Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Transcript

1 Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών

2 Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

3 Περιεχόµενα ενότητας 6 Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα 4 6. Οικογένειες καλών πυρήνων και προσεγγίσεων της µονάδας Cesàro αθροισιµότητα Ο πυρήνας του Fejér Χαρακτηρισµός των τριγωνοµετρικών σειρών που είναι σειρές Fourier Abel αθροισιµότητα και ο πυρήνας του Poisson Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

4 6 Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα 6. Οικογένειες καλών πυρήνων και προσεγγίσεων της µονάδας Σε αυτήν την παράγραφο ϑα ασχοληθούµε µε µέσες τιµές µιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης f οι οποίες προκύπτουν από την συνέλιξη της f (6..0.) ( f K δ )(x) = f (x y)k δ (y) dλ(y) µε µια οικογένεια (K δ ) συναρτήσεων οι οποίες ικανοποιούν κατάλληλες συνθήκες. Ορισµός 6.. (οικογένεια καλών πυρήνων). Μια οικογένεια (K δ ) δ>0 συναρτήσεων στο λέγεται οικογένεια καλών πυρήνων, ή πιο απλά πυρήνας, αν ικανοποιεί τα εξής: (i) Για κάθε δ > 0, (6..0.) K δ (y) dλ(y) =. (ii) Υπάρχει σταθερά M > 0 ώστε, για κάθε δ > 0, (6..0.3) K δ (y) dλ(y) M. (iii) Για κάθε η > 0, (6..0.4) lim δ 0 y η K δ (y) dλ(y) = 0. Η συνέλιξη f K δ µιας ϕραγµένης µετρήσιµης συνάρτησης f µε µια οικογένεια καλών πυρήνων (K δ ) δ>0 συγκλίνει στην f σε κάθε σηµείο στο οποίο η f είναι συνεχής: Θεώρηµα 6... Εστω {K δ } δ>0 µια οικογένεια καλών πυρήνων και έστω f : C ϕραγµένη µετρήσιµη συνάρτηση. Τότε, για κάθε x στο οποίο η f είναι συνεχής, έχουµε (6..0.5) lim δ 0 ( f K δ )(x) = f (x). Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι η f είναι συνεχής στο x και ϑεωρούµε τυχόν ε > 0. Από τη συνέχεια της f στο x, υπάρχει δ > 0 ώστε: αν y < η τότε f (x y) f (x) < ε. Χρησιµοποιώντας την ιδιότητα (i) της (K δ ), γράφουµε ( f K δ )(x) f (x) = K δ (y) f (x y) dλ(y) f (x) = K δ (y)[ f (x y) f (x)] dλ(y). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

5 Συνεπώς, ( f K δ )(x) f (x) = K δ (y)[ f (x y) f (x)] dλ(y) K δ (y) f (x y) f (x) dλ(y) y <η + K δ (y) f (x y) f (x) dλ(y). y η Για το πρώτο ολοκλήρωµα παρατηρούµε ότι: αν y < η τότε f (x y) f (x) < ε. Χρησιµοποιώντας και την ιδιότητα (ii) της (K δ ), παίρνουµε K δ (y) f (x y) f (x) dλ(y) ε K δ (y) dλ(y) Mε. y <η Για το δεύτερο ολοκλήρωµα χρησιµοποιούµε την υπόθεση ότι η f είναι ϕραγµένη και την ιδιότητα (iii) της (K δ ) για το συγκεκριµένο η: έχουµε K δ (y) f (x y) f (x) dλ(y) K δ (y) ( f (x y) + f (x) dλ(y) y η καθώς το δ 0. Συνεπώς, y η f y η (6..0.6) lim sup ( f K δ )(x) f (x) Mε, δ 0 K δ (y) dλ(y) 0 Αφού το ε > 0 ήταν τυχόν, συµπεραίνουµε ότι ( f K δ )(x) f (x) καθώς το δ 0. Ορισµός 6..3 (οικογένεια προσεγγίσεων της µονάδας). Μια οικογένεια (K δ ) δ>0 συναρτήσεων στο λέγεται οικογένεια προσεγγίσεων της µονάδας, ή πιο απλά προσέγγιση της µονάδας, αν ικανοποιεί τα εξής: (i) Για κάθε δ > 0, (6..0.7) K δ (y) dλ(y) =. (ii) Υπάρχει σταθερά M > 0 ώστε, για κάθε δ > 0 και για κάθε y, (6..0.8) K δ (y) M δ και, για κάθε δ > 0 και για κάθε y \ {0}, (6..0.9) K δ (y) Mδ y. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

6 Παρατηρήστε ότι η πρώτη ανισότητα στην (ii) είναι ισχυρότερη από την δεύτερη όταν y δ. Τελείως αντίστοιχα, η δεύτερη ανισότητα στην (ii) είναι ισχυρότερη από την πρώτη όταν y δ. Η επόµενη πρόταση δείχνει ότι οι υποθέσεις του Ορισµού 6..3 είναι ισχυρότερες από αυτές του Ορισµού 6... Πρόταση Κάθε οικογένεια (K δ ) δ>0 προσεγγίσεων της µονάδας είναι οικογένεια καλών πυρήνων. Απόδειξη. είχνουµε πρώτα ότι υπάρχει > 0 ώστε: για κάθε δ > 0, (6..0.0) K δ (y) dλ(y). Εστω δ > 0. Χρησιµοποιώντας την ιδιότητα (ii) των προσεγγίσεων της µονάδας, γράφουµε K δ (y) dλ(y) = K δ (y) dλ(y) + K δ (y) dλ(y) Αρα, έχουµε το Ϲητούµενο µε = 4M. y <δ M δ = M δ y <δ y <δ dλ(y) + Mδ y δ dλ(y) + Mδ = M δ + Mδ δ δ = 4M. y δ δ dλ(y) y dλ(y) y Για την τρίτη ιδιότητα της οικογένειας καλών πυρήνων, σταθεροποιούµε η > 0 και χρησιµοποιώντας την ιδιότητα (iii) των προσεγγίσεων της µονάδας, γράφουµε dλ(y) (6..0.) K δ (y) dλ(y) Mδ y = M η δ 0 y η y η καθώς το δ 0. Παραδείγµατα (α) Εστω φ : µια µη αρνητική, ϕραγµένη συνάρτηση που µηδενίζεται έξω από το [, ] και έχει ολοκλήρωµα (6..0.) φ(y) dλ(y) =. Για κάθε δ > 0 ορίζουµε K δ (y) = δ φ(δ y). Η (K δ ) δ>0 είναι οικογένεια προσεγγίσεων της µονάδας. (ϐ) Ο πυρήνας της ϑερµότητας H t στο ορίζεται ως εξής: (6..0.3) H t (y) = (4πt) / e y /4t. Η οικογένεια (H δ ) δ>0 είναι οικογένεια προσεγγίσεων της µονάδας. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

7 Το επόµενο ϐασικό ϑεώρηµα «επεκτείνει» το Θεώρηµα 6... Θεώρηµα Εστω (K δ ) δ>0 οικογένεια προσεγγίσεων της µονάδας. Για κάθε f L () ισχύει (6..0.4) lim δ 0 ( f K δ )(x) = f (x) σε κάθε σηµείο Lebesgue x της f. Συνεπώς, f K δ f σχεδόν παντού καθώς το δ 0. Για την απόδειξη του Θεωρήµατος 6..6 ϑα χρησιµοποιήσουµε το ακόλουθο λήµµα. Λήµµα Εστω f L () και έστω f Leb( f ). Ορίζουµε (6..0.5) A(r) = f (x y) f (x) dλ(y), r > 0. r y r Τότε, η συνάρτηση A είναι ϕραγµένη, συνεχής, και (6..0.6) lim r 0 A(r) = 0. Απόδειξη. είχνουµε πρώτα ότι η A(r) είναι συνεχής. Αρκεί να δείξουµε ότι η συνάρτηση r ra(r) είναι συνεχής σε κάθε r > 0. Θα χρησιµοποιήσουµε την απόλυτη συνέχεια του ολοκληρώµατος: αφού f L (), αν ϑεωρήσουµε µια ακολουθία r k r + τότε 0 r k A(r k ) ra(r) = = y r k f (x y) f (x) dλ(y) y r r< y r k f (x y) f (x) dλ(y) 0 f (x y) f (x) dλ(y) καθώς το k, διότι η y f (x y) f (x) είναι τοπικά ολοκληρώσιµη και λ({y : r < y r k }) 0 όταν k. Παρόµοιο επιχείρηµα δείχνει τη συνέχεια από αριστερά. Αφού x Leb( f ) έχουµε (6..0.7) lim λ(i ) 0 x I l(i) I f (z) f (x) dz = 0. Οµως, (6..0.8) A(r) = l(x r, x + r) x+r x r f (z) f (x) dz, άρα είναι ϕανερό ότι A(r) 0 καθώς το r 0. Η A είναι συνεχής και lim r 0 A(r) = 0. Συνεπώς, υπάρχει M > 0 ώστε 0 A(r) M για κάθε r [0, ]. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

8 Για r > γράφουµε A(r) = f (x y) f (x) dλ(y) r r y r x+r x r x+r x r f (z) dz + f (x) dλ(y) r y r f (z) dz + f (x) r r M := f + f (x). Επεται ότι 0 A(r) max{m, M } για κάθε r > 0. Απόδειξη του Θεωρήµατος Εστω ε > 0. Βρίσκουµε πρώτα N N ώστε (6..0.9) k=n k < ε. Στη συνέχεια, για κάθε δ > 0 γράφουµε ( f K δ )(x) f (x) f (x y) f (x) K δ (y) dλ(y) n y δ M δ + f (x y) f (x) K δ (y) dλ(y) y δ + k δ< y k+ δ f (x y) f (x) dλ(y) Mδ M A(δ) + k δ< y k+ δ Mδ ( k δ) f (x y) f (x) K δ (y) dλ(y) f (x y) f (x) y k+ δ Mδ = M A(δ) + ( k δ) (k+ δ)a( k+ δ) M = M A(δ) + k A(k+ δ) M A(δ) + k A(k+ δ), y dλ(y) f (x y) f (x) dλ(y) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

9 όπου M = M. Τώρα, χρησιµοποιούµε το γεγονός ότι A < και το γεγονός ότι lim δ 0 A(δ) = 0. Υπάρχει δ 0 > 0 ώστε για κάθε 0 < δ < δ 0 να έχουµε (6..0.0) A( k δ) < ε, k = 0,,..., N. 3 Τότε, για κάθε 0 < δ < δ 0 παίρνουµε ( f K δ )(x) f (x) M A(δ) + N N k A(k+ δ) + ε M 3 + ε k 3 + A [ ε M 3 + ε ] 3 + A ε = M ( + A )ε. k A(k+ δ) k=n k k=n Αφού το ε > 0 ήταν τυχόν, έπεται ότι lim δ 0 ( f K δ )(x) = f (x). Το τελευταίο ϑεώρηµα αυτής της παραγράφου αναφέρεται στη σύγκλιση της f K δ στην f ως προς την. Θεώρηµα Εστω (K δ ) δ>0 οικογένεια καλών πυρήνων. Για κάθε f L () και για κάθε δ > 0, η συνέλιξη (6..0.) ( f K δ )(x) = f (x y)k δ (y) dλ(y) είναι ολοκληρώσιµη συνάρτηση στον n, και (6..0.) ( f K δ ) f 0 καθώς το δ 0. n Απόδειξη. Εστω ε > 0. Για κάθε δ > 0 γράφουµε ( f K δ ) f = ( f K δ )(x) f (x) dλ(x) = = f (x y) f (x) K δ (y) dλ(y) dλ(x) f (x y) f (x) dλ(x) f y f K δ (y) dλ(y), όπου f y (x) = f (x y). Τώρα, χρησιµοποιούµε το γεγονός ότι (6..0.3) lim y 0 f y f = 0 (ϐλέπε Κεφάλαιο 4). ηλαδή, υπάρχει η > 0 ώστε (6..0.4) y < η = f y f < ε. K δ (y) dλ(y) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

10 Τότε, χρησιµοποιώντας και την f y f f y + f = f, έχουµε ( f K δ ) f f y f K δ (y) dλ(y) + f y f K δ (y) dλ(y) y <η y η ε K δ (y) dλ(y) + f K δ (y) dλ(y) n y η Mε + f K δ (y) dλ(y), y η όπου M := sup K δ < (αφού η (K δ ) είναι πυρήνας). Αφήνοντας το δ 0 και χρησιµοποιώντας την (6..0.5) lim K δ (y) dλ(y) = 0, παίρνουµε δ 0 y η (6..0.6) lim sup δ 0 ( f K δ ) f Mε, και αφού το ε > 0 ήταν τυχόν, συµπεραίνουµε ότι ( f K δ ) f 0 καθώς το δ Cesàro αθροισιµότητα Ορισµός 6... Εστω {c k } ακολουθία µιγαδικών αριθµών. Λέµε ότι η {c k } συγκλίνει κατά Cesàro στον l C αν η ακολουθία (6..0.7) C k := c + + c k k καθώς το k. l Πρόταση 6... Αν lim k c k = l τότε η {c k } συγκλίνει κατά Cesàro στον l. Απόδειξη. Κάνουµε πρώτα την επιπλέον υπόθεση ότι c k 0 και δείχνουµε ότι C k 0. Θεωρούµε ε > 0 και ϐρίσκουµε k (ε) N µε την ιδιότητα: για κάθε k k ισχύει c k < ε/. Τότε, για κάθε k > k έχουµε (6..0.8) C k c + + c k k + k k k ε < c + + c k + ε k. Ο A := c + + c k εξαρτάται από το ε. Επιλέγουµε k (A) = k (ε) N µε την ιδιότητα: για κάθε k k, (6..0.9) c + + c k k Αν ϑέσουµε k 0 = max{k, k } τότε, για κάθε k k 0, = A k < ε. ( ) C k A k + ε < ε. Αρα, C k 0. Για τη γενική περίπτωση εφαρµόζουµε το προηγούµενο στην ακολουθία c k := c k l. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 0

11 Παρατήρηση Το αντίστροφο δεν ισχύει. Η ακολουθία c k = + ( ) k αποκλίνει, αλλά συγκλίνει κατά Cesàro στο. Ορισµός Εστω {c k } ακολουθία µιγαδικών αριθµών. Ορίζουµε (6..0.3) s n = n c k και σ n = n k= n s k. k= Λέµε ότι η σειρά k= c k συγκλίνει κατά Cesàro στον s C αν (6..0.3) lim n σ n = s. Παρατήρηση Από την Πρόταση 6.. έπεται ότι: αν lim s n = s τότε lim σ n = s, άρα η σειρά c k n n k= συγκλίνει κατά Cesàro στον s. Από την άλλη πλευρά, αν z, z =, και αν ορίσουµε c k = z k, k 0, τότε η σειρά διότι c k 0, όµως n ( ) lim σ n = lim n n n ηλαδή, η σειρά z k συγκλίνει κατά Cesàro στον z. k s=0 z k = z. c k αποκλίνει 6.3 Ο πυρήνας του Fejér Ορισµός 6.3. (Cesàro µέσοι). Εστω f L (). Το n-οστό µερικό άθροισµα της σειράς Fourier της f ορίστηκε ως εξής: ( ) s n ( f, x) = n k= n f (k)e ik x. Ο n-οστός Cesàro µέσος της σειράς Fourier της f ορίζεται από την ( ) σ n ( f, x) = s 0( f, x) + s ( f, x) + + s n ( f, x), n. n Μπορούµε να εκφράσουµε την σ n ( f, t) σε κλειστή µορφή, γράφοντας σ n ( f, x) = n = n = n n m=0 n s m ( f, x) m m=0 k= m n k= (n ) f (k)e ik x n m= k f (k)e ik x Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

12 = n = n k= (n ) n k= (n ) (n k ) f (k)e ik x ( k ) n f (k)e ik x. εδοµένου ότι ( ) s m ( f, x) = ( f D m )(x) όπου D m είναι ο m-οστός πυρήνας του Dirichlet, µπορούµε επίσης να γράψουµε ( ) σ n ( f, x) = n ( f D m )(x) = n m=0 ( f D ) 0 + D + + D n (x). n Ορισµός 6.3. (πυρήνας Fejér). Ο n-οστός πυρήνας του Fejér είναι το τριγωνοµετρικό πολυώνυµο ( ) F n (x) = n Παρατηρήστε ότι ( ) F n (x) = n n m m=0 k= m e ik x = n m=0 D m (x). n k= (n ) ( k ) e ik x. n Μπορούµε επίσης να εκφράσουµε τον F n σε κλειστή µορφή, χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι ( ) D m (x) = ημ ( ) m + x ημ x. Γράφουµε F n (x) = n = = n m=0 Συνεπώς, έχουµε το εξής: n ημ (x/) ημ ( m + ) x ημ x = n ημ (x/) n m=0 n [συν(mx) συν(m + )x] = m=0 n ημ (x/) ημ (nx/) = n Λήµµα Για κάθε n και για κάθε x, ( ) F n (x) = και n k= (n ) ημ x ( ημ m + ) x ( ημ ) (nx/). ημ(x/) ( k ) e ik x n n ημ [ συν(nx)] (x/) ( ) F n (x) = n ( ) ημ(nx/). ημ(x/) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

13 Παρατηρήσεις Από το Λήµµα είναι ϕανερό ότι ο πυρήνας του Fejér F n είναι µη αρνητική άρτια συνάρτηση. Λόγω της F n ( x) = F n (x), έχουµε ( ) F n (x) dλ(x) = π π 0 F n (x) dλ(x) =. Επίσης, Τέλος, για κάθε 0 < x < π έχουµε 0 F n (x) n n m=0 D m (x) n (m + ) n m=0 = [n(n ) + n] = n. n ( ) 0 F n (x) = n ( ) ημ(nx/) ημ(x/) n (x/π) = π nx. Για τους Cesàro µέσους σ n ( f, x) ϑα χρησιµοποιούµε συχνά την αναπαράσταση ( ) σ n ( f, x) = f (x t)f n (t) dλ(t) = ( ) f (x + t) + f (x t) F n (t) dλ(t) ή την ( ) σ n ( f, x) = π 0 ( f (x + t) + f (x t)) F n (t) dλ(t). Οι σχέσεις αυτές προκύπτουν άµεσα από το γεγονός ότι η F n είναι άρτια συνάρτηση (µε απλές αλλαγές µεταβλητής). Θεώρηµα (Fejér). Εστω f L () και έστω x. Αν τα πλευρικά όρια f (x + 0) και f (x 0) υπάρχουν, τότε ( ) σ n ( f, x) f (x + 0) + f (x 0) καθώς το n. Ειδικότερα, αν η f είναι συνεχής σε κάθε σηµείο ενός κλειστού διαστήµατος I, τότε σ n ( f, x) f (x) οµοιόµορφα στο I. Απόδειξη. Γράφουµε σ n ( f, x) f (x) = π = π π 0 π 0 ( f (x + t) + f (x t) ( f (x + t) f (x + 0) + ) f (x + 0) + f (x 0) ) f (x t) f (x 0) F n (t)dλ(t) F n (t)dλ(t). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

14 Εστω ε > 0. Υπάρχει δ > 0 ώστε f (x + t) f (x + 0) < ε και f (x t) f (x 0) < ε για κάθε t (0, δ). Αρα, π δ 0 Στο (δ, π) έχουµε ( f (x + t) f (x + 0) + π π δ 0 δ 0 ) f (x t) f (x 0) ( f (x + t) f (x + 0) + ε F n (t) dλ(t) ε. ( ) F n (t) π nδ. Συνεπώς, F n (t)dλ(t) ) f (x t) f (x 0) F n (t)dλ(t) π π δ ( f (x + t) f (x + 0) + ) f (x t) f (x 0) π π ( f (x + t) f (x + 0) nδ π δ M( f ) nδ 0 + F n (t)dλ(t) f (x t) f (x 0) ) dλ(t) καθώς το n. Αρα, ( ) lim sup σ n ( f, x) f (x) ε n και έπεται το Ϲητούµενο. Στην περίπτωση που η f είναι συνεχής σε κάθε σηµείο ενός κλειστού διαστήµατος I, από την οµοιόµορφη συνέχεια της f στο I ϐλέπουµε ότι η επιλογή του δ στο παραπάνω επιχείρηµα f (x+0)+ f (x 0) είναι ανεξάρτητη από το x I (εξαρτάται µόνο από το ε), άρα σ n ( f, x) f (x) = οµοιόµορφα στο I. Ενα πόρισµα του Θεωρήµατος είναι η πυκνότητα των τριγωνοµετρικών πολυωνύµων στον (C(), ) και στον (L (), ) που είχε χρησιµοποιηθεί για την απόδειξη του λήµµατος iemann-lebesgue. Θεώρηµα Για κάθε g C() και για κάθε ε > 0 υπάρχει τριγωνοµετρικό πολυώνυµο q ε ώστε ( ) g q ε < ε. Επίσης, για κάθε p <, για κάθε f L p () και για κάθε ε > 0 υπάρχει τριγωνοµετρικό πολυώνυµο q ε ώστε ( ) f q ε p < ε. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

15 Απόδειξη. Γνωρίζουµε ότι η σ n (g) = g F n είναι τριγωνοµετρικό πολυώνυµο, ως συνέλιξη µιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης µε το τριγωνοµετρικό πολυώνυµο F n. Από το προηγούµενο ϑεώρηµα έχουµε ότι σ n (g) g οµοιόµορφα, διότι η g είναι συνεχής. ηλαδή, g σ n (g) 0. Για το τυχόν λοιπόν ε > 0 έχουµε ( ) g σ n (g) < ε αν το n είναι αρκετά µεγάλο. Αυτό αποδεικνύει τον πρώτο ισχυρισµό. Για τον δεύτερο, έστω f L p () και ε > 0. Μπορούµε να ϐρούµε g C() ώστε f g p < ε/. Στη συνέχεια, ϑεωρούµε τριγωνοµετρικό πολυώνυµο q ε ώστε g q ε < ε/. Αφού ( ) g q ε p = g(x) q ε (x) p dλ(x) /p g q ε < ε/, ο ισχυρισµός έπεται από την τριγωνική ανισότητα για την p. Παρατήρηση Για κάθε n ορίζουµε δ n = n και K δ n = F n. Η οικογένεια {K δn } είναι προσέγγιση της µονάδας (στο ). Πράγµατι, για κάθε n ισχύει ( ) K δn (t)dλ(t) = F n (t)dλ(t) =. π Επίσης, ( ) K δn (t) = F n (t) n = δ n και, για κάθε 0 < t < π, έχουµε ( ) K δn (t) = F n (t) π nt = π δ n t. Από τα αποτελέσµατα της Παραγράφου 6. (ή µια απλή παραλλαγή της απόδειξής τους) έχουµε το εξής ϑεώρηµα που «συµπληρώνει» το Θεώρηµα 6.3.5: Θεώρηµα Εστω f L (). Για κάθε x Leb( f ) ισχύει σ n ( f, x) f (x) καθώς το n. Ειδικότερα, σ n ( f, x) f (x) σχεδόν παντού στο. Το επόµενο ϑεώρηµα αναφέρεται στην L p -σύγκλιση των Cesàro µέσων σ n ( f ) στην f. Θεώρηµα Εστω p <. Για κάθε f L ( ) ισχύει ( ) lim n σ n ( f ) f p = 0. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

16 Απόδειξη. Γράφουµε σ n ( f ) f p = = /p σ n ( f, x) f (x) p dx ( f (x + t) f (x))f n (t) dλ(t) π p /p dx. Υπάρχει h L q (), όπου q είναι ο συζυγής εκθέτης του p, τέτοια ώστε h q = και p ( f (x + t) f (x))f n (t) dλ(t) dx = h(x) ( f (x + t) f (x))f n (t) dλ(t) dλ(x) = h(x)( f (x + t) f (x)) dλ(x) F n (t) dλ(t) /p h q f (x + t) f (x) p dλ(x) F n (t) dλ(t) = /p f (x + t) f (x) p dλ(x) /p F n (t) dλ(t) όπου χρησιµοποιήσαµε το ϑεώρηµα Fubini και την ανισότητα Hölder. Αν ϑέσουµε f t (x) = f (x + t), συνδυάζοντας τα παραπάνω έχουµε ( ) σ n ( f ) f p f t f p F n (t) dλ(t). Ορίζουµε A(t) = f t f p. Γνωρίζουµε ότι η A είναι συνεχής στο 0, άρα ( ) σ n (A, 0) A(0) = 0 καθώς το n. Οµως, σ n (A, 0) = = A(t)F n ( t) dλ(t) = f t f p F n (t) dλ(t), A(t)F n (t) dλ(t) άρα ( ) σ n ( f ) f p σ n (A, 0) και έπεται το συµπέρασµα. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

17 Παρατηρήστε ότι το Θεώρηµα έχει ως συνέπεια το δεύτερο µέρος του Θεωρήµατος είχνει επίσης ότι η απεικόνιση f { f (k)} k= είναι -. Θεώρηµα (µοναδικότητα). Εστω f L (). Αν f (k) = 0 για κάθε k Z, τότε f 0. Απόδειξη. Αφού f (k) = 0 για κάθε k, έχουµε ( ) σ n ( f, x) = n k= (n ) ( k ) n f (k)e ik x = 0 για κάθε n, δηλαδή σ n ( f ) 0. Από το Θεώρηµα ϐλέπουµε ότι ( ) f p = σ n ( f ) f p 0. Αρα, f p = 0 και αυτό δείχνει ότι f Χαρακτηρισµός των τριγωνοµετρικών σειρών που είναι σειρές Fourier Σε αυτήν την παράγραφο εξετάζουµε αν υπάρχουν κάποια απλά κριτήρια τα οποία να µας επιτρέπουν να δούµε αν κάποια τριγωνοµετρική σειρά είναι η σειρά Fourier µιας συνάρτησης f L p (). Θεωρούµε λοιπόν µια τριγωνοµετρική σειρά ( ) k= c k e ikt και τους Cesàro µέσους ( ) σ n (t) = της σειράς ( ). n k= (n ) ( k ) c k e ikt. n Θεώρηµα Η ( ) είναι η σειρά Fourier µιας συνεχούς συνάρτησης f C() αν και µόνο αν η ακολουθία συναρτήσεων {σ n } των Cesàro µέσων της συγκλίνει οµοιόµορφα στο. Απόδειξη. Υποθέτουµε πρώτα ότι υπάρχει f C() ώστε f (k) = c k για κάθε k Z. Τότε, ( ) σ n (x) = σ n ( f, x). Από το Θεώρηµα συµπεραίνουµε ότι σ n f οµοιόµορφα στο. Αντίστροφα, έστω ότι η {σ n } συγκλίνει οµοιόµορφα σε κάποια συνάρτηση f στο. Η f είναι συνεχής ως οµοιόµορφο όριο τριγωνοµετρικών πολυωνύµων. Παρατηρούµε ότι, για κάθε k Z, αν ϑεωρήσουµε n > k τότε ( ) ( k ) c k = n σ n (x)e ik x dλ(x). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

18 Καθώς το n έχουµε ( ) ( k ) c k c k n και, αφού σ n f οµοιόµορφα, ( ) σ n (x)e ik x dλ(x) f (x)e ik x dλ(x) = f (k). Επεται ότι c k = f (k) για κάθε k, δηλαδή η ( ) είναι η σειρά Fourier της f. Στη συνέχεια µελετάµε την περίπτωση < p <. Θεώρηµα Εστω < p <. Η ( ) είναι η σειρά Fourier µιας συνάρτησης f L p () αν και µόνο αν η ακολουθία {σ n } των Cesàro µέσων της είναι ϕραγµένη στον L p (). ηλαδή, αν υπάρχει M > 0 ώστε σ n p M για κάθε n. Απόδειξη. Παρατηρούµε πρώτα ότι σ n ( f ) p = σ n ( f, x) p dλ(x) = p /p f (x + t)f n (t) dλ(t) dλ(x) /p f (x + t) p dλ(x) F n (t) dλ(t) = f t p F n (t) dλ(t), όπου f t (x) = f (x +t), χρησιµοποιώντας τον δυϊσµό όπως και στην απόδειξη του Θεωρήµατος Αφού f t p = f p για κάθε t, συµπεραίνουµε ότι ( ) σ n ( f ) p f p F n (t) dλ(t) = f p για κάθε n N. Για την αντίστροφη κατεύθυνση ϑα χρησιµοποιήσουµε το εξής: αν < p < και { f n } είναι µια ϕραγµένη ακολουθία στον L p () τότε υπάρχει υπακολουθία { f kn } της { f n } η οποία συγκλίνει ασθενώς σε κάποια g L p (): αυτό σηµαίνει ότι ( ) f kn (x)h(x) dλ(x) /p g(x)h(x) dλ(x) για κάθε h L q (), όπου q είναι ο συζυγής εκθέτης του p. Μια άµεση απόδειξη αυτού του ισχυρισµού έχουµε αν σκεφτούµε ότι η µοναδιαία µπάλα B p του L p () είναι ασθενώς συµπαγής (διότι ο L p είναι Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

19 αυτοπαθής χώρος, άρα ισοδύναµα µιλάµε για τη µοναδιαία µπάλα του (L q ()) µε την w -τοπολογία). Επίσης, η ασθενής τοπολογία στην B p είναι µετρικοποιήσιµη διότι αναφερόµαστε σε διαχωρίσιµους χώρους. Εφαρµόζουµε λοιπόν αυτό το αποτέλεσµα για την { f n } η οποία περιέχεται σε κάποιο πολλαπλάσιο της B p. Υποθέτουµε ότι η {σ n ( f )} είναι ϕραγµένη στον L p (). Τότε, υπάρχει υπακολουθία {σ kn ( f )} της {σ n ( f )} η οποία συγκλίνει ασθενώς σε κάποια g L p (): για κάθε h L q (), ( ) σ kn ( f, x)h(x) dλ(x) g(x)h(x) dλ(x). Οπως και στην προηγούµενη απόδειξη, παρατηρούµε ότι, για κάθε m Z, αν ϑεωρήσουµε k n > m τότε ( ) ( m ) c m = k n σ kn ( f, t)e imt dλ(t). Καθώς το n έχουµε ( ) ( m ) c m c m k n + και, αφού η t e imt ανήκει στον L q (), ( ) σ kn ( f, t)e imt dλ(t) g(t)e imt dλ(t) = ĝ(m). Επεται ότι c m = ĝ(m) για κάθε m, δηλαδή η ( ) είναι η σειρά Fourier της g. 6.5 Abel αθροισιµότητα και ο πυρήνας του Poisson Μια σειρά µιγαδικών αριθµών ( ) A(r) = συγκλίνει, και c k λέγεται Abel αθροίσιµη στον s C αν για κάθε 0 r < η σειρά c k r k ( ) lim A(r) = s. r Οι ποσότητες A(r) λέγονται Abel µέσοι της σειράς c k. Αποδεικνύεται ότι αν η σειρά στον s τότε είναι και Abel αθροίσιµη στον s. Αποδεικνύεται επίσης ότι αν η σειρά αθροίσιµη στον s τότε είναι και Abel αθροίσιµη στον s. Το παράδειγµα της σειράς ( ) ( ) k (k + ) = c k συγκλίνει c k είναι Cesàro Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

20 δείχνει ότι µια σειρά µπορεί να είναι Abel αθροίσιµη χωρίς να είναι Cesàro αθροίσιµη. Μπορεί κανείς να ελέγξει ότι ( ) A(r) = ( ) k (k + )r k = ( + r) για κάθε 0 r <, συνεπώς ( ) lim r A(r) = 4. Οµως, η σειρά αυτή δεν είναι Cesàro αθροίσιµη: ϑα έπρεπε να ισχύει lim n (s n /n) = 0. Για αποδείξεις των παραπάνω ισχυρισµών παραπέµπουµε στο Παράρτηµα και τις σχετικές ασκήσεις. Ορισµός 6.5. (πυρήνας του Poisson). Για κάθε 0 r < ϑεωρούµε τη συνάρτηση P r : [ π, π] C που ορίζεται µέσω της ( ) P r (x) = k= r k e ik x. Χρησιµοποιώντας το κριτήριο του Weierstrass ϐλέπουµε ότι η σειρά στο δεξιό µέλος συγκλίνει απολύτως για κάθε x και οµοιόµορφα σαν σειρά συναρτήσεων στο [ π, π]. Η συνάρτηση P r λέγεται r-πυρήνας του Poisson. Από την οµοιόµορφη σύγκλιση της σειράς ( ) έπεται (εξηγήστε γιατί) ότι ( ) P r (k) = r k, k Z. Μπορούµε να δείξουµε ότι ο πυρήνας P r παίρνει µη αρνητικές πραγµατικές τιµές: δίνεται µάλιστα από την ( ) P r (x) = r r συν x + r. Για την απόδειξη της τελευταίας ισότητας ϑέτουµε ω = re ix. Τότε, P r (x) = = r k (e ix ) k + ω k + = ω ω. k= ω s = s= r k (e ix ) k = ω + ω ω (re ix ) k + (re ix ) s s= = ω + ( ω)ω ( ω)( ω) εδοµένου ότι ω = r και ω = re ix = ( r συν x) ir ημ x, καταλήγουµε στην ( ) P r (x) = r ( r συν x) + r ημ x = r r συν x + r. Θα αποδείξουµε ότι η οικογένεια {P r } 0 r είναι οικογένεια καλών πυρήνων. εδοµένου ότι το σύνολο δεικτών είναι τώρα το διάστηµα [0, ), αυτό που χρειάζεται να τροποποιήσουµε είναι η τρίτη συνθήκη του ορισµού. Ουσιαστικά Ϲητάµε το εξής: για κάθε ακολουθία {r n } στο [0, ) µε r n, Ϲητάµε η ακολουθία {P rn } n= να είναι ακολουθία καλών πυρήνων. Η δεύτερη συνθήκη του ορισµού είναι άµεση συνέπεια της πρώτης συνθήκης, διότι οι P r παίρνουν µη αρνητικές πραγµατικές τιµές. Αποδεικνύουµε λοιπόν την εξής πρόταση. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 0

21 Πρόταση Για κάθε 0 r < έχουµε ( ) π π P r (x) dλ(x) =, και για κάθε 0 < δ < π ισχύει ότι ( ) lim r δ x π P r (x) dλ(x) = 0. Απόδειξη. Εστω 0 r <. Αφού η σειρά συναρτήσεων P r (x) = στο [ π, π], έχουµε ( ) π π P r (x) dλ(x) = k= r k π π k= e ik x dλ(x) = r0 r k e ik x συγκλίνει οµοιόµορφα π π e 0 dλ(x) =, π χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι e ik x dλ(x) = 0 αν k 0. Εστω τώρα 0 < δ < π και έστω / r <. π Εχουµε ( ) r συν x + r = ( r) + r( συν x) ( r) + r( συν δ) c δ = συν δ > 0 για κάθε δ x π (διότι συν x συν δ). Συνεπώς, r ( ) 0 P r (x) dλ(x) δ x π δ x π c δ dλ(x) c δ ( r ) 0 όταν r. Επεται το συµπέρασµα της πρότασης. Ορισµός (Abel µέσοι της f ). Εστω f L (). Για κάθε 0 r < ορίζουµε τον r-abel µέσο της f µέσω της ( ) A r ( f )(x) = k= r k f (k)e ik x. Αφού η ακολουθία { f (k) } είναι ϕραγµένη, το κριτήριο του Weierstrass δείχνει ότι η σειρά συναρτήσεων στο δεξιό µέλος συγκλίνει οµοιόµορφα στον. Παρατηρήστε ότι A r ( f )(x) είναι ο r-abel µέσος της σειράς Fourier S( f ) της f. Λόγω της οµοιόµορφης σύγκλισης της σειράς ( ), µπορούµε να γράψουµε A r ( f )(x) = k= r k f (k)e ik x = r k k= = π π f (y) π π k= f (y)e iky dλ(y) e ik x r k e ik(y x) dλ(y) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

22 = π π = ( f P r )(x). f (y)p r (x y) dλ(y) Αφού η {P r } είναι οικογένεια καλών πυρήνων, παίρνουµε αµέσως το εξής. Θεώρηµα Εστω f L (). Τότε, η σειρά Fourier S( f ) της f είναι Abel αθροίσιµη στην f σε κάθε σηµείο συνέχειας της f : αν η f είναι συνεχής στο x, τότε ( ) A r ( f )(x) f (x). Επιπλέον, αν η f είναι συνεχής σε κάθε x, τότε η σειρά Fourier S( f ) της f είναι οµοιόµορφα Abel αθροίσιµη στην f : δηλαδή, ( ) A r ( f ) οµ f. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα