Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μετασχηµατισµός Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
|
|
- Βλάσις Αναγνωστάκης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ενότητα: Μετασχηµατισµός Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών
2 Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2
3 Περιεχόµενα ενότητας 8 Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Fourier στον L 1 ( ) Ο τύπος αντιστροφής του Fourier Μετασχηµατισµός Fourier στον L 2 ( ) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3
4 8 Μετασχηµατισµός Fourier 8.1 Μετασχηµατισµός Fourier στον L 1 ( ) Ορισµός (µετασχηµατισµός Fourier). Εστω f L 1 ( ). Ο µετασχηµατισµός Fourier της f είναι η συνάρτηση f : C µε f (ξ) f (x)e 2πi ξ,x dλ(x), ξ. Λήµµα Ο τελεστής F 1 : L 1 ( ) L ( ) που ορίζεται από την F 1 ( f ) f είναι ϕραγµένος τελεστής, και F 1 1. Απόδειξη. Εστω f L 1 ( ). Για κάθε ξ έχουµε f (ξ) R n f (x)e 2πi ξ,x dλ(x) f (x) dλ(x) f 1. f (x) e 2πi ξ,x dλ(x) Επεται ότι f sup f (ξ) f 1. ξ Η γραµµικότητα του F 1 είναι απλή: από την γραµµικότητα του ολοκληρώµατος έπεται ότι, για κάθε f, g L 1 ( ) και για κάθε a, b K ισχύει a f + bg a f + bĝ. Λήµµα Εστω f L 1 ( ). µηδενίζεται στο άπειρο: Ο µετασχηµατισµός Fourier f της f είναι συνεχής συνάρτηση και ( ) lim ξ f (ξ) 0. Ειδικότερα, η f είναι οµοιόµορφα συνεχής. Απόδειξη. Για τη συνέχεια της f σταθεροποιούµε ξ και τυχούσα ακολουθία (t k ) στον µε t k 0. Γράφουµε f (ξ + t k ) f (ξ) f (x) e 2πi ξ+tk,x e 2πi ξ,x dλ(x) f (x) e 2πi ξ,x e 2πi tk,x 1 dλ(x) f (x) e 2πi tk,x 1 dλ(x). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4
5 Ορίζουµε g k (x) f (x) e 2πi t k,x 1. Αφού lim k (e 2πi t k,x ) 1 για κάθε x, έχουµε g k (x) 0 σχεδόν παντού (σε κάθε x για το οποίο f (x) < ). Επίσης, 0 g k (x) f (x) ( e 2πi t k,x + 1) 2 f (x). Μπορούµε λοιπόν να εφαρµόσουµε το ϑεώρηµα κυριαρχηµένης σύγκλισης: έχουµε lim g k (x) dλ(x) 0, k δηλαδή f (ξ + t k ) f (ξ). Αυτό αποδεικνύει ότι η f είναι συνεχής στο ξ. Για την απόδειξη της ( ) µπορούµε να δουλέψουµε µε διάφορους τρόπους. Ο πρώτος είναι να ξεκινήσουµε αποδεικνύοντάς την για την χαρακτηριστική συνάρτηση ενός ορθογωνίου Q n [a j, b j ]. j1 Στην περίπτωση n 1 έχουµε άρα χ [a,b] (ξ) b a e 2πiξt dλ(t) e 2πiξa e 2πiξb, 2πiξ χ [a,b] (ξ) 2 2π ξ καθώς το ξ. Στην γενική περίπτωση, χρησιµοποιώντας το ϑεώρηµα Fubini, γράφουµε χ Q (ξ) b 1 a 1 n j1 b j b n a n 2πi e n j1 a j e 2πiξ jt j dλ(t) j 0 ξ j t j dλ(t)n dλ(t) 1 n j1 e 2πiξ j a j e 2πiξ j b j 2πiξ j. Παρατηρώντας ότι κάθε όρος του γινοµένου ϕράσσεται απολύτως από b j a j (ϑυµηθείτε το Λήµµα 8.1.2) µπορούµε να γράψουµε 1 χ Q (ξ) (b j a j ), π ξ j0 jj 0 όπου ξ j0 ξ ξ n. Αυτό αποδεικνύει ότι ξ 0 καθώς το ξ, και συµπεραίνουµε ότι lim ξ χ Q(ξ) 0. Εχουµε τώρα την ( ) για κάθε απλή συνάρτηση f που είναι γραµµικός συνδυασµός χαρακτηριστικών συναρτήσεων ορθογωνίων της µορφής Q n [a j, b j ]. Με ένα επιχείρηµα προσέγγισης, ϐλέπουµε ότι j1 το ίδιο ισχύει για κάθε f L 1 ( ). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5
6 Ενας άλλος τρόπος είναι ο εξής: για κάθε ξ 0 ορίζουµε ξ ξ 2 ξ 2 και παρατηρούµε ότι f (x ξ )e 2πi x,ξ 2πi ξ,ξ dλ(x) e f (x ξ )e 2πi x ξ,ξ dλ(x) e πi f (ξ). f (z)e 2πi z,ξ dλ(x) Αρα, µπορούµε να γράψουµε f (ξ) ( f (x) f (x ξ ))e 2πi x,ξ dλ(x) f (x) f ξ (x) dλ(x) 1 2 f f ξ 1 0 καθώς το ξ (ϑυµηθείτε ότι f h (x) : f (x + h) και παρατηρήστε ότι ξ 1 2 ξ 0). Παρατήρηση Θα συµβολίζουµε µε C 0 ( ) την κλάση των συνεχών συναρτήσεων g : C που µηδενίζονται στο άπειρο. Ως τώρα έχουµε δείξει ότι αν f L 1 ( ) τότε f C 0 ( ). Οι επόµενες δύο προτάσεις µας δίνουν ϐασικές αλγεβρικές ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourier. Πρόταση Εστω f L 1 ( ). Τότε: 1. Αν h και (τ h f )(x) f h (x) f (x h), τ h f (ξ) f (ξ)e 2πi ξ,h. 2. Αν h, 3. Αν δ > 0 και f δ (x) f (δx), e 2πi,h f (ξ) (τ h f )(ξ). f δ (ξ) 1 δ n f (ξ/δ). Απόδειξη. 1. Γράφουµε τ h f (ξ) e 2πi h,ξ f (z)e 2πi z,ξ dz e 2πi h,ξ f (ξ). f (x h)e 2πi x h,ξ e 2πi h,ξ dλ(x) 2. Γράφουµε e 2πi,h f (ξ) e 2πi x,h f (x)e 2πi x,ξ dλ(x) f (ξ h) (τ h f )(ξ). f (x)e 2πi x,ξ h dλ(x) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6
7 3. Γράφουµε f δ (ξ) f δ (x)e 2πi x,ξ dλ(x) f (δx)e 2πi δx,ξ/δ dλ(x) 1 δ n f (z)e 2πi z,ξ/δ 1 dz δ f n (ξ/δ). Πρόταση Εστω f, g L 1 ( ). Τότε, f g L 1 ( ) και για κάθε ξ. f g(ξ) f (ξ) ĝ(ξ) Απόδειξη. Η συνάρτηση F : R 2n C µε F(x, y) f (x y)g(y)e 2πi ξ,x είναι µετρήσιµη και ανήκει στον L 1 ( ). Πράγµατι, F(ξ, y) dλ(y) dξ g(ξ) f (y) dλ(y) dξ g(ξ) f (y) dλ(y) dξ g(ξ) f 1 dλ(y) f 1 g 1 <. Μπορούµε λοιπόν, χρησιµοποιώντας το ϑεώρηµα Fubini και την Πρόταση (i), να γράψουµε f g(ξ) f (x y)g(y)dλ(y) e 2πi ξ,x dλ(x) g(y) f (x y)e 2πi ξ,x dλ(x) dλ(y) g(y)e 2πi ξ,y f (ξ) dλ(y) f (ξ)ĝ(ξ). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7
8 8.2 Ο τύπος αντιστροφής του Fourier Σκοπός µας σε αυτήν την παράγραφο είναι να αποδείξουµε τον τύπο αντιστροφής του Fourier στην εξής µορφή: Θεώρηµα (τύπος αντιστροφής). Αν f L 1 ( ) και f L 1 ( ) τότε f (x) f (ξ)e 2πi x,ξ dξ σχεδόν παντού. Για την απόδειξη ϑα χρησιµοποιήσουµε τα αποτελέσµατα του Κεφαλαίου 2. Βασικό ϱόλο ϑα παίξει επίσης ο ακόλουθος πολλαπλασιαστικός τύπος: Θεώρηµα (πολλαπλασιαστικός τύπος). Εστω f και g δύο ολοκληρώσιµες συναρτήσεις στον. Τότε, f (ξ)g(ξ) dξ f (y)ĝ(y) dλ(y). Απόδειξη. Η συνάρτηση F(ξ, y) g(ξ) f (y)e 2πi ξ,y είναι µετρήσιµη και ανήκει στον L 1 (R 2n ). Εφαρµόζοντας το ϑεώρηµα Fubini παίρνουµε f (ξ)g(ξ) dξ f (y)e 2πi ξ,y dλ(y) g(ξ) dξ g(ξ)e 2πi ξ,y dξ f (y) dλ(y) ĝ(y) f (y) dλ(y). Θα χρησιµοποιήσουµε επίσης µια ειδική συνάρτηση: Λήµµα Εστω δ > 0 και έστω x. Για τη συνάρτηση g δ (ξ) e πδ ξ 2 e 2πi x,ξ ισχύει ότι ĝ δ (y) 1 x y 2 e π δ. δn/2 Απόδειξη. Θεωρούµε την συνάρτηση h(ξ) e πδ ξ 2. Από την Πρόταση (ii) έχουµε ĝ δ (y) (τ x ĥ)(y) ĥ(y x). Θεωρούµε τώρα την συνάρτηση u(ξ) e π ξ 2. Τότε, h(ξ) u( δξ). Από την Πρόταση (iii) έχουµε ĥ(y) 1 δ n/2 û(y/ δ). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8
9 Τέλος, υπολογίζουµε την û(y) e π ξ 2 e 2πi ξ,y dξ n j1 R e πξ2 j e 2πiξ j y j dξ j. Απλός υπολογισµός (µιγαδική ολοκλήρωση) δείχνει ότι e πt2 2πiyt dλ(t) e πy2 R R e π(t+iy)2 dλ(t) e πy2. Συνεπώς, και ĥ(y) n j1 e πy2 j ĝ δ (y) ĥ(y x) 1 y x û( δn/2 e π y 2 ) 1 δ δ π y x 2 e n/2 δ. Απόδειξη του Θεωρήµατος Θεωρούµε την οικογένεια (K δ 2) δ>0. Ελέγχουµε πρώτα ότι είναι οικογένεια προσεγγίσεων της µονάδας: για κάθε δ > 0, κάνοντας την αλλαγή µεταβλητής y δz παίρνουµε K δ2(y) dλ(y) 1 δ n π y 2 e δ 2 dλ(y) Είναι προφανές ότι, για κάθε δ > 0 και για κάθε y, έχουµε 0 K δ 2(y) 1 π y 2 e δ δn 2 1 δ n. e π z 2 dz 1. Μένει να δείξουµε ότι: αν y δ τότε K δ 2(y) Mδ/ y n+1 για κάποια σταθερά M n > 0. Χρησιµοποιώντας την e t t n+1 /(n + 1)! µε t π y /δ, γράφουµε όπου M n (n + 1)!/π (n+1)/2. 0 K δ 2(y) 1 π y 2 e δ δn 2 1 (n + 1)!δ n+1 δ n π (n+1)/2 y n+1 M nδ y n+1, Εστω x. Από τον πολλαπλασιαστικό τύπο (Θεώρηµα 8.2.2) έχουµε f (ξ)g δ2(ξ) dξ f (y)ĝ δ2(y) dλ(y). Από το Λήµµα έχουµε ĝ δ 2(y) 1 δ n e x y 2 π δ 2 f (ξ)e πδ2 ξ 2 e 2πi x,ξ dξ, άρα f (y)k δ2(x y) dλ(y) ( f K δ2)(x) για κάθε δ > 0. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9
10 Παρατηρούµε ότι, από το ϑεώρηµα κυριαρχηµένης σύγκλισης, για κάθε x ισχύει lim f (ξ)e πδ2 ξ 2 e 2πi x,ξ dξ f (ξ)e 2πi x,ξ dξ. δ 0 Από την άλλη πλευρά, αφού η (K δ 2) δ>0 είναι οικογένεια προσεγγίσεων της µονάδας, για κάθε x Leb( f ) έχουµε lim ( f K δ2)(x) f (x). δ 0 Αφού m( \ Leb( f )) 0, έπεται το Ϲητούµενο. Πόρισµα (µοναδικότητα). Εστω f, g L 1 ( ). Αν f (ξ) ĝ(ξ) για κάθε ξ, τότε f (x) g(x) σχεδόν παντού. Απόδειξη. Αφού f g f ĝ 0, έχουµε f g L 1 ( ) και f g L 1 ( ). Αρα, ( f g)(x) f g(ξ)e 2πi x,ξ dξ 0 σχεδόν παντού. ηλαδή, f (x) g(x) σχεδόν παντού. Η παρατήρηση της επόµενης Πρότασης ϑα µας ϕανεί χρήσιµη στην επόµενη παράγραφο. Πρόταση Αν f L 1 ( ) και f 0, και αν η f είναι συνεχής στο 0, τότε f L 1 ( ), άρα f (x) f (ξ)e 2πi x,ξ dξ σχεδόν παντού. Απόδειξη. Επιστρέφουµε στην απόδειξη του τύπου αντιστροφής. Για x 0 και για κάθε δ > 0 έχουµε f (ξ)e πδ2 ξ 2 dξ ( f K δ 2)(0). Αφού f 0, το ϑεώρηµα µονότονης σύγκλισης δείχνει ότι lim f (ξ)e πδ2 ξ 2 dξ δ 0 f (ξ) dξ. Αφού η f είναι συνεχής στο 0, έχουµε lim ( f K δ2)(0) f (0). δ 0 Επεται ότι f (ξ) dξ f (0), δηλαδή f L 1 ( ). Κατόπιν, εφαρµόζεται το Θεώρηµα Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 10
11 8.3 Μετασχηµατισµός Fourier στον L 2 ( ) Σκοπός µας είναι να ορίσουµε τον µετασχηµατισµό Fourier µιας συνάρτησης f L 2 ( ). Θα υποθέσουµε πρώτα ότι f L 1 ( ) L 2 ( ). Τότε, από την Παράγραφο 3.1 γνωρίζουµε ότι ορίζεται καλά ο µετασχηµατισµός Fourier f F 1 ( f ). Θεώρηµα Αν f L 1 ( ) L 2 ( ) τότε f L 2 ( ) και f 2 f 2. Απόδειξη. Ορίζουµε g µε g(x) f ( x). Είναι ϕανερό ότι g L 1 ( ) L 2 ( ) και ĝ(ξ) f ( x) e 2πi x,ξ dλ(x) f ( x) e 2πi x,ξ dλ(x) R n f ( x) e 2πi x,ξ dλ(x) f (ξ). Συνεπώς, f g(ξ) f (ξ) ĝ(ξ) f (ξ) f (ξ) f (ξ) 2 0. Επίσης, η f g είναι συνεχής στο 0. Εχουµε ( f g)(h) ( f g)(0) R n f (x)g(h x) dλ(x) f (x) f (x h) dλ(x) f (x) f (x h) f (x) dλ(x) f (x) f (x h) f (x) dλ(x) f (x) f h (x) f (x) dλ(x) f (x)g( x) dλ(x) f (x) f (x) dλ(x) f 2 f h f 2 0 καθώς το h 0, όπου στο τέλος χρησιµοποιήσαµε την ανισότητα Cauchy-Schwarz για τις f και f h f L 2 ( ), και το γεγονός ότι lim h 0 f h f 2 0. Από την Πρόταση συµπεραίνουµε ότι f g L 1 ( ) και ( f g)(0) f g(ξ) dξ. Οµως, ( f g)(0) f (x)g( x) dλ(x) f (x) f (x) dλ(x) f (x) 2 dλ(x) f 2 2 Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 11
12 και R n f g(ξ) dξ f (ξ)ĝ(ξ) dξ f (ξ) f (ξ) dξ f (ξ) 2 dξ f 2 2. Συνεπώς, f 2 f 2. Από το Θεώρηµα έχουµε ότι ο µετασχηµατισµός Fourier είναι ένας καλά ορισµένος ϕραγµένος γραµµικός τελεστής στο πυκνό υποσύνολο L 1 ( ) L 2 ( ) του L 2 ( ), και µάλιστα είναι ισοµετρία. Συνεπώς, υπάρχει ϕραγµένη γραµµική επέκταση F 2 αυτού του τελεστή σε ολόκληρο τον L 2 ( ). Θα λέµε ότι ο F 2 είναι ο µετασχηµατισµός Fourier στον L 2 ( ) και ϑα συνεχίσουµε να γράφουµε f F 2 ( f ) για κάθε f L 2 ( ). Με ϐάση αυτόν τον ορισµό, η f F 2 ( f ) είναι το L 2 -όριο της ακολουθίας {ĝ k }, όπου {g k } είναι µια ακολουθία στον L 1 ( ) L 2 ( ) η οποία συγκλίνει στην f ως προς την 2. Μπορούµε, για παράδειγµα, να επιλέξουµε την ακολουθία συναρτήσεων ( ) g k (x) f (x) χ { x k} (x). Αρα, η f είναι το L 2 -όριο της {ĝ k }, όπου ( ) ĝ k (ξ) { x k} f (x)e 2πi x,ξ dλ(x). Το επόµενο ϑεώρηµα δείχνει ότι ο F 2 : L 2 ( ) L 2 ( ) είναι ένας ορθοµοναδιαίος τελεστής. Θεώρηµα Ο F 2 είναι ορθοµοναδιαίος. Απόδειξη. Αφού ο F 2 είναι ισοµετρία, το σύνολο τιµών του είναι ένας κλειστός υπόχωρος M του L 2 ( ). Υποθέτουµε ότι υπάρχει h L 2 ( ) µε h 2 0 και την ιδιότητα f (x)h(x) dλ(x) 0 για κάθε f L 2 ( ). Παρατηρούµε ότι ο πολλαπλασιαστικός τύπος του Θεωρήµατος επεκτείνεται στον L 2 ( ), άρα f (y)ĥ(y) dλ(y) f (x)g(x) dλ(x) 0 για κάθε f L 2 ( ). Επεται ότι ĥ 0, άρα h 2 ĥ 2 0, το οποίο είναι άτοπο. Μπορούµε επίσης να περιγράψουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Fourier F 1 2. Θεώρηµα Για κάθε g L 2 ( ) έχουµε ( ) (F 1 2 g)(x) (F 2 g)( x). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 12
13 Απόδειξη. Για την απόδειξη εκφράζουµε την F2 1 ( f ) σαν το L 2 -όριο της ακολουθίας συναρτήσεων ( ) f k (x) f (y)e 2πi x,y dλ(y). { y k} Εξηγούµε πρώτα την ( ) στην περίπτωση που f L 1 ( ) L 2 ( ). Ορίζουµε f (x) f (y)e 2πi x,y dλ(y) 2 lim f k (x) k και παρατηρούµε ότι για κάθε h L 1 ( ) L 2 ( ). ηλαδή, h, f h(x) f (y)e 2πi x,y dλ(y) dλ(x) h(x)e 2πi x,y dλ(x) f (y) dλ(y) F 2 h, f h, f F 2 h, f F 2 h, F 2 f h, f για κάθε h L 1 ( ) L 2 ( ). Επεται ότι ( ) f (x) f (x) f (y)e 2πi x,y dλ(y). Θέτοντας g f F 2 ( f ), έχουµε ( ) F 1 2 g(x) g(y)e 2πi x,y dλ(y) (F 2 g)( x). Τα Θεωρήµατα και είναι γνωστά ως «ϑεώρηµα Plancherel». Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 13
Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.
Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Χώροι L p Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΥπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.
Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι
Διαβάστε περισσότεραΧώροι L p. Κεφάλαιο Χώροι L p. L p (E) όλων των µετρήσιµων συναρτήσεων f : E [, ] για τις οποίες
Κεφάλαιο 4 Χώροι L p 4.1 Χώροι L p Εστω µετρήσιµο υποσύνολο του και έστω 1 p
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα
Κεφάλαιο 6 Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα 6. Οικογένειες καλών πυρήνων και προσεγγίσεων της µονάδας Σε αυτήν την παράγραφο ϑα ασχοληθούµε µε µέσες τιµές µιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης f οι οποίες
Διαβάστε περισσότερα1 Το ϑεώρηµα του Rademacher
Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.
Διαβάστε περισσότεραΚυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemnn και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΗ ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Young
Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Youg Ασπασία Κωτσογιάννη Περίληψη Ο µετασχηµατισµός Fourier Εστω f L. Ορίζουµε. fξ = π fxe ix ξ dx, ξ. Το ολοκλήρωµα Lebesgue στη σχέση. συγκλίνει για κάθε ξ
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραL 2 -σύγκλιση σειρών Fourier
Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Σειρές Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Σειρές Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΤο ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R
Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Μαρία Μαστροθεοδώρου και Αγγελική Χαντζηθάνου Περίληψη Το κεντρικό αποτέλεσµα της εργασίας είναι ότι µια συνάρτηση f είναι απόλυτα συνεχής στο [, b] αν και µόνο
Διαβάστε περισσότεραΟ µετασχηµατισµός Fourier και η κυµατική εξίσωση
Ο µετασχηµατισµός Fourier και η κυµατική εξίσωση ηµήτριος Γαζούλης Περίληψη Περιγράφουµε τον µετσχηµατισµό Fourier για την κλάση του Schwartz στον και αποδεικνύουµε τις πιο ϐασικές του ιδιότητες. Μεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραsup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΟλοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες
Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Μετρήσιµες συναρτήσεις Οι συναρτήσεις για τις οποίες ϑα επιχειρήσουµε να ορίσουµε το ολοκλήρωµα Lebesgue είναι συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού κάποιο µετρήσιµο υποσύνολο
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις Αόστολος Γιαννόουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκαιδευτικό υλικό, όως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemnn και ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy
ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy Augustin- Louis Cauchy 1789-1857 ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ Ορισμός σύγκλισης Cauchy συγκλίνει για x ξ Η συνάρτηση f(x) ɛ > 0 δ (ɛ, ξ) : x ξ < δ f(x) l < ɛ f(x) = l + f(x) = l +
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: Συνθήκες αριθµησιµότητας Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που
Διαβάστε περισσότερα< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.
Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: Μετρικοποιησιµότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Μέτρο Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 202 Μέρος 4. Θεωρητικά
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και
Διαβάστε περισσότεραιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012
ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι
Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης του Π.Α.Τ.: y = f ( x, y), y( x ) (Θεώρημα Picard) ' Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραf(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2].
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riem Α Οµάδα. Εστω f : [, ] R. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας).
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος
Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας
Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι ικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 207 Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Επισκόπηση γνωστών εννοιών. -8. Σειρές πραγµατικών αριθµών..2 Σειρές συναρτήσεων..3 Γενικευµένα ολοκληρώµατα. Κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )
Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: Κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΟλοκλήρωµα Riemann και Ολοκλήρωµα Lebesgue
Κεφάλαιο 3 Ολοκλήρωµα Riemnn και Ολοκλήρωµα Lebesgue 3. Σύγκριση του ολοκληρώµατος Lebesgue µε το ολοκλήρω- µα Riemnn Εστω f : [, b] R. Θα γράφουµε (R) f για το ολοκλήρωµα Riemnn και (L) f για το ολοκλήρωµα
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)
Διαβάστε περισσότερα( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a
7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΣύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p
Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Μιχάλης Σαράντης και Κωνσταντίνος Τσίνας Βασικά αποτελέσµατα από την ανάλυση Fourier Ορισµός.. Ο n-οστός πυρήνας του Dirichlet ορίζεται ως (.) D n (y) Πρόταση.. Για
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση ( ) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3
Αρµονική Ανάλυση (2017 2018) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3 0. (α) Εστω f L (T). είξτε ότι σ n ( f ) f n N. (ϐ) Εστω f L (T). είξτε ότι (γ) είξτε ότι S n ( f ) f + n k=1 sin(kt) k n k= n [Υπόδειξη: Για το (γ) ϑεωρήστε
Διαβάστε περισσότεραΘέματα Αρμονικής Ανάλυσης
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης Ενότητα 4: Μετασχηματισμός Fourier Μιχ. Μ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σεάδειες
Διαβάστε περισσότεραΣειρές Fourier. Κεφάλαιο Σειρές Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων. f(x) dλ(x) u(x) dλ(x) + i. (tf(x) + sg(x)) dλ(x) = t. f(x) dλ(x) = Re ix 0
Κεφάλαιο 5 Σειρές Fourier 5. Σειρές Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων Σε αυτό το κεφάλαιο ϑεωρούµε συναρτήσεις µε µιγαδικές τιµές. Αν f : [a, b] C είναι οποιαδήποτε συνάρτηση, τότε η f γράφεται στη µορφή
Διαβάστε περισσότεραf (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Χαρακτηρισµοί Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 233 4. Χαρακτηρισµοί
Διαβάστε περισσότεραΚυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3/2/2010
Λύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3//00 Θέµα ( µονάδα) Θεωρούµε το σύνολο B = {x Q : x < 5}. είξτε ότι sup B = 5. Απάντηση : Για να δείξουµε ότι sup B = 5 αρκεί να δειχθεί ότι α) Το 5 είναι
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι
Διαβάστε περισσότεραΑριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης
Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι
Διαβάστε περισσότερα1 Το ϑεώρηµα του Alexandrov
Το ϑεώρηµα του Alexandrov Γιώργος Γιανναράκης και αυιδούλα ηµοπούλου Περίληψη Το 1939, ο Alexandr Alexandrov απέδειξε το ακόλουθο ϑεώρηµα : Εστω C R d ανοιχτό και κυρτό, f : C R µια κυρτή συνάρτηση. Τότε,
Διαβάστε περισσότεραf x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j
Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του
Διαβάστε περισσότεραΜέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue
Κεφάλαιο 1 Μέτρο Lebesgue 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Θα ϑέλαµε να ορίσουµε το «µήκος» κάθε υποσυνόλου A του R, δηλαδή να αντιστοιχίσουµε σε κάθε A R έναν µη αρνητικό αριθµό λ(a) (ή το + ). Είναι λογικό
Διαβάστε περισσότεραf x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j
Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του
Διαβάστε περισσότεραΚυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Ακραία σηµεία - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Ακραία σηµεία - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Μέτρο Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις
Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Ενότητα: Ρίζες των συναρτήσεων Bessel Όνομα Καθηγήτριας: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΦασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων
Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων Πτυχιακη Εργασια Ιωσηφιδης Ηλιας Α.Μ: 311/2329 Επιβλεπων : Τσολοµυτης Αντωνης A Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Αιγαιου Σαµος 27 Εξεταστικη Επιτροπη : Τσολοµύτης
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα
Διαβάστε περισσότεραΜη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard.
Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, ipschitz, Picard. Νίκος Σταµάτης nstam84@gmail.com 7 Φεβρουαρίου 212 Περίληψη Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουµε µια αναλυτική απόδειξη του ϑεωρήµατος
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR
KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: υϊκοί Χώροι και Χώροι Πηλίκα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: υϊκοί Χώροι και Χώροι Πηλίκα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 6 υϊκοι Χωροι και Χωροι Πηλικα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε
Διαβάστε περισσότεραΚυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Συνδυαστικά ϑεωρήµατα για κυρτά σύνολα στον Ευκλείδειο χώρο - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος.
Ενότητα: Συνδυαστικά ϑεωρήµατα για κυρτά σύνολα στον Ευκλείδειο χώρο - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: ιαχωριστικά αξιώµατα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι
Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Βασικά θεωρήματα για τις γραμμικές Σ.Δ.Ε. Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές
Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 31 6. Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση 6.1. Ταυτόχρονη
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης Ενότητα 5: Οι χώροι L p Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x
Διαβάστε περισσότεραΠραγµατική Ανάλυση. Πέτρος Βαλέττας
Πραγµατική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα I Μετρικοί χώροι 1 1 Μετρικοί χώροι 3 1.1 Ορισµός και παραδείγµατα.......................... 3 1.2 Χώροι
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Σειρές Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Σειρές Fourier - Ασκήσεις Αόστολος Γιαννόουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκαιδευτικό υλικό, όως εικόνες, ου υόκειται
Διαβάστε περισσότερα4 Συνέχεια συνάρτησης
4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της
Διαβάστε περισσότεραΜέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Οµάδα Α. λ(a) (µε A B συµβολίζουµε τη συµµετρική διαφορά (A \ B) (B \ A) των A και B).
Κεφάλαιο 1 Μέτρο Lebesgue 1.1 Οµάδα Α 1. α) Εστω A ϕραγµένο υποσύνολο του R d. είξτε ότι λ A) < +. ϐ) Εστω ότι το A R d έχει τουλάχιστον ένα εσωτερικό σηµείο. είξτε ότι λ A) > 0. Υπόδειξη. α) Αφού το A
Διαβάστε περισσότεραΤο ϑεώρηµα του Muntz
Το ϑεώρηµα του Muntz Αλέξανδρος Βλάνδος, Χάρις Γανωτάκη, Ιάσων Ψωµάς Περίληψη Το ϑεώρηµα του Muntz µας λέει ότι ο υπόχωρος που παράγεται από το σύνολο των συναρτήσεων {, x p, }, όπου, είναι πυκνός στον
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.
Διαβάστε περισσότεραΚυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Γεωµετρία των αριθµών. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Γεωµετρία των αριθµών Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n
Διαβάστε περισσότερα