Η Έννοια της συνάρτησης

Transcript

1 Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η Έννοια της συνάρτησης Περιπτώσεις που έχετε συναντήσει στην καθημερινή σας ζωή εκφράζουν συναρτησιακές σχέσεις όπως για παράδειγμα η ανάπτυξη ενός φυτού ή ενός ανθρώπου. Η ανάπτυξη ενός φυτού μπορεί να επηρεάζεται από κάποιες μεταβολές όπως η θερμοκρασία, η υγρασία, το φως, τα θρεπτικά συστατικά του εδάφους κ.α αλλά αν υποθέσουμε ότι όλα αυτά παραμένουν σταθερά τότε η ανάπτυξη επηρεάζεται μόνο από τον χρόνο. Λέμε ότι η ανάπτυξη είναι ανάλογη του χρόνου. Μεταβλητές και σταθερές Ας δούμε την σχέση για την εύρεση του όγκου της σφαίρας. V = 4 3 πr3 όπου το V παριστάνει τον όγκο και το r παριστάνει την ακτίνα της σφαίρας. Τα V και τα r μεταβάλλονται ανάλογα με το μέγεθος της σφαίρας και καλούνται μεταβλητές. Τα π και 4 δεν μεταβάλλονται, όποιο κι αν είναι το μέγεθος της σφαίρας 3 και καλούνται σταθερές. Σελίδα 1

2 Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Ας δούμε τον τύπο της ελεύθερης πτώσης των σωμάτων: s = 1 gt Tό s παριστάνει το διάστημα πού διανύεται σε χρόνο t. Και τα δύο μεγέθη είναι μεταβλητές ενώ τα 1 και g είναι σταθερές. Σε όλους αυτούς τούς τύπους και τις μαθηματικές παραστάσεις ή εκφράσεις, υπάρχουν δύο ειδών μεταβλητές: εξαρτημένες και ανεξάρτητες. Εξαρτημένες και ανεξάρτητες μεταβλητές Θα πρέπει να παρατηρήσουμε ότι στο καθένα από τα παραπάνω παραδείγματα οι μεταβλητές είναι δύο ειδών. Έτσι στή σχέση : V = 4 3 πr3, αν ή ακτίνα (r) αυξηθεί ή ελαττωθεί, ο όγκος (V) θα αυξηθεί ή θα ελαττωθεί αντίστοιχα. Δηλαδή, η μεταβολή του όγκου V εξαρτάται από τη μεταβολή της ακτίνας r. Και στη σχέση s = 1 gt, το διάστημα (s) εξαρτάται από το χρόνο (t). Σελίδα

3 Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 3 Αν η τιμή μιας μεταβλητής εξαρτάται από την τιμή που παίρνει ή άλλη μεταβλητή, τότε ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή, όπως παραπάνω οι V και s. Αν η μεταβολές της τιμής μιας μεταβλητής προκαλούν μεταβολές στην τιμή της άλλης τότε αυτή η μεταβλητή ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή, όπως οι r και t στους παραπάνω τύπους. Στη γενική μορφή μιας παράστασης ή έκφρασης δευτέρου βαθμού. όπως η y είναι εξαρτημένη μεταβλητή y = αχ + βχ + γ Η χ είναι ανεξάρτητη μεταβλητή οι α, β και γ παριστάνουν σταθερές, ενώ η τιμή της y εξαρτάται από την τιμή της χ. Οι σταθερές α, β και γ χρησιμοποιούνται για να δείξουν τη σχέση πού υπάρχει μεταξύ των δύο μεταβλητών. Σελίδα 3

4 Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 4 Συναρτήσεις Η σύνδεση μεταξύ δύο μεταβλητών όπως δείξαμε παραπάνω, εκφράζεται με την πρόταση: Η εξαρτημένη μεταβλητή είναι συνάρτηση της ανεξάρτητης μεταβλητής. Όταν οι μεταβλητές παριστάνουν ποσότητες, λέμε ότι η μία ποσότητα είναι συνάρτηση της άλλης. "Έτσι στα παραπάνω παραδείγματα: Ό όγκος της σφαίρας είναι συνάρτηση της ακτίνας Το διάστημα είναι συνάρτηση του χρόνου. Ορισμός: Ονομάζεται συνάρτηση μια σχέση δύο μεταβλητών x, y τέτοια ώστε κάθε τιμή της μεταβλητής x να αντιστοιχίζεται σε μια μόνο τιμή της μεταβλητής y. A f B Κάθε διαδικασία αντιστοίχησης η οποία a b c d αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο του συνόλου A ένα μόνο στοιχείο του B λέγεται συνάρτηση. Σελίδα 4

5 Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Συνήθως όταν χρησιμοποιούμε τα x και y, η ανεξάρτητη μεταβλητή παριστάνεται με το χ και η εξαρτημένη με το y. 5 Παραστάσεις συναρτήσεων Όταν εξετάζουμε γενικά συναρτησιακές σχέσεις, γράμματα όπως τα x και y χρησιμοποιούνται κυρίως για να παραστήσουν ποσότητες. Έτσι, αν στην πρόταση y = x + 3χ, όταν για οποιαδήποτε τιμή χ υπάρχει πάντα μια αντίστοιχη τιμή y λέμε ότι η y εκφράζεται ως συνάρτηση της χ. Γενικός συμβολισμός συναρτήσεων Όταν είναι απαραίτητο να δείξουμε μια συνάρτηση της χ γενικά, χωρίς να καθορίσουμε τη μορφή της συνάρτησης, χρησιμοποιούμε το συμβολισμό f(x). Στο συμβολισμό αυτό χρησιμοποιείται το γράμμα f ως το αρχικό γράμμα της αγγλικής λέξης function πού σημαίνει συνάρτηση ενώ το γράμμα χ,παριστάνει την ανεξάρτητη μεταβλητή. Άλλες μορφές συμβολισμού είναι φ(χ), F(x), y(x). Μια πρόταση τέτοια όπως f(x) = χ - 8x-6ορίζει τη συγκεκριμένη συνάρτηση της μεταβλητής στην οποία αναφέρεται. Ο συμβολισμός αυτός χρησιμοποιείται, όταν θέλουμε να δείξουμε ότι σε μια συγκεκριμένη συνάρτηση, πρέπει η x να αντικατασταθεί με μια αριθμητική τιμή. Έτσι, αν f(x) = χ - 8 χ 6, η f(l) θα παριστάνει την αριθμητική τιμή της συνάρτησης όταν το γράμμα χ αντικατασταθεί από τον αριθμό 1. f(0) = 0 - (8 0) 6 = -6 f(l) = 1 - (8 1) 6 = -13. Π.χ Αν f( x) = x 3x+ 1τότε f (1) = = 0 f (3) = = 10 Σελίδα 5

6 Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 6 f ( 1) = ( 1) 3( 1) + 1 = 6 f ( ) = 3 + 1= 5 3 Πίνακας τιμών Ονομάζεται πίνακας τιμών μιας συνάρτησης ο πίνακας που περιέχει ζεύγη αντιστοίχων τιμών των μεταβλητών της. Για την παραπάνω ο πίνακας είναι: χ 0 1 f(x) Σελίδα 6