ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γενικές έννοιες

Transcript

1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γενικές έννοιες Συνάρτηση Συνάρτηση ονομάζουμε μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α (πεδίο ορισμού) αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Πραγματική συνάρτηση Πραγματική συνάρτηση, πραγματικής μεταβλητής, ονομάζουμε μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α R (υποσύνολο του R), αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Η μεταβλητή ονομάζεται ανεξάρτητη ή πρότυπο. Το y ονομάζεται τιμή της f στο και συμβολίζεται ως f(). Προφανώς, απ' την τελευταία πρόταση ισχύει: f() = y. Η μεταβλητή y ονομάζεται, επίσης, εξαρτημένη ή εικόνα του. Το σύνολο Α ονομάζεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και συμβολίζεται συνήθως ως : Αf ή Df Μια πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α εκφράζεται συμβολικά ως : f: A R Πεδίο ορισμού Το πεδίο ορισμού, πρακτικά, είναι το σύνολο των τιμών τις οποίες επιτρέπεται να δεχτεί η ανεξάρτητη μεταβλητή, έτσι ώστε η συνάρτηση να εξακολουθεί να έχει νόημα, ως μαθηματική έκφραση.

2 Κυριότεροι περιορισμοί : Παρονομαστές Ο g() Αν f() = τότε θα πρέπει () 0 () Υπόρριζα Ο Αν f() = g(), τότε θα πρέπει g() 0 Σύνολο τιμών Σύνολο τιμών ονομάζουμε το σύνολο, όλων των τιμών της μεταβλητής y = f() και συμβολίζεται ως : f(a) () Δεδομένου ότι το πεδίο ορισμού είναι το Α. Γραφική παράσταση Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α και Οy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο. Το σύνολο των σημείων Μ(, y) για τα οποία ισχύει y = f(), δηλαδή το σύνολο των σημείων Μ(, f()), A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται με : Cf. y f(o) (o, f(o)) Ο o y Ο άξονας αναφέρεται και ως άξονας των τετμημένων, ενώ ο άξονας y y τως άξονας των τεταγμένων. 2

3 Μονοτονία Γνησίως αύξουσα Μια συνάρτηση θα λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, του πεδίου ορισμού της, αν για δύο οποιαδήποτε στοιχεία, 2 Δ, με < 2 ισχύει f() < f(2). Γνησίως φθίνουσα Μια συνάρτηση θα λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ, του πεδίου ορισμού της, αν για δύο οποιαδήποτε στοιχεία, 2 Δ, με < 2 ισχύει f() > f(2). Γνησίως μονότονη Μια συνάρτηση θα λέγεται γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν είναι (μόνο) γνησίως αύξουσα ή (μόνο) γνησίως φθίνουσα. Ακρότατα Ολικό μέγιστο Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο o A, όταν ισχύει f() f(o), για κάθε Α. Ολικό ελάχιστο Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο o A, όταν ισχύει f() f(o), για κάθε Α. 3

4 Τοπικό μέγιστο Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο o A, όταν ισχύει f() f(o), για κάθε σε μια περιοχή του o. Τοπικό ελάχιστο Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο o A, όταν ισχύει f() f(o), για κάθε σε μια περιοχή του o. Το ολικό μέγιστο και το ολικό ελάχιστο μιας συνάρτησης καλούνται, γενικά, ολικά ακρότατα, ενώ το τοπικό μέγιστο και το τοπικό ελάχιστο τοπικά ακρότατα. 4

5 Όριο - Συνέχεια Ιδιότητες ορίων Αν f() = και o g() = 2 τότε: o [ f() g() ] = 2 o [ c f() ] = c o [ f() g() ] = 2 o o f() = g() 2 f() = o, εφόσον [ f() ] ν = ν o o κ f() = κ, για κάθε κn, κ 2 κι εφόσον 0 Συνέχεια Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α ονομάζεται συνεχής αν για κάθε o A ισχύει : f() = f( o) o Οι περισσότερες γνωστές μας συναρτήσεις είναι συνεχείς, στα διαστήματα όπου ορίζονται. Έτσι : 5

6 Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι συνεχείς. Οι ρητές συναρτήσεις είναι συνεχείς. Οι άρρητες συναρτήσεις είναι συνεχείς. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι συνεχείς. Κι επιπλέον : Οι συναρτήσεις που προκύπτουν, από πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων, είναι συνεχείς 6

7 Παράγωγος - Ρυθμός μεταβολής Παραγωγίσιμη στο 0 Μια συνάρτηση θα λέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο o του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το όριο : f(0 ) f(0) 0 και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό συμβολίζεται ως f (o). Πρώτη παράγωγος Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α κι έστω Β το σύνολο των Α, στα οποία η f είναι παραγωγίσιμη. Η συνάρτηση η οποία f( ) f() αντιστοιχίζει κάθε Β στο f () = λέγεται 0 πρώτη παράγωγος της f και συμβολίζεται με f. 7

8 Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων f() f () cr [ σταθερή ] [ ταυτοτική ] ρ [ ρq, ρ 0, > 0 ] 0 ρ ρ [ > 0 ] 2 2 ημ συν συν εφ σφ ημ συν 2 ημ 2 8

9 Κανόνες παραγώγισης ( f g ) () = f () g () ( c f ) () = c f () ( f g ) () = f () g() + f() g () f () = g f () g() f() g () g 2 () g(f()) = g (f()) f () Αποδείξεις. Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f() = c είναι 0, δηλαδή ότι ( c ) = 0. Έχουμε: f( + ) f() = c c = 0 f( ) f() 0 Για 0 είναι : 0 Γνωρίζουμε ότι η παράγωγος είναι το όριο : f( ) f() 0 Συνεπώς : (c) = Να δείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f() = είναι, δηλαδή ότι ( ) =. Έχουμε : f( + ) f() = ( + ) = f( ) f() Για 0 είναι : Γνωρίζουμε ότι η παράγωγος είναι το όριο : 9

10 f( ) f() 0 0 Συνεπώς : () = 3. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f() = 2 είναι 2 δηλαδή ότι ( 2 ) = 2. Έχουμε : f( + ) f() = ( + ) 2 2 = = = = (2 + ) f( ) f() (2 ) Για 0 είναι : 2 Γνωρίζουμε ότι η παράγωγος είναι το όριο : f( ) f() (2 ) Συνεπώς : ( 2 ) = 2 4. Να αποδείξετε ότι (c f()) = c f (). Έστω : F() = c f() Έχουμε : F( + ) F() = c f( + ) c f() = c [f( + ) f()] Για 0 είναι: F( ) F() c [f( ) f()] [f( ) f()] c Γνωρίζουμε ότι η παράγωγος είναι το όριο : F( ) F() [f( ) f()] c 0 0 0

11 [f( ) f()] c 0 0 c f () Συνεπώς : ( c f() ) = c f () 5. Να αποδείξετε ότι ( f() + g() ) = f () + g (). Έστω : F() = f() + g() Έχουμε : F( + ) F() = f( + ) + g( + ) ( f() + g() ) = f( + ) + g( + ) f() g() = [ f( + ) f() ] + [ g( + ) g() ] Για 0 είναι: F( ) F() f( ) f() g( ) g() Γνωρίζουμε ότι η παράγωγος είναι το όριο : F( ) F() 0 f( ) f() g( ) g() 0 0 Συνεπώς : (f() + g()) = f () + g () f () + g ()

12 Παράγωγος και μονοτονία Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f () > 0, για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f () < 0, για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. Παράγωγος και ακρότατα Κριτήριο πρώτης παραγώγου Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν: f () = 0 για o(α, β) f () > 0 στο (α, o) f () < 0 στο (o, β) τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (α, β) για = o μέγιστο. Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν: f () = 0 για o(α, β) f () < 0 στο (α, o) f () > 0 στο (o, β) τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (α, β) για = o ελάχιστο. 2

13 3