ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

2 3

3 Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 6. Λ 8. Λ. Σ 7. Σ 9. Λ 3. Λ 8. Λ 3. Σ 4. Σ 9. Σ 3. α) Σ 5. Σ. Σ β) Σ 6. Λ. Λ γ) Σ 7. Λ. Σ 3. Σ 8. Λ 3. α) Σ 33. Σ 9. Λ β) Λ 34. Σ. Λ γ) Σ 35. Λ. Λ δ) Λ 36. Λ. Σ 4. Λ 37. Λ 3. Σ 5. Λ 38. Σ 4. Σ 6. Λ 39. Σ 5. Σ 7. Λ 4. Σ Απαντήσεις στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Α 9. Γ 7. Β.. Β Β. Β 9. Ε 4. Γ. Β. Γ 5. Α 3. Γ Γ. 7. Γ 5. Β 3. Γ Γ 4. Β 5 Γ 33

4 Μερικές ενδεικτικές λύσεις 7. Ο µαθητής συνήθως ξέρει ότι αν f και g παραγωγίσιµες, τότε και fog παραγωγίσιµη. Η ερώτηση έχει στόχο την επισήµανση ότι για να είναι η fog είναι παραγωγίσιµη στο, θα πρέπει η g να είναι παραγωγίσιµη στο και η f παραγωγίσιµη στο g ( ), δηλαδή σε διαφορετικά σηµεία. Έτσι σωστή απάντηση είναι η Β. Θα µπορούσε να προηγηθεί το εξής παράδειγµα: +, ίνονται οι συναρτήσεις: f () =, g () = , Να εξεταστεί η παραγωγισιµότητα των g, f και fog στο σηµείο =. Έχουµε g παραγωγίσιµη στο = και f όχι παραγωγίσιµη στο =. Όµως fog παραγωγίσιµη στο =, αφού η f είναι παραγωγίσιµη στο g () = Εδώ θέλουµε να δείξουµε ότι µπορεί µια συνάρτηση να έχει εφαπτοµένη σ ένα σηµείο, στο οποίο αλλάζει τύπο. Η σωστή απάντηση είναι η Β, γιατί η εφαπτοµένη θα πρέπει να έχει συντελεστή διεύθυνσης f () =. Καµία άλλη ευθεία από τις δοσµένες δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης. 34

5 Απαντήσεις στις ερωτήσεις αντιστοίχισης. α. γ γ ε 3 β 3 α 4 γ 4 δ 5 β 3. ζ 4. β α δ 3 γ 3 α 4 η 4 ε 5 β 5. β 6. γ γ α 3 α 3 β 4 στ Απαντήσεις στις ερωτήσεις διάταξης. φ () < h () < σ () < g () < f (). f () < h (4) < φ ( π ) < σ () < g () 3. υ < υ < υ 4 < υ 3 4. λ h < λ φ < λ f < λ g 35

6 Απαντήσεις - υποδείξεις στις ερωτήσεις ανάπτυξης. α) Αν τα δύο όρια είναι ίσα τότε η f είναι παραγωγίσιµη άρα και συνεχής στο β). Αν τα όρια είναι άνισα θέτουµε g () = h () = f () - f ( ), >. f () - f Τότε [f () - f ()] = () g () = Οµοίως [f () - f ()] =, άρα η f είναι συνεχής στο. + f () - f () = - και - στο =. + ( ), <, και f () - f () =, άρα η f είναι συνεχής - Σχόλιο: Προφανώς το ερώτηµα (β) µπορεί να αντιµετωπισθεί µε πολύ απλούστερο τρόπο, ο σκοπός του όµως είναι να αποτελέσει εφαρµογή της πρότασης του (α) ερωτήµατος.. Για = έχουµε f ( ) h ( ) g ( ) και αφού f ( ) = g ( ), άρα h ( ) = f ( ) = g ( ). Ισχύει f () - f ( ) h () - h ( ) g () - g ( ), οπότε για > f () - f ( ) h () - h ( ) g () - g ( ) και από το κριτήριο παρεµβολής προκύπτει ότι τα όρια αριστερά και δεξιά του της h () - h ( εργαζόµαστε για <. ) συµπίπτουν, άρα h ( ) = f ( ) = g ( ). Όµοια 36

7 3. Η g είναι συνεχής στο, άρα g () = g (). Η f είναι παραγωγίσιµη στο, άρα: + f () - = f (), αφού f () =. Το πρώτο όριο δίνει g () - ενώ το δεύτερο - g (), άρα g () = - g (), δηλαδή g () = - 4. f () = 5 > 3 3 α) όχι β) ναι 5. α) f () - f () + f () - f (), άρα η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο. Αυτό µπορούµε να το διαπιστώσουµε και από τη γραφική παράσταση η οποία στο σηµείο (, ) παρουσιάζει γωνιακό σηµείο. + β) f () = - αν < αν > y C f - - y 37

8 α) f () = < - - Στα = -, = η f δεν είναι παραγωγίσιµη, ενώ στο 3 = 3 είναι παραγωγίσιµη. β) y C f - - y 7. Αν (, f ( )) το σηµείο επαφής, τότε: α) f ( ) = 3 β) f ( ) = εφ 45 γ) f ( ) = δ) f ( ) = ε) f ( ) = στ) f () - f ( ) = ± (που είναι αδύνατο) ζ) Στην ευθεία y - ( - + ) = ( - ) ( ) ανήκει το σηµείο (-, ). Σε καθεµιά από τις παραπάνω περιπτώσεις υπολογίζουµε το (αν υπάρχει). 8. α) y = - β) δεν υπάρχει γ) δ) y y ε) στ) y - 4 = ( + ) 38

9 9. Το άνω ηµικύκλιο είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = Ισχύει f (- 5 ρ - όπου ρ η ζητούµενη ακτίνα και - ρ ρ. ) = εφ 45 = µε f () = Άρα η εξίσωση του κύκλου θα είναι: + y = 5. - ρ -, άρα ρ = 5.. Θα πρέπει f () για κάθε R. Άρα 3α + β + γ, δηλαδή < β < 3αγ. β. α) Ο άξονας συµµετρίας της C f είναι η ευθεία = - α = 3 και οι εικόνες των ριζών ρ, ρ είναι συµµετρικές ως προς αυτή την ευθεία, αφού ρ = και ρ = 4. β) Έστω ρ, ρ οι ρίζες του τριωνύµου. Τότε η f () = α ( - ρ ) ( - ρ ) έχει f () = α ( - ρ ) + α ( - ρ ), οπότε f (ρ ) = α (ρ - ρ ), f (ρ ) = α (ρ - ρ ). Οι εφαπτόµενες στα σηµεία τοµής µε τον y y είναι: β (ε ) y = α (ρ - ρ ) ( - ρ ) και (ε ) y = α (ρ - ρ ) ( - ρ ) για = - α β ρ (επειδή - = + ρ ) οι δυο εξισώσεις δίνουν το ίδιο y, άρα οι (ε ), α β (ε ) τέµνονται πάνω στην = - α 39

10 ln (α ) - ln (α ). α) y - = ( ) β) Για δυο κατάλληλες τιµές του α βρίσκουµε δυο ευθείες και µετά την τοµή τους. Για α = Για α = προκύπτει η ευθεία (ε ): y = e προκύπτει η (ε ): y = l l - Το σηµείο τοµής των (ε ), (ε ) είναι το (, ), το οποίο διαπιστώνουµε εύκολα ότι ανήκει στην ευθεία µε εξίσωση την (α). 3. Έστω Α (, ( - ) ) τυχαίο σηµείο της C f. Η εφαπτοµένη (ε) στο Α έχει εξίσωση y - ( - ) = ( - ) ( ) και το σύστηµα αυτής της εξίσωσης µε την y = ( - ) δίνει µοναδική λύση =, y = ( - ). 4. Προκύπτει f ( + ) + f ( - ) = - για = f () = - 5. α) Ρ ( ) = Q ( ) () τέµνονται στο, Ρ ( ) = Q ( ) κοινή εφαπτοµένη β) (3, ) 6. α) g () = f ( - 4) + 3 β) g () = f ( - 4) γ) g (4) = εφ 4

11 7. α) Για = f () = β) Παραγωγίζοντας τη δοσµένη σχέση προκύπτει: f (ln) = ln. Για = έχουµε f () =, άρα η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι y = f (), όµως για = έχουµε f () =, όµως για = στη δοσµένη προκύπτει f () = -. γ) Για = e f () = και f () = e, άρα η εξίσωση της εφαπτοµένης (ε) στο (, ) είναι η y = e ( - ). H (ε) τέµνει τους άξονες στα (, - e) και (, ), οπότε E = (- e) = e. 8. H (ε) έχει εξίσωση y - = ( ), για = και y = προκύπτει = 4, άρα y =. Όµως το σηµείο (, ) ανήκει στην ευθεία = η οποία είναι εφαπτοµένη της C f, αφού + f () - f - () = + (ε) y y. α) Αν ο βαθµός της f είναι ν τότε η f έχει βαθµό ν -, άρα (ν - ) = ν, δηλαδή ν =. Προφανώς f () = α + β + γ µε f (4) = 8α + β = και (α + β) = α + β + γ, άρα 4α = α, δηλαδή α = και β = -, ενώ 4 γ = β = 4. β) Αν (, f ( )) το σηµείο επαφής, τότε f ( ) = - άρα = και η εφαπτοµένη είναι η (ε): y = α) υ (t) = s (t) = t +. Τη χρονική στιγµή t = η ταχύτητα υ () =, άρα το κινητό δεν ήταν σε κατάσταση ηρεµίας. β) γ (t) = υ (t) = - (t + ) <, άρα έχουµε επιβράδυνση 4

12 γ) υ (3) = 4 και γ (3) = 6. α) Για = y = στη δοσµένη σχέση προκύπτει f () = - α β) Για = και y = προκύπτει α ( - e) =, άρα α = f ( γ) f ( ) = + h) - f ( ) µε βάση τη δοσµένη σχέση. h h Για = και y = h προκύπτει: f ( ) = αλλά ενώ h h h e f (h) + f () h h e h - +, h e h - = g () όπου g () = e, άρα g () =, h e f (h) = h e h [f (h) - f h ()] = e f (). 3. α) Αφού f (- ) = - f () () άρα f () = - f (), δηλαδή f () = β) Από την () έχουµε - f (- ) = - f (), άρα f (- ) = - f (), δηλαδή η f είναι και αυτή περιττή, άρα f () =. 4. α) Αν παραγωγίσουµε και τα δύο µέλη της αρχικής ισότητας προκύπτει (ν + ) ν ( -) - ( ( -) ν+ -) = ν ν- β) Παρατηρούµε ότι απλά εφαρµόζεται ο τύπος που προέκυψε στο (α) ερώτηµα για = και ν = 5. Το 4 δεν µπορεί να γραφεί για κάθε R 4