Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Μαθηματικά για Οικονομολόγους 2 ο Μάθημα: Σύνολα αριθμών-συναρτήσεις Διδάσκουσα:

Transcript

1 Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Μαθηματικά για Οικονομολόγους 2 ο Μάθημα: Σύνολα αριθμών-συναρτήσεις Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

2 Σύνολα Σύνολο: Μία συλλογή διακριτών αντικειμένων με μία κοινή ιδιότητα. Παράδειγμα; Τρόποι γραφής συνόλου: με περιγραφή ή με αναγραφή. Π.χ. S={2,3,4} ή S={x ακέραιος αριθμός/2 x 4}.

3 Σύνολα Πεπερασμένο σύνολο: Με πεπερασμένο αριθμό στοιχείων π.χ. το S={2,3,4}. Άπειρο σύνολο: Με άπειρο αριθμό στοιχείων π.χ. το J={x/2<x<5} Ανήκει: Π.χ. το 2 S

4 Σύνολα Ίσα σύνολα: Περιέχουν τα ίδια στοιχεία Α υποσύνολο Β (γράφουμε Α Β) αν κάθε στοιχείο του A ανήκει στο B Π.χ. S I, S 1,2,3, I 1,2,3,4, Για κάθε σύνολο Α, Α Α. Α = Β αν και μόνο αν Α Β και B A. Κενό σύνολο ({ } ή ): σύνολο χωρίς κανένα στοιχείο

5 Σύνολα και. Ποια από τα παρακάτω αληθεύουν;

6 Ορθογώνιο αναπαριστά οικουμενικό σύνολο. Έλλειψη αναπαριστά σύνολο υπό μελέτη. Διαγράμματα Venn

7 Διαγράμματα Venn Το Β υποσύνολο του Α: Τα Α, Β ξένα μεταξύ τους: Δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο.

8 Πράξεις μεταξύ συνόλων Ένωση συνόλων Α και Β, Α Β: Σύνολο με στοιχεία που ανήκουν στο Α ή στο Β (ή και στα δύο). Π.χ. {1, 2, 3} {2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}.

9 Πράξεις μεταξύ συνόλων Τομή συνόλων Α και Β, Α Β: Σύνολο με κοινά στοιχεία Α και Β. Π.χ. {1, 2, 3} {2, 3, 4} = {2, 3}.

10 Πράξεις μεταξύ συνόλων Συμπλήρωμα συνόλου Α: A c ή Α Σύνολο με στοιχεία που δεν ανήκουν στο Α, U A. Συμπλήρωμα = U. Συμπλήρωμα U =. Ισχύει (A c ) c =A.

11 Ιδιότητες πράξεων συνόλων

12 Εφαρμογή Π.χ. 1 Από το διάγραμμα Venn του διπλανού σχήματος να προσδιορίσετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα παρακάτω σύνολα Ω, Α, Β, A, B, Π.χ. 2 Να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα:

13 Σύνολα Αριθμών Φυσικοί αριθμοί: N ={0,1,2,3, } Ακέραιοι αριθμοί: Z ={, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Το σύνολο των φυσικών και το σύνολο των ακεραίων είναι άπειρα. Ρητοί αριθμοί: Άρρητοι αριθμοί: δεν είναι ρητοί, έχουν άπειρα μη περιοδικά δεκαδικά ψηφία:q a Πραγματικοί αριθμοί:

14 Σύνολα Αριθμών

15 Συναρτήσεις Μια συνάρτηση είναι μια διαδικασία ή μια σχέση εξάρτησης στην οποία εμπλέκονται δύο μεταβλητές ποσότητες. Η μία ποσότητα είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή x, η οποία μεταβάλλεται ελεύθερα, παίρνοντας τιμές από ένα σύνολο (που εμείς έχουμε προκαθορίσει) και το οποίο λέγεται πεδίο ορισμού. Η άλλη ποσότητα είναι η εξαρτημένη μεταβλητή y, η οποία όμως δεν μεταβάλλεται ελεύθερα. Η τιμή που παίρνει κάθε φορά η μεταβλητή y εξαρτάται από την τιμή που έχει η ανεξάρτητη μεταβλητή x τη συγκεκριμένη στιγμή. Έτσι, σε κάθε τιμή της μεταβλητής x αντιστοιχεί μία μόνον τιμή της μεταβλητής y.

16 Συναρτήσεις Η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A και πεδίο τιμών B συμβολίζεται: f : A B και η τιμή της συνάρτησης στο x συμβολίζεται y = f(x).

17 Πεδίο ορισμού Οι τιμές που ανήκουν στο σύνολο Α αποτελούν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης που το συμβολίζουμε με D f. Το x σύνολο A που έχει στοιχεία του τις τιμές της f για όλα τα λέγεται σύνολο τιμών της f και συμβολίζεται με f(a). f ( A) B Ισχύει ότι Το x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το y=f(x) είναι η εξαρτημένη (από τη x) μεταβλητή. Θεωρούμε ότι η συνάρτηση είναι πλήρως ορισμένη όταν μας δίνεται ο τύπος της f(x) και το πεδίο ορισμού της.

18 Πεδίο ορισμού Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α έχει μόνο μια τιμή f(x) για κάθε x A Επομένως αν θεωρήσουμε ότι έχουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f για να αποτελεί συνάρτηση θα πρέπει κάθε κάθετη στον άξονα xx γραμμή να τέμνει τη γραφική παράσταση μόνο σε ένα σημείο. Παράδειγμα

19 Κανόνες εύρεσης πεδίου ορισμού Θεωρούμε ότι η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού όλο το R (πραγματικοί αριθμοί) με τους ακόλουθους περιορισμούς: 1. Όταν ο τύπος της συνάρτησης έχει κλάσμα θα πρέπει ο παρονομαστής του κλάσματος να είναι διάφορος του μηδενός. 2.Όταν ο τύπος της f έχει ρίζα θα πρέπει η υπόρριζη ποσότητα να είναι μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν.

20 Παράδειγμα 1 ο Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:

21 Παράδειγμα 1 ο Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:

22 Παράδειγμα 2 ο Οικονομικό Το συνολικό κόστος C μίας επιχείρησης ανά ημέρα είναι μία συνάρτηση της ημερήσιας παραγωγής Q: C= Q. Η επιχείρηση έχει όριο στην ικανότητα παραγωγής 100 μονάδων την ημέρα. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών της συνάρτησης κόστους;

23 Παράδειγμα 3 ο Οικονομικό Αν σε μία εταιρεία η συνάρτηση κόστους δίνεται από τον τύπο TC = 6 + x 2 όπου x είναι η παραγωγή. Ποια είναι η τιμή της συνάρτησης όταν x ισούται με (a) 14; (b) 1; (c) 0; Ποιους περιορισμού πρέπει να λάβουμε για το πεδίο ορισμού της συνάρτησης;

24 Παράδειγμα 4 ο Οικονομικό Έστω ότι η κατανάλωση C εξαρτάται από το εισόδημα Y σύμφωνα με την συνάρτηση C = a + by, όπου a και b είναι παράμετροι. Αν C είναι 60 όταν Y είναι 40 και C είναι 90 όταν Y είναι 80, ποιες είναι οι τιμές των παραμέτρων a και b;

25 Τύποι συναρτήσεων Σταθερή συνάρτηση Πολυωνυμική συνάρτηση y 2 a a x a x... o 1 2 a n x n Ρητή συνάρτηση y a x ή xy a

26 Παραδείγματα; Ιδιότητες Δυνάμεων

27 Εφαρμογές-Δυνάμεις Υπολογίστε χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των δυνάμεων: x 2 x 3 y 2 y 4 a 3 b 3 0 ( 2016) ( x 2 ) 1

28 Βιβλιογραφία 1. Chiang, A.C., Wainwright, K. (2009). Μαθηματικές Μέθοδοι Οικονομικής Ανάλυσης, Εκδόσεις Κριτική. 2. Rosser, M. (2003). Basic Mathematics for Economists. Second Edition. Routledge Eds.