Αναλογικά & Ψηφιακά Κυκλώματα ιαφάνειες Μαθήματος ρ. Μηχ. Μαραβελάκης Εμ.

Transcript

1 ΝΑΛΟΓΙΚΑ Άλγεβρα Boole Αναλογικά & Ψηφιακά Κυκλώματα ιαφάνειες Μαθήματος ρ. Μηχ. Μαραβελάκης Εμ. ΝΑΛΟΓΙΚΑ Άλγεβρα Boole Οι αρχές της λογικής αναπτύχθηκαν από τον George Boole (85-884) και τον ugustus De Morgan. Εκατό χρόνια αργότερα ο Claude Shannon (ως μεταπτυχιακός φοιτητής στο MIT) έδειξε ότι η άλγεβρα Boole ήταν σχετική με την ανάλυση διακοπτικών (switching) κυκλωμάτων. Η άλγεβρα Boole αποτελεί τη μαθηματική βάση για την ηλεκτρονική επεξεργασία της δυαδικής πληροφορίας.

2 ΝΑΛΟΓΙΚΑ Ιδιότητες και κανόνες της άλγεβρας Boole Λογικές πράξεις με σταθερές. Λογικές πράξεις με μια μεταβλητή. Λογικές πράξεις με δυο ή περισσότερες μεταβλητές. Λογικές πράξεις με σταθερές ND OR NOT ΝΑΛΟΓΙΚΑ Λογικές πράξεις με μια μεταβλητή ND OR NOT Να αποδειχθούν οι σχέσεις: και Χρησιμοποιώντας πίνακα αληθείας 2

3 ΝΑΛΟΓΙΚΑ Αντιμεταθετική ιδιότητα Λογικές πράξεις-ιδιότητες με δυο ή περισσότερες μεταβλητές + B = B + B = B Απορροφητική ιδιότητα Προσεταιριστική ιδιότητα Επιμεριστική ιδιότητα Κανόνες De Morgan + ( B) = ( + B) = + (B + C) = ( + B) + C (B C) = ( B) C (B + C) = ( B) + ( C) + (B C) = ( + B) ( + C) B B B B ΝΑΛΟΓΙΚΑ Κανόνας ελαχιστοποίησης B+ B= ( + B) ( + B) = Να αποδειχθεί ότι: ( + B) ( + B) = ( + B)( + B) = + B+ B+ BB = + B+ B+ = + ( B+ B) = + = Να αποδειχθεί ότι: B B ( B) ( B) 3

4 ΝΑΛΟΓΙΚΑ B B ( B B) ( B) ( B) B ( B) ( B) χρήση του πίνακα αληθείας B +( B) B Τα θεωρήματα De Morgan είναι πιο σημαντικά στην λογική σχεδίαση όπου συσχετίζονται ND και NOR πύλες, ή OR και NND πύλες ΝΑΛΟΓΙΚΑ ιαδικασία σχεδίασης ψηφιακής λογικής συνάρτησης Με τον όρο σχεδιασμός ψηφιακής λογικής συνάρτησης, εννοείται ένας συνδυασμός λογικών πυλών για την πραγματοποίηση της επιθυμητής συνάρτησης, η συμπεριφοράς. Η διαδικασία σχεδίασης περιλαμβάνει τα παρακάτω βήματα: Σαφής διατύπωση της επιθυμητής συνάρτησης-συμπεριφοράς Πίνακας αληθείας Έκφραση της συνάρτησης υπό μορφή μεταβλητών (άλγεβρα Boole) Κατάλληλη επεξεργασία της συνάρτησης για την εξαγωγή μιας απλούστερης μορφής Υλοποίηση του ψηφιακού κυκλώματος με πύλες ΑND, OR και ΝΟΤ. Σε πολλές περιπτώσεις η υλοποίηση του κυκλώματος μπορεί να γίνει μόνο με πύλες NND, η μόνο με πύλες NOR. 4

5 ΝΑΛΟΓΙΚΑ Κανονικές μορφές λογικών συναρτήσεων Κανονική μορφή αθροίσματος ημιουργείται από τον πίνακα αληθείας και είναι το λογικό άθροισμα (δηλαδή συνδυάζονται υπό μορφή OR) όρων που είναι εκφράσεις ND των μεταβλητών εισόδου στην κανονική, ή συμπληρωματική τους μορφή ανάλογα με την τιμή που έχουν ( ή ). Οι όροι που συμπεριλαμβάνονται στο λογικό άθροισμα είναι οι όροι για τους οποίους η τελική συνάρτηση έχει τιμή D I Q=CF+CG+CED+BD+BEF+BEG B C E F G Q ΝΑΛΟΓΙΚΑ F= =, B= & C= =, B= & C= =, B= & C= F = BC+ BC+ BC B C F Σύντομη γραφή για την κανονική μορφή αθροίσματος BC BC BC F(BC) = BC + BC + BC F(BC) F( BC) 345 F(BC) (3,4,5) 5

6 ΝΑΛΟΓΙΚΑ Να γράψετε τις την μορφή αθροίσματος της συνάρτησης XOR Λύση Ο πίνακας αληθείας για τη πύλη XOR είναι: B F Για την κανονική μορφή αθροίσματος παίρνουμε τους όρους για F=: F= = & B= δίνει = & B= δίνει F B B B B ΝΑΛΟΓΙΚΑ ίνεται η λογική συνάρτηση: Q( BC)( BC)( BC) Να γίνει ο πίνακας αληθείας, να γραφεί η κανονική μορφή αθροίσματος, να απλοποιηθεί η σχέση χρησιμοποιώντας την άλγεβρα Boole και να σχεδιαστεί το ψηφιακό κύκλωμα που την υλοποιεί. Λύση: ( B C) B C ( B C) ( B C) Q BC BC BC BC BC 6

7 ΝΑΛΟΓΙΚΑ Q= BC + BC + BC + BC + BC Απλοποίηση Q BC ( ) ( BC BC BC BC ) BC BC BC BC BC BC BC B( C C) B( C C) BC ό ό OR Q = BC + Ψηφιακό κύκλωμα B B C C ND BC ΝΑΛΟΓΙΚΑ Να σχεδιαστεί το ψηφιακό κύκλωμα που υλοποιεί τον πίνακα αληθείας: B C F BC BC BC BC F BCBCBCBC 7

8 ΝΑΛΟΓΙΚΑ Ψηφιακό κύκλωμα χωρίς απλοποίηση F BCBCBCBCBC B + F C ΝΑΛΟΓΙΚΑ Ψηφιακό κύκλωμα με απλοποίηση F BCBCBCBCBC F B(C C) C(B B B) B C( B) αφού B B B B B B + B B C( + B) C C(+ B) 8

9 ΝΑΛΟΓΙΚΑ ΝΑΛΟΓΙΚΑ 9

10 ΝΑΛΟΓΙΚΑ ΝΑΛΟΓΙΚΑ (λειτουργία 2 από 3)

11 ΝΑΛΟΓΙΚΑ (λειτουργία 2 από 3) ΝΑΛΟΓΙΚΑ (λειτουργία 2 από 3)

12 ΝΑΛΟΓΙΚΑ (λειτουργία 2 από 3) ΝΑΛΟΓΙΚΑ (λειτουργία 2 από 3) 2

13 ΝΑΛΟΓΙΚΑ (έλεγχος συμφωνίας και των 3 αισθητηρίων) ΝΑΛΟΓΙΚΑ (έλεγχος συμφωνίας και των 3 αισθητηρίων) 3

14 ΝΑΛΟΓΙΚΑ (έλεγχος συμφωνίας και των 3 αισθητηρίων) ΝΑΛΟΓΙΚΑ (έλεγχος συμφωνίας και των 3 αισθητηρίων) 4