ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Το σύνολο Α, που λέγεται πεδίο ορισµού της συνάρτησης,
|
|
- Βαραββᾶς Αναγνωστάκης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - ΘΕΩΡΙΑ Γιάννης Ζαμπέλης ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Τι ονοµάζεται συνάρτηση Συνάρτηση (functon) είναι µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. 2. Έστω η συνάρτηση f από το Α στο Β, ποιο είναι το πεδίο ορισµού της f Το σύνολο Α, που λέγεται πεδίο ορισµού της συνάρτησης, 3. Έστω η συνάρτηση f από το Α στο Β, πότε η f λέγεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής τιµής; Αν το Α είναι υποσύνολο του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών, ενώ το Β συµπίπτει µε το R οι συναρτήσεις αυτές λέγονται πραγµατικές συναρτήσεις πραγµατικής µεταβλητής και τις οποίες στο εξής θα τις λέµε απλώς συναρτήσεις. 4. Αν f, g δύο συναρτήσεις πως ορίζονται µεταξύ των δυο συναρτήσεων οι πράξεις: άθροισµα, διαφορά, γινόµενο, πηλίκο Αν δύο συναρτήσεις f, g ορίζονται και οι δύο σε ένα σύνολο Α, τότε ορίζονται και οι συναρτήσεις: Το άθροισµα S= f+ g, µε S(x) = f(x) + g(x), x A Η διαφορά D= f g, µε D(x) = f(x) g(x), x A Το γινόµενο P Το πηλίκο R = f g, µε P(x) = f(x) g(x), x A και f g =, µε R(x) f(x) g(x) =, όπου x A και g(x) Τι ονοµάζουµε γραφική παράσταση ή καµπύλη της f. Έστω µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού ένα σύνολο Α. Γραφική παράσταση ή καµπύλη της f σε ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Oxy λέγεται το σύνολο των σηµείων M ( x, ( f ( x)) για όλα τα x A. 6. Τι ονοµάζεται εξίσωση της γραφικής παράστασης της f. Η εξίσωση y = f( x) επαληθεύεται µόνο από τα ζεύγη (x,y) που είναι συντεταγµένες σηµείων της γραφικής παράστασης της f και λέγεται εξίσωση της γραφικής παράστασης της f. 3
2 Γιάννης Ζαμπέλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - ΘΕΩΡΙΑ 7. Πότε ένα σηµείο Μ ανήκει στην καµπύλη της f. Ένα σηµείο M(x,y) του επιπέδου των αξόνων ανήκει στην καµπύλη της f, µόνο όταν y= f (x). 8. Πότε µια συνάρτηση f, λέγεται γνησίως αύξουσα σε έµα διάστηµα. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε σηµεία x,x 2 µε x < x 2 ισχύει f(x ) < f(x 2 ). 9. Πότε µια συνάρτηση f, λέγεται γνησίως φθίνουσα σε έµα διάστηµα. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε σηµεία x,x 2 µε x < x 2 ισχύει f(x ) > f(x 2 ) 0. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται γνησίως µονότονη. Μια συνάρτηση που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα λέγεται γνησίως µονότονη.. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f, µε πεδίο ορισµού Α, παρουσιάζει στο x τοπικό µέγιστο Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α λέµε ότι παρουσιάζει τοπικό µέγιστο στο x A, όταν f(x) f(x ) για κάθε x σε µια περιοχή του x. A 2. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f, µε πεδίο ορισµού Α, παρουσιάζει στο x2 τοπικό ελάχιστο Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α λέµε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x2 A, όταν f(x) f(x 2 ) για κάθε x σε µια περιοχή του x 2. A 3. Τι ονοµάζουµε ακρότατα µιας συνάρτησης Τα µέγιστα και τα ελάχιστα µιας συνάρτησης, τοπικά ή ολικά, λέγονται ακρότατα της συνάρτησης. 4
3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - ΘΕΩΡΙΑ Γιάννης Ζαμπέλης 4. Πότε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α λέγεται συνεχής. Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέγεται συνεχής, αν για κάθε x0 ισχύει lm f(x) = f(x ). x x 0 0 A 5. Πότε µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο x 0 του πεδίου ορισµού της. 0 0 Αν το lm h 0 f(x + h) f(x ) h υπάρχει και είναι πραγµατικός αριθµός, τότε λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο x 0 του πεδίου ορισµού της. Το όριο αυτό ονοµάζεται παράγωγος της f στο x 0, συµβολίζεται µε f (x 0 ) και 0 0 διαβάζεται f τονούµενο του x 0. Έχουµε λοιπόν: f (x 0 ) = lm 6. Τι εκφράζει η παράγωγος της f στο σηµείο x 0. h 0 f(x + h) f(x ) Η παράγωγος της f στο x 0 εκφράζει το ρυθµό µεταβολής του y = f(x) ως προς το x, όταν x = x0. Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης f στο σηµείο (x 0, f(x 0 )) θα είναι f (x 0 ), δηλαδή ο ρυθµός µεταβολής της f(x) ως προς x όταν x = x0. Η ταχύτητα ενός κινητού που κινείται ευθύγραµµα και η θέση του στον άξονα κίνησής του εκφράζεται από τη συνάρτηση x = f(t) θα είναι τη χρονική στιγµή t 0 υ (t 0 ) = f (t 0 ), δηλαδή ο ρυθµός µεταβολής της f(t) ως προς t όταν t t0 h =. 7. Τι ονοµάζεται πρώτη παραγώγος της συνάρτησης f. Έστω µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α, και Β το σύνολο των x στα οποία η f είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται µια νέα συνάρτηση, µε την οποία κάθε x B αντιστοιχίζεται στο f (x) f(x+ h) f(x) lm h =. Η συνάρτηση αυτή h 0 λέγεται (πρώτη) παράγωγος της f και συµβολίζεται µε f. A 8. Υπολογίστε την παράγωγο της σταθερής συνάρτησης f(x) = c + h Έχουµε f(x+ h) f(x) = c c = 0 και για h 0, έχουµε f(x h) f(x) 0 f(x+ h) f(x) οπότε lm = 0 h 0. Άρα (c) 0 h =. =, 5
4 Γιάννης Ζαμπέλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - ΘΕΩΡΙΑ 9. Υπολογίστε την παράγωγο της ταυτοτικής συνάρτησης f(x) = x Έχουµε f(x+ h) f(x) = (x+ h) x = h, και για h 0 f(x+ h) f(x) lm = lm =.Άρα (x) =. h Εποµένως h 0 h 0, f(x + h) f(x) = h =. h h f ( x ) = x 20. Υπολογίστε την παράγωγο της συνάρτησης Έχουµε f(x+ h) f(x) = (x+ h) x = x + 2xh+ h x = (2x+ h)h,και για h 0, f(x+ h) f(x) (2x+ h)h f ( x+ h) f ( x) = = 2x+ h.εποµένως, lm = lm(2x+ h) = 2x. h h h 0 h h 0 2 Άρα (x ) = 2x 2. Υπολογίστε µε τη βοήθεια του τύπου (x ν ν ) =ν x την παράγωγο των:,, x ( x ) x x 2 x x ( x) = x = x = x = x 2 = = = = 2 x x 2 x x 2 2 3, = ( x ) = 2 x = 2x = Υπολογίστε την παράγωγο της συνάρτησης cf(x) Έστω η συνάρτηση F(x) = cf(x). Έχουµε F(x h) F(x) cf(x h) cf(x) c(f(x h) f(x)) + = + = +, και για h 0 F(x+ h) F(x) c(f(x+ h) f(x) f(x+ h) f(x) = = c. h h h F(x+ h) F(x) f(x+ h) f(x) lm = lm c cf (x) h = h Εποµένως h 0 h 0. Άρα (c f(x)) = c f (x). 23. Υπολογίστε την παράγωγο της συνάρτησης f(x) + g(x) 6 Έστω η συνάρτηση F(x) f(x) g(x) = +. Έχουµε F(x h) F(x) (f(x h) g(x h)) (f(x) g(x)) + = (f(x h) f(x)) (g(x h) g(x)) = + + +,
5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - ΘΕΩΡΙΑ Γιάννης Ζαμπέλης F(x+ h) F(x) f(x+ h) f(x) g(x+ h) g(x) και για h 0, h h h F(x+ h) F(x) f(x+ h) f(x) g(x+ h) g(x) lm = lm + lm = f (x) + g (x). h 0 h h 0 h h 0 h Άρα (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x) = +. Εποµένως έχουµε: 24. Πότε µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα, λέγεται γνησίως αύξουσα στο. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα και ισχύει f (x) > 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο. 25. Πότε µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα, λέγεται γνησίως φθίνουσα στο. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα και ισχύει f (x) < 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο. 26. ιατυπώστε το Κριτήριο ης παραγώγου για το τοπ. µέγιστο στο διάστηµα (α,β) Αν για µια παραγωγίσιµη συνάρτηση f ισχύουν f (x 0 ) = 0 για x 0 ( αβ, ), f (x) > 0 στο (,x 0 ) για x = x0 µέγιστο α και f (x) 0 < στο (x 0, β ), τότε η f παρουσιάζει στο διάστηµα (α,β) 27. ιατυπώστε το Κριτήριο ης παραγώγου για το τοπ. ελάχιστο στο διάστηµα (α,β) Αν για µια παραγωγίσιµη συνάρτηση f ισχύουν f (x 0 ) = 0 για x 0 ( αβ, ), f (x) < 0 στο (,x 0 ) για x = x0 ελάχιστο α και f (x) 0 > στο (x 0, β ), τότε η f παρουσιάζει στο διάστηµα (α,β) Αν για τη συνάρτηση f ισχύει f ( x0) = 0, για x 0 ( α, β ) και η παράγωγός της f x, τότε η f είναι γνησίως µονότονη στο ( α, β ) διατηρεί πρόσηµο εκατέρωθεν του 0 και δεν παρουσιάζει ακρότατο στο διάστηµα αυτό. 7
6 Γιάννης Ζαμπέλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 28. Τι ονοµάζουµε Στατιστική. Στατιστική είναι ένα σύνολο αρχών και µεθοδολογιών για: το σχεδιασµό της διαδικασίας συλλογής δεδοµένων τη συνοπτική και αποτελεσµατική παρουσίασή τους την ανάλυση και εξαγωγή αντίστοιχων συµπερασµάτων. 29. Τι ονοµάζουµε πληθυσµό; και τι µονάδες ή άτοµα του πληθυσµού; Ένα σύνολο τα στοιχεία του οποίου θέλουµε να εξετάσουµε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. Τα στοιχεία του πληθυσµού συχνά αναφέρονται και ως µονάδες ή άτοµα του πληθυσµού. 30. Τι ονοµάζουµε στατιστικά δεδοµένα ή παρατηρήσεις; Στατιστικά δεδοµένα ή παρατηρήσεις ονοµάζουµε τα δεδοµένα, που προκύπτουν από τη διαδοχική εξέταση των ατόµων του πληθυσµού ως προς ένα χαρακτηριστικό τους. 3. Τι ονοµάζουµε µεταβλητές; και τι τιµές της µεταβλητής; Τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουµε έναν πληθυσµό λέγονται µεταβλητές, τις συµβολίζουµε συνήθως µε τα κεφαλαία γράµµατα X, Y, Z, B,... Οι δυνατές τιµές που µπορεί να πάρει µια µεταβλητή λέγονται τιµές της µεταβλητής 32. Σε ποιες κατηγορίες διακρίνουµε τις µεταβλητές; και σε ποιες τις ποσοτικές µεταβλητές; Τις µεταβλητές τις διακρίνουµε: I. Σε ποιοτικές ή κατηγορικές µεταβλητές, των οποίων οι τιµές τους δεν είναι αριθµοί. & II. Σε ποσοτικές µεταβλητές, των οποίων οι τιµές είναι αριθµοί και διακρίνονται: ) Σε διακριτές µεταβλητές, που παίρνουν µόνο µεµονωµένες τιµές. ) Σε συνεχείς µεταβλητές, που µπορούν να πάρουν αποιαδήποτε τιµή ενός διαστήµατος πραγµατικών αριθµών ( α, β ). 8
7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - ΘΕΩΡΙΑ Γιάννης Ζαμπέλης 33. Τι ονοµάζουµε απογραφή; Ένας τρόπος για να πάρουµε τις απαραίτητες πληροφορίες που χρειαζόµαστε για κάποιο πληθυσµό είναι να εξετάσουµε όλα τα άτοµα (στοιχεία) του πληθυσµού ως προς το χαρακτηριστικό που µας ενδιαφέρει. Η µέθοδος αυτή συλλογής των δεδοµένων καλείται απογραφή (census). 34. Τι ονοµάζουµε δείγµα; είγµα ονοµάζουµε µια µικρή οµάδα ή ένα υποσύνολο του πληθυσµού απ όπου ο ερευνητής συλλέγει πληροφορίες όταν η απογραφή είναι δύσκολη, αδύνατη ή οικονοµικά και χρονικά ασύµφορη. Κάνει τις παρατηρήσεις του στο δείγµα αυτό και µετά γενικεύει τα συµπεράσµατά του για ολόκληρο τον πληθυσµό. 35. Τι ονοµάζουµε αντιπροσωπευτικό δείγµα; Αντιπροσωπευτικό του πληθυσµού, ονοµάζουµε ένα δείγµα εάν έχει επιλεγεί κατά τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε µονάδα του πληθυσµού να έχει την ίδια δυνατότητα να επιλεγεί. 36. Σε ποιες κατηγορίες διακρίνονται οι πίνακες; Οι πίνακες διακρίνονται σε: α) γενικούς πίνακες, οι οποίοι περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από µία στατιστική έρευνα (συνήθως µε αρκετά λεπτοµερειακά στοιχεία) και αποτελούν πηγές στατιστικών πληροφοριών στη διάθεση των επιστηµόνων-ερευνητών για παραπέρα ανάλυση και εξαγωγή συµπερασµάτων, β) ειδικούς πίνακες, οι οποίοι είναι συνοπτικοί και σαφείς. Τα στοιχεία τους συνήθως έχουν ληφθεί από τους γενικούς πίνακες. 37. Τι πρέπει να περιέχει κάθε πίνακας; Κάθε πίνακας που έχει κατασκευαστεί σωστά πρέπει να περιέχει: α) τον τίτλο, που γράφεται στο επάνω µέρος του πίνακα και δηλώνει µε σαφήνεια και συνοπτικά το περιεχόµενο του πίνακα, β) τις επικεφαλίδες των γραµµών και στηλών, που δείχνουν συνοπτικά τη φύση και τις µονάδες µέτρησης των δεδοµένων, γ) το κύριο σώµα (κορµό), που περιέχει διαχωρισµένα µέσα στις γραµµές και στις στήλες τα στατιστικά δεδοµένα, 9
8 Γιάννης Ζαμπέλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - ΘΕΩΡΙΑ δ) την πηγή, που γράφεται στο κάτω µέρος του πίνακα και δείχνει την προέλευση των στατιστικών στοιχείων, έτσι ώστε ο αναγνώστης να ανατρέχει σ αυτήν, όταν επιθυµεί, για επαλήθευση στοιχείων ή για λήψη περισσότερων πληροφοριών. 38. Τι ονοµάζουµε απόλυτη συχνότητα ; Έστω x,x 2,...,x κ είναι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, ενός δείγµατος µεγέθους, κ ν. Στην τιµή x αντιστοιχίζεται η (απόλυτη) συχνότητα ν, δηλαδή ο φυσικός αριθµός που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x της εξεταζόµενης µεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. 39. Τι ονοµάζουµε σχετική συχνότητα f ;και ποιες ιδιότητες της ισχύουν; Αν διαιρέσουµε τη συχνότητα ν µε το µέγεθος ν του δείγµατος, προκύπτει η σχετική συχνότητα) f της τιµής x, δηλαδή Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες: ν f =, =,2,..., κ ν. () 0 f για =,2,..., κ Απόδειξη Έχουµε ό,τι ισχύει: 0 ν ν διαιρούµε µε ν και έχουµε: 0 ν ν ν ν ν Άρα τελικά έχουµε: () 2 f + f f =, κ 0 f ν ν ν ν +ν νκ ν f+ f f κ = = = = ν ν ν ν ν 2 κ 2 Απόδειξη Έχουµε ό,τι :. 40. Τι ονοµάζουµε πίνακας κατανοµής συχνοτήτων; Οι ποσότητες x, ν, f για ένα δείγµα συγκεντρώνονται σε ένα συνοπτικό πίνακα, που ονοµάζεται πίνακας κατανοµής συχνοτήτων ή απλά πίνακας συχνοτήτων. 0
9 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - ΘΕΩΡΙΑ Γιάννης Ζαμπέλης 4. Τι ονοµάζουµε κατανοµή συχνοτήτων και τι κατανοµή σχετικών συχνοτήτων; Για µια µεταβλητή, το σύνολο των ζευγών (x, ν ) λέµε ότι αποτελεί την κατανοµή συχνοτήτων και το σύνολο των ζευγών (x,f ), ή των ζευγών (x,f %), την κατανοµή των σχετικών συχνοτήτων. 42. Τι ονοµάζουµε Αθροιστική συχνότητα (Ν ) µιας τιµής x µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ. Αθροιστική συχνότητα (Ν ) της τιµής x ονοµάζουµε το άθροισµα: N = , =, 2,, κ. Ισχύουν επίσης οι τύποι: =N, N = N - +, =N -N -, N κ =ν 43. Τι εκφράζει η Αθροιστική συχνότητα (Ν ) µιας τιµής x µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ. Η αθροιστική συχνότητα (Ν ) εκφράζει το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι µικρότερες ή ίσες δηλαδή το πολύ ίσες από την τιµή x και έχει νόηµα µόνο για ποσοτικές µεταβλητές. 44. Τι ονοµάζουµε Αθροιστική σχετική συχνότητα (F µιας τιµής x µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ. Αθροιστική σχετική συχνότητα (F ) της τιµής x ονοµάζουµε το άθροισµα: F = f + f f, µε =, 2,.., κ. Ισχύουν επίσης: f = F, F = F - +f, f =F -F -, F κ = 45. Τι εκφράζει η Αθροιστική σχετική συχνότητα (F ) µιας τιµής x µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ. Η αθροιστική σχετική συχνότητα εκφράζει το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι µικρότερες ή ίσες δηλαδή το πολύ ίσες από την τιµή x.και έχει νόηµα µόνο για ποσοτικές µεταβλητές.
10 Γιάννης Ζαμπέλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - ΘΕΩΡΙΑ 46. Τι ονοµάζουµε ραβδόγραµµα και σε τι είδους µεταβλητές το χρησιµοποιούµε; Αποτελείται από ορθογώνιες στήλες που οι βάσεις του βρίσκονται πάνω στον οριζόντιο ή στον κατακόρυφο άξονα. Σε κάθε τιµή της µεταβλητής Χ αντιστοιχεί µια ορθογώνια στήλη, το ύψος της οποίας είναι ίσο µε την αντίστοιχη συχνότητα. Χρησιµοποιείται για την γραφική παράσταση των τιµών µιας ποιοτικής µεταβλητής. 47. Τι ονοµάζουµε διάγραµµα συχνοτήτων και σε τι είδους µεταβλητές το χρησιµοποιούµε; Είναι αντίστοιχο µε το ραβδόγραµµα µε τη διαφορά ότι αντί ορθογωνίων χρησιµοποιούµε ευθύγραµµα τµήµατα µήκους ίσου µε την αντίστοιχη συχνότητα. Χρησιµοποιείται για την γραφική παράσταση των τιµών µιας ποσοτικής µεταβλητής. 48. Τι ονοµάζουµε πολύγωνο συχνοτήτων ή πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων. Αν ενώσουµε τις κορυφές των ευθυγράµµων τµηµάτων ενός διαγράµµατος συχνοτήτων ή σχετικές συχνότητες έχουµε αντίστοιχα πολύγωνο συχνοτήτων ή πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων. 49. Τι ονοµάζουµε κυκλικό διάγραµµα και σε τι είδους µεταβλητές το χρησιµοποιούµε; Αποτελείται από κυκλικό δίσκο µε αυθαίρετη ακτίνα χωρισµένος σε κυκλικούς τοµείς τα εµβαδά ή ισοδύναµα τα τόξα των οποίων είναι ανάλογα προς τις αντίστοιχες συχνότητες ν ή τις σχετικές συχνότητες f των τιµών x. Αν θεωρήσουµε α το αντίστοιχο τόξο θα έχουµε: o o α = = f Χρησιµοποιείται για την γραφική παράσταση των τιµών ποιοτικών ή ποσοτικών µεταβλητών όταν οι τιµές της µεταβλητής είναι σχετικά λίγες. 50. Τι ονοµάζουµε σηµειόγραµµα και σε τι είδους µεταβλητές το χρησιµοποιούµε; Αποτελείται από έναν οριζόντιο άξονα στον οποίο παριστάνονται οι τιµές της µεταβλητής. Πάνω από κάθε τιµή σηµειώνοντας τελίτσες (σηµεία), το πλήθος των οποίων δίνει τη συχνότητα της αντίστοιχης τιµής της µεταβλητής.. Χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση, των τιµών µιας µεταβλητής όταν έχουµε λίγες παρατηρήσεις. 2
11 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - ΘΕΩΡΙΑ Γιάννης Ζαμπέλης 5. Τι ονοµάζουµε χρονόγραµµα και σε τι είδους µεταβλητές το χρησιµοποιούµε; Ο οριζόντιος άξονας χρησιµοποιείται συνήθως ως άξονας µέτρησης του χρόνου (σε έτη, µήνες, µέρες, ώρες κ.τλ.) και ο κάθετος άξονας ως άξονας µέτρησης της εξεταζόµενης µεταβλητής. Χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση της διαχρονικής εξέλιξης ενός οικονοµικού, δηµογραφικού ή άλλου µεγέθους. 52. Ποια τα βήµατα της οµαδοποίησης µιας κατανοµής συχνοτήτων Για να οµαδοποιήσουµε ν παρατηρήσεις σε κλάσεις ακολουθούµε τα παρακάτω βήµατα. ο βήµα: εύρεση αριθµού κλάσεων (κ) Αν δεν µας δίνεται ο αριθµός των κλάσεων που θέλουµε να οµαδοποιήσουµε τις παρατηρήσεις µας τότε κάνουµε χρήση του πίνακα. (βλέπε σχολ. βιβλίο σελ. 72) 2 ο βήµα: εύρεση πλάτους κλάσης (C) Πλάτος της κλάσης (C) ονοµάζεται η διαφορά του κάτω ορίου της κλάσης από το άνω όριο της κλάσης. Για να κάνουµε κλάσεις ίσου πλάτους (µόνο τέτοιες µας ενδιαφέρουν) υπολογίζουµε το εύρος (R) του δείγµατος. Εύρος (R) του δείγµατος: ονοµάζεται η διαφορά της µικρότερης παρατήρησης (x mn ) από την µεγαλύτερη παρατήρηση (x max ) δηλαδή R=x max -x mn Τέλος υπολογίζουµε το πλάτος c της κλάσης από το πηλίκο R/K. (Αν χρειαστεί στρογγυλοποιούµε πάντοτε προς τα πάνω). ηλαδή: R C = K 3 ο βήµα: Κατασκευή των κλάσεων Ξεκινάµε από την µικρότερη παρατήρηση (ή από µια µικρότερη ακέραια από αυτήν) και προσθέτοντας κάθε φορά το πλάτος (C) της κλάσης δηµιουργούµε τις κ-κλάσεις. 4 ο βήµα: ιαλογή των παρατηρήσεων Τέλος κάνουµε τη διαλογή των παρατηρήσεων κατά τα γνωστά. 3
12 Γιάννης Ζαμπέλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - ΘΕΩΡΙΑ 53. Τι ονοµάζουµε ιστόγραµµα συχνοτήτων; και µε τι ισούται το εµβαδόν ενός ορθογωνίου του; Ονοµάζουµε τη γραφική παράσταση ενός πίνακα συχνοτήτων µε οµαδοποιηµένα δεδοµένα. Αποτελείται από διαδοχικά ορθογώνια (ιστούς) που οι βάσεις βρίσκονται πάνω στον οριζόντιο άξονα και έχουν πλάτος ίσο µε το πλάτος c της κλάσης και ύψος τέτοιο ώστε το εµβαδόν κάθε ορθογωνίου να ισούται µε την αντίστοιχη συχνότητα της κλάσης αυτής. 54. Τι ονοµάζουµε πολύγωνο συχνοτήτων; Αν στα ιστογράµµατα συχνοτήτων θεωρήσουµε δύο ακόµη υποθετικές κλάσεις, στην αρχή και στο τέλος, µε συχνότητα µηδέν και στη συνέχεια ενώσουµε τα µέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων, σχηµατίζεται το λεγόµενο πολύγωνο συχνοτήτων 55. Με τι ισούται το εµβαδόν του χωρίου µεταξύ: xx και πολυγώνου συχνοτήτων; Το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο µε το άθροισµα των συχνοτήτων, δηλαδή µε το µέγεθος του δείγµατος ν. 56. Με τι ισούται το εµβαδόν του χωρίου µεταξύ: xx και πολυγώνου σχετικών συχνοτήτων; Το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο µε το άθροισµα των σχετικών συχνοτήτων, δηλαδή µε. 57. Τι ονοµάζουµε ιστόγραµµα αθροιστικών συχνοτήτων; και µε τι ισούται το εµβαδόν ενός ορθογωνίου του; Είναι ανάλογο του ιστογράµµατος συχνοτήτων µόνο που στη θέση των συχνοτήτων έχουµε τις αθροιστικές συχνότητες. Το εµβαδόν κάθε ορθογωνίου ισούται µε την αντίστοιχη αθροιστική συχνότητα της κλάσης αυτής. 4
13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - ΘΕΩΡΙΑ Γιάννης Ζαμπέλης 58. Τι ονοµάζουµε καµπύλη συχνοτήτων; Εάν υποθέσουµε ότι ο αριθµός των κλάσεων για µια συνεχή µεταβλητή είναι αρκετά µεγάλος (τείνει στο άπειρο) και ότι το πλάτος των κλάσεων είναι αρκετά µικρό (τείνει στο µηδέν), τότε η πολυγωνική γραµµή συχνοτήτων τείνει να πάρει τη µορφή µιας οµαλής καµπύλης, η οποία ονοµάζεται καµπύλη συχνοτήτων. 59. Ποιες είναι οι ποιο γνωστές καµπύλες συχνοτήτων; Οµοιόµορφη κατανοµή: Όλες οι παρατηρήσεις κατανέµονται οµοιόµορφα σ όλη την έκταση του εύρους τους. Κανονική κατανοµή: οι περισσότερες παρατηρήσεις βρίσκονται γύρω από το κέντρο x o και οι υπόλοιπες κατανέµονται συµµετρικά εκατέρωθεν του κέντρου x o. Ασύµµετρη κατανοµή (µε αρνητική ασυµµετρία): οι περισσότερες παρατηρήσεις βρίσκονται δεξιότερα του κέντρου x o (δηλαδή υπερισχύουν οι «µεγαλύτερες» παρατηρήσεις Ασύµµετρη κατανοµή (µε θετική ασυµµετρία): οι περισσότερες παρατηρήσεις βρίσκονται αριστερότερα του κέντρου x o (δηλαδή υπερισχύουν οι «µικρότερες» παρατηρήσεις). ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ x = δ δ x ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ x δ ΑΡΝΗΤΙΚΗ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ 60. Τι ονοµάζουµε µέτρα θέσεως και ποια είναι αυτά; Μέτρα θέσης ονοµάζουµε τις αριθµητικές ποσότητες που µας δίνουν τη θέση του «κέντρου» των παρατηρήσεων στον οριζόντιο άξονα. Τα µέτρα θέσεως εκφράζουν την «κατά µέσο όρο» απόστασή τους από την αρχή των αξόνων. 5
14 Γιάννης Ζαμπέλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - ΘΕΩΡΙΑ Τα µέτρα θέσεως που θα µας απασχολήσουν είναι: ο αριθµητικός µέσος (µέση τιµή), ο σταθµικός µέσος, και η διάµεσος. 6. Πως υπολογίζουµε τον αριθµητικό µέσο (µέση τιµή) ανάλογα µε τη µορφή των δεδοµένων; Αν έχουµε αταξινόµητες παρατηρήσεις: t, t 2,, t τότε η µέση τιµή x δίνεται από τον τύπο: t = t + t t x = = Αν έχουµε ταξινοµηµένες παρατηρήσεις: x, x 2,, x κ µε τις αντίστοιχες συχνότητες ν, ν 2,..., ν κ τότε η µέση τιµή x δίνεται από τον τύπο: κ x = x = x f ν κ = = Αν έχουµε οµαδοποιηµένες παρατηρήσεις σε κ- κλάσεις µε κεντρικές τιµές x, x 2,, x κ και αντίστοιχες συχνότητες ν, ν 2,..., ν κ τότε η µέση τιµή x δίνεται από τον τύπο: κ x = x = x f ν κ = = 62. Τι ορίζεται διάµεσος ν παρατηρήσεων; ιάµεσος (δ) ενός δείγµνατος ν-παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί κατά αύξουσα σειρά ορίζεται ως η µεσαία παρατήρηση, όταν το ν είναι περιττός ή ο µέσος όρος (ηµιάθροισµα) των δύο µεσαίων παρατηρήσεων όταν το ν είναι άρτιος αριθµός. ΣΧΟΛΙΑ Η διάµεσος είναι η τιµή που χωρίζει ένα σύνολο παρατηρήσεων σε δύο ίσα µέρη όταν οι παρατηρήσεις αυτές τοποθετηθούν µε σειρά τάξης µεγέθους. Ακριβέστερα, η διάµεσος είναι η τιµή για την οποία το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι µικρότερες από αυτήν και το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι µεγαλύτερες από την τιµή αυτήν. Ο τρόπος υπολογισµού της διαφέρει ανάλογα µε το αν έχουµε αταξινόµητες παρατηρήσεις, ταξινοµηµένες ή οµαδοποιηµένες σε κλάσεις. 6
15 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - ΘΕΩΡΙΑ Γιάννης Ζαμπέλης 63. Πως υπολογίζουµε τη διάµεσο ανάλογα µε τη µορφή των δεδοµένων; Αν έχουµε αταξινόµητες τις ν-παρατηρήσεις τότε τις διατάσσουµε κατά αύξουσα σειρά και αν ν=2κ+ παρατήρηση). (περιττός) τότε η διάµεσος θα είναι η δ=x κ+ (µεσαία x αν ν=2κ (άρτιος) τότε η διάµεσος θα είναι κ + x δ = κ+ 2 δύο µεσαίων παρατηρήσεων). (ηµιάθροισµα των Αν έχουµε ταξινοµηµένες σε πίνακα συχνοτήτων παρατηρήσεις τότε σχηµατίζουµε στον πίνακα τη στήλη N (αθροιστικών συχνοτήτων), υπολογίζουµε το ν/2 και βρίσκουµε από τη στήλη N, σε ποιο συγκεκριµένο Ν εµπεριέχεται (έστω Ν κ ), τότε η δ=x κ (η τιµή που αντιστοιχεί στο Ν κ ). Αν έχουµε οµαδοποιηµένες παρατηρήσεις σε κλάσεις τότε βρίσκουµε γραφικά τη διάµεσο είτε από το πολύγωνο σχ. αθροιστικών συχνοτήτων (F %) είτε σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων (F ) είτε αθροιστικών συχνοτήτων (N ). Υπολογίζουµε το 50% ή 0,5 ή ν/2 αντίστοιχα, φέρουµε παράλληλη στον x x µέχρι να τέµνει το πολύγωνο και από εκεί φέρουµε κάθετη στον x x. Η ένδειξη που διαβάζουµε είναι η δ. 64. Τι ονοµάζουµε σταθµικό µέσο και τι συντελεστές βαρύτητας; Αν σε κάθε τιµή x, x 2,, x δώσουµε διαφορετική βαρύτητα που εκφράζεται µε τους λεγόµενους συντελεστές στάθµισης (βαρύτητας) w, w 2,, w τότε αντί του αριθµητικού µέσου χρησιµοποιούµε τον σταθµικό µέσο που δίνεται από τον τύπο: x w + x w x w x = = 2 2 = w + w w 65. Τι ονοµάζουµε µέτρα διασποράς και ποια είναι αυτά; Μέτρα διασποράς ή µέτρα µεταβλητότητας: ονοµάζουµε τα αριθµητικά µεγέθη που µας πληροφορούν για την διασπορά των παρατηρήσεων, δηλαδή πόσο αυτές εκτείνονται γύρω από το «κέντρο» τους. Τα σηµαντικότερα είναι: το εύρος (R), η διακύµανση (s 2 ) και η τυπική απόκλιση (s). = x w w 7
16 Γιάννης Ζαμπέλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - ΘΕΩΡΙΑ 66. Τι εκφράζουν τα µέτρα διασποράς. Τα µέτρα διασποράς: εκφράζουν τις αποκλίσεις των τιµών µιας µεταβλητής γύρω από τα µέτρα κεντρικής τάσης. 67. Πως υπολογίζουµε το εύρος; Το εύρος ορίζεται ως η διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη µέγιστη παρατήρηση. Σε οµαδοποιηµένες παρατηρήσεις το εύρος είναι:η διαφορά του κάτω ορίου της πρώτης κλάσης από το άνω όριο της τελευταίας. 68. Με τι ισούται το R όταν έχουµε κανονική ή περίπου κανονική κατανοµή; Το εύρος ισούται περίπου µε έξι τυπικές αποκλίσεις, δηλαδή R 6s. 69. Να αποδείξετε ότι ο αριθµητικός µέσος των διαφορών t µηδέν. x είναι ίσος µε το Έστω t, t 2,..., t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, µε µέση τιµή x.θέλουµε να δείξουµε ότι ο αριθµητικός µέσο των διαφορών αυτών, δηλαδή : µηδέν. ( t ( t x) x) + ( t2 x) ( t x) = = ( t x) + ( t x) ( t x) t + t t 2 Έχουµε: = = x x = 0 x., είναι ίσος µε το 70. Πως υπολογίζουµε την διακύµανση ή διασπορά ανάλογα µε τη µορφή των δεδοµένων; Η διασπορά ορίζεται ως ο µέσος όρος των τετραγώνων των αποκλίσεων των τιµών t από τη µέση τιµή x. ηλαδή: 2 2 ( ) 2 t - x t t = = s = = = t - = - x = = x x Σε περίπτωση που έχουµε πίνακα συχνοτήτων ή οµαδοποίηση έχουµε: 8
17 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - ΘΕΩΡΙΑ Γιάννης Ζαμπέλης x κ κ 2 = ( ) s x x x x f x = = = = = ν όπου x, x 2,..., x κ οι διαφορετικές τιµές της µεταβλητής ή οι κεντρικές τιµές και ν, ν 2,..., ν κ οι αντίστοιχες συχνότητες κ 2 7. Πως ορίζεται ο συντελεστής µεταβολής; Και σε τι µας βοηθά; O συντελεστής µεταβολής ορίζεται από το λόγο: τυπική απόκλιση s CV 00% 00% µέση τιµή x = = εκφράζεται επί τοις εκατό, είναι συνεπώς ανεξάρτητος από τις µονάδες µέτρησης και παριστάνει ένα µέτρο σχετικής διασποράς των τιµών και όχι της απόλυτης διασποράς, όπως έχουµε δει έως τώρα. O συντελεστής µεταβολής µας βοηθά στη σύγκριση οµάδων τιµών, που είτε εκφράζονται σε διαφορετικές µονάδες µέτρησης είτε εκφράζονται στην ίδια µονάδα µέτρησης, αλλά έχουν σηµαντικά διαφορετικές µέσες τιµές, Προσοχή!!! Αν x < 0 τότε αντί του x βάζουµε το xστον τύπο του συντ. µεταβολής. 72. ώστε τα ποσοστά των παρατηρήσεων όταν έχουµε µια κανονική ή περίπου κανονική κατανοµή. 50% 50% 6% 6% 2,5% 2,5% 0, ,5 x 3,5% 3,5 3s x 2s x s x x+ s x+ 2s x+ 3s 68% 95 % 99,7% 9
18 Γιάννης Ζαμπέλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - ΘΕΩΡΙΑ 73. Πότε θα λέµε ένα δείγµα οµοιογενές; Γενικά δεχόµαστε ότι ένα δείγµα τιµών µιας µεταβλητής θα είναι οµοιογενές, εάν ο συντελεστής µεταβολής δεν ξεπερνά το 0%. 74. Τι αλλάζει σε µέση τιµή και τυπ. απόκλιση αν έχουµε y = x c + Έστω x, x 2,, x παρατηρήσεις µε µέση τιµή x και τυπική απόκλιση s. Αν y, y 2,, y οι παρατηρήσεις που προκύπτουν από τον τύπο έχουµε: y = x + c και s y = s x y = x + c τότε = c x 75. Τι αλλάζει σε µέση τιµή και τυπ. απόκλιση αν έχουµε Έστω x, x 2,, x παρατηρήσεις µε µέση τιµή x και τυπική απόκλιση s. y Αν y, y 2,, y οι παρατηρήσεις που προκύπτουν από τον τύπο έχουµε y = c x τότε y = cx και y s = c s. x 76. Τι αλλάζει σε µέση τιµή και τυπ. απόκλιση αν έχουµε y α x + β = Έστω x, x 2,, x παρατηρήσεις µε µέση τιµή x και τυπική απόκλιση s. Αν y, y 2,, y παρατηρήσεις όπου y =αx +β τότε θα έχουµε y =αx +β και s y = α s x 20
19 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - ΘΕΩΡΙΑ Γιάννης Ζαμπέλης ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 77. Τι ονοµάζουµε αιτιοκρατικό πείραµα; Κάθε πείραµα κατά το οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσµα λέγεται αιτιοκρατικό (determnstc) πείραµα. 78. Τι ονοµάζουµε πείραµα τύχης; Πείραµα τύχης κάθε πείραµα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί πολλές φορές κάτω από τις ίδιες συνθήκες χωρίς να µπορούµε να προβλέψουµε το αποτέλεσµά του. π.χ. η ρίψη ενός ζαριού. 79. Τι ονοµάζουµε δειγµατικό χώρο Ω; ειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης ονοµάζεται το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων του πειράµατος. Ο δειγµατικός χώρος συµβολίζεται µε Ω. 80. Τι ονοµάζουµε ενδεχόµενο Α; Ενδεχόµενο ή γεγονός ενός πειράµατος τύχης ονοµάζεται κάθε υποσύνολο του δειγµατικού χώρου Ω του πειράµατος. 8. Πότε ένα ενδεχόµενο Α λέγεται απλό και πότε σύνθετο; Απλό ή στοιχειώδες ενδεχόµενο λέγεται κάθε υποσύνολο του Ω. που έχει µόνο ένα στοιχείο. Σύνθετο ενδεχόµενο λέγεται κάθε υποσύνολο του Ω που έχει τουλάχιστον δύο στοιχεία. Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοµένου Α το συµβολίζουµε µε Ν(Α) και το πλήθος των στοιχείων του δειγµατικού χώρου Ω το συµβολίζουµε µε Ν(Ω). 82. Ποιο ενδεχόµενο ονοµάζεται βέβαιο και ποιο αδύνατο; Το Ω καλείται βέβαιο ενδεχόµενο αφού πραγµατοποιείται πάντοτε. Το καλείται αδύνατο ενδεχόµενο αφού δεν πραγµατοποιείται ποτέ. 2
20 Γιάννης Ζαμπέλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - ΘΕΩΡΙΑ 83. Τι ονοµάζεται ένωση δυο ενδεχοµένων Α και Β; - ιάγραµµα. Ένωση των ενδεχοµένων Α, Β ονοµάζουµε το ενδεχό - Α Β Ω µενο που έχει ως στοιχεία του, όλα τα στοιχεία των Α και Β. Συµβ. Α Β ηλαδή: Α Β={ω Ω / ω Α ή ω Β} 84. Τι ονοµάζεται τοµή δυο ενδεχοµένων Α και Β; - ιάγραµµα. Τοµή των ενδεχοµένων Α, Β ονοµάζουµε το ενδεχόµενο Α Β Ω που έχει ως στοιχεία του τα κοινά στοιχεία των Α και Β. Συµβ. Α Β ηλαδή: Α Β={ω Ω / ω Α και ω Β} 85. Τι ονοµάζεται συµπλήρωµα ενός ενδεχοµένου Α; - ιάγραµµα. Αντίθετο ή Συµπληρωµατικό του ενδεχοµένου Α ονοµάζουµε το ενδεχόµενο που έχει ως στοιχεία του όλα τα στοιχεία του Ω που δεν είναι στοιχεία του Α. Α Ω Συµβ. µε A ηλαδή: Α ={ω Ω / ω Α} 86. Τι ονοµάζουµε διαφορά του Β από το Α; - ιάγραµµα. ιαφορά του Β από το Α ονοµάζουµε το ενδεχόµενο Α Β Ω που έχει ως στοιχεία όλα τα στοιχεία του Α που δεν ανήκουν στο Β. Συµβ. µε Α-Β ηλαδή: Α-Β={ω Ω / ω Α και ω Β} 87. Πότε δυο ενδεχόµενα Α, Β λέγονται ξένα ή ασυµβίβαστα; ύο ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω θα λέγονται ασυµβίβαστα ή ξένα όταν δεν έχουν κανένα κοινό σηµείο, δηλαδή όταν έχουµε: Α Β= Α Β 22
21 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - ΘΕΩΡΙΑ Γιάννης Ζαμπέλης 88. Τι ονοµάζεται σχετική συχνότητα του Α και ποιες οι ιδιότητες της; Αν επαναλάβουµε ένα πείραµα τύχης ν-φορές και κάποιο ενδεχόµενο Α πραγµατοποιείται κ φορές τότε ο λόγος κ/ν ονοµάζεται σχετική συχνότητα του ενδεχοµένου Α και συµβολίζεται µε f κ δηλαδή έχουµε: κ αριθµός πραγµατοποιήσεων του Α f κ = = ν αριθµός επαναλήψεων πειράµατος Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Αν ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης είναι το πεπερασµένο σύνολο Ω={ω, ω 2,..., ω λ } και σε ν-εκτελέσεις του πειράµατος τα απλά ενδεχόµενα {ω }, {ω 2 }... {ω λ } πραγµατοποιούνται κ, κ 2,..., κ λ φορές αντίστοιχα τότε για τις σχετικές συχνότητες: f κ =, =, 2,, λ ισχύουν: α) 0 f, =, 2,, λ β) f +f 2 + +f λ = 89. Τι ονοµάζεται στατιστικλη οµαλότητα ή νόµος των µεγάλων αριθµών; Οι σχετικές συχνότητες πραγµατοποίησης των ενδεχοµένων ενός πειράµατος σταθεροποιούνται γύρω από κάποιους αριθµούς (όχι πάντοτε ίδιους), καθώς ο αριθµός των δοκιµών του πειράµατος επαναλαµβάνεται απεριόριστα. Το εµπειρικό αυτό εξαγόµενο, το οποίο επιβεβαιώνεται και θεωρητικά, ονοµάζεται στατιστική οµαλότητα ή νόµος των µεγάλων αριθµών. 90. Ποιος είναι ο κλασικός ορισµός της πιθανότητας και πότε χρησιµοποιείται; Έστω Ω={ω, ω 2,..., ω ν } ένας πεπερασµένος δ.χ. του οποίου τα απλά ενδεχόµενα: {ω }, {ω 2 }...{ω ν } είναι ισοπίθανα. Αν Α είναι ένα ενδεχόµενο του Ω, τότε ορίζουµε ως πιθανότητα του Α τον N( A) πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων αριθµό: P( A) = = Από τον ορισµό έχουµε: N( Ω) πλήθος δυνατών περιπτώσεων ( ) ( ) ( ) Ν Ω P Ω = = Ν Ω, P( ) ( ) = N O Ν Ω ( ) = 0, 0 Ρ(Α) για κάθε ενδεχόµενο Α. 23
22 Γιάννης Ζαμπέλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - ΘΕΩΡΙΑ 9. Πότε εφαρµόζεται ο κλασσικός ορισµός της πιθανότητας; Ο κλασικός ορισµός της πιθανότητας εφαρµόζεται όταν ο δ. χ. είναι πεπερασµένος και αποτελείται από απλά και ισοπίθανα ενδεχόµενα Αν ο δ. χ. Ω έχει ν στοιχεία και εµείς «επιλέγουµε τυχαία ένα στοιχείο του Ω» τότε όλα τα στοιχειώδη ενδεχόµενα ω είναι ισοπίθανα, µε πιθανότητα ( ) P ω = 92. Ποιος είναι ο αξιωµατικός ορισµός της πιθανότητας; Έστω Ω={ω, ω 2,..., ω ν } ένας δ. χ. µε πεπερασµένο πλήθος στοιχείων (όχι ισοπίθανα απαραίτητα). Κάθε απλό ενδεχόµενο {ω } έχει πιθανότητα Ρ(ω ). Ισχύουν τότε τα εξής: 0 Ρ(ω ), =, 2,, P(ω )+Ρ(ω 2 )+...+Ρ(ω ν )= Αν Α={α, α 2,..., α κ } ένα µη κενό υποσύνολο του Ω τότε: Ρ(Α)=Ρ(α )+Ρ(α 2 )+...+Ρ(α κ ). Ισχύουν επίσης: Ρ(Ω)= Ρ( )=0 0 Ρ(Α) για κάθε ενδεχόµενο Α 93. Αποδείξτε τον τύπο: P(A B) = P(A) + P(B) αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα. Αν N(A)= κ και N(B)=λ, τότε το A B έχει κ+λ στοιχεία, γιατί αλλιώς τα Α και Β δε θα ήταν ασυµβίβαστα. ηλαδή, έχουµε N(A B) = κ+λ = N(A) + N(B). Εποµένως A B N(A B) P(A B) = N( Ω) N(A) + N(B) = N( Ω) Ω A B N(A) N(B) = + N( Ω) N( Ω) = P(A) + P(B). Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως απλός προσθετικός νόµος 24
23 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - ΘΕΩΡΙΑ Γιάννης Ζαμπέλης 94. Αποδείξτε τον τύπο: P(A ) = P(A) Επειδή A A =, δηλαδή τα Α και A είναι ασυµβίβαστα, έχουµε διαδοχικά, σύµφωνα µε τον απλό προσθετικό νόµο: P(A A ) = P(A) + P(A ) P( Ω ) = P(A) + P(A ) = P(A) + P(A ). Ω A A Οπότε P(A ) = P(A) 95. Αποδείξτε τον τύπο: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) ΑΠΟ ΕΙΞΗ Για δυο ενδεχόµενα Α και Β έχουµεn(a B) N(A) N(B) N(A B) = +,() αφού στο άθροισµα N(A) + N(B) το πλήθος των στοιχείων του A B υπολογίζεται δυο φορές. Αν διαιρέσουµε τα µέλη της () µε N( Ω ) έχουµε: A B N(A B) N(A) N(B) N(A B) = + N( Ω) N( Ω) N( Ω) N( Ω) και εποµένως P(A B) P(A) P(B) P(A B) = +. Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως προσθετικός νόµος Ω A B 96. Αποδείξτε τον τύπο: Αν A B, τότε P(A) ΑΠΟ ΕΙΞΗ Επειδή A B έχουµε διαδοχικά: N(A) N(B) P(B) B A N(A) N(B) N( Ω) N( Ω) Ω P(A) P(B). 25
24 Γιάννης Ζαμπέλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - ΘΕΩΡΙΑ 97. Αποδείξτε τον τύπο: P(A B) = P(A) P(A B) ΑΠΟ ΕΙΞΗ Επειδή τα ενδεχόµενα A B και A B είναι ασυµβίβαστα A A B B και (A B) (A B) = A, έχουµε: Ω P(A) = P(A B) + P(A B). Άρα P(A B) P(A) P(A B) =. 26
ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.
Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.
Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C
Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία
Διαβάστε περισσότεραΘέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη
ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 59 Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 004, ΜΑΪΟΣ 008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Έχουμε f (x+h) - f (x) = c - c = 0 και για h 0 είναι f (x + h) - f (x) 0 m
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ
ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,
Διαβάστε περισσότεραΓια το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου
Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα
Διαβάστε περισσότεραΑ. α) ίνεται η συνάρτηση F(x)=f(x)+g(x). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F (x)=f (x)+g (x).
Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βαρβαδούκας ΘΕΜΑ ο Α. α) ίνεται η συνάρτηση F()=f()+g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F ()=f ()+g (). β)να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής;
Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 1 : ιαφορικός Λογισµός 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής; 2. Έστω µια
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )
Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.
Διαβάστε περισσότεραi μιας μεταβλητής Χ είναι αρνητικός αριθμός
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακoλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε
Διαβάστε περισσότεραΑ. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β;
σελ 1 από 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β; 1. Σ-Λ Η σχέση με:, είναι συνάρτηση. 2. Σ-Λ Η σχέση είναι συνάρτηση.
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέµα Α A1. Για δυο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: Ρ( Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ( Α Β) Α. Πότε µια συνάρτηση f µε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις. Ορισμός Συνάρτησης
Συναρτήσεις Ορισμός Συνάρτησης Συνάρτηση είναι μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Σχόλιο : Τα σύνολα Α και Β είναι
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους.
1 Κεφάλαιο. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική: ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για: το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους την ανάλυση
Διαβάστε περισσότεραΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΤΟΠΙΚΟ ΜΕΓΙΣΤΟ ΤΟΠΙΚΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ
1 Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ά ( ύ ) έ ί ύ σ ύ ό ά, ύ ό ά 1 1 1 ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ά ( ύ ) έ ί ύ σ ύ ό ά, ύ ό ά 1 1 1 ΤΟΠΙΚΟ ΜΕΓΙΣΤΟ ά ( ύ ) έ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΓ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β )
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ /0/0 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:ΕΝΝΕΑ (9) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΘέμα Α. Θέμα Β. ~ 1/9 ~ Πέτρος Μάρκου. % σχεδιάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις
01 Θέμα Α Α1. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 31 σχολικού βιβλίου Α. Θεωρία (ορισμός), σελίδα 18-19 σχολικού βιβλίου Α3. Θεωρία, (ορισμός), σελίδα 96 σχολικού βιβλίου Α. α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε)
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f =
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 16 (version 9-6-16) 1. A Να δώσετε τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο ορισμού της. Απάντηση: Παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο
Διαβάστε περισσότεραÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι f ( x) + g( x) = f ( x) + g ( x), για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 017 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (0/06/017, 1:00) ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ
Διαβάστε περισσότεραΑν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι: Αν Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Β)
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 04 ΘΕΜΑ ο Α. Πότε δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ονομάζονται ασυμβίβαστα;
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 20 ΜΑΪΟΥ 2013 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. x x x 4
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 0 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ. 8 Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ. 4 Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ. 87 Α4.
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν
ΘΕΜΑ 1o ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012
Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου
Διαβάστε περισσότεραF είναι ίσος µε ν. i ÏÅÖÅ ( ) h 3,f 3.
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και A ενός δειγµατικού χώρου Ω να P A = P A.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 05 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R, να αποδείξετε ότι: f + g ' = f ' + g ', R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν,
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ 2. Ο αριθμός των ανθρώπων που παρακολουθούν μια συγκεκριμένη τηλεοπτική εκπομπή είναι διακριτή
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:
Συχνότητα v i O φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότεραF(x h) F(x) (f(x h) g(x h)) (f(x) g(x)) F(x h) F(x) f(x h) f(x) g(x h) g(x) h h h. lim lim lim f (x) g (x). h h h
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 MAΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A1. Έστω η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Σ
Διαβάστε περισσότερα2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress.
3-4 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ttp://cutemats.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η παρούσα εργασία
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Τι οοµάζεται συάρτηση ; Είαι µια διαδικασία µε τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β.. Ποιες είαι οι κυριότερες γραφικές παραστάσεις
Διαβάστε περισσότεραf x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g
Διαβάστε περισσότεραΠεριγραφική Στατιστική
Περιγραφική Στατιστική Παναγιώτα Λάλου. Βασικές έννοιες Ορισμός: Στατιστικός πληθυσμός ονομάζεται το σύνολο των πειραματικών μονάδων π.χ άνθρωποι, ζώα, επιχειρήσεις κ.λπ, οι οποίες συμμετέχουν στην έρευνα
Διαβάστε περισσότερα1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ
1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι
Διαβάστε περισσότερα3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 1 Ο ( ) ( )( ( )) ΘΕΜΑ 2 Ο ΘΕΜΑ 3 Ο. ισχύει : ( ) ( ) ( ) ( ) P A B = P A + P B P A B. P A P A P B P B
ΘΕΜΑ Ο ) Αποδείξτε την πρόταση. Για δυο ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω P A B = P A + P B P A B. ισχύει : ( ) ( ) ( ) ( ) ) ίνεται η συνάρτηση f( ) = ( ), α) Να µελετηθεί ως προς τη µονοτονία
Διαβάστε περισσότεραΑξιολόγηση. Θεωρία. Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f. Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D
ΦΥΛΛΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Βασίλης Γατσινάρης ωρεάν υποστηρικτικό υλικό 1 Περί συναρτήσεων Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D Α Να αναφέρετε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του
Διαβάστε περισσότεραP(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2005
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 005 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Τα απλά ενδεχόµενα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α Α1. Έστω t 1,t 2,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )
5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Οµάδα η. Αν Ω={ω,ω,,ω 6 } είναι ο δ.χ ενός πειράµατος τύχης να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(ω ),,Ρ(ω 6 ) αν είναι γνωστό ότι αυτές αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου µε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f()= είναι f ()=, για κάθε R Μονάδες 7 Α. Έστω μια συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 8 ΜΑΪΟΥ 005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)
Διαβάστε περισσότεραΔρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική
Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR
Διαβάστε περισσότεραΣκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.
7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η εκάδα. Στην αρχή της σχολικής χρονιάς, οι 50 µαθητές της τρίτης τάξης ενός λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά µε τον αριθµό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των διακοπών τους. Τα δεδοµένα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2014
ΘΕΜΑ Α A1. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του ορισμού της παραγώγου ότι (c f (x)) = c f (x), για κάθε x R Μονάδες 7 A2. Πότε μια
Διαβάστε περισσότεραΠ Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ
Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) o ΘΕΜΑ A. Aν n
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικός Περιηγητής σχ. έτος
=================================================================== ΛΥΣΕΙΣ ΤΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 06 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
Διαβάστε περισσότεραP A B P(A) P(B) P(A. , όπου l 1
ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, ΜΑΡΤΙΟΥ 07 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΜονάδες 10. x. (μονάδες 2) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1. Απάντηση από το Σχολικό βιβλίο σελίδα 28
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΜΑΪΟΥ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής
Διαβάστε περισσότεραΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ
9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. 1 ο (ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ) Ο ρ ι σ µ ο ί Πείραµα τύχης (π.τ.) είναι το πείραµα για το οποίο δεν µπορούµε εκ των προτέρων να προβλέψουµε το αποτέλεσµά του αν και επαναλαµβάνεται
Διαβάστε περισσότεραÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Α.Τι λέγεται δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης; Μονάδες. Πώς ορίζεται η διάµεσος ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων; (ν θετικός ακέραιος) Μονάδες 4 B. Αν η
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3
Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες
Διαβάστε περισσότεραΠ Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η
Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο R με f () Α Αν είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος παρατηρήσεων μεγέθους ν ( ) να ορίσετε την
Διαβάστε περισσότεραΜονάδες 10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 1
ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α (ΝΕΟ ΚΑΙ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) Α1. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f(x)=x είναι f (x)=1,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ισχύει: Ρ(Α )=-Ρ(Α) Μονάδες 7 Α. Να ορίσετε το μέτρο διασποράς εύρος ή
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Ανασκόπηση βασικών εννοιών Στατιστικής και Πιθανοτήτων Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana
Διαβάστε περισσότερα4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το
Διαβάστε περισσότεραΑ4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η
ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 7 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 203 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Για δυο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ).
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑΪΟΥ 016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ() ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
Οδηγός Επιβίωσης 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Διαφοριός Λογισμός ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Στατιστιή Οδηγός Επιβίωσης Περιλαμβάνει: Ερωτήσεις Θεωρίας Όλες τις Αποδείξεις Χρήσιμο Τυπολόγιο ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΗ
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3.
.. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; 4. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή
Διαβάστε περισσότερα(f (x) g(x)) = f (x) g(x)+f (x) g (x) (μονάδες 2)
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ () ΘΕΜΑ Α Α.
Διαβάστε περισσότερα2) Περιγραφή ιακριτών Ποσοτικών εδοµένων
) Περιγραφή ιακριτών Ποσοτικών εδοµένων Για να περιγράψουµε διακριτά ποσοτικά δεδοµένα µε λίγες τιµές ( σε περίπτωση πολλών τιµών τα θεωρούµε ως συνεχή) κάνουµε: Πίνακας συχνοτήτων Ραβδόγραµµα, Κυκλικό
Διαβάστε περισσότεραΕλλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων
Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΠεριοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή
Διαβάστε περισσότερα1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος
1. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος Κάθε πείραμα στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό πείραμα. Τέτοια πειράματα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Ο : Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: Ρ(Α-Β)=Ρ(Α)-
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: Ρ (Α Β ) = Ρ (Α) Ρ (Α Β ). Μονάδες 7 Α. Πότε δύο ενδεχόµενα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF: 4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF: 4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 03 06 000... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ Α
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Τι λέγεται ιστόγραμμα αθροιστικών απολύτων σχετικών συχνοτήτων; Ιστόγραμμα αθροιστικών απολύτων ή σχετικών συχνοτήτων είναι μια σειρά από
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότερα