Ε Ρ Γ Α Σ Τ Η Ρ Ι A Α Σ Κ Η Σ Η. 1. Εισαγωγή-Βασικές έννοιες
|
|
- Σωτήριος Δαμασκηνός
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ε Ρ Γ Α Σ Τ Η Ρ Ι A 10 Κ Η Α Σ Κ Η Σ Η Στοιχεία Θεωρίας Στατιστικού Ελέγχου Υποθέσεων και Συμπερασματολογίας 1. Εισαγωγή-Βασικές έννοιες Έστω η τυχαία μεταβλητή X με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) f(x;θ) γνωστής συναρτησιακής μορφής η οποία εξαρτάται από την r-διάστατη παράμετρο θ=[θ 1 θ 2... θ r ] t. Οι δυνατές τιμές αυτής της παραμέτρου ορίζουν τον παραμετρικό χώρο Ω ο οποίος συνήθως είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του χώρου R r, 1. Στην πραγματικότητα η παράμετρος θ έχει μία συγκεκριμένη σταθερή τιμή στον παραμετρικό χώρο Ω την οποία ονομάζουμε αληθή η οποία ωστόσο είναι άγνωστη. Είναι όμως δυνατόν να καθορίσουμε ένα υποσύνολο P 0 του παραμετρικού χώρου P που περιέχει την αληθή τιμή της παραμέτρου θ. Ο καθορισμός αυτού του υποσυνόλου ισοδυναμεί με την διατύπωση μίας στατιστικής υπόθεσης. Επομένως, ο καθορισμός ενός υποσυνόλου Ω 0 του παραμετρικού χώρου Ω ως περιέχοντος την αληθή τιμή της παραμέτρου θ καλείται στατιστική υπόθεση για το θ και συνήθως συμβολίζεται με H 0 ή απλά με H και είναι γνωστή ως μηδενική υπόθεση. Ο καθορισμός επίσης του συνόλου Ω 1 = Ω (του συμπληρώματος δηλαδή του Ω 0 ως προς το Ω) ως περιέχοντος την αληθή τιμή της παραμέτρου θ αποτελεί μία στατιστική υπόθεση για το θ και η οποία συνήθως συμβολίζεται με H 1 ή απλά με A και είναι γνωστή ως εναλλακτική προς την υπόθεσηh 0. Συμβολικά γράφουμε: 1
2 H 0 : θ Ω 0 Ω (1) H 1 : θ Ω 1 Ω. Θα ξεκινήσουμε υποθέτοντας ότι τα υποσύνολα του παραμετρικού χώρου Ω, Ω 0 και Ω 1, είναι μονοσύνολα. Δηλαδή Ω 0 ={θ 0 } και Ω 1 ={θ 1 }. Στην περίπτωση αυτή οι υποθέσεις που ορίσθηκαν στη Σχέση (1) οναμάζονται απλές. Το ερώτημα που τίθεται στη συνέχεια είναι κατά ποιό τρόπο μπορεί να ελεχθεί η υπόθεση αυτή. Στα πλαίσια της θεωρίας ελέγχου υποθέσεων ο παραπάνω έλεγχος γίνεται με την βοήθεια ενός δείγματος από την εν λόγω κατανομή και με την βοήθεια μίας στατιστικής συνάρτησης (σ.σ.) η οποία είναι γνωστή ως ελεγχοσυνάρτηση ή ανιχνευτής ή κανόνας απόφασης. Συγκεκριμένα, έστω X=[X 0 X 1... X Ν-1 ] t (2) ένα τυχαίο δείγμα (τ.δ.) μεγέθους Ν και έστω x=[x 0 x 1... x N-1 ] t (3) οι παρατηρηθείσες τιμές των τ.μ. X 0, X 1,..., X Ν-1 κάθε μία από της οποίες, όπως είπαμε, έχει σαν σ.π.π. την f(x;θ i ), i=0, 1. Ας συμβολίσουμε επίσης με f(x;θ) την από κοινού π.π. του τ.δ. X και ας θεωρήσουμε ότι αυτές είναι γνωστές εκ των προτέρων. Με κάθε υλοποίηση x του τυχαίου δείγματος X που μας διατίθεται, καλούμαστε να αποφασίσουμε αν οι παρατηρήσεις κατανέμονται σύμφωνα με την π.π. f(x;θ 0 ) ή f(x;θ 1 ). Μία ελεγχοσυνάρτηση δ(x) ή ανιχνευτής θα πρέπει να βασίζεται επομένως αποκλειστικά στις διαθέσιμες παρατηρήσεις x όπως και στην εκ των προτέρων γνώση των δύο σ.π.π.. Αν ακολουθήσουμε μία ντετερμινιστική πολιτική κατά τη λήψη της απόφασης τότε σε κάθε x R Ν η ελεγχοσυνάρτηση θα πρέπει να αντιστοιχίζει μία μοναδική επιλογή (H 0 ή H 1 ). Συγκεντρώνοντας όλα τα x R Ν για τα οποία η ελεγχοσυνάρτηση επιλέγει την H 1 και ορίζοντας το ακόλουθο σύνολο S 1 ={ x R Ν : η επιλογή της ελεγχοσυναρτήσεως δ(x) είναι η H 1 }, (4) τότε είναι προφανές ότι το σύνολο S 1 είναι υποσύνολο του χώρου R Ν. Είναι επίσης προφανές ότι αν κάποιο x δεν ανήκει στο σύνολο S 1 αλλά στο συμπλήρωμά του S 0, τότε η ελεγχοσυνάρτηση θα επιλέγει την H 0 και επομένως το σύνολο S 0 θα περιέχει όλα τα x για τα οποία η ελεγχοσυνάρτηση επιλέγει την H 0. Η γενίκευση της δυαδικής περίπτωσης που παραθέσαμε παραπάνω, μπορεί να γίνει με σχετικά εύκολο τρόπο. Αν δηλαδή οι παρατηρήσεις μας μπορούν να προέλθουν από Μ διαφορετικές (αλλά γνωστές) σ.π.π. f(x;θ i ), i = 0, K, M 1τότε, έχουμε τις ακόλουθες απλές υποθέσεις: H 0 : X ~ f(x;θ 0 ) (ή θ= θ 0 ) H 1 : X ~ f(x;θ 1 ) (ή θ= θ 1 ) 2
3 H Μ-1 : X ~ f(x;θ Μ-1 ) (ή θ= θ Μ-1 ), και στόχος μας είναι η επιλογή μίας εκ των παραπάνω υποθέσων. Είναι προφανές ότι η ντετερμινιστή λογική λήψης αποφάσεων, οφείλει να διαμερίσει τον χώρο R Ν σε Μ υποσύνολα S i, i=0, 1,, M-1, τα οποία είναι ξένα μεταξύ τους (S i S j =, i j) και καλύπτουν πλήρως τον χώρο R Ν, δηλαδή S i =R Ν. Το επόμενο λογικό βήμα αποτελεί ο καθορισμός της διαμέρισης του χώρου ή ισοδύναμα ο βέλτιστος ορισμός της ελεγχοσυναρτήσεως δ(x). Ωστόσο, πριν από αυτό θα ορίσουμε μη ντετερμινιστικές ελεγχοσυναρτήσεις (τις οποίες θα αναφέρουμε ως τυχαιοποιημένες), κανόνες δηλαδή που εμπεριέχουν το στοιχείο της τυχαιότητας. Όπως είπαμε στην προηγούμενη παράγραφο, οι ντετερμινιστικές ελεγχοσυναρτήσεις αντιστοιχούν μία μοναδική επιλογή H i σε κάθε σημείο x R Ν. Οι τυχαιοποιημένες ελεγχοσυναρτήσεις δεν υπόκεινται σε αυτόν τον περιορισμό, μπορούν να αντιστοιχούν όλες τις δυνατές υποθέσεις σε κάθε σημείο του χώρου R Ν. Η επιλογή συγκεκριμένης υπόθεσης γίνεται με την βοήθεια ενός παιγνιδιού τύχης στο οποίο λαμβάνεται απόφαση υπέρ της υπόθεσης H i με πιθανότητα δ i (x), i=0, 1,, M-1. Επομένως, σε ένα πρόβλημα ελέγχου Μ υποθέσεων H i, i=0, 1,, M-1 ένας τυχαιοποιημένος κανόνας απόφασης που βασίζεται στις παρατηρήσεις x R Ν, καθορίζεται από τις τυχαιοποιημένες ελεγχοσυναρτήσεις δ i (x), i=0, 1,, M-1 στις οποίες η δ i (x) εκφράζει την πιθανότητα με την οποία η υπόθεση H i επιλέγεται σε ένα παιχνίδι τύχης. Οι τυχαιοποιημένοι κανόνες αποτελούν γενικεύσεις των ντετερμινιστικών κανόνων απόφασης. Για να το δούμε αυτό ας ορίσουμε την δείκτρια συνάρτηση ενός συνόλου B, δηλαδή 1 1 B (5) 0 ύ. Με την βοήθεια της παραπάνω συνάρτησης ένας ντετερμινιστικός κανόνας απόφασης που διαμερίζει τον χώρο R Ν στα σύνολα S i,i=0, 1,, M-1, μπορεί να εκφραστεί ως τυχαιοποιημένος αν επιλέξουμε σαν πιθανότητες απόφασεις τις ελεγχοσυναρτήσεις δ i (x)= 1S i, i=0, 1,, M-1. Πράγματι, εξαιτίας του ότι τα σύνολα S i είναι ξένα μεταξύ τους και καλύπτουν όλο τον R Ν, αν x S k, τότε δ k (x)=1 ενώ όλες οι υπόλοιπες πιθανότητες γίνονται μηδέν. Δηλαδή με πιθανότητα 1 (δηλαδή με ντετερμινιστικό τρόπο) επιλέγεται η υπόθεση H k. Στα πλαίσια της συγκεκριμένης άσκησης θα περιορίσουμε την ανάλυσή μας μόνο στις περιπτώσεις όπου οι αναταγωνιζόμενες υποθέσεις είναι δύο, οπότε έχουμε το πρόβλημα του ελέγχου δυαδικών υποθέσεων (binary hypothesis testing). Στην περίπτωση αυτή είναι επομένως απαραίτητο να καθοριστούν οι δύο πιθανότητες απόφασης (ή ισοδύναμα οι ελεγχοσυναρτήσεις) δ i (x), i=0,1. 2. Έλεγχος Υποθέσεων κατά Bayes Σε ένα πρόβλημα ελέγχου υποθέσεων, όπως αυτό που θέλουμε να αντιμετωπίσουμε στα πλαίσια της άσκησης αυτής, έχουν ενδιαφέρον τα ακόλουθα γεγονότα: {O i &H j }={Αποφασίζουμε υπέρ της υπόθεσης H i, ενώ οι παρατηρήσεις ακολουθούν στην πραγματικότητα την υπόθεση H j }. (6) 3
4 Στην περίπτωση δυαδικών υποθέσεων, την οποία όπως είπαμε και εξετάζουμε, υπάρχουν τέσσερα γεγονότα της μορφής αυτής. Συγκεκριμένα μπορούμε να ορίσουμε τα ακόλουθα γεγονότα: {O 0 &H 0 }: Σωστή Απόφαση {O 1 &H 0 }: Λάθος Απόφαση {O 1 &H 1 }: Σωστή Απόφαση {O 0 &H 1 }: Λάθος Απόφαση. (7) Σε μια αντιμετώπιση του προβλήματος κατά Bayes, σε κάθε ένα από τα γεγονότα της Σχέσης (7), αντιστοιχούμε μία ζημία ή κόστος απόφασης L ij. Οι τιμές των τεσσάρων αυτών παραμέτρων θα θεωρήσουμε ότι είναι γνωστές και σταθερές ποσότητες. Με την βοήθεια των παραπάνω ποσοτήτων μπορούμε τώρα να ορίσουμε την ακόλουθη συνάρτηση διακινδύνευσης ή μέσης ζημίας, η οποία εξαρτάται από τον κανόνα απόφασης και επομένως από τις ελεγχοσυναρτήσεις δ(x)=[δ 0 (x) δ 1 (x)] t : R(δ) P({O i &H j }). (8) Έχοντας ορίσει την συνάρτηση κόστους, στη συνέχεια αυτό που πρέπει να κάνουμε είναι να επιλέξουμε τις ελεγχοσυναρτήσεις έτσι ώστε το κόστος να ελαχιστοποιείται. Χρησιμοποιώντας δεσμευμένες πιθανότητες, μπορούμε να γράψουμε: P({O i &H j })= P({O i H j }) P(H j ) (9) όπου οι πιθανότητες P(H 0 ) και P(H 1 )=1- P(H 0 ) εκφράζουν την εκ των προτέρων γνώση μας για τη συχνότητα εμφάνισης κάθε υπόθεσης και θεωρούνται γνωστές, ενώ η ποσότητα P({O i H j }) ακφράζει την πιθανότητα να αποφασίσουμε υπέρ της υπόθεσης H i με δεδομένο ότι το τ.δ. ακολουθεί στην πραγματικότητα την υπόθεση H j. Όπως ήδη αναφέραμε, με ένα τυχαιοποιημένο κανόνα, σε κάθε x R Ν αποφασίζουμε υπέρ της H i με ποσοστό δ i (x). Γνωρίζουμε επίσης ότι όταν το τ.δ. ακολουθεί την υπόθεση H j τότε η σ.π.π. του είναι η f(x;θ j ) και επομένως P({O i H j })= x) f(x;θ j )dx. (10) Αντικαθιστώντας τη Σχέση (10) στη Σχέση (8) και κάνοντας πράξεις παίρνουμε: όπου και R(δ)= [ P(H 0 ) f(x;θ 0 )+ P(H 1 ) f(x;θ 1 )]dx + [ P(H 0 ) f(x;θ 0 )+ P(H 1 ) f(x;θ 1 )]dx = x)+δ 1 ( x) )dx (11) c 0 (x)= P(H 0 ) f(x;θ 0 )+ P(H 1 ) f(x;θ 1 ) (12) c 1 (x)= P(H 0 ) f(x;θ 0 )+ P(H 1 ) f(x;θ 1 ). (13) 4
5 Για τη συνάρτηση διακινδύνευσης της Σχέσης (11) ισχύουν τα ακόλουθα: R(δ)= x)+δ 1 ( x))dx min, x)( δ 0 ( +δ 1 ( )dx = min, x)dx. (14) Είναι προφανές ότι το τελευταίο ολοκλήρωμα στη Σχέση (14) είναι ανεξάρτητο από ελεγχοσυναρτήσεις και αποτελεί ένα κάτω φράγμα της συνάρτησης διακινδύνευσης R(δ). Το ερώτημα είναι αν υπάρχει κανόνας ο οποίος θα πετυχαίνει αυτό το κάτω φράγμα. Αν πράγματι υπάρχει ένας τέτοιος κανόνας τότε αυτός θα αποτελούσε τη βέλτιστη, κατά Bayes, επιλογή. Για το σκοπό αυτό ας ορίσουμε τα σύνολα: S 0 ={ x R Ν : c 0 (x) < c 1 (x)} S 1 ={ x R Ν : c 0 (x) > c 1 (x)} (15) S 01 ={ x R Ν : c 0 (x) = c 1 (x)}. Τότε, από τη Σχέση (14) παίρνουμε: R(δ) min, x)dx = x)dx+ x)dx+ x)+γ 1 c 1 (x))dx = x)(1s 0 (x)+γ 0 (x)1s 01 (x))dx+ x)(1s 1 (x)+ γ 1 (x)1s 01 (x))dx, (16) όπου οι συμπληρωματικές πιθανότητες ικανοποιούν τη σχέση γ 0 (x)+ γ 1 (x)=1. Από τη Σχέση (16) είναι προφανές ότι η βέλτιστη επιλογή των ελεγχοσυναρτήσεων είναι η ακόλουθη: δ i (x)=1s i (x)+γ i (x)1s 01 (x), i=0, 1. (17) Ο βέλτιστος κανόνας ουσιαστικά είναι κατά βάση ντετερμινιστικός αφού αποφασίζουμε με βεβαιότητα H 0 όταν c 0 (x)< c 1 (x), προτιμούμε την εναλλακτική H 1 όταν c 0 (x)> c 1 (x) και τέλος μόνο όταν οι δύο συναρτήσεις είναι ίσες καταφεύγουμε στην ρίψη νομίσματος ε την υπόθεση H 0 με πιθανότητα γ 0 (x) και την H 1 με γ 1 (x)=1-γ 0 (x). Τέλος αντικαθιστώντας τα c i (x) από τις Σχέσεις (12) και (13) καταλήγουμε στον ακόλουθο κανόνα απόφασης: H 1 H 1 όταν L(x)> (P(H 0)/ P(H 1 )) με πιθανότητα γ 1 (x) όταν L(x)= (P(H 0)/ P(H 1 )) H 0 όταν L(x)< 0)/ P(H 1 )) H 0 με πιθανότητα γ 0 (x) όταν L(x)= 0)/ P(H 1 )), (18) όπου L(x) ο λόγος πιθανοφάνειας, L(x)= f(x;θ 1 )/ f(x;θ 0 ). (19) 5
6 3. Ελαχιστοποίηση της Πιθανότητας Σφάλματος Αν στον κανόνα απόφασης της Σχέσης (18), επιλέξουμε L 00 = L 11 =0 και L 01 = L 10 =1 1, τότε προκύπτει ο ακόλουθος βέλτιστος κατά Bayes κανόνας απόφασης: H 1 όταν L(x)>P(H 0 )/ P(H 1 ) H 1 με πιθανότητα γ 1 (x) όταν L(x)= P(H 0 )/ P(H 1 ) H 0 όταν L(x)<P(H 0 )/ P(H 1 ) H 0 με πιθανότητα γ 0 (x) όταν L(x)=P(H 0 )/ P(H 1 ). (20) Είναι εύκολο να δούμε από τη Σχέση (8) ότι η παραπάνω επιλογή τιμών των παραμέτρων ζημίας οδηγεί στην ακόλουθη συνάρτηση διακινδύνευσης R(δ)= P({O 0 &H 1 })+ P({O 1 &H 0 }), (21) που εκφράζει την πιθανότητα σφάλματος, μία ποσότητα εξαιρετικά σημαντική σε πολλές εφαρμογές. Μια διαφορετική ερμηνεία του βέλτιστου κατά Bayes κανόνα απόφασης προκύπτει ως ακολούθως. Από τη Σχέση (20) και τον ορισμό της Σχέσης (19) της συνάρτησης του λόγου πιθανοφάνειας, προκύπτει ότι ο ανιχνευτής αποφασίζει H i εάν η ακόλουθη ανισότητα: f(x;θ i )/ f(x;θ j )>P(H j )/ P(H i ) είναι αληθής. Παίρνοντας υπόψη μας ότι η f(x;θ i ) εκφράζει ουσιασικά τη δεσμευμένη π.π. δοθείσης της υπόθεσης H i, εφαρμόζοντας τον κανόνα του Bayes στην παραπάνω ανισότητα, παίρνουμε: f(θ i x)> f (θ j x) όπου f(θ i x), f (θ j x) είναι οι εκ των υστέρων (a posteriori) πιθανότητες των δύο υποθέσεων. Με βάση λοιπόν τα παραπάνω, ο ανιχνευτής ελάχιστης πιθανότητας σφάλματος επιλέγει την υπόθεση με τη μεγαλύτερη εκ των υστέρων πιθανότητα. Για το λόγο αυτό ο συγκεκριμένος ανιχνευτής ονομάζεται ανιχνευτής μέγιστης εκ των υστέρων πιθανότητας (maximum a posteriori probability ή MAP detector) και ελαχιστοποιεί τη συνολική πιθανότητα σφάλματος ανεξάρτητα από τις τιμές των εκ των προτέρων πιθανοτήτων εμφάνισης των υποθέσεων. 4. Έλεγχος Υποθέσεων κατά Neyman-Pearson Στην κλασική Θεωρία Ελέγχου Υποθέσεων (ή Θεωρίας των Neyman-Pearson), η μηδενική απόφαση H 0 και η εναλλακτική προς αυτήν H 1 δεν είναι συμμετρικές δεν έχουν δηλαδή την ίδια βαρύτητα. Για 1 Μια τέτοια επιλογή των Lij είναι πολύ λογική αν πάρουμε υπόψη μας ότι η επιλογή L 00 = L 11 =0 ουσιαστικά σημαίνει ότι θεωρούμε ότι δεν παθαίνουμε καμία ζημία στην περίπτωση αυτή. Από την άλλη μεριά η επιλογή L 01 = L 10 =1 σημαίνει ότι θεωρούμε ότι υφιστάμεθα την ίδια ζημία με την επιλογή των αντίστοιχων αποφάσεων. 6
7 παράδειγμα στην εφαρμογή του ραντάρ η ανίχνευση εχθρικού αεροπλάνου χαρακτηρίζεται σημαντικότερη από μια λανθασμένη ανίχνευση. Σε μια τέτοια περίπτωση θα πρέπει να αντιμετωπίσουμε με διαφορετικό τρόπο το πρόβλημα ελέγχου από αυτόν που αναπτύχθηκε στις προηγούμενες παραγράφους. Για τον σκοπό αυτό θα χρησιμοποιήσουμε τις ακόλουθες ποσότητες: Πιθανότητα Ανίχνευσης (Detection): P D = P({O 1 H 1 }) (22) Πιθανότητα Λανθασμένου Συναγερμού (False Alarm): P FA = P({O 1 H 0 }) (23) Πιθανότητα Απώλειας (Miss): P M = P({O 0 H 1 }), (24) και για τις οποίες χρησιμοποιούμε ένα προφανή, αλλά ιδιαίτερο, συμβολισμό και ονομασία. Σε ένα πρόβλημα ανίχνευσης είναι φυσικό να επιθυμούμε να μεγιστοποιήσουμε την Πιθανότητα Ανίχνευσης και να ελαχιστοποιήσουμε την Πιθανότητα Λανθασμένου Συναγερμού επιλέγοντας κατάλληλο κανόνα απόφασης μέσω των ελεγχοσυναρτήσεων δ(x)=[δ 0 (x) δ 1 (x)] t. Δυστυχώς όμως (όπως είναι πολύ εύκολο να δούμε) οι δύο αυτές απαιτήσεις είναι ανταγωνιστικές και επομένως είναι αδύνατη η ταυτόχρονη ικανοποίησή τους αφού όταν αυξάνει η πρώτη πιθανότητα αυξάνει υποχρεωτικά και η δεύτερη. Με βάση το γεγονός αυτό οι Neyman και Pearson πρότειναν ο προσδιορισμός των ελεγχοσυναρτήσεων να προκύψει από την λύση του παρακάτω προβλήματος βελτιστοποίησης: max δ P D με περιορισμό (25) P FA α, όπου 0 α 1 εκφράζει το μέγιστο αποδεκτό ποσοστό εσφαλμένων συναγερμών και αποτελεί ποσότητα που καθορίζεται από τον στατιστικό/μηχανικό. Επομένως ενδιαφερόμαστε να ορίσουμε τον κανόνα που μεγιστοποιεί την πιθανότητα ανίχνευσης αλλά ταυτόχρονα εξασφαλίζει ότι οι λανθασμένοι συναγερμοί δεν ξεπερνούν ένα επίπεδο α (το α στην ορολογια της Στατιστικής Συμπερασματολογίας είναι γνωστό ως ισχύς της ελεγχοσυνάρτησης δ(x)). Είναι εύκολα να δούμε ότι οι πιθανότητες που υπεισέρχονται στο πρόβλημα βελτιστοποίησης της Σχέσης (25) ορίζονται από τις ακόλουθες σχέσεις: P D (δ)= P({O 0 H 1 })= δ 0 ( x)f(x;θ 1 )dx P FA (δ)= P({O 1 H 0 })= δ1( x)f(x;θ 0 )dx και είναι γνωστές και ως Σφάλματα Τύπου Ι και Τύπου ΙΙ αντίστοιχα. Χρησιμοποιώντας την τεχνική των πολλαπλασιαστών Lagrange, το υπό συνθήκη πρόβλημα βελτιστοποίησης της Σχέσης (25) μπορεί να μετατραπεί στο ακόλουθο, χωρίς περιορισμό, πρόβλημα βελτιστοποίησης: (26) P(δ)= δ1( x)f(x;θ 1 )dx-λ δ1( x)f(x;θ 0 )dx, (27) 7
8 όπου λ μη αρνητικός αριθμός γνωστός ως πολλαπλασιαστής Lagrange. Ορίζοντας τώρα τα σύνολα S 0 ={ x R Ν : L(x)<λ} S 1 ={ x R Ν : L(x)> λ} (28) S 01 ={ x R Ν : L(x)=λ}, με L(x) τη συνάρτηση του λόγου πιθανοφάνειας που ορίσθηκε στη Σχέση (19), μπορούμε να καταλήξουμε στον ακόλουθο βέλτιστο κανόνα απόφασης των Neyman-Pearson: H 1 H 1 H 0 όταν L(x)>λ με πιθανότητα γ 1 (x) όταν L(x)= λ όταν L(x)<λ H 0 με πιθανότητα γ 0 (x) όταν L(x)=λ (29) όπου λ ο πολλαπλασιαστής Lagrange η τιμή του οποίου προσδιορίζεται ώστε να ικανοποιείται ο περιορισμός του προβλήματος βελτιστοποίησης άλλα δεν θα παρουσιαστεί εδώ. Στην επόμενη παράγραφοπαραθέτουμε ένα παράδειγμα για διασαφητικούς λόγους. Παράδειγμα Θεωρήστε ότι παρατηρούμε την πραγματοποίηση μιας τ.μ. της οποίας η σ.π.π. είναι είτε N (0,1) είτε N (1,1) και καλούμαστε να προσδιορίσουμε εάν μ = 0 ή μ = 1 βασιζόμενοι σε μία και μοναδική παρατήρηση x = x [0]. Οι δύο ανταγωνιζόμενες υποθέσεις σε αυτήν την περίπτωση θα είναι: H 0 : X~ N (0,1) (ή μ = 0 ) H 1ν : X~ N (1,1 ) (ή μ = 1). Το παραπάνω πρόβλημα από τη σκοπιά της επεξεργασίας σήματος, αποτελεί το πρόβλημα ανίχνευσης σήματος (signal detection problem) και επαναδιατυπώνεται ως εξής: έχουμε στη διάθεσή μας μία παρατήρηση x [0] και θέλουμε προσδιορίσουμε εάν το δείγμα μας αποτελείται μόνο από θόρυβο ή από την υπέρθεση σήματος και θορύβου, δηλαδή: H 0 : x [ 0] = w[0] H 1 : x [ 0] = s[0] + w[0], όπου s [ 0] = 1 και w [ 0] ~ N (0,1). Για τα δεδομένα του συγκεκριμένου παραδείγματος θα έχουμε επομένως: και 1 exp 2 f(x;θ 0 )= ( ) Οι δύο αυτές συναρτήσεις έχουν σχεδιαστεί στο Σχήμα exp 2 x[0] 2 f(x;θ 1 ) ( ) = x[0] 1
9 Σχήμα 2. Οι σ.π.π. της x για κάθε μία από τις υποθέσεις του παραδείγματος. Ας υποθέσουμε τώρα ότι οι προδιαγραφές του προβλήματος απαιτούν η πιθανότητα λανθασμένου συναγερμού να περιορίζεται στην τιμή P FA = (σε πραγματικές συνθήκες η τιμή αυτή θα έπρεπε να είναι βέβαια πολύ μικρότερη). Για τον υπολογισμό του ανιχνευτή που επιλύει με βέλτιστο τρόπο το συγκεκριμένο πρόβλημα, ακολουθούμε την προσέγγιση των Νeyman-Ρearson. O βέλτιστος ανιχνευτής ή κανόνας απόφασης σύμφωνα με τη Σχέση (29) θα πρέπει να αποφασίζει H 1 (ελήφθη σήμα) όταν ισχύει: exp ( x[0] 1) 2 > λ exp ( x[0] ) 2 ή exp ( x [0]) 2x[0] + 1 ( x[0]) ) > λ 2 ή τελικά 1 exp x [0] > λ. 2 Εκμεταλλευόμενοι το γεγονός ότι ο λογάριθμος είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση (και επομένως διατηρείται η φορά της ανισότητας στην παραπάνω σχέση αν λογαριθμήσουμε και τα δύο μέλη) καταλήγουμε τελικά στο ότι ο ανιχνευτής θα αποφασίζει ότι ελήφθη σήμα όταν: 1 x [ 0] > ln( λ) +. 2 Συνεπώς, ο ανιχνευτής συγκρίνει το x [0] με ένα κατώφλι T = ln( λ) + 1/2 και αποφασίζει υπέρ της απόφασης H 1 εάν x [ 0] > T και της H 0 εάν x[ 0] T. 9
10 Ο υπολογισμός της τιμής του κατωφλίου (όπως αναφέραμε παραπάνω) θα γίνει με βάση τον περιορισμό για την τιμή της πιθανότητας λανθασμένου συναγερμού,δηλαδή θα απαιτήσουμε: T 1 exp t dt = Q(T) = 0.15 από την οποία προκύπτει η τιμή T =1. 02 και επομένως προκύπτει ότι η τιμή του πολλαπλασιαστή θα είναι λ= Θα πρέπει να αναφέρουμε στο σημείο αυτό, ότι η συνάρτηση Q (x) = 1 1 exp t 2 dt x 2 ονομάζεται συμπληρωματική αθροιστική συνάρτηση κατανομής (complementary cumulative distribution function) και δίνει την πιθανότητα P(X>x), όταν X ~ N (0,1). Στη γενική περίπτωση, εάν 2 x μ X ~ N ( μ, σ ), τότε P(X>x) = Q (η απόδειξη είναι πολύ εύκολη και αφήνεται ως άσκηση). σ Η Q (x) δεν μπορεί να εκφραστεί σε κλειστή μορφή, ωστόσο για υπολογιστικούς σκοπούς μπορεί να χρησιμοποιηθεί η παρακάτω προσέγγισή της: 1 1 ( ) exp 2 Q x x. x 2 Στο Σχήμα 3 φαίνονται οι περιοχές απόφασης και οι πιθανότητες σφάλματος για τον κανόνα απόφασης του παραδείγματος. Σφαλμα Τύπου ΙΙ, P({O 0 H 1 }) Σφάλμα Τύπου Ι, P({O 1 H 0 }) Αποφάσισε H 0 Αποφάσισε H 1 Σχήμα 3. Περιοχές απόφασης και πιθανότητες σφάλματος. Ερώτημα 1: 1.α: Ποιός είναι ο ανιχνευτής των Νeyman-Ρearson που επιλύει το παραπάνω πρόβλημα ανίχνευσης, στην περίπτωση που θεωρηθεί ότι το σφάλμα με τις σοβαρότερες επιπτώσεις είναι η απώλεια του σήματος (signal miss) και απαιτηθεί η πιθανότητα να συμβεί ένα τέτοιο σφάλμα να 10
11 3 περιορίζεται στην τιμή 10 ; Ποια είναι η νέα τιμή κατωφλίου και ποιες είναι οι πιθανότητες λανθασμένου συναγερμού και ορθής ανίχνευσης για το νέο ανιχνευτή; 1.β: Επιλύστε το ίδιο πρόβλημα για την περίπτωση που έχουμε στη διάθεσή μας όχι μία, αλλά t N >1(στατιστικά ανεξάρτητες) παρατηρήσεις, x= [ x [0] x[1] K x[ N 1]]. Ερώτημα 2: Ας υποθέσουμε τώρα ότι αλλάζουμε το προς ανίχνευση σήμα του προβλήματος από s [ n] = 1 σε s [ n] = A, A R (οι ιδιότητες του θορύβου παραμένουν ίδιες). Ποιές είναι οι δύο ανταγωνιζόμενες υποθέσεις του νέου προβλήματος ανίχνευσης; Ακολουθώντας την προσέγγιση των Νeyman-Ρearson, 5 εάν απαιτήσουμε η πιθανότητα λανθασμένου συναγερμού να είναι P FA = 10, ποια θα πρέπει να είναι η τιμή του A έτσι ώστε η πιθανότητα ορθής ανίχνευσης να είναι τουλάχιστον 0.8; Ερώτημα 3: Έστω ένα στοιχειώδες ψηφιακό τηλεπικοινωνιακό σύστημα αποτελούμενο από έναν πομπό, ένα ιδανικό κανάλι προσθετικού λευκού θορύβου Gauss (Αdditive White Gaussian Noise ή AWGN) και έναν δέκτη. Ο πομπός λαμβάνει στην είσοδο μια δυαδική ακολουθία b n, όπου b n = 0 ή 1, n = 0,1, K και εκπέμπει στο κανάλι μια ακολουθία τετραγωνικών παλμών, με κάθε παλμό να έχει διάρκεια T B δευτερόλεπτα και πλάτος A, εάν το εκπεμπόμενο ψηφίο είναι 0 και A, εάν το ψηφίο είναι 1. Το 2 σήμα αυτό φτάνει στο δέκτη αφού προστεθεί λευκός θόρυβος με μέση τιμή 0 και διασπορά σ κατά τη διέλευσή του μέσω του καναλιού. Ο δέκτης με τη σειρά του λαμβάνει ένα δείγμα από την είσοδό του κάθε T B δευτερόλεπτα (θεωρούμε ότι ο πομπός και ο δέκτης είναι τέλεια συγχρονισμένοι) και ανάλογα με την τιμή του δείγματος αποφασίζει εάν το ψηφίο που έχει σταλεί από τον πομπό είναι 0 ή 1. 3.α: Εκφράστε το πρόβλημα της απόφασης στο δέκτη σαν ένα πρόβλημα ελέγχου δυαδικών υποθέσεων. Ποια είναι τα δύο είδη σφαλμάτων που μπορούν να προκύψουν σε αυτό το πρόβλημα; 3.β: Υποθέστε ότι μας δίνεται επιπλέον η πληροφορία ότι στην ακολουθία εισόδου του συστήματος, το πλήθος των 1 είναι κατά μέσο όρο δύο φορές μεγαλύτερο από το πλήθος των 0. Προτείνετε έναν τρόπο απόφασης που να ελαχιστοποιεί τη συνολική πιθανότητα σφάλματος. Ποια είναι η τιμή αυτής της πιθανότητας; 3.γ: Εξομοιώστε το παραπάνω τηλεπικοινωνιακό σύστημα στη Matlab. Επιλέξτε μια τιμή για το A και, για τουλάχιστον 10 διαφορετικά επίπεδα ισχύος θορύβου μετρήστε πειραματικά 2 τα σφάλματα απόφασης στο δέκτη και συγκρίνεται τις πειραματικές μετρήσεις με την αντίστοιχη θεωρητική τιμή της πιθανότητας σφάλματος. Εξηγήστε αναλυτικά τη μεθοδολογία που ακολουθήσατε. Σχεδιάστε γραφικές παραστάσεις με τα αποτελέσματά σας. Βιβλιογραφία [1] S. Haykin, Συστήματα Επικοινωνίας, Εκδόσεις Παπασωτηρίου, Αθήνα, [2] S. M. Kay, Fundamentals of Statistical Signal Proccessing Vol. II, Detection Theory, Prentice Hall Inc., Για να λάβετε αξιόπιστες μετρήσεις, η ακολουθία εισόδου του συστήματος θα πρέπει να έχει σχετικά μεγάλο μήκος (για παράδειγμα στην τάξη του 10 5 ). 11
Βέλτιστη εξέταση υποθέσεων
2 Βέλτιστη εξέταση υποθέσεων 2.1 Εισαγωγικά Στο παρόν κεφάλαιο θα παρουσιαστούν και θα αναλυθούν διεξοδικά τεχνικές εξέτασης υποθέσεων. Θα επικεντρωθούμε κυρίως στις τεχνικές σταθερού αριθμού δειγμάτων
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Συμπερασματολογία
Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 4 ου κεφαλαίου Ελεγχοσυναρτήσεις Γενικευμένου Λόγου Πιθανοφανειών Σταύρος Χατζόπουλος 27/03/2017, 03/04/2017, 24/04/2017 1 Εισαγωγή Έστω το τ.δ. X,,, από την κατανομή
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Βέλτιστος Δέκτης
Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστος Δέκτης Σύνδεση με τα Προηγούμενα Επειδή το πραγματικό κανάλι είναι αναλογικό, κατά τη διαβίβαση ψηφιακής πληροφορίας, αντιστοιχίζουμε τα σύμβολα σε αναλογικές κυματομορφές
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική. Εκτιμητική
Στατιστική Εκτιμητική Χατζόπουλος Σταύρος 28/2/2018 και 01 /03/2018 Εισαγωγή Το αντικείμενο της Στατιστικής είναι η εξαγωγή συμπερασμάτων που αφορούν τον πληθυσμό ή το φαινόμενο που μελετάμε, με τη βοήθεια
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Συμπερασματολογία
Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 2 ου κεφαλαίου Σταύρος Χατζόπουλος 20/02/2017, 06/03/2017, 13/03/2017 1 Κεφάλαιο 2. Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Τα προβλήματα ελέγχου υποθέσεων απορρέουν από παρατηρήσεις
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Λήψης Αποφάσεων
Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Ενότητα 2: Θεωρία Απόφασης του Bayes Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.) Θεωρία
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες
Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Είπαμε ότι γενικά τα συστηματικά σφάλματα που υπεισέρχονται σε μια μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους είναι γενικά δύσκολο να επισημανθούν και να διορθωθούν.
Διαβάστε περισσότεραΗ ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις
Διαβάστε περισσότεραΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ k ΠΛΗΘΥΣΜΟΥΣ
ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Γ. ΑΓΓΕΛΟΥ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ k ΠΛΗΘΥΣΜΟΥΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Διαβάστε περισσότεραΜέρος II. Στατιστική Συμπερασματολογία (Inferential Statistics)
Μέρος II. Στατιστική Συμπερασματολογία (Inferential Statistics) Τυχαίο δείγμα και στατιστική συνάρτηση Χ={x 1, x,, x n } τυχαίο δείγμα μεγέθους n προερχόμενο από μια (παραμετρική) κατανομή με σ.π.π. f(x;θ).
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Αναγνώριση Προτύπων Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Χριστόδουλος Χαμζάς Τα περιεχόμενο της παρουσίασης βασίζεται στο βιβλίο: Introduction to Pattern Recognition A Matlab Approach, S. Theodoridis,
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1 5.1: Εισαγωγή 5.2: Πιθανότητες 5.3: Τυχαίες Μεταβλητές καθ. Βασίλης Μάγκλαρης
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Πιθανότητα Σφάλματος για Δυαδική Διαμόρφωση
Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Πιθανότητα Σφάλματος για Δυαδική Διαμόρφωση Σύνδεση με τα Προηγούμενα Σχεδιάστηκε ο βέλτιστος δέκτης για κανάλι AWGN Επειδή πάντοτε υπάρχει ο θόρυβος, ακόμη κι ο βέλτιστος δέκτης
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Συμπερασματολογία
Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών
Διαβάστε περισσότερα4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER
4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι
Διαβάστε περισσότεραΔιαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων
Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 7-8 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ. Εργαστήριο 8 ο. Αποδιαμόρφωση PAM-PPM με προσαρμοσμένα φίλτρα
Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Εργαστήριο 8 ο Αποδιαμόρφωση PAM-PPM με προσαρμοσμένα φίλτρα Βασική Θεωρία Σε ένα σύστημα μετάδοσης
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Εκτιμητική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ένα άλλο πρόβλημα της Στατιστικής που έχει κυρίως (αλλά όχι μόνο) σχέση με τις παραμέτρους ενός πληθυσμού (τις παραμέτρους της κατανομής
Διαβάστε περισσότεραΕκτιμητές Μεγίστης Πιθανοφάνειας (Maximum Likelihood Estimators MLE)
Εκτιμητές Μεγίστης Πιθανοφάνειας (Maximum Likelihood Estimators MLE) Εστω τ.δ. X={x, x,, x } με κατανομή με σ.π.π. f(x;θ). Η από-κοινού σ.π.π. των δειγμάτων είναι η συνάρτηση L f x, x,, x; f x i ; και
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 6-7 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΔΕ Προηγμένα Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα και Δίκτυα Διάλεξη 5 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Wepage: http://eclass.uop.gr/courses/tst233
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@e.aegea.gr Τηλ: 7035468 Μέθοδος Υπολογισμού
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Συμπερασματολογία
Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 5 ου κεφαλαίου Ελεγχοσυναρτήσεις για τις Παραμέτρους της Κανονικής Κατανομής Σταύρος Χατζόπουλος 08/05/207, 5/05/207 Εισαγωγή Στις παραγράφους που ακολουθούν παρουσιάζονται
Διαβάστε περισσότεραΣ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου Ο Δειγματικός Μέσος X είναι μια Τυχαία Μεταβλητή. Καθώς η επιλογή και χρήση διαφορετικών δειγμάτων από έναν
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Στρατηγικές
Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραΕξομοίωση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Βασικής Ζώνης
Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Ακαδημαϊκό Έτος 009-010 Ψ Η Φ Ι Α Κ Ε Σ Τ Η Λ Ε Π Ι Κ Ο Ι Ν Ω Ν Ι ΕΣ η Εργαστηριακή Άσκηση: Εξομοίωση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Βασικής Ζώνης Στην άσκηση
Διαβάστε περισσότεραΑπλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017
Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων
Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές
Διαβάστε περισσότεραΔρ. Βασίλειος Γ. Καμπουρλάζος Δρ. Ανέστης Γ. Χατζημιχαηλίδης
Μάθημα 5 ο Δρ. Ανέστης Γ. Χατζημιχαηλίδης Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης 2016-2017 Διευρυμένη Υπολογιστική Νοημοσύνη (ΥΝ) Επεκτάσεις της Κλασικής ΥΝ. Μεθοδολογίες
Διαβάστε περισσότεραΑνίχνευσης & Εκτίμησης
Θεωρία Ανίχνευσης & Εκτίμησης Γεώργιος Β. Μουστακίδης, Καθηγητής Πανεπιστήμιο Πατρών 1 Εισαγωγή Στο παρόν σύγγραμμα θα επικεντρωθούμε στην ανάπτυξη μεθοδολογιών για: α) λήψη αποφάσεων, β) εκτίμηση παραμέτρων
Διαβάστε περισσότεραΧρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 5 : Θόρυβος Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Ομιλίας Είδη θορύβου Περιγραφή θορύβου Θεώρημα Shannon Hartley Απόδοση ισχύος και εύρους
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας
Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 08-09 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος
Διαβάστε περισσότεραΈλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης
1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από
Διαβάστε περισσότεραΣ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,
Διαβάστε περισσότεραΣύνδεση με τα Προηγούμενα. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Εισαγωγή (2) Εισαγωγή. Βέλτιστος Δέκτης. παρουσία AWGN.
Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών Βέλτιστος Δέκτης για Ψηφιακά Διαμορφωμένα Σήματα παρουσία AWGN Σύνδεση με τα Προηγούμενα Στις «Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες», αναφερθήκαμε στο βέλτιστο δέκτη ψηφιακά διαμορφωμένων
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Παραμέτρων
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Πιθανότητες Πληροφορία Μέτρο
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή
Πανεπιστήμιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΗΜΜΥ 795: ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2010-11 Χειμερινό Εξάμηνο Practice final exam 1. Έστω ότι για
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας
Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σκ της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα Χ=(Χ, Χ,, Χ ) από πληθυσμό το
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θα εισαγάγουμε την έννοια του τυχαίου αριθμού με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα: Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας η οποία σε
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Εκτιμητική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΔειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:
Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον
Διαβάστε περισσότεραΜέρος IV. Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ15 ( 1 )
Μέρος IV Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( ) Πολυδιάστατες μεταβλητές Πολλά ποσοτικά χαρακτηριστικά που σχετίζονται με
Διαβάστε περισσότεραΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη
Διαβάστε περισσότεραmin f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +
KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων και Εκτιμητικής
Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά και Εκτιμητικής Ορισμός 1.1. Όλα τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος αποτελούν το δειγματοχώρο (sample space) που συμβολίζεται με. Κάθε δυνατό αποτέλεσμα του πειράματος,
Διαβάστε περισσότεραΔειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:
Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον
Διαβάστε περισσότεραHMY 795: Αναγνώριση Προτύπων
HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Τυχαίες μεταβλητές: Βασικές έννοιες Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (σε αντίθεση με τις
Διαβάστε περισσότεραΑ. α) ίνεται η συνάρτηση F(x)=f(x)+g(x). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F (x)=f (x)+g (x).
Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βαρβαδούκας ΘΕΜΑ ο Α. α) ίνεται η συνάρτηση F()=f()+g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F ()=f ()+g (). β)να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου /34
Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου 018 1/34 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Εχουμε δει εκτενώς μέχρι τώρα τρόπους εκτίμησης
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων
Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση
Διαβάστε περισσότεραΛήψη αποφάσεων κατά Bayes
Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Σημειώσεις μαθήματος Thomas Bayes (1701 1761) Στυλιανός Χατζηδάκης ECE 662 Άνοιξη 2014 1. Εισαγωγή Οι σημειώσεις αυτές βασίζονται στο μάθημα ECE662 του Πανεπιστημίου Purdue και
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση
Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 3 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 3 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ Σύμφωνα με στοιχεία από το Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης η πιθανότητα ένας φοιτητής να αποφοιτήσει μέσα σε 5 χρόνια από την ημέρα εγγραφής του στο
Διαβάστε περισσότεραΠιθανολογική Ανάλυση Αποφάσεων. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης
Πιθανολογική Ανάλυση Αποφάσεων Αβεβαιότητα Known knowns Ποσοτικοποιήσιμη Πιθανότητα Known unknowns Εκτίμηση ενδεχομένου Unknown unknowns Αρνητική επίδραση Ρίσκο Black Swan Πιθανολογική Προσέγγιση Θεωρούμε
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Συμπερασματολογία
Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 3 ου κεφαλαίου Έλεγχος Σύνθετων Υποθέσεων Σταύρος Χατζόπουλος 13/03/2017, 20/03/2017, 27/03/2017 1 Ιδιότητα Μονότονου Λόγου Πιθανοφανειών Συνήθως, καταστάσεις, όπως
Διαβάστε περισσότεραΑνασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΜέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές
Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμοί Συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας και πυκνότητας πιθανότητας Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Ειδικές κατανομές διακριτών τυχαίων μεταβλητών Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΉΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Κ 7 Επικοινωνίες ΙΙ Χειμερινό Εξάμηνο Διάλεξη η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: hp://ecla.uop.gr/coure/s5 e-mail:
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων Ι
Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 3: Στοχαστικά Συστήματα Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση
Διαβάστε περισσότεραHMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι)
HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Χρόνου (Ι) Στοχαστικά σήματα Στα προηγούμενα: Ντετερμινιστικά
Διαβάστε περισσότεραΜέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.
Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ
Σχολή Θετικών Επιστημών Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΙI Εργαστήριο 8 ο : Προσαρμοσμένα Φίλτρα Βασική
Διαβάστε περισσότερα6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων
6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακές Τηλεπικοινωνίες
Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Θεωρία Πληροφορίας: Χωρητικότητα Καναλιού Χωρητικότητα Καναλιού Η θεωρία πληροφορίας περιλαμβάνει μεταξύ άλλων: κωδικοποίηση πηγής κωδικοποίηση καναλιού Κωδικοποίηση πηγής: πόση
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΑνασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2017-2018 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ 5. Εισαγωγή Ο σκοπός κάθε συστήματος τηλεπικοινωνιών είναι η μεταφορά πληροφορίας από ένα σημείο (πηγή) σ ένα άλλο (δέκτης). Συνεπώς, κάθε μελέτη ενός τέτοιου συστήματος
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραHMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διάλεξη 2
HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Θεωρία πιθανοτήτων Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (αντίθετα με τις ντετερμινιστικές μεταβλητές)
Διαβάστε περισσότεραΣυμπίεση Δεδομένων
Συμπίεση Δεδομένων 2014-2015 Κβάντιση Δρ. Ν. Π. Σγούρος 2 Αναλογικά Ψηφιακά Σήματα Αναλογικό Σήμα x t, t [t min, t max ], x [x min, x max ] Δειγματοληψία t n, x t x n, n = 1,, N Κβάντιση x n x(n) 3 Αλφάβητο
Διαβάστε περισσότεραΤηλεπικοινωνιακά Συστήματα ΙΙ
Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα ΙΙ Διάλεξη 11: Κωδικοποίηση Πηγής Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ατζέντα 1. Αλγόριθμοι κωδικοποίησης πηγής Αλγόριθμος Fano Αλγόριθμος Shannon Αλγόριθμος Huffman
Διαβάστε περισσότεραK24 Ψηφιακά Ηλεκτρονικά 6: Πολυπλέκτες/Αποπολυπλέκτες
K24 Ψηφιακά Ηλεκτρονικά 6: Πολυπλέκτες/Αποπολυπλέκτες TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ Περιεχόμενα 1 2 3 4 Λειτουργία Πολυπλέκτης (Mul plexer) Ο
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότερα1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού
Διαβάστε περισσότεραΤηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι
Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι Διάλεξη 3: Ο Θόρυβος στα Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ατζέντα Εισαγωγή Τύποι Θορύβου Θερμικός θόρυβος Θόρυβος βολής Θόρυβος περιβάλλοντος
Διαβάστε περισσότεραΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ
Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραHMY 795: Αναγνώριση Προτύπων
HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 3 Επιλογή μοντέλου Επιλογή μοντέλου Θεωρία αποφάσεων Επιλογή μοντέλου δεδομένα επικύρωσης Η επιλογή του είδους του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί σε ένα πρόβλημα (π.χ.
Διαβάστε περισσότεραHMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων
HMY 799 : Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη Στοχαστικές Τυχαίες Μεταβλητές/ Στοχαστικά Σήματα Πειραματικά δεδομένα >Επιλογή τύπου μοντέλου >Επιλογή κριτηρίου >Υπολογισμός >Επικύρωση Προσαρμογή καμπύλης (Curve
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32
Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 22 Μαΐου 2017 1/32 Εισαγωγή: Τυπικό παράδειγμα στατιστικού ελέγχου υποθέσεων. Ενας νέος τύπος
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]
Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης
Διαβάστε περισσότερα6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης
6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης Μία διαφορετική μέθοδος εκπαίδευσης των νευρωνικών δικτύων χρησιμοποιεί ιδέες από την Στατιστική Φυσική για να φέρει τελικά το ίδιο αποτέλεσμα όπως οι άλλες μέθοδοι,
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες & Τυχαία Σήματα. Διγαλάκης Βασίλης
Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Διγαλάκης Βασίλης Τυχαία Σήματα Γενίκευση τυχαίων διανυσμάτων Άπειρο σύνολο πιθανά αριθμήσιμο από τυχαίες μεταβλητές Παραδείγματα τυχαίων σημάτων: Τηλεπικοινωνίες: Σήμα πληροφορίας
Διαβάστε περισσότεραΔειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος
ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Μέθοδοι Γεωργοοικονομικής και Κοινωνιολογικής Ερευνας Δειγματοληψία στην Έρευνα (Μέθοδοι Δειγματοληψίας - Τρόποι Επιλογής Τυχαίου Δείγματος)
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Κ 17 Επικοινωνίες ΙΙ Χειμερινό Εξάμηνο Διάλεξη 15 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: http://eclass.uop.gr/courses/tst15
Διαβάστε περισσότερα6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ
6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Το 1965, από τον Conover και πάλι προτάθηκε ένας άλλος έλεγχος τύπου Smirnov για k ανεξάρτητα δείγματα. Ο έλεγχος αυτός διαφέρει από τον προηγούμενο
Διαβάστε περισσότερα