Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών BOOLEAN ALGEBRA

Transcript

1 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μάθηµα: Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών OOLEN LGER ιδάσκων: ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης Άλγεβρα OOLE Οι µεταβλητές της άλγεβρας oole έχουν το χαρακτηριστικό ότι µπορούννα λάβουνµόνο δύο τιµές, το και. Το καθένα τους συµβολίζει τη µία από τις δύο καταστάσεις ενός δίτιµου στοιχείου, όπως για παράδειγµα «Α=» µπορεί να σηµαίνει: «η πρόταση Α είναι αληθής», ενώ «Α=» µπορεί να σηµαίνει «η πρόταση Α είναι ψευδής». Μεταξύ των στοιχείων της άλγεβρας oole ισχύουν οι παρακάτω λογικές πράξεις: Η πράξη λογικό H (OR) που συµβολίζεται µε + Η πράξη λογικό KI (ND) που συµβολίζεται µε. Η πράξη της αντίστροφής ή του συµπληρώµατος που συµβολίζεται (παύλα πάνω από τη µεταβλητή) Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 2

2 Αξιώµατα της Άλγεβρας OOLE Στην άλγεβρα oole ισχόυν τα παρακάτω αξιώµατα: Αξίωµα. Αξίωµα 2. Αξίωµα 3. Αξίωµα 4. + = (αντιµεταθετική ιδιότητα) = ( = (επιµεριστική ιδιότητα) + ( = ( + ( + + = (ουδέτερο στοιχέιο το ) = (ουδέτερο στοιχείο το ) Για κάθε στοιχείο Α υπάρχει ένα συµπλήρωµα τέτοιο ώστε: + = = Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 3 Θεωρήµατα της Άλγεβρας OOLE. + = = 2. += = 3. + = = 4. + = = 5. = 6. ( + = + ( = 7. ( + = + = ( = ( + + ( = ( 9. ( = + ( = ( + ( +. = ( + ( + =. = ( + ( + ( + ( + = = 3. ( + ( + ( = ( + ( =... ος Νόµος του De Morgan = ος Νόµος του De Morgan Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 4 2

3 Παραδείγµατα Χρήσης των Θεωρηµάτων της Άλγεβρας oole Χρησιµοποιώντας τα θεωρήµατα της Άλγεβρας oole να απλοποιηθούν οι λογικές συναρτήσεις: α) + ( + ( = + ( = = + + ( + = = + + ( + = = + + ( + = = β) [ ( + D) + ] = ( + D+ = + D+ ( = ) = + ( = = + = ( + ) ( + ) = = Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 5 Παραδείγµατα Χρήσης των Θεωρηµάτων της Άλγεβρας oole Να απλοποιηθούν, µε τα θεωρήµατα De Morgan οι συναρτήσεις: α) ( + ( + = ( + ( + = + = ( + + ( β) ( + D= + + D = + D Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 6 3

4 Πίνακας Αληθείας Μια τεχνική που θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί για να αποδείξουµε ότι δύο λογικές εκφράσεις είναι ισοδύναµες, είναι αυτή του πίνακα αληθείας. Για παράδειγµα, ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να αποδείξουµε ότι ΑΒ+Α(Β++Β(Β+ = F = ( ( F Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 7 Λογικές Πύλες Τύπος Σύµβολο Άλγεβρα oole ND OR NOT + Πίνακας Αληθείας NND NOR XOR XNOR + Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 8 4

5 Ισοδυναµίες Σύµφωνα µε το θεώρηµα DeMorgan ισχύουν τα παρακάτω: Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 9 Παράδειγµα NOR - NOR NOR - ND OR - ND D D D [(Α+Β) + (+D) ] = (+ (+D) = (+(+D) Ας δούµε µερικά ακόµα παραδείγµατα κυκλωµάτων... Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 5

6 Χάρτες KRNUGH Η λογική συνάρτηση, που προκύπτει από τον πίνακα αληθείας ενός λογικού κυκλώµατος, πολλές φορές επιδέχεται απλοποίηση. Η απλοποίηση αυτή στηρίζεται πάντοτε στα θεωρήµατα της άλγεβρας oole και συνίσταται στην εύρεση µιας ισοδύναµης συνάρτησης µε τους λιγότερους δυνατούς όρους (θυµηθείτε λίγο το παράδειγµα του πίνακα αληθείας που είχαµε δει πριν λίγο...). Το κέρδος που έχουµε από την απλοποίηση είναι το ελάχιστο κόστος, η απλούστερη κατασκευή και τελικά η µεγαλύτερη αξιοπιστία του ψηφιακού κυκλώµατος. Έτσι αναπτύχθηκαν διάφοροι µέθοδοι για την ταχύτερη (αντί της χρήσης άλγεβρας oole)απλοποίησηµιας λογικής συνάρτησης. Ο χάρτης Karnaugh είναι ένας µηχανικός τρόπος για την πραγµατοποίηση αυτής της απλοποίησης, και αυτό είναι το πλεονέκτηµα αυτής της µεθόδου έναντι της χρήσης των θεωρηµάτωντης άλγεβρας oole. Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης Χάρτες KRNUGH για Συναρτήσεις ύο Μεταβλητών Για να απεικονίσουµε µια λογική συνάρτηση σε χάρτη Karnaugh, τη µετατρέπουµε σε κανονική µορφή* και τοποθετούµε στα τετράγωνα που ορίζονται από τους αντίστοιχους όρους της συνάρτησης. * Η κανονική µορφή συνάρτησης αναφέρεται σε αθροίσµατα γινοµένων (ελαχιστόρων), που οι ελαχιστόροι της µπαίνουν στααντίστοιχατετραγωνάκιατου χάρτηµε. F(x,y) = xy + x y είναι σε κανονική µορφή F(x,y) = x + x yδενείναι σε κανονικήµορφή... την µετατρέπουµε ως εξής: x + x y = x(y+y ) + x y = xy+xy +x y Οι λογικές συναρτήσεις που προκύπτουν από πίνακες αληθείας είναι σε κανονική µορφή (άθροισµα ελαχιστόρων) Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 2 6

7 Χάρτες KRNUGH για Συναρτήσεις ύο Μεταβλητών + Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 3 Χάρτες KRNUGH για Συναρτήσεις Τριών Μεταβλητών Για συναρτήσεις τριών µεταβλητών ο χάρτης Karnaugh έχει την παρακάτω µορφή Β Τα τετραγωνάκια της αριστερής και της δεξιάς άκρης του χάρτη θεωρούνται ότι είναι γειτονικά, σαν να τυλίγεται γύρω από έναν κύλινδρο Μπορούν να δηµιουργηθούν οµάδες από: 4 µονάδες που αντιστοιχούν σε µια µεταβλητή 2 µονάδες που αντιστοιχούν σε δύο µεταβλητές Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 4 7

8 Χάρτες KRNUGH για Συναρτήσεις Τριών Μεταβλητών Πίνακας Αληθείας Παραγόµενοι Λογική Συνάρτηση Ψηφιακό Κύκλωµα Όροι X + Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 5 Χάρτες KRNUGH για Συναρτήσεις Τριών Μεταβλητών Πίνακας Αληθείας Παραγόµενοι Λογική Συνάρτηση Ψηφιακό Κύκλωµα Όροι X + + Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 6 8

9 Χάρτες KRNUGH για Συναρτήσεις Τεσσάρων Μεταβλητών Για συναρτήσεις τεσσάρων µεταβλητών ο χάρτης Karnaugh έχει την παρακάτω µορφή D Β Τα τετραγωνάκια της αριστερής, δεξιάς, πάνω και κάτω άκρης του χάρτη θεωρούνται ότι είναι γειτονικά, σαν να τυλίγεται γύρω από έναν κύλινδρο Μπορούν να δηµιουργηθούν οµάδες από: 8 µονάδες που αντιστοιχούν σε µια µεταβλητή 4 µονάδες που αντιστοιχούν σε δύο µεταβλητές 2 µονάδες που αντιστοιχούν σε τρεις µεταβλητές Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 7 Χάρτες KRNUGH για Συναρτήσεις Τεσσάρων Μεταβλητών Α Β D F D Β + D Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 8 9

10 Κυκλώµατα µε χρήση ΜΟΝΟ Πυλών NND Στο προηγούµενο παράδειγµα η λογική παράσταση του κυκλώµατος που προέκυψε ήταν ένα άθροισµα γινοµένων: + D δηλαδή απαιτούσε λογικές πύλες τριών διαφορετικών τύπων. Πολλές φορές έχουµε διαθέσιµο µόνο ένα τύπο λογικών πυλών (NND ή NOR) και χρειάζεται να υλοποιήσουµε το κύκλώµα µόνο µε αυτές. Από το γινόµενο αθροισµάτων που έχουµε βρεί αν κάνουµε ένα διπλό nverse και εφαρµόσουµε DeMorgan έχουµε το κύκλωµα µόνο µε πύλες NND. + D= D.µα είναι µόνο NND.. ή θέλουµε και nverters ; Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 9 Κυκλώµατα µε χρήση ΜΟΝΟ Πυλών NOR Για να προκύψει κύκλωµα µόνο µε πύλες NOR χρειαζόµαστε λογική παράσταση σε µορφή γινόµενο αθροισµάτων. Για να το πετύχουµε πρέπει να ξεκινήσουµε µε τα µηδενικά (αντί τις µονάδες) του χάρτη Karnaugh. Στο προηγούµενο παράδειγµα θα είχαµε: D Β F = D+ D F = F = D+ D = D D = ( + ( + D) ( + D) Από το άθροισµα γινοµένων που έχουµε βρεί αν κάνουµε ένα διπλό nverse και εφαρµόσουµε DeMorgan έχουµε το κύκλωµα µόνο µε πύλες NOR. ( + ( + D) ( + D) = ( + + ( + D) + ( + D) Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 2

11 Αδιάφοροι Όροι (Don t are) Πολλές φορές υπάρχουν σε µια συνάρτηση πλεονάζοντες όροι, των οποίων η τιµή δεν µας ενδιαφέρει αν θα είναι ή. Οι όροι αυτοί καλούνται αδιάφοροι όροι. Οι αδιάφοροι όροι παρίστανται µε το σύµβολο X. Παρ όλο πουητιµήτωναδιάφορωνόρωνδενέχει σηµασία, για τη λογική συνάρτηση, ωστόσο µπορούν να χρησιµοποιηθούν στην απλοποίηση της λογικής συνάρτησης. Γι αυτό τουςδίνουµεάλλοτετηντιµή και άλλοτε την τιµή, έτσι ώστε να σχηµατίσουµε όσο το δυνατόν λιγότερες και συγχρόνως µεγαλύτερες οµάδες γειτονικών τετραγωνιδίων στον πίνακα Karnaugh. Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 2 Αδιάφοροι Όροι (Don t are) Ας θεωρήσουµε το παρακάτω πίνακα αληθείας... Α Β F X Β X X F = + X Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 22

12 ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Τα συνδυαστικά κυκλώµατα είναι η µια από τις δύο µεγάλες κατηγορίες λογικών-ψηφιακών κυκλωµάτων. Η άλλη κατηγορία είναι τα ακολουθιακά κυκλώµατα (µε τα οποία θα ασχοληθούµε στη συνέχεια). Τα συνδυαστικά κυκλώµατα, τα οποία έχουν µία ή περισσότερες εισόδους και µία ή περισσότερες εξόδους, έχουν τις παρακάτω γενικές ιδιότητες: Η έξοδος κάθε κυκλώµατος εξαρτάται αποκλειστικά και µόνο από τις τιµές των µεταβλητών εισόδου. ηλαδή, κάθε φορά που αλλάζουµε τις τιµές, σε µία ή περισσότερες εισόδους, µεταβάλλεται και η τιµή της εξόδου του κυκλώµατος. Η έξοδος, σε σχέση µε την είσοδο, παρουσιάζει µία καθυστέρηση, η οποία εξαρτάται από τον αριθµό των λογικών πυλών που θα παρεµβληθούν µεταξύ της εισόδου και της εξόδου του λογικού κυκλώµατος, αλλά και από την καθυστέρηση που προκαλούν οι ίδιες οι πύλες του κυκλώµατος Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 23 Κύκλωµα Ηµιαθροιστή (Half dder) Χ Υ S X Y S S S = XY+ XY = X Y = XY Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 24 2

13 Κύκλωµα θροιστή (Full dder) X Y S Χ Υ S X Y H.. S = XY+ XY + XY + XY = ( XY + XY) + ( XY + XY ) = ( X Y) + ( X Y ) S = X Y H.. = XY + XY + XY + XY = ( XY + XY ) + XY( + ) = ( X Y) + XY n Sn Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 25 3