Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Transcript

1 Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις Αόστολος Γιαννόουλος Τµήµα Μαθηµατικών

2 Αδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκαιδευτικό υλικό, όως εικόνες, ου υόκειται σε άλλου τύου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το αρόν εκαιδευτικό υλικό έχει ανατυχθεί στα λαίσια του εκαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανειστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοοιείται στο λαίσιο του Ειχειρησιακού Προγράµµατος «Εκαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται αό την Ευρωαϊκή Ενωση (Ευρωαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και αό εθνικούς όρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

3 Περιεχόµενα ενότητας 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις 4 7. Οµάδα Α Οµάδα Β Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

4 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις 7. Οµάδα Α. (α) Χρησιµοοιώντας τη συνάρτηση f : [, ] R µε f (x) x και την ταυτότητα του Parseval, δείξτε ότι ( + ) 4 4 και (ϐ) Χρησιµοοιώντας την -εριοδική εριττή συνάρτηση g : [, ] R µε g(x) x( x) στο [, ] και την ταυτότητα του Parseval, δείξτε ότι ( + ) και Υόδειξη. (α) Παρατηρήστε ότι f () x dλ(x) xdλ(x). Για γράφουµε f () f (x)e i x dλ(x) x συν( x) dλ(x) [ ] x ημ( x) συν( x) + ( ). Συνεώς, η σειρά Fourier της f είναι η Αό την ταυτότητα του Parseval, + ( ) e i x. x e i x dλ(x) x συν( x) dλ(x) ( + ) 4 f (x) dλ(x) x dλ(x) 3. Εεται ότι ( + ) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

5 Οµως, Συνεώς, 4 ( + ) 4 + () (ϐ) Αφού η f είναι εριττή, έχουµε f (). Για γράφουµε f () i i ( ) i ( ) f (x)e i x dλ(x) i [ x συν( x) + i ημ( x) [ x συν( x) i ( ) i[( ) ] 3. Συνεώς, η σειρά Fourier της f είναι η Αό την ταυτότητα του Parseval, + i ] ] + i x( x) ημ( x) dλ(x) + i [ x ημ( x) + i[( ) ] 3 e i x. x ημ( x) dλ(x) x συν( x) dλ(x) ] συν( x) 6 ( + ) 6 f (x) dλ(x) ( x) x dλ(x) 4 3. Εεται ότι Οµως, Συνεώς, 6 ( + ) ( + ) 6 + () Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

6 . είξτε ότι: αν α Z, τότε η σειρά Fourier της συνάρτησης στο [, ], είναι η f (x) ημ α ei( x)α e i x + α. Εφαρµόζοντας την ταυτότητα του Parseval, συµεράνατε ότι ( + α) ημ (α). Υόδειξη. Γράφουµε f () f (x)e i x dλ(x) ημ α eiα e ix(α+) dλ(x) [ ] e ix(α+) e iα ημ α i( + α) e iα e iα i( + α) ημ α + α. Συνεώς, η σειρά Fourier της f είναι η Αό την ταυτότητα του Parseval, αφού f (x) ημ(α) για κάθε x. ( + α) eiα e iα ημ α i( + α) i ημ α i( + α) ημ α e i x + α. f (x) dλ(x) ημ (α), 3. Εστω < a. Θεωρούµε την συνάρτηση f : [, ] R µε f (x) χ [ a,a] (x). (α) είξτε ότι f () a και f () ημ(a) αν. (ϐ) είξτε ότι για κάθε x [, ] \ { a, a} ισχύει f (x) a + ημ(a) e i x. (γ) Υολογίστε τα αθροίσµατα ημ(a) και ημ (a). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

7 Υόδειξη. (α) Για έχουµε f () f (x) dλ(x) a a dλ(x) a a. Για γράφουµε f () a f (x)e i x dλ(x) συν( x) dλ(x) a [ ] ημ( x) a ημ(a). a a a e i x dλ(x) συν( x) dλ(x) (ϐ) Αν x [, ] \ { a, a} τότε η f είναι αραγωγίσιµη στο x, άρα f (x) S( f, x) a + ημ(a) e i x. (γ) Θέτοντας x στην ισότητα του (ϐ) έχουµε f () a + ημ(a) a + ημ(a), άρα ημ(a) ( a ) a. Για το δεύτερο άθροισµα χρησιµοοιούµε την ταυτότητα του Parseval: έχουµε f () f ( ) για κάθε, άρα f f () + f () a + ημ (a). Αφού τελικά έχουµε ημ (a) f a a dλ(x) a, ( ) a a a a a( a). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

8 4. Εστω f : R R συνεχώς αραγωγίσιµη -εριοδική συνάρτηση. (α) είξτε ότι (ϐ) είξτε ότι f s n ( f ) n+ a ( f ) + b ( f ). lim n f sn ( f ). n Υόδειξη. Αφού η f είναι συνεχώς αραγωγίσιµη, γνωρίζουµε ότι f S( f ). Συνεώς, f (x) s n ( f, x) (a ( f ) συν x + b ( f ) ημ x), x R. n+ Παίρνοντας αόλυτες τιµές και κατόιν supremum άνω α όλα τα x R, καταλήγουµε στην f s n ( f ) n+ ( a ( f ) + b ( f ) ). Τώρα χρησιµοοιούµε τη σχέση των συντελεστών Fourier της f µε τους συντελεστές Fourier της f : a ( f ) b ( f ), b ( f ) a ( f ) και την ανισότητα Cauchy--Schwarz, διαδοχικά, για να άρουµε n+ ( a ( f ) + b ( f ) ) n+ /n n+ / n+ ( a ( f ) n+ + b ( f ) ) / a ( f ) a ( f ) + b ( f ) + /, n+ / b ( f ) όου έχουµε χρησιµοοιήσει το γενονός ότι n+ < n+ ( ) n+ ( ) n και την στοιχειώδη ανισότητα a + b a + b. Εοµένως, n f sn ( f ) n+ / a ( f ) + b ( f ). Αό την ανισότητα του Bessel έχουµε ότι η σειρά ( a ( f ) + b ( f ) ) συγκλίνει και το συµέρασµα έεται. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

9 5. Εστω f : C συνεχώς αραγωγίσιµη συνάρτηση. (α) είξτε ότι υάρχει σταθερά C( f ) > ώστε f () C( f ) για κάθε Z. (ϐ) Εξετάστε αν lim f (). (γ) Εξετάστε αν f () < +. Υόδειξη. Η αάντηση είναι καταφατική σε όλα τα ερωτήµατα. Αρχικά αρατηρούµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη. Αό την ταυτότητα του Parseval, Γνωρίζουµε ότι f () i f (), συνεώς f () f < +. f () < +. Εεται το (ϐ) (και αό αυτό, το (α)): αφού η αραάνω σειρά συγκλίνει, έχουµε lim f (). Για το (γ), αό την ανισότητα Cauchy-Schwarz αίρνουµε f () f () ) ( f () < +. Εεται ότι f () f () + f () < Εστω f : R R συνεχώς αραγωγίσιµη -εριοδική συνάρτηση µε f (x) dλ(x). Χρησιµοοιώντας την ταυτότητα του Parseval για τις f και f δείξτε ότι f (x) dλ(x) f (x) dλ(x), µε ισότητα αν και µόνο αν f (x) a συν x + b ημ x για κάοιους a, b R. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

10 Υόδειξη. Γνωρίζουµε ότι f () i f () για κάθε Z. Είσης, αό την υόθεση έχουµε f () f (x) dλ(x). Αό την ταυτότητα του Parseval για τις f και f έεται άµεσα ότι f (x) dλ(x) f f () f () f () f () f (x) dλ(x). Για την τελευταία ισότητα αρατηρήστε ότι f () f (x)dλ(x) f () f () αό την -εριοδικότητα της f. Ισότητα µορεί να ισχύει αν και µόνο αν f () i f () για κάθε (εξηγήστε γιατί). Ισοδύναµα αν f (x) f ()e ix + f ( )e ix για κάθε x R, δηλαδή αν υάρχουν a, b R ώστε f (x) a συν x + b ημ x. 7. (α) Εστω f, g : C συνεχώς αραγωγίσιµες συναρτήσεις. Υοθέτουµε ότι ότι f (t)g(t) dλ(t) f (t) dλ(t) g (t) dλ(t). (ϐ) Εστω f : [a, b] C συνεχώς αραγωγίσιµη συνάρτηση µε f (a) f (b). είξτε ότι g(t) dλ(t). είξτε b a f (t) dλ(t) (b a) b a f (t) dλ(t). Υόδειξη. (α) Αό την ανισότητα Cauchy-Schwarz αίρνουµε f (t)g(t) dλ(t) f (t) dλ(t) g(t) dλ(t). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

11 Αφού g(t)dλ(t), αό την ροηγούµενη άσκηση έχουµε και έεται το Ϲητούµενο. g(t) dλ(t) g (t) dλ(t), (ϐ) Υοθέτουµε ρώτα ότι [a, b] [, ]. Αφού f () f (), µορούµε να εεκτείνουµε την f σε συνεχή -εριοδική συνάρτηση µε f (t)dλ(t), ϑέτοντας f (x) f ( x) για x [, ]. Η εέκταση της f είναι συνεχώς αραγωγίσιµη σε κάθε διάστηµα της µορφής (, + ), Z. Εφαρµόζοντας το (α) µε g f, αίρνουµε f (t) dλ(t) f (t) dλ(t) Χρησιµοοιώντας και το γεγονός ότι η f είναι εριττή, συµεραίνουµε ότι f (t) dλ(t). ( ) f (t) dλ(t) f (t) dλ(t). Αν το [a, b] είναι τυχόν, ϑεωρούµε την F : [, ] C µε F(x) f ( a + b a x). Τότε, η ( ) ισχύει για την F, δηλαδή f ( a + b a x) dλ(x) F(x) dλ(x) (b a) Κάνοντας την αλλαγή µεταβλητής t a + b a x, αίρνουµε f ( a + b a x) F (x) dλ(x) dλ(x). b a f (t) dλ(t) (b a) b a f (t) dλ(t). 7. Οµάδα Β 8. ώστε αράδειγµα ακολουθίας { f n } ολοκληρώσιµων συναρτήσεων f n : [, ] R ώστε lim n f n (x) dλ(x), αλλά για κάθε x [, ] η ακολουθία { f n (x)} δεν συγκλίνει. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

12 Υόδειξη. Θεωρούµε µια ακολουθία {I n } υοδιαστηµάτων του [, ] µε τις ακόλουθες ιδιότητες:. Για κάθε x [, ], τα σύνολα A x {n N : x I n } και B x {n N : x I n } είναι άειρα.. l(i n ), όου l(i) είναι το µήκος ενός διαστήµατος I. Ενας τρόος να ορίσουµε µια τέτοια ακολουθία είναι ο εξής: αίρνουµε I [, ], στη συνέχεια χωρίζουµε το [, ] σε δύο διαδοχικά διαστήµατα I και I 3 µήκους, στη συνέχεια χωρίζουµε το [, ] σε τέσσερα διαδοχικά διαστήµατα I 4,..., I 7 µήκους / και ούτω καθεξής. Ορίζουµε f n χ In, n,,.... Παρατηρήστε ότι κάθε f n είναι ολοκληρώσιµη και lim n f n (x) dλ(x) lim n l(i n ). Αό την άλλη λευρά, για κάθε x [, ] έχουµε ότι τα A x και B x είναι άειρα υοσύνολα του N, άρα µορούµε να ϐρούµε γνησίως αύξουσες ακολουθίες ϕυσικών ( n ) και (r n ) στα A x και B x αντίστοιχα. Τότε, δηλαδή η ακολουθία { f n (x)} δεν συγκλίνει. f n (x) χ In (x) και f rn (x) χ Irn (x), 9. είξτε ότι ημ t t dλ(t). Υόδειξη. Γνωρίζουµε ότι το ολοκλήρωµα του n-οστού υρήνα του Dirichlet στο [, ] είναι ίσο µε. ηλαδή, ημ ( n + ) t dλ(t). Γράφουµε ημ t ημ ( n + ) t dλ(t) + t/ g(t) ημ ( n + ) t dλ(t), όου g(t) ημ(t/) t/. Παρατηρούµε ότι η g µορεί να οριστεί στο ώστε να γίνει συνεχής συνάρτηση στο [, ] (εξηγήστε γιατί). Συνεώς, g(t) ημ ( n + ) t dλ(t) + g(t) συν(t/) ημ(nt) dλ(t) g(t) ημ(t/) συν(nt) dλ(t) όταν n, αό το Λήµµα Riemann--Lebesgue για τις συνεχείς συναρτήσεις g(t) συν(t/) και g(t) ημ(t/). Εεται ότι lim ημ ( n + ) t dλ(t). n t/ Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

13 Οµως, ημ ( n + ) t t/ dλ(t) ( n+ ) ημ x x dλ(x). Εεται ότι ( ) n+ ημ x x dλ(x) ημ x όταν n. Χρησιµοοιώντας και το γεγονός ότι lim x x, µορούµε τώρα να δείξουµε ότι υάρχει το ημ x M ημ x dλ(x) lim dλ(x) x M x. Συµληρώστε τις λετοµέρειες.. Εστω f : R C συνάρτηση -εριοδική, η οοία ικανοοιεί την συνθήκη Lipshitz για κάθε x, y R, όου K > σταθερά. f (x) f (y) K x y (α) Για κάθε t > ορίζουµε g t (x) f (x + t) f (x t). είξτε ότι g t (x) dλ(x) 4 ημ t f () και συµεράνατε ότι ημ t f () K t. (ϐ) Εστω p N. Ειλέγοντας t / p+, δείξτε ότι p < p f () K p+. (γ) ώστε άνω ϕράγµα για το f () p < p και συµεράνατε ότι η σειρά Fourier της f συγκλίνει αολύτως, άρα οµοιόµορφα. Υόδειξη. (α) Αό την ταυτότητα του Parseval έχουµε g t (x) dλ(x) ĝ t (). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

14 Υολογίζουµε τους συντελεστές Fourier της g t : είναι Συνεώς, ĝ t () f (x + t)() f (x t)() e it f () e it f () (i ημ t) f (). g t (x) dλ(x) Χρησιµοοιώντας την συνθήκη Lipschitz αίρνουµε ημ t f () ημ t f (). f (x + t) f (x t) dλ(x) K (t) dλ(x) K t. (ϐ) Εφαρµόζοντας το (α) για t / p+ έχουµε p < p ημ(/ p+ ) f () ημ(/ p+ ) f () K p+. Οµως, αν p < p έχουµε 4 p+. Αρα, ημ(/p+ ) ημ(/4) / γι αυτές τις τιµές του. Ειστρέφοντας στην ροηγούµενη ανισότητα, αίρνουµε p < p f () K p+, δηλαδή p < p f () K p+. (γ) Αρκεί να δείξουµε ότι f () < +. Χρησιµοοιώντας το (ϐ) και την ανισότητα Cauchy--Schwarz, έχουµε f () > f () p/ f () p p < p p p < p p/ K K p ( ) < +. p p p / Εεται ότι f () f () + f () < +. > Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

15 . Εστω α > / και f : R C συνάρτηση -εριοδική, η οοία ικανοοιεί την συνθήκη Hölder f (x) f (y) K x y α για κάθε x, y R, όου K > σταθερά. οµοιόµορφα. είξτε ότι η σειρά Fourier της f συγκλίνει αολύτως, άρα Υόδειξη. Ακολουθούµε την ίδια διαδικασία µε αυτήν της Ασκησης. Για κάθε t > ορίζουµε g t (x) f (x + t) f (x t) και, χρησιµοοιώντας την ταυτότητα του Parseval, ϐλέουµε ότι g t (x) dλ(x) Χρησιµοοιώντας την συνθήκη Hölder αίρνουµε Ειλέγοντας t / p+, έχουµε ημ t f () ημ t f (). f (x + t) f (x t) dλ(x) K (t) α dλ(x) K t α. p < p ημ(/ p+ ) f () ημ(/ p+ ) f () K α α(p+). Οµως, αν p < p έχουµε 4 p+. Αρα, ημ(/p+ ) ημ(/4) / γι αυτές τις τιµές του. Ειστρέφοντας στην ροηγούµενη ανισότητα, αίρνουµε δηλαδή p < p f () p < p f () Χρησιµοοιώντας την ανισότητα Cauchy--Schwarz, έχουµε K α α(p+), K α α(p+). f () > f () p/ f () p < p p p < p K p/ α K α αp+α α ( ) < +, α p p p p / διότι α >. Εεται ότι f () f () + f () < +. > Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

16 . Εστω f : R R συνεχής -εριοδική συνάρτηση και έστω a, b οι συντελεστές Fourier της f. είξτε ότι b ( x) f (x) dλ(x). Υόδειξη. Για την g : [, ] R µε g(x) x έχουµε ĝ() και ĝ() ( i) για κάθε. Εχουµε f, g L (), άρα ( x) f (x) dλ(x) g, f f ()ĝ() i ( f () f ( )) b. i ( i)b 3. Εστω f : R R συνεχής -εριοδική συνάρτηση και έστω a, b οι συντελεστές Fourier της f. Υοθέτουµε ότι a. είξτε ότι a ( f (x)ln ημ x ) dλ(x). Υόδειξη. Εεκτείνουµε την ln( ημ x ) σε µια άρτια -εριοδική συνάρτηση g στο R. Εξηγήστε ρώτα ότι, γενικά, αν f, g L () και οι f, g αίρνουν ραγµατικές τιµές, τότε f (x)g(x)dλ(x) a ( f )a (g) + (a ( f )a (g) + b ( f )b (g)). Αφού η g είναι άρτια, έχουµε b (g) για κάθε. Αρα, f (x)g(x)dλ(x) a ( f )a (g). Τέλος, για κάθε έχουµε: a (g) ln ημ x συν x dλ(x) ln( ημ x ) συν x dλ(x) ημ x συν x ημ(x/) dλ(x) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

17 ημ( + /)x + ημ( /)x ημ(x/) D (x) + D (x) dλ(x). dλ(x) 4. Εστω f L (). Υοθέτουµε ότι [w ( f, /n)] <, n όου είξτε ότι f L (). w ( f, x) f (x + t) f (t) dλ(t). Υόδειξη. Αό το ϑεώρηµα Riesz-Fisher αρκεί να δείξουµε ότι η σειρά f () συγκλίνει. Εστω Z. Παρατηρούµε ότι f ( + /)() f (t + /)e it dλ(t) f (s)e is ds f (). Αρα, f () f ( + /)() f () f (t + /) f (t) dλ(t) w ( f, /). Χρησιµοοιώντας και την w ( f, x) w ( f, x) (η οοία ροκύτει αό την αλλαγή µεταβλητής s x + t στο f (x + t) f (t) dλ(t)) έχουµε για κάθε. Είσης, f () f. Συνεώς, f () w ( f, / ) f () f () [w ( f, /)] + 4 αό την υόθεση. f + [w ( f, /)] < 5. Εστω f L (). Ορίζουµε F(x) s n ( f, x) σ n+ ( f, x) n n είξτε ότι F L () και F f. Ειδικότερα, F(x) < σχεδόν αντού στο. /. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

18 Υόδειξη. Για κάθε N N ορίζουµε g N (x) s n ( f, x) σ n+ ( f, x). n n Παρατηρούµε ότι Αρα, g N (x) dλ(x) s n ( f, x) σ n+ ( f, x) n n n n n n(n + ) f () n + f ()e i x. N f () n n(n + ). Γράφουµε n n(n + ) n n ( ) n(n + ) (n + ) ( n ) n + N+ n + n(n + ) N N + ( + ). Συνεώς, g N (x) dλ(x) N Αό το ϑεώρηµα µονότονης σύγκλισης αίρνουµε F lim n f () N s n ( f, x) σ n+ ( f, x) n n g N (x) dλ(x) f. f () f. dλ(x) 6. Εστω x n, y m C, n, m. είξτε ότι n,m x n y m n + m + n / x n m / y m. Υόδειξη. Θεωρούµε την ϕ : [, ) C µε ϕ(t) i( t)e it και την εεκτείνουµε σε -εριοδική συνάρτηση στο R. Αυτό ου ϑα χρησιµοοιήσουµε είναι ότι ϕ() + για κάθε και ϕ. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

19 Για κάθε N N έχουµε n,m x n y m n + m + ηλαδή, αν ορίσουµε α N (t) N n,m n n,m n,m x n y m ϕ(n + m) x n y m ϕ(t)e i(n+m)t dλ(t) x n e int n m x n e int και β N (t) N x n y m n + m + αό την ανισότητα Cauchy-Schwarz. Αφού m y m e imt ϕ(t) dλ(t). y m e imt, έχουµε α n (t) β n (t)ϕ(t)dλ(t) α N (t) β N (t) ϕ dλ(t) ϕ α N β N α N n / x n και β N m / y m, αίρνουµε Αφού ϕ, έεται ότι n,m x n y m n + m + ϕ n n,m Ειδικότερα, έχουµε το Ϲητούµενο. x n y m n + m + n / x n / x n m m / y m. / y m. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9