Κεφάλαιο 1 ο. Αλγεβρικές παραστάσεις.

Transcript

1 Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Αλγεβρικές παραστάσεις. Μέρος Α Θεωρία. 1. Πως προσθέτουμε δύο πραγματικούς αριθμούς; 2. Πως πολλαπλασιάζουμε δύο πραγματικούς αριθμούς; 3. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόθεσης; 4. Ποιες είναι οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού; 5. Ποιοι αριθμοί λέγονται αντίθετοι και ποιοι αντίστροφοι; 6. Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάμεων; 7. Ποια είναι η προτεραιότητα των πράξεων; 8. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός πραγματικού αριθμού; 9. Τι ονομάζονται αριθμητικές και τι αλγεβρικές παραστάσεις; 10. Τι είναι η αριθμητική τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης; 11. Τι είναι μονώνυμο; Ποιος είναι ο συντελεστής και ποιο το κύριο μέρος του; 12. Ποια μονώνυμα λέγονται όμοια; 13. Πως προσθέτουμε δύο μονώνυμα και πως τα πολλαπλασιάζουμε; 14. Τι λέμε πολυώνυμο; 15. Τι λέμε βαθμό του πολυωνύμου; 16. Ποιο είναι το σταθερό και ποιο το μηδενικό πολυώνυμο; Τι βαθμό έχουν; 17. Τι λέμε αναγωγή ομοίων όρων; 18. Να συμπληρώσετε και να αποδείξετε τις ταυτότητες: (α+β) 2 = (α-β) 2 = (α+β) 3 = (α-β) 3 = (α+β)(α-β)= (α-β)(α 2 +αβ+β 2 )= (α+β)(α 2 -αβ+β 2 )= Σελίδα 1

2 Mαθηματικά Γ Γυμνασίου Μέρος B Ασκήσεις. 1. Στην παράσταση Α=-(x-3y)+[(2x+4y)-(-x-2y-1)+1] να απαλείψετε τις παρενθέσεις και 1 τις αγκύλες. Στη συνέχεια να βρείτε την αριθμητική της τιμή για χ= και y=2, Στην παράσταση Β=(2x-y)+[(x+3y)+(-2x+y-2)+3]-1 να απαλείψετε τις παρενθέσεις και τις αγκύλες. Στη συνέχεια να βρείτε την αριθμητική της τιμή για χ=1 και y=2. 3. Να γράψετε σε μορφή γινομένου τα κλάσματα: 4. Να γράψετε με πιο απλό τρόπο τα παρακάτω αθροίσματα: 5. Να βρείτε τα εξαγόμενα: 6. Δίνοντας τα μονώνυμα: Α=-2χ 2 ψ, Β=-χψ 2, Γ=(-χ 2 ψ) 2. Α. Να βρείτε το μονώνυμο: Α 2.Β.Γ 2 Β. Να βρείτε την αριθμητική τιμή του μονωνύμου αν χ=-1 και ψ= Να κάνετε τις πράξεις: 8. Να κάνετε τις πράξεις: Σελίδα 2

3 Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. 9. Να γίνει αναγωγή ομοίων όρων στα πολυώνυμα: 10. Δίνονται τα πολυώνυμα: Να βρείτε στην τελική τους μορφή τα πολυώνυμα: α) Α+Β+Γ β) Β+Γ+Δ γ) Γ+Δ+Ε δ) Α-Β+Γ ε) Β-Δ-Ε στ) Α-Δ+Ε 11. Στις πιο κάτω αλγεβρικές παραστάσεις να απαλείψετε τις παρενθέσεις και να κάνετε αναγωγή ομοίων όρων: α) (α-5β+2)+(-6α+3β-7) β) (χ-2ψ)-(2χ-ψ) γ) (α-β+3γ-5)-(4α+3β-2γ-7) δ) (2α-β)-(5α+3β-12) ε) -(2α 2-5β 2-2αβ)+(3α 2 +6β 2 +7αβ) 12. Να γίνουν οι πράξεις: α) 3χ(α-2), β) 2γ 2 (x+5γ), γ) 3γδ(γ 2 -δ). 13. Να γίνουν οι πράξεις: α) (2x 2 +3x 4 )(x-5)-(2x-1)(-x 2-5x-8)-(2x-1) 2, β) (3χ-y+3)(5y-χ-1)+(3χ-5y)(-2χ-3y+6)-(2χ+3y) Να βρεθούν τα αναπτύγματα: α) (2χ-3ψ) 2 β) (2χψ-2) 2 γ) (χ-2χ 2 ) 2 δ) (3 5 8) ε) ( ) στ) ( ) Να βρείτε τα αναπτύγματα: 16. Να κάνετε τις πράξεις: Σελίδα 3

4 Mαθηματικά Γ Γυμνασίου 17. Να βρείτε τα παρακάτω γινόμενα: α) (χ-3)(χ+3) β) (2χ-1)(2χ+1) γ) (1-γ)(1+γ) δ) (β-9)(β+9) ε) (α-20)(α+20) στ) (2-χ)(2+χ) 18. Να αναπτύξετε τις ταυτότητες: α) (α+3) 3 β) (χ+2) 3 γ) (χ+4) 3 δ) (χ-1) 3 ε) (α-3) 3 στ) (5-ρ) 3 ζ) (2χ+3) 3 η) (4χ+2ψ) 3 θ) (2χψ+3ω) 3 ι) (χ 2-2ψ) 2 ια) (χ 3 ψ-2χψ) 3 ιβ) (4αβ-5α) Να κάνετε τις πράξεις: 21. Να αποδείξετε ότι: α) (a-β-γ) 2 = α 2 + β 2 + γ 2-2αβ + 2βγ - 2γα β) (α 2 + β 2 )(χ 2 + Υ 2 )-(αγ-βχ) 2 =(αχ + βγ) 2 γ) (a-β) 2 -(α + β) 2 = -4αβ δ) (α 2 + β 2 ) 2 -(α 2 -β 2 ) 2 -(2αβ) 2 ε) (α-β-γ) 2 -(γ-α + β) 2 = 0 στ) (α - β) 3 + 3αβ(α - β) - α 3 - β Να αποδείξετε την παρακάτω ισότητα: (α 2 +2αβ+β 2 ) 2-2(α 2 -β 2 )+(α 2-2αβ+β 2 ) 2 =16α 2 β Να συμπληρώσετε τα κενά: Α. (2χ+ ) 2 = 4χ 2 +12χψ 2 + Β. ( - ) 2 = Κ 2 +4Κ+4 Γ. (2α 2 β+ )( - )=9χ 2-4α 4 β 2. Δ. ( - ) 3 =8χ χ- 24. Να αποδείξετε ότι: Α. (χ 2 +2)(ψ 2 +2)-2(χ+ψ) 2 =(χψ-2) 2 Β. (χ+1) 3-2(χ+2) 2 +1=(χ+2)(χ 2 -χ-3) 25. Αν τα πολυώνυμα Α(χ), Β(χ) και Γ(χ) έχουν βαθμούς 2, 2, 1, αντίστοιχα Α. Να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου Ρ(Χ)=Α(Χ)+Γ(Χ) Β. Αν το πολυώνυμο Q(χ)=Α(χ)+Β(χ) είναι μη μηδενικό, τι βαθμό μπορεί να έχει; Σελίδα 4

5 Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. 26. Αν Ρ(χ)=χ 2 +3χ-1, να προσδιορίσετε το πολυώνυμο Q(χ) = Ρ(2χ) + Ρ(-χ) + Ρ(χ 2 ). 27. Η τιμή ενός πουκαμίσου είναι (2χ+3) ευρώ. Ποια θα είναι η τιμή (5χ-2) πουκαμίσων. 28. Αν χ+ 1 = 2, να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων; x 29. Να βρείτε μια αλγεβρική παράσταση η οποία να παριστάνει: Α. την περίμετρο του διπλανού σχήματος. Β το εμβαδόν του. 30. Να αποδείξετε τις ισότητες: A. (α-β) 2 +(α+β) 2-4αβ=2(α-β) 2. B. (χ-2) 2 -(χ-3) 2 =2χ-5 Γ. (χ+2) 2-2(χ-1) 2-4(χ+1) 2 +5χ 2 = Αν χ>0 να κάνετε τις πράξεις: Α. Στην παράσταση: Α= (χ+2) 2 -( x -2) 2 -(1- x )+χ 4 x 2 2 ( 3 y ) ( y 3 x ) 2 2. x y 8 Β. Στην παράσταση Β=(χ-4) (4+χ)- Γ. Αν Α=χ 2 +8χ και Β=-16 να γράψετε με απλούστερη μορφή (χωρίς τη ρίζα) την παράσταση A B Α. Να δείξετε ότι η αλγεβρική παράσταση που εκφράζει την περίμετρο αυτού του ορθογωνίου είναι μονώνυμο και να βρείτε το συντελεστή και το κύριο μέρος του. Β. Να βρεθεί το χ αν είναι γνωστό ότι το εμβαδόν του διπλανού ορθογωνίου είναι 40cm 2 Σελίδα 5

6 Mαθηματικά Γ Γυμνασίου 33. Για ποιες τιμές του κ η αλγεβρική παράσταση (κ- 3)χ 3 y 2 -(κ-8)χγ είναι μονώνυμο. 34. Να βρείτε τα μονώνυμα που παριστάνουν την περίμετρο και το εμβαδόν του διπλανού σχήματος. Κατόπιν να βρείτε τις αριθμητικές τιμές της περιμέτρου και το εμβαδόν όταν χ= Δίνεται το πολυώνυμο 2x k-1 y λ+2 +3χ 4 y 2-3χ μ γ ν. Να βρείτε τους ακέραιους αριθμούς κ, λ, μ, ν ώστε να μπορεί να γίνει αναγωγή ομοίων όρων στους όρους του πολυωνύμου και κατόπιν να κάνετε την αναγωγή ομοίων όρων. 36. Στα παρακάτω σχήματα η περίμετρος του ορθογωνίου είναι 18cm και του ισοπλεύρου τριγώνου 12cm. Να υπολογίσετε την παράσταση Σ=4(α-γ)+2(β-α)+γ Σελίδα 6