναι ισοπίθανες. Εαν μια τ.μ. X κατανέμεται Ομοιόμορφα στο διάστημα [a, b], τότε έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: P(X = x) = 1, x [a, b] b a Η μέση τιμή και η διακύμανσης μιας Ομοιόμορφα κατανεμημένης τ.μ. εκφράζεται ως: E(X) = (a + b)/2 V(X) = (b a) 2 /12

5 Εκθετική Η Εκθετική θεωρητική κατανομή ορίζεται όταν μια τυχαία μεταβλητή ορίζεται στον δειγματικό χώρο [0, ) με σχηματική παράμετρο λ, όπου η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας έχει τη μορφή: P(X = x) = λ e λx, x [0, ) Η μέση τιμή και η διακύμανσης μιας Εκθετικά κατανεμημένης τ.μ. εκφράζεται ως: E(X) = 1/λ V(X) = 1/λ 2 Παραδείγματα για Εκθετική τ.μ 1 Ο χρόνος ανάμεσα σε κλίσεις κινητών τηλεφώνων 2 Ο χρόνος ζωής ηλεκτρικών συσκευών 3 Ο χρόνος ανάμεσα σε σεισμικά φαινόμενα 4 Ο χρόνος ανάμεσα σε κύμματα ροής αυτοκινήτων.

Εκθετικά κατανεμημένης τ.μ. εκφράζεται ως: E(X) = 1/λ V(X) = 1/λ 2 Παραδείγματα για Εκθετική τ.

6 Εκθετική Η Εκθετική θεωρητική κατανομή ορίζεται όταν μια τυχαία μεταβλητή ορίζεται στον δειγματικό χώρο [0, ) με σχηματική παράμετρο λ, όπου η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας έχει τη μορφή: P(X = x) = λ e λx, x [0, ) Η μέση τιμή και η διακύμανσης μιας Εκθετικά κατανεμημένης τ.μ. εκφράζεται ως: E(X) = 1/λ V(X) = 1/λ 2 Παραδείγματα για Εκθετική τ.μ 1 Ο χρόνος ανάμεσα σε κλίσεις κινητών τηλεφώνων 2 Ο χρόνος ζωής ηλεκτρικών συσκευών 3 Ο χρόνος ανάμεσα σε σεισμικά φαινόμενα 4 Ο χρόνος ανάμεσα σε κύμματα ροής αυτοκινήτων.

7 Κανονική(ή Gauss) Η Κανονική θεωρητική κατανομή ορίζεται όταν μια τυχαία μεταβλητή ορίζεται στονδειγματικόχώρο (, )μεμέσητιμή µκαιδιακύμανση σ 2,όπουη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας έχει τη μορφή: όπου P(X = x) = 1 σ 2π (x µ) 2 e 2σ 2, x, µ (, ), σ (0, ). Η μέση τιμή και η διακύμανσης μιας Κανονικά κατανεμημένης τ.μ. εκφράζεται ως: E(X) = µ V(X) = σ 2

πιθανότητας έχει τη μορφή: όπου P(X = x) = 1 σ 2π (x µ) 2 e 2σ 2, x, µ (, ), σ (0, ).

8 Γιατί η Κανονική; 1 Οι Gauss/Laplace την εισήγαγαν ως μια κατανομή που εκφράζει την κατανομή συχνοτήτων πλανητικών τροχιών. 2 Η κατανομή συχνοτήτων σε σχήμα καμπάνας είναι στην φύση των τυχαίων φαινομένων. 3 Εκφράζει τη συμμετρία στις συχνότητες που χαρακτηριιζει γεγονότα όταν αυτά δειγματοληπτούνται σε μεγάλο αριθμό(n 30). 4 Χρησιμοποιείται στον προσδιορισμό πιθανοτήτων για ενδεχόμενα (τυχαίες μεταβλητές) που δεν ορίζονται στο διάστημα (, ) ή ακόμη που είναι άγνωστο το πως κατανέμονται.

3 Εκφράζει τη συμμετρία στις συχνότητες που χαρακτηριιζει γεγονότα όταν αυτά δειγματοληπτούνται σε μεγάλο αριθμό(n 30).

9 X N(100, 10 2 ) Εστω Xμιακατά Gaussτ.μ.με µ = 100,και σ = 10,τότεέχειτη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: Histogram of x Density x

10 Ιδιότητες μιας Κανονικής τ.μ. 1 ΜιαΚανονικήκατανομήείναισυμμετρικήωςπροςτονμέσο µ P(X = µ α) = P(X = µ + α), για α (, ),ήοσυντελεστήςασυμμετρίας a 1 = µ 3 σ 3 = 0. 2 Μια Κανονική κατανομή έχει κυρτοτητα που ισούται με τρία(3): a 2 = µ 4 σ 4 = 3.

11 Ιδιότητες μιας Κανονικής τ.μ. 1 ΜιαΚανονικήκατανομήείναισυμμετρικήωςπροςτονμέσο µ P(X = µ α) = P(X = µ + α), για α (, ),ήοσυντελεστήςασυμμετρίας a 1 = µ 3 σ 3 = 0. 2 Μια Κανονική κατανομή έχει κυρτοτητα που ισούται με τρία(3): a 2 = µ 4 σ 4 = 3.

12 Ιδιότητες μιας Κανονικής τ.μ. 1 ΜιαΚανονικήκατανομήείναισυμμετρικήωςπροςτονμέσο µ P(X = µ α) = P(X = µ + α), για α (, ),ήοσυντελεστήςασυμμετρίας a 1 = µ 3 σ 3 = 0. 2 Μια Κανονική κατανομή έχει κυρτοτητα που ισούται με τρία(3): a 2 = µ 4 σ 4 = 3.

13 Ανηγμένη Κανονική Εστω Z = X µ όπου X N(µ, σ 2 ),τότεητ.μ. Zείναιμιακατα Gaussτ.μ. σ με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: P(Z = z) = 1 2π e z2 2, z, (, ) Η μέση τιμή και η διακύμανσης μιας Ανηγμένης Κανονικά κατανεμημένης τ.μ. εκφράζεται ως: E(Z) = 0 επειδή V(Z) = 1, E( x µ σ ) = µ µ = 0, σ V( x µ σ ) = σ2 0 σ 2 = 1.

μέση τιμή και η διακύμανσης μιας Ανηγμένης Κανονικά κατανεμημένης τ.μ.

14 Ανηγμένη Κανονική(συν.) Εστω Zμιακατά Gaussτ.μ.με µ = 0,και σ = 1,τότεέχειτησυνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: Histogram of x Density x

16 Πίνακας Αθροιστικών Πιθανοτήτων Ανηγμένη Κανονικής Κατανομής Πως μπορούμε να προσδιορίσουμε τις αθροιστικές πιθανότητες P(Z z) δεδομένης μιας κριτικής τιμής z ή πως μπορούμε να προσδιορίσουμε την z όταν είναι γνωστή η αθροιστική πιθανότητα P(Z z); Πως προσδιορίζουμε κριτικές τιμές z; 1 Πρώτον καθορίζουμε την πιθανότητα για την οποία ζητάμε την κριτική τιμή z. Παράδειγμα: Θέτουμε πιθανότητα Επομένως ψάχνουμε για την zέτσιώστε P(Z z) = Δεύτερον, αναζητούμε την πιο κοντινή στην πιθανότητα 0.75 εντός του πίνακα. Αυτό είναι το Τελικά, για να προσδιορίσουμε το z προσθέτουμε τον αριθμό που αντιστοιχεί στην γραμμη με αυτον που αντιστοιχεί στη στήλη την πιθανότητας Επομένως, έχουμε τον = Άρα P(Z 0.67) 0.75

Παράδειγμα: Θέτουμε πιθανότητα 0.75. Επομένως ψάχνουμε για την zέτσιώστε P(Z z) = 0.75 2 Δεύτερον, αναζητούμε την πιο κοντινή στην πιθανότητα 0.75 εντός του πίνακα. Αυτό είναι το 0.

17 Πίνακας Αθροιστικών Πιθανοτήτων Ανηγμένη Κανονικής Κατανομής Πως μπορούμε να προσδιορίσουμε τις αθροιστικές πιθανότητες P(Z z) δεδομένης μιας κριτικής τιμής z ή πως μπορούμε να προσδιορίσουμε την z όταν είναι γνωστή η αθροιστική πιθανότητα P(Z z); Πως προσδιορίζουμε κριτικές τιμές z; 1 Πρώτον καθορίζουμε την πιθανότητα για την οποία ζητάμε την κριτική τιμή z. Παράδειγμα: Θέτουμε πιθανότητα Επομένως ψάχνουμε για την zέτσιώστε P(Z z) = Δεύτερον, αναζητούμε την πιο κοντινή στην πιθανότητα 0.75 εντός του πίνακα. Αυτό είναι το Τελικά, για να προσδιορίσουμε το z προσθέτουμε τον αριθμό που αντιστοιχεί στην γραμμη με αυτον που αντιστοιχεί στη στήλη την πιθανότητας Επομένως, έχουμε τον = Άρα P(Z 0.67) 0.75

18 Πίνακας Αθροιστικών Πιθανοτήτων Ανηγμένη Κανονικής Κατανομής Πως μπορούμε να προσδιορίσουμε τις αθροιστικές πιθανότητες P(Z z) δεδομένης μιας κριτικής τιμής z ή πως μπορούμε να προσδιορίσουμε την z όταν είναι γνωστή η αθροιστική πιθανότητα P(Z z); Πως προσδιορίζουμε κριτικές τιμές z; 1 Πρώτον καθορίζουμε την πιθανότητα για την οποία ζητάμε την κριτική τιμή z. Παράδειγμα: Θέτουμε πιθανότητα Επομένως ψάχνουμε για την zέτσιώστε P(Z z) = Δεύτερον, αναζητούμε την πιο κοντινή στην πιθανότητα 0.75 εντός του πίνακα. Αυτό είναι το Τελικά, για να προσδιορίσουμε το z προσθέτουμε τον αριθμό που αντιστοιχεί στην γραμμη με αυτον που αντιστοιχεί στη στήλη την πιθανότητας Επομένως, έχουμε τον = Άρα P(Z 0.67) 0.75

19 Πίνακας Αθροιστικών Πιθανοτήτων Ανηγμένη Κανονικής Κατανομής Πως μπορούμε να προσδιορίσουμε τις αθροιστικές πιθανότητες P(Z z) δεδομένης μιας κριτικής τιμής z ή πως μπορούμε να προσδιορίσουμε την z όταν είναι γνωστή η αθροιστική πιθανότητα P(Z z); Πως προσδιορίζουμε κριτικές τιμές z; 1 Πρώτον καθορίζουμε την πιθανότητα για την οποία ζητάμε την κριτική τιμή z. Παράδειγμα: Θέτουμε πιθανότητα Επομένως ψάχνουμε για την zέτσιώστε P(Z z) = Δεύτερον, αναζητούμε την πιο κοντινή στην πιθανότητα 0.75 εντός του πίνακα. Αυτό είναι το Τελικά, για να προσδιορίσουμε το z προσθέτουμε τον αριθμό που αντιστοιχεί στην γραμμη με αυτον που αντιστοιχεί στη στήλη την πιθανότητας Επομένως, έχουμε τον = Άρα P(Z 0.67) 0.75

20 Πίνακας Αθροιστικών Πιθανοτήτων Ανηγμένη Κανονικής Κατανομής Πως μπορούμε να προσδιορίσουμε τις αθροιστικές πιθανότητες P(Z z) δεδομένης μιας κριτικής τιμής z ή πως μπορούμε να προσδιορίσουμε την z όταν είναι γνωστή η αθροιστική πιθανότητα P(Z z); Πως προσδιορίζουμε κριτικές τιμές z; 1 Πρώτον καθορίζουμε την πιθανότητα για την οποία ζητάμε την κριτική τιμή z. Παράδειγμα: Θέτουμε πιθανότητα Επομένως ψάχνουμε για την zέτσιώστε P(Z z) = Δεύτερον, αναζητούμε την πιο κοντινή στην πιθανότητα 0.75 εντός του πίνακα. Αυτό είναι το Τελικά, για να προσδιορίσουμε το z προσθέτουμε τον αριθμό που αντιστοιχεί στην γραμμη με αυτον που αντιστοιχεί στη στήλη την πιθανότητας Επομένως, έχουμε τον = Άρα P(Z 0.67) 0.75

21 Παράδειγμα Εστω τ.μ. X που εκφράζει τη διάρκεια ζωής ελαστικών σε km κατανέμεται ωςμιακανονικήκατανομήμεμέσητιμή µ = 50καιτυπικήαπόκλιση σ = 5ή X N(50, 5 2 ).Ναβρεθεί: 1 Τιποσοστόελαστικώνέχειδιάρκειααπό 40εωςκαι 60 km; Λύση Μετασχηματίζωτην X N(50, 5 2 )σεανηγμένηκανονική Z = (X 50)/5, έτσι ώστε: P(40 X 60) = P( Z ) = P( 2 Z 2) 5 5 = P(Z 2) P(Z 2) = P(Z 2) [1 P(Z 2)] = 2 P(Z 2) 1 = = 0, 9546

Σχετικά έγγραφα

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές Ι

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές Ι Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές Η Χρήση των Θεωρητικών