ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ-ΕΠΙΠΕΔΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ-ΕΠΙΠΕΔΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Μ. Nεραντζάκη Αναπλ. Καθηγήτρια ΕΜΠ ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ

2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 2

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ Τοπικό και καθολικό διάνυσμα ακραίων μετατοπίσεων = 2 { } D άκρου j = 2 { } D άκρου k { D } { D } 2 = { } = D 2 όλου του στοιχείου { } D { } D 2 = = { } D 2 Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 3 3

4 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ Κάθε σημείο του άξονα του μέλους επίπεδου δικτυώματος θα έχει αξονική παραμόρφωση: ( x) ( x) 3( x) ( x), ( x) Συναρτήσεις σχήματος εκφράζουν την αξονική 3 παραμόρφωση για και =, = =, =, αντίστοιχα. Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 4

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ Έστω τμήμα dx του μέλους : Η ισορροπία του τμήματος δίνει dn dx όπου d N A x EA x EA x dx x x d d Άρα, EA x dx dx και L c dx c A x 2 Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 5

6 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ Για μέλος επίπεδου δικτυώματος σταθερής διατομής: x cx c2 Οι σταθερές c και c 2 υπολογίζονται από τις συνοριακές συνθήκες. Έτσι, για την ψ (x):, L x, x L ενώ, για την ψ 3 (x): 3, 3 L 3 x, x L Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 6

7 Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 7

8 Το δυνατό έργο λόγω ελαστικής παραμόρφωσης ισούται με τη δυνατή μεταβολή της ενέργειας παραμόρφωσης. Έτσι, W dv A ( x ) E dx n V x x x x L V: ο όγκος του στοιχείου x x 3 x [ x 3 x ] N x T T x x 3 x [ x 3 x ] N x x 3 x, x L όπου N x N 3 x και Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 8

9 Αντικαθιστώντας προκύπτει: L T T W EA( x) dx n N N Για το έργο των εξωτερικών δυνάμεων ισχύει: W ex T T f όπου Εξισώνοντας (δw n = δw ex ): k k 3 k k 3 33 f όπου Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 9 9 L k EA x x x dx j, j, 3

10 Υπενθύμιση: σε ένα μέλος επίπεδου δικτυώματος, στο τοπικό σύστημα αξόνων ισχύει ότι Οπότε, 2 2 k k3 2 2 k3 k A Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ

11 Υπενθύμιση: σε ένα μέλος επίπεδου δικτυώματος, στο τοπικό σύστημα αξόνων ισχύει ότι Οπότε, 2 2 k k3 2 2 k3 k A k Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ

12 Υπενθύμιση: σε ένα μέλος επίπεδου δικτυώματος, στο τοπικό σύστημα αξόνων ισχύει ότι Οπότε, 2 2 k k3 2 2 k3 k A k Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 2 D

13 Τελικά, k k3 2 2 k3 k A k D Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 3