Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
|
|
- Ἄγγελος Κορνάρος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών
2
3 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην παρούσα παράγραφο ϑα µελετήσουµε µια σηµαντική κανονική µορφή πινάκων οι οποίοι έχουν την ιδιότητα ότι το χαρακτηριστικό τους πολυώνυµο αναλύεται σε γινόµενο πρωτοβαθµίων, όχι κατ ανάγκη διακεκριµµένων, παραγόντων Εστω K ένα σώµα Ορισµός 71 Εστω n 1 και λ K Ο τετραγωνικός n n πίνακας λ λ λ J n (λ) = λ λ λ καλείται ο στοιχειώδης n n πίνακας Jordan ο οποίος αντιστοιχεί στο λ Ενας πίνακας n n πινακας J καλείται πίνακας Jordan αν είναι το ευθύ άθροισµα στοιχειωδών πινάκων Jordan: J = J n1 (λ 1 ) J n2 (λ 2 ) J nk (λ k ) όπου λ i K, 1 i k, και n 1 + n n k = n Στην παρούσα παράγραφο ϑα αποδείξουµε ότι κάθε n n πίνακας A µε στοιχεία από το σώµα K, ο οποίος έχει όλες τις ιδιοτιµές του στο K είναι όµοιος µε έναν πίνακα Jordan 71 Μηδενοδύναµες Γραµµικές Απεικονίσεις Στην παρούσα παράγραφο συµβολίζουµε µε K ένα σώµα Εστω E ένας K-διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης και µια γραµµική απεικόνιση f : E E Θεώρηµα 72 Υποθέτουµε ότι η f είναι µηδενοδύναµη : f m = 0 Τότε υπάρχουν διανύσµατα z 1, z 2,, z k E και ϕυσικοί αριθµοί ρ 1, ρ 2,, ρ k 1 έτσι ώστε : f ρ 1 ( z 1 ) = f ρ 2 ( z 2 ) = = f ρ k( z k ) = 0, δηλαδή : f ρ i ( z i ) = 0, 1 i k και το σύνολο B = { z 1, f( z 1 ),, f ρ1 1 ( z 1 ), z 2, f( z 2 ),, f ρ2 1 ( z 2 ),, z k, f( z k ),, f ρk 1 ( z k ) } να είναι ϐάση του E Απόδειξη Η απόδειξη ϑα γίνει µε επαγωγή στην διάσταση dim K E := n Αν dim K E = 0, τότε E = { 0} και f = 0 Το συµπέρασµα τότε ισχύει τετριµµένα
4 36 1 Υποθέτουµε ότι n = 1 Θεωρούµε µιά ϐάση { e} του E, και τότε x E, ϑα έχουµε x = k e και άρα : f( x) = f(k e) = kf( e) Ετσι ϑέτοντας f( e) = ε K, έπεται ότι ε = λ e, για κάποιο λ K, και άρα ϑα έχουµε : f( x) = k ε = kλ e = λ x, x E Επειδή f m = 0, έπεται ότι : f m ( x) = λ m x = 0 Ιδιαίτερα f m ( e) = λ m e = 0 και άρα λ m = 0 διότι e 0 Εποµένως λ = 0 και άρα f = 0 Τότε ϑέτοντας k = 1, ρ 1 = 1, και z 1 = e, έπεται ότι το σύνολο B = { e} είναι µια ϐάση του E µε την επιθυµιτή ιδιότητα 2 Επαγωγική Υπόθεση: Υποθέτουµε ότι το συµπέρασµα ισχύει για όλους τους K-διανυσµατικούς χώρους F µε dim K F < n και κάθε µηδενοδύναµη γραµµική απεικόνιση g : F F 3 Γενική Περίπτωση: Υποθέτουµε, όπως στην εκφώνηση του Θεωρήµατος, ότι dim K E = n 1 και η f : E E είναι µηδενοδύναµη : f m = 0, για κάποιον ϕυσικό m 1 Επιπλέον υποθέτουµε ότι f 0, διότι αν f = 0, τότε το συµπέρασµα ισχύει κατά τετριµµένο τρόπο Θέτουµε F := Im(f) = f(e) Ισχυρισµός 1: 0 < dim K F < n = dim K E Πραγµατικά : Αν 0 = dim K F, τότε F = f(e) = { 0}, δηλαδή : f( x) = 0, και άρα f = 0 και το συµπέρασµα ισχύει Αν dim K F < n = dim K E, τότε προφανώς ϑα έχουµε F = Im(f) = E και εποµένως επειδή f m = 0, ϑα καταλήξουµε στο άτοπο : f 2 (E) = f(f(e)) = f(e) = E,, { 0} = f m (E) = f m 1 (f(e)) = f m 1 (E) = = f(e) = E Συµφωνα µε τον παραπάνω Ισχυρισµό 1, ϑα έχουµε { 0} F E Από την άλλη πλευρά είναι προφανές ότι η µηδενοδύναµη γραµµική απεικόνιση f : E E επάγει µια γραµµική απεικόνιση g : F F, g = f F, δηλαδή g( x) = f( x), x F Προφανώς η g είναι µηδενοδύναµη, διότι η f είναι µηδενοδύναµη, και άρα από την επαγωγική υπόθεση, υπάρχουν διανύσµατα και ϕυσικοί αριθµοί w 1, w 2,, w l F σ 1, σ 2,, σ l 1 έτσι ώστε : g σ 1 ( w 1 ) = g σ 2 ( w 2 ) = = g σ l( w l ) = 0, δηλαδή : και το σύνολο g σ i ( w i ) = 0, 1 i l C = { w 1, g( w 1 ),, g σ 1 1 ( w 1 ), w 2, g( w 2 ),, g σ 2 1 ( w 2 ),, w l, g( w l ),, g σ l 1 ( w l ) } να είναι ϐάση του F Επειδή f(e) = F E, έπεται ότι για τα διανύσµατα w i F, 1 i l, υπάρχουν διανύσµατα z i E έτσι ώστε : f( z i ) = w i, 1 i l Παρατηρούµε ότι επειδή έπεται ότι τα διανύσµατα g σ i ( w i ) = f σ i ( w i ) = 0, f σ i 1 ( w i ) Ker(f), 1 i l 1 i l Ισχυρισµός 2: Το σύνολο {f σ 1 1 ( w 1 ),, f σ l 1 ( w l )} είναι γραµµικά ανεξάρτητο
5 37 Πραγµατικά : αυτό προκύπτει διότι τα παραπάνω διανύσµατα είναι στοιχεία της ϐάσης C Συµπληρώνουµε το σύνολο {f σ 1 1 ( w 1 ),, f σ l 1 ( w l )} σε µια ϐάση του Ker(f): D = { f σ 1 1 ( w 1 ),, f σ l 1 ( w l ), y 1, y 2,, y t } Εποµένως Από την άλλη πλευρά ϑα έχουµε dim K Ker(f) = l + t dim K F = dim K Im(f) = σ 1 + σ 2 + σ l διότι το σύνολο D είναι ϐάση του F και D = σ 1 + σ 2 + σ l Από την Θεµελιώδη εξίσωση διαστάσεων για την γραµµική απεικόνιση f : E E ϑα έχουµε dim K E = dim K Ker(f) + dim K Im(f) = σ 1 + σ 2 + σ l + l + t Ισχυρισµός 3: Το σύνολο B = { z 1, f( z 1 ),, f σ 1 ( z 1 ), z 2, f( z 2 ),, f σ 2 ( z 2 ),, z l, f( z l ),, f σ } l ( z l ), y 1, y 2,, y t είναι µια ϐάση του E Απόδειξη του Ισχυρισµού 3: Πρώτα παρατηρούµε ότι : B = (σ 1 + 1) + (σ 2 + 1) + (σ l + 1) + t = σ 1 + σ 2 + σ l + l + t = dim K E Άρα για να είναι το σύνολο B ϐάση του E, αρκεί να είναι γραµµικά ανεξάρτητο Υποθέτουµε ότι : 0 = λ 0 z 1 + λ 1 f( z 1 ) + + λ σ1 f σ 1 ( z 1 ) = µ 0 z 2 + µ 1 f( z 2 ) + + µ σ2 f σ 2 ( z 2 ) = ν 0 z l + ν 1 f( z l ) + + ν σl f σ l ( z l ) = ξ 1 y 1 + ξ 2 y 2 + ξ t y t Εφαρµώζοντας την f στην παραπάνω σχέση και χρησιµοποιώντας ότι y i Ker(f), 1 i t, ϑα έχουµε : 0 = λ 0 f( z 1 ) + λ 1 f 2 ( z 1 ) + + λ σ1 f σ 1+1 ( z 1 ) = µ 0 f( z 2 ) + µ 1 f 2 ( z 2 ) + + µ σ2 f σ2+1 ( z 2 ) = ν 0 f( z l ) + ν 1 f 2 ( z l ) + + ν σl f σ l+1 ( z l ) (71) Οµως f( z i ) = w i, 1 i l και εποµένως η τελευταία σχέση γράφεται :
6 38 0 = λ 0 w 1 + λ 1 f( w 1 ) + + λ σ1 f σ 1 ( w 1 ) = µ 0 w 2 + µ 1 f( w 2 ) + + µ σ2 f σ 2 ( w 2 ) = ν 0 w l + ν 1 f( w l ) + + ν σl f σ l ( w l ) Επειδή τα διανύσµατα w i ανήκουν στον υπόχωρο F = Im(f) και g( x) = f( x), x F, η τελευταία σχέση είναι ένας γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων της ϐάσης C του F Εποµένως ϑα έχουµε : λ 0 = = λ σ1 = = µ 0 = = µ σ2 = = ν 0 = = ν σl (72) και άρα το σύνολο B είναι γραµµικά ανεξάρτητο Καταλήγουµε ότι το σύνολο B είναι µια ϐάση του E Η ϐάση B έχει την επιθυµιτή ιδιότητα της εκφώνησης, ϑέτοντας : k = l + t, ρ 1 = σ 1 + 1,, ρ l = σ l + 1, ρ l+1 = 1,, ρ k = 1 και z l+1 = y 1,, z k = y k Θεώρηµα 73 Εστω E ένας K-διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης και f : E E µια µηδενοδύναµη γραµµική απεικόνιση Τότε υπάρχει µια ϐάση του B του E στην οποία ο πίνακας της f είναι ένας πίνακας Jordan της µορφής : M B B (f) = J ρ 1 (0) J ρ2 (0) J ρk (0) όπου ρ 1 + ρ ρ k = n και : J ni (0) = Απόδειξη Σύµφωνα µε το Θεώρηµα 72 υπάρχει ϐάση B του E της µορφής όπου και B = B 1 B 2 B k B i = { f ρ i 1 ( z i ), f ρ i 2 ( z i ),, f( z i ), z i }, f ρ i ( z i ) = 0, 1 i k 1 i k Είναι προφανές από τις παραπάνω σχέσεις ότι ο πίνακας της f στην παραπάνω ϐάση B είναι ο Ϲητούµενος Αναλυτικότερα : ϑέτουµε V i να είναι ο υπόχωρος του E ο οποίος παράγεται από το σύνολο V i : V i = B i = f ρ i 1 ( z i ), f ρ i 2 ( z i ),, f( z i ), z i, 1 i k
7 Παρατηρούµε ότι το σύνολο B i είναι ϐάση του V i και επιπλέον f(v i ) V i Εποµένως η f : E E επάγει για κάθε i = 1, 2,, k, γραµµικές απεικονίσεις f i := f Vi : V i V i, f i ( x) = f( x), x V i Επειδή f ρ i ( z i ) = f ρ i i ( z i ) = 0, έπεται ότι ο πίνακας της f i στην ϐάση B i είναι ο στοιχειώδης πίνακας Jordan J ρi (0): M B i B i (f i ) = J ρi (0) Επειδή το σύνολο B = B 1 B 2 B k είναι ϐάση του E, έπεται ότι το άθροισµα υπόχωρων V 1 + V V k είναι ευθύ και µας δίνει τον E: E = V 1 V 2 V k και η γαρµµική απεικόνιση f είναι το ευθύ άθροισµα των f i : f = f 1 f 2 f k Τότε όµως ο πίνακας M B B (f) της f στην ϐάση B είναι το ευθύ άθροισµα των πινάκων M B i B i (f i ) = J ρi (0) της f i στην ϐάση B i του V i : 39 M B B (f) = J ρ 1 (0) J ρ2 (0) J ρk (0) 72 Μηδενοδύναµοι Πίνακες Μια άµεση συνέπεια του Πορίσµατος 73 είναι το ακόλουθο σηµαντικό αποτέλεσµα : Θεώρηµα 74 Κάθε µηδενοδύναµος n n πίνακας A είναι όµοιος µε έναν πίνακα Jordan της µορφής J = J ρ1 (0) J ρ2 (0) J ρk (0), ρ 1 + ρ ρ k = n Απόδειξη Προκύπτει άµεσα από το Πόρισµα 73 αν το τελευταίο εφαρµοσθεί στην γραµµική απεικόνιση η οποία είναι προφανώς µηδενοδύναµη f A : K n K n, f A (X) = A X 73 Βάσεις Jordan Θεωρούµε την γραµµική απεικόνιση f : E E και υποθέτουµε ότι όλες οι ιδιοτιµές της ανήκουν στο K Εποµένως το χαρακτηριστικό πολυώνυµο της f γράφεται ως εξής : P f (t) = ( 1) n (t λ 1 ) k1 (t λ 2 ) k2 (t λ r ) kr όπου λ 1,, λ r είναι οι διακεκριµµένες ιδιοτιµές της f µε αντίστοιχες πολλαπλότητες k 1,, k r, όπου : k k r = n = dim K E Θεώρηµα 75 Υπάρχει µια ϐάση J του E στην οποία ο πίνακας της f είναι ένας πίνακας Jordan της µορφής : M J J (f) = J n 1 (λ 1 ) J n2 (λ 2 ) J nr (λ r ) dim K E = n 1 + n n r όπου λ 1,, λ r είναι οι διακεκριµµένες ιδιοτιµές της f, και κάθε πίνακας Jordan J ni (λ i ) είναι ευθύ άθροισµα στοιχειωδών πινάκων Jordan κατάλληλων µεγεθών ως προς την ιδιοτιµή λ i : J ni (λ i ) = J ni1 (λ i ) J nik (λ i ), n i = n i1 + n ik, 1 i r Η ϐάση J καλείται ϐάση Jordan του E για την f
8 40 Απόδειξη Επειδή η f έχει όλες τις ιδιοτιµές της στο K, έπεται ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυµο της αναλύεται όπως παραπάνω σε γινόµενο (δυνάµεων) πρωτοβαθµίων παταγόντων : Θέτουµε : P f (t) = ( 1) n (t λ 1 ) k1 (t λ 2 ) k2 N i := { x E (f λ i Id E ) k i ( x) = 0 }, (t λ r ) kr 1 i r Αν x N i, δηλαδή (f λ i Id E ) k i ( x) = 0, έστω (f λ i Id E )( x) = y Τότε (f λ i Id E ) k i ( y) = (f λ i Id E ) k i+1 ( x) = (f λ i Id E )((f λ i Id E ) k i ( x)) = 0 Εποµένως y N i και εποµένως η γραµµική απεικόνιση f λ i Id E : E E επάγει µια γραµµική απεικόνιση f i := f λ i Id E : N i N i, f i ( x) = (f λ i Id E )( x) = f( x) λ i x Ισχυρισµός: Η γραµµική απεικόνιση f i : N i N i είναι µηδενοδύναµη και : E = N 1 N 2 N r Πράγµατικά : το ότι η f i είναι µηδενοδύναµη προκύπτει άµεσα από τον ορισµό του υπόχωρου N i Το ότι ο E είναι το ευθύ άθροισµα των υπόχωρων N i προκύπτει ακριβώς όπως στην Πρόταση 42, ϐλέπε και Παρατήρηση 43, διότι επειδή οι ιδιοτιµές λ 1,, λ r είναι διακεκριµµένες, ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των πολυωνύµων (t λ 1 ) k 1,, (t λ r ) kr είναι το σταθερό πολυώνυµο 1 Επειδή η γραµµική επεικόνιση f i : N i N i είναι µηδενοδύναµη, από το Θεώρηµα 73 έπεται ότι υπάρχει ϐάση B i του N i στην οποία ο πίνακας της f i είναι ένας πίνακας Jordan της µορφής M B i B i (f i ) = M B 1 B 1 (f i + λ i Id Ni ) := J i = J ρi1 (0) J ρi2 (0) J ρik (0) όπου ρ i1 + ρ i2 + + ρ ik = dim K N i := n 1 και : J ij (0) =, 1 j k Επειδή E = N 1 N 2 N r, έπεται ότι το σύνολο B = B 1 B 2 B r ϑα είναι µια ϐάση του E Επειδή f i = f λ i Id E, έπεται ότι ο περιορισµός f Ni της f στον υπόχωρο N i ϑα είναι της µορφής f Ni = f i + λ i Id Ni Παρατηρούµε ότι ο πίνακας της f i + λ i Id Ni στην ϐάση B i του N i είναι της µορφής M B i B i (f i + λ i Id Ni ) := J i (λ i ) = J ρi1 (λ i ) J ρi2 (λ i ) J ρik (λ i ) όπου ρ i1 + ρ i2 + + ρ ik = dim K N i = n i και : λ i λ i λ i J ij (λ i ) =, 1 j k λ i λ i λ i
9 41 Λαµβάνοντας υπ όψιν τα παραπάνω, ϑα έχουµε ότι η f είναι το ευθύ άθροισµα f = f N1 f N2 f Nr = (f 1 + λ 1 Id N1 ) (f 2 + λ 2 Id N2 ) (f r + λ r Id Nr ) και άρα ο πίνακας της f στην ϐάση B ϑα είναι της µορφής : δηλαδή M B B (f) = M B 1 B 1 (f 1 + λ 1 Id N1 ) M B 1 B 1 (f 2 + λ 2 Id N2 ) M B 1 B 1 (f r + λ r Id Nr ) M B B (f) = J n 1 (λ 1 ) J n2 (λ 2 ) J nr (λ r ) ο οποίος είναι ένας πίνακας Jordan Αυτό σηµαίνει ότι η ϐάση B του E είναι η επιθυµιτή ϐάση Jordan J του E για την f 74 Η Κανονική Μορφή Jordan ενός πίνακα Μια άµεση συνέπεια του Πορίσµατος 75 είναι το ακόλουθο σηµαντικό αποτέλεσµα : Θεώρηµα 76 Κάθε n n πίνακας A M n n (K) ο οποίος έχει όλες τις διακεκριµµένες ιδιοτιµές του λ 1,, λ k στο K είναι όµοιος µε έναν πίνακα Jordan της µορφής J = J n1 (λ 1 ) J n2 (λ) J nk (λ k ), n 1 + n n k = n όπου κάθε πίνακας Jordan J ni (λ i ), 1 i k, είναι ευθύ άθροισµα στοιχειωδών πινάκων Jordan κατάλληλων µεγεθών που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ i : J ni (λ i ) = J ni1 (λ i ) J nir (λ i ), n i = n i1 + n ir Απόδειξη Προκύπτει άµεσα από το Πόρισµα 73 αν το τελευταίο εφαρµοσθεί στην γραµµική απεικόνιση f A : K n K n, f A (X) = A X η οποία είναι προφανώς έχει όλες τις ιδιοτιµές της (= ιδιοτιµές του A) στο σώµα K 75 Αλγόριθµος Εύρεσης Κανονικής Μορφής Jordan Εστω A M n n (K) ένας n n-πίνακας µε στοιχεία απο το σώµα K Υποθέτουµε ότι όλες οι ιδιοτιµές του A ανήκουν στο σώµα K Τότε υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 A P = J να είναι η κανονική µορφή Jordan J του A - Περιγράφουµε έναν αλγόριθµο εύρεσης της κανονικής µορφής Jordan J του πίνακα A: Βήµα 1 Υπολογίζουµε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο P A (t) και ϐρίσκουµε το σύνολο των διακεκριµένων ιδιοτιµών του A Spec(A) := {λ 1, λ 2,, λ k } Βήµα 2 Για κάθε ιδιοτιµή λ Spec(A), υπολογίζουµε τις ϐαθµίδες των πινάκων : (A λ I n ), (A λ I n ) 2,, (A λ I n ) n
10 42 Βήµα 3 Για κάθε ιδιοτιµή λ Spec(A) υπολογίζουµε τον ελάχιστο ϕυσικό αριθµό s := s(λ) για τον οποίο ισχύει : r(a λ I n ) s = r(a λ I n ) s+1 και ϑέτουµε : Σηµειώνουµε ότι : q m := r(a λ I n ) m 1 r(a λ I n ) m, m = 1, 2,, s = q s+1 < q s q s 1 q 1 = n r(a λ I n ) Βήµα 4 Για κάθε ιδιοτιµή λ Spec(A) και για κάθε m = 1, 2,, s(λ), ϑεωρούµε : q m q m+1 στοιχειώδεις πίνακες Jordan οι οποίοι είναι m m και έχουν διαγώνιο στοιχείο τον αριθµό λ Βήµα 5 Για κάθε ιδιοτιµή λ Spec A, ϑεωρούµε το ευθύ άθροισµα των στοιχειωδών πινάκων Jordan του Βήµατος 4 Ο πίνακας που προκύπτει είναι η κανονική µορφή Jordan του A (Ως συνήθως διατάσσουµε Jordan blocks έτσι ώστε τα blocks µε µεγαλύτερη τάξη να εµφανίζονται πρώτα) Παράδειγµα 77 Θεωρούµε τον 3 3 πίνακα πραγµατικών αριθµών A = Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του A είναι P A (t) = (t 2) 3 και άρα η µόνη ιδιοτιµή του A είναι η λ = 2 πολλαπλότητας 3 Εποµένως (1) Θα έχουµε : και άρα όπως µπορούµε να δούµε εύκολα (2) Θα έχουµε και άρα (3) Εποµένως και Spec(A) = {2} A 2 I 3 = r(a 2 I 3 ) = 1 (A 2 I 3 ) 2 = 0 r(a 2 I 3 ) 2 = r(a 2 I 3 ) 3 = 0 s = 2, q 1 = 3 1 = 2 q 2 = r(a 2 I 3 ) r(a 2 I 3 ) 2 = 1 0 = 1 και q 3 = 0 (4) Για τον πίνακα A ϑα έχουµε : q 1 q 2 = 1 0 = 1 στοιχειώδη πίνακα Jordan ο οποίος ϑα είναι 1 1 και ϑα έχει το λ = 2 στην διαγώνιο q 2 q 3 = 1 0 = 1 στοιχειώδη πίνακα Jordan ο οποίος ϑα είναι 2 2 και ϑα έχει το λ = 2 στην διαγώνιο
11 43 q 3 q 4 = 0 στοιχειώδη πίνακα Jordan ο οποίος ϑα είναι 3 3 και ϑα έχει το λ = 2 στην διαγώνιο Εποµένως η κανονική µορφή Jordan του A ϑα είναι ο πίνακας ο οποίος είναι το ευθύ άθροισµα των στοιχειωδών πινάκων Jordan: ( ) 2 1 ( 2 ) Αλγόριθµος Εύρεσης Αντιστρέψιµου Πίνακα P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 AP να είναι η Κανονική Μορφή Jordan του A Εστω A M n n (K) ένας n n-πίνακας µε στοιχεία απο το σώµα K Υποθέτουµε ότι όλες οι ιδιοτιµές του A ανήκουν στο σώµα K Τότε υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 A P να είναι η κανονική µορφή Jordan του A - Περιγράφουµε έναν αλγόριθµο εύρεσης του αντιστρέψιµου πίνακα P : Βήµα 6 Για κάθε ιδιοτιµή λ Spec A (s = s(λ)): (1) Βρίσκουµε q s γραµµικά ανεξαρτητες λύσεις του συστήµατος εξισώσεων : έτσι ώστε να ισχύει : (A λ I n ) s X = 0 (A λ I n ) s 1 X 0 (2) Βρίσκουµε q s 1 q s γραµµικά ανεξαρτητες λύσεις του συστήµατος εξισώσεων : έτσι ώστε (A λ I n ) s 1 X = 0 (A λ I n ) s 2 X 0 έτσι ώστε αυτές οι λύσεις µαζί µε τις q s λυσεις του (1) να αποτελούν γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο (3) Συνεχίζουµε αυτή την διαδικασία και τελικά ϐρίσκουµε q 1 q 2 γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις του συστήµατος (A λ I n ) X = 0 έτσι ώστε αυτές οι λύσεις µαζί µε τις q 2 λύσεις που ϐρέθηκαν προηγούµενα να αποτελούν γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο Βήµα 7 Εστω {X 1, X 2,, X k } οι λύσεις που ϐρέθηκαν στο Βήµα 6 Εκ κατασκευής οι λύσεις αυτές είναι γενικευµένα ιδιοδιανύσµατα του A που αντιστοιχούν σε κάποια ιδιοτιµή λ, δηλαδή ικανοποιούν την σχέση (A λ I n ) t X = 0 για κάποιο t 0 Για κάθε i = 1, 2, k, Βρίσκουµε τον ϕυσικό αριθµό m i := min{t 0 (A λ I n ) t X = 0}
12 44 και ϑεωρούµε τον πίνακα P i := ( (A λ I n ) m i 1 X i, (A λ I n ) X i, X i ) δηλαδή ο πίνακας P i έχει σαν στήλες τα διανύσµατα (A λ I n ) r X i, 0 r m i 1 Βήµα 8 Ο αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 AP να ειναι η Κανονικη Μορφη Jordan του A, είναι τότε ο πίνακας : P = ( P 1 P 2 P k ) Παράδειγµα 78 Θεωρούµε τον 4 4 πίνακα πραγµατικών αριθµών A = (1) Υπολογίζουµε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του A: (2) Αρα ϑα έχουµε : (α ) Για την ιδιοτιµή λ = 5, έχουµε : P A (t) = (t 5) 3 (t 4) Spec(A) = {5, 4} s = 3, q 3 = 1, q 2 = 1, q 1 = 1 Αρα υπάρχει ένα Jordan block τάξης 3 (ϐ ) Για την λ = 4, έχουµε : s = 1, q 1 = 1 Αρα υπάρχει ένα Jordan block τάξης 1 (3) Η κανονική µορφή Jordan είναι η = ( 4 ) (4) Ακολουθώντας την διαδικασία των Βηµάτων 6, 7, 8 ϐρίσκουµε ότι : P = Ασκηση 79 Να ϐρεθεί η κανονική µορφή Jordan των ακόλουθων πινάκων πραγµατικών αριθµών : A = και B =
13 45 Ασκηση 710 Να δείξετε ότι η κανονική µορφή Jordan του πίνακα πραγµατικών αριθµών : A = είναι (ως ευθύ άθροισµα στοιχειωδών πινάκων Jordan): ( ) = ( ) Ασκηση 711 Θεωρούµε τον ακόλουθο πίνακα πραγµατικών αριθµών : A = Να ϐρεθεί αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 A P να είναι η κανονική µορφή Jordan του A
14 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας
15 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης «Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ» Έκδοση: 10 Ιωάννινα 2014 Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 40 [1] ή μεταγενέστερη [1]
Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Εφαρµογές της Κανονικής Μορφής Jordan Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 46 8 Εφαρµογές της Κανονικής
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 31 6. Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση 6.1. Ταυτόχρονη
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ισοµετρίες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 78 12 Ισοµετρίες 121 Χαρακτηρισµός Ισοµετριών Εστω
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο Γινοµένου Πινάκων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 4 Μέρος 1. Η οµή Ενός
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 15 3. Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html Παρασκευή 23 Μαρτίου
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10
Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Χαρακτηρισµοί Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 233 4. Χαρακτηρισµοί
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Προκαταρκτικές Έννοιες 1.1 Δακτύλιοι,
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 202 Μέρος 4. Θεωρητικά
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 23 Μαρτίου 2018
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii18/laii18html Παρασκευή 9 Μαρτίου 18 Ασκηση 1 Θεωρούµε
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 1 Μαρτίου
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: υϊκοί Χώροι και Χώροι Πηλίκα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: υϊκοί Χώροι και Χώροι Πηλίκα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 6 υϊκοι Χωροι και Χωροι Πηλικα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Επιλύσιμες Ομάδες 41 Προκαταρκτικές Έννοιες 411 Ορισμός και Παραδείγματα
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html Παρασκευή 9 Μαρτίου 2018 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Για την περαιτέρω ανάπτυξη τής θεωρίας θα χρειαστούμε
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 1 Μαρτίου 2019 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 11 Μαίου 2018
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 16 Μαρτίου 2018
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ
Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Κεφάλαιο 10 Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους 10.1 Τρίτο μέρος Επαναλαμβάνουμε
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)
Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότερα{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)
Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018.html Παρασκευή 14 εκεµβρίου 2018 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Θεωρητικα Θεµατα
Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2011-2012 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laiihtml
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 7: Βάσεις Groebner I
Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 7: Βάσεις Groebner I Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Βάσεις Groebner Ι Τετάρτη 21 Μαϊου 2014 7.1 Ιδεώδη μονονύμων Εχουμε ήδη δει οτι
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 12 Ο Δ Π Μ δακτύλιο με τις πράξεις τού R και
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος
Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 011-01 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laiihtml
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii9/laii9html Παρασκευή 9 Μαρτίου 9 Ασκηση Εστω (E,,
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων &
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 12: Μήτρες (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραΜικροβιολογία & Υγιεινή Τροφίμων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μικροβιολογία & Υγιεινή Τροφίμων Μικροοργανισμοί που ελέγχονται ανά είδος τροφίμου Διδάσκοντες: Καθ. Χρυσάνθη Παπαδοπούλου, Λέκτορας Ηρακλής Σακκάς Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017.html Παρασκευή 22 εκεµβρίου 2017
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 5-6 ΜΑΘΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Καθηγητής: Σ Πνευµατικός ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΟΙ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ JORDAN Θεωρούµε ένα n-διάστατο διανυσµατικό χώρο E στο σώµα Κ = ή και
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii19/laii19html Παρασκευή 1 Μαρτίου 19 Υπενθυµίσεις
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 7 εκεµβρίου 2018 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 15 εκεµβρίου 2017
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραA B. (f; B) = f(x 1 ) = a 11 x 1 + a k1 x k + 0.x k x n f(x 2 ) = a 12 x 1 + a k2 x k + 0.x k x n
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ III ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN 1 Εστω f : V V γραμμική απεικόνιση Εστω A = ker(f i ) και B = ker(f i+1 ) Δείξτε ότι (i) A B και (ii) f(b) A Αποδ: (i) Εστω x ker(f i ) Τότε f i (x)
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε
Διαβάστε περισσότεραx 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.
Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 5 Γραµµικες Απεικονισεις Στην άλγεβρα, και γενικότερα στα Μαθηµατικά,
Διαβάστε περισσότεραΛογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρισμός & Μαγνητισμός
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός Ο νόμος των Biot-Savart Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Ν. Νικολής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html ευτέρα 30 Μαρτίου 2015 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν όλοι
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις
Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου
Διαβάστε περισσότεραΜαρινα Μπομπολακη Κανονικη Μορϕη Jordan Πτυχιακη Εργασια Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Μαρτίου 27 Εισηγητης: Ευστράτιος Πρασίδης Επιτροπη Βασίλειος Μεταϕτσής Νικόλαος Παπαλεξίου Θα ήθελα
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii28/laii28html Παρασκευή 23 Μαρτίου 28 a b Υπενθυµίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 4 Μαίου 2018 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ομομορφισμοί και Πηλικοδάκτυλιοι Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 14 Ο Π Ιδιαιτέρως, αν τα f(x), g(x) είναι σχετικώς
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi07/asi07.html Παρασκευή 9 Μαίου 07 Για κάθε µετάθεση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Ορισµοί Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία Ο πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός λ καλείται ιδιοτιµή του πίνακα Α εάν υπάρχει µη
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Ακαδηµαϊκο Ετος 2011-2012 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml 21-2 - 2012
Διαβάστε περισσότεραΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN
Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDN Εάν ένας πίνακας δεν διαγωνοποιείται, τότε ο στόχος μας είναι υπολογίσουμε μέσω ενός μετασχηματισμού ομοιότητας, έναν απλούστερο πίνακα, «σχεδόν διαγώνιο» όπως ο παρακάτω πίνακας
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii29/laii29html Παρασκευή 23 Μαρτίου 29 a b Υπενθυµίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 6 Μαρτίου 8 Ασκηση Εστω E
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 20 Οκτωβρίου 2017
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Υπολογισμός του εκθετικού πίνακα Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι
Διαβάστε περισσότεραιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012
ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: Συνθήκες αριθµησιµότητας Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)
Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai218/lai218html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου 218 Ασκηση 1
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)
Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότερα