Φυσική για Μηχανικούς

Transcript

1 Φυσική για Μηχανικούς Ενέργεια Συστήματος Εικόνα: Στη φυσική, η ενέργεια είναι μια ιδιότητα των αντικειμένων που μπορεί να μεταφερθεί σε άλλα αντικείμενα ή να μετατραπεί σε διάφορες μορφές, αλλά δεν μπορεί να δημιουργηθεί ή να καταστραφεί. Η "ικανότητα ενός συστήματος να παράγει έργο" είναι μια κοινή περιγραφή, αλλά είναι δύσκολο να δοθεί ένας ενιαίος συνολικός ορισμός της ενέργειας, εξαιτίας των πολλών μορφών της.

2 Φυσική για Μηχανικούς Ενέργεια Συστήματος Εικόνα: Στη φυσική, η ενέργεια είναι μια ιδιότητα των αντικειμένων που μπορεί να μεταφερθεί σε άλλα αντικείμενα ή να μετατραπεί σε διάφορες μορφές, αλλά δεν μπορεί να δημιουργηθεί ή να καταστραφεί. Η "ικανότητα ενός συστήματος να παράγει έργο" είναι μια κοινή περιγραφή, αλλά είναι δύσκολο να δοθεί ένας ενιαίος συνολικός ορισμός της ενέργειας, εξαιτίας των πολλών μορφών της.

3 Επανάληψη Το έργο W που παράγεται σε σύστημα από δύναμη που ασκείται σε αυτό ορίζεται ως W F Δr cos θ = F Δr Έργο δύναμης μεταβαλλόμενου μέτρου Έργο μεταβαλλόμενης δύναμης: W ολ = W = F d r

4 Έργο ελατηρίου (σύστημα = σώμα) Σύστημα όπου η δύναμη μεταβάλλεται με τη θέση Δύναμη ελατηρίου στο σώμα (Νόμος του Hooke) F s = kx Η τιμή του k είναι μια ένδειξη της σκληρότητας του ελατηρίου Μεγάλο k σκληρό ελατήριο Μικρό k μαλακό ελατήριο Μονάδες της σταθεράς k είναι N/m Διανυσματική μορφή F s = F s i = kx i

5

6 Ας θεωρήσουμε ότι το ελατήριο συμπιέζεται στη μέγιστη τιμή (θέση x i = x max ) και αφήνεται ελεύθερο. Έστω η τελική θέση x f = 0 Το έργο της δύναμης του ελατηρίου επάνω στο σώμα ισούται με W s = F s d r = = 1 kx 2 2 max x f ( kx i) (dx i) = x i 0 x max kx dx

7 Ας θεωρήσουμε ότι το ελατήριο συνεχίζει την πορεία του (θέση x i = 0) Έστω η τελική θέση x f = x max Το έργο της δύναμης του ελατηρίου επάνω στο σώμα ισούται με x f ( kx i) (dx i) = x max kx dx W s = F s d r = = 1 kx 2 2 max x i 0

8 Άρα το συνολικό έργο της δύναμης ελατηρίου επάνω στο ελατήριο είναι μηδέν! Για μετατόπιση από x max ως x max Για μια οποιαδήποτε μετατόπιση: W s = x f kx dx = 1 2 kx i kx f 2 x i

9 Μια εξωτερική δύναμη που εφαρμόζεται στο σώμα W ext = F app d r = = = x i x f(kx i) (dx i) 0 x max kxdx = 1 2 kx 2 max W ext x = f xi kxdx = 1 kx 2 f 2 1 kx 2 i 2

10 Έργο Μηχανισμός μεταφοράς ενέργειας Τι γίνεται αυτή η ενέργεια; Πιθανότατα αλλάζει την ταχύτητα ενός σώματος 1 ος Τύπος Ενέργειας που μπορεί να έχει ένα σύστημα: Κινητική Ενέργεια Έστω το διπλανό παράδειγμα F = m a

11 Θεωρήστε την συνισταμένη των F σταθερή Η κίνηση είναι επιταχυνόμενη με σταθερή επιτάχυνση Άρα u f 2 = u i 2 + 2aΔx a = u f 2 u i 2 Από 2 ο νόμο Newton, είναι F = ma 2Δx

12 Άρα F = m u f 2 u i 2 2Δx F Δx = 1 2 mu f mu i 2 Το 1 ο μέλος είναι ο ορισμός του έργου σταθερής δύναμης Άρα W ext = 1 2 mu f mu i 2 = K f K i όπου K x η κινητική ενέργεια

13 Η κινητική ενέργεια αναπαριστά την ενέργεια που σχετίζεται με την κίνηση ενός σώματος Μονάδα μέτρησης: 1 Joule (J) Μια άλλη οπτική: W ext = K f K i = ΔK K f = K i + W ext Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας Έργου Όταν σε ένα σύστημα παράγεται έργο και η μόνη αλλαγή σε αυτό αφορά την ταχύτητά του, το συνολικό έργο ισούται με τη μεταβολή στην κινητική ενέργεια του συστήματος

14 Ως τώρα, είδαμε την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων σε ένα σύστημα Ας δούμε συστήματα από δυο ή περισσότερα σωματίδια με δυνάμεις εσωτερικές στο σύστημα

15 Αύξηση ενέργειας συστήματος λόγω έργου της F app Καμιά αλλαγή στην κινητική ενέργεια του συστήματος Άρα δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα Κινητικής Ενέργειας Έργου Η ενέργεια πρέπει να έχει απόθηκευτεί με άλλη μορφή

16 Αν αφήσουμε το βιβλίο, θα πέσει στο ύψος y i Τώρα, το βιβλίο (και το σύστημα) έχει κινητική ενέργεια Προέρχεται από το έργο κατά την ανύψωση του νωρίτερα Η ενέργεια που ήταν απόθηκευμένη στο βιβλίο πριν αυτό αφεθεί να πέσει λέγεται δυναμική ενέργεια

17 Εφαρμόζουμε δύναμη για να ανυψώσουμε το βιβλίο με σταθερή (πολύ αργή) ταχύτητα (έτσι ώστε F app = m g) W ext = F app Δ r = mg j y f y i j = mgy f mgy i = ΔU g Βαρυτική Δυναμική ενέργεια U g = mgy

18 Θυμηθείτε: Είδαμε ότι το έργο που παράγεται σε ένα σύστημα μπορεί να ισοδυναμεί με μεταβολή της κινητικής του ενέργειας, που μεταφράζεται σε κίνηση των μελών του συστήματος. Στην προηγούμενη περίπτωση, είδαμε ότι το έργο που παράγεται εμφανίζεται ως δυναμική ενέργεια, που αναπαριστά αλλαγή στη διάταξη/ διαμόρφωση/σύνθεση των μελών του συστήματος.

19 Σε προβλήματα, πρέπει να επιλέγουμε μια διάταξη των μελών του συστήματος (διάταξη αναφοράς) όπου η βαρυτική δυναμική ενέργεια είναι μηδενική. Για παράδειγμα, η επιφάνεια της Γης. Μερικές φορές, το πρόβλημα «οδηγεί» στην κατάλληλη επιλογή της διάταξης

20 Ας δούμε μια άλλης μορφής δυναμική ενέργεια που μπορεί να έχει ένα σύστημα Σύστημα ελατήριο-σώμα (όχι μόνο σώμα!) Είδαμε νωρίτερα ότι x f 1 W ext = kx dx = 2 kx f kx i 2 x i Το έργο που παράγεται στο σύστημα εξαρτάται από την αρχική και την τελική θέση Είναι κι αυτό μια διάταξη των μελών του συστήματος!

21 Άρα όπου W ext = x f 1 kx dx = 2 kx f kx i 2 x i = U s f U s i = ΔU s U s = 1 2 kx2 η ελαστική δυναμική ενέργεια που σχετίζεται με το σύστημα σώματος-ελατηρίου

22

23 Ας δούμε και μια ακόμη μορφή ενέργειας που μπορεί να έχει ένα σύστημα Σύστημα = επιφάνεια Τριβή ολίσθησης Παράγει έργο στην επιφάνεια Θετικό έργο παράγεται στην επιφάνεια Καμιά μεταβολή στην κινητική κατάστασή της! Καμιά μεταβολή σε δυναμική ενέργεια Πού πήγε η ενέργεια??

24 Η ενέργεια αυτή μετατράπηκε σε εσωτερική ενέργεια του συστήματος Η επιφάνεια θερμάνθηκε! Θα ονομάζουμε την ενέργεια που σχετίζεται με τη θερμοκρασία ενός συστήματος ως εσωτερική ενέργεια, και θα τη συμβολίζουμε με E int

25 Θεωρήστε το διπλανό σχήμα: Η απόσταση που μια μπάλα ολισθαίνει σε μια επικλινή επιφάνεια με τριβές, έχει μεγάλη σημασία για το πόση δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε εσωτερική Μεγαλύτερη απόσταση, μεγαλύτερη δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε εσωτερική (και κινητική ασφαλώς) Υπάρχει εξάρτηση από το «μονοπάτι» Αντίθετα, το έργο της δύναμης της βαρυτικής έλξης δεν εξαρτάται από το «μονοπάτι» που ακολουθεί το σώμα!

26 Αυτή η εξάρτηση από τη διαδρομή («μονοπάτι») που ακολουθεί το σώμα ορίζει δυο κατηγορίες δυνάμεων: Συντηρητικές (conservative) Ανεξάρτητη από τη διαδρομή, π.χ. βαρυτική έλξη Μη συντηρητικές (nonconservative) Εξάρτηση από τη διαδρομή, π.χ. τριβή ολίσθησης Συντηρητικές δυνάμεις - Ιδιότητες: 1. Το έργο που παράγεται από μια τέτοια δύναμη σε ένα σώμα που κινείται ανάμεσα σε οποιαδήποτε δυο σημεία είναι ανεξάρτητο της διαδρομής ανάμεσα σε αυτά. 2. Το έργο που παράγεται από μια τέτοια δύναμη σε ένα σώμα που κινείται σε κλειστή διαδρομή είναι μηδέν.

27 Παραδείγματα συντηρητικών δυνάμεων Δύναμη Βαρυτικής έλξης W g = mg j y f y i j = mgy i mgy f Εξάρτηση μόνο από τα y i, y f W g = 0, σε κλειστή διαδρομή ( y i = y f ) Δύναμη ελατηρίου W s = 1 kx 2 i 2 1 kx 2 f 2 Εξάρτηση μόνο από τα x i, x f W s = 0, σε κλειστή διαδρομή ( x i = x f )

28 Το έργο W int που παράγεται από μια συντηρητική δύναμη σε ένα σώμα που είναι μέλος ενός συστήματος, όταν αυτό αλλάζει από μια διάταξη των μελών του σε μια άλλη, ισούται με την αρχική τιμή της δυναμικής ενέργειας του συστήματος μείον την τελική τιμή αυτής: W int = U i U f = ΔU Προσοχή! Το έργο αυτό παράγεται από ένα σώμα του συστήματος σε ένα άλλο!

29 Μια δύναμη λέγεται μη συντηρητική αν δεν ικανοποιεί τις ιδιότητες 1 και 2 που είδαμε πριν Παράδειγμα: τριβή ολίσθησης Το έργο που παράγεται από μια τέτοια δύναμη εξαρτάται από τη διαδρομή που ακολουθεί το σώμα Ορίζουμε το άθροισμα της κινητικής K και της δυναμικής ενέργειας U ενός συστήματος ως τη μηχανική ενέργεια του συστήματος: E mech = K + U

30 Συσχετίσαμε το έργο μιας συντηρητικής δύναμης που δρα εντός του συστήματος με την αρνητική μεταβολή της δυναμικής ενέργειας: W int = U i U f = ΔU Έστω λοιπόν ένα σύστημα από σώματα στο οποίο δρα μια εσωτερική συντηρητική δύναμη Έστω ότι αυτή η δύναμη προκαλεί αλλαγή της διάταξης του συστήματος λόγω της κίνησης ενός από τα σώματα επάνω στο x άξονα Το έργο της δύναμης αυτής θα είναι W int = x ffx dx = ΔU x i

31 Εναλλακτικά, ΔU = W int = x i x ffx dx Άρα η ΔU είναι αρνητική όταν η F x και η μετατόπιση είναι στην ίδια κατεύθυνση Όταν ένα σώμα χαμηλώνει σε ένα βαρυτικό πεδίο Όταν ένα ελατήριο σπρώχνει ένα σώμα προς τη θέση ισορροπίας του

32 Θεωρώντας μια θέση αναφοράς x i όπου μετράμε όλες τις μεταβολές της δυναμικής ενέργειας ως προς αυτή, ορίζουμε τη συνάρτηση δυναμικής ενέργειας: x ffx U f x = dx + U i x i Θεωρώντας ότι η μετατόπιση είναι απειροστά μικρή, μπορούμε να πούμε ότι F x = du dx Η θέση όπου F x = 0 λέγεται θέση ισορροπίας

33 Σταθερή ισορροπία (stable equilibrium) Ένα σύστημα λέγεται σταθερής ισορροπίας όταν οποιαδήποτε μεταβολή μακριά από τη θέση ισορροπίας του έχει ως συνέπεια μια δύναμη που επαναφέρει το σύστημα στη θέση ισορροπίας του Παραδείγματα: Σύστημα σώματος-ελατηρίου Σύστημα μπίλιας-κυρτού μπώλ Ασταθής ισορροπία (unstable equilibrium) Ένα σύστημα λέγεται ασταθούς ισορροπίας όταν οποιαδήποτε μεταβολή μακριά από τη θέση ισορροπίας του έχει ως συνέπεια μια δύναμη που απομακρύνει περισσότερο το σύστημα από τη θέση ισορροπίας του Παραδείγματα: Σύστημα μολυβιού που ισορροπεί στη μύτη μιας επιφάνειας Ουδέτερη ισορροπία (neutral equilibrium)

34 Η κλίση της συνάρτησης U(x) μας πληροφορεί για την ευστάθεια ή αστάθεια ενός συστήματος Παραδείγματα:

35 Τι πρέπει να θυμόμαστε; Το έργο W που παράγεται σε σύστημα από δύναμη που ασκείται σε αυτό ορίζεται ως W F Δr cos θ = F Δr Έργο δύναμης μεταβ/νου μέτρου Έργο μεταβαλλόμενης δύναμης: Έργο δύναμης ελατηρίου: W s = W ολ = W = F d r x f 1 kx dx = 2 kx i kx f 2 x i Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας Έργου Όταν σε ένα σύστημα παράγεται έργο και η μόνη αλλαγή σε αυτό αφορά την ταχύτητά του, το συνολικό έργο ισούται με τη μεταβολή στην κινητική ενέργεια του συστήματος: K f = K i + W ext

36 Τι πρέπει να θυμόμαστε; Βαρυτική Δυναμική ενέργεια U g = mgy Ελαστική Δυναμική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια Συντηρητικές δυνάμεις: U s = 1 2 kx2 E int 1. Το έργο που παράγεται από μια τέτοια δύναμη είναι ανεξάρτητο της διαδρομής. 2. Το έργο που παράγεται σε κλειστή διαδρομή είναι μηδέν. Το έργο W int που παράγεται από μια συντηρητική δύναμη σε ένα σώμα που είναι μέλος ενός συστήματος: W int = U i U f = ΔU

37 Τι πρέπει να θυμόμαστε; Άθροισμα της κινητικής K και της δυναμικής ενέργειας U ενός συστήματος = μηχανική ενέργεια του συστήματος: E mech = K + U Συνάρτηση δυναμικής ενέργειας: x ffx U f x = dx + U i, Σταθερή ισορροπία (stable equilibrium) x i F x = du dx Οποιαδήποτε μεταβολή μακριά από τη θέση ισορροπίας του έχει ως συνέπεια μια δύναμη που επαναφέρει το σύστημα στη θέση ισορροπίας του Ασταθής ισορροπία (unstable equilibrium) Οποιαδήποτε μεταβολή μακριά από τη θέση ισορροπίας του έχει ως συνέπεια μια δύναμη που απομακρύνει περισσότερο το σύστημα από τη θέση ισορροπίας του Ουδέτερη ισορροπία (neutral equilibrium)

38 Τέλος Διάλεξης