Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών"

Transcript

1 Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών

2

3 Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις πραγµατικών µεταβλητών Ορισµός Εστω U R n, n N. Ονοµάζουµε πραγµατική συνάρτηση n πραγµατικών µεταβλητών f : U R µια απεικόνιση από το U στο R, U x = (x 1,..., x n ) f( x) = f(x 1,..., x n ) R (δηλ. σε κάθε x U R n αντιστοιχούµε ένα µοναδικό f( x) R, την τιµή της f στο x). Το U είναι το πεδίο ορισµού, το R το πεδίο τιµών, το f(u) := {f( x) : x U} R το σύνολο τιµών ή η εικόνα, και το Γ f := {( x, f( x)) : x U} R n+1 το γράφηµα της f. Παρατηρηση 5. Οταν n = 1 έχουµε τις γνωστές από το σχολείο και τους Απειροστικούς Λογισµούς Ι και ΙΙ πραγµατικές συναρτήσεις (µιας µεταβλητής) f : R U R, ενώ όταν n > 2, λέµε ότι η f : R n U R είναι µια πραγµατική συνάρτηση πολλών (ή περισσοτέρων) µεταβλητών, η µελέτη των οποίων (µαζί µε την µελέτη των διανυσµατικών συναρτήσεων που ϑα γνωρίσουµε αργότερα) είναι το αντικείµενο των Απειροστικών Λογισµών ΙΙΙ και IV, δηλ. της Ανάλυσης σε περισσότερες µεταβλητές. Συνήθως όταν εννοούµε µια πραγµατική συνάρτηση (µίας ή πολλών µεταβλητών) παραλλείπουµε τον όρο πραγµατική και αναφερόµαστε απλά σε συνάρτηση, ενώ όταν εννοούµε µια διανυσµατική συνάρτηση για λόγους σαφήνειας καλό είναι να αναφέρουµε και τον όρο διανυσµατική. Παρατηρηση 6. Στην περίπτωση n = 1 το γράφηµα Γ f = {(x, f(x)) : x U R} R 2 19

4 2.1. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ της f : R U R, x f(x), µπορεί να απεικονισθεί (γραφική παράσταση) ως µια καµπύλη στο επίπεδο, R 2, ενώ στη περίπτωση n = 2 µιας πραγµατικής συνάρτησης δύο µεταβλητών f : R 2 U R το γράφηµα Γ f = {(x 1, x 2, f(x 1, x 2 )) : (x 1, x 2 ) U R 2 } R 3 της f µπορεί να απεικονισθεί ως µια επιφάνεια στον χώρο, R 3, αντιστοιχώντας σε κάθε σηµείο x = (x 1, x 2 ) U R 2 του επιπέδου το ύψος f(x 1, x 2 ) R της f στο σηµείο αυτό. Παρατηρηση 7. Να προσεχθεί ότι όταν µια πραγµατική συνάρτηση έχει πεδίο ορισµού στον R n, το γράφηµά της είναι πάντα ένα υποσύνολο (πιο συγκεκριµένα : µια υπερεπιφάνεια) του R n+1. ΣΧΗΜΑΤΑ Ορισµός Εστω f : U R, U R n, και c R. Ονοµάζουµε σύνολο στάθµης c της f το υποσύνολο του πεδίου ορισµού της στο οποίο η f έχει την τιµή c R, L f (c) := { x U : f( x) = c} U R n. Για n = 2 το σύνολο στάθµης ονοµάζεται και καµπύλη στάθµης c της f : R 2 U R L f (c) = {(x 1, x 2 ) U : f(x 1, x 2 ) = c} U R 2, ενώ για n = 3 το σύνολο στάθµης ονοµάζεται και επιφάνεια στάθµης c της f : R 3 U R L f (c) = {(x 1, x 2, x 3 ) U : f(x 1, x 2, x 3 ) = c} U R 3, Παρατηρηση 8. Προφανώς L f (c) =, όταν η f δεν λαµβάνει την τιµή c, δηλ. c f(u) R. Να προσεχθεί επίσης ότι στις περιπτώσεις n = 2, 3 καµπύλες και επιφάνειες στάθµης, αντίστοιχα, είναι υποσύνολα του πεδίου ορισµού της f και όχι απαραίτητα καµπύλες ή επιφάνειες µε την γεωµετρική τους έννοια, ϐλ. τα ακόλουθα παραδείγµατα. Παρατηρηση 9. Να προσεχθεί ότι όταν µια πραγµατική συνάρτηση έχει πεδίο ορισµού στον R n, τα σύνολα στάθµης της είναι πάντα υποσύνολα του πεδίου ορισµού της και άρα του R n. Παραδειγµα 1. Το γράφηµα της συνάρτησης f(x 1, x 2 ) = x x 2 2, (x 1, x 2 ) R 2, είναι η επιφάνεια στον χώρο Γ f = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 3 = x x 2 2, (x 1, x 2 ) R 2 } R 3 20

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ 2.1. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ δηλ. ένα παραβολοειδές από περιστροφή, και οι καµπύλες στάθµης c R δίνονται από τα υποσύνολα του επιπέδου R 2 L f (c) = {(x 1, x 2 ) R 2 : x x 2 2 = c} {(x 1, x 2 ) R 2 : x x 2 2 = ( c) 2 } για c > 0, = {(0, 0)} για c = 0, για c < 0, δηλαδή για c > 0 είναι οι κύκλοι του επιπέδου R 2 κέντρου (0, 0) και ακτίνας c > 0. ΣΧΗΜΑΤΑ Αν για κάθε c 0 µεταφέρουµε την καµπύλη στάθµης c > 0 κάθετα προς το επίπεδο x 1 x 2 στο ύψος (στάθµη) x 3 = c και ενώσουµε όλες αυτές τις καµπύλες L f (c) {c} = {(x 1, x 2, c) R 3 : (x 1, x 2 ) L f (c)} ϑα έχουµε συνολικά ολόκληρη την επιφάνεια Γ f του παραβολοειδούς. Αυτό ισχύει ανάλογα και για κάθε γράφηµα µιας (πραγµατικής) συνάρτησης δύο µεταβλητών. Οι καµπύλες L f (c) {c} προκύπτουν δηλαδή από την τοµή του γραφήµατος Γ f µε το επίπεδο x 3 = c και οι καµπύλες στάθµης c είναι οι κάθετες προβολές τους στο επίπεδο x 3 = 0. Παραδειγµα 2. Η σταθερή συνάρτηση στο επίπεδο f : R 2 R, f(x 1, x 2 ) = d R, x = (x 1, x 2 ) R 2 έχει ως γράφηµα το οριζόντιο επίπεδο Γ f = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 3 = d, (x 1, x 2 ) R 2 } R 3 δηλ. το επίπεδο x 3 = d του R 3, και ως σύνολο (ή καµπύλη ) στάθµης c όλο το πεδίο ορισµού της για c = d και το κενό σύνολο για c d, { R 2 για c = d, L f (c) = για c d R2 Βλέπουµε δηλαδή ότι και στις δύο περιπτώσεις το σύνολο στάθµης της σταθερής συνάρτησης δεν είναι καµπύλη στον R 2 µε την γεωµετρική έννοια. Γενικότερα, η σταθερή συνάρτηση στον R n, f( x) = d R, x = (x 1,..., x n ) R n, έχει ως γράφηµα το υπερεπίπεδο Γ f = {( x, x n+1 ) = (x 1,..., x n, x n+1 ) R n+1 : x n+1 = d, x R n } R n+1 δηλ. το υπερεπίπεδο x n+1 = d του R n+1, και ως σύνολο στάθµης c όλο το πεδίο ορισµού της για c = d και το κενό σύνολο για c d, { R n για c = d, L f (c) = για c d Rn. Οταν n = 3 ϐλέπουµε ότι η επιφάνεια στάθµης της σταθερής συνάρτησης είναι όλο το R 3. 21

6 2.2. ΟΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α 8. Μελετήστε γραφικά την συνάρτηση f(x 1, x 2 ) = x 2 1 x 2 2, (x 1, x 2 ) R 2. Ειδικότερα, δώστε το γραφήµά της Γ f και τις καµπύλες στάθµης c, L f (c). Προσπαθήστε να σχεδιάσετε την f χρησιµοποιώντας και τις τοµές του γραφήµατός της µε τα επίπεδα x 1 = a, x 2 = b και x 3 = c για κατάλληλα επιλεγµένα a, b, c R. Α 9. Να µελετήσετε την Παράγραφο 2.1 του [;] και να κάνετε όσες περισσότερες µπορείτε από τις Ασκήσεις 1-31 της παραγράφου αυτής. 2.2 Ορια πραγµατικών συναρτήσεων Ορισµός Εστω U R n, f : U R, x 0 R n σηµείο συσσώρευσης του U και l R. Τότε λέµε ότι η f τείνει (ή συγκλίνει) στο l όταν το x τείνει στο x 0 ή η f έχει στο x 0 το όριο l, συµβολικά f( x) l όταν x x 0, αν ( x ν ) U \ { x 0 } : x ν x 0 f( x ν ) l Παρατηρηση 10. Να προσεχθεί ότι στον πιο πάνω ακολουθιακό ορισµό η σύγκλιση x ν x 0 λαµβάνει χώρα στον R n, ενώ η σύγκλιση f( x ν ) l λαµβάνει χώρα στον R. Πρόταση Εστω U R n, f : U R, x 0 R n σηµείο συσσώρευσης του U και l R. Τότε f( x) l όταν x x 0 ε > 0 δ > 0 x U B( x 0, δ) \ { x 0 } : f( x) l < ε Απόδειξη. : Εστω ότι ε > 0 δ > 0 x U B( x 0, δ) \ { x 0 } : f( x) l ε. Τότε ειδικότερα ν N x ν U B( x 0, 1 ν ) \ { x 0} : f( x ν ) l ε, δηλ. ( x ν ) U \ { x 0 } µε x ν x 0 και f( x ν ) l, άτοπο. : Εστω ( x ν ) U \ { x 0 } µε x ν x 0 και ε > 0. Τότε δ > 0 x U B( x 0, δ) \ { x 0 } : f( x) l < ε. Απ την άλλη, ν 0 N ν N, ν ν 0 : x ν U B( x 0, δ) \ { x 0 }. Συνεπώς, ν N, ν ν 0 : f( x ν ) l < ε. Πρόταση Εστω U R n, f : U R και x 0 R n σηµείο συσσώρευσης του U. Το όριο µιας συγκλίνουσας συνάρτησης f όταν το x τείνει στο x 0 είναι µοναδικό και συµβολίζεται µε f( x). Απόδειξη. Εστω ότι όταν το x τείνει στο x 0 η f τείνει και στο l 1 και στο l 2 µε l 1 l 2 > 0. Τότε για i = 1, 2 δ i > 0 x U B( x 0, δ i ) \ { x 0 } : f( x) l i < l 1 l 2 2 και άρα για δ := min{δ 1, δ 2 } > 0 έχουµε άτοπο. x U B( x 0, δ) \ { x 0 } : l 1 l 2 l 1 f( x) + f( x) l 2 < l 1 l 2, 22

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ 2.2. ΟΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Παρατηρηση 11. (α ) Από την Πρόταση προκύπτει f( x) = l f( x) l = 0. (ϐ ) Αφού το x 0 είναι εσωτερικό σηµείο του U, ϑα υπάρχει ένα δ 0 > 0 µε B( x 0, δ 0 ) U, και αφού δ > 0: x B( x 0, δ) η := x x 0 B( 0, δ), έχουµε f( x) = l ε > 0 δ (0, δ 0 ) x B( x 0, δ) \ { x 0 } : f( x) l < ε ε > 0 δ (0, δ 0 ) η B( 0, δ) \ { 0} : f( x 0 + η) l < ε f( x 0 + η) = l. η 0 Ορισµός Εστω f, g : U R, U R n. Τότε ορίζονται (α ) το άθροισµα των f και g, f + g : U R, (f + g)( x) := f( x) + g( x) x U, (ϐ ) το ϐαθµωτό γινόµενο της f µε το α R, αf : U R, (αf)( x) := αf( x) x U, (γ ) το γινόµενο των f και g, fg : U R, (fg)( x) := f( x)g( x) x U, (δ ) αν g( x) 0 x U, το πηλίκο της f δια την g, f g : U R, ( ) f ( x) := f( x) g g( x) x U, (ε ) η σύνθεση της f µε την h : V R, f(u) V R, h f : U R, (h f)( x) := h(f( x)) x U. Θεώρηµα Εστω f, g : U R, U R n, x 0 σηµείο συσσώρευσης του U και f( x) = l R, g( x) = m R. Τότε υπάρχουν τα όρια (α ) (ϐ ) (γ ) (f + g)( x) = l + m, (αf)( x) = α l για α R, (fg)( x) = l m, 23

8 2.2. ΟΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ (δ ) (ε ) ( ) f ( x) = l, αν m 0, g m (h f)( x) = h(l) για h : V R, f(u) V R, συνεχή στο l V. Απόδειξη. Οι αποδείξεις των 1, 3 και 4 αφήνονται ως ασκήσεις. Απόδειξη του 5: Εστω ( x ν ) U \ { x 0 } µε x ν x 0. Τότε (f( x ν )) V µε f( x ν ) l V και άρα, αφού η h : V R είναι συνεχής στο l, (h f)( x ν ) = h(f( x ν )) h(l). Απόδειξη του 2: Ακολουθεί αµέσως από το 5 για h(y) = αy, y R. Πόρισµα Εστω f : U R, U R n, x 0 σηµείο συσσώρευσης του U και f( x) = l R. Τότε υπάρχουν τα όρια (α ) (ϐ ) f( x) = l, f( x) = l. Απόδειξη. Προκύπτει άµεσα από το Θεώρηµα 2.2.3, 5 για τις συνεχείς συναρτήσεις h(y) = y, y R, και h(y) = y, y R, αντίστοιχα. Παραδειγµα 3. (α ) Η f(x, y) = x, (x, y) R 2, έχει γράφηµα το κεκλιµένο επίπεδο στον R 3 Γ f = {(x, y, x) R 3 : (x, y) R 2 } µε αλγεβρική εξίσωση στον χώρο z = x και καµπύλες στάθµης c R τις ευθείες L f (c) = {(x, y) R 2 : x = c} = {(c, y) R 2 : y R} µε αλγεβρική εξίσωση στο επίπεδο xy την x = c. Επίσης f(x, y) = x = x 0, (x,y) (x 0,y 0) (x,y) (x 0,y 0) αφού f(x, y) x 0 = x x 0 (x, y) (x 0, y 0 ) και άρα ε > 0 δ := ε > 0 τέτοιο ώστε (x, y) B((x 0, y 0 ), δ), δηλ. (x, y) R 2 µε (x, y) (x 0, y 0 ) < δ να ισχύει f(x, y) x 0 < ε. (ϐ ) Η f(x, y) = xy, (x, y) R 2, έχει γράφηµα Γ f = {(x, y, xy) R 3 : (x, y) R 2 } µε αλγεβρική εξίσωση z = xy και καµπύλες στάθµης c R L f (c) = {(x, y) R 2 : xy = c} 24

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ 2.3. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ δηλαδή τις υπερβολές στο επίπεδο xy µε αλγεβρική εξίσωση y = c x. Επίσης, σύµφωνα µε το Παράδειγµα 3.1 και την άλγεβρα ορίων, για x = (x, y), x 0 = (x 0, y 0 ) xy = x y = x 0 y 0 (γ ) f(x, y) = sin(x2 +y 2 ) x 2 +y = sin( x 2 ) 2 x = f( x), x > 0. Βλέπουµε ότι η f εξαρτάται 2 µόνο από την απόσταση του x = (x, y) από το σηµείο αναφοράς 0 = (0, 0). (Μια τέτοια συνάρτηση ονοµάζεται συχνά ακτινική (radial).) 2.3 Συνέχεια πραγµατικών συναρτήσεων Ορισµός Η συνάρτηση f : U R, U R n, λέγεται (α ) συνεχής στο σηµείο x 0 U, αν ( x ν ) U : x ν x 0 f( x ν ) f( x 0 ) (ϐ ) συνεχής στο A U, αν η f : U R είναι συνεχής σε κάθε σηµείο x 0 A. (γ ) συνεχής, αν η f : U R είναι συνεχής στο U. Παρατηρηση 12. Να προσεχθεί ότι όταν το A δεν είναι ανοικτό µπορεί ο περιορισµός της f : U R στο A U, f A : A R, f A ( x) := f( x) x A να είναι συνεχής, ενώ η f να µην είναι συνεχής στο A. (Αντιπαράδειγµα; Γιατί αυτό δεν µπορεί να συµβεί όταν το A είναι ανοικτό;) Παρατηρηση 13. Σύµφωνα µε τον προηγούµενο ορισµό µια συνάρτηση είναι συνεχής σε κάθε µεµονωµένο σηµείο του πεδίου ορισµού της. (Γιατί;) Συνήθως όµως όταν µιλάµε για την συνέχεια µιας συνάρτησης f : U R σε ένα σηµείο x 0 U υπονοούµε ότι το x 0 είναι σηµείο συσσώρευσης του U. Τότε, σύµφωνα µε τον ορισµό του ορίου συνάρτησης, ισχύουν οι ισοδυναµίες (η απόδειξή τους αφήνεται ως άσκηση) f συνεχής στο x 0 f( x) = f( x 0 ) ε > 0 δ > 0 x U B( x 0, δ) : f( x) f( x 0 ) < ε και λέµε ισοδύναµα ότι η f έχει στο x 0 το όριο f( x 0 ) ή η f τείνει στο f( x 0 ) όταν το x τείνει στο x 0, συµβολικά f( x) f( x 0 ) όταν x x 0. Αποδεικνύεται ότι η πρόσθεση, το ϐαθµωτό γινόµενο, το γινόµενο, το πηλίκο και η σύνθεση συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχείς συναρτήσεις. Πιο συγκεκριµένα ισχύει : 25

10 2.3. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ Θεώρηµα Εστω f, g : U R συνεχείς στο x 0 U R n. Τότε οι ακόλουθες συναρτήσεις είναι συνεχείς στο x 0 : (α ) f + g, (ϐ ) αf για α R, (γ ) fg, (δ ) f g, αν g( x 0) 0, (ε ) h f για h : V R, f(u) V R, συνεχή στο f( x 0 ). Απόδειξη. Σύµφωνα µε την Παρατήρηση 17, αν το x 0 είναι µεµονωµένο σηµείο του U δεν χρειάζεται να αποδείξουµε τίποτα, ενώ αν το x 0 είναι σηµείο συσσώρευσης, το παρόν ϑεώρηµα είναι πόρισµα του Θεωρήµατος Πόρισµα Εστω f : U R συνεχής στο x 0 U R n. Τότε οι συναρτήσεις f : U R, f ( x) := f( x) x U, f : U R, f ( x) := f( x) x U, είναι συνεχείς στο x 0. Απόδειξη. Προκύπτει άµεσα από το Θεώρηµα 2.5.4, 3 για τις συνεχείς συναρτήσεις h(y) = y, y R, και h(y) = y, y R, αντίστοιχα. Ορισµός Εστω U R n. Το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων f : U R ονοµάζεται χώρος των συνεχών συναρτήσεων και συµβολίζεται µε Πόρισµα C(U) := {f : U R : f συνεχής}. f, g C(U), α R f + g, αf, fg, f, f C(U) Θεώρηµα Εστω f : U R συνεχής και U R n συµπαγές. Τότε το f(u) είναι συµπαγές και η f λαµβάνει µέγιστο και ελάχιστο στο U, τα αντίστοιχα, δηλ. max f := max f(u) = max{f( x) R : x U}, min f := min f(u) = min{f( x) R : x U}, x m, x M U : min f = f( x m ) f( x) f( x M ) = max f x U. 26

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ 2.3. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Απόδειξη. Το ότι το f(u) R είναι συµπαγές προκύπτει ως ειδική περίπτωση m = 1 του Θεωρήµατος Οµως κάθε συµπαγές υποσύνολο του R λαµβάνει µέγιστο και ελάχιστο. Στην περίπτωση του min f η αναλυτική απόδειξη έχει ως εξής : Αφού το f(u) R είναι συµπαγές είναι και ϕραγµένο. Άρα έχει µέγιστο κάτω ϕράγµα inf f := inf f(u) = inf{f( x) R : x U} R, δηλ. ν N ( x ν ) U : f( x ν ) [ inf f, inf f + 1 ) ν και άρα f( x ν ) inf f. Τότε όµως, αφού το f(u) είναι και κλειστό, ϑα ισχύει σύµφωνα µε την Πρόταση 1.4.8, inf f = min f f(u), δηλ. x m U : f( x m ) = min f. Ορισµός Η συνάρτηση f : U R, U R n, λέγεται οµοιόµορφα συνεχής αν ε > 0 δ > 0 x, ȳ U, x ȳ δ : f( x) f(ȳ) < ε Θεώρηµα Εστω U R n συµπαγές και f : U R συνεχής. Τότε η f είναι οµοιόµορφα συνεχής. Απόδειξη. Είναι η ειδική περίπτωση m = 1 του Θεωρήµατος Παραδείγµατα συνεχών συναρτήσεων : σταθερή, πολυώνυµικές, ϱητές, προκύπτουσες από σύνθεση συναρτήσεων. Ασκήσεις Α 10. Αποδείξτε τις ισοδυναµίες της Παρατήρησης 17. Λύση. Η δεύτερη ισοδυναµία καθώς και η κατεύθυνση της πρώτης είναι προφανείς. Για την κατεύθυνση της πρώτης ισοδυναµίας, έστω ( x ν ) U µε x ν x 0. Τότε, αν ν 0 N ν N, ν ν 0 : x ν = x 0, προφανώς f( x ν ) = f( x 0 ) f( x 0 ). Αν δεν ισχύει η προηγούµενη υπόθεση, τότε αφαιρώντας από την ακολουθία ( x ν ) όλους τους όρους x ν = x 0 έχω µια υπακολουθία (ȳ n ) ( x n ) U \ { x 0 } µε ȳ ν x 0 και άρα f(ȳ ν ) f( x 0 ), δήλ. ε > 0 ν 0 N ν N, ν ν 0 : f(ȳ ν ) f( x 0 ) < ε. Το τελευταίο όµως ϑα ισχύει και αν αντικαταστήσω το ȳ ν µε το x ν, αφού ισχύει και για τους αφαιρεθέντες όρους. (Εναλλακτικά µπορούµε να πάµε και από το δεξιό µέλος της δεύτερης ισοδυνα- µίας στον αριστερό µέλος της πρώτης όπως στην Πρόταση 2.2.1: Εστω ( x ν ) U µε x ν x 0 και ε > 0. Τότε δ > 0 x U B( x 0, δ) : f( x) f( x 0 ) < ε. Απ την άλλη, ν 0 N ν N, ν ν 0 : x ν U B( x 0, δ). Συνεπώς, ν N, ν ν 0 : f( x ν ) f( x 0 ) < ε.) 27

12 2.4. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ 2.4 ιανυσµατικές συναρτήσεις Ορισµός Εστω U R n, n N. Μια συνάρτηση n πραγµατικών µεταβλητών f : U R m, m N, R n U x = (x 1,..., x n ) f( x) = f 1 ( x). f m ( x) = f 1 (x 1,..., x n ). f m (x 1,..., x n ) R m µε συνιστώσες τις (πραγµατικές) συναρτήσεις f j : U R, j = 1,..., m, ονοµάζεται διανυσµατική συνάρτηση όταν m 2 και πραγµατική ή ϐαθµωτή συνάρτηση όταν m = 1. Παρατηρηση 14. Η f : U R m, U R n, έχει πεδίο ορισµού το U, πεδίο τιµών το R m, σύνολο τιµών ή εικόνα το f(u) := { f( x) : x U} R m και γράφηµα το Γ f := {( x, f( x)) : x U} R n+m. Οταν n = 1, το πεδίο ορισµού της f : U R m είναι ένα διάστηµα U = I R και η f συνεχής (ϐλ. πιο κάτω) το σύνολο τιµών (!) της f(u) := { f(t) : t U} R m δίνει µια καµπύλη στον R m και γι αυτό η f ονοµάζεται (παραµετρική) καµπύλη στον R m µε παράµετρο την ανεξάρτητη µεταβλητή t I. Συνήθως χρησιµοποιούµε το t (αντί του x) για να συµβολίσουµε την ανεξάρτητη µεταβλητή γιατί ϕανταζόµαστε ότι η τιµή f(t) R m της καµπύλης αντιστοιχεί στην ϑέση ενός κινούµενου σηµείου στον χώρο R m την χρονική στιγµή t I. Ειδικότερα στους χώρους R m µε διάσταση m = 1, 2, 3 συµβολίζουµε τις συνιστώσες της καµπύλης f µε x, y, z: m = 1 : f(t) = f(t) = x(t) R, t I (καµπύλη στην ευθεία) ( ) x(t) m = 2 : f(t) = R 2, t I (καµπύλη στο επίπεδο) y(t) x(t) m = 3 : f(t) = y(t) R 3, t I (καµπύλη στον χώρο) z(t) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕ ΣΧΗΜΑΤΑ Οταν m = n 2 οι διανυσµατικές συνάρτησεις f : U R n, U R n, λέγονται διανυσµατικό πεδία. Αυτά αντιστοιχούν σε κάθε διάνυσµα του χώρου x R n ένα διάνυσµα ίδιας διάστασης f( x)r n και χρησιµοποιούνται ευρέως στις Φυσικές Επιστήµες και στην Γεωµετρία κυρίως στις διαστάσεις m = n = 2, 3. Γραφικά, παριστάνουµε τα διανυσµατικά πεδία σχεδιάζοντας σε κάθε σηµείο του χώρου x R n ένα ϐέλος µε αρχή το σηµείο x και κατεύθυνση και µήκος που αντιστοιχεί στο διάνυσµα f( x). Παραδειγµα 4. Ρευστό σταθερής ϱοής σε σωλήνα 28

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ 2.5. ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜ. ΣΥΝΑΡΤ. Πεδίο ϐαρύτητας Περιστροφική κίνηση µε ταχύτητα εξαρτώµενη από την απόσταση από την αρχή των αξόνων Περιστροφική κίνηση µε σταθερό µήκος ταχύτητας 2.5 Ορια και συνέχεια διανυσµατικών συναρτήσεων Οι ορισµοί, οι προτάσεις και οι αποδείξεις τους που γνωρίσαµε στις παραγράφους 2.2 και 2.3 σχετικά µε τα όρια και την συνέχεια πραγµατικών συναρτήσεων f : U R ισχύουν στο µεγαλύτερό τους µέρος ανάλογα και για διανυσµατικές συναρτήσεις f : U R m, αφού οι πρώτες είναι η ειδική περίπτωση m = 1 των δεύτερων. Εξαίρεση αποτελούν τα αποτελέσµατα που σχετίζονται µε την (εσωτερική) πράξη του πολλαπλασιασµού και την διάταξη στον R τις οποίες δεν έχουµε ορίσει στον R m για m 2. Κατά τα άλλα ουσιαστικά αρκεί να αντικαταστήσουµε στις σχετικές έννοιες την απόλυτη τιµή, που είναι η Ευκλείδεια µετρική στο πεδίο τιµών R των πραγµατικών συναρτήσεων, µε την Ευκλείδεια µετρική στο πεδίο τιµών R m των διανυσµατικών συναρτήσεων. Για αυτούς τους λόγους αναφέρουµε στα επόµενα τα ισχύοντα σχετικά µε τα όρια και την συνέχεια διανυσµατικών συναρτήσεων n πραγµατικών µεταβλητών χω- ϱίς απόδειξη και προ(ς)καλούµε τον αναγνώστη να ελέγξει τα παραπάνω λεχθέντα ξαναδιαβάζοντας τις σχετικές αποδείξεις στις παραγράφους 2.2 και 2.3 και κάνοντας νοερά την αναφερθείσα αντικατάσταση. Στα επόµενα ισχύει πάντα n, m, k N. Ορισµός Εστω U R n, f : U R m, x 0 R n σηµείο συσσώρευσης του U και l R m. Τότε λέµε ότι η f τείνει (ή συγκλίνει) στο l όταν το x τείνει στο x 0 ή η f έχει στο x 0 το όριο l, συµβολικά f( x) l όταν x x 0, αν ( x ν ) U \ { x 0 } : x ν x 0 f( x ν ) l Παρατηρηση 15. Η σύγκλιση x ν x 0 λαµβάνει χώρα στον R n, ενώ η σύγκλιση f( x ν ) l λαµβάνει χώρα στον R m. Πρόταση Εστω U R n, f : U R m, x 0 R n σηµείο συσσώρευσης του U και l R m. Τότε f( x) = (f 1 ( x),..., f m ( x)) l = (l 1,..., l m ) όταν x x 0 j = 1,..., m : f j ( x) l j όταν x x 0 j = 1,..., m : f j ( x) = l j ε > 0 δ > 0 x U B( x 0, δ) \ { x 0 } : f( x) l < ε ε > 0 δ > 0 x U B( x 0, δ) \ { x 0 } : f( x) B( l, ε) 29

14 2.5. ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜ. ΣΥΝΑΡΤ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ Απόδειξη. ( x ν ) U \ { x 0 } : x ν x 0 f( x ν ) l ( x ν ) U \ { x 0 } : x ν x 0 f j ( x ν ) l j j = 1,..., m ε > 0 δ > 0 x U B( x 0, δ) \ { x 0 } : f j ( x) l j < ε j = 1,..., m ε > 0 δ > 0 x U B( x 0, δ) \ { x 0 } : f( x) l < ε Πρόταση Εστω U R n, f : U R m και x 0 R n σηµείο συσσώρευσης του U. Το όριο µιας συγκλίνουσας συνάρτησης f όταν το x τείνει στο x 0 είναι µοναδικό και συµβολίζεται µε f( x). Παρατηρηση 16. Από την προτελευταία ισοδυναµία της Πρότασης και την Πρόταση έχουµε f( x) = l f( x) l = 0, και άρα, σύµφωνα µε την Παρατήρηση 11 (2), επίσης f( x) = l f( x 0 + η) = l. η 0 Ορισµός Η συνάρτηση f : U R m, U R n, λέγεται (α ) συνεχής στο σηµείο x 0 U, αν ( x ν ) U : x ν x 0 f( x ν ) f( x 0 ) (ϐ ) συνεχής στο A U, αν η f : U R m είναι συνεχής σε κάθε σηµείο x 0 A. (γ ) συνεχής, αν η f : U R m είναι συνεχής στο U. Παρατηρηση 17. Μια διανυσµατική συνάρτηση είναι συνεχής σε κάθε µεµονωµένο σηµείο του πεδίου ορισµού της. Οταν το x 0 είναι σηµείο συσσώρευσης του U ισχύει f συνεχής στο x 0 f( x) = f( x0 ) Και στις δύο περιπτώσεις ισχύουν οι ισοδυναµίες f συνεχής στο x 0 ε > 0 δ > 0 x U B( x 0, δ) : f( x) f( x 0 ) < ε ε > 0 δ > 0 x U B( x 0, δ) : f( x) B( f( x 0 ), ε) j = 1,..., m : f j συνεχείς στο x 0, όπου f = (f 1,..., f m ). Ορισµός Εστω f, ḡ : U R m, U R n. Τότε ορίζονται (α ) το άθροισµα των f και ḡ, f + ḡ : U R, ( f + ḡ)( x) := f( x) + ḡ( x) x U, 30

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ 2.5. ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜ. ΣΥΝΑΡΤ. (ϐ ) το ϐαθµωτό γινόµενο της f µε το α R, α f : U R, (α f)( x) := α f( x) x U, (γ ) η σύνθεση της f µε την h : V R k, f(u) V R m, h f : U R, ( h f)( x) := h( f( x)) x U. Θεώρηµα Εστω f, ḡ : U R m, U R n, x 0 σηµείο συσσώρευσης του U και f( x) = l R m, ḡ( x) = m R m. Τότε υπάρχουν τα όρια (α ) (ϐ ) (γ ) (δ ) (ε ) ( f + ḡ)( x) = l + m, (α f)( x) = α l για α R, ( h f)( x) = h(l) για h : V R k, f(u) V R m, συνεχή στο l V. f( x) = l, f( x) = l. Απόδειξη. Η απόδειξη του 1 αφήνεται ως άσκηση. Απόδειξη του 3: Εστω ( x ν ) U \ { x 0 } µε x ν x 0. Τότε ( f( x ν )) V µε f( x ν ) l V και άρα, αφού η h : V R k είναι συνεχής στο l, ( h f)( x ν ) = h( f( x ν )) h( l). Απόδειξη των 2, 4, 5: Προκύπτουν άµεσα από το 3 για τις συνεχείς συναρτήσεις h 1 (ȳ) = αȳ R m, h 2 (ȳ) = ȳ R και h 3 (ȳ) = ȳ R για ȳ R m, αντίστοιχα. Θεώρηµα Εστω f, ḡ : U R m συνεχείς στο x 0 U R n. Τότε οι ακόλουθες συναρτήσεις είναι συνεχείς στο x 0 : (α ) f + ḡ, (ϐ ) α f για α R, (γ ) h f για h : V R k, f(u) V R m, συνεχή στο f( x 0 ), (δ ) f, όπου f : U R, f ( x) := f( x) x U, (ε ) f, όπου f : U R, f ( x) := f( x) x U, Ορισµός Εστω U R n. Το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων f : U R m ονοµάζεται χώρος των συνεχών συναρτήσεων και συµβολίζεται µε C(U; R m ) := { f : U R m : f συνεχής}. 31

16 2.5. ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜ. ΣΥΝΑΡΤ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ Θεώρηµα Το C(U; R m ) εφοδιασµένο µε τις πράξεις της πρόσθεσης και του ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού είναι διανυσµατικός χώρος. Ειδικότερα ισχύει f, ḡ C(U; R m ), α R f + ḡ, α f C(U; R m ). Θεώρηµα Εστω f : U R m συνεχής και U R n συµπαγές. Τότε το f(u) είναι συµπαγές. Απόδειξη. Εστω (ȳ ν ) f(u). Τότε υπάρχει ( x ν ) U µε f( x ν ) = ȳ ν και αφού το U είναι συµπαγές ϑα υπάρχει ( x kν ) ( x ν ) µε x kν x 0 U, σύµφωνα µε την Πρόταση Αφού όµως η f είναι συνεχής, ϑα ισχύει ȳ kν = f( x kν ) f( x 0 ) f(u). Ορισµός Η συνάρτηση f : U R m, U R n, λέγεται οµοιόµορφα συνεχής αν ε > 0 δ > 0 x, ȳ U, x ȳ < δ : f( x) f(ȳ) < ε. Θεώρηµα Εστω U R n συµπαγές και f : U R m συνεχής. Τότε η f είναι οµοιόµορφα συνεχής. Απόδειξη. Εστω ότι η f δεν είναι οµοιόµορφα συνεχής, δηλ. ε > 0 δ > 0 x, ȳ U, x ȳ < δ : f( x) f(ȳ) ε. Εστω ένα τέτοιο ε > 0. Τότε ειδικότερα (για δ = 1 ν ) ν N x ν, ȳ ν U, x ν ȳ ν < 1 ν : f( x ν ) f(ȳ ν ) ε. Εστω µια τέτοια ακολουθία ( x ν ) U. Αφού το U είναι συµπαγές, υπάρχει ( x kν ) ( x ν ) µε x kν x 0 U, σύµφωνα µε την Πρόταση Τότε όµως ισχύει και ȳ kν x 0 U, αφού ȳ kν x 0 ȳ kν x kν + x kν x 0 1 k ν + x kν x 0 0. Αλλά η f είναι συνεχής. Άρα f( x kν ) f( x 0 ), f(ȳkν ) f( x 0 ) και συνεπώς f( x kν ) f(ȳ kν ) 0, δηλ. και για το ε > 0 που επιλέξαµε πιο πάνω υπάρχει ν 0 N µε f( x kν0 ) f(ȳ kν0 ) < ε, άτοπο. Α 11. Εστω U R n ανοικτό, x 0 U, f = (f 1,..., f m ) : U R m συνεχής στο x 0 µε f( x 0 ) = 0 και ḡ : U R m ϕραγµένη (δηλ., ḡ(u) R m ϕραγµένο). Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις (f j ḡ)( x) := f j ( x)ḡ( x), j = 1,..., m, και ( f ḡ)( x) := f( x) ḡ( x), x U, είναι συνεχείς στο 0. 32

17 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

18 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκ. Καθ. Ιωάννης Γιαννούλης. «Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1]

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης Ιωάννινα, 13112012 Σηµείωση : Οι παρούσες σηµειώσεις δηµιουργούνται κατά την διάρκεια της διδασκαλίας του µαθήµατος Απειροστικός Λογισµός ΙΙΙ σε ϕοιτητές του τρίτου

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης Ιωάννινα, 13.1.2013 Σηµείωση : Οι παρούσες σηµειώσεις δηµιουργούνται κατά την διάρκεια της διδασκαλίας του µαθήµατος Απειροστικός Λογισµός ΙΙΙ σε ϕοιτητές του τρίτου

Διαβάστε περισσότερα

Διανυσματική Ανάλυση. Γιάννης Γιαννούλης

Διανυσματική Ανάλυση. Γιάννης Γιαννούλης Διανυσματική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης Ιωάννινα, 30 Απριλίου 2014 Σημείωση: Οι παρούσες σημειώσεις δημιουργήθηκαν κατά την διάρκεια της διδασκαλίας του μαθήματος Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ και IV σε φοιτητές

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Ο Ευκλείδειος χώρος R n 1.1 Αλγεβρική δοµή Ο Ευκλείδειος χώρος R n είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 202 Μέρος 4. Θεωρητικά

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 31 6. Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση 6.1. Ταυτόχρονη

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ισοµετρίες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 78 12 Ισοµετρίες 121 Χαρακτηρισµός Ισοµετριών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΗΣΗΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 1: Συναρτήσεις (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο Γινοµένου Πινάκων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 4 Μέρος 1. Η οµή Ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Προκαταρκτικές Έννοιες 1.1 Δακτύλιοι,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Χαρακτηρισµοί Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 233 4. Χαρακτηρισµοί

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 12 Ο Δ Π Μ δακτύλιο με τις πράξεις τού R και

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 5: Όρια και Συνέχεια Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Εφαρµογές της Κανονικής Μορφής Jordan Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 46 8 Εφαρµογές της Κανονικής

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 1: Τοπολογία των Ευκλείδειων χώρων. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 1: Τοπολογία των Ευκλείδειων χώρων. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Τοπολογία των Ευκλείδειων χώρων. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΣΤΗΝ ΥΛΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων.5. Ορισµός. Έστω, f : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο. Λέµε ότι η f έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li = ή f b f b αν και µόνο αν, για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 4 Ενότητα 18

Λογισμός 4 Ενότητα 18 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Το Θεώρημα του Stokes. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πραγματικές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών (μέρος 1) Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 3: Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΤΟ ΔΡΟΜΙΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΕΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές Εφαρμογές στη Φυσική Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγxρονη Φυσική II Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Coons.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 4. Ενότητα 4: Ιδιότητες του Ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 4. Ενότητα 4: Ιδιότητες του Ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΑΝΕΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Ιδιότητες του Ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Θεωρία Συνόλων, Συναρτήσεις Πραγματικής Μεταβλητής, Όριο και Συνέχεια Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων &

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές Σύνθετοι αναλυτικοί - αριθμητικοί υπολογισμοί Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #7: Μονοτονία- Ακρότατα-Αντιγραφή Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 4:Συνέχεια διανυσματικών συναρτήσεων-ιδιότητες της συνέχειας. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 4:Συνέχεια διανυσματικών συναρτήσεων-ιδιότητες της συνέχειας. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4:Συνέχεια διανυσματικών συναρτήσεων-ιδιότητες της συνέχειας. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IΙΙ. Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης

Τίτλος Μαθήματος: Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IΙΙ. Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης Τίτλος Μαθήματος: Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IΙΙ Ενότητα: Παράγωγοι και ολοκληρώματα Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης Τμήμα: Οικονομικών Επιστημών Ολοκληρώματα με το πρόγραμμα Maima Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 15 3. Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 2: Γραμμικές συναρτήσεις (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 6: Παράγωγος κατά κατεύθυνση, κλίση, εφαπτόμενα επίπεδα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Hλεκτροδυναμική

Κλασική Hλεκτροδυναμική Κλασική Hλεκτροδυναμική Ενότητα 3: Η συνάρτηση Green σε επίπεδη γεωμετρία και η μέθοδος των ειδώλων σε σφαιρική Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 5:Θεώρημα ακραίων τιμών και θεώρημα ενδιάμεσων τιμών- Ομοιόμορφη συνέχεια. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

Λογισμός 3. Ενότητα 5:Θεώρημα ακραίων τιμών και θεώρημα ενδιάμεσων τιμών- Ομοιόμορφη συνέχεια. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5:Θεώρημα ακραίων τιμών και θεώρημα ενδιάμεσων τιμών- Ομοιόμορφη συνέχεια. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 8: Ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 4 Ενότητα 15

Λογισμός 4 Ενότητα 15 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 15: Αρμονικές συναρτήσεις. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 9: Ολοκληρώματα (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Εισαγωγή. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

lim x)) = lim f( x) lim (f( x)) x)) x 2 y x 2 + y 2 = 0 r 3 cos 2 θsinθ r 2 (cos 2 θ + sin 2 θ) = lim

lim x)) = lim f( x) lim (f( x)) x)) x 2 y x 2 + y 2 = 0 r 3 cos 2 θsinθ r 2 (cos 2 θ + sin 2 θ) = lim Ορια Πραγματικών Συναρτήσεων Εστω f : A R n R. Το καλείται σημείο συσσώρευσης του Α και γράφουμε: f x = b, b R ε > 0, δε = δ > 0 : f x b < ε, για κάθε x A με 0 < x < δ. Γεωμετρική Ερμηνεία της Εννοιας

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.08.4: Υπολογισμός Όγκων Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Λογισμός 3. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Λογισμός 3. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 9: Κίνηση Σε Πολικές Συντεταγμένες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 9: Κίνηση Σε Πολικές Συντεταγμένες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Κίνηση Σε Πολικές Συντεταγμένες Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 17: Απόδειξη Θεωρήματος Αντιστροφής. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 17: Απόδειξη Θεωρήματος Αντιστροφής. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 17: Απόδειξη Θεωρήματος Αντιστροφής. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σεάδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 4 Ενότητα 13

Λογισμός 4 Ενότητα 13 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Κεφάλαιο 10 Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους 10.1 Τρίτο μέρος Επαναλαμβάνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 6: Όριο και συνέχεια συναρτήσεων (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 2: Συναρτήσεις Χώροι - Μεταβλητές Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 10: Ειδικές περιπτώσεις επίλυσης με τη μέθοδο simplex (2o μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 3. Ενότητα 9: Ιδιότητες της κλίσης. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 3. Ενότητα 9: Ιδιότητες της κλίσης. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Ιδιότητες της κλίσης. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σεάδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές I

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές I ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές I Ελαστικότητα και εφαρμογές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Απειροστικού Λογισμού

Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Ενότητα 6: Θέματα σχετικά με τη διδασκαλία των ολοκληρωμάτων. Ζαχαριάδης Θεοδόσιος Τμήμα Μαθηματικών 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ 1. Ένας μαθητής κατά την μελέτη της ολοκλήρωσης

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 7: Παράγωγος, ελαστικότητα, παραγώγιση συναρτήσεων (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα