ΕΡΓΟ -ΕΝΕΡΓΕΙΑ. Το στοιχειώδες έργο dw δύναμης F που ασκείται σε ένα σώμα κατά τη στοιχειώδη μετατόπισή του d s είναι η ποσότητα:

Transcript

1 ΕΡΓΟ -ΕΝΕΡΓΕΙΑ Το στοιχειώδες έργο dw δύναμης F που ασκείται σε ένα σώμα κατά τη στοιχειώδη μετατόπισή του d s είναι η ποσότητα: d F d s Παρατηρήσεις Το έργο εκφράζει την ποσότητα της ενέργειας που παράγεται ή καταναλώνεται από τη δύναμη F στο σώμα κατά τη διάρκεια της μετακίνησής του. Το έργο είναι μονόμετρο μέγεθος με μονάδα μέτρησης 1Ν m = Joule Στο έργο συνεισφέρει μόνο η παράλληλη στη μετατόπιση συνιστώσα της δύναμης. Το συνολικό έργο κατά τη μετακίνηση του σώματος από το Α στο Β είναι: F d s

2 Τι σημαίνει ο όρος F d s ; ΣΗΜΕΙΑ ΠΡΟΣΟΧΗΣ Μαθηματικά είναι το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του όρου F d s μεταξύ των σημείων Α και Β πάνω στη συγκεκριμένη διαδρομή που ακολουθεί το σώμα. Πρακτικά ο υπολογισμός του όρου απαιτεί τεχνικές υπολογισμού επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων κάτι που είναι ιδιαίτερα δύσκολο. Ευτυχώς, υπάρχουν εναλλακτικά εργαλεία υπολογισμού του έργου. Το έργο σταθερής δύναμης F παράλληλης στη μετατόπιση F d s = F ds = F ds = FΔs

3 Το έργο του βάρους για την ανύψωση σώματος κατά h. Η δύναμη είναι σταθερή και αντίθετη της μετατόπισης, άρα: 0 h Β d s = 0 h Β ds = 0 h ds = mgh Το έργο ελαστικής δύναμης F = kx σε σώμα που κινείται από το σημείο x 1 στο σημείο x 2. x 2 x 2 x 2 F d x = F dx = k xdx = 1 2 k x x 2 x 1 Όπου θεωρήσαμε ότι η δύναμη είναι στη φορά της μετατόπισης. x 1 Παρατήρηση: κρατείστε στο μυαλό σας για τη συνέχεια ότι στα πιο πάνω παραδείγματα το έργο εξαρτάται από τη διαφορά αρχικής και τελικής θέσης. x 1

4 ΙΣΧΥΣ Ισχύς, P, το έργο που παράγεται ανά μονάδα χρόνου με μονάδες μέτρησης το J/s = Watt (W) P = W t Στιγμιαία ισχύς: P = dw dt W Fds ds υdt dw P F υ dt dw Fds

5 Παίζοντας με τα μαθηματικά. ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ dυ m 1 dt m υ d υ = 2 Β 2 1 mυ 2 Α 2 = Ε k Ε k () F = m α = m dυ dt (2) Δηλαδή, το έργο για τη μετακίνηση ενός σώματος από την αρχική θέση Α στην τελική θέση Β ισούται με τη διαφορά των τιμών της συνάρτησης E K = 1 2 mυ2 μεταξύ τελικής και αρχικής θέσης. Η συνάρτηση E K = 1 2 mυ2 λέγεται κινητική ενέργεια. Αν W > 0 ΔΕ κινητική > 0 Εκιν.τελ - Ε κιν.αρχ > 0 τότε η δύναμη παράγει έργο άρα αυξάνεται η κινητική ενέργεια του συστήματος.

6 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Υπάρχει περίπτωση το έργο για τη μετακίνηση ενός σώματος από την αρχική θέση Α στην τελική θέση Β ισούται με τη διαφορά των τιμών μιας συνάρτησης U μεταξύ αρχικής και τελικής θέσης : F d s = U U() Τότε η συνάρτηση U λέγεται δυναμική ενέργεια και είναι η ενέργεια που έχει ένα σώμα (ή ένα σύστημα σωμάτων) λόγω της θέσης ή της κατάστασής του. Η δυναμική ενέργεια ορίζεται μόνο για τις διατηρητικές δυνάμεις. Διατηρητική (ή συντηρητική) είναι η δύναμη που διατηρεί τη μηχανική ενέργεια του σώματος (βλ. επόμενη διαφάνεια) Για συντηρητική δύναμη F το έργο F d s είναι ανεξάρτητο της διαδρομής που ακολουθεί το σώμα μεταξύ του Α και του Β αλλά εξαρτάται μόνο από τη διαφορά των τιμών της U μεταξύ αρχικής και τελικής θέσης.

7 Διατηρητική (ή συντηρητική) δύναμη: το έργο της σε κάθε κλειστή διαδρομή είναι 0. Α F d s = U U Α = 0 Το παραπάνω κριτήριο εφαρμόζεται δύσκολα για να αναγνωρίσουμε αν μια δύναμη είναι συντηρητική. Υπάρχει όμως η παρακάτω συνθήκη που εξασφαλίζει ότι η δύναμη F είναι συντηρητική: xˆ yˆ zˆ F F z y F F z Fx y F x F = 0 = 0 xˆ yˆ zˆ =0 x y z y z x z x y F F F x y z Με μαθηματική ορολογία: αν ο στροβιλισμός της δύναμης είναι μηδενικός τότε η δύναμη είναι συντηρητική. Το πεδίο δυνάμεων που παράγεται από συντηρητική δύναμη είναι αστρόβιλο! (π.χ. βαρυτικό πεδίο, ηλεκτροστατικό πεδίο)

8 ΣΧΕΣΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Γνωρίζοντας τη συνάρτηση της δυναμικής ενέργειας U = U(x, y, z) πως μπορώ να υπολογίσω τη δύναμη; U x, y,z U x, y,z U x, y,z F = U x, y,z F xˆ yˆ zˆ x y z Για μονοδιάστατη δυναμική ενέργεια, έστω U = U(r) ισχύει: F = du dr r Γνωρίζοντας τη δύναμη πως μπορώ να υπολογίσω τη συνάρτηση της δυναμικής ενέργειας; U x, y, z = R F d r + U(x, y, z ) όπου R = (x, y, z) και Α τυχαίο σημείο με συνιστώσες (x, y, z ) όπου εκεί ορίζω αυθαίρετα την τιμή της δυναμικής ενέργειας (όπως όταν ορίζετε αυθαίρετα το επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας για το βαρυτικό πεδίο).

9 ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Η αρχή αυτή ισχύει μόνο για συντηρητικές δυνάμεις. Γιατί όμως; Μπορούμε να γράψουμε ότι (μόνο για συντηρητικές δυνάμεις): F d s = U U() και σε κάθε περίπτωση ανεξάρτητα από τη φύση της δύναμης: m d υ dt d s = Ε k Ε k () οπότε: U U = Ε k Ε k U + Ε k = U Β + Ε k Β και επειδή τα σημεία Α και Β είναι τυχαία η ποσότητα Ε = U + Ε k διατηρείται και ονομάζεται μηχανική ενέργεια του σώματος.

10 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Θέσεις ισορροπίας του σώματος Είδος ισορροπίας Περιοχή κίνησης σώματος Είδος κίνησης (σε περίπτωση που δίνεται η συνάρτηση U)

11 U:παρουσιάζει ελάχιστο, σημείο ευσταθούς ισορροπίας U: παρουσιάζει μέγιστο, σημείο ασταθούς ισορροπίας U: παρουσιάζει σημείο καμπής, σημείο αδιάφορης ισορροπίας