Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Transcript

1 Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Χαρακτηρισµοί Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών

2

3 Χαρακτηρισµοί Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων Είδαµε στην προηγούµενη ενότητα (Πρόταση 3.18) ότι αν (G, ) είναι µια πεπερασµένη οµάδα, τότε η τάξη της o(g) έχει την ιδιότητα : x o(g) = e, x G. Η ακόλουθη πρόταση δείχνει ότι µια πεπερασµένη κυκλική οµάδα ικανοποιεί κάτι ισχυρότερο : Πρόταση 4.1. Εστω (G, ) µια πεπερασµένη κυκλική οµάδα. µικρότερος ϕυσικός αριθµός n έτσι ώστε : x n = e, x G. Τότε ο ϕυσικός αριθµός o(g) είναι ο Απόδειξη. Εστω g ένας γεννήτορας της G: G = g. Τότε o(g) = o(g) := n και όπως γνωρίζουµε n είναι ο µικρότερος ϕυσικός m έτσι ώστε g m = e. Εστω x G. Επειδή G = g = { e = g 0, g, g 2,, g n 1} ϑα έχουµε x = g k για κάποιο k n 1. Τότε x o(g) = (g k ) o(g) = e. Προφανώς ο ϕυσικός n είναι ο µικρότερος ο µικρότερος ϕυσικός m έτσι ώστε x m = e, x G, διότι αν υπήρχε ϕυσικός m < n έτσι ώστε x m = e, x G, τότε ϑα ίσχυε g m = e, κάτι που είναι άτοπο διότι η o(g) = n. Σκοπός της παρούσης ενότητας είναι να αποδείξουµε ότι η παραπάνω ιδιότητα χαρακτηρίζει τις κυκλικές οµάδες στην κλάση των πεπερασµένων αβελιανών οµάδων. Θεώρηµα 4.2. Εστω (G, ) µια πεπερασµένη αβελιανή οµάδα. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (1) Η G είναι κυκλική. (2) Η τάξη o(g) = G της G είναι ο µικρότερος ϕυσικός αριθµός n έτσι ώστε : x n = e, x G. Για την απόδειξη ϑα χρειαστούµε τις ακόλουθες ϐοηθητικές προτάσεις οι οποίες παρουσιάζουν ενδια- ϕέρον από µόνες τους. Στην απόδειξή τους ϑα χρησιµοποιήσουµε στοιχειώδη αποτελέσµατα της Θεωρίας Αριθµών. Λήµµα 4.3. Εστω (G, ) µια αβελιανή οµάδα και x, y G στοιχεία της G έτσι ώστε : Τότε : o(x) = m < και o(x) = n < και (m, n) = 1 x y = {e} και o(xy) = mn Απόδειξη. Εστω x x y και εποµένως z x και z y. Άρα z = x k = y l. Τότε Εποµένως : z m = x km = (x m ) k = e και z n = y ln = (y n ) l = e o(z)/m και o(z)/n Άρα z = e και εποµένως : x y = {e}. (m,n)=1 = o(z) = 1 Εστω o(x y) = r. Τότε, λαµβάνοντας υπ όψιν ότι η G είναι αβελιανή, ϑα έχουµε : και εποµένως : x r y r = (x y) r = e = x r = (y r ) 1 = y r x y = {e} x r = e και y r = e = x r = e και y r = e = o(x) = m/r και o(y) = n/r Τότε [m, n]/r και επειδή όπως γνωρίζουµε από την Θεωρία Αριθµών, [m, n](m, n) = mn, η υπόθεση (m, n) = 1, συνεπάγεται ότι : mn/r. Από τη άλλη πλευρά : (xy) mn = x mn y mn = (x m ) n (y n ) m = e e = e = r/mn Συµπεραίνουµε ότι mn = r, δηλαδή : o(xy) = o(x)o(y) Η παρακάτω Άσκηση γενικεύει το Λήµµα 4.3:

4 234 Ασκηση 279. Εστω G µια πεπερασµένη αβελιανή οµάδα. Τότε : x, y G : o(xy) = [o(x), o(y)] Λήµµα 4.4. Εστω (G, ) µια πεπερασµένη αβελιανή οµάδα. Τότε η G περιέχει ένα στοιχείο g του οποίου η τάξη είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τάξεων όλων των στοιχείων της G: Απόδειξη. είχνουµε πρώτα ότι : g G : o(g) = [o(g 1 ), o(g 2 ),, o(g n )] αν x, y G και o(x) = m, o(y) = n, τότε υπάρχει ένα στοιχείο z G έτσι ώστε : o(z) = [m, n] Για τους ϑετικούς ακεραίους m, n από την Θεωρία Αριθµών, µπορούµε να γράψουµε : m = p e 1 1 pe 2 2 pe k k και n = p f 1 1 pf 2 2 pf k k όπου οι p 1, p 2,, p k είναι διακεκριµµένοι πρώτοι αριθµοί, και e i, f i 0, 1 i k. Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, (εν ανάγκη αναδιατάσσοντας τους πρώτους αριθµούς p 1, p 2,, p k ), µπορούµε να υποθέσουµε ότι : Θέτοντας e 1 f i,, e j f j και e j+1 f j+1,, e k f k, για κάποιο 1 j k ϐλέπουµε εύκολα ότι : [m, n] = n s Επιπλέον : o(x r ) = m r και εποµένως από το Λήµµα 4.3 ϑα έχουµε ότι : Χρησιµοποιώντας την ταυτότητα : r = p e 1 1 pe 2 2 pe j j και s = p f j+1 j+1 pf j+2 j+2 pf k k m r = pf 1 1 pf 2 2 pf j j pe j+1 1 p e j+2 2 p e k k και ( m r, n s ) = 1 και o(y s ) = n s το στοιχείο z = x r z s έχει τάξη o(z) = [m, n] = n s m, n, t Z + : [[m, n], t] = [m, n, t] και επαναλαµβάνοντας την παραπάνω διαδικασία ϑα έχουµε ότι : αν x, y, z G και o(x) = m, o(y) = n, o(z) = t, τότε υπάρχει ένα στοιχείο w G έτσι ώστε : o(w) = [m, n, t] Συνεχίζοντας την παραπάνω διαδικασία, και λαµβάνοντας υπ όψιν ότι η αβελιανή οµάδα είναι πεπερασµένη, µπορούµε επαγωγικά να κατασκευάσουµε ένα στοιχείο g µε την επιθυµητή ιδιότητα η τάξη του να είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τάξεων των στοιχείων της G. m r Μπορούµε τώρα να δώσουµε την απόδειξη του Θεωρήµατος 4.2. Απόδειξη. (του Θεωρήµατος 4.2): (1) = (2) Αποδείχθηκε στην Πρόταση 4.1. (2) = (1) Από το Λήµµα 4.4 έπεται ότι υπάρχει ένα στοιχείο g G έτσι ώστε : o(g) = [o(g 1 ), o(g 2 ),, o(g n ]

5 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

6 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης «Αλγεβρικές Δομές Ι». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1]