5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές."

Transcript

1 5 Σειρές Taylor και Lauret Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές Σειρές Taylor και Lauret Θεωρούµε µια δυναµοσειρά ( ) a a µε κέντρο δοθέν σηµείο Υπενθυµίζουµε ότι για µια τέτοια δυναµοσειρά υπάρχει πάντα ένας αριθµός R + που καλείται ακτίνα σύγκλισης της δυναµοσειράς τέτοιος ώστε η δυναµοσειρά να συγκλίνει απόλυτα για κάθε < R και οµοιόµορφα σε κάθε κλειστό δίσκο R< R και η δυναµοσειρά να αποκλίνει για κάθε > R Για την εύρεση της ακτίνας σύγκλισης υπενθυµίζουµε την ακόλουθη: Πρόταση 5 Η ακτίνα σύγκλισης µιας δυναµοσειράς ( ) δίνεται από τη σχέση R lim a a + η R lim a υπό την προϋπόθεση ότι τα παραπάνω όρια υπάρχουν a a Σηµείωση: H οµοιόµορφη σύγκλιση ακολουθιών συναρτήσεων είναι µια έννοια ισχυρότερη της σύγκλισης η οποία επιτρέπει τη µεταφορά επιθυµητών ιδιοτήτων των όρων της ακολουθίας στην οριακή συνάρτηση Πιο συγκεκριµένα ισχύει: Αν µια ακολουθία f ( ) (ή σειρά f ) συνεχών συναρτήσεων 7

2 συγκλίνει οµοιόµορφα σε µια οριακή συνάρτηση f ( ) (δηλαδή ή f f lim f f οµοιόµορφα) τότε και η οριακή συνάρτηση f είναι συνεχής Αν η σύγκλιση δεν είναι οµοιόµορφη τότε η συνέχεια «δεν κληρονοµείται» πάντα στην οριακή συνάρτηση Αν µια ακολουθία f ( ) (ή σειρά f συγκλίνει οµοιόµορφα σε µια οριακή συνάρτηση f ) ολόµορφων συναρτήσεων σε κάθε κλειστό δίσκο που περιέχεται στον τόπο E τότε και η οριακή συνάρτηση f είναι ολόµορφη στον τόπο E Επιπλέον ισχύει lim f f (ή f f στον τόπο E ) οµοιόµορφα σε κάθε κλειστό δίσκο που περιέχεται Για απλότητα δε θα δώσουµε τον ακριβή ορισµό της οµοιόµορφης σύγκλισης αλλά ένα χρήσιµο κριτήριο για το πότε µια σειρά συναρτήσεων συγκλίνει οµοιόµορφα Κριτήριο Οµοιόµορφης σύγκλισης σειρών (M-test Weierstrass) Aν για µια ακολουθία f ( ) ολόµορφων συναρτήσεων σε τόπο E ισχύει: f M για κάθε E θετικών πραγµατικών αριθµών και αν M <+ τότε η σειρά συναρτήσεων f σε µια ολόµορφη συνάρτηση Εστω τώρα a ( ) όπου { M : } είναι µια ακολουθία συγκλίνει απόλυτα και οµοιόµορφα στο Ε είναι µια δυναµοσειρά µε ακτίνα σύγκλισης R Αν DR είναι ο ανοικτός δίσκος µε κέντρο συνάρτηση και ακτίνα R τότε ορίζεται η 8

3 ( ) f : D : f a Γι αυτή τη συνάρτηση ισχύει το ακόλουθο: R Θεώρηµα 5 (Παραγώγισης δυναµοσειρών) Εστω a ( ) είναι µια δυναµοσειρά µε ακτίνα σύγκλισης R και οριακή συνάρτηση ( ) f : D : f a R Τότε η f είναι ολόµορφη στον ανοικτό δίσκο δίνονται από τη σχέση a f ( )! DR και οι συντελεστές a Επιπλέον η δυναµοσειρά παραγωγίζεται και ολοκληρώνεται όρο προς όρο και ισχύει µε την ίδια ακτίνα σύγκλισης f a Απόδειξη Εφόσον τα µερικά αθροίσµατα της σειράς είναι ολόµορφες συναρτήσεις (ως πολυώνυµα) και η δυναµοσειρά συγκλίνει οµοιόµορφα για κάθε κλειστό δίσκο R< R από τα παραπάνω συµπεραίνουµε ότι η οριακή συνάρτηση f είναι επίσης ολόµορφη στο δίσκο σύγκλισης DR ( ) και επιπλέον η σειρά παραγωγίζεται όρο προς όρο δηλαδή ισχύει Προφανώς f a f a Παραγωγίζοντας έχουµε f a 9

4 f a Συνεχίζοντας επαγωγικά παίρνουµε το ζητούµενο οπότε Για το αντίστροφο έχουµε το ακόλουθο Θεώρηµα 5 (Taylor) Εστω f είναι µια ολόµορφη συνάρτηση σε τόπο E και E Αν Dε ( ) είναι ανοικτός δίσκος κέντρου και (οποιασδήποτε) ακτίνας ε ώστε ο δίσκος Dε ( ) να περιέχεται στον τόπο E τότε f ( ) ( ) για κάθε Dε ( ) f! Η παραπάνω καλείται σειρά Taylor της f γύρω από το σηµείο Απόδειξη Θεωρούµε ένα δίσκο D ( ) D ( ) δ και ορίζουµε τον κύκλο ε γ : ζ ε Από τον ολοκληρωτικό τύπο του Cauchy έχουµε Απ την άλλη µεριά έχουµε ( ζ ) f f dζ πi γ ζ για κάθε D ( ) δ ζ ζ ζ ζ όπου χρησιµοποιήσαµε τον τύπο λ < ζ ( ) + ζ ζ ζ λ λ < µε λ λ ζ D ενώ ζ είναι σηµεία του κύκλου γ Αρα: εφόσον δ διότι 3

5 ( ζ ) ( ) ( ) f f dζ f ( ζ ) dζ πi γ ζ πi γ + ζ f ( ) ( ) f ( ζ ) dζ ( ) πi γ + ζ! Παρατήρηση (α) Το ανάπτυγµα Taylor της f είναι µοναδικό ηλαδή αν f a b a b (β) H δυνατότητα αναπαράστασης κάθε ολόµορφης συνάρτησης από µια σειρά Τaylor δεν ισχύει πάντα για απειροδιαφορίσιµες πραγµατικές συναρτήσεις Αυτή είναι µια σηµαντική διαφοροποίηση των ολόµορφων συναρτήσεων σε σχέση µε τις απειροδιαφορίσιµες πραγµατικές συναρτήσεις (γ) Η σειρά Taylor McLauri f της f γύρω από το καλείται σειρά! (δ) Αν a και και R τότε για το γινόµενό τους ισχύει b είναι δυο σειρές McLauri µε ακτίνες σύγκλισης R f g ab µε ακτίνα σύγκλισης R mi { R R } (ε) Tα αναπτύγµατα Taylor των στοιχειωδών συναρτήσεων θεωρούνται γνωστά < 3

6 e! + ηµ ( )! συν! ( ) + Log ( + ) < + Το Θεώρηµα Taylor µας εξασφαλίζει το ανάπτυγµα µιας ολόµορφης συνάρτησης f σε σηµείο σε µια συγκλίνουσα δυναµοσειρά µέσα σ ένα δίσκο κέντρου εν µπορούµε να πούµε το ίδιο όταν το είναι ανώµαλο σηµείο της f πχ αν e f Για τέτοιες συναρτήσεις υπάρχει ένα ανάπτυγµα της µορφής f a ( ) το οποίο ισχύει σε κάποιο «διάτρητο» δίσκο < < r Γενικότερα αποδεικνύεται ότι µια συνάρτηση η οποία είναι ολόµορφη σ έναν ανοικτό δακτύλιο έχει µοναδικό ανάπτυγµα της παραπάνω µορφής Εχουµε το εξής: Θεώρηµα 53 (Lauret) Έστω f είναι ολόµορφη στο δακτύλιο Τότε για κάθε G ισχύει όπου { : } ( ) G R < < R R < R a f a ( ) f πi γ ( ) + και γ είναι οποιαδήποτε απλή κλειστή θετικά προσανατολισµένη τµηµατικά λεία καµπύλη στο εσωτερικό του G Το παραπάνω καλείται ανάπτυγµα Lauret d 3

7 της f είναι µοναδικό και συγκλίνει απόλυτα στο G και οµοιόµορφα σε κάθε συµπαγές υποσύνολο του G Απόδειξη Είναι ένας συνδυασµός του γενικευµένου τύπου Cauchy µε την αποδεικτική µέθοδο στο Θεώρηµα Taylor Ανώµαλα σηµεία και ταξινόµηση αυτών Ορισµός 5 Ένα σηµείο όπου η f δεν ορίζεται ή δεν είναι ολόµορφη καλείται ανώµαλο σηµείο της Εστω είναι ανώµαλο σηµείο της f Αν υπάρχει κάποιος διάτρητος δίσκο < < R όπου f είναι ολόµορφη τότε λέµε ότι η f έχει αποµονωµένη ή µεµονωµένη ανωµαλία στο Τότε η f αναπτύσσεται σε σειρά Lauret f a ( ) < < R Εστω τώρα ότι το είναι ένα µεµονωµένο ανώµαλο σηµείο της f Αν υπάρχει m έτσι ώστε στο ανάπτυγµα Lauret της f να ισχύει a και a για κάθε < m δηλαδή m f a ( ) < < R m τότε το καλείται πόλος m -τάξης και µπορούµε να γράψουµε g f m όπου η g είναι ολόµορφη στο δίσκο R < µε g Στην περίπτωση που το ανάπτυγµα Lauret της f περιέχει άπειρο πλήθος µη µηδενικών συντελεστών a ( ) τότε το καλείται ουσιώδης ανωµαλία της f Τέλος εάν ισχύει a για κάθε < τότε η ανωµαλία καλείται επουσιώδης ή απαλείψιµη 33

8 Ορισµός 5 Αν f είναι ολόµορφη σε τόπο G εκτός ενός πλήθους σηµείων που είναι πόλοι της f στον G τότε η f καλείται µερόµορφη συνάρτηση Οι ακόλουθες προτάσεις χαρακτηρίζουν τους διαφόρους τύπους ανωµαλιών: Πρόταση 5 Εάν η f είναι ολόµορφη σε τόπο G και έχει αποµονωµένη ανωµαλία στο σηµείο τότε το είναι απαλείψιµη ανωµαλία αν και µόνο αν ισχύει κάποια από τις παρακάτω συνθήκες: Η f είναι φραγµένη σε κάποια διάτρητη περιοχή του υπάρχει το lim f lim f Πρόταση 53 Εάν η f είναι ολόµορφη σε τόπο G και έχει αποµονωµένη ανωµαλία στο σηµείο τότε το είναι πόλος τάξης αν και µόνο αν ο είναι ο µικρότερος φυσικός ώστε να ισχύει κάποια από τις παρακάτω συνθήκες: η ( ) f είναι φραγµένη σε κάποια περιοχή του υπάρχει το lim f και είναι διάφορο του µηδενός + lim f Ολοκληρωτικά Υπόλοιπα Ορισµός 5 Εστω f είναι ολόµορφη στο διάτρητο δίσκο < < R µε ανάπτυγµα Lauret f ( ) ( ) π i γ + ( ) f a d όπου γ είναι οποιαδήποτε απλή κλειστή θετικά προσανατολισµένη τµηµατικά 34

9 λεία καµπύλη στο εσωτερικό του διάτρητου δίσκου < < R Ο συντελεστής a f d πi γ του αναπτύγµατος Lauret της f καλείται ολοκληρωτικό υπόλοιπο της f στο συµβολικά Res f Θεώρηµα 54 (Ολοκληρωτικών υπολοίπων) Εστω f είναι ολόµορφη πάνω και στο εσωτερικό µιας απλής κλειστής θετικά προσανατολισµένης τµηµατικά λείας καµπύλης γ µε εξαίρεση ένα πεπερασµένο πλήθος αποµονωµένων ανωµάλων σηµείων στο εσωτερικό της γ Τότε f d π i Res( f ) γ Απόδειξη Αµεση από το γενικευµένο Θεώρηµα Cauchy και τον ορισµό 5 Υπάρχουν απλές µέθοδοι για τον υπολογισµό των ολοκληρωτικών υπολοίπων µιας συνάρτησης σε πόλους Πράγµατι Αν το είναι απαλείψιµη ανωµαλία τότε a Res f οπότε ( ) f a Αν το είναι πόλος ης τάξης τότε a f a + ( ) οπότε a Res( f ) lim ( ) f Αν το είναι πόλος ης τάξης τότε 35

10 οπότε a a f + + a ( ) + ( ) f a + a ( ) + a ( ) και παραγωγίζοντας και τα δύο µέλη έχουµε Αρα (( ) f ) a + ( + ) a ( ) + d a Res( f ) lim ( ) f d Συνεχίζοντας επαγωγικά µε τον ίδιο τρόπο βρίσκουµε ότι Αν το είναι πόλος m-τάξης τότε Res f lim ( m )! m (( ) ) m d f m d Aν µια συνάρτηση f είναι ολόµορφη στο εξωτερικό κάποιου δίσκου τότε είναι λογικό να πούµε ότι η f έχει αποµονωµένη ανωµαλία στο Στην περίπτωση που θέλουµε να εξετάσουµε µια ολόµορφη συνάρτηση στο είναι λογικό να εξετάσουµε την f στο Εστω F f a a Μελετώντας λοιπόν τη σειρά Lauret της F διαπιστώνουµε αν το είναι απαλείψιµη ανωµαλία ή πόλος ή ουσιώδης ανωµαλία Το ολοκληρωτικό υπόλοιπο της f στο ορίζεται κατά τα γνωστά ως Res( f ) f d πi γ 36

11 όπου γ είναι απλή κλειστή και θετικά προσανατολισµένη καµπύλη ως προς το χωρίο του σχήµατος (βλέπε ακόλουθο σχήµα) Res f Res - f Πρόταση 54 Ισχύει Απόδειξη Εστω γ είναι ο κύκλος R ο οποίος διαγράφεται µε τη φορά του παραπάνω σχήµατος Τότε θέτοντας w έχουµε Res ( f ) f d f πi i w w dw γ π Γ Res - f Πρόταση 55 Εστω f είναι ολόµορφη σε δίσκο < R και έστω { } είναι µια ακολουθία σηµείων του δίσκου µε λ ( λ ) τέτοια ώστε * lim Αν f ( ) τότε ισχύει f ( ) παντού στο δίσκο < R Απόδειξη Για κάθε στο δίσκο R Αφού η f είναι συνεχής στο < ισχύει f a + a ( ) έχουµε lim f f a Αρα: οπότε f a+ a f ( ) lim f a + a a 37

12 Επαγωγικά µε τον ίδιο τρόπο δείχνουµε ότι a για κάθε Πρόταση 56 Υποθέτουµε ότι µια συνάρτηση f είναι ολόµορφη σε τόπο G και ότι η ακολουθία σηµείων { } µε λ ( λ ) συγκλίνει σε σηµείο G Αν f ( ) τότε ισχύει f ( ) παντού στο G Πόρισµα 5 Οι ρίζες µιας ολόµορφης συνάρτηση σε τόπο G είναι αποµονωµένα σηµεία άρα το πλήθος τους είναι το πολύ αριθµήσιµο Θεώρηµα 55 (Αρχή ταυτισµού) Υποθέτουµε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ολόµορφες σε τόπο G και ότι η ακολουθία σηµείων { } ( λ ) συγκλίνει σε σηµείο G Αν f ( ) g( ) f g παντού στο G Εφαρµογές των ολοκληρωτικών υπολοίπων (α) Υπολογισµός γενικευµένων ολοκληρωµάτων µε λ τότε ισχύει Θεώρηµα 56 Εστω f είναι ολόµορφη στο εκτός πεπερασµένου πλήθους αποµονωµένων ανώµαλων σηµείων εκ των οποίων κανένα δε βρίσκεται πάνω στον πραγµατικό άξονα και έστω ότι Τότε: R ( f ) lim π lim f x dx i Res f R + R όπου είναι όλα τα ανώµαλα σηµεία της f στο άνω ηµιεπίπεδο Im > Ισοδύναµα R lim f ( x) dx πi Res( f ζ ) R + R όπου ζ ζ s είναι όλα τα ανώµαλα σηµεία της f στο κάτω ηµιεπίπεδο Im( ) < Σηµειώνουµε ότι η σύγκλιση των γενικευµένων ολοκληρωµάτων θεωρείται µε την έννοια της πρωτεύουσας τιµής κατά Cauchy δηλαδή της s 38

13 ύπαρξης του lim R + R R f x dx f x dx Απόδειξη Εστω είναι όλα τα αποµονωµένα ανώµαλα σηµεία της f στο άνω ηµιεπίπεδο Εξ υποθέσεως η f είναι ολόµορφη πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών Εκλέγουµε R > ώστε όλα τα ανώµαλα σηµεία της f να περικλείονται στο εσωτερικό του ηµικυκλίου R θ [ π ] µε τη θετική φορά όπως στο σχήµα Τότε από το Θεώρηµα των ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουµε: γ όπου π f d i Res f R R f ( x) dx + f d π i Res( f ) R CR C είναι το άνω ηµικύκλιο Αν δείξουµε f lim d τότε το R + Θεώρηµα θα έχει αποδειχθεί Για κατάλληλα µεγάλο R έχουµε εξ υποθέσεως ότι i Rf( Re θ ) ε όπου ε αυθαίρετα µικρό οπότε π iθ iθ f d f ( Re ) Rie dθ επ ε Αρα το Θεώρηµα αποδείχθηκε C R Το παραπάνω Θεώρηµα µπορεί να γενικευθεί στην περίπτωση που η f έχει και πεπερασµένο πλήθος απλών πόλων πάνω στον πραγµατικό άξονα Αυτό συµβαίνει λόγω της ακόλουθης: Πρόταση 57 (Λήµµα Jorda) Εστω f είναι ολόµορφη στο διάτρητο δίσκο Dr { : r} < < και έχει απλό πόλο στο Αν C R < ε < r 39

14 + είναι τόξο κύκλου και ακτίνας ε και γ { : i e θ ε ε : θ θ θ} τότε ( θ θ ) lim f d i Res f ε γ ε Απόδειξη Εφόσον το είναι απλός πόλος έχουµε a a f d + g d d + g d γε γε γε γε όπου η g είναι ολόµορφη στο δίσκο D Προφανώς r a θ iθ d a i e d a i ( ) i γ ε θ θ θ θ ε θ εe Απ την άλλη µεριά εφόσον η g είναι ολόµορφη στο δίσκο r ( ) συνεχής στο δίσκο Dr ( ) και άρα φραγµένη σε µια περιοχή του αρκούντως µικρό ε έχουµε f M για κάθε Αρα: γ ε και παίρνουµε το ζητούµενο Dε g d M d M θ θ ε ε D θα είναι Αρα για Θεώρηµα 57 Εστω f είναι ολόµορφη στο εκτός πεπερασµένου πλήθους αποµονωµένων ανώµαλων σηµείων και έστω ( f ) lim Αν η f έχει µόνον απλούς πόλους r r m πάνω στον πραγµατικό άξονα τότε: όπου R π + π lim f x dx i Res f i Res f r R + R είναι όλα τα ανώµαλα σηµεία της f στο άνω ηµιεπίπεδο m 4

15 Im > Ισοδύναµα όπου R s π ( ζ ) π lim f x dx i Res f i Res f r R + R ζ ζ s είναι όλα τα ανώµαλα σηµεία της f στο κάτω ηµιεπίπεδο Im < Απόδειξη Συνδυασµός της Πρότασης 57 και του Θεωρήµατος 56 (β) Υπολογισµός ολοκληρωµάτων της µορφής π R ( συνθ ηµθ ) όπου R είναι ρητή συνάρτηση του ηµθ συνθ που δεν έχει ανώµαλα σηµεία επί του µοναδιαίου κύκλου dθ m Θέτουµε i e θ θ [ π ) oπότε παίρνουµε: iθ iθ e + e συνθ + iθ iθ e e ηµθ i i και d d e d ie dθ dθ Τότε: i θ i iθ d R d f d i Res f ( συνθ ηµθ ) θ π π όπου είναι όλα τα αποµονωµένα ανώµαλα σηµεία της ρητής συνάρτησης f εντός του µοναδιαίου κύκλου µε τη θετική φορά (η f προκύπτει από τις παραπάνω αντικαταστάσεις των συνθ ηµθ στην R και από την αντικατάσταση του dθ ) 4

16 (γ) Υπολογισµός ολοκληρωµάτων τύπου Fourier lim R iω x ω f ( x) e dx ω ( f : ) Φ R + R Θεώρηµα 58 Εστω f είναι ολόµορφη στο εκτός πεπερασµένου πλήθους αποµονωµένων ανώµαλων σηµείων εκ των οποίων κανένα δε βρίσκεται πάνω στον πραγµατικό άξονα και έστω ότι Αν ω τότε: lim f για κάθε ω < ισχύει R iωx iω π ( ) lim f xe dx i Rese f R + R όπου είναι όλα τα ανώµαλα σηµεία της f στο άνω ηµιεπίπεδο Ι m > και για κάθε ω > ισχύει όπου s iωx iω π ( ζ ) R lim f x e dx i Res e f R R + ζ ζ s είναι όλα τα ανώµαλα σηµεία της f στο κάτω ηµιεπίπεδο Ι m < Σηµειώνουµε ότι η σύγκλιση των ολοκληρωµάτων αυτών θεωρείται µε την έννοια της πρωτεύουσας τιµής κατά Cauchy δηλαδή της ύπαρξης του lim R i x f xe ω dx R + R Το Θεώρηµα αυτό µπορεί να γενικευθεί για την περίπτωση που η f έχει και πεπερασµένο πλήθος απλών πόλων πάνω στον πραγµατικό άξονα Θεώρηµα 59 Εστω f είναι ολόµορφη στο εκτός πεπερασµένου πλήθους αποµονωµένων ανώµαλων σηµείων και έστω ότι lim f 4

17 Αν η f έχει µόνον απλούς πόλους r r m πάνω στον πραγµατικό άξονα και αν ω τότε: για κάθε ω < ισχύει R m i ω x i i π ( ω ) + π ( ω ) lim f x e dx i Res e f i Res e f r R + R όπου είναι όλα τα ανώµαλα σηµεία της f στο άνω ηµιεπίπεδο Ι m > και για κάθε ω > ισχύει s m iωx iω iω π ( ζ) π ( ) f xe dx i Rese f i Rese f r ζ ζ s είναι όλα τα ανώµαλα σηµεία της f στο κάτω ηµιεπίπεδο Ι m < όπου Σηµείωση: Τα ολοκληρώµατα στα Θεωρήµατα 57 και 59 θεωρούνται ότι συγκλίνουν µε την έννοια πρωτεύουσας τιµής κατά Cauchy δηλαδή: Αν f είναι συνεχής στο τότε υπάρχει το lim R πραγµατικός αριθµός ή R i x f xe ω dx R και είναι αν η f είναι ασυνεχής σε σηµείο a και µη φραγµένη σε µια περιοχή του a τότε υπάρχει το lim a + r lim a + r iω x f xe dx + r ) a r (δ) Αντιστροφή µετασχηµατισµού Laplace γ + i t f () t e F d ( t ) π i > γ i iω x f xe dx + r (ή το a r Eστω ότι µια συνάρτηση F είναι ολόµορφη στο µιγαδικό επίπεδο εκτός από ένα πεπερασµένο πλήθος ανώµαλων σηµείων Για αρκετά µεγάλο R θεωρούµε 43

18 ένα κατακόρυφο ευθύγραµµο τµήµα της µορφής ix ( x R) γ + το οποίο επιλέγεται έτσι ώστε το γ > να είναι αρκετά µεγάλο ώστε όλα τα ανώµαλα σηµεία της F να περιέχονται εξ αριστερών του τµήµατος αυτού Αν (κάτω από κάποιες συνθήκες πάνω στην f ) η συνάρτηση F( ) είναι ο µετασχηµατισµός Laplace της f δηλαδή + t F f() t e dt τότε η f () t γ ir t lim πi + e F d + R ir i e F d t γ π > γ i γ i t είναι ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Laplace της F υπό την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωµα συγκλίνει κατά Cauchy Θεώρηµα 5 Εστω ότι ο µετασχηµατισµός Laplace F( ) (µιας συνάρτησης f(t) t>) είναι ολόµορφη στο εκτός από ένα πεπερασµένο πλήθος ανώµαλων σηµείων και έστω γ + is ( s R) είναι κατακόρυφο ευθύγραµµο τµήµα έτσι ώστε το γ > να είναι αρκετά µεγάλο ώστε όλα τα ανώµαλα σηµεία της F να περιέχονται εξ αριστερών του τµήµατος αυτού Αν lim F τότε ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Laplace f της συνάρτησης F υπολογίζεται από την ισότητα γ + f() t lim ir e t F d Res( e t F ) ( t ) π i R > γ ir Λυµένες ασκήσεις Να αναπτυχθούν σε σειρά McLauri οι συναρτήσεις (α) f 5+ 6 (β) g ηµ και να βρεθεί η ακτίνα σύγκλισης (γ) h Log( ) Λύση (α) Χρησιµοποιώντας ανάλυση σε µερικά κλάσµατα έχουµε f

19 + 3 + < συν (β) Χρησιµοποιώντας τον τύπο ηµ παίρνουµε συν ηµ!! (γ) Εχουµε + ( ) + Log < Να αναπτυχθεί σε σειρά Taylor γύρω από το σηµείο η συνάρτηση f ( + ) i 6i + Λύση Mετά από διαίρεση των δύο πολυωνύµων (αριθµητή και παρονοµαστή) και στη συνέχεια µε ανάλυση σε άθροισµα µερικών κλασµάτων παίρνουµε f 3i 3i 3i ( ) ( ) 3i < ( ) ( ) < 3 + i

20 3i+ < 3 + ( ) Εστω g 3i Τότε g 3i g g > Αρα η g αναπτύσσεται σε πολυώνυµο Taylor γύρω από το σηµείο ως g g g + g ( ) + ( ) ( 3i ) + ( 3i )( ) + ( ) Ετσι έχουµε f ( 3i) + ( 3i)( ) + ( ) + ( ) ( ) + < 3 3 Χρησιµοποιώντας τα ανάπτυγµα McLauri της f υπολογισθεί η σειρά ( ) να Λύση Θεωρούµε τη γεωµετρική σειρά < + Παραγωγίζοντας παίρνουµε ( ) < + Θέτουµε στην παραπάνω παίρνουµε + 4 Να βρεθούν όλες οι ακέραιες συναρτήσεις που ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση f f f µε αρχικές συνθήκες f Λύση Eφόσον η f είναι ακεραία θα ισχύει f () f Από το! f f και το θεώρηµα παραγώγισης δυναµοσειρών την εξίσωση θεώρηµα µοναδικότητας για τη σειρά Taylor έχουµε: 46

21 f () f () f f!! ( ) ( + ) f () f ()!! f () f ()!! ( + ) ( + ) f () f () Aπό τις αρχικές συνθήκες παίρνουµε + f () άρα f! ( ) 5 Να βρεθούν τα αναπτύγµατα Lauret των συναρτήσεων (α) f + i (β) g ( + ) σε όλους τους δυνατούς δακτυλίους µε κέντρο το σηµείο i Λύση (α) Η f είναι ολόµορφη στο { i} και συνεπώς η f δε µπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά Lauret σε δακτύλιο µε κέντρο το i Ετσι έχουµε: ( η περίπτωση): Eστω i < i ( i) Τότε i που να περιέχει το i f i ( i) i i ( i ) i i + i + + ( η περίπτωση): Eστω i > i Τότε 47

22 i f i i i i i + + i i (β) Η g είναι ολόµορφη στο { } ( i) + και συνεπώς η g δε µπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά Lauret σε δακτύλιο µε κέντρο το i που να περιέχει το ή το Με ανάλυση σε µερικά κλάσµατα έχουµε: g ( + ) + i + i i + + i ιακρίνουµε τις ακόλουθες περιπτώσεις: ( η περίπτωση): Eστω i < i < Τότε προφανώς ισχύει και i i i < < οπότε στο δακτύλιο { : < i < } + i έχουµε: g i i + i i + + i + i i i ( ) ( ) i i + i + i ( i + ) + i ( + i) ( η περίπτωση): Eστω i > i > i και < i < i + i Τότε στο δακτύλιο { : < i < } έχουµε g i + i + i i + ( i) ( ) ( + i ) 48

23 i i ( ) ( ) i i + i + i a ( i) όπου a ( ) ( i) + ( i) + < (3 η περίπτωση): Eστω i i > i > Τότε > και στο + i i δακτύλιο { : < i } έχουµε g i + i i + ( i) ( + i) ( i ) i + i ( ) ( ) i i i i ( i ( i) )( i) + 6 Να ταξινοµηθούν τα ανώµαλα σηµεία των συναρτήσεων (α) + f (β) ηµ π + συν g (γ) h e (δ) ( ηµ ) (ε) l (στ) e m ( )( ) 3 ηµ ( π ) 3 και να υπολογισθούν τα ολοκληρωτικά υπόλοιπα στα σηµεία αυτά Λύση (α) Η συνάρτηση f είναι ολόµορφη στο { } + + διαπιστώνουµε ότι το Εφόσον είναι πόλος ης τάξης (άµεσα 49

24 Res f Σηµειώνουµε ότι η f είναι από τον ορισµό) Ετσι έχουµε ολόµορφη στο διότι υπάρχει το f (β) Λύνουµε την εξίσωση παρατηρούµε ότι a lim lim + π e + i Επίσης e e άρα οι είναι απλές ρίζες Για τις τιµές των που βρήκαµε ο αριθµητής της g δε µηδενίζεται ποτέ Από τα παραπάνω συνάγουµε ότι η g είναι ολόµορφη στο { : } όπου είναι πόλοι ης τάξης της g Ετσι έχουµε lim ( ) Res g g LHosp ' ( ηµ ( π ) ) ( ) πσυν ( π ) ηµ ( π ) lim e e Επειδή lim ± το σηµείο είναι µη αποµονωµένο ανώµαλο σηµείο της g (γ) Η συνάρτηση h είναι ολόµορφη στο { } Επειδή 4 cos + + +! 4!! 4! η h έχει πόλο ης τάξης στο σηµείο και από τον ορισµό προκύπτει ότι Res( h ) Ισοδύναµα µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τον τύπο d! Res( h) lim ( ) h d lim συν ( π ) π limηµ ( π ) Σηµειώνουµε ότι το είναι ουσιώδες ανώµαλο σηµείο της h (δ) Κατ αρχήν λύνουµε την εξίσωση 5

25 π i i π + e e 6 ηµ ηµ i π π + π 6 Τα σηµεία είναι ρίζες του παρονοµαστή πολλαπλότητας ενώ ο αριθµητής δεν έχει ρίζες Αρα η είναι ολόµορφη στο { : } όπου είναι πόλοι ης τάξης οπότε d Res( ) lim ( )! d 4 ηµ συν 3 Επειδή lim ± το σηµείο είναι µη αποµονωµένο ανώµαλο σηµείο της (ε) Κατ αρχήν λύνουµε την εξίσωση e e π i {} π i { } Η συνάρτηση µας είναι ολόµορφη στο { } : { } Προφανώς τα σηµεία είναι απλές ρίζες του παρονοµαστή ενώ το σηµείο είναι µη αποµονωµένο ανώµαλο σηµείο (είναι το όριο των αποµονωµένων ανώµαλων σηµείων ) Τα σηµεία είναι απλοί πόλοι οπότε i Res( l) lim (( ) l ) π Σηµειώνουµε ότι το είναι πόλος ης τάξης της l διότι το σηµείο είναι πόλος ης τάξης της l (στ) Η m δεν είναι ολόµορφη στα σηµεία που είναι ρίζες της εξίσωσης ηµ π Παρατηρούµε ότι τα σηµεία ± είναι απλές ρίζες του αριθµητή το σηµείο είναι ρίζα του αριθµητή πολλαπλότητας 5

26 τα σηµεία είναι ρίζες του παρονοµαστή πολλαπλότητας 3 Αρα συνδυάζοντας τα παραπάνω βρίσκουµε εύκολα ότι τα σηµεία ± είναι πόλοι ης τάξης της m οπότε το σηµείο είναι απαλείψιµη ανωµαλία της m τα υπόλοιπα σηµεία { ± } Εχουµε λοιπόν: είναι πόλοι 3 ης τάξης της m d Res( m) lim ( ) m 3 ( )! d π d 7 Res( m-) lim ( + ) m 3 ( )! d π Res( m ) () d 3 Res( m) lim ( ) m (3 )! d Επειδή lim m ± το σηµείο είναι µη αποµονωµένο ανώµαλο σηµείο της 7 Να υπολογισθούν τα ολοκληρώµατα (α) ed 3 (β) γ γ ηµ d (γ) e ηµ d γ όπου γ είναι ο µοναδιαίος κύκλος µε θετικό προσανατολισµό Λύση: (α) H συνάρτηση f e έχει στο σηµείο ουσιώδες ανώµαλο σηµείο στο εσωτερικό της γ Αρα από το Θεώρηµα ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουµε 5

27 Επειδή ed πi Res f γ f e! από τον ορισµό του ολοκληρωτικού υπολοίπου Res f Tελικά και το παραπάνω ανάπτυγµα Lauret έχουµε ότι (β) H συνάρτηση 3 ed πi Res f πi πi γ g ηµ έχει στο σηµείο ουσιώδες ανώµαλο σηµείο στο εσωτερικό της γ Αρα από το Θεώρηµα ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουµε a Επειδή πi Res( f) g d γ 3 g ! 5! 7! 3! 5! 7! από τον ορισµό του ολοκληρωτικού υπολοίπου και το παραπάνω ανάπτυγµα Res g Tελικά a Lauret έχουµε ότι π g d i Res g πi γ (γ) H συνάρτηση h e ηµ έχει στο σηµείο ουσιώδες ανώµαλο σηµείο στο εσωτερικό της γ Αρα από το Θεώρηµα ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουµε h d πi Res h Επειδή γ ! 3! 5! h 53

28 από τον ορισµό του ολοκληρωτικού υπολοίπου και το παραπάνω ανάπτυγµα Res h Tελικά a Lauret έχουµε ότι h d πi Res h πi πi γ 8 Να υπολογισθούν τα επικαµπύλια ολοκληρώµατα (α) (γ) d d (β) ( ) ( ) 4 ηµ π d (δ) d ( ) / ( ) 4 ηµ π d 3 d Λύση (α) H συνάρτηση f έχει δύο αποµονωµένα ανώµαλα ( ) σηµεία: το σηµείο που είναι πόλος ης τάξης και το σηµείο που είναι πόλος ης τάξης Επειδή και τα δύο ανώµαλα σηµεία είναι στο εσωτερικό του κύκλου από το Θεώρηµα ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουµε Επειδή f d πi ( Res( f ) + Res( f )) d Res( f ) lim ( ) lim lim ( )! d ( ) ( ) ( ) και παίρνουµε Res( f ) lim ( ) lim ( ) π f d i + 54

29 (β) Οπως είδαµε παραπάνω η συνάρτηση f έχει δύο ( ) αποµονωµένα ανώµαλα σηµεία: το σηµείο που είναι πόλος ης τάξης και το σηµείο που είναι πόλος ης τάξης Τώρα όµως µόνον το είναι στο εσωτερικό του κύκλου / οπότε από το Θεώρηµα ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουµε / (γ) Η συνάρτηση g f d πi Res f πi πi ( ) 4 ηµ π έχει στο σηµείο πόλο 3 ης τάξης (παρατηρήστε ότι το είναι απλή ρίζα και του αριθµητή) Επειδή όµως g είναι ολόµορφη στο εσωτερικό του κύκλου από το Θεώρηµα του Cauchy έχουµε g d (δ) Στην περίπτωση αυτή ο πόλος 3 ης τάξης βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου 3 οπότε από το Θεώρηµα ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουµε Επειδή παίρνουµε Res g 3 πi Res( g) g d d () ( ) lim ( ) ( ) ηµ π (3 )! d 3 ηµ ( π ) 5π lim ( ) π π i g d π i Υπολογίστε τα γενικευµένα ολοκληρώµατα 55

30 dx (α) (β) 4 + x xdx ( a > ) ( x )( x + a ) Λύση (α) Θεωρούµε τη ρητή συνάρτηση 4 ισχύει lim ( f ) lim lim / + Η f έχει 4 απλούς πόλους που είναι ρίζες της εξίσωσης f + για την οποία ισχύει π+ π i e 3 πi 3πi 5πi 7πi Αρα οι πόλοι της f είναι τα σηµεία e e e 3 e Από αυτούς µόνον οι βρίσκονται στο άνω ηµιεπίπεδο (και καµία πάνω στον πραγµατικό άξονα) Αρα από το Θεώρηµα 56 παίρνουµε dx πi 4 ( Res( f ) + Res( f ) ) + x Εφόσον τα είναι απλοί πόλοι έχουµε και + i Res( f ) lim( ) f lim 4 ( )( )( ) 3 i Res( f ) lim( ) f lim 4 dx π Ετσι προκύπτει 4 + x ( )( )( ) 3 (β) Θεωρούµε τη ρητή συνάρτηση f ( )( + a ) για την οποία 56

31 ισχύει 3 lim lim lim ( f ) ( )( + a ) ( / )( + a / ) Η f έχει: έναν απλό πόλο πάνω στον πραγµατικό άξονα και δύο πόλους ης τάξης στα σηµεία ± ai εκ των οποίων µόνον ο ai βρίσκεται στο άνω ηµιεπίπεδο Αρα από το Θεώρηµα 57 παίρνουµε Εφόσον και xdx πi Res ( f ai) + πi Res( f) ( x )( x + a ) Res f lim f lim ( + a ) ( + a ) Res f ai lim ai f lim + i a ( )( ai) + ( + a ) 4a( + a ) ai ai προκύπτει ( a ) xdx π x x + a 4a + a Υπολογίστε το ολοκλήρωµα π ( + συνθ ) 3 dθ i Λύση Θέτουµε e θ θ [ π ) Τότε: iθ d d ie dθ idθ dθ i 57

32 iθ iθ e + e συνθ και iθ iθ e e ηµθ i i i i οπότε το αρχικό ολοκλήρωµα µε αντικατάσταση των παραπάνω γίνεται Η συνάρτηση f d d i i + ( + 3+ ) 3+ ( + 3+ ) έχει πόλους δεύτερης τάξης οι οποίες είναι 3± 5 οι ρίζες της εξίσωσης + 3+ εκ των οποίων µόνον η µια βρίσκεται εντός του µοναδιαίου κύκλου Αρα από το Θεώρηµα των ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουµε Υπολογίστε: π i 5 5 d πi Res f ( 3 ) + + i iω x xe dx (α) το ολοκλήρωµα + x (β) το ολοκλήρωµα ( 3 ) xηµ x dx ( ab > a b) ( x + a )( x + b ) (γ) τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplace της συνάρτησης F

33 Λύση (α) Εστω h Τότε lim h Απ την άλλη µεριά η + iω e συνάρτηση g έχει δύο απλούς πόλους στα σηµεία ± i κανένας εκ + των δυο δε βρίσκεται πάνω στον πραγµατικό άξονα Τότε απ το Θεώρηµα 58 παίρνουµε ( i) iω x ω xe dx πi Res g i ω < πie / ω < ω + x πi Res g ω > πie / ω > ω πie ω < ω πie ω > xdx Αν ω τότε βρίσκουµε άµεσα ότι (θεωρούµε τη σύγκλιση µε + x την ασθενή έννοια της πρωτεύουσας τιµής κατά Cauchy) (β) Εστω συνάρτηση g h ( + a )( + b ) e 3i ( + a )( + b ) Τότε lim g Απ την άλλη µεριά η έχει τέσσερις απλούς πόλους στα σηµεία ± ai ± bi κανένας εκ των οποίων δε βρίσκεται πάνω στον πραγµατικό άξονα Τότε απ το Θεώρηµα 58 (για ω 3) παίρνουµε 3ix xe dx πi ( Res( h ai) + Res( h bi) ) (ab>) ( x + a )( x + b ) 3a 3b 3a 3b e e πi e e π i ( b a ) ( b a ) b a Εξισώνοντας τα φανταστικά µέρη της παραπάνω ισότητας παίρνουµε xηµ ( 3 ) x dx ( x + a )( x + b ) 3a 3b ( e ) πie b a 59

34 + + 8 (γ) Εστω F Τότε lim F Απ την άλλη µεριά η συνάρτηση F( ) έχει τρεις απλούς πόλους στα σηµεία ± i Aν γ + είναι κατακόρυφο ευθύγραµµο τµήµα έτσι ώστε το γ > τότε is ( s R) όλοι οι πόλοι της F περιέχονται εξ αριστερών του τµήµατος αυτού τότε απ το Θεώρηµα 5 έχουµε ότι ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Laplace f ισούται µε ( ) ( ) t t t f () t Res e F + Res e F i + Res e F i i it i it συν t + e + e + ( t > ) 4 4 Υπολογίστε τα γενικευµένα ολοκληρώµατα: (α) + ax dx x + b ( a b > ) i e (β) d όπου γ είναι η περίµετρος ορθογωνίου στο µιγαδικό επίπεδο γ + 4 µε κορυφές τα σηµεία i 3 + i 3 log a Λύση (α) Θεωρούµε τη συνάρτηση f η οποία είναι πλειονότιµη + b µε το να είναι κλαδικό σηµείο Για ευκολία θεωρούµε εκείνο τον κλάδο του π 3π λογάριθµου για τον οποίο ισχύει log ( a) ( a ) + iθ θ < και έχουµε το σχήµα απ το οποίο χρησιµοποιώντας το θεώρηµα των ολοκληρωτικών υπολοίπων και λαµβάνοντας υπόψη ότι η f έχει δύο απλούς πόλους στα σηµεία ± bi εκ των 6

35 οποίων µόνον ο πόλος bi βρίσκεται στο εσωτερικό του παραπάνω σχήµατος παίρνουµε R r R π Re ( ) f d f x dx f d f x dx i s f bi C R c r Για αρκούντως µεγάλο R C R >> b έχουµε: r θ π ar+ i iθ ar+ π f d Rie dθ R π R + iθ Re + b R b διότι ar+ π lim R π + R b R (L Hospital) Eπίσης για αρκούντως µικρό r << b έχουµε: c r + iθ ar ar + π iθ f d rie dθ r π r π iθ re + b b r + διότι r ( ar) lim άρα και + r r r ar lim Τελικά παίρνουµε: + b r Αλλά + + π f x dx f x dx i Re s f bi π + ax + i ax + iπ f ( x) dx dx dx x + b x + b + ax + dx + i π dx x + b x + b Αρα + + ax + f ( x) dx + f ( x) dx dx + iπ dx πi Re s ( f bi) x + b x + b Εφόσον 6

36 ( a) log( a) log πi Res( f bi) πi lim( bi) πi lim bi + b bi + bi τελικά έχουµε ( abi) ( ab) + i π π ( ab) π log / πi π + i bi b b b π π ax ab ax ab dx dx x + b b x + b b + + i e (β) Η συνάρτηση f έχει απλούς πόλους στα σηµεία ± i εκ των + 4 οποίων µόνον το σηµείο i υπεισέρχεται στην ολοκλήρωση και βρίσκεται πάνω στην κορυφή του ορθογωνίου Ολοκληρώνουµε την f κατά µήκος της κλειστής καµπύλης όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα Τότε από το Θεώρηµα του Cauchy έχουµε f ( ) d συνεπώς R r i + 3 i 3 f d + f d + f d + f d + f d r+ i 3+ i 3 c όπου c r τόξο µε τη φορά του σχήµατος Τότε r i i 3 f d f d f d f d f d r+ i 3+ i 3 cr r i 3 Αφού cr : i re θ π + θ π από την Πρόταση 57 έχουµε διαγράφεται µε τη θετική φορά 6

37 3π πi ie πe lim f d i π Res( fi) + c r 4 8 r συνεπώς f πe d γ 8 Αλυτες ασκήσεις Να αναπτυχθούν σε σειρά McLauri οι συναρτήσεις (α) f ( + )( ) (β) g ηµ ( ) (γ) h Arcta h (δ) sec και να βρεθεί η ακτίνα σύγκλισης συν + < 3 Απάντ (α) (γ) ( ) + + (β) π < (δ) < 4 (-) ( + )! 4+ Να βρεθούν τα αναπτύγµατα Lauret των συναρτήσεων (α) f 3 σε όλους τους δυνατούς δακτυλίους µε κέντρο το σηµείο (β) g µε κέντρο το σηµείο για κάθε < < ( ) (γ) h ηµ γύρω απ το σηµείο Απάντ (α) + 3 όταν < 3 + όταν >

38 (β) ηµ ( + π ) 4 (γ) < <! ( ) 3 Να ταξινοµηθούν όλα τα αποµονωµένα ανώµαλα σηµεία των συναρτήσεων (α) f ( + ) (β) g (γ) h ηµ sih (δ) ( e + ) (ε) l e m ηµ π (στ) (ζ) a ηµ ( π ) 4 Απάντ (α) ± 5 πόλοι ης τάξης (β) π ± ± απλοί πόλοι (γ) απαλείψιµη ανωµαλία πi ± ± απλοί πόλοι (δ) + + πi πόλοι ης τάξης (ε) ουσιώδης ανωµαλία (στ) ± π απαλείψιµες ανωµαλίες (ζ) π πόλος ης τάξης 4 Να υπολογισθούν τα ολοκληρωτικά υπόλοιπα στα ανώµαλα σηµεία των συναρτήσεων (α) e f (β) g ηµ + (γ) h συν ηµ 5 Res f 6 Απάντ (α) Res( f ) e Res( f ) e (β) ( ) (γ) Res( f )!! ( + ) 64

39 5 Να ορισθεί ο χαρακτήρας του ανωµάλου σηµείου των συναρτήσεων (α) f ( + cosh) συν (β) g 7 Απάντ (α) πόλος 4 ης τάξης (β) πόλος 5 ης τάξης 6 Υπολογίστε τα επικαµπύλια ολοκληρώµατα (α) e t d γ είναι ο κύκλος 3 γ ( + + ) µε θετικό προσανατολισµό (β) ηµ ( π ) ( ) + 3 d γ είναι το τετράγωνο µε κορυφές τα σηµεία ± 3± 3i γ µε θετικό προσανατολισµό (γ) + 5 d γ είναι ο κύκλος i 3 γ 3 ( + ) ( + 4) προσανατολισµό µε θετικό (δ) γ e d cosh γ είναι ο κύκλος 5 µε θετικό προσανατολισµό t π 3π 5πi 3πi + ηµ (β) 6π i (γ) Απάντ (α) i ( t) ( t ) (δ) 8π i 7 Υπολογίστε τα γενικευµένα ολοκληρώµατα dx (α) (β) 6 + x xdx ( x + ) ( x + x+ ) π 7π Απάντ (α) (β) Υπολογίστε τα ολοκληρώµατα 65

40 (α) π dθ (β) 3 συνθ + ηµθ ( 3 ) π συν θ dθ 5 4συνθ π Απάντ (α) π (β) 9 Υπολογίστε: (α) το ολοκλήρωµα τύπου Fourier ηµ x e x iω x dx (β) το ολοκλήρωµα x ηµ π x dx x + x+ 5 Απάντ (α) ( ω) π ω Φ (β) ω > πe π Υπολογίστε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplace των συναρτήσεων (α) F + ( + 9) (β) G 8 5 ( ) Απάντ (α) f () t συν ( 3t) + ηµ 3t (β) g() t ( t+ ) e t Υπολογίστε τα γενικευµένα ολοκληρώµατα: (α) + x + x + dx (β) ηµ x dx (γ) x p + x dx < p < + x Απάντ (α) π ηµ π π π (β) (γ) ( p ) 66

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

f(z) 1 + z a lim f (n) (0) n! = 1

f(z) 1 + z a lim f (n) (0) n! = 1 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 3η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση. Υποθέτουμε ότι η f : C C είναι ακέραια συνάρτηση και ότι το όριο Αποδείξτε ότι η f είναι σταθερή.

Διαβάστε περισσότερα

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z 7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i.

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Α 0 Ιουλίου, 0 Θέμα. (αʹ) Να βρεθεί η τιμή του a R για την οποία η συνάρτηση u(x, y) ax 3 y +4xy

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι ικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 207 Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Επισκόπηση γνωστών εννοιών. -8. Σειρές πραγµατικών αριθµών..2 Σειρές συναρτήσεων..3 Γενικευµένα ολοκληρώµατα. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet). 6 Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Diichlet) Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 61 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών και y Θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

~ 1 ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ~ ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Μια συνάρτηση f ( ) u( x, y) iv( x, y ) έχει παράγωγο σε ένα σημείο x iy αν ικανοποιούνται

Διαβάστε περισσότερα

u x = 2uu y u y = 0 ϕ x = x t h (t), ϕ xx = x2 t 3 h (t) και ϕ y = y t h (t), ϕ yy = y2 t 3 h (t). t 2 h (t) + x2

u x = 2uu y u y = 0 ϕ x = x t h (t), ϕ xx = x2 t 3 h (t) και ϕ y = y t h (t), ϕ yy = y2 t 3 h (t). t 2 h (t) + x2 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Β 9 Ιουνίου, 07 Θ. αʹ) Αν το G είναι ένας τόπος, δηλαδή ένα ανοικτό και συνεκτικό σύνολο στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Καταρχήν θα µελετήσουµε την συνάρτηση f Η f γράφεται f ( ) = ( x + )( x ) ( x ) ή ακόµα f ( ) = u( x,

Διαβάστε περισσότερα

4. Μιγαδική Ολοκλήρωση. Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµογές. ( ) ( ) ( )

4. Μιγαδική Ολοκλήρωση. Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµογές. ( ) ( ) ( ) 4 Μιαδική Ολοκλήρωση Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµοές Καµπύλες στο Μιαδικό επίπεδο Oρισµός 4 Αν, :[, ] xy a είναι συνεχείς πραµατικές συναρτήσεις τότε κάθε απεικόνιση :[ a, ] : t = x t + iy t, καλείται (προσανατολισµένη)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός-Z. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός-Z. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Μετασχηµατισµός-Z Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Μετασχηµατισµός - Ιδιότητες Μετασχηµατισµού- Γραµµικότητα Χρονική Ολίσθηση Κλιµάκωση

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα

Διαβάστε περισσότερα

3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( )

3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( ) 3 Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος Ολόµορφες συναρτήσεις Τοπολογικοί ορισµοί Ορισµός 3 Εστω και ε > Καλούµε ε-ανοικτή περιοχή ή ανοικτό δίσκο κέντρου και ακτίνας ε το σύνολο { ε} D ( ) = : < ε Ορισµός 3 Έστω Το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΣΤΗ ΜΙΓΑ ΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Τύπος de Moivre Έστω ένας µιγαδικός αριθµός: Τότε. Ν-οστή ρίζα µιγαδικού

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΣΤΗ ΜΙΓΑ ΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Τύπος de Moivre Έστω ένας µιγαδικός αριθµός: Τότε. Ν-οστή ρίζα µιγαδικού ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΣΤΗ ΜΙΓΑ ΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Τύπος de Moivre Έστω ένας µιγαδικός αριθµός: z r(cosϑ + isi ϑ) Τότε z r (cos ϑ + isi ϑ ) Ν-οστή ρίζα µιγαδικού / ϑ + π ϑ+ π z r cos + isi όπου 0,,,, Συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» σελ β) Ας είναι ux (, ) = x+ cos( π ) και vx (, ) = cos( π x) το πραγματικό και το φανταστικό μέρος

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

( y = 2, x R) και ( y = 0, x R ) ή ισοδύναμα πάνω στην ευθεία z = 2

( y = 2, x R) και ( y = 0, x R ) ή ισοδύναμα πάνω στην ευθεία z = 2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγματικό μέρος uxy (, ) = ycosxκαι φανταστικό μέρος vxy (, ) = y sinx, όπου = x+ iy

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. αν ικανοποιούνται τα ακόλουθα:

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. αν ικανοποιούνται τα ακόλουθα: ~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Μια συνάρτηση f () = uy (, ) + vy (, ) έχει παράγωγο σε ένα σημείο = + y αν ικανοποιούνται τα ακόλουθα: ) Οι πρώτες μερικές παράγωγοι u( y,

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΕΚΔΟΣΗ 12 ΜΑΡΤΙΟΥ 2018

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΕΚΔΟΣΗ 12 ΜΑΡΤΙΟΥ 2018 ΝΙΚΟΛΑΟΣ M. ΣΤΑΥΡΑΚΑΚΗΣ: «Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις & Μιγαδικές Συναρτήσεις: Θεωρία και Εφαρμογές» η Έκδοση, Αυτοέκδοση) Αθήνα, ΜΑΡΤΙΟΣ 06, Εξώφυλλο: ΜΑΛΑΚΟ, ΕΥΔΟΞΟΣ: 5084750, ISBN: 978-960-93-7366-

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα KΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Talor-Aκρότατα 3 Πλεγµένες συναρτήσεις Σε πολλές περιπτώσεις συναντούµε µία (ή και περισσότερες) εξισώσεις µεταξύ διαφόρων µεταβλητών πχ της µορφής e + συν (

Διαβάστε περισσότερα

( y) ( x) ( 0) ( ) ( 0) ( y) ( ) ( ) ( ) Παραδείγµατα και εφαρµογές. 1)Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα 1

( y) ( x) ( 0) ( ) ( 0) ( y) ( ) ( ) ( ) Παραδείγµατα και εφαρµογές. 1)Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα 1 76 Παραδείγµατα και εφαρµογές )Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα C ) καµπύλη Αποδείξτε ότι το εµβαδόν Α ( D) του D δίνεται από τους τύπους Α D = d = d Απόδειξη (Ι)

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα. Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

w = f(z) = z + i C(0,4) 2πi z 2 (z 2) 3 dz = 1 8. f(z) = (z 2 + 1)(z + i). e z 1 e z 1 = 3 cos 2θ

w = f(z) = z + i C(0,4) 2πi z 2 (z 2) 3 dz = 1 8. f(z) = (z 2 + 1)(z + i). e z 1 e z 1 = 3 cos 2θ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Β Θ. (αʹ) Εστω ο μετασχηματισμός w f() + i i, C, i. 6 Μαρτίου, 25 Δείξτε ότι η w f() απεικονίζει

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις.

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις Γενικά Εστω A, B και f : A B είναι µια απεικόνιση τέτοια ώστε σε κάθε µιγαδικό αριθµό A να αντιστοιχεί µοναδικός µιγαδικός αριθµός w= f Λέµε τότε ότι η f είναι µια µιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΕΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Σκοπός του Κεφαλαίου είναι να ορίσει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 Ιουνίου 005 Από τα κάτωι Θέµατα καλείσε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

I = 1. cos z. dz = = 1 z 2 cos z + 2z sin z + 2 cos z 2. z(z π) 3 dz. f(re iθ. f(z)

I = 1. cos z. dz = = 1 z 2 cos z + 2z sin z + 2 cos z 2. z(z π) 3 dz. f(re iθ. f(z) ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση. Χρησιμοποιώντας τους ολοκληρωτικούς τύπους Cauchy υπολογίστε το ολοκλήρωμα I = πi z(z π) 3 dz,

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 Ορισµοί Εστω α δοθείσα πραγµατική ακολουθία Ορίζουµε µία νέα ακολουθία ως εξής: 3 3 = + + + = = + = + + Ορισµός 5 Εάν υπάρχει το lim + = τότε η ακολουθία καλείται

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ) 6 Νοεμβρίου 07 Αναλυτικές συναρτήσεις Άσκηση (i) Δείξτε ότι η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου εάν και μόνο εάν η if(z) είναι αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Mαίου 8 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

... ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων. Το όριό της, καθώς το n τείνει στο άπειρο, n n n 1

... ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων. Το όριό της, καθώς το n τείνει στο άπειρο, n n n 1 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στην ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τα βασικότερα στοιχεία που είναι απαραίτητα για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους Έτσι, δίνονται συστηµατικά οι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Η συνάρτηση f ( ) γράφεται f x y + x + y x y + x + y xy ( ) ( ) ( ) ( ) Το πραγματικό και

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3 1.1 Στοιχειώδεις παρατηρήσεις.................... 3 1.2 + Ορισµός και άλγεβρα των µιγαδικών αριθµών........ 6 1.3 Γεωµετρική παράσταση των µιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

sup(a + B) = sup A + sup B inf(a + B) = inf A + inf B.

sup(a + B) = sup A + sup B inf(a + B) = inf A + inf B. Ασκήσεις, Φυλλάδιο. Βρειτε το συνολο Φ A ολων των ανω ϕραγματων του A, και το συνολο φ A ολων των κατω ϕραγματων του A, οταν: a) A = m :, m N}, b) A = + m 2. Βρειτε το if και sup οποτε υπαρχουν) των συνολων

Διαβάστε περισσότερα

Ελλειπτικές Καµπύλες υπέρ του σώµατος C

Ελλειπτικές Καµπύλες υπέρ του σώµατος C Ελλειπτικές Καµπύλες υπέρ του σώµατος C Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 11 Νοεµβρίου 2014, 1/18 ιακριτές υποοµάδες του C Ορισµός Εστω ω 1, ω 2 δύο µιγαδικοί αριθµοί µε Im(ω

Διαβάστε περισσότερα

Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης

Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης Αγνοώ το πώς με βλέπει ο κόσμος αλλά στον εαυτό μου, φαίνομαι σαν να μην ήμουν τίποτα άλλο από ένα αγοράκι που παίζει στην ακρογιαλιά και κατά καιρούς

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας

Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Τα προβλήµατα µεταδόσεως θερµότητας (ή θερµικής αγωγιµότητας heat conduction), µε την υπόθεση ισχύος του νόµου Fourier, διέπονται από

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. z x y 2xyi. Re z x y. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι. z z zz. zz zz z z 1 0 z z 1 (1)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. z x y 2xyi. Re z x y. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι. z z zz. zz zz z z 1 0 z z 1 (1) Αριθμός Εξέτασης 7 α.α) ος τρόπος: Έστω z i. Τότε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ z i και Re z. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι z z,ισχύει επίσης ότι. Είναι z z z z z z z z z z z

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο. Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f() ορισμένης σε ένα διάστημα [α,β] λέγεται κάθε συνάρτηση F() που επαληθεύει την ισότητα F( ) f ( ) F( ) c επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ KAI ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ O μετασχηματισμός lc-ο αντίστροφος μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΔΙΑΔΑΧΘΕΙΣΑΣ ΥΛΗΣ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΔΙΑΔΑΧΘΕΙΣΑΣ ΥΛΗΣ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΔΙΑΔΑΧΘΕΙΣΑΣ ΥΛΗΣ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Το μιγαδικό επίπεδο Στο μιγαδικό αριθμό = x + iy αντιστοιχούμε το σημείο ( xy, ) ενός καρτεσιανού επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα