Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Transcript

1 Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών

2 Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

3 Περιεχόµενα ενότητας 8 Το θεώρηµα του Dvoretzky Εισαγωγή Ισοπεριµετρική ανισότητα στη σφαίρα Το ϑεώρηµα του Dvoretzky Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

4 8 Το θεώρηµα του Dvoretzky 8.1 Εισαγωγή Αφετηρία για το ϑεώρηµα του Dvoretzky είναι το εξής Λήµµα των Dvoretzky και Rogers (195). Πρόταση Υποθέτουµε ότι η B n είναι το ελλειψοειδές µέγιστου όγκου του συµµετρικού κυρτού σώµατος K. Υπάρχουν k n και y 1,..., y k ορθοκανονικά διανύσµατα στον R n ώστε, για κάθε a 1,..., a k R n, (8.1.1) 1 max a k i a i y i 3 1 i k k a i i=1 i=1 1/. Με αφορµή αυτό το αποτέλεσµα, ο Grothendieck έθεσε το ερώτηµα αν είναι δυνατό να αντικαταστήσουµε ( ) 1/ το max a i µε το a i k i στην παραπάνω Πρόταση, και ταυτόχρονα να έχουµε k = k(n) καθώς i k το n. Ισοδύναµα, αν υπάρχει k-διάστατος υπόχωρος F του R n (µε το k να «µεγαλώνει» µε το n) ώστε (8.1.) B n F K F cbn F, όπου c > απόλυτη σταθερά. Ο Dvoretzky (196) έδωσε καταφατική απάντηση στο ερώτηµα. Θεώρηµα 8.1. (Dvoretzky). Εστω ε > και k ϕυσικός αριθµός. Υπάρχει N = N (k, ε) µε την εξής ιδιότητα: Αν X είναι χώρος µε νόρµα διάστασης n N, µπορούµε να ϐρούµε k-διάστατο υπόχωρο F του X µε d(f,l k) 1 + ε. Σε γεωµετρική γλώσσα, το Θεώρηµα του Dvoretzky µας λέει ότι: για κάθε k N, κάθε συµµετρικό κυρτό σώµα αρκετά µεγάλης διάστασης έχει κεντρικές τοµές διάστασης k που είναι σχεδόν ελλειψοειδή. Η ακριβής εξάρτηση του N (k, ε) από τα k και ε µελετήθηκε συστηµατικά, και το ϑεώρηµα του Dvoretzky πήρε πολύ πιο συγκεκριµένη ποσοτική µορφή. Θεώρηµα Εστω X ένας n-διάστατος χώρος µε νόρµα και έστω ε >. Υπάρχουν ακέραιος k cε (log1/ε) 1 logn και k-διάστατος υπόχωρος F του X ο οποίος ικανοποιεί την d(f,l k) 1 + ε. ηλαδή, το Θεώρηµα 8.1. ισχύει µε N (k,ε) = exp(cε logε k).η αρχική απόδειξη του Dvoretzky έδινε την εκτίµηση N (k,ε) = exp(cε k logk). Η (ϐέλτιστη ως προς n) εκτίµηση του Θεωρήµατος αποδείχτηκε από τον Milman (1971). Σκοπός αυτού του Κεφαλαίου είναι να περιγράψει την απόδειξη του Θεωρήµατος Ενα από τα ϐασικότερα στοιχεία της απόδειξης είναι το λεγόµενο ϕαινόµενο της συγκέντρωσης του µέτρου στην, το οποίο ϑα συζητήσουµε στην επόµενη παράγραφο. 8. Ισοπεριµετρική ανισότητα στη σφαίρα Θεωρούµε τη µοναδιαία σφαίρα στον R n εφοδιασµένη µε τη γεωδαισιακή µετρική ρ: η απόσταση ρ(x, y) δύο σηµείων x, y είναι η κυρτή γωνία xoy στο επίπεδο που ορίζεται από την αρχή των Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

5 αξόνων o και τα x, y. Η γίνεται χώρος πιθανότητας µε το µοναδικό αναλλοίωτο ως προς στροφές µέτρο σ: για κάθε Borel σύνολο A ϑέτουµε (8..1) σ(a) := Ã B n, όπου B n είναι η µοναδιαία Ευκλείδεια µπάλα και (8..) Ã := {sx : x A και s 1}. Θα χρειαστούµε τον «τύπο ολοκλήρωσης σε πολικές συντεταγµένες»: Λήµµα 8..1 (ολοκλήρωση σε πολικές συντεταγµένες). Αν f : R n R είναι µία ολοκληρώσιµη συνάρτηση, τότε (8..3) R n f (x) dx = nω n f (rθ)r n 1 dr dσ(θ). Είναι εύκολο να δεί κανείς ότι αν ρ(x, y) = θ τότε (8..4) x y = ημ θ, συνεπώς η γεωδαισιακή και η Ευκλείδεια απόσταση των x, y συγκρίνονται µέσω της (8..5) π ρ(x, y) x y ρ(x, y). Εστω t >. Η t-περιοχή ενός Borel υποσυνόλου A της είναι το σύνολο (8..6) A t = {x : ρ(x, A) t}. Το ισοπεριµετρικό πρόβληµα στη σφαίρα διατυπώνεται ως εξής: ίνονται α (,1) και t >. Ανάµεσα σε όλα τα Borel υποσύνολα A της σφαίρας για τα οποία σ(a) = α, να ϐρεθούν εκείνα για τα οποία ελαχιστοποιείται η επιφάνεια σ(a t ) της t-περιοχής του A. Η απάντηση δίνεται από το ακόλουθο ϑεώρηµα: Ισοπεριµετρική ανισότητα στη σφαίρα. Εστω α (, 1) και (8..7) B(x,r) = {y : ρ(x, y) r} µία µπάλα στην µε ακτίνα r > που επιλέγεται ώστε σ(b(x,r)) = α. Τότε, για κάθε A µε σ(a) = α και για κάθε t > έχουµε (8..8) σ(a t ) σ ( B(x,r) t ) = σ ( B(x,r + t) ). ηλαδή, για οποιοδήποτε δοσµένο µέτρο α και οποιοδήποτε t > οι µπάλες µέτρου α δίνουν τη λύση του ισοπεριµετρικού προβλήµατος. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

6 Η απόδειξη της ισοπεριµετρικής ανισότητας γίνεται µε σφαιρική συµµετρικοποίηση και επαγωγή ως προς τη διάσταση. Ας ϑεωρήσουµε την ειδική περίπτωση α = 1/. Αν σ( A) = 1/ και t >, τότε µπορούµε να εκτιµήσουµε το µέγεθος του A t χρησιµοποιώντας την ισοπεριµετρική ανισότητα: (8..9) σ(a t ) σ (B ( x, π + t)) για κάθε t > και x. Εκτιµώντας από κάτω το δεξιό µέλος της (8..9) οδηγούµαστε στην ακόλουθη ανισότητα. Θεώρηµα 8... Εστω A S n+1 µε σ(a) = 1/ και έστω t >. Τότε, (8..1) σ(a t ) 1 π/8 exp( t n/). Παρατήρηση. Αυτό που έχει σηµασία σε σχέση µε την εκτίµηση στην (8..1) είναι ότι, όσο µικρό t > κι αν διαλέξουµε, η ακολουθία exp( t n/) τείνει στο καθώς το n και µάλιστα µε πολύ ταχύ ϱυθµό (εκθετικά ως προς n). Εποµένως, το ποσοστό της σφαίρας που µένει έξω από την t-περιοχή οποιουδήποτε υποσυνόλου A της S n+1 µε σ(a) = 1/ είναι «σχεδόν µηδενικό» αν η διάσταση n είναι αρκετά µεγάλη. Η απόδειξη του Θεωρήµατος 8.. ϐασίζεται πολύ ισχυρά στη σφαιρική ισοπεριµετρική ανισότητα. Για τις περισσότερες όµως εφαρµογές που έχουµε στο νου µας είναι αρκετή µία ανισότητα σαν την (8..1) και όχι η ακριβής λύση του ισοπεριµετρικού προβλήµατος. Θα δώσουµε µία απλή απόδειξη της (8..1) χωρίς να περάσουµε µέσα από την ισοπεριµετρική ανισότητα, χρησιµοποιώντας την ανισότητα Brunn-Minkowski. Λήµµα Θεωρούµε το οµοιόµορφο µέτρο πιθανότητας µ στην Ευκλείδεια µοναδιαία µπάλα B n. ηλαδή, µ(a) = A / B n για κάθε Borel A Bn. Αν A,C Bn συµπαγή, και (8..11) d(a,c) := min{ a c : a A,c C} = ρ >, τότε (8..1) min{µ(a), µ(c)} exp( ρ n/8). Απόδειξη. Θεωρούµε το σύνολο A+C. Από την ανισότητα Brunn--Minkowski παίρνουµε A+C min{ A, C }. Συνεπώς, ( ) A + C (8..13) µ min{µ(a), µ(c)}. Από την άλλη πλευρά, αν a A και c C, ο κανόνας του παραλληλογράµµου δίνει (8..14) a + c = a + c a c 4 ρ, εποµένως (8..15) A + C 1 ρ 4 Bn. Συνδυάζοντας τις (8..13) και (8..15) ϐλέπουµε ότι (8..16) min { µ(a), µ(c) } ) n/ (1 ρ exp( ρ n/8). 4 Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

7 Απόδειξη του Θεωρήµατος 8... Εστω A µε σ(a) = 1/ και έστω t >. Θέτουµε C = \ A t και ϑεωρούµε τα υποσύνολα (8..17) A 1 = {ρa : a A, 1 ρ 1} και C 1 = {ρa : a C, 1 ρ 1} της B n. Εύκολα ελέγχουµε ότι (8..18) d(a 1,C 1 ) ημ t t π. Από το Λήµµα 8..3 συµπεραίνουµε ότι (8..19) C 1 exp( d n/8) B n exp ( t n/(8π ) ) B n. Οµως, από τον ορισµό του σ έχουµε B n σ(c) = C και C 1 = (1 n ) C. Συνδυάζοντας µε την (8..19) ϐλέπουµε ότι (8..) σ(a c t ) = σ(c) ηλαδή, 1 1 n exp ( t n/(8π ) ). (8..1) σ(a t ) 1 c 1 exp( c t n) όπου c 1 = και c = 1/(8π ). Η (8..1) είναι εντελώς ανάλογη µε την ανισότητα του Θεωρήµατος 8..1 αν εξαιρέσουµε τις ακριβείς τιµές των σταθερών c 1 και c. Ορισµός 8..4 (µέτρο συνέχειας). Εστω f : R συνεχής. Ορίζουµε ω f : (,+ ) R + (το µέτρο συνέχειας της f ) µε (8..) ω f (t) = max{ f (x) f (y) : ρ(x, y) t, x, y }. Ορισµός 8..5 (µέσος Lévy). Εστω f : R συνεχής. Υπάρχει µοναδικός αριθµός L f R µε την ιδιότητα (8..3) σ ( {x : f (x) L f } ) 1 και σ ( {x : f (x) L f } ) 1. Ο L f ονοµάζεται µέσος Lévy της f. Το επόµενο Λήµµα δείχνει ότι αν το µέτρο συνέχειας της f : R έχει «οµαλή συµπεριφορά» και αν η διάσταση n είναι αρκετά µεγάλη, τότε οι τιµές της f συγκεντρώνονται ισχυρά (µε την έννοια του µέτρου) γύρω από τον µέσο Lévy της f. Λήµµα Για κάθε συνεχή συνάρτηση f : R και για κάθε ε >, (8..4) σ ( x : f (x) L f ω f (ε) ) c 1 exp( c ε n). Απόδειξη. Ορίζουµε A f = {x : f (x) = L f }. Θεωρούµε επίσης τα σύνολα (8..5) A f = {x : f (x) L f } και A + f = {x : f (x) L f }. Από τον ορισµό του µέσου Lévy L f και από το Θεώρηµα 8.., για κάθε ε > έχουµε (8..6) σ ( (A ± f ) ε) 1 c1 e c ε n. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

8 Χρησιµοποιώντας τη συνέχεια της f ελέγχουµε (άσκηση) ότι (8..7) (A f ) ε = (A + f ) ε (A f ) ε. Αρα, (8..8) σ ( ) (A f ) ε 1 c1 e c ε n. Αφού f (x) L f ω f (ε) στο (A f ) ε, έπεται το συµπέρασµα. Αν υποθέσουµε ότι η f : R είναι Lipschitz συνεχής µε σταθερά b, δηλαδή f (x) f (y) b x y για κάθε x, y, τότε ω f (ε) bε. Από το Λήµµα 8..6 παίρνουµε το εξής. Πρόταση Εστω f : R Lipschitz συνεχής µε σταθερά b. Τότε, (8..9) σ ( x : f (x) L f bε ) c 1 exp( c ε n) για κάθε ε >. 8.3 Το θεώρηµα του Dvoretzky Εστω X = (R n, ) χώρος µε νόρµα διάστασης n. Η είναι ισοδύναµη µε την Ευκλείδεια νόρµα, δηλαδή υπάρχουν a, b > ώστε (8.3.1) 1 a x x b x για κάθε x R n. Στη συνέχεια ϑα υποθέτουµε ότι οι a, b είναι οι µικρότεροι ϑετικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύει η (8.3.1). Η συνάρτηση r : R µε r(x) = x, είναι Lipschitz συνεχής µε σταθερά b. Γράφουµε L r για τον µέσο Lévy της r. Λήµµα Εστω ε >. Υπάρχει n (ε) N ώστε για κάθε n n να ισχύει το εξής: αν m exp(c ε n/) και y 1,..., y m, τότε υπάρχει U O(n) ώστε, για κάθε i = 1,...,m, (8.3.) L r bε U y i L r + bε. Απόδειξη. Θα χρησιµοποιήσουµε το γεγονός ότι υπάρχει ϕυσιολογικό µέτρο πιθανότητας ν στην O(n) το οποίο έχει την εξής ιδιότητα: αν x και A, τότε (8.3.3) σ(a) = ν{u O(n) : U x A}. Ορίζουµε το σύνολο (8.3.4) A = {x : L r bε x L r + bε}. Από την Πρόταση 8..7 έχουµε (8.3.5). σ(a) 1 c 1 e c ε n Για κάθε i = 1,...,m ϑέτουµε (8.3.6) B i = {U O(n) : L r bε U y i L r + bε}. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

9 Οι (8.3.3) και (8.3.5) δείχνουν ότι (8.3.7) ν(b i ) > 1 c 1 e c ε n. Αφού m exp(c ε n/), το B = B i έχει µέτρο (8.3.8) ν(b) 1 ν(bi c ) 1 c 1 exp( c ε n/). Αν το n είναι αρκετά µεγάλο, έχουµε ν(b) > δηλαδή B. Τότε, αν U B παίρνουµε (8.3.9) L r bε U y i L r + bε για κάθε i = 1,...,m. Λήµµα 8.3. (δ-δίκτυο). Εστω δ (,1). Υπάρχει N S k 1 µε τις εξής ιδιότητες: (i) Για κάθε y S k 1 υπάρχει x N ώστε x y < δ. (ii) N ( 1 + δ ) k. Απόδειξη. Εστω N = {x 1,..., x m } ένα υποσύνολο της S k 1 του οποίου τα σηµεία έχουν ανά δύο απόσταση µεγαλύτερη ή ίση του δ και έχει τον µέγιστο δυνατό πληθάριθµο. Τέτοιο υποσύνολο υπάρχει λόγω της συµπάγειας της S k 1. Τότε, το N ικανοποιεί το (i): αν όχι, υπάρχει y S k 1 ώστε x i y δ για κάθε i {1,...,m}. Οµως τότε, το N = {x 1,..., x m, y} είναι ένα σύνολο του οποίου τα στοιχεία ανήκουν στην S k 1 και οι αποστάσεις τους ανά δύο είναι µεγαλύτερες ή ίσες του δ. Αυτό είναι άτοπο αφού το N έχει περισσότερα στοιχεία από το N. Για το (ii) ϑεωρούµε τα σύνολα x i + δ Bk, i m. Αυτά έχουν ανά δύο ξένα εσωτερικά, και (8.3.1) x i + δ Bk Bk + δ Bk για κάθε i = 1,...,m. Συνεπώς, (8.3.11) m i=1 ( x i + δ ) Bk ( 1 + δ ) B k. Επεται ότι (8.3.1) δηλαδή, m δ i=1 Bk ( 1 + δ ) k B k, (8.3.13) m ( ) k δ B (1 k + δ ) k B k. Αρα, m (1 + δ )k. Χρησιµοποιώντας τα παραπάνω δείχνουµε το εξής. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

10 Πρόταση Εστω δ,ε (,1). Αν (1 + /δ) k exp(c ε n/), τότε υπάρχει k-διάστατος υπόχωρος F του R n και υπάρχει δ-δίκτυο N της S F : F µε την ιδιότητα (8.3.14) L r bε x L r + bε για κάθε x N. Απόδειξη. Σταθεροποιούµε υπόχωρο F του R n µε διάσταση dim(f ) = k. Από το Λήµµα 8.3., υπάρχει δ-δίκτυο {y 1,..., y m } της µοναδιαίας σφαίρας S F του F, µε m (1 + /δ) k. Αφού (1 + /δ) k exp(c ε n/), το Λήµµα δείχνει ότι υπάρχει U O(n) µε την εξής ιδιότητα: για κάθε i m, (8.3.15) L r bε U y i L r + bε. Θέτουµε F := U(F ) και x i := U y i (i = 1,...,m). Αφού ο U είναι ορθογώνιος µετασχηµατισµός, το {x 1,..., x m } είναι δ-δίκτυο της S F, για το οποίο ισχύει (8.3.16) L r bε x i L r bε. Αυτό αποδεικνύει την Πρόταση. Χρησιµοποιώντας τώρα το γεγονός ότι η είναι νόρµα, ϑα περάσουµε από το δ-δίκτυο N της S F σε ολόκληρη την S F. Πρόταση Εστω F ένας k-διάστατος υπόχωρος του (R n, ) για τον οποίο υπάρχει δ-δίκτυο N της S F µε την ιδιότητα (8.3.17) L r bε x L r + bε για κάθε x N. Τότε, για κάθε y S F έχουµε (8.3.18) 1 δ 1 δ L r bε 1 δ y L r + bε 1 δ. Απόδειξη. Εστω y S F. Υπάρχει x N ώστε y x = δ 1 < δ. Τότε, x 1 N ώστε (8.3.19) Τότε, y x x 1 = δ < δ. δ 1 (8.3.) y x δ 1 x 1 = δ 1 δ < δ. Συνεχίζοντας επαγωγικά, ϐρίσκουµε x,..., x n N ώστε (8.3.1) όπου δ = 1. Αφού δ < 1, y n i= i δ j x i δ n+1, j= y x δ 1 S F, άρα υπάρχει (8.3.) y = i= i δ j x i. j= Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 1

11 i Οµως, δ j δ i, άρα j= i y = δ j x i i= j= = L r + bε 1 δ. δ i x i (L r + bε) i= i= δ i Επίσης, Αρα, (8.3.3) για κάθε y S F. i y x δ j x i L r bε i=1 j= δ 1 δ (L r + bε) = 1 δ 1 δ L r bε 1 δ. 1 δ 1 δ L r bε 1 δ y L r + bε 1 δ Επιλέγοντας κατάλληλα τα δ, ε, παίρνουµε µία πρώτη εκτίµηση για τη διάσταση των σχεδόν Ευκλείδειων υποχώρων του X = (R n, ). Θεώρηµα Εστω X = (R n, ) χώρος µε νόρµα r(x) = x που ικανοποιεί την x b x για κάθε x R n, και έστω ε (,1). Αν (8.3.4) k k X (ε) := c 3 ε [log 1 (1/ε)]n ( ) Lr, b όπου c 3 > κατάλληλη απόλυτη σταθερά, τότε υπάρχει υπόχωρος F του R n µε dimf = k ώστε: για κάθε x S F, (8.3.5) (1 + ε) 1 L r x L r (1 + ε). Απόδειξη. Από την Πρόταση 8.3.4, αν ζ, δ (,1) και ο k N ικανοποιεί την (1 + /δ) k exp(c ζ n/), τότε για τον τυχαίο k-διάστατο υπόχωρο F του R n και για κάθε x S F έχουµε (8.3.6) 1 δ 1 δ L r bζ 1 δ x L r + bζ 1 δ. Για την (8.3.5) αρκεί να επιλέξουµε τα δ, ζ (,1) έτσι ώστε (8.3.7) και (8.3.8) Αν επιλέξουµε ζ = L r δ b L r + bζ 1 δ L r (1 + ε) L r 1 + ε 1 δ 1 δ L r bζ 1 δ. και δ = ε 3, παρατηρούµε ότι οι δύο ανισότητες επαληθεύονται. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 11

12 Μένει να προσδιορίσουµε την ελάχιστη τιµή του k η οποία ικανοποιεί την ( (8.3.9) ) k ( ) exp ϵ c Lr 18 ε n. b Ζητάµε (8.3.3) klog 6 ε c ε n οπότε αρκεί να ικανοποιείται η k k X (ε). ( ) Lr, b Το Θεώρηµα µας λέει ότι η διάσταση των σχεδόν Ευκλείδειων υποχώρων του X = (R n, ) εξαρτάται απο την τάξη της ποσότητας L r b. Θεωρούµε τη µέση τιµή της r(x) = x (8.3.31) M = x dσ(x). Τότε, οι L r και M συγκρίνονται αν το γινόµενο ab δεν είναι «πολύ µεγάλο». Λήµµα Υποθέτουµε ότι η r(x) = x ικανοποιεί την 1 a x x b x για κάθε x Rn, και ότι ab n. Τότε, (8.3.3) όπου c > απόλυτη σταθερά. 1 M L r c, Απόδειξη. Χωρίς περιορισµό της γενικότητας µπορούµε να υποθέσουµε ότι x x b x, όπου b n. Από την Πρόταση 8..7, για κάθε ε > έχουµε (8.3.33) σ{x : r(x) L r bε} c 1 exp( c ε n). Γράφουµε (8.3.34) M L r r(x) L r dσ(x) = Θέτουµε bε = t. Χρησιµοποιώντας την b n, παίρνουµε (8.3.35) M L r Συνεπώς, (8.3.36) σ{x : r(x) L r t}dt. c 1 exp( c t )dt = c 4. M 1 c 4. L r L r Οµως, αν x τότε x x 1. Αρα, L r 1. Επεται ότι (8.3.37) Για την αντίστροφη ανισότητα, παρατηρούµε ότι (8.3.38) M = x dσ(x) Αρα, M/L r 1/. M L r c = 1 + c 4. {x: x L r } x dσ(x) 1 L r. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 1

13 Λήµµα Για κάθε 1 m n ισχύει (8.3.39) όπου c 5 > απόλυτη σταθερά. max j m x j dσ(x) c 5 ( ) 1/ logm, n Απόδειξη. Θεωρούµε το µέτρο του Gauss γ n στον R n µε πυκνότητα την (π) n/ exp( x /). Ολοκλη- ϱώνοντας σε πολικές συντεταγµένες ϐλέπουµε ότι όπου λ n n. Οµως, R m max j m t j dγ m (t) = R n = λ n max j m t j dγ n (t) max j m x j σ(dx), ) γ m (t : max t j < s j m s = (π) m/ = 1 π s s s s s e t / dt exp 1 m m j=1 t j (1 ce s / ) m. dt 1 dt m Αρα, αν επιλέξουµε s c 1 logm, καταλήγουµε στην ) (8.3.4) γ m (t : max t j c 1 logm j m 1. Τότε, max j m x j σ(dx) c 1 c 1 1 n R m max j m t j dγ m (t) ) logm γ m (t : max t j c 1 logm n j m ( ) 1/ logm. n Μπορούµε τώρα να δείξουµε το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Το ϑεώρηµα που ακολουθεί είναι ισοδύναµο µε το Θεώρηµα (αρκεί να ϑυµηθείτε τον ορισµό της απόστασης Banach-Mazur). Θεώρηµα Εστω X = (R n, ) χώρος µε νόρµα, διάστασης n, ώστε η B n να είναι το ελλειψοειδές µέγιστου όγκου της B X. Για κάθε ε > υπάρχει υπόχωρος F του X διάστασης k cε [log 1 (1/ε)]logn, µε την ιδιότητα: για κάθε x S F, (8.3.41) (1 + ε) 1 L r x L r (1 + ε). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 13

14 Απόδειξη. Από το ϑεώρηµα του John, έχουµε (8.3.4) 1 n x x x για κάθε x R n. Τότε, το Λήµµα δείχνει ότι (8.3.43) 1 M L r c, όπου M = x dσ(x). Από το λήµµα Dvoretzky-Rogers (Πόρισµα 7.7.3) υπάρχει µία ορθοκανονική ϐάση {x 1,..., x n }, µε x i 1 για i = 1,,...,[n ]. Θεωρούµε τις συναρτήσεις Rademacher r i : [,1] { 1,1} µε (8.3.44) r i (t) = sign ημ(π i t). Τότε, ο τελεστής T t : l n ln µε n (8.3.45) T t i=1 a i x i = n r i (t)a i x i είναι ισοµετρία (για όλες, εκτός από πεπερασµένες, τις τιµές του t [,1]. Το σ είναι αναλλοίωτο ως προς τις ισοµετρίες, άρα i=1 (8.3.46) M = n a i x i dσ(a) = i=1 1 n r i (t)a i x i dt dσ(a). i=1 Ισχυρισµός. Για κάθε j = 1,... n, (8.3.47) 1 n r i (t)y i dt y j. i=1 Απόδειξη του Ισχυρισµού. Για n = 1 το Ϲητούµενο είναι προφανές, οπότε υποθέτουµε ότι (8.3.48) 1 n 1 r i (t)y i dt y j i=1 για κάθε j = 1,...,n 1. Από την τριγωνική ανισότητα, για κάθε t [,1] έχουµε n 1 (8.3.49) n 1 r i (t)y i n 1 r i (t)y i + y n + r i (t)y i y n, i=1 i=1 i=1 οπότε, ολοκληρώνοντας παίρνουµε (8.3.5) 1 n 1 r i (t)y i dt i=1 1 n r i (t)y i dt. i=1 Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 14

15 Χρησιµοποιώντας την επαγωγική υπόθεση έχουµε (8.3.51) 1 n r i (t)y i dt y j i=1 για κάθε j = 1,...,n 1, και η απόδειξη του ισχυρισµού ολοκληρώνεται µε κυκλική εναλλαγή των y j. Παίρνοντας y i = a i x i, έχουµε (8.3.5) 1 n r i (t)a i x i dt max a ix i. 1 i n i=1 Επιστρέφοντας στην (8.3.46) παίρνουµε (8.3.53) M max a ix i dσ(a) 1 i n Τώρα, εφαρµόζοντας το λήµµα Dvoretzky-Rogers έχουµε (8.3.54) M 1 max a i dσ(a), 1 i [ n ] και από το Λήµµα έπεται ότι (8.3.55) M c log[ n ] n max 1 i [ n ] a ix i dσ(a). c logn n. Αφού L r cm, από το Θεώρηµα συµπεραίνουµε ότι, αν ( ) k = [k X (ε)] = c 3 ε [log 1 Lr (1/ε)]n b ( ) M c 3 ε [log 1 (1/ε)]n b c 3 ε [log 1 (1/ε)]logn, τότε υπάρχει υπόχωρος F του R n µε dimf = k ώστε: για κάθε x S F, (8.3.56) (1 + ε) 1 L r x L r (1 + ε). Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη. Απόδειξη του Θεωρήµατος Εστω X = (R n, ) n-διάστατος χώρος µε νόρµα και έστω ε (,1). Επιλέγουµε δ = ε/4, οπότε (1 + δ) 1 + ε. Υπάρχει T GL(n) ώστε το ελλειψοειδές µέγιστου όγκου του T (B X ) να είναι η B n. Ορίζουµε r(x) = x T (BX ) και ϑεωρούµε τον µέσο L r της r. Από το Θεώρηµα 8.3.8, υπάρχουν k c(δ)logn = c(ε)logn και k-διάστατος υπόχωρος F του R n ώστε (8.3.57) L r (1 + δ) ( B n F ) T (B X ) F (1 + δ)l r ( B n F ). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 15

16 Αν ορίσουµε F 1 = T 1 (F), έχουµε d(f 1,l k ) (1 + δ) 1 + ε. Η γεωµετρική διατύπωση του Θεωρήµατος είναι η εξής: Για κάθε συµµετρικό κυρτό σώµα K στον R n και για κάθε ε >, υπάρχουν k cε logn, υπόχωρος F του R n διάστασης k, και ελλειψοειδές E στον F ώστε (8.3.58) E K F (1 + ε)e. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 16