Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R
|
|
- Νανα Παπαντωνίου
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο.
2 Περιεχόµενα Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στο Στατιστικό Πακέτο R Περιγραφική Στατιστική Προσοµοίωση Στατιστική Συµπερασµατολογία Ένα Δείγµα Δύο Ανεξάρτητα Δείγµατα Δείγµατα κατά Ζεύγη Ποσοστά Έλεγχος καλής προσαρµογής Πίνακες Συνάφειας 2 2 Ανάλυση Παλινδρόµησης Ανάλυση Διασποράς Περιγραφική Στατιστική 2
3 Εισαγωγή Ας υποθέσουµε ότι έχουµε ένα ερευνητικό ερώτηµα που αφορά στο αποτέλεσµα ενός τυχαίου πειράµατος, και έχουµε συλλέξει µε τυχαίο τρόπο δεδοµένα, τα οποία θα µας βοηθήσουν να ποσοτικοποιήσουµε την αβεβαιότητά µας. Μεταφέρουµε τα δεδοµένα στον Η/Υ και µε τρόπους που αναφέραµε πριν διαβάζουµε αυτά τα δεδοµένα στην R. Περιγραφική Στατιστική 3
4 Εισαγωγή Τα δεδοµένα τις περισσότερες φορές τα αναπαριστούµε µε την βοήθεια ενός n p πίνακα, του οποίου οι γραµµές αποτελούν τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από µια µονάδα του δείγµατος και οι στήλες τις µεταβλητές (χαρακτηριστικά του πληθυσµού) για τις οποίες ενδιαφερόµαστε. Άρα έχουµε πληροφορία για p µεταβλητές για n µονάδες του πληθυσµού (δείγµα). Περιγραφική Στατιστική 4
5 Κωδικοποίηση Αρκετές φορές κωδικοποιούµε τις µεταβλητές ειδικά αν αυτές είναι κατηγορικές. Πρέπει να είµαστε όµως προσεκτικοί. Ειδικά αν η µεταβλητή είναι ονοµαστική, είναι λάθος να αντικαταστήσουµε τις κατηγορίες µε αριθµητικές τιµές διότι έτσι οι κατηγορίες αποκτούν προσδιορισµένη σχέση και διάταξη. Αντίθετα δεν υπάρχει τόσο µεγάλο πρόβληµα αν η µεταβλητή είναι διατάξιµη. Το µόνο ερωτηµατικό σε τέτοιου είδους κωδικοποιήσεις είναι αν υπάρχει συµφωνία µεταξύ των αποστάσεων των κατηγοριών της διατάξιµης µεταβλητής και της διακριτής µεταβλητής που την αντικαθιστά. Τέλος δεν υπάρχει κανένα πρόβληµα όταν κωδικοποιούµε µια δίτιµη µεταβλητή. Περιγραφική Στατιστική 5
6 Ακραίες, Αγνοούµενες και Εσφαλµένες Τιµές Είναι αρκετά σηµαντικό προτού ξεκινήσουµε οποιαδήποτε Στατιστική Ανάλυση να ελέγξουµε τα δεδοµένα µας για λάθη ή παραλήψεις, να κάνουµε δηλαδή µια διερευνητική ανάλυση δεδοµένων (Exploratory Data Analysis). Με την βοήθεια απλών περιγραφικών πινάκων ή γραφηµάτων (όπως θα τα δούµε παρακάτω) µπορούµε να εντοπίσουµε προβληµατικές τιµές ή και µονάδες του δείγµατος. Περιγραφική Στατιστική 6
7 Ακραίες, Αγνοούµενες και Εσφαλµένες Τιµές Αρκετά συχνά παρατηρούµε ότι κάποια ή κάποιες τιµές µιας συγκεκριµένης µεταβλητής είναι ακραίες (outliers), αποµακρυσµένες δηλαδή από τις υπόλοιπες τιµές της εν λόγω µεταβλητής. Τέτοιες τιµές δεν πρέπει να τις αντιµετωπίζουµε ως λανθασµένες, παρά µόνο αν είµαστε σίγουροι ότι πράγµατι είναι. Ένας τρόπος να µειώσουµε την επιρροή αυτών των τιµών στα τελικά µας αποτελέσµατα είναι µε την χρήση κατάλληλων στατιστικών τεχνικών ή µε κάποιον µετασχηµατισµό των δεδοµένων. Περιγραφική Στατιστική 7
8 Ακραίες, Αγνοούµενες και Εσφαλµένες Τιµές Αρκετά συχνά επίσης ερχόµαστε αντιµέτωποι µε αγνοούµενες τιµές (missing values), δηλαδή µε κάποιες µονάδες του δείγµατος που περιέχουν ελλιπή πληροφορία µιας και απουσιάζουν οι τιµές κάποιων µεταβλητών. Συχνά προσπαθούµε να εκτιµήσουµε την αγνοούµενη τιµή µε την βοήθεια των υπόλοιπων τιµών. Σε µία τέτοια λύση θα πρέπει να καταλήγουµε µόνο αν το δείγµα µας είναι πολύ µικρό και δεν έχουµε την πολυτέλεια να χάσουµε επιπλέον πληροφορία λόγω των αγνοούµενων τιµών. Είναι σηµαντικό να χρησιµοποιούµε το ίδιο σύµβολο για όλες τις αγνοούµενες τιµές. Το σύµβολο αυτό πρέπει να συµφωνεί µε το σύµβολο που χρησιµοποιεί το πακέτο στο οποίο θα γίνει η ανάλυση. Στην R, π.χ. το σύµβολο αυτό είναι το ΝA. Περιγραφική Στατιστική 8
9 Ακραίες, Αγνοούµενες και Εσφαλµένες Τιµές Τέλος υπάρχουν περιπτώσεις που µε βεβαιότητα αντιλαµβανόµαστε ότι µια τιµή είναι εσφαλµένη. Σε αυτές τις περιπτώσεις πρέπει να ελέγξουµε αν το λάθος προήλθε από την µεταφορά των δεδοµένων στον Η/Υ και ρωτάµε αυτόν που σύλλεξε το δείγµα αν γνωρίζει την σωστή τιµή. Αν δεν µάθουµε την σωστή τιµή αντικαθιστούµε την εσφαλµένη τιµή µε µια αγνοούµενη. Συνηθισµένα λάθη που γίνονται κατά την µεταφορά των δεδοµένων στον Η/Υ είναι η αντιστροφή ψηφίων, και οι διπλοεγγραφές. Περιγραφική Στατιστική 9
10 Περιγραφική Στατιστική Σκοπός της Περιγραφικής Στατιστικής είναι να δώσει µια συνοπτική παρουσίαση του δείγµατος, καθώς επίσης και να ελέγξει την ορθότητα των τιµών του. Αποτελείται από διάφορες Αριθµητικές και Γραφικές Μεθόδους. Η επιλογή των κατάλληλων αριθµητικών και γραφικών µεθόδων γίνεται µε βάση τον τύπο της µεταβλητής που θέλουµε να παρουσιάσουµε. Περιγραφική Στατιστική 10
11 Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Αριθµητικές Μέθοδοι Γραφικές Μέθοδοι Μέτρα Θέσης Μέτρα Μεταβλητότητας Περιγραφική Στατιστική 11
12 Ποσοτικές Μεταβλητές A. Αριθµητικές Μέθοδοι. 1. Μέτρα Θέσης: 1. Δειγµατικός Μέσος (Mean). Ο Δειγµατικός µέσος είναι το συνηθέστερο µέτρο θέσης για παρατηρήσεις από µια ποσοτική µεταβλητή. Έχει το µειονέκτηµα όµως ότι επηρεάζεται από ακραίες παρατηρήσεις. Περιγραφική Στατιστική 12
13 Ποσοτικές Μεταβλητές 2. Δειγµατική Διάµεσος (Median). Η µεσαία παρατήρηση από το δείγµα είναι η δειγµατική διάµεσος. Αν το µέγεθος του δείγµατος είναι n=2m-1 (περιττό) τότε η δειγµατική διάµεσος ισούται µε y m, όπου y 1,,y n είναι το διατεταγµένο δείγµα. Όταν n=2m (άρτιο) τότε η δειγµατική διάµεσος ισούται µε (y m + y m+1 )/2. Έχει το πλεονέκτηµα ότι δεν επηρεάζεται από ακραίες παρατηρήσεις. 3. Δειγµατική Κορυφή (Mode). Η παρατήρηση µε την µεγαλύτερη συχνότητα. Ως µέτρο έχει νόηµα να υπολογιστεί σε περιπτώσεις όπου έχουµε επαναλήψεις ίδιων τιµών, γεγονός που συνήθως συµβαίνει µόνο για διακριτά δεδοµένα. 2. Μέτρα Μεταβλητότητας: 1. Δειγµατική Διασπορά Τυπική Απόκλιση (Variance Standard Deviation). Για να εκφράσουµε πόσο µακριά είναι οι παρατηρήσεις από τον δειγµατικό µέσο συνήθως υπολογίζουµε την δειγµατική διασπορά s 2 ή την θετική τετραγωνική της ρίζα που καλείται δειγµατική τυπική απόκλιση s. Έχει το µειονέκτηµα ότι επηρεάζεται από ακραίες παρατηρήσεις. Περιγραφική Στατιστική 13
14 Ποσοτικές Μεταβλητές 2. Εύρος Δείγµατος (Range). Η διαφορά µεταξύ της µεγαλύτερης και µικρότερης παρατήρησης. Προφανώς επηρεάζεται από ακραίες παρατηρήσεις. 3. Ενδοτεταρτηµοριακό Εύρος (interquartile range - IQR). Η διαφορά του τρίτου από το πρώτο τεταρτηµόριο. Το τρίτο τεταρτηµόριο (3 rd quartile) είναι η παρατήρηση εκείνη που είναι µεγαλύτερη ή ίση από το 75% ακριβώς των παρατηρήσεων ενώ το πρώτο τεταρτηµόριο (1 st quartile) είναι η παρατήρηση εκείνη που είναι µεγαλύτερη ή ίση από το 25% ακριβώς των παρατηρήσεων. Το ενδοτεταρτηµοριακό εύρος έχει το πλεονέκτηµα ότι δεν επηρεάζεται από ακραίες παρατηρήσεις. Περιγραφική Στατιστική 14
15 Ποσοτικές Μεταβλητές Παράδειγµα 1: Τα παρακάτω δεδοµένα εκφράζουν την διάρκεια ζωής (σε ώρες) 20 ηλεκτρονικών εξαρτηµάτων του αυτού τύπου Περιγραφική Στατιστική 15
16 Ποσοτικές Μεταβλητές Εισάγουµε τα δεδοµένα στην R x<-c(46, 104, 94, 114, 35, 70, 120, 29, 19, 135, 200, 222, 89, 100, 55, 214, 15, 81, 118, 193) Εναλλακτικά θα µπορούσαµε τα είχαµε διαβάσει από ένα αρχείο. Με την εντολή summary παίρνουµε κάποια από τα αριθµητικά µέτρα που συζητήσαµε πριν. > summary(x) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max Περιγραφική Στατιστική 16
17 Ποσοτικές Μεταβλητές Εντολή mean(x) min(x) max(x) median(x) var(x) sd(x) quantile(x,p) Σηµασία Δειγµατικός Μέσος Μικρότερη παρατήρηση Μεγαλύτερη Παρατήρηση Δειγµατική Διάµεσος Δειγµατική Διασπορά Δειγµατική Τυπική Απόκλιση Επιστρέφει το p ποσοστηµόριο. Για p=0.25 και p=0.75 έχουµε το 1 ο και 3 ο τεταρτηµόριο Περιγραφική Στατιστική 17
18 Ποσοτικές Μεταβλητές B. Γραφικές Μέθοδοι. 1. Ιστόγραµµα. Για την κατασκευή ενός ιστογράµµατος συχνοτήτων, χρειάζεται να οµαδοποιήσουµε τα δεδοµένα µας, και εν συνεχεία να σχηµατίσουµε διαδοχικά ορθογώνια των οποίων οι βάσεις είναι τα διαστήµατα των κλάσεων που δηµιουργήσαµε και το ύψος τους είναι ίσο µε την συχνότητα των παρατηρήσεων στην αντίστοιχη κλάση. Στις περισσότερες περιπτώσεις, δηµιουργούµε κλάσεις ίδιου εύρους οπότε τα ορθογώνια έχουν τότε εµβαδά ανάλογα των αντίστοιχων συχνοτήτων. Περιγραφική Στατιστική 18
19 Ποσοτικές Μεταβλητές > hist(x) Περιγραφική Στατιστική 19
20 Ποσοτικές Μεταβλητές Αν θέλουµε µπορούµε εµείς να προεπιλέξουµε τον αριθµό των κλάσεων. Η R δεν θα τηρήσει πάντα την επιλογή µας, θα κατασκευάσει το ιστόγραµµα µε τον κοντινότερο αριθµό κλάσεων µε αυτόν που ζητήσαµε, έτσι ώστε να µπορέσει να διατηρήσει το ίδιο πλάτος στις κλάσεις. > hist(x, nclass=10) Περιγραφική Στατιστική 20
21 Ποσοτικές Μεταβλητές Μπορούµε επίσης αν επιθυµούµε να ορίσουµε τα όρια των κλάσεων > hist(x, breaks=seq(from=0,to=240,by=30)) Περιγραφική Στατιστική 21
22 Ποσοτικές Μεταβλητές Τέλος µπορούµε στον yy άξονα αντί για συχνότητες να έχουµε πυκνότητα, και το συνολικό εµβαδόν του ιστογράµµατος να ολοκληρώνει στην µονάδα. Έτσι παίρνουµε µια εκτίµηση της κατανοµής της µεταβλητής. > hist(x, probability=t) Περιγραφική Στατιστική 22
23 Ποσοτικές Μεταβλητές 2. Θηκογράφηµα (box plot). Για να παρουσιάσουµε τα κυριότερα χαρακτηριστικά µιας κατανοµής συνήθως δηµιουργούµε ένα θηκογράφηµα. Για την κατασκευή του δηµιουργούµε ένα ορθογώνιο µε κάτω βάση στο πρώτο και άνω βάση στο τρίτο τεταρτηµόριο. Εν συνεχεία παριστάνουµε την διάµεσο µε ένα ευθύγραµµο τµήµα µέσα στο ορθογώνιο. Έπειτα φέρουµε ευθύγραµµα τµήµατα στις 2 οριακές τιµές που ορίζονται ως το 3 0 (αντίστοιχα 1 ο ) τεταρτηµόριο συν (αντίστοιχα µείον) 1.5 φορές το ενδοτεταρτηµοριακό εύρος. Αν δεν υπάρχουν παρατηρήσεις τόσο µακριά, οι γραµµές τοποθετούνται πιο κοντά στο 1 ο και 3 ο τεταρτηµόριο. Τέλος πιο ακραίες τιµές (αν υπάρχουν) παριστάνονται µε µια κουκκίδα. Περιγραφική Στατιστική 23
24 Ποσοτικές Μεταβλητές > boxplot(x) Περιγραφική Στατιστική 24
25 Ποσοτικές Μεταβλητές Τα θηκογραφήµατα είναι χρήσιµα για να συγκρίνουµε δύο δείγµατα. Έστω ότι επιπλέον µε τα δεδοµένα του 1 ου παραδείγµατος έχουµε και τις διάρκειες ζωής (σε ώρες) 20 ηλεκτρονικών εξαρτηµάτων κάποιου άλλου τύπου Περιγραφική Στατιστική 25
26 Ποσοτικές Μεταβλητές > y<-c(60,119,100,130,43,227,23,91,128,199,85,125,40,26,141, 212,238,94,111,67) > boxplot(x,y, names=c( X, Y )) όνοµα για κάθε θηκογράφηµα Περιγραφική Στατιστική 26
27 Κατηγορικές Μεταβλητές A. Αριθµητικές Μέθοδοι. Πίνακες Συχνοτήτων. Παράδειγµα 2. Τα παρακάτω δεδοµένα αφορούν τον τρόπο (αυτοκίνητο=c, µετρό=μ, λεωφορείο=β και πόδια=f) όπου επιλέγουν 20 Αθηναίοι για να πάνε κάθε πρωί στην δουλειά τους C C B M M C M M F C F B B M M C C C M C Περιγραφική Στατιστική 27
28 Κατηγορικές Μεταβλητές Περνάµε τα δεδοµένα στην R > A<-c("C", "C", "B", "M", "M", "C", "M", "M", "F", "C", "F", "B", "B", "M", "M", "C", "C", "C", "M", "C") Με την εντολή table βλέπουµε τις συχνότητες σε κάθε κατηγορία. > table(a) A B C F M Μπορούµε να δούµε και τις σχετικές συχνότητες > prop.table(table(a)) A B C F M Περιγραφική Στατιστική 28
29 Κατηγορικές Μεταβλητές Έστω ότι στο προηγούµενο παράδειγµα οι 10 πρώτοι ήταν άντρες και οι υπόλοιποι 10 γυναίκες. Έτσι έχουµε και µια άλλη κατηγορική µεταβλητή το φύλο. > Gender<-c(rep("M",10), rep("f", 10)) > Gender [1] "M" "M" "M" "M" "M" "M" "M" "M" "M" "M" "F" "F" "F" "F" "F" "F" "F" "F" "F" "F" Μπορούµε τότε να κατασκευάσουµε το πίνακα συνάφειας (contingency table), όπου απεικονίζει τη διµεταβλητή κατανοµή συχνοτήτων για τις δύο κατηγορικές µεταβλητές. Περιγραφική Στατιστική 29
30 Κατηγορικές Μεταβλητές > mytable<-table(a,gender) > mytable Gender A F M B 2 1 C 4 4 F 1 1 M 3 4 > margin.table(mytable, 1) A B C F M µέσο > margin.table(mytable, 2) Gender F M συχνότητες για το µεταφ. συχνότητες για το φύλο > prop.table(mytable) Gender A F M B C F M > prop.table(mytable, 1) Gender A F M B C F M > prop.table(mytable, 2) Gender A F M B C F M Σχετικές συχνότητες κελιών Σχετικές συχνότητες γραµµών Σχετικές συχνότητες στηλών Περιγραφική Στατιστική 30
31 Κατηγορικές Μεταβλητές B. Γραφικές Μέθοδοι 1. Ραβδόγραµµα. Στο ραβδόγραµµα οι κατηγορίες της µεταβλητής παρουσιάζονται στον ένα άξονα και οι αντίστοιχες συχνότητες τους στον άλλο άξονα, και εν συνεχεία κατασκευάζονται ορθογώνια πάνω από κάθε κατηγορία µε ύψος ίσο µε την αντίστοιχη συχνότητα της. 2. Τοµεόγραµµα. Στο τοµεόγραµµα διαιρούµε ένα κύκλο σε κυκλικούς τοµείς µε εµβαδά ανάλογα προς τις σχετικές συχνότητες των κατηγοριών. Περιγραφική Στατιστική 31
32 Κατηγορικές Μεταβλητές > AA<-table(A) > AA A B C F M > barplot(aa) Περιγραφική Στατιστική 32
33 Κατηγορικές Μεταβλητές > pie(aa) Περιγραφική Στατιστική 33
34 Ραβδογράµµατα για δύο κατηγορικές µεταβλητές Μπορούµε να παραστήσουµε ταυτόχρονα δύο κατηγορικές µεταβλητές µε τη βοήθεια ραβδογραµµάτων. Π.χ. > x<-c("m","m","f","m","f","f","f","m","f","f","m") > y<-c("a","b","a","c","c","b","a","a","b","a","c") > z<-table(x,y) > z y x A B C F M > par(mfrow=c(1,2)) > barplot(z,col=c("darkred","darkblue"), legend=c ("Women","Men")) > barplot(z,col=c("darkred","darkblue"), beside=t, horiz=t) Περιγραφική Στατιστική 34
35 Ραβδογράµµατα για δύο κατηγορικές µεταβλητές Men Women A B C A B C Περιγραφική Στατιστική 35
36 Περισσότερα στα Γραφήµατα Με την εντολή plot, µπορούµε να αναπαραστήσουµε γραφικά τις τιµές ενός διανύσµατος. Για τα δεδοµένα x του 1 ου παραδείγµατος, έχουµε >plot(x) Περιγραφική Στατιστική 36
37 Περισσότερα στα Γραφήµατα Τα δεδοµένα που αναπαριστάνουµε µπορούν να απεικονιστούν µε διάφορους τρόπους µε την βοήθεια του ορίσµατος type. Π.χ. > plot(x, type='l') Περιγραφική Στατιστική 37
38 Περισσότερα στα Γραφήµατα Σύµβολο p l b c ο h s n Σηµασία Σηµεία Γραµµή Γραµµή και σηµεία Γραµµή µε κενό στα σηµεία Γραµµή και σηµεία ενωµένα Κάθετες γραµµές για κάθε σηµείο Με βήµα Τίποτα Περιγραφική Στατιστική 38
39 Περισσότερα στα Γραφήµατα Σε κάθε εντολή δηµιουργίας γραφηµάτων µπορούν να δοθούν ορίσµατα βελτίωσης της εικόνας τους. Με την παράµετρο main δίνουµε τίτλο στο γράφηµα. Με την παράµετρο submain δίνουµε υπότιτλο στο γράφηµα. Με τις παραµέτρους xlab και ylab δίνουµε τίτλους στους άξονες. Με την παράµετρο xlim και ylim δίνουµε επιθυµητό εύρος τιµών για τους άξονες. Περιγραφική Στατιστική 39
40 Περισσότερα στα Γραφήµατα > hist(x,main="histogram of X", sub="31/05/2009", xlab="x", ylab="frequency", ylim=c(0,8), xlim=c(0,300)) Περιγραφική Στατιστική 40
41 Περισσότερα στα Γραφήµατα Όλες αυτές οι παράµετροι µπορούν να δοθούν σε ένα ήδη υπάρχον γράφηµα µε την βοήθεια της εντολής title. > hist(x) > title(main="histogram of X", sub="31/05/2009", xlab="x", ylab="frequency", ylim=c(0,8), xlim=c(0,300)) Περιγραφική Στατιστική 41
42 Περισσότερα στα Γραφήµατα Μπορούµε στο ίδιο παράθυρο να έχουµε πολλά γραφήµατα σε µια διάταξη µε γραµµές και στήλες. Περιγραφική Στατιστική 42
43 Περισσότερα στα Γραφήµατα > par(mfrow=c(2,4)) > plot(x, type="p") > title(main="points") > plot(x, type="l") > title(main="lines") > plot(x, type="b") > title(main="points and Lines") > plot(x, type="c") > title(main="lines Part Alone") > plot(x, type="o") > title(main="lines with Points overstruck") > plot(x, type="h") > title(main="high Density") > plot(x, type="s") > title(main="stairstep") > plot(x, type="n") > title(main="none") Περιγραφική Στατιστική 43
44 Περισσότερα στα Γραφήµατα Περιγραφική Στατιστική 44
45 Περισσότερα στα Γραφήµατα Σε ένα γράφηµα µπορούµε να προσθέσουµε διάφορες γραµµές οι οποίες µπορούν να είναι διαφορετικού είδους (lty) ή χρώµατος (col) για να τις διαφοροποιήσουµε µε τις εντολές abline και line. Περιγραφική Στατιστική 45
46 Περισσότερα στα Γραφήµατα > plot(x, ylim=c(0,250)) > abline(v=10, col=2) > abline(h=150, lty=2) > abline(0,2, lty=3, col=3) > y<-x+20 > lines(y, col=4) Νέα δεδοµένα y Η ευθεία x=10 Η ευθεία y=150 Η ευθεία y=0 + 2x Απεικόνιση των y τα οποία είναι ενωµένα µε ευθεία. Περιγραφική Στατιστική 46
47 Περισσότερα στα Γραφήµατα Περιγραφική Στατιστική 47
48 Περισσότερα στα Γραφήµατα Είναι επίσης δυνατόν να προσθέσουµε µια λεζάντα που να επεξηγεί το γράφηµα. > plot(x, ylim=c(0,250)) > abline(v=10, col=2) > abline(h=50, lty=2) > legend(1,230, lty=c(2,1), col=1:2,legend=c("y=50", "x=10")) συντεταγµένες λεζάντας Περιγραφική Στατιστική 48
49 Περισσότερα στα Γραφήµατα Περιγραφική Στατιστική 49
50 Περισσότερα στα Γραφήµατα Τέλος µε την εντολή text µπορούµε να εµφανίσουµε χαρακτήρες αντί για σηµεία. Για παράδειγµα έστω τα βάρη 5 ανδρών και 5 γυναικών: > weight<-c(72, 83, 79, 90, 88, 60, 55, 70, 72, 74) > gender<-rep(c("m", "F"), each=5) > gender [1] "M" "M" "M" "M" "M" "F" "F" "F" "F" "F" > plot(weight, type='n') > text(weight, label=gender) Περιγραφική Στατιστική 50
51 Περισσότερα στα Γραφήµατα Περιγραφική Στατιστική 51
Εισαγωγή στη Στατιστική
Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R
Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R
Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Αναπληρωτής Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΓνωριμία με τον προγραμματισμό μέσω της γλώσσας R Στοιχεία Περιγραφικής Στατιστικής
Γνωριμία με τον προγραμματισμό μέσω της γλώσσας R Στοιχεία Περιγραφικής Στατιστικής Περιγραφική Στατιστική Ποσοτικές Μεταβλητές (1) Ποσοτικές Μεταβλητές Αριθμητικές Μέθοδοι (1) 1. Μέτρα Θέσης: 1. Δειγματικός
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική
Μάθηµα 3 ο Περιγραφική Στατιστική ΗΣτατιστικήείναι Μια τυποποιηµένη σειρά αναλυτικών µεθόδων, οι οποίες χρησιµοποιούνται από τον εκάστοτε ερευνητή για την ανάλυση των διαθέσιµων δεδοµένων. Υπάρχουν δύο
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R
Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη
Διαβάστε περισσότεραΠεριγραφική Στατιστική
Ιωάννης Παραβάντης Επίκουρος Καθηγητής Τµήµα ιεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών Πανεπιστήµιο Πειραιώς Φεβρουάριος 2010 Περιγραφική Στατιστική 1. εδοµένα Θεωρούµε το ακόλουθο σύνολο δεδοµένων (data set): NUM1
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R
Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική
ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2. Περιγραφική Στατιστική Βασικά είδη στατιστικής ανάλυσης 1. Περιγραφική στατιστική: περιγραφή του συνόλου των δεδοµένων (δείγµατος) 2. Συµπερασµατολογία: Παραγωγή συµπερασµάτων για τα
Διαβάστε περισσότεραΚατανοµές. Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται από το σχήµα του ιστογράµµατος (histogram).
Ιωάννης Παραβάντης Επίκουρος Καθηγητής Τµήµα ιεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μάρτιος 2010 Κατανοµές 1. Οµοιόµορφη κατανοµή Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται
Διαβάστε περισσότεραΓραφήµατα. Κεφάλαιο Απλά Γραφήµατα. > x <- rnorm(50, mean=1, sd=2) > plot(x) > y <- seq(0,20,.1) > z <- exp(-y/10)*cos(2*y)
Κεφάλαιο 4 Γραφήµατα Τα γραφήµατα είναι πολύ χρήσιµα για την οπτική αναπαράσταση των δεδοµένων και καθοδηγούν τον στατιστικό στην διαδικασία της µοντελοποίησης και αξιολόγησης της ανάλυσης. Το κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
.Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Οι µεταβλητές µιας στατιστικής έρευνας αποτελούνται συνήθως από ένα µεγάλο πλήθος στοιχείων που αφορούν τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει. Για να
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΔιερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis
Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Περιλαμβάνει ένα σύνολο αριθμητικών και γραφικών μεθόδων, που μας επιτρέπουν να αποκτήσουμε μια πρώτη εικόνα για την κατανομή των τιμών της μεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΠοιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου
Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε µε τη χρήση µιας εικοσαβάθµιας κλίµακας) παρουσιάζεται
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ
ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται
Διαβάστε περισσότεραΠοιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς
Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη, 2014-2015 Εµπειρικές Στατιστικές
Διαβάστε περισσότεραΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί)
ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) Α. Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών.(11 βαθµοί) (1:3 βαθµοί, 2-9:8 βαθµοί) 1. ίνεται ο πίνακας: Χ
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R
Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο
Διαβάστε περισσότεραΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας
ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας Επικοινωνία: Πτέρυγα 4, Τοµέας Κοινωνικής Ιατρικής Εργαστήριο Βιοστατιστικής Τηλ. 4613 e-mail: biostats@med.uoc.gr thalegak@med.uoc.gr
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R
Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Αναπληρωτής Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότερα2) Περιγραφή ιακριτών Ποσοτικών εδοµένων
) Περιγραφή ιακριτών Ποσοτικών εδοµένων Για να περιγράψουµε διακριτά ποσοτικά δεδοµένα µε λίγες τιµές ( σε περίπτωση πολλών τιµών τα θεωρούµε ως συνεχή) κάνουµε: Πίνακας συχνοτήτων Ραβδόγραµµα, Κυκλικό
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R
Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΔιερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis
Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Περιλαμβάνει ένα σύνολο αριθμητικών και γραφικών μεθόδων, που μας επιτρέπουν να αποκτήσουμε μια πρώτη εικόνα για την κατανομή των τιμών της μεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΟι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας
Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436
ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 Χειμερινό εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Μέτρα
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Ανασκόπηση βασικών εννοιών Στατιστικής και Πιθανοτήτων Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana
Διαβάστε περισσότεραΔείκτες Κεντρικής Τάσης και Διασποράς. Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη
Δείκτες Κεντρικής Τάσης και Διασποράς Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Εμπειρικές Στατιστικές Κατανομές Τα προβλήματα που γεννιούνται κατά την σύγκριση
Διαβάστε περισσότεραΜέρος V. Στατιστική. Εισαγωγή: Βασικές έννοιες και ορισμοί. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics)
Μέρος V. Στατιστική Εισαγωγή: Βασικές έννοιες και ορισμοί Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics) Σημαντικές κατανομές δειγματοληψίας (Sampling distributions) Διαστήματα Εμπιστοσύνης (Confidence
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5. Οι δείκτες διασποράς
Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε
Διαβάστε περισσότεραΕλλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων
Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C
Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Επιχειρήσεων Ι. Περιγραφική Στατιστική 1
Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Περιγραφική Στατιστική 1 2 Πληθυσμός ή στατιστικός πληθυσμός Ονομάζεται η κατανομή των τιμών μιας τ.μ., δηλαδή η κατανομή των τιμών που παίρνει ένα χαρακτηριστικό μιας ομάδας
Διαβάστε περισσότεραΔρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική
Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι
Χειμερινό εξάμηνο 2010-2011 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 Περιγραφική Στατιστική Ι users.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )
Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.
Διαβάστε περισσότεραR & R- Studio. Πασχάλης Θρήσκος PhD Λάρισα
R & R- Studio Πασχάλης Θρήσκος PhD Λάρισα 2016-2017 pthriskos@mnec.gr Εισαγωγή στο R Διαχείριση Δεδομένων R Project Περιγραφή του περιβάλλοντος του GNU προγράμματος R Project for Statistical Analysis Γραφήματα
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση
Διαβάστε περισσότεραΠεριγραφική Στατιστική
Περιγραφική Στατιστική Παναγιώτα Λάλου. Βασικές έννοιες Ορισμός: Στατιστικός πληθυσμός ονομάζεται το σύνολο των πειραματικών μονάδων π.χ άνθρωποι, ζώα, επιχειρήσεις κ.λπ, οι οποίες συμμετέχουν στην έρευνα
Διαβάστε περισσότερα28/11/2016. Στατιστική Ι. 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική)
Στατιστική Ι 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική) 1 2 Πληθυσμός ή στατιστικός πληθυσμός Ονομάζεται η κατανομή των τιμών μιας τ.μ., δηλαδή η κατανομή των τιμών που παίρνει ένα χαρακτηριστικό μιας ομάδας
Διαβάστε περισσότεραΈστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς
Διασπορά Μέτρηση Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς ομάδες έχουν μέση βαθμολογία 6. συνέχεια
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ)
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Μέτρα θέσης και διασποράς (Εισαγωγή) Μέση τιμή Διάμεσος Σταθμικός μέσος Επικρατούσα τιμή Εύρος Διακύμανση Τυπική απόκλιση Συντελεστής μεταβολής Κοζαλάκης
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε
Διαβάστε περισσότερα2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ
.3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι
Διαβάστε περισσότεραΒιοστατιστική ΒΙΟ-309
Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2013-2014 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό ή ιδιότητα που μπορεί να πάρει διαφορετικές τιμές
Διαβάστε περισσότερα3 ο Φυλλάδιο Ασκήσεων. Εφαρμογές
ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Εφαρμογές 2 ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Εφαρμογή 1 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΗΣ ΗΛΙΚΙΑΣ ΤΩΝ ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ ΣΕ ΔΥΟ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ Παρακάτω βλέπουμε τα ιστογράμματα και τα πολύγωνα των σχετικών (%) και σχετικών αθροιστικών
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 3
(ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Δείκτες Κεντρικής Τάσης
Κεφάλαιο 4 Δείκτες Κεντρικής Τάσης 1 Οι Δείκτες Κεντρικής Τάσης Είναι αριθμητικές τιμές που δείχνουν το ΚΕΝΤΡΟ της κατανομής Η Δεσπόζουσα Τιμή (Δσπ) Η Διάμεσος (Δμ ή δ) Ο Μέσος Όρος (Μ.Ο) 2 Η Δεσπόζουσα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1.1 Περιγραφή Στατιστικών εδοµένων. p i = f i n. (1.1) F i = f j όπου x j x i για j i. P i =
Κεφάλαιο 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα δούµε πρώτα τρόπους να παρουσιάσουµε τα δεδοµένα µε στατιστικούς πίνακες και διαγράµµατα και µετά να συνοψίσουµε τα δεδοµένα υπολογίζοντας συνοπτικά
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr
Στατιστική Ι Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr Παρασκευή, 30 Νοεμβρίου 2012 Στατιστική Ι Έννοιες - Κλειδιά Μεταβλητότητα Εύρος (range) Εκατοστημόρια
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,
Διαβάστε περισσότεραI2. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα
I. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα Μέτρα θέσης ή κεντρικής τάσης (cetral tedecy) Χρήσιμα για την περιγραφή της θέσης της κατανομής από την οποία προέρχονται. Δημοφιλέστερα: Μέση τιμή, κορυφή και διάμεσος.
Διαβάστε περισσότεραΔύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα
Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε
Διαβάστε περισσότεραεπ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου
1 2 3 1 2 2 0 3 3 4 6 5 10 6 11 7 7 8 6 9 3 10 2 4 Εάν έχουµε οµαδοποιηµένη µεταβλητή τότε είναι το σηµείο τοµής των ευθυγράµµων τµηµάτων τα οποία ορίζονται από α) ΑΒ, όπου Α το άνω δεξί άκρο της κλάσης
Διαβάστε περισσότεραΒιοστατιστική ΒΙΟ-309
Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2017-2018 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό
Διαβάστε περισσότεραÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι f ( x) + g( x) = f ( x) + g ( x), για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΓια το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου
Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα
Διαβάστε περισσότεραΑ. α) ίνεται η συνάρτηση F(x)=f(x)+g(x). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F (x)=f (x)+g (x).
Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βαρβαδούκας ΘΕΜΑ ο Α. α) ίνεται η συνάρτηση F()=f()+g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F ()=f ()+g (). β)να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους
Διαβάστε περισσότεραν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.
Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα
Διαβάστε περισσότεραν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.
Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Το σύνολο Α, που λέγεται πεδίο ορισµού της συνάρτησης,
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - ΘΕΩΡΙΑ Γιάννης Ζαμπέλης ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Τι ονοµάζεται συνάρτηση Συνάρτηση (functon) είναι µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ
ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2011-2012 Κατά τη διάρκεια παρακολούθησης των μαθημάτων του χειμερινού εξαμήνου του ακαδημαϊκού
Διαβάστε περισσότερα1991 US Social Survey.sav
Παραδείγµατα στατιστικής συµπερασµατολογίας µε ένα δείγµα Στα παραδείγµατα χρησιµοποιείται απλό τυχαίο δείγµα µεγέθους 1 από το αρχείο δεδοµένων 1991 US Social Survey.sav Το δείγµα λαµβάνεται µε την διαδικασία
Διαβάστε περισσότεραΒιοστατιστική ΒΙΟ-309
Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότερα= p 20 1 p 18. 1 p Το σημείο στο οποίο μηδενίζεται η παραπάνω μερική παράγωγος είναι
Άσκηση 1 i) Σε κάθε παρατήρηση περιλαμβάνεται ένας έλεγχος (ο τελευταίος) κατά τον οποίο εμφανίστηκε το πρώτο ελαττωματικό της παραγωγικής διαδικασίας. Επομένως, ο αριθμός ελέγχων που έγιναν πριν εμφανιστεί
Διαβάστε περισσότεραΒασικές έννοιες. Παραδείγµατα: Το σύνολο των φοιτητών που είναι εγγεγραµµένοι
Τι είναι η Στατιστική? Η ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ορίζεται σήµερα ως η επιστήµη που σχετίζεται µε τις επιστηµονικές µεθόδους συλλογής, παρουσίασης, αξιολόγησης και γενίκευσης (: εξαγωγής συµπερασµάτων) της πληροφορίας.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1.1 Περιγραφή Στατιστικών εδοµένων. p i = f i n. (1.1) F i = f j. P i = p j.
Κεφάλαιο 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα δούµε πρώτα τρόπους να παρουσιάσουµε τα δεδοµένα µε στατιστικούς πίνακες και διαγράµµατα και µετά να συνοψίσουµε τα δεδοµένα υπολογίζοντας συνοπτικά
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
9/10/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Emal: gasl@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasl
Διαβάστε περισσότερα2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.
2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,
Διαβάστε περισσότεραΠοιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η
Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη, 2013-2014 Εμπειρικές Στατιστικές Κατανομές Τα προβλήματα που
Διαβάστε περισσότερα) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή
Ανάλυση Συνδιακύµανσης Alsis of Covrice Η ανάλυση συνδιακύµανσης είναι µία άλλη τεχνική για να βελτιώσουµε την ακρίβεια της προσέγγισης του µοντέλου µας στο πείραµα. Ας υποθέσουµε ότι σ ένα πείραµα εκτός
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436
ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4
(ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Στατιστική ανάλυση του γεωχηµικού δείγµατος µας δίνει πληροφορίες για τον γεωχηµικό πληθυσµό που µελετάµε. Συνυπολογισµός σφαλµάτων Πειραµατικά
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Στατιστική- Κοινωνικές Στατιστικές. Διάλεξη
Εισαγωγή στη Στατιστική- Κοινωνικές Στατιστικές Διάλεξη 13-3-2015 Υπολογισμός Σταθμικού Μέσου Αριθμητικού X weighted n 1 n 1 w i w X i i Παράδειγμα Υποψήφιος της Δ' Δέσμης πήρε στις εξετάσεις τους εξής
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 207-208 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 227035468 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
Διαβάστε περισσότεραΠίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.
Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΦΡΟΝΤΙ Α ΣΤΟ ΣΑΚΧΑΡΩ Η ΙΑΒΗΤΗ» 2 ο Μάθηµα
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΦΡΟΝΤΙ Α ΣΤΟ ΣΑΚΧΑΡΩ Η ΙΑΒΗΤΗ» 2 ο Μάθηµα Γκριζιώτη Μαρία ΜSc Ιατρικής Ερευνητικής Μεθοδολογίας Όταν ανοίγουµε µία βάση στο SPSS η πρώτη εικόνα που
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Στατιστική με την R Απλοί υπολογισμοί και γραφήματα Αθανάσιος Σταυρακούδης http://stavrakoudis.econ.uoi.gr 16 Δεκεμβρίου 2013 1 / 38 Επισκόπηση 1 1 Εισαγωγή 2 Απλά διαγράμματα με σημεία και
Διαβάστε περισσότεραΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
- - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 3: Περιγραφική Στατιστική (Πίνακες & Αριθμητικά μέτρα)
ΤΕΙ Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Φυσικοθεραπείας Προπτυχιακό Πρόγραμμα Μάθημα: Βιοστατιστική-Οικονομία της υγείας Εξάμηνο: Ε (5 ο ) Ενότητα 3: Περιγραφική Στατιστική (Πίνακες & Αριθμητικά μέτρα) Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΕλεγκτικής. ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας)
Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Management Information Systems Εργαστήριο 2 Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Προσοµοίωση (Simulation) και τυχαίες µεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστικές συναρτήσεις Γραφική και πινακοποιημένη αναπαράσταση δεδομένων (ιστόγραμμα) Διαχειριστής Σεναρίων Κινητός Μέσος σε Χρονοσειρές o o o
ΙΩΑΝΝΗΣ Κ. ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ Εφαρμογές Ποσοτικές Ανάλυσης με το Excel 141 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Ανάλυση Δεδομένων Στατιστικές συναρτήσεις Γραφική και πινακοποιημένη αναπαράσταση δεδομένων (ιστόγραμμα) Διαχειριστής
Διαβάστε περισσότεραΕίδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγµα (Risky Business 1)
Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 3 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Συµπεράσµατα για την αβεβαιότητα Θέµατα
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Εισαγωγικές Έννοιες
Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες Στατιστική: η επιστήµη που παρέχει µεθόδους και εργαλεία για την οργάνωση, συστηµατική περιγραφή και περιληπτική παρουσίαση δεδοµένων, καθώς και για την ανάλυση της πληροφορίας
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 14. Κεφάλαιο: Στατιστική
Μάθηµα 4 Κεφάλαιο: Στατιστική Θεµατικές Ενότητες:. Μέτρα θέσης. Εισαγωγή. Για πιο σύντοµη, αποδοτική και συγκρίσιµη θεώρηση της κατανοµής συχνοτήτων µιας µεταβλητής, έχουµε ορίσει και χρησιµοποιούµε κάποια
Διαβάστε περισσότεραΣ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ε Ω Ν ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ & ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ε Ω Ν ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ & ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Αριθμητικά Περιγραφικά Μέτρα Τα αριθμητικά περιγραφικά μέτρα (numerical descriptive measures) είναι αριθμοί που συμβάλουν
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες
ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΠολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται
Διαβάστε περισσότεραF είναι ίσος µε ν. i ÏÅÖÅ ( ) h 3,f 3.
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και A ενός δειγµατικού χώρου Ω να P A = P A.
Διαβάστε περισσότεραΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ. Μάθημα : Στατιστική Ι. Υποενότητα : Περιγραφική Στατιστική
ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ Μάθημα : Στατιστική Ι Υποενότητα : Περιγραφική Στατιστική Επαμεινώνδας Διαμαντόπουλος Ιστοσελίδα : http://users.sch.gr/epdiaman/ Email : epdiamantopoulos@yahoo.gr 1 Στόχοι της υποενότητας Μετά
Διαβάστε περισσότεραΜέρος 1ο. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics)
Μέρος 1ο. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics) 1. Οργάνωση και Γραφική παράσταση στατιστικών δεδομένων 2. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 1 ο Κ. Μπλέκας (1/13) στατιστικών
Διαβάστε περισσότεραΕνδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50
Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν
Διαβάστε περισσότεραΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Αριάδνη Αργυράκη
ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Αριάδνη Αργυράκη ΣΤΑΔΙΑ ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ ΓΕΩΧΗΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ 1.ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ: - Καθορισμός στόχων έρευνας - Ιστορικό περιοχής 2 4.
Διαβάστε περισσότερα