K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα

Transcript

1 K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

2 Λογικές πύλες Περιεχόμενα 1 Λογικές πύλες 2 Λογικά κυκλώματα 3 Στοιχεία άλγεβρας διακοπτών Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 2 / 59

3 Λογικές πύλες Γενικά Στην πράξη, τόσο οι βασικές όσο και οι δευτερογενείς πράξεις της άλγεβρας Boole εκτελούνται από απλά ηλεκτρονικά κυκλώματα τα οποία ονομάζονται λογικές πύλες Οι λογικές πύλες αποτελούν τα δομικά στοιχεία με τα οποία κατασκευάζονται πιο σύνθετα ψηφιακά κυκλώματα και συστήματα Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 3 / 59

4 Λογικές πύλες Διάκριση Οι λογικές πύλες διακρίνονται, αφενός, με βάση τη λογική πράξη (ή συνάρτηση) την οποία υλοποιούν και, αφετέρου, με βάση τον αριθμό των εισόδων τους Σε αντίθεση με τα λογικά κυκλώματα, τα οποία μπορεί να διαθέτουν περισσότερες από μία εξόδους, όλες οι λογικές πύλες διαθέτουν μία μοναδική έξοδο Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 4 / 59

5 Λογικές πύλες Λογικές πύλες μίας και δύο εισόδων σύμβολο ονομασία λογική συνάρτηση απομονωτής NOT (αναστροφέας) AND OR NAND NOR XOR f(x) = x f(x) = x f(x, y) = x y f(x, y) = x + y f(x, y) = x y f(x, y) = x + y f(x, y) = x y XNOR f(x, y) = x y Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 5 / 59

6 Λογικές πύλες Λογικές πύλες μίας και δύο εισόδων Παρατήρηση Γενικά, η παρουσία του συμβόλου της αναστροφής (κύκλου) σε κάποιον ακροδέκτη εισόδου ή εξόδου ενός ψηφιακού κυκλώματος υποδηλώνει την αντιστροφή (τη συμπλήρωση) του αντίστοιχου σήματος Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 6 / 59

7 Λογικές πύλες Εύρεση τιμής εξόδου λογικής πύλης Παράδειγμα y = 1 x = 0 x y x y = 0 1 = 0 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 7 / 59

8 Λογικές πύλες Εύρεση τιμής εξόδου λογικής πύλης Παράδειγμα y = 0 x = 1 x y x y = 1 0 = 1 1 = 1 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 8 / 59

9 Λογικές πύλες Πύλες με πολλές εισόδους σύμβολο ονομασία λογική συνάρτηση AND NOR f(x, y, z) = x y z f(x, y) = x + y + z 5 AND f(x 0, x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 6 OR f(x 0, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = 4 i=0 x i 5 i=0 x i Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 9 / 59

10 Λογικές πύλες Πύλες με πολλές εισόδους Ερώτηση Υπάρχουν λογικές πύλες NOT με δύο ή περισσότερες εισόδους; Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 10 / 59

11 Λογικές πύλες Ισοδυναμία λογικών πυλών Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 11 / 59

12 Λογικές πύλες Καθολικές λογικές πύλες Ο τύπος μιας λογικής συνάρτησης f μπορεί να περιέχει, γενικά, όλες τις βασικές λογικές πράξεις (, +, ) Παρόλα αυτά, μπορεί να αποδειχθεί πως οποιαδήποτε λογική συνάρτηση μπορεί να γραφεί, ισοδύναμα, μόνο με τη χρήση της λογικής πράξης NAND Το ίδιο ισχύει και για την λογική πράξη NOR Εξαιτίας της συγκεκριμένης παρατήρησης οι λογικές πράξεις NAND και NOR ονομάζονται καθολικές (universal), και με τον ίδιο τρόπο χαρακτηρίζονται οι αντίστοιχες λογικές πύλες Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 12 / 59

13 Λογικές πύλες Καθολικότητα της λογικής πύλης NAND Συμπλήρωμα Το συμπλήρωμα ενός στοιχείου x μπορεί να γραφτεί ως εξής: x = x x ή x = x 1 Αν χρησιμοποιήσουμε (αυθαίρετα) για την λογική πράξη NAND το σύμβολο, οι προηγούμενες ισοδύναμες εκφράσεις μπορούν να γραφτούν ως x = x x ή x = x 1 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 13 / 59

14 Λογικές πύλες Καθολικότητα της λογικής πύλης NAND ισοδύναμη πράξη βασική πράξη με χρήση αποκλειστικά της πράξης NAND ( ) υλοποίηση με έκφραση λογική πύλη έκφραση πύλες NAND x x x x x x x ή x 1 x 1 x Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 14 / 59

15 Λογικές πύλες Καθολικότητα της λογικής πύλης NAND Σύζευξη (AND) Η σύζευξη δύο στοιχείων x και y μπορεί να γραφτεί ως εξής: x y = x y = x y Λαμβάνοντας υπόψη τις εκφράσεις του συμπληρώματος με τη βοήθεια της πράξης NAND στις οποίες καταλήξαμε προηγούμενα, η τελευταία σχέση μπορεί να δώσει x y = (x y) (x y) ή x y = (x y) 1, από τις οποίες γίνεται φανερό πως και η πράξη της σύζευξης μπορεί να εκτελεστεί με τη βοήθεια της πράξης NAND Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 15 / 59

16 Λογικές πύλες Καθολικότητα της λογικής πύλης NAND ισοδύναμη πράξη βασική πράξη με χρήση αποκλειστικά της πράξης NAND ( ) έκφραση λογική πύλη έκφραση υλοποίηση με πύλες NAND x y x y x y (x y) (x y) x y x y ή (x y) 1 x y 1 x y Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 16 / 59

17 Λογικές πύλες Καθολικότητα της λογικής πύλης NAND Διάζευξη (OR) Η διάζευξη δύο στοιχείων x και y μπορεί να γραφτεί ως εξής: x + y = x + y Εφαρμόζοντας τον κανόνα του De Morgan, η τελευταία σχέση μπορεί να γραφτεί ως εξής: x + y = x y = x y Λαμβάνοντας υπόψη τις εκφράσεις του συμπληρώματος με τη βοήθεια της πράξης NAND στις οποίες καταλήξαμε προηγούμενα, η τελευταία σχέση μπορεί να δώσει x + y = (x x) (y y) ή x + y = (x 1) (y 1), από τις οποίες γίνεται φανερό πως και η πράξη της διάζευξης μπορεί να εκτελεστεί με τη βοήθεια της πράξης NAND Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 17 / 59

18 Λογικές πύλες Καθολικότητα της λογικής πύλης NAND ισοδύναμη πράξη βασική πράξη με χρήση αποκλειστικά της πράξης NAND ( ) έκφραση λογική πύλη έκφραση υλοποίηση με πύλες NAND x + y x y x + y (x x) (y y) x y x + y ή (x 1) (y 1) x 1 y 1 x + y Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 18 / 59

19 Λογικές πύλες Καθολικότητα της λογικής πύλης NOR Συμπλήρωμα Το συμπλήρωμα ενός στοιχείου x μπορεί να γραφτεί ως εξής: x = x + x ή x = x + 0 Αν χρησιμοποιήσουμε (αυθαίρετα) για την λογική πράξη NOR το σύμβολο +, οι προηγούμενες ισοδύναμες εκφράσεις μπορούν να γραφτούν ως x = x + x ή x = x + 0, από τις οποίες γίνεται φανερό πως η πράξη του συμπληρώματος μπορεί να εκτελεστεί με τη βοήθεια της πράξης NOR Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 19 / 59

20 Λογικές πύλες Καθολικότητα της λογικής πύλης NOR ισοδύναμη πράξη βασική πράξη με χρήση αποκλειστικά της πράξης NOR (+) υλοποίηση με έκφραση λογική πύλη έκφραση πύλες NOR x x x x + x x x ή x + 0 x 0 x Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 20 / 59

21 Λογικές πύλες Καθολικότητα της λογικής πύλης NOR Σύζευξη (AND) Η σύζευξη δύο στοιχείων x και y μπορεί να γραφτεί ως εξής: x y = x y Εφαρμόζοντας τον κανόνα του De Morgan, η τελευταία σχέση μπορεί να γραφτεί ως εξής: x y = x + y = x + y Λαμβάνοντας υπόψη τις εκφράσεις του συμπληρώματος με τη βοήθεια της πράξης NAND στις οποίες καταλήξαμε προηγούμενα, η τελευταία σχέση μπορεί να δώσει x y = (x + x) + (y + y) ή x y = (x + 0) + (y + 0), από τις οποίες γίνεται φανερό πως και η πράξη της σύζευξης μπορεί να εκτελεστεί με τη βοήθεια της πράξης NOR Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 21 / 59

22 Λογικές πύλες Καθολικότητα της λογικής πύλης NOR ισοδύναμη πράξη βασική πράξη με χρήση αποκλειστικά της πράξης NOR (+) έκφραση λογική πύλη έκφραση υλοποίηση με πύλες NOR x y x y x y (x + x) + (y + y) x y x y ή (x + 0) + (y + 0) x 0 y 0 x y Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 22 / 59

23 Λογικές πύλες Καθολικότητα της λογικής πύλης NOR Διάζευξη (OR) Η διάζευξη δύο στοιχείων x και y μπορεί να γραφτεί ως εξής: x + y = x + y = x + y Λαμβάνοντας υπόψη τις εκφράσεις του συμπληρώματος με τη βοήθεια της πράξης NOR στις οποίες καταλήξαμε προηγούμενα, η τελευταία σχέση μπορεί να δώσει x + y = (x + y) + (x + y) ή x + y = (x + y) + 0, από τις οποίες γίνεται φανερό πως και η πράξη της διάζευξης μπορεί να εκτελεστεί με τη βοήθεια της πράξης NOR Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 23 / 59

24 Λογικές πύλες Καθολικότητα της λογικής πύλης NOR ισοδύναμη πράξη βασική πράξη με χρήση αποκλειστικά της πράξης NOR (+) έκφραση λογική πύλη έκφραση υλοποίηση με πύλες NOR x + y x y x + y (x + y) + (x + y) x y x + y ή (x + y) + 0 x y 0 x + y Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 24 / 59

25 Λογικές πύλες Καθολικές λογικές πύλες Ερώτηση Μπορείτε να εξηγήσετε, διαισθητικά, γιατί μια πύλη AND δεν μπορεί να διαθέτει την ιδιότητα καθολικής πύλης; Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 25 / 59

26 Λογικές πύλες Καθολικές λογικές πύλες Άσκηση Να υλοποιήσετε μια πύλη XOR αποκλειστικά με πύλες NAND Υπόδειξη: x y = xy + xy = xy + xy = Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 26 / 59

27 Λογικές πύλες Καθολικές λογικές πύλες Άσκηση Να υλοποιήσετε μια πύλη XNOR αποκλειστικά με πύλες NOR Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 27 / 59

28 Λογικά κυκλώματα Περιεχόμενα 1 Λογικές πύλες 2 Λογικά κυκλώματα 3 Στοιχεία άλγεβρας διακοπτών Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 28 / 59

29 Λογικά κυκλώματα Γενικά Ένα λογικό κύκλωμα υλοποιεί μια λογική συνάρτηση Με τον όρο λογικό κύκλωμα αναφερόμαστε, συνήθως, σε συνδυαστικά κυκλώματα για τα οποία θα γίνει εκτενής αναφορά σε επόμενο μάθημα Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 29 / 59

30 Λογικά κυκλώματα Από τη λογική συνάρτηση στο λογικό κύκλωμα Η σχεδίαση του λογικού κυκλώματος το οποίο υλοποιεί μια δεδομένη λογική συνάρτηση μπορεί να γίνει έχοντας υπόψη μας τη λογική πράξη την οποία υλοποιεί κάθε λογική πύλη Σημείωση: Στα κυκλωματικά διαγράμματα, δύο γραμμές οι οποίες διασταυρώνονται θα θεωρείται πως συνδέονται μόνο αν στο σημείο της τομής τους υπάρχει το σύμβολο του κόμβου ( ) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 30 / 59

31 Λογικά κυκλώματα Από τη λογική συνάρτηση στο λογικό κύκλωμα Παράδειγμα Έστω η λογική συνάρτηση f(x, y, z) = y (xy + z) Θα σχεδιάσουμε λογικό κύκλωμα το οποίο να την υλοποιεί Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 31 / 59

32 Λογικά κυκλώματα Από τη λογική συνάρτηση στο λογικό κύκλωμα Ερώτηση Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί ο αριθμός των λογικών κυκλωμάτων τα οποία υλοποιούν μια λογική συνάρτηση είναι άπειρος; Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 32 / 59

33 Λογικά κυκλώματα Από τη λογική συνάρτηση στο λογικό κύκλωμα Άσκηση Έστω η λογική συνάρτηση f(x, y) = x + y x Να σχεδιάσετε λογικό κύκλωμα το οποίο να την υλοποιεί Όμοια για τη συνάρτηση f(x, y, z) = = x + y (x z), καθώς και για τη δυική της μορφή Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 33 / 59

34 Λογικά κυκλώματα Από τη λογική συνάρτηση στο λογικό κύκλωμα Άσκηση Έστω η λογική συνάρτηση f(x, y, z) = x + y (x z) Να σχεδιάσετε λογικό κύκλωμα το οποίο να την υλοποιεί, χρησιμοποιώντας μόνο πύλες NOT, AND και OR Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 34 / 59

35 Λογικά κυκλώματα Από το λογικό κύκλωμα στη λογική συνάρτηση Για τον προσδιορισμό της λογικής συνάρτησης η οποία υλοποιείται από ένα δεδομένο λογικό κύκλωμα ακολουθούμε διαδικασία αντίστροφη της προηγούμενης, τηρώντας τους κανόνες της αντιστοιχίας των λογικών πυλών με τις λογικές πράξεις Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 35 / 59

36 Λογικά κυκλώματα Από το λογικό κύκλωμα στη λογική συνάρτηση Παράδειγμα Έστω το λογικό κύκλωμα του πιο κάτω σχήματος Θα προσδιορίσουμε τη λογική συνάρτηση την οποία υλοποιεί x y y y x + y y z x + y y z y y (x + y y z) z y y z Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 36 / 59

37 Λογικά κυκλώματα Από το λογικό κύκλωμα στη λογική συνάρτηση Άσκηση Δίνεται το λογικό κύκλωμα του επόμενου σχήματος Να προσδιοριστεί η λογική συνάρτηση f(x, y, z) την οποία υλοποιεί x y f(x, y, z) z Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 37 / 59

38 Λογικά κυκλώματα Από το λογικό κύκλωμα στη λογική συνάρτηση Άσκηση Έστω λογικό κύκλωμα το οποίο προκύπτει από το λογικό κύκλωμα του σχήματος της προηγούμενης άσκησης, με την αντικατάσταση κάθε λογικής πύλης με τη συμπληρωματική της (πχ της πύλης AND με πύλη NAND, της πύλης OR με πύλη NOR, κοκ) Να σχεδιάσετε το νέο λογικό κύκλωμα, και να προσδιορίσετε τη λογική συνάρτηση f(x, y, z) την οποία υλοποιεί Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 38 / 59

39 Στοιχεία άλγεβρας διακοπτών Περιεχόμενα 1 Λογικές πύλες 2 Λογικά κυκλώματα 3 Στοιχεία άλγεβρας διακοπτών Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 39 / 59

40 Στοιχεία άλγεβρας διακοπτών Έννοια μηχανικού διακόπτη Αναφερόμενοι σε έναν διακόπτη θα εννοούμε κάθε διάταξη η οποία μπορεί να εισαχθεί σε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα ώστε να επιτρέπει ή να απαγορεύει τη διέλευση του ηλεκτρικού ρεύματος Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 40 / 59

41 Στοιχεία άλγεβρας διακοπτών Καταστάσεις μηχανικού διακόπτη Οι δυνατές καταστάσεις ενός διακόπτη Δ είναι δύο: Η κατάσταση ανοικτού διακόπτη (off), όπου ο διακόπτης απαγορεύει τη διέλευση του ηλεκτρικού ρεύματος Η κατάσταση κλειστού διακόπτη (on), όπου ο διακόπτης επιτρέπει τη διέλευση του ηλεκτρικού ρεύματος Δ Λ V out =0 Δ Λ V out =V I 0 R I 0 R α V β V Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 41 / 59

42 Στοιχεία άλγεβρας διακοπτών Καταστάσεις μηχανικού διακόπτη Ισοδύναμα, μπορούμε να πούμε πως στην κατάσταση ιδανικού ανοικτού διακόπτη το δυναμικό εξόδου (V out ) του κυκλώματος έχει τιμή μηδενική, ενώ στην κατάσταση κλειστού διακόπτη το δυναμικό εξόδου του κυκλώματος έχει τιμή ίση με την τάση τροφοδοσίας (V out =V) Δ Λ V out =0 Δ Λ V out =V I 0 R I 0 R α V β V Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 42 / 59

43 Στοιχεία άλγεβρας διακοπτών Καταστάσεις μηχανικού διακόπτη Χρησιμοποιώντας όρους από την άλγεβρα Boole, η κατάσταση ανοικτού διακόπτη θα αντιστοιχεί στο λογικό 0, ενώ η κατάσταση κλειστού διακόπτη στο λογικό 1 Το λογικό μηδέν αντιστοιχεί στην μηδενική τιμή του δυναμικού εξόδου, ενώ η λογική μονάδα αντιστοιχεί σε δυναμικό εξόδου ίσο με την τάση τροφοδοσίας Κυκλώματα αυτού του τύπου ονομάζονται κυκλώματα θετικής λογικής Υπάρχουν και κυκλώματα αρνητικής λογικής, για τα οποία ορίζουμε ως λογική μονάδα τη μηδενική τιμή του δυναμικού εξόδου, ενώ ως λογικό μηδέν την τιμή του δυναμικού εξόδου η οποία αντιστοιχεί στην τάση τροφοδοσίας του κυκλώματος Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 43 / 59

44 Στοιχεία άλγεβρας διακοπτών Υλοποίηση των λογικών πράξεων με κυκλώματα μηχανικών διακοπτών Σύζευξη (AND) Δ 1 Δ 2 Λ V out=0 Δ 1 Δ 2 Λ V out=0 I 0 R I 0 R α V β V Δ 1 Δ 2 Λ V out=0 Δ 1 Δ 2 Λ V out=v I 0 R I 0 R γ V δ V Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 44 / 59

45 Στοιχεία άλγεβρας διακοπτών Υλοποίηση των λογικών πράξεων με κυκλώματα μηχανικών διακοπτών Διάζευξη (OR) Δ1 Δ1 Δ2 Λ Vout=0 Δ2 Λ Vout=V I 0 R I 0 R α V β V Δ1 Δ1 Δ2 Λ Vout=V Δ2 Λ Vout=V I 0 R I 0 R γ V δ V Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 45 / 59

46 Στοιχεία άλγεβρας διακοπτών Υλοποίηση των λογικών πράξεων με κυκλώματα μηχανικών διακοπτών Συμπλήρωμα (NOT) R Δ Λ V V out=v α R Δ Λ V V out=0 β Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 46 / 59

47 Στοιχεία άλγεβρας διακοπτών Απόδειξη των ταυτοτήτων της άλγεβρας Boole μέσω της άλγεβρας διακοπτών Οι ταυτότητες της δίτιμης άλγεβρας Boole μπορούν να αποδειχθούν με τη βοήθεια της άλγεβρας των διακοπτών Θα παραθέσουμε, στη συνέχεια, μερικά αντιπροσωπευτικά παραδείγματα Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 47 / 59

48 Στοιχεία άλγεβρας διακοπτών Απόδειξη των ταυτοτήτων της άλγεβρας Boole μέσω της άλγεβρας διακοπτών Παράδειγμα Θα αποδείξουμε την ταυτότητα x + x = x x x Λ R V 0 I V out =0 α x x Λ R V 0 I V out =V β Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 48 / 59

49 Στοιχεία άλγεβρας διακοπτών Απόδειξη των ταυτοτήτων της άλγεβρας Boole μέσω της άλγεβρας διακοπτών Άσκηση Να σχεδιάσετε κύκλωμα μηχανικών διακοπτών το οποίο να επιβεβαιώνει την ταυτότητα x x = x και να εξηγήσετε τη λειτουργία του Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 49 / 59

50 Στοιχεία άλγεβρας διακοπτών Απόδειξη των ταυτοτήτων της άλγεβρας Boole μέσω της άλγεβρας διακοπτών Άσκηση Να σχεδιάσετε κύκλωμα μηχανικών διακοπτών το οποίο να επιβεβαιώνει την ταυτότητα x + x = 1 και να εξηγήσετε τη λειτουργία του Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 50 / 59

51 Στοιχεία άλγεβρας διακοπτών Απόδειξη των ταυτοτήτων της άλγεβρας Boole μέσω της άλγεβρας διακοπτών Άσκηση Να σχεδιάσετε κύκλωμα μηχανικών διακοπτών το οποίο να επιβεβαιώνει την ταυτότητα x x = 0 και να εξηγήσετε τη λειτουργία του Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 51 / 59

52 Στοιχεία άλγεβρας διακοπτών Απόδειξη των ταυτοτήτων της άλγεβρας Boole μέσω της άλγεβρας διακοπτών Παράδειγμα Θα αποδείξουμε την ταυτότητα x 1 = x 1 x Λ V out =0 1 x Λ V out =V I 0 R I 0 R α V β V Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 52 / 59

53 Στοιχεία άλγεβρας διακοπτών Απόδειξη των ταυτοτήτων της άλγεβρας Boole μέσω της άλγεβρας διακοπτών Άσκηση Να σχεδιάσετε κύκλωμα μηχανικών διακοπτών το οποίο να επιβεβαιώνει την ταυτότητα x + 1 = 1 και να εξηγήσετε τη λειτουργία του Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 53 / 59

54 Στοιχεία άλγεβρας διακοπτών Υλοποίηση λογικών συναρτήσεων με κυκλώματα μηχανικών διακοπτών Εφαρμόζοντας τις ίδιες αρχές με βάση τις οποίες σχεδιάσαμε κυκλώματα μηχανικών διακοπτών τα οποία υλοποιούν τις στοιχειώδεις λογικές πράξεις, μπορούμε να υλοποιήσουμε οποιαδήποτε λογική συνάρτηση Για την επιβεβαίωση του ισχυρισμού μας θα δώσουμε ορισμένα χαρακτηριστικά παραδείγματα Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 54 / 59

55 Στοιχεία άλγεβρας διακοπτών Υλοποίηση λογικών συναρτήσεων με κυκλώματα μηχανικών διακοπτών Παράδειγμα Έστω η λογική συνάρτηση f(x, y, z) = x + yz Θα σχεδιάσουμε κύκλωμα με μηχανικούς διακόπτες το οποίο να την υλοποιεί x y z Λ V out I 0 R V Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 55 / 59

56 Στοιχεία άλγεβρας διακοπτών Υλοποίηση λογικών συναρτήσεων με κυκλώματα μηχανικών διακοπτών Άσκηση Έστω η λογική συνάρτηση f(x, y, z) = x + y + z Να σχεδιάσετε κύκλωμα με μηχανικούς διακόπτες το οποίο να την υλοποιεί Όμοια για τη συνάρτηση f(x, y, z) = x y z Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 56 / 59

57 Στοιχεία άλγεβρας διακοπτών Υλοποίηση λογικών συναρτήσεων με κυκλώματα μηχανικών διακοπτών Παράδειγμα Έστω το κύκλωμα διακοπτών του σχήματος Θα προσδιορίσουμε τη λογική συνάρτηση την οποία υλοποιεί x y z w Λ V out I 0 R V Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 57 / 59

58 Στοιχεία άλγεβρας διακοπτών Υλοποίηση λογικών συναρτήσεων με κυκλώματα μηχανικών διακοπτών Άσκηση Έστω το κύκλωμα διακοπτών του σχήματος Να προσδιορίσετε τη λογική συνάρτηση την οποία υλοποιεί w y x y x z Λ V out I 0 R V Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 58 / 59

59 Στοιχεία άλγεβρας διακοπτών Υλοποίηση λογικών συναρτήσεων με κυκλώματα μηχανικών διακοπτών Άσκηση Έστω το κύκλωμα με λογικές πύλες του σχήματος Να βρεθεί ισοδύναμο κύκλωμα με μηχανικούς διακόπτες Ποια θα μπορούσε να είναι η χρησιμότητα του συγκεκριμένου κυκλώματος; x y f(x, y, z) z Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 6: Λογικές πύλες/κυκλώματα 59 / 59