Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Young

Transcript

1 Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Youg Ασπασία Κωτσογιάννη Περίληψη Ο µετασχηµατισµός Fourier Εστω f L. Ορίζουµε. fξ = π fxe ix ξ dx, ξ. Το ολοκλήρωµα Lebesgue στη σχέση. συγκλίνει για κάθε ξ και έτσι ορίζεται η συνάρτηση f η οποία ονοµάζεται µετασχηµατισµός Fourier της f. Συχνά, χρησιµοποιείται ο συµβολισµός Ff = f. Οι παρακάτω είναι µερικές από τις πολλές γνωστές ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourier: α Ο τελεστής F είναι γραµµικός. ϐ Η συνάρτηση Ff είναι συνεχής στον όπως ϕαίνεται µε απλή εφαρµογή του ϑεωρήµατος κυριαρχηµένης σύγκλισης. γ Ισχύει. f π f.. Για κάθε f, g L το ολοκλήρωµα f gx = fx ygydy π ορίζεται για σχεδόν κάθε x, η οριζόµενη συνάρτηση είναι στοιχείο του L και ονοµά- Ϲεται συνέλιξη των f, g. Ισχύει ότι f gξ = fξĝξ για κάθε ξ όπως αποδεικνύεται µε εφαρµογή του ϑεωρήµατος Fubii.

2 Από την. ϕαίνεται ότι ο τελεστής F : L L είναι ϕραγµένος και.3 Ff π f για κάθε f L. Επίσης, ο µετασχηµατσµός Fourier µπορεί να ορίστεί στον L και από το ϑεώρηµα του Placherel ισχύει f = f για κάθε f L. ηλαδή, ο τελεστής F : L L είναι ϕραγµένος και.4 Ff = f για κάθε f L. Η ανισότητα.5 Ff π f για κάθε f L, όπου < < και είναι ο συζυγής εκθέτης του, ονοµάζεται ανισότητα Hausdorff-Youg. Στην πραγµατικότητα οι Hausdorff-Youg απέδειξαν την ανισότητα στο πλαίσιο των σειρών Fourier και η ανισότητα.5 αποδείχθηκε σαν πόρισµα από τον Titchmarsh. Η σταθερά που παρουσιάζεται στην ανισότητα δεν είναι η ϐέλτιστη όταν < <. Ο Babeo προσδιόρισε τη σταθερά c στην ανισότητα Ff c f στις περιπτώσεις όπου =, 4, 6,..., δηλαδή όταν ο είναι άρτιος ακέραιος. Ο Becer προσδιόρισε τη ϐέλτιστη σταθερά c για κάθε,. Εστω fx = c ex Ax x + b x, όπου c 0, A πραγµατικός συµµετρικός ϑετικά ορισµένος πίνακας και b = µ+iv είναι µιγαδικό διάνυσµα δηλαδή µ, v. Κάθε τέτοια συνάρτηση ονοµάζεται συνάρτηση Gauss. Γράφοντας A = U DU όπου U είναι ορθογώνιος πίνακας και D είναι διαγώνιος πίνακας µε ϑετικά διαγώνια στοιχεία, και κάνοντας πράξεις και απλές αλλαγές µεταβλητής καταλήγουµε στην c fξ = det A ex 4 A ξ + ib ξ + ib. Επίσης, κάνοντας πράξεις παίρνουµε και Άρα, f = c f = c.6 f = π det A π det A [ π ex 4 A µ µ ex 4 A µ µ. ] f. π Οι Babeo και Becer απέδειξαν το ακόλουθο Θεώρηµα :

3 Θεώρηµα.. Για κάθε f L, < <, = / ισχύει.7 Ff c, f όπου c, = [ π ]. π Η c, είναι προφανώς ϐέλτιστη αφού η ανισότητα.7 γίνεται ισότητα όταν η f είναι συνάρτηση Gauss, σύµφωνα µε την.6. Ο Lieb απέδειξε ότι η.7 γίνεται ισότητα µόνο όταν η f είναι συνάρτηση Gauss. Σκοπός µας σε αυτή την εργασία είναι να παρουσιάσουµε την απόδειξη του Becer για το Θεώρηµα αυτό. Οι συναρτήσεις Hermite και ο πυρήνας του Mehler d Ορισµός.. Οι συναρτήσεις H x = e x e x, = 0,,,... είναι προφανώς πολυώνυµα dx ϐαθµού. Τα πολυώνυµα αυτά ονοµάζονται πολυώνυµα Hermite. Λήµµα.. Τα πολυώνυµα Hermite ικανοποιούν την =0 t H x! = e tx t, t C, x. Ορισµός.3. Οι συναρτήσεις ψx =! π / H xe x /, = 0,,,... ονοµάζονται συναρτήσεις Hermite και είναι στοιχεία της κλάσης S. Ορισµός.4. Ορίζουµε τον πυρήνα του Mehler Kx, y, t = για πραγµατικούς x, y και µιγαδικό t µε t <. x π t ex y Θεώρηµα.5. Ο πυρήνας του Mehler ικανοποιεί την. Kx, y, t = t ψ xψ y. =0 x yt t Λήµµα.6. Οι συναρτήσεις Hermite ψ x, = 0,,,... είναι ορθοκανονικό σύστηµα στον L. Θεώρηµα.7. Οι συναρτήσεις Hermite ψ x, = 0,,,... αποτελούν ορθοκανονική ϐάση του L. 3

4 3 Η εργασία του Becer Η εργασία του Becer πάνω στην ανισότητα Hausdorff-Youg έχει έντονη πιθανοθεωρητική χροιά. Ουσιαστικό ϱόλο παίζει το µέτρο του Gauss στο, dµx = π e x dx. Χρειάζεται να εισάγουµε κάποιες παραλλαγές του πυρήνα του Mehler και των πολυωνύµων Hermite και δουλεύουµε στους χώρους L, µ. Ορισµός 3.. Ορίζουµε T x, y, t = πkx, y, te x +y = ex t t t x t t y + t t xy για κάθε x, y και t C µε t <. Ορισµός 3.. Ορίζουµε επίσης για κάθε x και N 0. H x = H! x = π 4 ψ xe x Λήµµα 3.3. α T x, y, t = =0 t H xh y. ϐ Τα πολυώνυµα του Ορισµού 3. αποτελούν ορθοκανονική ϐάση του L, µ. γ Για κάθε a > 0 οι συναρτήσεις xe ax, όπου x είναι οποιοδήποτε πολυώνυµο, είναι πυκνές στον L, < < +. δ Τα πολυώνυµα είναι πυκνά στον L, µ, < < +. Απόδειξη. α Βάσει της. και των Ορισµών 3. και 3. έχουµε T x, y, t = π = π = t ψ xe x ψ ye y =0 =0! π t H xh y t H xh y. =0 ϐ Αυτό αποτελεί άµεση συνέπεια του Θεωρήµατος.7: H xh m xdµx = ψ xψ m xdx = {, αν = m 0, αν m 4

5 Άρα το {H x} αποτελεί ορθοκανονικό σύνολο. Εστω f L, µ µε H xfxdµx = 0 για κάθε N 0. Ορίζουµε τη συνάρτηση gx = fxe x, x. Προφανώς g L και ψ xgxdx = H π xfxdµx = 0 4 για κάθε N 0. Άρα g = 0 και εποµένως f = 0. Άρα το {H } αποτελεί ορθοκανονική ϐάση του L, µ. γ Εστω f L, = ξ και γράφουµε, µε fxxe ax dx = 0 για κάθε πολυώνυµο x. Θεωρούµε e ixξ = iξ x.! =0 Επειδή τα µερικά αθροίσµατα της σειράς είναι οµοιόµορφα ϕραγµένα από τη συνάρτηση ξx =0! = e ξx και επειδή fxe ξx e ax L, συνεπάγεται από το Θεώρηµα κυριαρχηµένης σύγκλισης ότι π fxe ax e ixξ dx = π Άρα, Ffxe ax = 0 και εποµένως f = 0. =0 δ Αυτό είναι συνέπεια του γ. Εστω f L, µ, = iξ! fxx e ax dx = 0., µε fxxdµx = 0 για κάθε πολυώνυµο x. Θεωρούµε τη συνάρτηση gx = fxe x και έχουµε : gx dx = fx e x dx = π fx dµx < + και gxxe x dx = fxxe x dx = π fxxdµx = 0 για κάθε πολυώνυµο x. Από το γ συνεπάγεται ότι g = 0 και εποµένως f = 0. Ορισµός 3.4. Ορίζουµε T t fx = T x, y, tfydµy. Λήµµα 3.5. Ο T t είναι ϕραγµένος γραµµικός µετασχηµατισµός Λήµµα 3.6. Εστω < < και = T t : L, µ L, µ.. Θέτουµε µ = π π και t = i. Τα παρακάτω είναι ισοδύναµα : i F f m f για κάθε f L. 5

6 ii T t g L,µ g L,µ για κάθε g L, µ. Απόδειξη. Με απλό υπολογισµό ϐλέπουµε ότι 3. T x, y, i = { ex x + } y + i xy. α Εστω ότι ισχύει η ii. Τότε, Θεωρούµε την fx = xe x, όπου x τυχόν πολυώνυµο, και τη συνάρτηση Ff gx = fxe x = x L, µ. ξ = fxe i xξ dx. π Άρα το ολοκλήρωµα είναι καλά ορισµένο, αφού f L. Εποµένως, Ff ξ = gxe i xξ e x e x dµx = gxe x e i xξ dµx. Βάσει της 3., Άρα, Ff ξ = T x, ξ, i gxdµx = T tgξ. Ff = Ffξ dξ = T tgξ π = π = µ f. e ξ dξ T t L,µ fx e x dµx Άρα, η i ισχύει για ένα πυκνό υποσύνολο του L σύµφωνα µε το Λήµµα ;; γ και εποµένως ισχύει για κάθε f L. ϐ Η απόδειξη του αντίστροφου είναι παρόµοια. Άρα η εργασία του Becer συνίσταται από εδώ και πέρα στο να αποδείξει την ανισότητα ;; για συγκεκριµένη τιµή του t: t = i. Βάσει του Λήµµατος ;; δ αρκεί να αποδειχθεί η ;; για gx = x όταν x είναι τυχόν πολυώνυµο. 6

7 Θεωρούµε µια ακολουθία δοκιµών Beroulli, δηλαδή 3. ν = δ + δ, όπου δ, δ είναι δύο µάζες Dirac στα σηµεία και αντίστοιχα. Ορίζουµε το µέτρο πιθανότητας της ν ϐάσει της 3.3 ν E = ν E για κάθε Borel σύνολο E. Τέλος ϑεωρούµε το µέτρο πιθανότητας ν = ν ν ν, τη συνέλιξη του ν µε τον εαυτό του ϕορές. Αυτό ισοδυναµεί µε την 3.4 fx dν x = fx + + x dν x dν x για κάθε f C. Λόγω των 3. και 3.3, x + + x 3.5 fx dν x = dνx dνx = f f ε ε + + ε, όπου το ε = ε,..., ε διατρέχει όλες τις -άδες προσήµων, δηλαδή το ε διατρέχει το σύνολο {, +} που έχει πληθάριθµο. Χρήσιµη ϑα είναι η παρακάτω ειδική περίπτωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήµατος. Λήµµα 3.7. Εστω f οποιαδήποτε συνεχής συνάρτηση στο, η οποια αυξάνει το πολύ πολυωνυµικά στο άπειρο. ηλαδή για κάποιο C > 0 και N 0 Τότε, fx C + x, x. fxdνx fxdµx,. Απόδειξη. Βήµα : Εστω f S. Τότε από την. έχουµε fxdν x = fξe ixξ dξ dν x = π π Οπότε ϐάσει της 3.5 έχουµε fxdν x = π = π = π fξ e i ξε i e ξε dξ ε fξ e i ξ ξ i + e dξ ξ fξ cos dξ. fξ e ixξ dν x dξ. 7

8 Για κάθε ξ και επειδή fξ µε cos cos ξ = ξ 4 + O ξ 4 e ξ 4,, ξ fξ L, από το ϑεώρηµα κυριαρχηµένης σύγκλισης παίρνου- fxdν x π = π = π = π fξe ξ 4 dξ fxe ixξ dx e ξ 4 dξ fx π e ξ 4 e ixξ dξ dx fxe x dx = fx dµx. Βήµα : Αποδεικνύουµε ότι οι ϱοπές των ν είναι οµοιόµορφα ϕραγµένες. Για τις ϱοπές άρτιας τάξης έχουµε : x dν x = x dν x = d dξ e ixξ ξ=0 dν x = d dξ e ixξ dν x = d ξ dξ cos. ξ=0 Σ αυτό το σηµείο εφαρµόζουµε τον τύπο του Cauchy για τις παραγώγους της αναλυτικής συνάρτησης z cos και έχουµε x dν x =! i =! max z = ex =! max z = ex όπου το C δεν εξαρτάται από το. Για τις ϱοπές περιττής τάξης έχουµε : x dν x = x < x < ξ=0 z dz cos! max z = z+ z = cos { } log cos z { } log z z O = C < +, x dν x + x x dν x dν x + x dν x + C. x Βήµα 3: Εστω f C µε fx C + x για κάποια C > 0 και N 0. Η συνάρτηση fx +x + z είναι στον C 0 και εποµένως για κάθε ε > 0 υπάρχει g S ώστε gx fx + x + ε 8

9 για κάθε x. Τώρα η συνάρτηση hx = + x + gx είναι στον S και Άρα, fxdν x fxdµx fx hx dν x + ε + x + dν x + hx fx ε + x +, x. hxdν x hxdν x από το Βήµα µε διαφορετική σταθερά C. Άρα, lim su fxdν x fxdµx εc από το Βήµα, και εποµένως fxdν x hxdµx + fx hx dµx hxdµx + ε + x + dµx fxdµx. Ορισµός 3.8. Ορίζουµε το χώρο { } ε ε E =,..., : ε j = ±, j και το µέτρο πιθανότητας µ = ν ν, δηλαδή dµ x = dν x dν x, x = x,..., x, το οποίο έχει ϕορέα ακριβώς το σύνολο E. 3.6 Άρα, έχουµε fxdν x = fx + + x dµ x E για κάθε συνεχή συνάρτηση f. Επειδή ο E είναι διακριτός χώρος και το µέτρο ν είναι διακριτό, η υπόθεση της συνέχειας για την f δε χρειάζεται. Το µέτρο µ είναι διακριτό µέτρο και ϑέτει µάζα / σε καθένα από τα σηµεία του E. Ολοι οι χώροι L E, µ ταυτίζονται και τα στοιχεία τους είναι όλες οι συναρτήσεις g : E C. Επειδή η συνάρτηση fx + + x είναι συµµετρική, δηλαδή αναλλοίωτη ως προς όλες τις αναδιατάξεις των x,..., x, δίνουµε τον ακόλουθο ορισµό. Ορισµός 3.9. Συµβολίζουµε µε X τον χώρο X := {h : E C : η h είναι συµµετρική}. Εποµένως, Q L E, µ για κάθε, +. 9

10 Ο σκοπός τώρα είναι να ορισθεί κατάλληλος τελεστής στο χώρο Q, «ανάλογος» του τελεστή T t : L, µ L, µ, και να υπολογιστεί η νόρµα του ώστε, περνώντας στο όριο καθώς, µε ϐάση το Λήµµα 3.7 να υπολογιστεί η νόρµα του T t. Η ιδέα είναι να περιγραφεί µια ορθοκανονική ϐάση στο χώρο Q L E, µ, η οποία ϑα παίζει τον ίδιο ϱόλο που παίζει η {H } στο χώρο L, µ. Ορισµός 3.0. Για κάθε, µε 0, ορίζουµε 3.7 ϕ, x = σ x,..., x, x = x,..., x { },. Οι συναρτήσεις ϕ, x, 0 αποτελούν ορθοκανονική ϐάση του Q L E, µ. Κάθε πολυώνυµο gx, x, ϐαθµού µικρότερου ή ίσου από γράφεται µε µοναδικό τρόπο σαν gx = c H x. =0 Με C [x] συµβολίζουµε το χώρο όλων των πολυωνύµων µεταβλητής x ϐαθµού το πολύ µε συντελεστές στο C. Ορισµός 3.. Για κάθε ορίζουµε τον τελεστή S : C [x] X ο οποίος δίνεται από τον τύπο 3.8 S x H = c ϕ,. =0 =0 Ορισµός 3.. Για κάθε ορίζουµε τον τελεστή µε τύπο K,t : X X 3.9 K,t c ϕ, = =0 c t ϕ,. Από το Λήµµα 3.5 και τις σχέσεις 3., 3.3 είναι ϕανερό ότι το διάγραµµα είναι αντιµεταθετικό. Πράγµατι για κάθε g = =0 c H ισχύουν οι =0 και S T t g = S c t H = c t ϕ, =0 =0 K,t S g = K,t c ϕ, = c t ϕ,. =0 =0 0

11 Επίσης είναι ϕανερό ότι ο τελεστής S είναι ισοµετρία ανάµεσα στους χώρους µε εσωτερικό γινόµενο C [x] L, µ και Q L E, µ, αφού απεικονίζει την ορθοκανονική ϐάση {H : 0 } του πρώτου στην ορθοκανονική ϐάση {ϕ, : 0 } του δεύτερου. Με αυτήν την έννοια ο K,t είναι ένα διακριτό «ανάλογο» του T t αν αυτός περιοριστεί στον C [x] L, µ. Θα αποδείξουµε τρία Θεωρήµατα. Θεώρηµα 3.3. Αν t = i, < <, = 3.0, τότε για κάθε ισχύει K,t hx dµ x hx dµ x, h X. E E Θεώρηµα 3.4. Για κάθε πολυώνυµο gx, x, ισχύει ότι : α ϐ gx dν x T t g dν x S g dµ x 0,. K,t S gx dµ x 0,. Το επόµενο ϑεώρηµα είναι ο τελικός µας στόχος. Θεώρηµα 3.5. Εστω < < και = µ =. Θέτουµε π. π Τότε Ff µ f, f L. Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι τα Θεωρήµατα 3.3 και 3.4 έχουν αποδειχθεί. Θεωρούµε τυχόν πολυώνυµο gx, x, και έστω ο ϐαθµός του gx. Εστω και +. Αν gx = l=0 c lh l x, τότε από το Λήµµα 3.7 και από το Θεώρηµα 3.4 α παίρνουµε S gx dµ x gx dµx. E Επίσης, και από το Λήµµα 3.7 και το Θεώρηµα 3.4 ϐ παίρνουµε K,t S gx dµ x T t gx. Από τις δύο αυτές σχέσεις και από το Θεώρηµα 3.3 µε h = S g, παίρνουµε T t gx gx dµx,

12 δηλαδή 3.3 T t g L,µ g L,µ. Σύµφωνα µε το Λήµµα ;; δ η 3.3 ισχύει για κάθε g L, µ, οπότε το Λήµµα 3.6 συµπληρώνει την απόδειξη. Λήµµα 3.6. Για κάθε, µε ισχύει 3.4 ϕ, = + ϕ +,ϕ, ϕ, + για τις τιµές των µεταβλητών x i = ±. Λήµµα 3.7. Για κάθε, µε και για όλες τις τιµές των µεταβλητών x i = ± ισχύει ότι 3.5 ϕ, x = H x + + x + [/] a,l H lx + + x. l= Οι συντελεστές a,l είναι, για κάθε, ϕραγµένες συναρτήσεις του. Απόδειξη. Από τις H 0 x =, H x = x, H x = x και τις ϐλέπουµε εύκολα ότι ϕ,0 x = σ 0 x,..., x = ϕ, x = σ x,..., x = x + + x ϕ, x = σ x,..., x = x x,..., x x, Εποµένως η 3.5 αληθεύει για =,. Για απλούστευση ϑέτουµε 3.6, x,..., x = Οπότε η 3.5 ισοδυναµεί µε ϕ,0 x,..., x = H 0 x + + x ϕ, x,..., x = H x + + x ϕ,x,..., x = H x + + x. 3.7, x,..., x = H x + + x + = ϕ, x,..., x + ϕ, x,..., x. [/] l= a,l H lx + + x.

13 Ο αναδροµικός τύπος 3.7 µε λίγες πράξεις γίνεται 3.8, =,, Επίσης έχουµε και τον αναδροµικό τύπο 3.9 H = H H,,. H, ο οποίος προέρχεται από τον ;; και τις ;;. Η 3.7 ϑα αποδειχθεί επαγωγικά µε ϐάση τις 3.8, 3.9 γνωρίζοντας ότι ισχύει για =,. Εστω λοιπόν ότι η 3.7 ισχύει για, µε. Τότε, γράφοντας για συντοµία x = x,..., x και Σx = x + + x, έχουµε,+ x =, x, x, x + + = H Σx H Σx = H + Σx + [/] l= [/] l=,l H Σx a H Σx + [/] + + H Σx + a,l H lσx l= [/] l= a,l H lσx. a,l + H ΣxH l Σx Σ αυτό το σηµείο παρατηρούµε ότι αν ϑέσουµε H x = 0, τότε ο αναδροµικός τύπος 3.9 ισχύει και για =. Εποµένως αντικαθιστώντας το H ΣxH l Σx µε l + H l+ Σx + lh l x παίρνουµε,+ x = H + Σx + + [/] l= l + a,l H l Σx = H + Σx + + [+/] l= l H Σx + [ /] l= + H Σx + a,l H l+σx [/] l= + [/] l= [+/] l= l + + a,l H l+σx a,l H l Σx l a,l H +Σx a,l H l+σx. 3

14 Παρατηρούµε ότι ο τελευταίος όρος l = [ + πρώτο άθροισµα µπορεί να επεκταθεί σε l = [ +,+ x = H + Σx + + [+/] l= και εποµένως αν ϑέσουµε 3.0 a +, = + + [ l + a + + a, ] στο δεύτερο άθροισµα είναι µηδέν, καθώς και ότι το ]. Άρα + H + Σx + l +,l + a,l + + a l + +,l = a l +,l + + a,l + + a, H + Σx ] a,l H + Σx, [ ] a +,l, l ϐλέπουµε αµέσως ότι ισχύει η 3.7 για +. Επειδή a, = 0, ϕαίνεται αµέσως µε επαγωγή από τις σχέσεις 3.0 ότι για σταθερό οι συντελεστές a,l είναι ϕραγµένες συναρτήσεις του. Απόδειξη του Θεωρήµατος 3.4. Εστω πολυώνυµο gx = l=0 c lh l x. α Από τη σχέση 3.6 έχουµε για : S gx dµ x gx dν x E = S gx dµ x gx + + x dµ x E S gx gx + + x dµ x E c E l [ϕ,l x,..., x H l x + + x ] dµ x l=0 c l ϕ,l x,..., x H l x + + x dµ x E l=0 Από το Λήµµα 3.7 και επειδή ο συντελεστής του ϕ, στη σχέση 3.5 συγκλίνει στο καθώς +, παίρνουµε ότι υπάρχει σταθερά C > 0 η οποία εξαρτάται µόνο από τα c 0,..., c και από. 4

15 το, αλλά όχι από το, ώστε S gx dµ x gx dν x E c H l x + + x dµ x l=0 E c H l x dν x l=0 από την 3.6. Οπως είδαµε στο Βήµα της απόδειξης του Λήµµατος 3.7, οι ϱοπές των ν είναι οµοιόµορφα ϕραγµένες ως προς. Άρα η τελευταία ποσότητα τείνει στο 0 όταν. ϐ Επειδή K,t S g = S T t g, η 3. είναι πόρισµα της 3. αν αυτή εφαρµοσθεί στο πολυώνυµο T t g. Αποµένει να αποδειχθεί το Θεώρηµα 3.3 το οποίο είναι διακριτό ανάλογο του Θεωρήµατος 3.5 στο διακριτό χώρο. { Θεωρούµε το χώρο µέτρου E =, }, dσx = dδ x + dδ x = dν x, και γνωρίζουµε ότι κάθε συνάρτηση f : E C γράφεται µε µοναδικό τρόπο σαν fx = ax + b για κατάλληλα a, b C. Θεωρούµε τον τελεστή T x,t : L E, σ L E, σ µε τύπο Επίσης ορίζουµε τον τελεστή T x,t : a + bx a + btx. K,t = T x,t T x,t : L E E, σ σ L E E, σ σ, δηλαδή σύµφωνα µε τον Ορισµό ;;. K,t : L E, µ L E, µ Λήµµα 3.8. Ο περιορισµός του K,t στον Q L E, µ ταυτίζεται µε τον τελεστή K,t. Απόδειξη. Εστω 0. Επειδή ο K,t απλώς πολλαπλασιάζει κάθε µία από τις µεταβλητές x,..., x µε τον παράγοντα t συνεπάγεται ότι K,t σ = t σ. Άρα, για κάθε συµµετρική h X, hx = =0 c σ x,..., x, έχουµε K,t h = c K,t σ = c t σ = K,t h Σύµφωνα µε την 3.3. =0 =0 5

16 Θεώρηµα 3.9. Εστω < <, = και t = i. Τότε 3. για κάθε f L E, σ. Απόδειξη. Με fx = a + bx η ;; γίνεται a + tb + a tb E T x,t fx dσx fx dσx E a + b + a b Αν a = 0 τότε η ανισότητα γίνεται t που είναι σωστό. Εστω, λοιπόν, a 0. Θέτοντας z = παίρνουµε την ισοδύναµη ανισότητα :. b a 3. + tz + tz + z + z, z C. Θέτουµε z = ξ i, ξ, η, οπότε η + tz = + η + ξ, tz = η + ξ, + z = + ξ + η, z = ξ + η. Άρα, η 3. ισοδυναµεί µε την 3.3 [ + η + ξ ] + [ η + ξ ] [ + ξ + η ] + [ ξ + η ]. Από την 3. έχουµε [ + η + ξ ] + [ η + ξ ] = + ηx + ξ L / ν όπου χρησιµοποιήθηκε το γεγονός ότι >. Επίσης, + ηx L / ν + ξ L / ν + η + η = + ξ, [ + ξ + η ] + [ ξ + η ] = + ξx + η L / ν. 6

17 Επειδή / < και + ξx 0, η 0. Άρα η 3.3 είναι ασθενέστερη από την ανισότητα + η + η / + ξ ξ + ξ / + η. Αν αποδείξουµε τις ανισότητες + η + η / η και ξ + ξ / + η είναι προφανές ότι συνεπάγεται η 3.4. Επίσης είναι ϕανερό µε ξ = 0 ή η = 0 ότι οι 3.5, 3.6 προκύπτουν από την 3.4. Άρα αρκεί να αποδείξουµε τις 3.5, 3.6. Αρχίζουµε µε την απόδειξη της 3.5. Αρκεί να αποδείξουµε την 3.5 για 0 < η αφού αυτή µένει αµετάβλητη αν αλλάξουµε το η σε η και είναι προφανής για η = 0. Επίσης εύκολα ϐλέπουµε ότι αρκεί να αποδείξουµε την 3.5 για 0 < η. Πράγµατι αν ισχύει για κάθε η µε 0 < η, τότε διαιρώντας την 3.5 µε η παίρνουµε Επειδή + /η + /η +. η η + + η 0 η και επειδή η τελευταία ανισότητα ισχύει αφού >, συνεπάγεται ότι + /η + /η + η. ηλαδή η ανισότητα 3.5 ισχύει για τον η. Θεωρούµε τη συνάρτηση η = { + η log + η } log + η, 0 < η. Και αρκεί να αποδείξουµε ότι 3.7 η 0, 0 < η <. Υπολογίζουµε : 3.8 η = + η η η + η + η + η = + η [ η] η [ + η] [ + η + η ][ + η ] η = [ + η + η ][ + η ]. 7

18 Τώρα. για 0 < η, αφού >. Άρα, η = η[ + η η ] 0 η 0 = 0, 0 < η και εποµένως παίρνουµε η 0, 0 < η. Άρα, η 0 = 0, 0 < η, και εποµένως αποδείχθηκε η 3.7 και κατ επέκταση η 3.5. Η απόδειξη της 3.6 είναι ακριβώς η ίδια : όλες οι ανισότητες αντιστρέφονται διότι <. Απόδειξη του Θεωρήµατος 3.3. Συνδυασµός του Θεωρήµατος 3.9 και των Ληµµάτων ;; και ;;. 8