ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Transcript

1 - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

2 - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΜΗ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ / ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ Αριθμητικός Μέσος fm, f Σταθμικός Αριθμητικός Μέσος w w w Διάμεσος Αν περιττός, Μ: η τιμή της παρατήρησης στη θέση δηλαδή M. δ M LM F f M M Αν άρτιος, M Επικρατούσα Τιμή. T : η τιμή με τη μεγαλύτερη 0 συχνότητα εμφάνισης Δ To LT o δ Δ Δ

3 - 3 - ΜΕΤΡΑ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΘΕΣΗΣ Τεταρτημόριο Το,, 3 τεταρτημόριο Q βρίσκεται στην ( ) 4 θέση. Η τιμή του,, 3 τεταρτημορίου Q είναι Q Q A Q AQ A Q όπου και Δ Q A Q = το ακέραιο μέρος του πηλίκου = το δεκαδικό μέρος του πηλίκου ( ) 4 ( ) 4. δ Q L F Q Q fq 4 Εύρος ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ R max m Ενδοτεταρτημοριακό Εύρος IR Q 3 Q IR Q 3 Q Τεταρτημοριακή Απόκλιση Q 3 Q Q Q 3 Q Q Διακύμανση ( ) ( ) ( ) f m, fm fm fm - ( -) f

4 - 4 - Τυπική Απόκλιση ή Σ υντελεστής Μεταβλητότητας ΜΕΤΡΑ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ CV CV ΜΕΤΡΑ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Σ υντελεστές Ασυμμετρίας T 0 T 0 ( ) β f m ΜΕΤΡΑ ΚΥΡΤΩΣΗΣ Σ υντελεστής Κύρτωσης 4 ( ) f 4 m 4 4 β 4 4

5 - 5 - Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Αξιώματα του Kolmogorov Έστω ένας δειγματικός χώρος και έστω Β το σύνολο όλων των ενδεχομένων του. Ορίζουμε ως συνάρτηση πιθανότητας μια συνάρτηση Ρ: : Β R η οποία σε κάθε ενδεχόμενο Α αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό A να ικανοποιούνται τα παρακάτω αξιώματα:. A 0. A A A A A, A Aj, j.. έτσι ώστε Βασικά Θεωρήματα Πιθανοτήτων Θεώρημα Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει ( A ) ( A). Θεώρημα Ισχύει ότι: ( ) 0 Θεώρημα 3 Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει ( A). Θεώρημα 4 Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα και A ισχύει ότι: A A A A A A A Το θεώρημα 4 γενικεύεται για την περίπτωση ενδεχομένων. Στην περίπτωση που =3 γίνεται: 3 A A A A A A A A A A A A A A A Για δύο ενδεχόμενα τα οποία είναι ασυμβίβαστα το θεώρημα 4 οδηγεί στο συμπέρασμα A A A A A, A το οποίο είναι ειδική περίπτωση του 3 ου αξιώματος.

6 - 6 - Δεσμευμένη Πιθανότητα A A A A, A 0 A A A A A, A 0 A Ανεξάρτητα Ενδεχόμενα ενδεχόμενα, A A είναι ανεξάρτητα αν ισχύει: A A A 3 ενδεχόμενα A, A, A 3 είναι ανεξάρτητα αν ισχύει: A A A A A A3 A A3 A A3 A A3 A A A3 A A A3 A ενδεχόμενα A, A,..., A είναι ανεξάρτητα αν για κάθε συνδυασμό ή περισσοτέρων από αυτά ισχύει: j j A A A A A A A,.... Ενδεχόμενα Ανεξάρτητα κατά Ζεύγη. Τα ενδεχόμενα A, A,..., A j j λέγονται ανεξάρτητα κατά ζεύγη αν ισχύει: A A A A, για κάθε, j,,...,, j. Προφανώς, ενδεχόμενα μπορεί να είναι ανεξάρτητα κατά ζεύγη χωρίς να είναι ανεξάρτητα. Κανόνας Πολλαπλασιασμού Πιθανοτήτων Για ενδεχόμενα: A ( A) A A ( A) A ( ) AA ( ) Για 3 ενδεχόμενα: A A A A A A A A A 3 3. Για ενδεχόμενα: AA... A AA A A3 AA... A A

7 - 7 - Θεώρημα της Ολικής Πιθανότητας Έστω ότι A A, A,..., A είναι μία διαμέριση του δειγματικού χώρου τέτοια ώστε 0, =,,,. Τότε για κάθε ενδεχόμενο Ε έχουμε ότι, E A E A. Θεώρημα του Bayes Έστω ότι A, A,..., A είναι μία διαμέριση του δειγματικού χώρου τέτοια ώστε 0, =,,,. Τότε για κάθε ενδεχόμενο Ε με E 0 έχουμε ότι, A A E A E A A E A A E A E ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Μεταθέσεις! Επαναληπτικές Μεταθέσεις!!!...! Διατάξεις x,x! x! Επαναληπτικές Διατάξεις x Συνδυασμοί! C C, x x x x! x!

8 - 8 - ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΚΡΙΤΗ ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Η συνάρτηση πιθανότητας x μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής ικανοποιεί τις συνθήκες: 0. x, x στο πεδίο ορισμού. x x Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής Fa ( ) μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής υπολογίζεται με βάση τη σχέση: F( ) x, R xa Η μέση (αναμενόμενη) τιμή μ E ( ) μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής υπολογίζεται με βάση τον τύπο: E x x x Αν διακριτή τυχαία μεταβλητή και g. μια πραγματική συνάρτηση, τότε η μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής g δίνεται από τη σχέση Eg g x x. x ΣΥΝΕΧΗΣ ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f ( x ) μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής ικανοποιεί τις συνθήκες:. f x 0, x. f ( xdx ) Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής Fa ( ) μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής υπολογίζεται με βάση τη σχέση: F( ) f( t) dt, R Η μέση (αναμενόμενη) τιμή E ( ) μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής υπολογίζεται με βάση τον τύπο: ( ) E xf x dx Αν συνεχής τυχαία μεταβλητή και g. μια πραγματική συνάρτηση, τότε η μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής g δίνεται από τη σχέση Eg g x f x dx ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ, όπου a, σταθερές.. E ag ae g Ειδική περίπτωση: Ea ae, όπου a, σταθερές. E a g a g a E g a E g Έστω τυχαία μεταβλητή (διακριτή ή συνεχής) με μέση τιμή E. Η διακύμανση της συμβολίζεται με V ή και δίνεται από τη σχέση: ( ) V E E E E. ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ a V V a, όπου a, σταθερές

9 - 9 - ΕΙΔΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Διωνυμική Κατανομή [ ~ bp (, )] x x! x x x x p q p q ; x0,,,,,,, x x!( x)! 0 p, q p. E( ) p V ( ) pq Γεωμετρική κατανομή [ ~ G( p )] x ; 0,,,, 0 x x pq x p E q p V q p Υπεργεωμετρική Κατανομή [ ~ hn (,, r )] rn r x x x x N r N N xmax(0, rn),, m( r, ). ;,,,,,, 0,,,,, r r N r N E V N N N N Κατανομή osso [ ~ ( )] x e x x ; x0,,,, 0 x! E ( ) V( )

10 - 0 - ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ομοιόμορφη [ ~ U(, )] x [, ] f( x) 0 x [, ]. E V Εκθετική [ ~ E ] f x x / e, x0, 0 0, x 0. ( ) E ( ) V( ) Κανονική Κατανομή [ ~, N ] x f x e, x(, );, 0 όπου 3,46 και e,783. E V Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή [Αν ~ N, Z N(0,) ] z f( z) e, z EZ 0 V Z

11 - - ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ 0 ˆ ˆ ˆ Χ ˆ ( ) ( )( ) ( ) 0 ˆ ˆ ˆ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ r [,] r ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ R R [0,]

12 - - Σ Υ Μ Β Ο Λ Ι Σ Μ Ο Ι Χ, =,, 3,, Παρατηρήσεις Χ max Μέγιστη παρατήρηση Χ m Ελάχιστη παρατήρηση Πλήθος των παρατηρήσεων δ Εύρος της τάξης (αναφερόμαστε σε τάξεις ίσου εύρους) m Κεντρική τιμή της τάξης Πλήθος των τάξεων f Συχνότητα της τάξης της διαμέσου M f Q Συχνότητα της τάξης του τεταρτημορίου Αθροιστική συχνότητα της προηγούμενης τάξης από αυτή της F M- διαμέσου Αθροιστική συχνότητα της προηγούμενης τάξης από αυτή του F Q τεταρτημορίου L Μ Κατώτερο όριο της τάξης της διαμέσου L Κατώτερο όριο της τάξης του τεταρτημορίου Q o L T Κατώτερο όριο της τάξης της επικρατούσας τιμής Δ τιμής και της συχνότητας της προηγούμενης τάξης Διαφορά μεταξύ της συχνότητας της τάξης της επικρατούσας Δ Διαφορά μεταξύ της συχνότητας της τάξης της επικρατούσας τιμής και της συχνότητας της επόμενης τάξης

13 - 3 - Πίνακας. Αθροιστικές Πιθανότητες Διωνυμικής Κατανομής Τα στοιχεία του πίνακα εκφράζουν τις αθροιστικές πιθανότητες, όπου η ακολουθεί διωνυμική κατανομή με παραμέτρους p,, και οι οποίες παριστάνονται από το εμβαδόν των γραμμοσκιασμένων στηλών. 0,0 0,05 0,0 0,5 0,0 0,5 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0 0,980 0,903 0,80 0,73 0,640 0,563 0,490 0,43 0,360 0,303 0,50,000 0,998 0,990 0,978 0,960 0,938 0,90 0,878 0,840 0,798 0,750,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000, ,970 0,857 0,79 0,64 0,5 0,4 0,343 0,75 0,6 0,66 0,5,000 0,993 0,97 0,939 0,896 0,844 0,784 0,78 0,648 0,575 0,500,000,000 0,999 0,997 0,99 0,984 0,973 0,957 0,936 0,909 0,875 3,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000, ,96 0,85 0,656 0,5 0,40 0,36 0,40 0,79 0,30 0,09 0,063 0,999 0,986 0,948 0,890 0,89 0,738 0,65 0,563 0,475 0,39 0,33,000,000 0,996 0,988 0,973 0,949 0,96 0,874 0,8 0,759 0,688 3,000,000,000 0,999 0,998 0,996 0,99 0,985 0,974 0,959 0,938 4,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000, ,95 0,774 0,590 0,444 0,38 0,37 0,68 0,6 0,078 0,050 0,03 0,999 0,977 0,99 0,835 0,737 0,633 0,58 0,48 0,337 0,56 0,88,000 0,999 0,99 0,973 0,94 0,896 0,837 0,765 0,683 0,593 0,500 3,000,000,000 0,998 0,993 0,984 0,969 0,946 0,93 0,869 0,83 4,000,000,000,000,000 0,999 0,998 0,995 0,990 0,98 0,969 5,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000, ,94 0,735 0,53 0,377 0,6 0,78 0,8 0,075 0,047 0,08 0,06 0,999 0,967 0,886 0,776 0,655 0,534 0,40 0,39 0,33 0,64 0,09,000 0,998 0,984 0,953 0,90 0,83 0,744 0,647 0,544 0,44 0,344 3,000,000 0,999 0,994 0,983 0,96 0,930 0,883 0,8 0,745 0,656 4,000,000,000,000 0,998 0,995 0,989 0,978 0,959 0,93 0,89 5,000,000,000,000,000,000 0,999 0,998 0,996 0,99 0,984 6,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000, ,93 0,698 0,478 0,3 0,0 0,33 0,08 0,049 0,08 0,05 0,008 0,998 0,956 0,850 0,77 0,577 0,445 0,39 0,34 0,59 0,0 0,063,000 0,996 0,974 0,96 0,85 0,756 0,647 0,53 0,40 0,36 0,7 3,000,000 0,997 0,988 0,967 0,99 0,874 0,800 0,70 0,608 0,500 4,000,000,000 0,999 0,995 0,987 0,97 0,944 0,904 0,847 0,773 5,000,000,000,000,000 0,999 0,996 0,99 0,98 0,964 0,938 6,000,000,000,000,000,000,000 0,999 0,998 0,996 0,99 7,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000, ,93 0,663 0,430 0,7 0,68 0,00 0,058 0,03 0,07 0,008 0,004 0,997 0,943 0,83 0,657 0,503 0,367 0,55 0,69 0,06 0,063 0,035,000 0,994 0,96 0,895 0,797 0,679 0,55 0,48 0,35 0,0 0,45 3,000,000 0,995 0,979 0,944 0,886 0,806 0,706 0,594 0,477 0,363 4,000,000,000 0,997 0,990 0,973 0,94 0,894 0,86 0,740 0,637 5,000,000,000,000 0,999 0,996 0,989 0,975 0,950 0,9 0,855 6,000,000,000,000,000,000 0,999 0,996 0,99 0,98 0,965 7,000,000,000,000,000,000,000,000 0,999 0,998 0,996 8,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000, ,94 0,630 0,387 0,3 0,34 0,075 0,040 0,0 0,00 0,005 0,00 0,997 0,99 0,775 0,599 0,436 0,300 0,96 0, 0,07 0,039 0,00,000 0,99 0,947 0,859 0,738 0,60 0,463 0,337 0,3 0,50 0,090 3,000 0,999 0,99 0,966 0,94 0,834 0,730 0,609 0,483 0,36 0,54 4,000,000 0,999 0,994 0,980 0,95 0,90 0,88 0,733 0,6 0,500 5,000,000,000 0,999 0,997 0,990 0,975 0,946 0,90 0,834 0,746 6,000,000,000,000,000 0,999 0,996 0,989 0,975 0,950 0,90 7,000,000,000,000,000,000,000 0,999 0,996 0,99 0,980 8,000,000,000,000,000,000,000,000,000 0,999 0,998 9,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 p (Συνεχίζεται)

14 - 4 - Πίνακας. Αθροιστικές Πιθανότητες Διωνυμικής Κατανομής (συνέχεια) 0,0 0,05 0,0 0,5 0,0 0,5 0,30 0,35 0,40 0,45 0, ,904 0,599 0,349 0,97 0,07 0,056 0,08 0,03 0,006 0,003 0,00 0,996 0,94 0,736 0,544 0,376 0,44 0,49 0,086 0,046 0,03 0,0,000 0,988 0,930 0,80 0,678 0,56 0,383 0,6 0,67 0,00 0,055 3,000 0,999 0,987 0,950 0,879 0,776 0,650 0,54 0,38 0,66 0,7 4,000,000 0,998 0,990 0,967 0,9 0,850 0,75 0,633 0,504 0,377 5,000,000,000 0,999 0,994 0,980 0,953 0,905 0,834 0,738 0,63 6,000,000,000,000 0,999 0,996 0,989 0,974 0,945 0,898 0,88 7,000,000,000,000,000,000 0,998 0,995 0,988 0,973 0,945 8,000,000,000,000,000,000,000 0,999 0,998 0,995 0,989 9,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 0,999 0,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000, ,895 0,569 0,34 0,67 0,086 0,04 0,00 0,009 0,004 0,00 0,000 0,995 0,898 0,697 0,49 0,3 0,97 0,3 0,06 0,030 0,04 0,006,000 0,985 0,90 0,779 0,67 0,455 0,33 0,00 0,9 0,065 0,033 3,000 0,998 0,98 0,93 0,839 0,73 0,570 0,46 0,96 0,9 0,3 4,000,000 0,997 0,984 0,950 0,885 0,790 0,668 0,533 0,397 0,74 5,000,000,000 0,997 0,988 0,966 0,9 0,85 0,753 0,633 0,500 6,000,000,000,000 0,998 0,99 0,978 0,950 0,90 0,86 0,76 7,000,000,000,000,000 0,999 0,996 0,988 0,97 0,939 0,887 8,000,000,000,000,000,000 0,999 0,998 0,994 0,985 0,967 9,000,000,000,000,000,000,000,000 0,999 0,998 0,994 0,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000, ,886 0,540 0,8 0,4 0,069 0,03 0,04 0,006 0,00 0,00 0,000 0,994 0,88 0,659 0,443 0,75 0,58 0,085 0,04 0,00 0,008 0,003,000 0,980 0,889 0,736 0,558 0,39 0,53 0,5 0,083 0,04 0,09 3,000 0,998 0,974 0,908 0,795 0,649 0,493 0,347 0,5 0,34 0,073 4,000,000 0,996 0,976 0,97 0,84 0,74 0,583 0,438 0,304 0,94 5,000,000 0,999 0,995 0,98 0,946 0,88 0,787 0,665 0,57 0,387 6,000,000,000 0,999 0,996 0,986 0,96 0,95 0,84 0,739 0,63 7,000,000,000,000 0,999 0,997 0,99 0,974 0,943 0,888 0,806 8,000,000,000,000,000,000 0,998 0,994 0,985 0,964 0,97 9,000,000,000,000,000,000,000 0,999 0,997 0,99 0,98 0,000,000,000,000,000,000,000,000,000 0,999 0,997,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000, ,878 0,53 0,54 0, 0,055 0,04 0,00 0,004 0,00 0,000 0,000 0,993 0,865 0,6 0,398 0,34 0,7 0,064 0,030 0,03 0,005 0,00,000 0,975 0,866 0,69 0,50 0,333 0,0 0,3 0,058 0,07 0,0 3,000 0,997 0,966 0,88 0,747 0,584 0,4 0,78 0,69 0,093 0,046 4,000,000 0,994 0,966 0,90 0,794 0,654 0,50 0,353 0,8 0,33 5,000,000 0,999 0,99 0,970 0,90 0,835 0,76 0,574 0,47 0,9 6,000,000,000 0,999 0,993 0,976 0,938 0,87 0,77 0,644 0,500 7,000,000,000,000 0,999 0,994 0,98 0,954 0,90 0,8 0,709 8,000,000,000,000,000 0,999 0,996 0,987 0,968 0,930 0,867 9,000,000,000,000,000,000 0,999 0,997 0,99 0,980 0,954 0,000,000,000,000,000,000,000,000 0,999 0,996 0,989,000,000,000,000,000,000,000,000,000 0,999 0,998,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 3,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000, ,869 0,488 0,9 0,03 0,044 0,08 0,007 0,00 0,00 0,000 0,000 0,99 0,847 0,585 0,357 0,98 0,0 0,047 0,0 0,008 0,003 0,00,000 0,970 0,84 0,648 0,448 0,8 0,6 0,084 0,040 0,07 0,006 3,000 0,996 0,956 0,853 0,698 0,5 0,355 0,0 0,4 0,063 0,09 4,000,000 0,99 0,953 0,870 0,74 0,584 0,43 0,79 0,67 0,090 5,000,000 0,999 0,988 0,956 0,888 0,78 0,64 0,486 0,337 0, 6,000,000,000 0,998 0,988 0,96 0,907 0,86 0,69 0,546 0,395 7,000,000,000,000 0,998 0,990 0,969 0,95 0,850 0,74 0,605 8,000,000,000,000,000 0,998 0,99 0,976 0,94 0,88 0,788 9,000,000,000,000,000,000 0,998 0,994 0,98 0,957 0,90 0,000,000,000,000,000,000,000 0,999 0,996 0,989 0,97,000,000,000,000,000,000,000,000 0,999 0,998 0,994,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 0,999 3,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 4,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 (Συνεχίζεται) p

15 - 5 - Πίνακας. Αθροιστικές Πιθανότητες Διωνυμικής Κατανομής (συνέχεια) 0,0 0,05 0,0 0,5 0,0 0,5 0,30 0,35 0,40 0,45 0, ,860 0,463 0,06 0,087 0,035 0,03 0,005 0,00 0,000 0,000 0,000 0,990 0,89 0,549 0,39 0,67 0,080 0,035 0,04 0,005 0,00 0,000,000 0,964 0,86 0,604 0,398 0,36 0,7 0,06 0,07 0,0 0,004 3,000 0,995 0,944 0,83 0,648 0,46 0,97 0,73 0,09 0,04 0,08 4,000 0,999 0,987 0,938 0,836 0,686 0,55 0,35 0,7 0,0 0,059 5,000,000 0,998 0,983 0,939 0,85 0,7 0,564 0,403 0,6 0,5 6,000,000,000 0,996 0,98 0,943 0,869 0,755 0,60 0,45 0,304 7,000,000,000 0,999 0,996 0,983 0,950 0,887 0,787 0,654 0,500 8,000,000,000,000 0,999 0,996 0,985 0,958 0,905 0,88 0,696 9,000,000,000,000,000 0,999 0,996 0,988 0,966 0,93 0,849 0,000,000,000,000,000,000 0,999 0,997 0,99 0,975 0,94,000,000,000,000,000,000,000,000 0,998 0,994 0,98,000,000,000,000,000,000,000,000,000 0,999 0,996 3,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 4,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 5,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000, ,88 0,358 0, 0,039 0,0 0,003 0,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,983 0,736 0,39 0,76 0,069 0,04 0,008 0,00 0,00 0,000 0,000 0,999 0,95 0,677 0,405 0,06 0,09 0,035 0,0 0,004 0,00 0,000 3,000 0,984 0,867 0,648 0,4 0,5 0,07 0,044 0,06 0,005 0,00 4,000 0,997 0,957 0,830 0,630 0,45 0,38 0,8 0,05 0,09 0,006 5,000,000 0,989 0,933 0,804 0,67 0,46 0,45 0,6 0,055 0,0 6,000,000 0,998 0,978 0,93 0,786 0,608 0,47 0,50 0,30 0,058 7,000,000,000 0,994 0,968 0,898 0,77 0,60 0,46 0,5 0,3 8,000,000,000 0,999 0,990 0,959 0,887 0,76 0,596 0,44 0,5 9,000,000,000,000 0,997 0,986 0,95 0,878 0,755 0,59 0,4 0,000,000,000,000 0,999 0,996 0,983 0,947 0,87 0,75 0,588,000,000,000,000,000 0,999 0,995 0,980 0,943 0,869 0,748,000,000,000,000,000,000 0,999 0,994 0,979 0,94 0,868 3,000,000,000,000,000,000,000 0,998 0,994 0,979 0,94 4,000,000,000,000,000,000,000,000 0,998 0,994 0,979 5,000,000,000,000,000,000,000,000,000 0,998 0,994 6,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 0,999 7,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 8,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 9,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 0,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000, ,778 0,77 0,07 0,07 0,004 0,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,974 0,64 0,7 0,093 0,07 0,007 0,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,998 0,873 0,537 0,54 0,098 0,03 0,009 0,00 0,000 0,000 0,000 3,000 0,966 0,764 0,47 0,34 0,096 0,033 0,00 0,00 0,000 0,000 4,000 0,993 0,90 0,68 0,4 0,4 0,090 0,03 0,009 0,00 0,000 5,000 0,999 0,967 0,838 0,67 0,378 0,93 0,083 0,09 0,009 0,00 6,000,000 0,99 0,930 0,780 0,56 0,34 0,73 0,074 0,06 0,007 7,000,000 0,998 0,975 0,89 0,77 0,5 0,306 0,54 0,064 0,0 8,000,000,000 0,99 0,953 0,85 0,677 0,467 0,74 0,34 0,054 9,000,000,000 0,998 0,983 0,99 0,8 0,630 0,45 0,4 0,5 0,000,000,000,000 0,994 0,970 0,90 0,77 0,586 0,384 0,,000,000,000,000 0,998 0,989 0,956 0,875 0,73 0,543 0,345,000,000,000,000,000 0,997 0,983 0,940 0,846 0,694 0,500 3,000,000,000,000,000 0,999 0,994 0,975 0,9 0,87 0,655 4,000,000,000,000,000,000 0,998 0,99 0,966 0,904 0,788 5,000,000,000,000,000,000,000 0,997 0,987 0,956 0,885 6,000,000,000,000,000,000,000 0,999 0,996 0,983 0,946 7,000,000,000,000,000,000,000,000 0,999 0,994 0,978 8,000,000,000,000,000,000,000,000,000 0,998 0,993 9,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 0,998 0,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 3,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 4,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 5,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 p

16 - 6 - Πίνακας 3. Αθροιστικές Πιθανότητες Κατανομής osso Τα στοιχεία του πίνακα εκφράζουν τις αθροιστικές πιθανότητες κατανομή osso με παράμετρο γραμμοσκιασμένων στηλών., όπου η ακολουθεί, και οι οποίες παριστάνονται από το εμβαδόν των 0,0 0,05 0,0 0,5 0,0 0,5 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0 0,905 0,89 0,74 0,670 0,607 0,549 0,497 0,449 0,407 0,368 0,3 0,995 0,98 0,963 0,938 0,90 0,878 0,844 0,809 0,77 0,736 0,558,000 0,999 0,996 0,99 0,986 0,977 0,966 0,953 0,937 0,90 0,809 3,000,000,000 0,999 0,998 0,997 0,994 0,99 0,987 0,98 0,934 4,000,000,000,000,000,000 0,999 0,999 0,998 0,996 0,98 5,000,000,000,000,000,000,000,000,000 0,999 0,996 6,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 0,999 7,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,0,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 0 0,35 0,08 0,050 0,030 0,08 0,0 0,007 0,004 0,00 0,00 0,00 0,406 0,87 0,99 0,36 0,09 0,06 0,040 0,07 0,07 0,0 0,007 0,677 0,544 0,43 0,3 0,38 0,74 0,5 0,088 0,06 0,043 0, ,857 0,758 0,647 0,537 0,433 0,34 0,65 0,0 0,5 0, 0,08 4 0,947 0,89 0,85 0,75 0,69 0,53 0,440 0,358 0,85 0,4 0,73 5 0,983 0,958 0,96 0,858 0,785 0,703 0,66 0,59 0,446 0,369 0,30 6 0,995 0,986 0,966 0,935 0,889 0,83 0,76 0,686 0,606 0,57 0, ,999 0,996 0,988 0,973 0,949 0,93 0,867 0,809 0,744 0,673 0,599 8,000 0,999 0,996 0,990 0,979 0,960 0,93 0,894 0,847 0,79 0,79 9,000,000 0,999 0,997 0,99 0,983 0,968 0,946 0,96 0,877 0,830 0,000,000,000 0,999 0,997 0,993 0,986 0,975 0,957 0,933 0,90,000,000,000,000 0,999 0,998 0,995 0,989 0,980 0,966 0,947,000,000,000,000,000 0,999 0,998 0,996 0,99 0,984 0,973 3,000,000,000,000,000,000 0,999 0,998 0,996 0,993 0,987 4,000,000,000,000,000,000,000 0,999 0,999 0,997 0,994 5,000,000,000,000,000,000,000,000 0,999 0,999 0,998 6,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 0,999 7,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 (συνεχίζεται)

17 - 7 - Πίνακας 3. Αθροιστικές Πιθανότητες Κατανομής osso (συνέχεια) 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 0,0,0 5,0 8,0 0,0 5,0 0 0,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,005 0,003 0,00 0,00 0,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,00 0,04 0,009 0,006 0,004 0,003 0,00 0,000 0,000 0,000 0, ,059 0,04 0,030 0,0 0,05 0,00 0,00 0,000 0,000 0,000 0, ,3 0,00 0,074 0,055 0,040 0,09 0,008 0,00 0,000 0,000 0, ,4 0,9 0,50 0,6 0,089 0,067 0,00 0,003 0,000 0,000 0, ,378 0,33 0,56 0,07 0,65 0,30 0,046 0,008 0,00 0,000 0, ,55 0,453 0,386 0,34 0,69 0,0 0,090 0,08 0,003 0,00 0, ,66 0,593 0,53 0,456 0,39 0,333 0,55 0,037 0,007 0,00 0, ,776 0,77 0,653 0,587 0,5 0,458 0,4 0,070 0,05 0,005 0, ,86 0,86 0,763 0,706 0,645 0,583 0,347 0,8 0,030 0,0 0,00 0,9 0,888 0,849 0,803 0,75 0,697 0,46 0,85 0,055 0,0 0,00 0,957 0,936 0,909 0,876 0,836 0,79 0,576 0,68 0,09 0,039 0, ,978 0,966 0,949 0,96 0,898 0,864 0,68 0,363 0,43 0,066 0, ,990 0,983 0,973 0,959 0,940 0,97 0,77 0,466 0,08 0,05 0,0 5 0,995 0,99 0,986 0,978 0,967 0,95 0,844 0,568 0,87 0,57 0,0 6 0,998 0,996 0,993 0,989 0,98 0,973 0,899 0,664 0,375 0, 0, ,999 0,998 0,997 0,995 0,99 0,986 0,937 0,749 0,469 0,97 0,060 8,000 0,999 0,999 0,998 0,996 0,993 0,963 0,89 0,56 0,38 0,09 9,000,000 0,999 0,999 0,998 0,997 0,979 0,875 0,65 0,470 0,34 0,000,000,000,000 0,999 0,998 0,988 0,97 0,73 0,559 0,85,000,000,000,000,000 0,999 0,994 0,947 0,799 0,644 0,47,000,000,000,000,000,000 0,997 0,967 0,855 0,7 0,38 3,000,000,000,000,000,000 0,999 0,98 0,899 0,787 0,394 4,000,000,000,000,000,000 0,999 0,989 0,93 0,843 0,473 5,000,000,000,000,000,000,000 0,994 0,955 0,888 0,553 6,000,000,000,000,000,000,000 0,997 0,97 0,9 0,69 7,000,000,000,000,000,000,000 0,998 0,983 0,948 0,700 8,000,000,000,000,000,000,000 0,999 0,990 0,966 0,763 9,000,000,000,000,000,000,000,000 0,994 0,978 0,88 30,000,000,000,000,000,000,000,000 0,997 0,987 0,863 3,000,000,000,000,000,000,000,000 0,998 0,99 0,900 3,000,000,000,000,000,000,000,000 0,999 0,995 0,99 33,000,000,000,000,000,000,000,000,000 0,997 0,950 34,000,000,000,000,000,000,000,000,000 0,999 0,966 35,000,000,000,000,000,000,000,000,000 0,999 0,978 36,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 0,985 37,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 0,99 38,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 0,994 39,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 0,997 40,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 0,998 4,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 0,999 4,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 0,999 4,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 0,999 43,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000

18 - 8 - Πίνακας 4. Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή z z Z z Τα στοιχεία του πίνακα εκφράζουν τις πιθανότητες z Z z που παριστάνονται από το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη της τυποποιημένης κανονικής κατανομής αριστερά από το z. 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-3,9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000-3,8 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000-3,7 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000-3,6 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000-3,5 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000-3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,000-3,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003-3, 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005-3, 0,000 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007-3,0 0,003 0,003 0,003 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,000 0,000 -,9 0,009 0,008 0,008 0,007 0,006 0,006 0,005 0,005 0,004 0,004 -,8 0,006 0,005 0,004 0,003 0,003 0,00 0,00 0,00 0,000 0,009 -,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,003 0,003 0,0030 0,009 0,008 0,007 0,006 -,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,004 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 -,5 0,006 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,005 0,005 0,0049 0,0048 -,4 0,008 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,007 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064 -,3 0,007 0,004 0,00 0,0099 0,0096 0,0094 0,009 0,0089 0,0087 0,0084 -, 0,039 0,036 0,03 0,09 0,05 0,0 0,09 0,06 0,03 0,00 -, 0,079 0,074 0,070 0,066 0,06 0,058 0,054 0,050 0,046 0,043 -,0 0,08 0,0 0,07 0,0 0,007 0,00 0,097 0,09 0,088 0,083 -,9 0,087 0,08 0,074 0,068 0,06 0,056 0,050 0,044 0,039 0,033 -,8 0,0359 0,035 0,0344 0,0336 0,039 0,03 0,034 0,0307 0,030 0,094 -,7 0,0446 0,0436 0,047 0,048 0,0409 0,040 0,039 0,0384 0,0375 0,0367 -,6 0,0548 0,0537 0,056 0,056 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455 -,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,068 0,0606 0,0594 0,058 0,057 0,0559 -,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,07 0,0708 0,0694 0,068 -,3 0,0968 0,095 0,0934 0,098 0,090 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,083 -, 0,5 0,3 0, 0,093 0,075 0,056 0,038 0,00 0,003 0,0985 -, 0,357 0,335 0,34 0,9 0,7 0,5 0,30 0,0 0,90 0,70-0,587 0,56 0,539 0,55 0,49 0,469 0,446 0,43 0,40 0,379-0,9 0,84 0,84 0,788 0,76 0,736 0,7 0,685 0,660 0,635 0,6-0,8 0,9 0,090 0,06 0,033 0,005 0,977 0,949 0,9 0,894 0,867-0,7 0,40 0,389 0,358 0,37 0,96 0,66 0,36 0,06 0,77 0,48-0,6 0,743 0,709 0,676 0,643 0,6 0,578 0,546 0,54 0,483 0,45-0,5 0,3085 0,3050 0,305 0,98 0,946 0,9 0,877 0,843 0,80 0,776-0,4 0,3446 0,3409 0,337 0,3336 0,3300 0,364 0,38 0,39 0,356 0,3-0,3 0,38 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,363 0,3594 0,3557 0,350 0,3483-0, 0,407 0,468 0,49 0,4090 0,405 0,403 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859-0, 0,460 0,456 0,45 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,435 0,486 0,447-0,0 0,5000 0,4960 0,490 0,4880 0,4840 0,480 0,476 0,47 0,468 0,464 (Συνεχίζεται)

19 - 9 - Πίνακας 4. Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή (συνέχεια) z z Z z 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,50 0,560 0,599 0,539 0,579 0,539 0,5359 0, 0,5398 0,5438 0,5478 0,557 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,574 0,5753 0, 0,5793 0,583 0,587 0,590 0,5948 0,5987 0,606 0,6064 0,603 0,64 0,3 0,679 0,67 0,655 0,693 0,633 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,657 0,4 0,6554 0,659 0,668 0,6664 0,6700 0,6736 0,677 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,695 0,6950 0,6985 0,709 0,7054 0,7088 0,73 0,757 0,790 0,74 0,6 0,757 0,79 0,734 0,7357 0,7389 0,74 0,7454 0,7486 0,757 0,7549 0,7 0,7580 0,76 0,764 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,783 0,785 0,8 0,788 0,790 0,7939 0,7967 0,7995 0,803 0,805 0,8078 0,806 0,833 0,9 0,859 0,886 0,8 0,838 0,864 0,889 0,835 0,8340 0,8365 0,8389,0 0,843 0,8438 0,846 0,8485 0,8508 0,853 0,8554 0,8577 0,8599 0,86, 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,8770 0,8790 0,880 0,8830, 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,895 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,905,3 0,903 0,9049 0,9066 0,908 0,9099 0,95 0,93 0,947 0,96 0,977,4 0,99 0,907 0,9 0,936 0,95 0,965 0,979 0,99 0,9306 0,939,5 0,933 0,9345 0,9357 0,9370 0,938 0,9394 0,9406 0,948 0,949 0,944,6 0,945 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,955 0,955 0,9535 0,9545,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,958 0,959 0,9599 0,9608 0,966 0,965 0,9633,8 0,964 0,9649 0,9656 0,9664 0,967 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706,9 0,973 0,979 0,976 0,973 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,976 0,9767,0 0,977 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,98 0,987, 0,98 0,986 0,9830 0,9834 0,9838 0,984 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857, 0,986 0,9864 0,9868 0,987 0,9875 0,9878 0,988 0,9884 0,9887 0,9890,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,990 0,9904 0,9906 0,9909 0,99 0,993 0,996,4 0,998 0,990 0,99 0,995 0,997 0,999 0,993 0,993 0,9934 0,9936,5 0,9938 0,9940 0,994 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,995 0,995,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,996 0,996 0,9963 0,9964,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,997 0,997 0,9973 0,9974,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,998,9 0,998 0,998 0,998 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3, 0,9990 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,9993 0,9993 3, 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,9,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000