Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Transcript

1 Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών

2

3 31 6. Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση 6.1. Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Πινάκων. Εστω A, B M n n (K) δύο n n πίνακες µε στοιχεία από το σώµα K. Ορισµός 6.1. Οι πίνακες A, B καλούνται ταυτόχρονα διαγωνοποιήσιµοι αν υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε : P 1 A P = 1 και P 1 B P = 2 όπου οι πίνακες 1 και 2 είναι διαγώνιοι. διαγωνοποιεί ταυτόχρονα τους A, B. ηλαδή αν υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P ο οποίος Σκοπός µας στην παρούσα παράγραφο είναι να αποδείξουµε το ακόλουθο κριτήριο ταυτόχρονης διαγωνοποίησης : Θεώρηµα 6.2. Εστω A, B M n n (K) δύο n n πίνακες µε στοιχερία από το σώµα K. Τότε τα ακόλυθα είναι ισοδύναµα : 1. Οι πίνακες A, B είναι ταυτόχρονα διαγωνοποιήσιµοι. 2. Οι πίνακες A, B είναι διαγωνοποιήσιµοι και : A B = B A. Απόδειξη. 1. = 2. Υποθέτουµε ότι οι πίνακες A, B είναι ταυτόχρονα διαγωνοποιήσιµοι. Τότε οι πίνακες είναι διαγωνοποιήσιµοι και υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτις ώστε : P 1 A P = 1 και P 1 B P = 2 όπου οι πίνακες 1 και 2 είναι διαγώνιοι. Τότε ϑα έχουµε : P 1 (A B) P = P 1 A B P = P 1 A P P 1 B P = 1 2 P 1 (B A) P = P 1 B A P = P 1 B P P 1 A P = 2 1 Επειδή προφαβώς διαγώνιοι πίνακες µετατίθενται, ϑα έχουµε 1 2 = 2 1. Τότε P 1 (A B) P = P 1 (B A) P = (A B) P = (B A) P = A B = B A 2. = 1. Για τη απόδειξη αυτής της κατεύθυνσης χρειαζόµαστε κάποια προεργασία. Η απόδειξη ϑα ολοκληρωθεί στο Πόρισµα 6.8 στο τέλος της παραγράφου. Λήµµα 6.3. Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου dim K E <. Υποθέτουµε ότι E = V W και f(v) V Θεωρούµε την επαγόµενη γραµµική απεικόνιση f V = f V : V V, όπου f V είναι ο περιορισµός της f στον υπόχωρο V. Τότε το ελάχιστο πολυώνυµο Q fv (t) της f V διαιρεί το ελάχιστο πολυώνυµο Q f (t) της f: Q fv (t) / Q f (t) Απόδειξη. Εστω Q f (t) = a 0 + a 1 t + a m 1 t m 1 + t m το ελάχιστο πολυώνυµο της f, και ϑεωρούµε την γραµµική απεικόνιση Q f (f V ) = a 0 Id V + a 1 f V + + a m 1 (f V ) m 1 + (f V ) m : V V Τότε, v V: Q f (f V )( v) = a 0 ( v) + a 1 f V ( v) + + a m 1 (f V ) m 1 ( v) + (f V ) m ( v). Επειδή f V ( v) = f( v), v V, έπεται ότι ϑα έχουµε : Q f (f V )( v) = a 0 ( v) + a 1 f( v) + + a m 1 f m 1 ( v) + f m ( v) = (a 0 Id E + a 1 f + a m 1 f m 1 + f m )( v) = Q f (f)( v) = 0. Αυτό σηµαίναι ότι το πολυώνυµο Q f (t) µηδενίζει την f V. Τότε όµως το Q f (t) ϑα διαιρείται από το ελάχιστο πολυώνυµο της f V : Q fv (t) / Q f (t).

4 32 Πόρισµα 6.4. Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου dim K E <. Υποθέτουµε ότι E = V W και f(v) V Θεωρούµε την επαγόµενη γραµµική απεικόνιση f V : V V, όπου f V = f V είναι ο περιορισµός της f στον υπόχωρο V. Τότε : f είναι διαγωνοποιήσιµη = f V είναι διαγωνοποιήσιµη Απόδειξη. Από το Λήµµα 6.3, έχουµε Q fv (t) / Q f (t). Επειδή η f είναι διαγωνοπιήσιµη, έπεται ότι το ελάχιστο πολυώνυµο Q f (t) της f αναλύεται σε γινόµενο διακεκριµµένων πρωτοβαθµίων παραγόντων. Επειδή το ελάχιστο πολυώνυµο της f V είναι διαιρέτης του Q f (t), έπεται ότι το ελάχιστο πολυώνυµο Q fv (t) της f V αναλύεται σε γινόµενο διακεκριµµένων πρωτοβαθµίων παραγόντων. Εποµένως η f V είναι διαγωνοποιήσιµη. Πόρισµα 6.5. Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου dim K E <. Υποθέτουµε ότι E = V 1 V 2 V k και f(v i ) V i, 1 i k Θεωρούµε τις επαγόµενες γραµµικές απεικόνισεις f Vi : V i V i, όπου f Vi = f Vi είναι ο περιορισµός της f στον υπόχωρο V i. Τότε : f είναι διαγωνοποιήσιµη f Vi είναι διαγωνοποιήσιµη, 1 i k Απόδειξη. = Επεται άµεσα από το Πόρισµα 6.4. = Εστω B i µια ϐάση του V i, 1 i k, η οποία αποτελείται από ιδιοδιανύσµατα της f i. Από το ορισµό των απεικονίσεων f i, έπεται προφανώς ότι τα διανύσµατα κάθε ϐάσης B i είναι και ιδιοδιανύσµατα της f. Επειδή το άθροισµα V 1 + V V k είναι ευθύ και µας δίνει τον χώρο E, έπεται ότι το σύνολο C := B 1 B 2 B k είναι µια ϐάση του E η οποία αποτελείται από ιδιοδιανύσµατα της f. Άρα η f είναι διαγωνοποιήσιµη. Θεώρηµα 6.6. Εστω E ένας K-διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης και f, g : E E δύο γραµµικές απεικονίσεις. Υποθέτουµε ότι οι f, g είναι διαγωνοποιήσιµες και f g = g f. Τότε υπάρχει ϐάση C του E η οποία αποτελείται από ιδιοδιανύσµατα της f και της g. Απόδειξη. Επειδή η g είναι διαγωνοποιήσιµη, όπως γνωρίζουµε ϑα έχουµε : E = V g (λ 1 ) V g (λ 2 ) V g (λ k ) όπου λ 1, λ k είναι οι διακεκριµµένες ιδιοτιµές της g και V g (λ i ) είναι οι αντίστοιχοι ιδιοχώροι : V g (λ i ) = { x E g( x) = λ i x}, Εστω x V g (λ i ). Τότε g( x) = λ i x και εποµένως, i = 1, 2,, k: 1 i k f(g( x)) = f(λ i x) = (f g)( x) = λ i f( x) = (g f)( x) = λ i f( x) = g(f( x)) = λ i f( x) Εποµένως το διάνυσµα f( x) V g (λ i ), και άρα : περιορίσουµε την f σε µια γραµµική απεικόνιση f i := f Vg(λ i ) : V g (λ i ) V g (λ i ), f(v g (λ i ) V g (λ i ). Αυτό σηµαίναι ότι µπορούµε να f i ( x) = f( x) Επειδή η f είναι διαγωνοποιήσιµη, από το Πόρισµα 6.5 έπεται ότι η απεικόνιση f i είναι διαγωνοποιήσι- µη, για κάθε i = 1, 2,, k. Εστω B i µια ϐάση του V g (λ i ) η οποία αποτελείται από ιδιοδιανύσµατα της f i. Από το ορισµό των απεικονίσεων f i, έπεται προφανώς ότι τα διανύσµατα κάθε ϐάσης B i είναι και ιδιοδιανύσµατα της f. Επειδή το άθροισµα V g (λ 1 ) + V g (λ 2 ) + + V g (λ k ) είναι ευθύ και µας δίνει τον χώρο E, έπεται ότι το σύνολο C := B 1 B 2 B k

5 33 είναι µια ϐάση του E η οποία αποτελείται από ιδιοδιανύσµατα της f. Επειδή B i V g (λ i ) έπεται ότι τα διανύσµατα κάθε ϐάσης B i είναι και ιδιοδιανύσµατα της g. Καταλήγουµε ότι η ϐάση C του E αποτελείται από ιδιοδιανύσµατα της f και της g Ταυτόχρονη διαγωνοποίηση Γραµµικών Απεικονίσεων. Ορισµός 6.7. Εστω E ένας K-διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης και f, g : E E δύο γραµµικές απεικονίσεις. Τότε οι f, g καλούνται ταυτόχρονα διαγωνοποιήσιµες, αν υπάρχει ϐάση C του E η οποία αποτελείται από ιδιοδιανύσµατα της f και της g. Θεώρηµα 6.8. Εστω E ένας K-διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης και f, g : E E δύο γραµµικές απεικονίσεις. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (1) Οι f, g είναι ταυτόχρονα διαγωνοποιήσιµες. (2) Οι f, g είναι διαγωνοποιήσιµες και f g = g f. Απόδειξη. (2) = (1) Η κατεύθυνση αυτή αποδείχθηκε στο Θεώρηµα 6.6. (1) = (2) Εστω ότι οι f, g είναι ταυτόχρονα διαγωνοποιήσιµες, δηλαδή υπάρχει ϐάση C = { e 1, e 2,, e n } του E η οποία αποτελείται από ιδιοδιανύσµατα της f και της g, τα οποία αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές λ 1, λ 2,, λ n της f και στις ιδιοτιµές µ 1, µ 2,, µ n της f Τότε : (f g)( e i ) = f(g( e i )) = f(µ i e i ) = µ i f( e i ) = µ i λ i e i (g f)( e i ) = g(f( e i )) = g(λ i e i ) = λ i g( e i ) = λ i µ i e i Εποµένως (f g)( e i ) = (g f)( e i ), για κάθε διάνυσµα e i της ϐάσης C. Τότε όµως f g = g f. Το ακόλουθο Πόρισµα ολοκληρώνει την απόδειξη της κατεύθυνσης 2. = 1. του Θεωρήµατος 6.2. Πόρισµα 6.9. Εστω A και B δύο διαγωνοποιήσιµοι n n πίνακες υπεράνω του σώµατος K. Αν A B = B A, τότε υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε : όπου οι πίνακες 1 και 2 είναι διαγώνιοι. Απόδειξη. Θεωρούµε τις γραµµικές απεικονίσεις P 1 A P = 1 και P 1 B P = 2 f A, f B : K n K n, f A (X) = A X και f B (X) = B X Επειδή οι πίνακες A και B είναι διαγωνοποιήσιµοι, έπεται ότι και οι γραµµικές απεικονλίσεις f A και f B είναι διαγωνοποιήσιµες. Επειδή A B = B A, έπεται άµεσα ότι f A f B = f B f A. Τότε από το Θεώρηµα 6.5 έπεται ότι υπάρχει ϐάση C του K n η οποία αποτελείται από ιδιοδιανύσµατα της f A και της f B. Άρα ο πίνακας της f A στην C είναι ένας διαγώνιος πίνακας 1 και ο πίνακας της f B στην C είναι ένας διαγώνιος πίνακας 2. Τότε όµως υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε οι πίνακας P 1 A P = 1 και P 1 B P = 2. Τα παραπάνω γενικεύονται και για παραπάνω από δύο πίνακες. Ορισµός Εστω A 1, A 2,, A r n n πίνακες υπεράνω του σώµατος K. Οι πίνακες A 1, A 2,, A r καλούνται ταυτόχρονα διαγωνοποιήσιµοι αν υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε : P 1 A i P = i 1 i r όπου οι πίνακες i διαγώνιοι. ηλαδή αν υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P ο οποίος διαγωνοποιεί ταυτόχρονα τους A 1, A 2,, A r.

6 34 Ορισµός Εστω E ένας K-διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης υπεράνω του σώµατος K, και f 1, f 2,, f r : E E γραµµικές απεικονίσεις. Οι f 1, f 2,, f r καλούνται ταυτόχρονα διαγωνοποιήσιµες αν υπάρχει ϐάση B του E η οποία αποτελείται από ιδιοδιανύσµατα των f 1, f 2,, f r. Με ϐάση τα Θεωρήµατα 6.2 και 6.8 και µε χρήση επαγωγής αποδεικνύεται εύκολα και το ακόλουθο Θεώρηµα : Θεώρηµα (1) Εστω A 1, A 2,, A r n n πίνακες υπεράνω του σώµατος K. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (α ) Οι πίνακες A 1, A 2,, A r είναι ταυτόχρονα διαγωνοποιήσιµοι. (ϐ ) Οι πίνακες A 1, A 2,, A r είναι διαγωνοποιήσιµοι και A i A j = A j A i, 1 i j r. (2) Εστω f 1, f 2,, f r : E E γραµµικές απεικονίσεις, όπου dim K E <. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (α ) Οι f 1, f 2,, f r είναι ταυτόχρονα διαγωνοποιήσιµες. (ϐ ) Οι f 1, f 2,, f r είναι διαγωνοποιήσιµες και f i f j = f j f i, 1 i j r. Ασκηση Να ορισθούν οι έννοιες ταυτόχρονα τριγωνοποιήσιµοι πίνακες και ταυτόχρονα τριγωνοποιήσιµες γραµµικές απεικονίσεις 2. Να εξετασθεί αν το Θεώρηµα 6.12 ισχύει αν στην διατύπωσή του έχουµε παντού τριγωνοποιήσιµους πίνακες ή τριγωνοποιήσιµες γραµµικές απεικονίσεις αντί διαγωνοποιήσιµους πίνακες ή διαγωνοποιήσιµες γραµµικές απεικονίσεις.

7 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

8 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης «Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1]