Το ϑεώρηµα του Muntz

Transcript

1 Το ϑεώρηµα του Muntz Αλέξανδρος Βλάνδος, Χάρις Γανωτάκη, Ιάσων Ψωµάς Περίληψη Το ϑεώρηµα του Muntz µας λέει ότι ο υπόχωρος που παράγεται από το σύνολο των συναρτήσεων {, x p, }, όπου, είναι πυκνός στον (C[, ], ) αν και µόνο αν n= = + Παρουσιάζουµε την απόδειξη του Muntz και συζητάµε άλλες αποδείξεις και επεκτάσεις του ϑεω- ϱήµατος Εισαγωγή Ενα υποσύνολο S ενός χώρου µε νόρµα X λέγεται ολικό αν το σύνολο των (πεπερασµένων) γραµµικών συνδυασµών στοιχείων του S είναι πυκνό στον X ηλαδή, αν για κάθε f X και για κάθε ε > υπάρχουν g,, g m S και λ,, λ m R ώστε m f λ i g i < ε i= Με αυτήν την ορολογία, το προσεγγιστικό ϑεώρηµα του Weierstrass ισχυρίζεται ότι το σύνολο P = {, x, x 2, } είναι ολικό στον C[, ] Ενα ϕυσιολογικό ερώτηµα είναι να δοθούν κι άλλα παραδείγµατα ολικών υποσυνόλων του C[, ] Ειδικότερα, να χαρακτηριστούν τα υποσύνολα του P που είναι ολικά Το ερώτηµα αυτό τέθηκε από τον S N Bernstein το 92 Συγκεκριµένα, ϱώτησε ποιές είναι οι συνθήκες για µια αύξουσα ακολουθία = p < p < p 2 < < < που εξασφαλίζουν ότι ο υπόχωρος span{x p i : i =,, 2, } που παράγεται από τα µονώνυµα x p i είναι πυκνός στον (C[, ], ) Απέδειξε µάλιστα ότι η συνθήκη + log p i = + p i i=

2 είναι αναγκαία, και η συνθήκη lim i p i i log i = είναι ικανή, και έκανε την εικασία ότι µια αναγκαία και ικανή συνθήκη είναι η i= p i = + Η εικασία είναι εξαιρετικά ενδιαφέρουσα γιατί αποκαλύπτει µια σχέση ανάµεσα σε δύο, κατ αρχήν, ανόµοια γνωστά µας αποτελέσµατα : το γεγονός ότι το P = {, x, x 2, } είναι ολικό στον C[, ] και το γεγονός ότι η αρµονική σειρά αποκλίνει! Ο Muntz έλυσε το πρόβληµα, το 94, χρησιµοποιώντας τη µέθοδο των οριζουσών Gram για να υπολογίσει την απόσταση της x m από τον υπόχωρο span{, x p,, x pn } ως προς την «τετραγωνική νόρµα» ( /2 f 2 = f(x) dx) 2 Οι ορίζουσες που προκύπτουν είναι της µορφής det ( /( + a i + a j ) ) i,j n, και µια ακριβής έκφραση γι αυτές είχε δοθεί στον 9ο αιώνα από τον Cauchy Η ακριβής διατύπωση του δεύτερου ϑεωρήµατος του Muntz είναι η εξήσ: Θεώρηµα Εστω το σύνολο των συναρτήσεων {x p, } όπου 2 < Το σύνολο αυτό είναι ολικό ως προς την 2 στο [, ] αν και µόνο αν = + Χρησιµοποιώντας το αποτέλεσµα για την τετραγωνική νόρµα, ο Muntz απέδειξε το πρώτο του ϑεώρηµα για την οµοιόµορφη νόρµα : Θεώρηµα 2 Το σύνολο των συναρτήσεων {, x p, }, όπου, είναι ολικό ως προς την στο [, ] αν και µόνο αν n= = + Αξίζει να σηµειωθεί ότι ο Muntz, για την απόδειξη του Θεωρήµατος 2 χρησιµοποίησε το ϑεώρηµα του Fejér για την Cesàro αθροισιµότητα σειρών Fourier, και το επιχείρηµά του ήταν µάλλον πολύπλοκο Η απλή απόδειξη που δίνουµε εδώ (µε αναγωγή του Θεωρήµατος 2 στο Θεώρηµα ) οφείλεται στον Szász, ο οποίος το 96 ασχολήθηκε µε επεκτάσεις του ϑεωρήµατος στις οποίες ϑεωρούσε κάποιες ειδικές ακολουθίες µιγαδικών εκθετών p i 2

3 Οπως είναι ϕυσικό, υπάρχουν πολλοί τρόποι µε τους οποίους ϑα µπορούσε κανείς να γενικεύσει το πρόβληµα : αντί για τον χώρο C[, ] ϑα µπορούσε κανείς να ϑεωρήσει άλλους χώρους συναρτήσεων, όπως ο L p (a, b), ή να ϑεωρήσει το αντίστοιχο πρόβληµα για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ή µιγαδικές συναρτήσεις, για συναρτήσεις ορισµένες σε διάστηµα που δεν περιέχει το, για πιο γενικές ακολουθίες εκθετών, για πολυώνυµα µε ακέραιους συντελεστές, κλπ 2 Βέλτιστη τετραγωνική προσέγγιση Λήµµα 2 Εστω E χώρος µε εσωτερικό γινόµενο, x E και {e,, e n } πεπερασµένη ορθοκανονική ακολουθία στον E Η απεικόνιση έχει ολικό ελάχιστο στο σηµείο (λ,, λ n ) x λ j e j j= ( x, e, x, e 2,, x, e n ) ηλαδή, το y = n j= x, e j e j είναι το πλησιέστερο προς το x στοιχείο του υποχώρου F = span{e,, e n } Επιπλέον, το x y είναι κάθετο στον F, και αντίστροφα, αν y F και x y F τότε y = y Απόδειξη Για την καθετότητα : Κάθε y F γράφεται στη µορφή y = n j= y, e j e j Εχουµε x y F αν και µόνο αν x y, e j =, δηλαδή για κάθε j =,, n ηλαδή, αν y = y y, e j = x, e j Για το ολικό ελάχιτο : Για κάθε λ,, λ n, γράφοντας x λ j e j = x j= x, e j e j + j= = z + y, ( x, e j λ j )e j παρατηρούµε ότι z F (γιατί z, e j = για κάθε j =,, n) και y F, άρα y z Από το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα y + z 2 = y 2 + z 2, j= 3

4 δηλαδή x 2 x 2 2 λ j e j = x, e j e j + ( x, e j λ j )e j j= = x j= j= 2 x, e j e j + x, e j λ j 2 j= j= Τέλος, παρατηρούµε ότι το δεξί µέλος έχει ολικό ελάχιστο όταν λ j = x, e j, j =,, n 3 Το δεύτερο ϑεώρηµα του Muntz Θεώρηµα 3 Εστω το σύνολο των συναρτήσεων {x p, } όπου 2 < Το σύνολο αυτό είναι ολικό ως προς την 2 στο [, ] αν και µόνο αν = + Για την απόδειξη του ϑεωρήµατος ϑα χρειαστούµε τα παρακάτω λήµµατα : Λήµµα 32 (Gram) Εστω M ένας n-διάστατος υπόχωρος ενός χώρου µε εσωτερικό γινόµενο Η απόσταση d τυχόντος σηµείου g από τον M δίνεται από τον τύπο d 2 = G(f,, f n, g) G(f,, f n ), όπου {f,, f n } είναι µια ϐάση του M, και f, f f, f n G(f,, f n ) = f n, f f n, f n Απόδειξη Από το ϑεώρηµα ϐέλτιστης προσέγγισης έχουµε ότι υπάρχει f M τέτοιο ώστε η f g να είναι ελάχιστη Ισχύει επίσης ότι f g M και Θέτουµε Παίρνουµε λοιπόν το σύστηµα f = g, f i f i i= λ j = g, f j, j =,, n f g, f i = λ j f j g, f i = λ j f j, f i g, f i =, i =,, n, j= j= 4

5 ή ισοδύναµα, (3) λ j f j, f i = g, f i, i =,, n j= Εφόσον το σύστηµα των εξισώσεων έχει µοναδική λύση, η ορίζουσα G(f,, f n ) είναι µη µηδενική Από τις σχέσεις ορθογωνιότητας παίρνουµε d 2 = g f 2 = g f, g f = g, g g, f f, g f = g, g g, f, διότι f, g f =, αφού f M και g f M Επεται ότι g, λ j f j = g, f + d 2 = g, g, j= και χρησιµοποιώντας τη γραµµικότητα και την συµµετρική ιδιότητα του εσωτερικού γινοµένου, παίρνουµε (32) λ j f j, g + d 2 = g, g j= Από τις (3) και (32) παίρνουµε το σύστηµα λ f, f + + λ n f n, f + d 2 = g, f λ f, f n + + λ n f n, f n + d 2 = g, f n λ f, g + + λ n f n, g + d 2 = g, g Αυτό είναι ένα σύστηµα (n + ) εξισώσεων µε (n + ) αγνώστους, η λύση του οποίου δίνεται από την ορίζουσα Gram: d 2 = G(f,, f n, g) G(f,, f n ) Λήµµα 33 (Cauchy) Ισχύει η ταυτότητα a +b a +b n (a i + b j ) (i,j) a n+b a n+b n = (a i a j )(b i b j ) j<i 5

6 Απόδειξη Στο αριστερό µέλος έχουµε µια ϱητή συνάρτηση των a i, b i (i =,, n) η οποία δεν έχει πόλους εξαιτίας της παράστασης (a i + b j ) που ϐρίσκεται έξω από την ορίζουσα Άρα και τα δύο µέλη της ισότητας είναι πολυώνυµα Αν το δεξί µηδενίζεται, τότε ϑα έχουµε a i = a j ή b i = b j για κάποια i j Τότε όµως ϑα µηδενιστεί και το αριστερό µέλος, άρα συµπεραίνουµε ότι το δεξί µέλος είναι παράγοντας του αριστερού Αλλά και τα δύο µέλη είναι του ίδιου ϐαθµού, εποµένως το αριστερό µέλος είναι ϐαθµωτό πολλαπλάσιο του δεξιού Το ότι ο σταθερός τους λόγος είναι ίσος µε, δείχνεται αν πάρουµε όρια καθώς b a, b 2 a 2 κλπ Αν γράψουµε πρώτα το αριστερό µέλος στη µορφή a +b a a +b 2 +b a +b n (a i + b j ), i j a n+b n a n+b τότε η οριακή τιµή του αριστερού µέλους είναι a n+b n a n+b 2 (a i a j ), i j που είναι και η οριακή τιµή του δεξιού µέλους Λήµµα 34 Εστω < a n και a n Τότε, ( a n ) = n= a n = + Απόδειξη Εστω m N τέτοιος ώστε a n < 2 για κάθε n m Γι αυτούς τους ϕυσικούς n έχουµε log( a n ) + a n = a n a 2 n/2 a 3 n/3 + a n = a n 2 + a2 n 3 + a3 n 4 + < = 2 Άρα, για n m έχουµε και έπεται ότι οι δύο σειρές 3 2 n= a n log( a n ) < 2 log( a n ) n= συγκλίνουν ή αποκλίνουν ταυτόχρονα Ισοδύναµα, έχουµε n= a n = + αν και µόνο αν ( ) log( a n ) = log ( a n ) =, n= 6 και n= n= a n

7 το οποίο συµβαίνει ακριβώς όταν n= ( a n) = Λήµµα 35 Εστω m, p, p 2,, διακεκριµένοι πραγµατικοί αριθµοί, µεγαλύτεροι του 2 Η τετραγωνική απόσταση της x m από τον υπόχωρο που παράγει το {x p, x pn } στον C[, ] είναι d = Απόδειξη Από το Λήµµα Gram έχουµε n 2m + j= m p j m + p j + d 2 = G(xp,, x pn, x m ) G(x p,, x ) Επειδή x p, x q = (p + q + ) µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το Λήµµα Cauchy για να υπολογίσουµε την G(x p,, x pn ) στη µορφή p +p + p ++ j<i (p i p j ) 2 +p + ++ = (i,j)(p i +p j +) Μπορούµε να υπολογίσουµε και την G(x p,, x pn, x m ) µε παρόµοιο τρόπο, και ϐλέπουµε ότι είναι ίση µε j<i (p i p j ) 2 n j= (m p j) 2 (2m + ) (i,j) (p i + p j + ) n j= (m + p j + ) 2 Συνδυάζοντας τα παραπάνω έχουµε το συµπέρασµα Απόδειξη του Θεωρήµατος του Muntz Επειδή το σύνολο των πολυωνύµων είναι πυκνό, αρκεί να ϐρούµε ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε κάθε µονώνυµο x m να προσεγγίζεται από συναρτήσεις της µορφής n i= λ ix p i Από το Λήµµα 35 η απόσταση της x m από τον span{x p, x pn } στον C[, ] είναι n d n = m p j 2m + m + p j= j + Παρατηρούµε ότι d n αν και µόνο αν m p j m + p j + = 2m + m + p j + = j= j= Από το Λήµµα 34 αυτό συµβαίνει αν και µόνο αν j= 2m + m + p j + = 7

8 Η τελευταία συνθήκη είναι ισοδύναµη µε την p j p j = +, και η απόδειξη είναι πλήρης 4 Το πρώτο ϑεώρηµα του Muntz Θεώρηµα 4 Το σύνολο των συναρτήσεων {, x p, }, όπου, είναι ολικό ως προς την στο [, ] αν και µόνο αν n= = + Απόδειξη Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz γνωρίζουµε ότι σε κάθε χώρο µε εσωτερικό γινόµενο ισχύει f, g f g, όπου f = f, f /2 Θεωρώντας τον C[, ] µε το εσωτερικό γινόµενο που επάγεται από το ολοκλήρωµα, και παίρνοντας g(x), έχουµε ( /2 f(x) dx f(x) dx) 2 Άρα, για κάθε x [, ] κα για κάθε ακέραιο m µπορούµε να γράψουµε ( ) x xm λ i x p i = mt m λ i p i t p i (4) dt i= i= x mtm λ i p i t p i dt i= mtm λ i p i t p i dt i= mtm λ i p i t p i i= 2 dt /2 Υποθέτουµε ότι n= = + 8

9 Εστω ε > Από το δεύτερο ϑεώρηµα του Muntz, µπορούµε να επιλέξουµε m και λ,, λ m ώστε m 2 /2 mtm λ i p i t p i dt < ε Αφού το x [, ] στην (4) ήταν τυχόν, έπεται ότι xm λ i x p i < ε i= i= Η περίπτωση m = είναι τετριµµένη Αφού κάθε στοιχείο x m του P προσεγγίζεται από γραµµικό συνδυασµό στοιχείων του {, x p, } ως προς την, χρησιµοποιώντας το ϑεώρηµα του Weierstrass συµπεραίνουµε ότι το ίδιο ισχύει για κάθε f C[, ] Ετσι έχουµε αποδείξει τη µία κατεύθυνση της ισοδυναµίας Για την άλλη κατεύθυνση παρατηρούµε ότι αν n= < + τότε κάποια f C[, ] δεν προσεγγίζεται «αυθαίρετα καλά» από συναρτήσεις της µορφής n i= λ ix p i ως προς την 2 : δηλαδή, υπάρχει ε > ώστε, για κάθε n και για κάθε επιλογή συντελεστών λ, λ,, λ n ισχύει f(x) λ i x p i i= 2 dx ε 2 Αφού g 2 g για κάθε g C[, ], συµπεραίνουµε ότι, ια κάθε n και για κάθε επιλογή συντελεστών λ, λ,, λ n ισχύει f λ i x p i ε ηλαδή, το {, x p, } δεν είναι ολικό στον (C[, ], ) i= 5 Μια κατασκευαστική απόδειξη του von Golitscek Σε αυτήν την παράγραφο δίνουµε µια άλλη απόδειξη για το γεγονός ότι η συνθήκη i= p i = + 9

10 είναι ικανή στο Θεώρηµα 2, αν υποθέσουµε ότι p i Η απόδειξη αυτή οφείλεται στον von Golitschek και είναι κατασκευαστική, και ταυτόχρονα πολύ σύντοµη Η ιδέα είναι να ορίσουµε, για κάθε m, µια συγκεκριµένη ακολουθία (P n ) n προσεγγίσεων της x m και να αποδείξουµε ότι Q n, όπου Q n (x) = x m P n (x) Θέτουµε Q (x) = x m, και για κάθε n =, 2,, αν ήδη γνωρίζουµε ότι για κάποιους συντελεστές λ i,n, ορίζουµε και µετά, n Q n (x) = x m λ i,n x p i Q n (x) = ( m)x pm q n (t)t (+pn) dt x ( ) n = ( m)x pn t m λ i,n t p i t (+pn) dt x i= i= ( ) n = ( m)x pn t m (+pn) λ i,n t p i (+) dt [ t m pn n = ( m)x pn m =: x m x λ i,n x p i, i= P n (x) = i= i= λ i,n λ i,n x p i i= t p i (p i ) Παρατηρούµε αρχικά ότι Q = Για κάθε n, χρησιµοποιώντας την στοιχειώδη ανισότητα px p ( x) < που ισχύει για κάθε x (, ) και p >, ϐλέπουµε ότι Q n m Q n Συνεπώς, Q n n m, p i και η τελευταία ποσότητα τείνει στο όταν n, λόγω των υποθέσεων για τους p i i= ] x

11 6 Μετροθεωρητική µορφή του ϑεωρήµατος του Muntz Το ϑεώρηµα του Muntz µπορεί να διατυπωθεί σε µετροθεωρητική γλώσσα Υποέτουµε ότι (p i ) i= είναι µια αύξουσα ακολουθία ϑετικών πραγµατικών αριθµών και, για να αποφύγουµε κάποια τεχνικά προβλήµατα µε το, υποθέτουµε εδώ ότι οι συναρτήσεις που ϑέλουµε να προσεγγίσουµε µηδενίζονται στο Σε αυτήν την περίπτωση το ϑεώρηµα του Muntz µπορεί να διατυπωθεί ως εξήσ: Θεώρηµα 6 Ο χώρος span{x p i : i N} είναι πυκνός στον C [, ] = C[, ] {f : f() = } αν και µόνο αν i= p i = + Οταν προσπαθούµε να δείξουµε ότι κάποιος υπόχωρος ενός χώρου Banach είναι πυκνός, πολύ συχνά χρησιµοποιούµε το ϑεώρηµα Hahn-Banach µε τον εξής τρόπο : αν Y είναι ένας κλειστός υπόχωρος ενός χώρου Banach X, τότε Y X αν και µόνο αν υπάρχει ένα ϕραγµένο γραµµικό συναρτησοειδές L X τέτοιο ώστε L και L Y Ετσι, παίρνοντας X = C [, ] και Y = span{x p i : i N}, ϑα έχουµε ότι ο span{x p i : i N} είναι γνήσιος υπόχωρος του C [, ] αν και µόνο αν υπάρχει κάποιο L (C [, ]) \ {} µε την ιδιότητα L(x p i ) =, i =, 2, Από το ϑεώρηµα αναπαράστασης του Riesz, ο δυϊκός χώρος του C [, ] χαρακτηρίζεται ως εξήσ: L (C [, ]) αν και µονο αν υπάρχει προσηµασµένο πεπερασµένο Borel µέτρο µ στο (, ], τέτοιο ώστε (6) L(f) = f(t) dµ(t) Επιπλέον, από το ϑεώρηµα του Weiertstrass γνωρίζουµε ότι τα αλγεβρικά πολυώνυµα που µηδενίζονται στο σχηµατίζουν πυκνό υπόχωρο του C [, ] Άρα, µπορούµε να αναδιατυπώσουµε το Θεώρηµα 6 ως εξήσ: Θεώρηµα 62 (Feller) Εστω (p i ) i= µια αύξουσα ακολουθία ϑετικών πραγµατικών αριθµών Για κάθε προσηµασµένο πεπερασµένο Borel µέτρο µ µε ϕορέα το (, ], ϑεωρούµε την συνάρτηση (62) f(z) := Τότε, τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (α) i= p i = + t z dµ(t) (ϐ) Υπάρχει µη-µηδενικό προσηµασµένο πεπερασµένο Borel µέτρο µ στο (, ] τέτοιο ώστε f(p i ) = για κάθε i

12 Θα περιγράψουµε την απόδειξη της συνεπαγωγής (α) = (ϐ) Για δοθέν µέτρο µ κάνουµε την αλλαγή µεταβλητής t = e s που µετασχηµατίζει το διάστηµα (, ] στην ηµιευθεία [, ), το µέτρο µ σε ένα άλλο µέτρο ν στο [, ), και την (62) στην (63) f(z) = e zs dν(s) Θέλουµε λοιπόν να δείξουµε, µε την υπόθεση ότι ισχύει η συνθήκη (α), ότι υπάρχει προση- µασµένο πεπερασµένο Borel µέτρο ν στο [, ) τέτοιο ώστε η συνάρτηση f που ορίζεται από την (63) να µην µηδενίζεται ταυτοτικά, αλλά να ικανοποιεί την f(p i ) = για κάθε i ίνουµε µια απόδειξη στην οποία η σειρά αντιστρέφεται : πρώτα ορίζουµε µια συνάρτηση f που ικανοποιεί την f(p i ) = για κάθε i, και µετά αποδεικνύουµε ότι αυτή η συνάρτηση αναπαρίσταται στη µορφή (63) Θεωρούµε η > και ορίζουµε f(t) := ( + η + t) 2 i= p i t p i + 2η + t Από την συνθήκη (α) εξασφαλίζεται η σύγκλιση του απειρογινοµένου µέσω του οποίου ορίζεται η f Η σύγκλιση είναι οµοιόµορφη και απόλυτη στα συµπαγή υποσύνολα του C \ { p i 2η} i= Ειδικότερα, η f ορίζεται καλά στο [, ) και µηδενίζεται στα p i, i Ορίζουµε f (t) := ( + η + t) 2 και Παρατηρούµε ότι όπου u (s) := se (+η)s µορφή f i (t) := f (t) = p i t p i + 2η + t f i (t), i =, 2, se (+t+η)s ds = e ts u (s)ds, Υποθέτουµε ότι, για κάθε i < n, η συνάρτηση f i γράφεται στη f i (t) = e ts u i (s)ds για κάποια u i µε u i () = (κάτι που ισχύει για i = ) Θα αποδείξουµε ότι το ίδιο ισχύει για k = n Από τον ορισµό της f n έχουµε f n (t) = t + 2η + t f n (t) = t + 2η + t και µε ολοκλήρωση κατά µέρη ϐλέπουµε ότι tf n (t) = e ts u n (s)ds, 2 e ts u n (s)ds,

13 και όπου u n είναι η λύση της εξίσωσης f n (t) = e ts u n (s)ds, (64) u n + u n = u n ( + 2η)u n µε u n () = Επιπλέον, µπορούµε να ελέγξουµε ότι η λύση u n ικανοποιεί την lim t u n (t) = Πολλαπλασιάζοντας τα δύο µέλη της (64) µε (u n + u n ) παίρνουµε Άρα, για κάθε h >, και έπεται ότι 2 [(u n + u n ) 2 ] = (u n + u n )(u n + u n ) = (u n + u n )( u n ( + 2η)u n ) = (u 2 n u 2 n) η(2u 2 n + 2u n u n ) ( + η)(u 2 n u 2 n) h 2 (u n(h) + u n (h)) 2 = 2 [(u n(t) + u n (t)) 2 ] dt ( + η) u 2 n(t) dt h (u 2 n (t) u 2 n(t)) dt, u 2 n (t) dt για κάθε n =, 2, Από την σύγκλιση των f n στην f και από την ασθενή ακολουθιακή συµπάγεια της µοναδιαίας µπάλας του L 2 (, ), συµπεραίνουµε ότι υπάρχει u L 2 (, ) που ικανοποιεί την f(t) = e ts u(s)ds, για κάθε t Το επιχειρηµα που χρησιµοποιήσαµε για την f δουλεύει και για την f (t) := f(t η) (αν επιλέξουµε p i = p i + η και η = στη ϑέση των p i και η) Άρα, f (t) = e ts u (s)ds, για κάθε t, όπου u (s) := e ηs u(s) L 2 (, ) Αυτό εξασφαλίζει ότι u(t) dt <, άρα η f είναι της µορφής (63), µε ν το µέτρο που έχει πυκνότητα την u 3

14 Αναφορές [] J M Almira, Muntz type theorems, Surveys in Approximation Theory 3 (27), [2] S N Bernstein, Sur les recherches récentes relatives à la meilleure approximation des fonctions continues par les polynômes, in Proc of the fifthth Inter Math Congress (92), [3] M v Golitschek, A short proof of Muntz theorem, J Approx Theory 39 (983) [4] C H Muntz, Uber den Approximationssatz von Weierstrass, in H A Schwarz s Festschrift, Berlin, 94, [5] O Szász, Uber die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Aggregate von Potenzen, Math Ann 77 (96),