ΣΤΡΕΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΣΤΡΕΒΛΩΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΟΚΟΥ ΛΑΜΒΑΝΟΝΤΑΣ ΥΠΟΨΗ ΤΗ ΕΥΤΕΡΟΓΕΝΗ ΣΤΡΕΠΤΙΚΗ ΡΟΠΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

Transcript

1 ΣΤΡΕΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΣΤΡΕΒΛΩΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΟΚΟΥ ΛΑΜΒΑΝΟΝΤΑΣ ΥΠΟΨΗ ΤΗ ΕΥΤΕΡΟΓΕΝΗ ΣΤΡΕΠΤΙΚΗ ΡΟΠΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Βασίλειος Γ. Μώκος ρ. Πολιτικός Μηχανικός Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Ενικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πολυτεχνειούπολη Ζωγράφου, Αήνα Ευάγγελος Ι. Σαπουντζάκης Αναπληρωτής Καηγητής Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Ενικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πολυτεχνειούπολη Ζωγράφου, Αήνα ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στη µελετητική πρακτική, ακριβής ανάλυση µεταλλικών ραβδωτών φορέων είναι δύσκολο να επιτευχεί καώς τα εµπορικά προγράµµατα γενικά εωρούν έξι βαµούς ελευερίας σε κάε κόµβο χωρικού ραβδωτού στοιχείου, αγνοώντας έτσι την επιρροή της στρέβλωσης λόγω στρέψης που προκαλείται από τη δέσµευση της συστροφής στα άκρα του στοιχείου. Στην εργασία αυτή αναπτύσσεται η Μέοδος Συνοριακών Στοιχείων (BE) για τη µόρφωση ενός νέου διευρυµένου 1414 µητρώου στιβαρότητας και του αντίστοιχου µητρώου επικόµβιας φόρτισης χωρικού στοιχείου σταερής διατοµής τυχόντος σχήµατος διπλής συµµετρίας, λαµβάνοντας υπόψη την επιρροή της στρεπτικής στρέβλωσης και των διατµητικών παραµορφώσεων λόγω τέµνουσας δύναµης και δευτερογενούς στρεπτικής ροπής. Οκτώ προβλήµατα συνοριακών τιµών αναφορικά µε τη συνολική γωνία στρέψης, την πρωτογενή και δευτερογενή συνάρτηση στρέβλωσης, τις βυίσεις, τη διαµήκη µετατόπιση και δυο τασικές συναρτήσεις διατυπώνονται και επιλύονται εφαρµόζοντας τη BE. Η απόκλιση στα παραµορφρωσιακά ή/και εντατικά µεγέη σε χωρικά ραβδωτά µεταλλικά στοιχεία λόγω αγνόησης της επιρροής των διατµητικών παραµορφώσεων λόγω δευτερογενούς στρεπτικής ροπής καταδεικνύει την αναγκαιότητα συνυπολογισµού αυτής της πρόσετης επιρροής ειδικά σε µεταλλικά στοιχεία µε κλειστή διατοµή. 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη µελετητική πρακτική οι µεταλλικοί φορείς αναλύονται στην πλειονότητα των περιπτώσεων µε τη βοήεια έτοιµων λογισµικών τα οποία λαµβάνουν υπόψη έξι βαµούς ελευερίας σε κάε κόµβο χωρικού ραβδωτού στοιχείου, αγνοώντας έτσι την επιρροή της στρέβλωσης λόγω στρέψης που προκαλείται από τη δέσµευση της συστροφής στα άκρα του στοιχείου. Επιπροσέτως, λαµβάνουν υπόψη προσεγγιστικά τις διατµητικές

2 παραµορφώσεις λόγω τέµνουσας δύναµης καώς αδυνατούν να υπολογίσουν µε ακρίβεια τους απαιτούµενους συντελεστές διατµητικής παραµόρφωσης, ενώ αγνοούν πλήρως τις διατµητικές παραµορφώσεις λόγω δευτερογενούς στρεπτικής ροπής. Η ανάλυση στις περιπτώσεις αυτές είναι πιανόν να οδηγήσει σε υποεκτίµηση των εντατικών ή/και παραµορφωσιακών µεγεών και εποµένως σε µη συντηρητικό σχεδιασµό. Αντικείµενο της παρούσας εργασίας είναι η παρουσίαση ενός νέου διευρυµένου 1414 µητρώου στιβαρότητας και του αντίστοιχου µητρώου επικόµβιας φόρτισης χωρικού στοιχείου δοκού σταερής διατοµής τυχόντος σχήµατος διπλής συµµετρίας, λαµβάνοντας υπόψη την επιρροή τόσο της στρεπτικής στρέβλωσης όσο και των διατµητικών παραµορφώσεων λόγω τέµνουσας δύναµης και δευτερογενούς στρεπτικής ροπής. Σε αντίεση µε τα συµβατικά µητρώα στιβαρότητας που συνήως παράγονται µε τη βοήεια προσεγγιστικών συναρτήσεων σχήµατος, στην εργασία αυτή τα προαναφερέντα µητρώα µορφώνονται αριµητικά επιλύοντας τις αντίστοιχες κυρίαρχες διαφορικές εξισώσεις εφαρµόζοντας τη Μέοδο Συνοριακών Στοιχείων (ΒΕΜ). Σηµειώνεται ότι, τα παρουσιαζόµενα µητρώα είναι απαλλαγµένα από παρασιτικές στιβαρότητες, ενώ όπως προκύπτει από την αναδροµή στην πρόσφατη διενή βιβλιογραφία µορφώνονται για πρώτη φορά µε τη βοήεια ολοκληρωτικών εξισώσεων. Σύµφωνα µε την προτεινόµενη µέοδο διατυπώνονται και επιλύονται οκτώ προβλήµατα συνοριακών τιµών αναφορικά µε τη συνολική γωνία στρέψης (συνισταµένη της πρωτογενούς και δευτερογενούς γωνίας στρέψης), την πρωτογενή και δευτερογενή συνάρτηση στρέβλωσης, τις βυίσεις, τη διαµήκη µετατόπιση και δυο τασικές συναρτήσεις. Η επιρροή της στρεπτικής στρέβλωσης και των διατµητικών παραµορφώσεων στην ανάλυση µεταλλικών φορέων εξετάζεται µέσα από παραδείγµατα µε πρακτικό ενδιαφέρον. 3. ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Θεωρούµε ραβδωτό στοιχείο χωρικής πρισµατικής ράβδου µήκους l µε διατοµή τυχόντος σχήµατος διπλής συµµετρίας απλής ή πολλαπλής συνοχής µε µέτρο ελαστικότητας Ε και διατµήσεως G που καταλαµβάνει το χωρίο Ω του επιπέδου y, και περικλείεται από τις K+1 λείες καµπύλες Γ 1,Γ 2,...,Γ Κ +1 (Σχ.1). wj, j (7) N j,u j (1) j, j (4) Q,u (2), (5) (j) C j, (6) l y Q,u (3) k, k (13) K Ω=U j = Ω 1 j Q k,u k (10) yk, yk (12) (Ω) Q yk,u yk (9) (k) C k k N,u (8) k, (11) wk k k k, (14) n Γ 2 E, G C Γ K Γ 3 (Ω) Γ = K+ U 1 Γ j= 1 j Γ 1 Γ K+1 (C: Κέντρο Βάρους = : Κέντρο ιάτµησης) Σχ.1. Ακραίες δράσεις και µετατοπίσεις στοιχείου χωρικής πρισµατικής ράβδου (α) µε διατοµή τυχόντος σχήµατος διπλής συµµετρίας απλής ή πολλαπλής συνοχής (β). Προκειµένου να συµπεριλάβουµε τη συµπεριφορά έναντι στρεπτικής στρέβλωσης κατά τη µελέτη του προαναφερέντος στοιχείου, εισάγουµε στα δύο άκρα του στοιχείου έναν έβδοµο βαµό ελευερίας στους ήδη γνωστούς έξι βαµούς ελευερίας του κλασικού στοιχείου χωρικού πλαισίου. Στην «κλασσική» εωρία ανοµοιόµορφης στρέψης ράβδου, ο y

3 πρόσετος αυτός βαµός ελευερίας είναι η συστροφή = d d, που δηλώνει το ρυµό µεταβολής της γωνίας στροφής κατά µήκος του στοιχείου. Ωστόσο, στη «διευρυµένη» εωρία ανοµοιόµορφης στρέψης ράβδου, στην οποία λαµβάνονται υπόψη διατµητικές παραµορφώσεις λόγω δευτερογενούς στρεπτικής ροπής, η συστροφή = d d διασπάται σε πρωτογενές = d d και δευτερογενές = d d τµήµα λόγω της διρροπής και της δευτερογενούς στρεπτικής ροπής, αντίστοιχα. Έτσι, στη διευρυµένη εωρία ανοµοιόµορφης στρέψης ράβδου ο πρόσετος βαµός ελευερίας είναι η πρωτογενής συστροφή = d d, ενώ η δευτερογενής συστροφή = d d λαµβάνεται έµµεσα υπόψη χρησιµοποιώντας κατάλληλο διορωτικό συντελεστή διάτµησης. Η επιλογή αυτή προσφέρει πλεονεκτήµατα στην εφαρµογή των συνοριακών συνηκών. Στην περίπτωση αγνόησης των διατµητικών παραµορφώσεων λόγω δευτερογενούς στρεπτικής ροπής η d d= 0 ενώ η d d= d d. Η παραδοχή αυτή συνήως ικανοποιείται στην περίπτωση ραβδωτών στοιχείων µε διατοµή ανοικτού σχήµατος. Έτσι, το 141 διάνυσµα επικόµβιων µετατοπίσεων του στοιχείου στο τοπικό σύστηµα αξόνων, όπως φαίνεται και στο Σχ.1α, µπορεί να γραφεί ως T { D } { } u j u u j j uk u yk uk k yk k k = (1) και το αντίστοιχο 141 διάνυσµα επικόµβιων δράσεων (δράσεις παγίωσης) ως T { F } { N j Q Q j wj Nk Qyk Qk k yk k wk} = % (2) τα οποία συνδέονται µεταξύ τους µε το 1414 τοπικό µητρώο στιβαρότητας του στοιχείου K (παρουσιαζόµενο µητρώο), που γράφεται ως K = k k k k 0 0 k k , k 0 k k 0 k ,10 3, k 0 0 k k 0 0 k 0 0 k 0 k k 0 k ,10 5,12 0 k k 0 0 k k , k 0 0 k k 0 0 k k T1 T2 T1 T5 T2 T3 T2 T k k k 0 0 k k , k 0 k k 0 k ,3 10,5 10,10 10, k 0 0 k k 0 0 k 0 0 k 0 k k 0 k ,3 12,5 12,10 12,12 0 k k 0 0 k k 0 13,2 13,6 13,9 13, k 0 0 k k T1 T2 T5 T5 T5 T4 T5 T6 (3) όπου οι συντελεστές στιβαρότητας k Tn (n=1,2,3,4,5,6) περιλαµβάνουν την επιρροή της στρεπτικής στρέβλωσης συµπεριλαµβανοµένων των διατµητικών παραµορφώσεων λόγω k = k (l,m=2,3,5,6,9,10,12,13) δευτερογενούς στρεπτικής ροπής, ενώ οι συντελεστές lm( ml) k

4 περιλαµβάνουν την επιρροή των διατµητικών παραµορφώσεων λόγω τέµνουσας δύναµης k = k σύµφωνα µε τη εωρία δοκού Tmohenko και τέλος, οι συντελεστές q( q) προκύπτουν από την αξονική παραµόρφωση της δοκού. Ο προσδιορισµός των συντελεστών του 1414 µητρώου στιβαρότητας της εξ.(3) και του διανύσµατος επικόµβιων δράσεων της εξ.(3) απαιτεί την επίλυση οκτώ προβληµάτων συνοριακών τιµών αναφορικά µε τη συνολική γωνία στρέψης (συνισταµένη της πρωτογενούς και δευτερογενούς γωνίας στρέψης), την πρωτογενή και δευτερογενή συνάρτηση στρέβλωσης, τις βυίσεις, τη διαµήκη µετατόπιση και δυο τασικές συναρτήσεις. Τα προβλήµατα αυτά παρουσιάζονται διεξοδικά στην εργασία των Saounak and oko [1], µε εξαίρεση το πρόβληµα συνοριακών τιµών αναφορικά µε τη συνολική γωνία στρέψης το οποίο παρουσιάζεται στη συνέχεια. 3.1 ιευρυµένη Θεωρία Ανοµοιόµορφης Στρέψης Ράβδων Έστω ράβδος υποβαλλόµενη σε τυχούσα κατανεµηµένη στρεπτική ροπή m m ( ) συνολική γωνία στρέψης της ράβδου (συνισταµένη της πρωτογενούς =. Η και δευτερογενούς γωνίας στρέψης) λαµβάνοντας υπόψη διατµητικές παραµορφώσεις λόγω δευτερογενούς στρεπτικής ροπής περιγράφεται από το ακόλουο πρόβληµα συνοριακών τιµών [2] EC ( 1 d d EC d m κ ) GI 4 = m 2 στο εσωτερικό της ράβδου (4) 2 κ d d GI d κ c + c = c d d 1 + d2 w = d3 στα άκρα της ράβδου (5β) d όπου c, d ( = 1, 2,3) είναι συναρτήσεις που ορίζονται ανάλογα µε τις συνοριακές συνήκες της ράβδου και κ είναι βοηητική γεωµετρική σταερά που δίδεται ως I κ= (6) I + I ενώ C, I, I είναι η σταερά στρέβλωσης και η πρωτογενής και δευτερογενής στρεπτική σταερά, αντίστοιχα. Αξίζει εδώ να σηµειωεί ότι, η σταερά κ είναι πάντα µικρότερη ή ίση της µονάδας. Μικρές τιµές της σταεράς κ υποδεικνύουν ότι οι διατµητικές παραµορφώσεις λόγω δευτερογενούς στρεπτικής ροπής είναι σηµαντικές (π.χ. σε κλειστές διατοµές), ενώ στην περίπτωση που αγνοούνται οι προαναφερείσες παραµορφώσεις η σταερά κ λαµβάνεται µοναδιαία. Οι σταερές C, I, I δίδονται ως 2 C = ϕ dω (7) Ω P P 2 2 ϕ ϕ I = y + + y dω Ω y (8) C I = (9) ϕϕ% dω Ω όπου η πρωτογενής ϕ και δευτερογενής ϕ% συνάρτηση στρέβλωσης προσδιορίζεται από την επίλυση των ακόλουων προβληµάτων συνοριακών τιµών τύπου Neumann αντίστοιχα (5α)

5 = 0 στο εσωτερικό Ω της διατοµής (10α) 2 ϕ φ = ny yn στο σύνορο Γ της διατοµής (10β) n ϕ % στο εσωτερικό Ω της διατοµής (11α) 2 ϕ = C ϕ% = 0 στο σύνορο Γ της διατοµής (11β) n Τέλος, η διρροπή w, η συνολική στρεπτική ροπή και η πρωτογενής συστροφή ορίζονται ως 2 EC ( 1 d EC κ ) w= m 2 (12) κ d GI κ ( 1 κ) 3 d EC d EC dm = + = GI + 3 d κ d GI d κ 3 d 1 ( 1 d κ EC d EC dm κ ) = d d GI κ κ d GI d κ (13) (14) 4. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Η αριµητική επίλυση όλων των προαναφερέντων προβληµάτων συνοριακών τιµών επιτυγχάνεται µε τη βοήεια της Μεόδου Συνοριακών Στοιχείων (BE), όπως αυτή παρουσιάζεται διεξοδικά στις εργασίες των Saounak and oko [1,2]. Προκειµένου να διαπιστωεί η αποτελεσµατικότητα και το εύρος εφαρµογής της προτεινόµενης µεόδου ως παράδειγµα µελετήηκε καµπύλος µεταλλικός φορέας αποτελούµενος από πρότυπες διατοµές IPE400 και RHS και υποβαλλόµενος σε συγκεντρωµένα φορτία όπως φαίνεται στο Σχ.2. Τα απαιτούµενα για την ανάλυση γεωµετρικά χαρακτηριστικά των πρότυπων µεταλλικών διατοµών IPE400 και RHS δίδονται στο Σχ.3. RHS kN Καµπύλη δοκός µε ηµικυκλικά τµήµατα µε ακτίνα r=5.00m F 50kN A CL (Πάκτωση) Z 2.50m Y X B CL 2.50m 4.33m C CL 2.50m D r=5.00m CL 2.50m 4.33m E CL G RHS Σχ.2. Καµπύλος µεταλλικός φορέας αποτελούµενος από πρότυπες διατοµές IPE400 και RHS , υποβαλλόµενος σε συγκεντρωµένα φορτία.

6 w f r b IPE400 y h h= 400mm b= 180mm = 8.6mm w = 13.50mm f r= 21mm 2 A= 8.451E-03m 4 I yy= 2.314E-04m I = 5.181E-07m 6 C = 4.835E-07m A a= = A κ= 9.969E-01 4 r e b r n y h RHS h= 400mm b= 200mm = 12mm r = 12mm n r = 18mm e 2 A= 1.366E-02m 4 I yy= 2.803E-04m 4 I = 2.293E-04m C 2.056E-07m A a= = A κ= 1.043E-01 ( I yy : Καµπτική Ροπή Αδράνειας περί yy, A : Επιφάνεια ιατµήσεως κατά ) Σχ.3. Γεωµετρικά χαρακτηριστικά πρότυπων διατοµών IPE400 και RHS Στον Πιν.1 παρουσιάζονται οι µέγιστες βυίσεις της µεταλλικής ραβδωτής κατασκευής για διάφορες εωρίες δοκού και συγκρίνονται µε τη βύιση που προκύπτει χρησιµοποιώντας κελυφωτά πεπερασµένα στοιχεία µε τη βοήεια του λογισµικού NASTRAN [3]. Θεωρία Οµοιόµορφης Στρέψης Ράβδου (Στρέψη San Venan) Χωρίς ιατµητικές Παραµορφώσεις λόγω Τέµνουσας ύναµης (Θεωρία οκού Bernoull Euler, a = 0 ) Με ιατµητικές Παραµορφώσεις λόγω Τέµνουσας ύναµης (Θεωρία οκού Tmohenko, a > 1) Κλασσική Θεωρία Ανοµοιόµορφης Στρέψης Ράβδου ( κ= 1) Χωρίς ιατµητικές Παραµορφώσεις λόγω Τέµνουσας ύναµης Με ιατµητικές Παραµορφώσεις λόγω Τέµνουσας ύναµης ιευρυµένη Θεωρία Ανοµοιόµορφης Στρέψης Ράβδου ( κ< 1) Χωρίς ιατµητικές Παραµορφώσεις λόγω Τέµνουσας ύναµης Με ιατµητικές Παραµορφώσεις λόγω Τέµνουσας ύναµης (Παρουσιαζόµενη Μεοδολογία) Πίν.1. Μέγιστες βυίσεις u ( ) ma mm του εξεταζόµενου µεταλλικού φορέα. 6 FE [3] (Κελυφωτά Π.Σ.) Επιπροσέτως, στο Σχ.4 απεικονίζονται οι ελαστικές επιφάνειες και οι αντίστοιχες µέγιστες τιµές του ραβδωτού φορέα αναφορικά µε τη παρουσιαζόµενη διευρυµένη εωρία δοκού και τη εωρία κελυφών χρησιµοποιώντας πεπερασµένα στοιχεία. Αξίζει εδώ να σηµειωεί ότι, η ασυµφωνία στις βυίσεις ανάµεσα στη εωρία δοκού Bernoull Euler και στην παρουσιαζόµενη διευρυµένη εωρία δοκού ανοµοιόµορφης στρέψης είναι της τάξεως του 84%, ενώ η αντίστοιχη απόκλιση ανάµεσα στην παρουσιαζόµενη διευρυµένη εωρία δοκού και στη εωρία κελυφών είναι µικρότερη του 1%. Από τον Πιν.1 και το Σχ.4

7 επιβεβαιώνεται η αξιοπιστία της προτεινόµενης µεόδου, ενώ διαπιστώνεται η αναγκαιότητα συνυπολογισµού τόσο της στρεπτικής καµπυλότητας (προσετός βαµός ελευερίας) όσο και των διατµητικών παραµορφώσεων λόγω τέµνουσας δύναµης και δευτερογενούς στρεπτικής ροπής. (73 Ραβδωτά Στοιχεία) u (m) ιευρυµένη Θεωρία Ανοµοιόµορφης Στρέψης Ράβδου ( κ< 1, mau = a> 1): 7.513mm (Παρουσιαζόµενη Μεοδολογία) (α) FE [3]: mau = 7.582mm (β) (11460 Κελυφωτά Πεπερασµένα Στοιχεία) Σχ.4. Ελαστικές επιφάνειες εξεταζόµενου µεταλλικού φορέα. 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η προτεινόµενη µέοδος προσφέρεται για τον ακριβή υπολογισµό όλων των γεωµετρικών στρεπτικών και διατµητικών µεγεών, καώς και όλων των αναπτυσσόµενων ορών και διατµητικών τάσεων. Η στρεπτική στρέβλωση σε συνδυασµό µε τις διατµητικές παραµορφώσεις, τόσο λόγω τέµνουσας δύναµης όσο και λόγω δευτερογενούς στρεπτικής ροπής, επηρεάζουν υπό προϋποέσεις σηµαντικά την παραµορφωσιακή ή/και εντατική κατάσταση µεταλλικών ραβδωτών φορέων και εποµένως κρίνεται απαραίτητο να συνυπολογίζονται στην ανάλυση µεταλλικών κατασκευών. 6. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1] Saounak E.J. and oko V.G. (2007), 3-D Beam Elemen of Comoe Cro Secon Includng Warng and Shear Deformaon Effec, Comuer and Srucure, Vol.85, [2] Saounak, E.J. and oko, V.G. (2009). Secondary oronal momen deformaon effec by BE. Proc. of he 10h Inernaonal Conference on Boundary Elemen Technque BETEQ 2009, Ahen, Greece, July, [3] NX NASTRAN for FEAP V10, Fne Elemen odellng, USA, 2008.

8 3 D BEA ELEENT INCLUDING TORSIONAL WARPING AND SHEAR DEFORATION EFFECTS DUE TO SHEAR FORCES AND SECONDARY TORSIONAL OENTS - APPLICATIONS TO STEEL STRUCTURES Valeo G. oko Dr. Cvl Engneer School of Cvl Engneerng, Naonal Techncal Unvery of Ahen Zografou Camu, GR , Ahen, Greece e-mal: vgmoko@cenral.nua.gr Evangelo J. Saounak Aocae Profeor School of Cvl Engneerng, Naonal Techncal Unvery of Ahen Zografou Camu, GR , Ahen, Greece e-mal: cvaoun@cenral.nua.gr SUARY In engneerng racce accurae analy of eel beam rucure dffcul o be acheved nce commercal rogram n general conder degree of freedom a each end node of a member of a ace frame, gnorng n h way he oronal warng effec due o he correondng reran a he end of he member. In h aer a Boundary Elemen ehod (BE) develoed for he conrucon of a new eended 1414 ffne mar and he correondng nodal load vecor of a member of arbrary doubly ymmerc conan cro econ akng no accoun boh oronal warng and hear deformaon effec arng from hear force and econdary oronal momen. Egh boundary value roblem wh reec o he varable along he beam oal angle of w, o he rmary and econdary oronal warng funcon, o he beam ranvere and longudnal dlacemen and o wo re funcon are formulaed and olved emloyng a BE aroach. Rereenave eamle have been uded o demonrae he effcency and he range of alcaon of he develoed mehod. The dcreancy of boh he deflecon and/or he nernal force of a member of a aal eel rucure arng from he gnorance of he hear deformaon effec due o econdary oronal momen neceae he ncluon of h addonal effec eecally n cloed form cro econ eel member.